Aula 3 Circuitos Magnéticos

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ENGENHARIA ELÉTRICA
CONVERSÃO ELETROMECÂNICA DE ENERGIA
(apontamentos)
Uma integração de linha de H ao longo de algum percurso circular dado resulta em:
Ampère [A]
8. Lei Circuital de Ampère
1
r.2
0
1
Idl
r.2
I
dlH =•

=• 
 Obs: a integral de linha é usada
porque H tem dimensão por unidade
de comprimento.
Eq.09
Esta equação mostra que a integral de linha fechada da intensidade do campo
magnético é igual às correntes envolvidas (ou ampère-espiras) que produzem as
linhas de campo magnético. Esta relação é denominada de Lei de Ampère de
Circuito, e é expressa por:
INdlH x==• Eq.10
Onde  designa os ampère-espiras envolvidos pelo percurso
fechado assumido das linhas de fluxo.  é também conhecido como
força magnetomotriz e é freqüentemente abreviada como fmm.
Agora que a intensidade de campo magnético (H) foi definida e demonstrada como
tendo unidade de ampère-espiras/metro, pode-se deduzir uma expressão muito
útil. Sabe-se que H é um vetor que tem o mesmo sentido e o mesmo lugar
geométrico circular que o do campo magnético B.
8. Lei Circuital de Ampère
l
B
lH xx

== Eq.11
As definições anteriores foram feitas a partir da experiência elementar de Ampère
com dois condutores conduzindo corrente. Pela manipulação correta destas
grandezas, outras fórmulas úteis podem ser obtidas.
A equação Eq.08 é uma equação vetorial que descreve a intensidade do campo
magnético para uma dada geometria e corrente. Se o comprimento total do percurso
de uma linha de fluxo for suposto como sendo l, então a força magnetomotriz (fmm)
associada à linha de fluxo especificada é:
Agora, nas situações onde B é uma constante e penetra uma área fixa e conhecida
(A), o fluxo magnético correspondente pode ser escrito da equação Eq.07 como
sendo:
ABx= Eq.12
8. Lei Circuital de Ampère







=

==
A
l
l
B
lH
x
xx Eq.13
Introduzindo a equação Eq.12 na
equação Eq.11, obtém-se:
O termo entre parênteses mostra uma
grande semelhança com a definição de
resistência em um circuito elétrico.
Um exame da equação Eq.13 fornece
uma interpretação similar para o
circuito magnético.
= xEq.14
Já está claro que  é a fmm que gera o
fluxo , que penetra a área de seção
transversal especificada A. Contudo, esse
fluxo é limitado em módulo pelo que é
chamado a relutância do circuito
magnético, que é definida como:
A equação Eq.15 é também conhecida
como a Lei de Ohm do circuito magnético.
É somente válida se B e A forem
quantidades fixas.
A
l
x
= Eq.15
Aplicando a equação acima no circuito magnético simples, temos:
A unidade da indução magnética (B) é o Weber/metro2 (1 Wb=108 linhas de campo magnético.
 = permeabilidade magnética do núcleo = o . r (o = 4 x 10
-7 Wb/A.m)
r = permeabilidade relativa do material, valores típicos de r estão na faixa de 2.000 a 6.000,
para materiais usados em máquinas.
9. Circuitos Magnéticos
A intensidade de campo magnético (H), produz uma
indução magnética (B) em toda a região sujeita ao campo
magnético.
NI = H l , no caso: N I = Hn ln
B=.H ou B=/A [Wb/m2]Figura 21
Para o circuito magnético abaixo, temos:
9. Circuitos Magnéticos
+N I - Hab.lab - Hbc.Ibc - Hca.lca=0 
NI = Hab.lab + Hbc.Ibc + Hca.lca
Todos os termos que aparecem nessa
equação são conhecidos, com exceção
das forças magnetizantes para as
diferentes partes do circuito
magnético, que podem ser obtidas a
partir do gráfico B-H se a densidade
de fluxo (B) for conhecida.
lH .=
Onde H é a força magnetizante em uma seção do
circuito magnético e l, o comprimento da seção.
Figura 22
Os dispositivos de conversão de energia que incorporam um elemento móvel exigem
entreferros nos núcleos. Portanto, as estruturas magnéticas apresentam um
entreferro (espaço de ar inserido entre duas porções magnéticas) em seu circuito
magnético.
Este entreferro pode ser inserido propositalmente, como ocorre nos motores e
geradores elétricos como mostrado na Figura 23, ou involuntariamente devido ao
processo construtivo, como indicado na Figura 24
Figura 23 – Entreferro de um motor elétrico.
9. Circuitos Magnéticos
Figura 24 – Entreferro involuntário.
A colocação de chapas lado a lado introduz um pequeno entreferro
involuntário entre elas.
Qualquer que seja sua origem e tamanho, o entreferro é parte
importante da estrutura magnética e deve sempre ser considerado no
circuito magnético.
9. Circuitos Magnéticos
A Figura 25 mostra as linhas de campo magnético em uma estrutura com a presença
de um entreferro, destacando o fenômeno do espraiamento dessas linhas na região
do entreferro
Figura 25 - Espraiamento das linhas de campo.
O efeito do espraiamento das linhas de campo equivale a um acréscimo da área de
passagem do fluxo magnético no entreferro e como tal deve ser corrigida. Algumas
fórmulas empíricas ajudam-nos a resolver, são elas:
9. Circuitos Magnéticos
A. Entreferro com faces paralelas e iguais
Figura 26 – Entreferro com faces paralelas e iguais.
Neste caso, a área efetiva de passagem do fluxo magnético no entreferro é dada
por:
9. Circuitos Magnéticos
X
Y
g
)).(( ggg YXS  ++=
B. Entreferro com faces paralelas e diferentes
Fig. 27 – Entreferro com faces paralelas e diferentes.
Nesta condição, a área efetiva de passagem do fluxo magnético é estimada a
partir da expressão:
9. Circuitos Magnéticos
X
Y
g
)2).(2( ggg lYlXS ++=
Os dispositivos de conversão de energia que incorporam um elemento móvel exigem
entreferros nos núcleos. Um circuito magnético com um entreferro (vácuo) é
mostrado a seguir:
9. Circuitos Magnéticos
N i = Hn ln + Hg lg
onde: B =  H ; H = B / 
onde: B =  / A
g
o
g
n
n
n l
B
l
B
NI

+

=
g
og
