MatBas-I-U5

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EA
D
Trigonometria
5
1. ObjetivOs
•	 Rever	conceitos	de	seno,	cosseno	e	tangente.
•	 Estudar	os	conceitos	de	seno,	cosseno	e	tangente	no	ciclo	
trigonométrico.
2. COnteúdOs
•	 Relações	que	envolvem	seno,	cosseno	e	tangente.
•	 Ciclo	trigonométrico	e	comprimento	de	um	arco.
•	 Seno,	cosseno	e	tangente	no	ciclo	trigonométrico.
•	 Algumas	funções	trigonométricas.
3. Orientações para O estudO da unidade
Antes	de	 iniciar	o	estudo	desta	unidade,	é	 importante	que	
você	leia	as	orientações	a	seguir:
© Matemática Básica I210
1)	 Dedique-se	 a	 compreender	 o	 conhecimento	 básico	 de	
alguns	 conceitos	 relacionados	 à	 trigonometria,	 pois	 é	
imprescindível	para	sua	utilização	como	ferramenta	faci-
litadora	no	aprimoramento	do	aprendizado	matemático.
2)	 Leia	e	analise	com	atenção	os	conteúdos	e	os	exemplos	
disponíveis	sobre	trigonometria	no	ciclo	trigonométrico,	
pois	eles	facilitam	o	entendimento	dos	conceitos	e	teo-
rias	relacionados.
3)	 Para	auxiliá-lo	no	entendimento	das	funções	trigonomé-
tricas	 (tangente,	seno	e	cosseno),	você	poderá	acessar	
o	link	da	Rede	Internacional	Virtual	para	a	Educação	(Ri-
ved),	 disponível	 em:	 <http://rived.mec.gov.br/ativida-
des/matematica/mundo_trigonometria/funcoes/tan-
gente/tangente.html>.	Acesso	em:	4	abr.	2013.
4)	 Resolva	as	questões	autoavaliativas	disponibilizadas	no	
final	desta	unidade,	a	fim	de	que	você	possa	aferir	seu	
desempenho.	Ao	encontrar	dificuldades	em	resolvê-las,	
procure	revisar	os	conteúdos	estudados	nesta	unidade.
4. intrOduçÃO À unidade
Nesta	quinta	unidade,	veremos	alguns	conceitos	básicos	de	
trigonometria	e	o	ciclo	trigonométrico.
Esses	conceitos	são	fundamentais	para	um	bom	entendimen-
to	de	outras	definições	matemáticas	mais	elaboradas	que	são	utili-
zadas	no	cotidiano.	Fique	atento,	portanto,	às	revisões	realizadas.
5. trigOnOmetria
Estudaremos	os	conceitos	de	arcos	e	ângulos	na	circunferência,	
graus	e	radianos	e	como	realizar	conversões	entre	essas	medidas.	Ini-
ciaremos	nossos	estudos	pelos	arcos	e	ângulos	no	ciclo	trigonométrico.
arcos e ângulos
Arco	 é	 cada	 uma	 das	 partes	 em	 que	 uma	 circunferência	
pode	ser	dividida	por	dois	ou	mais	de	seus	pontos.	Se	considerar-
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211© U5 – Trigonometria
mos	os	pontos A	e	B	da	circunferência	de	centro	O,	temos:	arco	
AB	(vermelho)	e	arco	BA	(azul),	conforme	pode	ser	observado	na	
Figura	1.
Figura	1	Circunferência de centro O e arcos AB e BA.
Considere	a	circunferência	de	centro	O	e	raio	r da	Figura	2.	
Denomina-se	ângulo	a	região	do	plano	da	circunferência	limitada	
por	dois	segmentos	de	reta	AO	e	BO	com	mesma	origem	O.	Assim,	
os	segmentos	AO	e BO	são	os	lados	do	ângulo	e	o	ponto	O,	o	vérti-
ce	do	ângulo	BÔA ou	AÔB.
A	unidade	de	medida	de	um	arco	pode	ser	determinada	em	
medidas	angulares	(ângulo)	e	também	em	medidas	lineares	(com-
primento).
Na	Figura	2	 temos	uma	circunferência	de	 raio	 igual	a	2,25	
cm.	A	medida	angular	do	arco	BA	é	95o	e	a	medida	linear	do	arco	
BA,	aproximadamente	3,73	cm.
Figura	2	Circunferência de centro O e arco BA de 95o.
© Matemática Básica I212
O	 comprimento	 do	 arco	 de	 95° é	 obtido	 considerando-se	
que	a	medida	linear	de	uma	circunferência	é	 2C rπ= ⋅ ⋅ 	e	que	a	
medida	angular,	360°.
Assim,	temos:	
2 2 3,14 2,25 14,13 cmC r Cπ= ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ =
Sabendo	que	o	comprimento	da	circunferência	de	raio	2,25	
cm	é	14,13	cm,	e	que	esse	valor	corresponde	a	uma	medida	angu-
lar	de	360°, é	possível	calcular	o	comprimento	do	arco	de	95°.	Por	
regra	de	três,	obtemos:
360º .............. 14,13 cm
95º .............. cm
360º 95º 14 13 360º 1 342 35º
1 342 35 3 73 cm
360
x
x , x . ,
. ,x ,
⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ =
= =
O	comprimento	do	arco	de	95° é,	aproximadamente,	3,73	cm.
graus e radianos
A	medida	de	um	ângulo	é,	comumente,	descrita	em	graus.	
Um	grau	é	a	medida	equivalente	a	
1
360
	(um	trezentos	e	sessenta	
avos)	da	circunferência,	o	que	significa	que	em	uma	circunferência	
(uma	volta	completa)	cabem	360°.
Na	trigonometria,	um	ângulo	também	pode	ser	medido	em	
radianos.	Define-se	um	radiano	como	o	arco	cujo	comprimento	é	
igual	ao	raio	da	circunferência.
Na	Figura	3,	o	arco	AB	possui	medida	linear	igual	ao	segmen-
to	AB',	que	é	igual	à	medida	do	raio	da	circunferência	de	raio	R	e	
centro	O.	Desse	modo,	a	medida	do	arco	AB	é	igual	a	1	radiano,	e	
escrevemos:	 ( ) 1m AB rad=

.
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213© U5 – Trigonometria
Figura	3	Circunferência de centro O e raio R.
Um	 arco	 que	 corresponde	 à	 circunferência,	 ou	 seja,	 360°,	
mede,	em	radianos,	 2 radπ .
A	medida	 de	 um	 arco	 em	 radianos	 pode	 ser	 determinada	
pela	razão	entre	o	comprimento	do	arco	e	o	raio	da	circunferência.	
Sendo	 	o	comprimento	do	arco	e	r o	raio	da	circunferência,	pode-
mos	escrever	
r
α =  ,	na	qual	α 	é	a	medida	do	arco	em	radianos.
Qual	é	a	medida,	em	radianos	e	em	graus,	de	um	arco	de	30	
cm	de	comprimento,	contido	numa	circunferência	de	raio	8	cm?
Sendo	
r
α =  ,	temos:	 30 3,75 
8
radα = = .
360º 2
3,75
2 360 3,75 2 1 350
1 350 1 350 215º
2 3,14 6,28
 --------- rad 
 --------- rad
π
α
π α π α
α
⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ =
= = ≅
⋅
De	acordo	com	a	definição	de	radiano,	é	possível	determinar	
a	medida	de	alguns	ângulos,	em	radianos	e	em	graus,	conforme	
demonstrado	no	Quadro	1,	a	seguir.
© Matemática Básica I214
Quadro 1 Medida	de	arcos	em	graus	e	radianos.
Arco	em	
graus 0º 30º 45º 60º 90º 180º 270º 360º
Arco	em	
radianos 0 6
π
4
π
3
π
2
π π 3
2
π
2π
Para	convertermos	graus	em	radianos,	devemos	considerar	
que	um	arco	de	180° mede	 radπ .	Nesse	 caso,	 a	 conversão	de	
unidades	de	medida	pode	ser	obtida	mediante	a	aplicação	de	uma	
regra	de	três	simples.
Para	converter	30° em	radianos,	fazemos:
180º
30º
180º 30º
30º
30º 30º
180º180º 6
30º
 ------------ rad
 ------------ x 
x rad
rad
rad radx
π
π
π
π π
⋅ = ⋅
⋅
⋅
= = =
Para	converter	135° em	radianos,	fazemos:
180º
135º
180º 135º
135º
135º 345º
180º180º 4
45º
 ------------ rad
 ------------ x 
x rad
rad
rad radx
π
π
π
π π
⋅ = ⋅
⋅
⋅
= = =
O	ângulo	de	135° corresponde,	em	radianos,	a	 3 
4
radπ .
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215© U5 – Trigonometria
Ciclo trigonométrico
Denomina-se	ciclo	trigonométrico	uma	circunferência	orien-
tada	de	centro	O, cujo	raio	vale	1	(uma)	unidade	de	comprimento	
e	na	qual	o	sentido	positivo	é	o	anti-horário.
Vamos	associar	a	esse	ciclo	de	centro	O	um	sistema	de	coor-
denadas	cartesianas	ortogonais	(perpendiculares),	fixando	o	pon-
to	A	como	origem	dos	arcos,	conforme	observado	na	Figura	4.
Figura	4	Ciclo trigonométrico e seus quadrantes.
Observe	que	o	ciclo	trigonométrico	é	dividido	em	quatro	par-
tes	congruentes	a	90°,	as	quais	recebem	o	nome	de	quadrantes,	
que,	por	sua	vez,	são	numerados	de	I	a	IV	no	sentido	anti-horário	
(considerado	positivo).
No	eixo	das	abscissas	(x),	temos	os	pontos	A	e	C,	e	no	eixo	
das	ordenadas	(y),	os	pontos	B	e	D.	Esses	pontos	não	pertencem	
a	nenhum	quadrante	e	estão	associados	aos	ângulos	de	0°,	90°,	
180°,	270°	e	360°	no	sentido	anti-horário	(+),	partindo	do	ponto	A.
Em	 radianos,	 temos	 0 rad ,	 
2
radπ ,	 radπ ,	 3 
2
radπ ,	
2 radπ 	respectivamente,	ou	seja,	para	a	mesma	sequência	(par-
tindo	do	ponto	A,	no	sentido	anti-horário).
© Matemática Básica I216
seno, cosseno e tangente no ciclo trigonométrico
Seno
Dado	um	arco	AP	de	medida	a,	definimos	seno	de	 ( )a sen a 	
no	ciclo	 trigonométrico	como	a	medida	da	projeção	do	ponto	P	
no	eixo	Oy	do	ciclo,	ou	seja,	a	medida	do	segmento	OP',	conforme	
pode	ser	observado	na	Figura	5.
Figura	5	Ciclo trigonométrico – seno.
Observe	que	no	triângulo	retângulo	PÔP',	retângulo	em	P',	
temos:
 ' ' '
1
cateto oposto OP OPsen a OP
hipotenusa OP
= = = =
Se	considerarmos	a	medida	do	arco	AP	para	os	valores	
6
a π= 	
ou	30°,	
4
a π= 	ou	45° e	
3
a π= 	ou	60°,	podemos	constatar	que:
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217© U5 – Trigonometria
130º
6 2
245º
4 2
360º
3 2
sen sen
sen sen
sen sen
π
π
π
= =
= =
= =
O	seno	de	um	arcoa	pode	assumir	valores	positivos	ou	nega-
tivos,	dependendo	do	quadrante	em	que	se	encontra.	Assim,	se	um	
ângulo	estiver	no	primeiro	e	segundo	quadrantes,	o	seno	do	arco	
assume	valores	positivos	(segmento	em	azul	indicado	na	Figura	6).
Figura	6	 0sen a > – I e II quadrantes.
No	entanto,	se	o	arco	a estiver	no	terceiro	e	quarto	quadran-
tes,	o	seno	do	arco	assume	valores	negativos	(segmento	em	azul	
indicado	na	Figura	7).
© Matemática Básica I218
Figura	7	 0sen a < – III e IV quadrantes.
Cosseno
Dado	 um	 arco	 AP	 de	 medida	 a,	 definimos	 cosseno	 de	
( )a cos a 	no	ciclo	trigonométrico	como	a	medida	da	projeção	do	
ponto	P	no	eixo	Ox	do	ciclo,	ou	seja,	a	medida	do	segmento	OP''	
(destacado	em	verde	na	Figura	8).
Figura	8	Ciclo trigonométrico – cosseno.
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219© U5 – Trigonometria
Observe	que	no	triângulo	retângulo	PÔP'',	retângulo	em	P'',	temos:
" " ''
1
cateto adjacente OP OPcos a OP
hipotenusa OP
= = = =
Se	considerarmos	a	medida	do	arco	AP	para	os	valores	
6
a π= 	
ou	30°,	
4
a π= 	ou	45° e	
3
a π= 	ou	60°,	constatamos	que:
330º
6 2
245º
4 2
160º
3 2
cos cos
cos cos
cos cos
π
π
π
= =
= =
= =
O	cosseno	de	um	arco	a	pode	assumir	valores	positivos	ou	ne-
gativos,	dependendo	do	quadrante	em	que	se	encontra.	Assim,	se	um	
ângulo	estiver	no	primeiro	e	quarto	quadrantes,	o	cosseno	do	arco	
assume	valores	positivos	(segmento	em	azul	indicado	na	Figura	9).
Figura	9	 0cos a > – I e IV quadrantes.
© Matemática Básica I220
No	entanto,	se	o	arco	a estiver	no	segundo	e	terceiro	qua-
drantes,	o	cosseno	do	arco	assume	valores	negativos	 (segmento	
em	azul	indicado	na	Figura	10).
Figura	10	 0cos a > – II e III quadrantes.
Tangente
Dado	um	arco	AP	de	medida	a,	definimos	tangente	de	 ( )a tg a 	
no	ciclo	trigonométrico	como	a	medida	da	projeção	do	arco	AP	na	
reta	 tangente	TA	pelo	ponto	A	do	ciclo	 trigonométrico,	ou	seja,	a	
medida	do	segmento	AP''',	conforme	indicado	na	Figura	11.
Figura	11	Ciclo trigonométrico – tangente.
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221© U5 – Trigonometria
Observe	que	no	triângulo	retângulo	P'''ÔA,	retângulo	em	A,	
temos:
 "' "' '''
 1
cateto aposto AP APtg a AP
cateto adjacente OA
= = = =
Se	considerarmos	a	medida	do	arco	AP	para	os	valores	
6
a π= 	
ou	30°,	
4
a π= 	ou	45° e	
3
a π= 	ou	60°,	constatamos	que:
330º
6 3
45º 1
4
60º 3
3
tg tg
tg tg
tg tg
π
π
π
= =
= =
= =
A	tangente	de	um	arco	a	pode	assumir	valores	positivos	ou	ne-
gativos,	dependendo	do	quadrante	em	que	se	encontra.	Assim,	se	um	
ângulo	estiver	no	primeiro	e	terceiro	quadrantes,	a	tangente	do	arco	
assume	valores	positivos	(segmento	em	marrom	indicado	na	Figura	12).
Figura	12	 0tg a > – I e III quadrantes.
© Matemática Básica I222
No	entanto,	 se	o	arco	a estiver	no	 segundo	e	quarto	qua-
drantes,	a	tangente	do	arco	assume	valores	negativos	(segmento	
em	marrom	indicado	na	Figura	13).
Figura	13	 0tg a < – II e IV quadrantes.
No	Quadro	2,	a	seguir,	são	dados	o	seno,	o	cosseno	e	a	tan-
gente	dos	principais	ângulos	do	ciclo	trigonométrico.	O	conheci-
mento	desses	ângulos	é	de	fundamental	importância.
Quadro 2 Seno,	cosseno	e	tangente	dos	ângulos	notáveis.	
0 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360°
seno 0
1
2
2
2
3
2
1 0 1− 0
Cosseno 1 3
2
2
2
1
2
0 1− 0 1
tangente 0 3
3
1 3 ∃/ 0 ∃/ 0
redução ao primeiro quadrante
Na	Figura	14,	temos	um	ponto	P	no	ciclo	trigonométrico	que	
determina	o	arco	(ângulo)	a.	Os	pontos	P1,	P2	e	P3	pertencentes	à	
circunferência	são	simétricos	de	P	em	relação	ao	eixo	das	ordena-
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223© U5 – Trigonometria
das	(y),	em	relação	à	origem	O	e	em	relação	ao	eixo	das	abscissas	
(x),	respectivamente.
Figura	14	Simetria dos arcos.
Se P	é	o	arco	de	medida a, temos:	
•	 P1	é	imagem	do	arco	a	de	medida	 ( )aπ − 	ou	 ( )180 a° − 	
no	segundo	quadrante;
•	 P2	é	imagem	do	arco	a	de	medida	 ( )aπ + 	ou	 (180º )a+ 	
no	terceiro	quadrante;
•	 P3	é	imagem	do	arco	a	de	medida	(2 )aπ − 	ou	(360º )a− 	
no	quarto	quadrante.
Para	 a	 redução	 do	 seno	 de	 um	 arco	 a	 ao	 primeiro	 e	 se-
gundo	 quadrantes,	 fazemos	 uma	 simetria	 em	 relação	 ao	 eixo	
Oy.	 Assim,	 conclui-se	 que	 ( ) ( )sen a sen aπ − = 	 ou,	 em	 graus,	
(180º ) ( )sen a sen a− = .
Observe	na	Figura	15	que	o	 ( )sen a 	possui	a	mesma	medida	
do	 ( )sen aπ − 	(destacado	em	azul).	Se	considerarmos	 60ºa = 	ou	
3
π ,	em	radianos,	podemos	afirmar	que:
© Matemática Básica I224
3(60º ) (180º 60º ) (120º )
2
2 3
3 3 3 2
sen sen sen
sen sen senπ π ππ
= − = =
     = − = =     
     
Figura	15	Simetria dos arcos – 0sen x > .
No	entanto,	no	terceiro	e	quarto	quadrantes	o	 ( )sen aπ + 	pos-
sui	a	mesma	medida	do	 (2 )sen aπ − ,	que	são	iguais	a	 ( )sen a− ,	como	
pode	ser	observado	na	Figura	16.	Para	 60ºa = ou	
3
π ,	em	radianos,	
podemos	afirmar	que:
3(180º 60º ) (240º ) 60º
2
34
3 3 3 2
sen sen sen
sen sen senπ π ππ
+ = = − = −
     + = = − = −     
     
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225© U5 – Trigonometria
Figura	16	Simetria dos arcos – ( ) 0sen x < .
Resumindo,	podemos	afirmar:
( ) ( )
( ) (2 ) 
( ) (180º )
(180º ) (360º ) 
sen a sen a
sen a sen a sen a
sen a sen a
sen a sen a sen a
π
π π
= −
+ = − = −
= −
+ = − = −
Para	 a	 redução	 do	 cosseno	 de	 um	 arco	 a	 ao	 primeiro	 e	
quarto	 quadrantes,	 fazemos	 uma	 simetria	 em	 relação	 ao	 eixo	
Ox.	 Conclui-se	 que	 (2 – ) ( )cos a cos aπ = ,	 ou	 ainda,	 em	 graus,	
(360º ) ( )cos a cos a− = ,	como	mostrado	na	Figura	17,	a	seguir.
© Matemática Básica I226
Figura	17	Simetria dos arcos – 0cos x > .
Observe	na	Figura	17	que	o	 ( )cos a 	possui	a	mesma	medida	
do	 (2 – )cos aπ .	Desse	modo,	se	considerarmos	 60ºa = 	ou	
3
π ,	
em	radianos,	podemos	afirmar	que:
1(60º ) (360º 60º ) (300º )
2
5 12
3 3 3 2
cos cos cos
cos cos cosπ π ππ
= − = =
     = − = =     
     
No	 entanto,	 para	 o	 segundo	 e	 terceiro	 quadrantes,	 o	
( )cos aπ − 	 possui	 a	 mesma	 medida	 do	 ( )cos aπ + ,	 que	 são	
iguais	a	 ( )–cos a ,	como	pode	ser	observado	na	Figura	18.
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227© U5 – Trigonometria
Figura	18	Simetria dos arcos – cos 0x < .
Para	 60ºa = 	ou	
3
π ,	em	radianos,	podemos	afirmar	que:
1(180º 60º ) (120º ) 60º
2
1(180º 60º ) (240º ) – 60º
2
2 1
3 3 3 2
4 1
3 3 3 2
cos cos cos
cos cos cos
cos cos cos
cos cos cos
π π ππ
π π ππ
− = = − = −
+ = = = −
     − = = − = −     
     
     + = = − = −     
     
Para	 a	 redução	 da	 tangente	 de	 um	 arco	 a	 ao	 primeiro	 e	
terceiro	quadrantes,	 fazemos	uma	simetria	em	relação	à	origem	
dos	eixos.	Pode-se	concluir	que	 ( ) ( )tg a tg aπ + = ,	ou	ainda,	em	
graus,	 (180º ) ( )tg a tg a+ = ,	como	pode	ser	observado	na	Figura	
19,	destacado	na	cor	verde.
© Matemática Básica I228
Figura	19	Simetria dos arcos – ( ) 0tg x > .
Se	 considerarmos	 60ºa = 	 ou	
3
π ,	 em	 radianos,	 podemos	
afirmar	que:
60º (180º 60º ) 240º
 ou
4
3 3 3
tg tg tg
tg tg tgπ π ππ
= + =
     = + =     
     
No	entanto,	para	o	segundo	e	quarto	quadrantes,	a	 ( )tg aπ − 	
possui	a	mesma	medida	da	 (2 )tg aπ − ,	que	são	iguais	a	 ( )tg a− ,	
conforme	indicado	na	Figura	20.
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229© U5 – Trigonometria
Figura	20	Simetria dos arcos – 0tg < .
Para	 60ºa = 	ou	
3
π ,	em	radianos,	podemos	afirmar	que:
(180º 60º ) (120º ) 60º 3
(360º 60º ) (300º ) 60º 3
tg tg tg
tg tg tg
− = = − = −
− = = − = −
2 3
3 3 3
52 3
3 3 3
tg tg tg
tg tg tg
π π ππ
π π ππ
     − = = − = −     
     
     − = = − = −     
     
Exemplo 1:
Determine	o	valor	numérico	da	expressão	
30 150 cos 225
cos300
sen senM ° + °− °=
°
.
© Matemática Básica I230
Para	 resolver	 esse	 problema,	 precisamos	 reduzir	 todos	 os	
ângulos	ao	primeiro	quadrante,	verificar	o	sinal	e	realizar	a	soma	
ou	subtração	dos	valores.	Assim,	temos:
130º
2
150º (180º) 150º (180º )
1180º 150º 30º 150º 30º
2
225º (180º ) 225º 180
2180º 225º 45º 225º 45º
2
300º (360º ) 300º 360º
360º 300º 60º 3
sen
sen sen x x
x sen sen
cos cos x x
x x cos cos
cos cos x x
x cos
=
= − ⇒ = − ⇒
⇒ = − = ⇒ = =
= + ⇒ = + ⇒
⇒ − = − ⇒ = ⇒ = − = −
= − ⇒ = − ⇒
⇒ = − = ⇒
100º 60º
2
cos= =
Substituindo	os	valores	na	expressão	M,	temos:
1 1 2 1 1 2
2 2 2 2 2 22 2 21 1 2 1
2 2
2 2
M
M
  + ++ − − 
+ = = = ⋅ = +
= +
Exemplo 2:
Determine	o	valor	numérico	da	expressão	
Claretiano - Centro Universitário
231© U5 – Trigonometria
7 3 4
6 2 3
5
4
sen cos sen
N
tg
π π π
π
+ +
=
Para	 resolver	 esse	 problema,	 precisamos	 reduzir	 todos	 os	
ângulos	ao	primeiro	quadrante,	verificar	o	sinal	e	realizar	a	soma	
ou	subtração	dos	valores.	Assim,	temos:
( )
( )
( )
( )
7 7 7
6 6 6
7 6 7 1
6 6 6 6 2
3 3 3
2 2 2
3 2 3 0
2 2 2 2
4 4 4
3 3 3
4 3 4 3
3 3 3 3 2
5 5 5
4 4
sen sen x x x
x sen sen
cos cos x x x
x cos cos
sen sen x x x
x sen sen
tg tg x x x
π π ππ π π
π π π π π
π π ππ π π
π π π π π
π π ππ π π
π π π π π
π ππ π
= + ⇒ = + ⇒ = − ⇒
−
⇒ = = ⇒ = − = −
= + ⇒ = + ⇒ = − ⇒
−
⇒ = = ⇒ = =
= + ⇒ = + ⇒ = − ⇒
−
⇒ = = ⇒ = − = −
= + ⇒ = + ⇒ =
4
5 4 5 1
4 4 4 4
x tg tg
π π
π π π π π
− ⇒
−
⇒ = = ⇒ = =
Portanto,	substituindo	os	valores	na	expressão	N,	temos:
© Matemática Básica I232
1 3 1 0 30
2 2 1 32
1 2 2
1 3
2
N
N
  − + −− + + − 
− − = = =
− −
=
relação fundamental da trigonometria
Ao	 estudarmos	 as	 relações	 trigonométricas	 no	 triângulo	
retângulo,	vimos	que,	para	um	ângulo	agudo	de	medida	a,	temos	
2 2 1sen a cos a+ = .	Essa	relação	vale	para	qualquer	a R∈ .	Assim,	
é	possível	calcular	o	valor	do	seno	de	um	ângulo	conhecendo-se	o	
valor	do	cosseno	desse	ângulo.
Exemplo 1:
Se	a	é	um	ângulo	do	segundo	quadrante	e	 0,8sen a = ,	qual	
é	o	valor	do	 cos a ?
Para	resolver	essa	questão,	utilizamos	a	relação	fundamental:
2 2 2 2
2 2
2
1 (0,8) 1
0,64 1 1 – 0,64
0,36 0,36
0,6
sen a cos a cos a
cos a cos a
cos a cos a =
cos a
+ = ⇒ + = ⇒
⇒ + = ⇒ = ⇒
⇒ = ⇒ ± ⇒
⇒ = ±
Como	a	é	um	ângulo	do	segundo	quadrante	e	o	cosseno	no	
segundo	quadrante	é	negativo,	temos	 0,6cos a = − .
Exemplo 2: 
Calcule	sen x,	sabendo	que	
3cos
3
x = − .
Para	resolver	essa	questão,	utilizamos	a	relação	fundamental:
Claretiano - Centro Universitário
233© U5 – Trigonometria
2
2 2 2
2 2
2 2
31 1
3
3 31 1
9 9
9 3 6 6
9 9 9
6
3
sen x cos x sen x
sen x sen x
sen x sen x sen x
sen x
 
+ = ⇒ + − = ⇒  
 
⇒ + = ⇒ = − ⇒
−
⇒ = ⇒ = ⇒ = ± ⇒
⇒ = ±
Como	cosseno	de	x	é	negativo	e,	portanto,	pode	pertencer	
tanto	 ao	 segundo	quanto	 ao	 terceiro	 quadrante,	 o	 seno	 x pode	
assumir	tanto	valor	positivo	(segundo	quadrante)	quanto	valor	ne-
gativo	(terceiro	quadrante)	e,	desse	modo,	 6
3
sen x = ± .
equações trigonométricas
Toda	e	qualquer	igualdade	trigonométrica	em	que	a	variável	
aparece	nas	medidas	dos	arcos	ou	dos	ângulos	 são	classificadas	
como	equações	trigonométricas.
Equação na forma sen x a=
Vimos,	 no	 ciclo	 trigonométrico	 de	 raio	 unitário,	 que	 o	
seno	 de	 um	 arco a	 pode	 assumir	 valores	 no	 intervalo	 [-1,	 1],	
ou	 seja,	 [ 1, 1]a∈ − .	 É	 possível	 determinar	 o	 valor	 de a,	 tal	 que	
sen x a sen x sen a= ⇒ = .	Nesse	caso,	x	e	a	apresentam	o	mesmo	
seno	se	a	imagem	desses	arcos	e	ângulos	forem	coincidentes	ou	
simétricos	no	ciclo	trigonométrico	em	relação	ao	eixo	das	ordena-
das	(y),	como	pode	ser	observado	na	Figura	21.
© Matemática Básica I234
Figura	21	Simetria dos arcos	–	 sen a sen x= .
Para	0 2a π≤ ≤ ,	temos:	
ou
x a
sen x sen a
x aπ
=
= ⇔ 
 = −
Exemplo 1: 
Sendo	 0 2x π≤ ≤ ,	determine	o	valor	de	x	para	a	equação
2
2
sen x = − .
Para	resolvermos	a	equação,	primeiro	é	necessário	reduzi-la	
ao	primeiro	quadrante.	Assim,	no	primeiro	quadrante	o	seno	de x	
é	positivo,	e	temos:	 2 45º
2 4
sen x x radπ= ⇒ = = .
Conforme	a	Figura	22,	a	seguir,	o	seno	assume	valores	nega-
tivos	no	terceiro	 ( )xπ + 	e	quarto	quadrantes	 (2 )xπ − ,	ou	seja:
•	 4 5
4 4 4
x π π π ππ π ++ = + = = 	(terceiro	quadrante)
•	 8 72 2
4 4 4
x π π π ππ π −− = − = = 	(quarto	quadrante)
Claretiano - Centro Universitário
235© U5 – Trigonometria
Figura	22	sen x.
Os	valores	de x	para	 2 
2
sen x = − 	são	5 225º
4
π
= 	e	7 315º
4
π
= .
Exemplo 2: 
Sendo	 0 2x π≤ ≤ ,	determine	o	valor	de	x	para	a	equação	
3
2
sen x = − .
Para	resolvermos	a	equação,	primeiro	precisamos	reduzi-la	
ao	primeiro	quadrante.	No	primeiro	quadrante,	o	seno	de x	é	posi-
tivo,	e	temos:	 3 60º
2 3
sen x x radπ= ⇒ = = .
O	seno	assume	valores	negativos	no	terceiro	 ( )xπ + 	e	quar-
to	quadrantes	 (2 )xπ − ,	ou	seja:
•	 3 4
3 3 3
x π π π ππ π ++ = + = = 	(terceiro	quadrante)
•	
6 52 2
3 3 3
x π π π ππ π −− = − = = 	(quarto	quadrante)
Os	 valores	 de x	 para	 3 
2
sen x = − 	 são	 4 240º
3
π
= 	 e	
5 300º
3
π
= .
Equação na forma cos x a=
Vimos,	 no	 ciclo	 trigonométrico	 de	 raio	 unitário,	 que	 o	
cosseno	 de	 um	 arco	 pode	 assumir	 valores	 no	 intervalo	 [-1,	 1],	
© Matemática Básica I236
ou	 seja,	 [ 1, 1]a ∈ − .	 Podemos	 determinar	 o	 valor	 de a,	 tal	 que	
cos x a cos x cos a= ⇒ = .	Nesse	caso,	x	e	a	apresentam	o	mes-
mo	cosseno	se	a	imagem	desses	arcos	e	ângulos	forem	coinciden-
tes	ou	simétricos	no	ciclo	trigonométrico	em	relação	ao	eixo	das	
abscissas	(x),	como	pode	ser	observado	na	Figura	23.
Figura	23	Simetria	dos	arcos	–	cos a cos x= .
Para	0 2a π≤ ≤ ,	temos:	
ou
2
x a
cos x cos a
x aπ
=
= ⇔ 
 = −
Exemplo 1: 
Sendo	0 2x π≤ ≤ ,	determine	o	valor	de	 1
2
cos x = − .
Para	resolvermos	a	equação,	primeiro	precisamos	reduzi-la	
ao	primeiro	quadrante.	Assim,	no	primeiro	quadrante	o	cosseno	
de x	é	positivo	e	temos:	
1 60º
2 3
cos x x radπ= − ⇒ = = .
Conforme	a	Figura	24,	o	cosseno	assume	valores	negativos	
no	segundo	 ( )xπ − 	e	terceiro	quadrantes	 ( )xπ + ,	ou	seja:
•	 3 2 120º
3 3 3
x π π π ππ π −− = − = = = 	(segundo	quadrante)
Claretiano - Centro Universitário
237© U5 – Trigonometria
•	 3 4 240º
3 3 3
x π π π ππ π ++ = + = = = (terceiro	quadrante)
Figura	24	cos x .
Os	valores	de x	para	 1
2
cos x = − 	são	 2 120º
3
π
= 	e	 4 240º
3
π
= .
Exemplo 2: 
Determine	 o	menor	 valor	 positivo	 de	 x,	 para	 a	 expressão	
19
3
co x− = .
Para	resolvermos	esse	problema,	precisamos	utilizar	os	con-
ceitos	de	exponenciação	e	potenciação	estudados	anteriormente	
e	também	o	conceito	de	cosseno	de	um	ângulo.	
Assim,	temos:
( )1 2 1
2 1
19 9 3 3
3
13 3 2 1
2
co xcos x cos x
co x cos x cos x
−− − − −
− −
= ⇒ = ⇒ = ⇒
⇒ = ⇒ − = − ⇒ =
Os	valores	de	x	para	o	 1cos
2
x = 	correspondem	aos	arcos	de	
60º
3
π
= 	e	 2 120º
3
π
= .
© Matemática Básica I238
Equação na forma tg x a=
Vimos,	 no	 ciclo	 trigonométrico	 de	 raio	 unitário,	 que	 a	
tangente	de	um	arco	a	pode	assumir	valores	para	qualquer	valor	
de	a,	 tal	que	 a R∈ .	Temos	 tg x a tg x tg a= ⇒ = .	Nesse	caso,	x	
e	a	apresentam	a	mesma	tangente	se	as	imagens	desses	arcos	e	
ângulos	forem	coincidentes	ou	simétricos	no	ciclo	trigonométrico	
em	relação	à	origem,	ou	seja,	diametralmente	opostas,	como	pode	
ser	observado	na	Figura	25.
Figura	25	Simetria	dos	arcos	–	 tg a tg x= .
Para	0 2a π≤ ≤ ,	temos:	
ou
x a
tg x tg a
x aπ
=
= ⇔ 
 = +
Exemplo 1: 
Sendo	0 2x π≤ ≤ ,	determine	o	valor	de	 3
3
tg x = − .
Para	resolvermos	a	equação,	primeiro	precisamos	reduzi-la	
ao	primeiro	quadrante.	Assim,	no	primeiro	quadrante	a	tangente	
do	ângulo x	é	positiva	e	temos:
3 30º
3 6
tg x x radπ= ⇒ = =
Claretiano - Centro Universitário
239© U5 – Trigonometria
Conforme	a	Figura	26,	a	tangente	assume	valores	negativos	
no	segundo	 ( )xπ − 	e	quarto	quadrantes	 (2 )xπ − ,	ou	seja:
•	 6 5 150º
6 6 6
x π π π ππ π −− = − = = = 	(segundo	quadrante)
•	 12 112 2 330º
6 6 6
x π π π ππ π −− = − = = = 	(quarto	quadrante)
Figura	26	 tg x .
Os	valores	de x	para	
3
3
tg x = − 	são	
5 150º
6
π
= 	e	11 330º
6
π
= .
Exemplo 2: 
Resolva	 a	 expressão	 2 2 1 0tg x tg x− + = 	 no	 intervalo	
0 2x π≤ ≤ .
Pararesolver	essa	equação,	é	preciso	 lembrar	que	se	trata	
de	uma	equação	de	2º	grau	e,	portanto,	podemos	escrevê-la	na	
forma	 2 2( 1) 2 1tg x tg x tg x− = − + .	Assim,	temos:
2( 1) ( 1) ( 1) 0
1 0 1
545º e 225º
4 4
tg x tg x tg x
tg x tg x
x xπ π
− = − ⋅ − = ⇒
⇒ − = ⇒ =
= = = =
© Matemática Básica I240
Funções trigonométricas
Vimos	que,	para	um	número	real	x,	é	possível	determinar	um	
ponto	P	do	ciclo	trigonométrico,	que	está	associado	a	um	valor	de	
cosseno	e	a	um	valor	de	seno	(veja	a	Figura	27).
Figura	27	Ponto P do ciclo trigonométrico.
A	 partir	 dessa	 observação,	 é	 possível	 estudarmos	 o	 que	
ocorre	com	o	seno,	o	cosseno	e	a	tangente	de	um	arco	ou	ângulo	
qualquer	para	cada	ponto	P	do	ciclo	trigonométrico.
Função seno, cosseno e tangente
Vimos	na	Unidade	3	que	uma	relação	de	um	conjunto	A em	
um	conjunto B,	ambos	pertencentes	ao	conjunto	dos	números	re-
ais,	 é	uma	 função	 f	 se,	 e	 somente	 se,	 cada	elemento	de	A	 está	
associado	a	um	único	elemento	de	B.	Neste	tópico,	iremos	estudar	
algumas	funções	trigonométricas.
Função seno
A	função	seno	associa	a	cada	ponto	P	do	ciclo	trigonométrico	
um	número	real	x,	definido	por	 ( ) y f x sen x= = .	Para	todo	x	real,	
associamos	um	valor	para	 sen x .
Claretiano - Centro Universitário
241© U5 – Trigonometria
Domínio
O	domínio	da	função	 ( ) f x sen x= 	é	o	conjunto	dos	números	
reais	para	n	voltas	ou	posições	do	ponto	P	no	ciclo	trigonométrico,	
e	dado	por	 ( )Df x R= .
Imagem
No	ciclo	trigonométrico,	quando	o	 1sen x = ,	x	assume	o	valor	
90º
2
π
= ,	e	
3 270º
2
π
= 	quando	 1sen x = − 	(conforme	mostrado	na	
Figura	28).
Figura	28	Imagem da função ( ) f x sen x= .
Podemos	 afirmar	 que	 a	 imagem	 da	 função	 ( ) f x sen x= 	
é	 definida	 pelo	 intervalo	 entre	 os	 números	 1	 e	 –1,	 obtida	 por	
Im ( ) [ 1,1]f x = − .
Gráfico
O	 gráfico	 da	 função	 ( ) f x sen x= 	 é	 uma	 senoide	 obtida	
quando	 atribuímos	 valores	 para	 x	 e	 determinamos	 os	 respecti-
vos	valores	para	 ( ) f x sen x= .	Para	construir	o	gráfico	da	função	
( ) f x sen x= ,	iremos	montar	o	Quadro	3	para	os	arcos	notáveis:
© Matemática Básica I242
Quadro 3 Seno	de	um	ângulo.	
x 0
6
π
4
π
3
π
2
π π 3
2
π
2π 0
 sen x 0
1
2
2
2
3
2
1 0 1− 0 0
Após	determinarmos	os	valores	do	seno	dos	arcos	notáveis,	
localizamos	 no	 plano	 cartesiano	 os	 pares	 ordenados	 ( , )x sen x ,	
obtendo	a	senoide	(veja	a	Figura	29).
Fonte:	Rived	(2013).
Figura	29	Gráfico da função y sen x= . 
O	gráfico	obtido	para	o	 intervalo	do	domínio	de	 [0, 2 ]π 	 é	
uma	senoide	com	imagem	de	intervalo	[ 1,1]− .
Período
O	período	de	uma	função	 ( ) y f x sen x= = 	é	 2π ,	pois	para	
cada	volta	realizada	no	ciclo	trigonométrico	a	senoide	é	repetida,	
como	pode	ser	observado	no	gráfico	para	o	 intervalo	 [0, 4 ]π 	ou	
duas	voltas	da	Figura	30	a	seguir.
Claretiano - Centro Universitário
243© U5 – Trigonometria
Figura	30	Gráfico da função ( ) f x sen x= .
Exemplo 1:
Determine	 os	 valores	 reais	 que	m	 pode	 assumir	 para	 que	
exista	um	número	real	x	que	satisfaça	a	igualdade	 2 2sen x m= − .
Para	 resolver	 esse	 problema,	 devemos	 lembrar	 que	
1 1 1 2 2 1sen x m− ≤ ≤ ⇒ − ≤ − ≤ .	Resolvendo	a	dupla	desigual-
dade,	temos:
1 2 2 1 1 2 2 2 2 1 2
1 2 3 1 31 2 3
2 2 2 2 2
m m
mm m
− ≤ − ≤ ⇒ − + ≤ − + ≤ + ⇒
⇒ ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤
Os	valores	reais	de	m	que	satisfazem	a	equação	 2 2sen x m= − 	
são	dados	pelo	conjunto	
1 3/
2 2
m R m ∈ ≤ ≤ 
 
.
Exemplo 2: 
Determine	 os	 valores	 reais	 que	m	 pode	 assumir	 para	 que	
exista	um	número	real	x	que	satisfaça	a	igualdade	 3 4sen x m= − .
Para	 resolver	 esse	 problema,	 devemos	 lembrar	 que	
1 1 1 3 4 1sen x m− ≤ ≤ ⇒ − ≤ − ≤ .	Resolvendo	a	dupla	desigual-
dade,	temos:
© Matemática Básica I244
1 3 4 1 1 4 3 4 4 1 4
3 3 5 53 3 5 1
3 3 3 3
m m
mm m
− ≤ − ≤ ⇒ − + ≤ − + ≤ + ⇒
⇒ ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤
Os	valores	reais	de	m	que	satisfazem	a	equação	 3 4sen x m= − 	
são	dados	pelo	conjunto	 5/ 1
3
m R m ∈ ≤ ≤ 
 
.
Função cosseno
A	 função	 cosseno	 associa	 a	 cada	 ponto	 P	 do	 ciclo	
trigonométrico	um	número	real	x,	definido	por	 ( )y f x cos x= = .	
Para	todo	x	real,	associamos	um	valor	para	 cos x .
Domínio
O	domínio	da	função	 ( )y f x cos x= = 	é	o	conjunto	dos	nú-
meros	reais	para	n	voltas	ou	posições	do	ponto	P	no	ciclo	trigono-
métrico,	dado	por	 ( )Df x R= .
Imagem
No	ciclo	trigonométrico,	quando	o	 1cos x = ,	x	assume	o	va-
lor	0 0ºrad = ,	e	 180ºπ = 	quando	 –1cos x = ,	conforme	observa-
do	na	Figura	31.
Figura	31	Imagem da função ( )f x cos x= .
Claretiano - Centro Universitário
245© U5 – Trigonometria
Podemos	afirmar	que	a	 imagem	da	 função	 ( )f x cos x= 	é	
definida	 pelo	 intervalo	 entre	 os	 números	 1	 e	 –1;	 temos,	 assim:	
Im ( ) [ 1,1]f x = − .
Gráfico
O	gráfico	da	função	 ( )f x cos x= 	é	uma	cossenoide	obtida	
quando	atribuímos	valores	para	x	e	determinamos	os	respectivos	
valores	para	 ( )y f x cos x= = .	Para	construir	o	gráfico	da	função	
( )f x cos x= ,	 iremos	montar	um	quadro	para	os	arcos	notáveis	
(veja	o	Quadro	4).
Quadro 4 Cosseno	de	um	ângulo.
x 0
6
π
4
π
3
π
2
π π 3
2
π
2π 0
cos x 1 3
2
2
2
1
2
0 1− 0 1 1
Após	 determinarmos	 os	 valores	 do	 cosseno	 dos	 arcos	 no-
táveis,	 localizamos	 no	 plano	 cartesiano	 os	 pares	 ordenados	
( , )x cos x ,	obtendo	a	cossenoide,	conforme	mostrado	na	Figura	
32,	a	seguir.
Figura	32	Gráfico da função y cos x= .
© Matemática Básica I246
O	gráfico	obtido	para	o	 intervalo	do	domínio	de	 [0, 2 ]π 	 é	
uma	cossenoide	com	imagem	de	intervalo	[ 1,1]− .
Período
O	período	de	uma	função	 ( )y f x cos x= = 	é	2π ,	pois	para	
cada	volta	realizada	no	ciclo	trigonométrico	a	cossenoide	é	repeti-
da,	como	pode	ser	observado	no	gráfico	para	o	intervalo	 [0, 4 ]π ,	
ou	duas	voltas	(veja	Figura	33).
Figura	33	Gráfico da função ( )f x cos x= .
Exemplo 1:
Determine	o	valor	de	x	para	a	função	 ( ) 315ºf x cos= .
Para	 resolver	 esse	 problema,	 precisamos	 reduzir	 o	 ângu-
lo	 de	 315° ao	 primeiro	 quadrante.	 Nesse	 caso,	 sabemos	 que	
o	 ângulo	 se	 encontra	 no	 quarto	 quadrante	 e	 é	 positivo.	 Temos:	
315º (360º ) 360º 315 45ºx x= − ⇒ = − = .
Assim,	 2( ) 315º 45º
2
f x cos cos= = = .
Claretiano - Centro Universitário
247© U5 – Trigonometria
Exemplo 2:
Determine	 os	 valores	 reais	 que	m	 pode	 assumir	 para	 que	
exista	um	número	real	x	que	satisfaça	a	igualdade	 2 5cos x m= + .
Para	 resolver	 esse	 problema,	 devemos	 lembrar	 que	
1 1 1 2 5 1sen x m− ≤ ≤ ⇒ − ≤ + ≤ .	Resolvendo	a	dupla	desigual-
dade,	temos:
1 2 5 1 1 5 2 5 5 1 5
6 2 46 2 4 3 2
2 2 2
m m
mm m
− ≤ + ≤ ⇒ − − ≤ + − ≤ − ⇒
⇒ − ≤ ≤ − ⇒ − ≤ ≤ − ⇒ − ≤ ≤ −
Os	valores	 reais	de	m	 para	a	equação	 2 5cos x m= + 	 são	
dados	pelo	conjunto	{ }/ 3 2m R m∈ − ≤ ≤ − .
Função tangente
A	razão	entre	o	seno	e	o	cosseno	de	um	número	real	x	é	a	
tangente	desse	número	real.	Assim,	
 
cos
sen xtg x
x
= 	com	 0cos x ≠ .
A	função	tangente	fica	definida	para	 ( ) f x tg x= ,	de	modo	
que	 : / ,
2
f x R x k k Rπ π ∈ ≠ + ∈ 
 
.
Domínio
O	domínio	da	função	 ( ) f x tg x= 	é	o	conjunto	dos	números	
reais	para	n	voltas	ou	posições	do	ponto	P	no	ciclo	trigonométrico,	
identificado	por:	 ( ) / ,
2
Df x x R x k k Rπ π = ∈ ≠ + ∈ 
 
.
Imagem
No	ciclo	trigonométrico,	a	tangente	de	um	número	real	pode	
assumir	qualquer	valor	real.	Desse	modo,	a	imagem	da	função	tan-
gente	é	definida	por	 Im ( ) ] , [f x = −∞ ∞ .
© Matemática Básica I248
Gráfico
O	 gráfico	 da	 função	 ( )f x tg x= 	 é	 obtido	 quando	 atribuí-
mos	 valores	para	x	 e	 determinamos	os	 respectivos	 valores	 para	
( ) f x tg x= .	Para	construir	o	gráfico	da	função	 ( )f x tg x= ,	mon-
taremos	um	quadro	para	os	arcos	notáveis	(veja	Quadro	5):	
Quadro 5	Tangente	de	um	ângulo.
x 0
6
π
4
π
3
π
2
π π 3
2
π
2π 0
tg x 0 3
3
1 3 ∃/ 0 ∃/ 0 0
Após	determinarmos	os	valores	da	tangente	dos	arcos	notáveis,	
localizamos	no	plano	cartesiano	os	pares	ordenados	( , )x tg x ,	obtendo	
o	gráfico	dessa	função,	conformedemonstrado	na	Figura	34,	a	seguir.
Figura	34	Gráfico da função y tg x= .
Observe	o	 gráfico	obtido	na	 Figura	34	para	o	 intervalo	do	
domínio	de	[0, 2 ]π ,	ou	seja,	uma	volta	completa	no	ciclo	trigono-
métrico,	e	imagem	de	intervalo	 ] , [−∞ ∞ .
Claretiano - Centro Universitário
249© U5 – Trigonometria
Período
O	período	de	uma	 função	 ( ) y f x tg x= = 	é	 π ,	pois	para	
cada	 meia-volta	 realizada	 no	 ciclo	 trigonométrico	 o	 gráfico	 se	
repete,	 como	pode	 ser	observado	na	 Figura	35	para	o	 intervalo	
[0, 4 ]π 	ou	duas	voltas	completas	no	ciclo	trigonométrico.
Figura	35	Gráfico da função ( ) f x tg x= .
Exemplo 1: 
Determine	 o	 domínio,	 a	 imagem	 e	 o	 período	 da	 função	
( ) 3f x tg x= .
Para	 resolvermos	 esse	 problema,	 devemos	 fazer	 3x t= .	
Existe	tangente	de	t	se,	e	somente	se,	
2
t kπ π≠ + .	Assim,	temos:
( )
123
2 3 2 3
6 3
k
x k x x k
x k k Z
π ππ ππ π
π π
+  ≠ + ⇒ ≠ ⇒ ≠ + ⋅ ⇒ 
 
⇒ ≠ + ∈
O	domínio	da	função	 ( ) 3f x tg x= 	é	dado	por:
© Matemática Básica I250
( )( ) /
6 3
D f x R x k k Zπ π = ∈ ≠ + ∈ 
 
A	imagem	da	função	 ( ) 3f x tg x= 	é	 Im( )f R= 	e	o	período	
da	função,	
3
p π= .
Exemplo 2: 
Determine	o	domínio	da	função	 ( ) 
3
f x tg x π = − 
 
.
Para	resolvermos	esse	problema,	devemos	fazer	
3
x tπ − = 
 
.	
Existe	tangente	de	t	se,	e	somente	se,	
2
t kπ π≠ + .	Assim,	temos:
( )
3 2 2 3
3 2 6 5
6 6
x k x k
kx x k k Z
π π π ππ π
π π π π π
− ≠ + ⇒ ≠ + + ⇒
+ +
⇒ ≠ ⇒ ≠ + ∈
O	domínio	da	função	 ( ) 
3
f x tg x π = − 
 
	é	dado	por:
( )5( ) /
6
D f x R x k k Zπ π = ∈ ≠ + ∈ 
 
Sabemos	que	os	 conteúdos	 aqui	 estudados	 não	 foram	es-
gotados	em	sua	plenitude.	Sugerimos	uma	leitura	detalhada	dos	
livros	indicados	no	Tópico	9	para	maior	aprofundamento	e	apren-
dizado.
6. Questões autOavaLiativas
Confira,	a	seguir,	as	questões	propostas	para	verificar	o	seu	
desempenho	no	estudo	desta	unidade:
Claretiano - Centro Universitário
251© U5 – Trigonometria
1)	 Qual	é	a	medida,	em	radianos	e	em	graus,	de	um	arco	de	45	cm	contido	
numa	circunferência	de	raio	5	cm?
2)	 Converta	em	radianos	48°.
3)	 Determine	o	valor	do	 cos x ,	sabendo	que	
1
2
sen x = .
4)	 Sendo	0 2x π≤ ≤ ,	determine	o	valor	de x	para	a	equação	
3
2
cos x = − .
5)	 Determine	os	valores	reais	que	m	pode	assumir	para	que	exista	um	número	
real	x	que	satisfaça	a	igualdade	 1cos x m= − .
6)	 Determine	o	domínio	da	função	 ( )
4
f x tg x π = + 
 
.
gabarito 
Confira,	a	seguir,	as	respostas	para	as	questões	autoavaliati-
vas	propostas:
1)	 9	radianos	e	aproximadamente	516o.
2)	 448º
15
rad
π
=
3)	
3
2
cos x =
4)	 5 7e
6 6
V
π π
=   
 
5)	 0 2m≤ ≤
6)	 ( ){ }( ) / 4D f x R x k k Zπ π= ∈ ≠ + ∈
7. COnsiderações
Nesta	 unidade,	 estudamos	 o	 conceito	 de	 seno,	 cosseno	 e	
tangente	no	ciclo	trigonométrico.	Vimos	também	algumas	funções	
trigonométricas,	seu	domínio,	imagem,	período	e	gráfico.	Explora-
mos	também	esses	conceitos	por	meio	da	consulta	à	Rede	Interna-
cional	Virtual	da	Educação	(Rived).
© Matemática Básica I252
Não	pretendemos	esgotar	aqui	os	conteúdos	estudados,	de	for-
ma	que	a	leitura	da	bibliografia	indicada	pode	revelar	outras	aplicações	
interessantes	desses	conceitos	e	propriedades	vistos	nesta	unidade.
Na	Unidade	6,	estudaremos	o	conjunto	dos	números	com-
plexos,	 sua	 forma	 algébrica,	 a	 representação	 geométrica	 e	 suas	
operações,	como	também	o	módulo	e	a	forma	trigonométrica	de	
um	número	complexo.
8. E-REFERÊNCIAS
Lista de Figuras
Figura 29	 Gráfico da função	 y sen x= .	 Disponível	 em:	 <http://rived.mec.gov.br/
atividades/matematica/mundo_trigonometria/funcoes/seno/tela_02.html>.	 Acesso	 em:	
4	abr.	2013.	
Figura 32	 Gráfico da função	 y cos x= .	 Disponível	 em:	 <http://rived.mec.gov.br/
atividades/matematica/mundo_trigonometria/funcoes/cosseno/tela_02.html>.	 Acesso	
em:	4	abr.	2013.
Figura 34	 Gráfico da função	 y tg x= .	 Disponível	 em:	 <http://rived.mec.gov.br/
atividades/matematica/mundo_trigonometria/funcoes/tangente/tela_02.html>.	
Acesso	em:	10	jul.	2012.
Sites pesquisados
RIVED.	Funções Trigonométricas:	conceitos	fundamentais.	A	função	tangente.	Disponível	em:	
<http://rived.mec.gov.br/atividades/matematica/mundo_trigonometria/funcoes/tangente/
tangente.html>.	Acesso	em:	4	abr.	2013.
______.	 Funções Trigonométricas:	 conceitos	 fundamentais.	 Apresentando	 a	 definição	
da	 função	 cosseno	 no	 círculo	 trigonométrico.	 Disponível	 em:	 <http://rived.mec.gov.br/
atividades/matematica/mundo_trigonometria/funcoes/cosseno/tela_01.html>.	Acesso	em:	
4	abr.	2013.
______.	 Funções Trigonométricas:	 conceitos	 fundamentais.	 Apresentando	 a	 definição	 da	
função	seno	no	círculo	trigonométrico.	Disponível	em:	<http://rived.mec.gov.br/atividades/
matematica/mundo_trigonometria/funcoes/seno/tela_01.html>.	Acesso	em:	4	abr.	2013.
9. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ANTUNES,	F.	C.	Matemática por assunto:	trigonometria.	São	Paulo:	Scipione,	1988.	v.	3.
BIANCHINI,	 E.	 Matemática 2º grau:	 versão	 beta	 trigonometria.	 2.	 ed.	 São	 Paulo:	
Moderna,	1997.	v.	1.
Claretiano - Centro Universitário
253© U5 – Trigonometria
DANTE,	L.	R.	Matemática:	contexto	&	aplicações.	2.	ed.	São	Paulo:	Ática,	2007.
DEMANA,	F.	D.	et	al.	Pré-cálculo.	São	Paulo:	Addison	Wesley,	2009.
GUELLI,	C.	A.	et	al.	Trigonometria.	São	Paulo:	Moderna,	1997.
IEZZI,	 G.	 Fundamentos de matemática elementar 3:	 trigonometria.	 9.	 ed.	 São	 Paulo:	
Atual,	2004.
MACEDO,	L.	R.	D.	Tópicos de Matemática aplicada.	Curitiba:	Ibpex,	2006.
MACHADO,	A.	S.	Matemática temas e metas:	trigonometria	e	progressões.	São	Paulo:	
Atual,	1986.	v.	2.
Claretiano - Centro Universitário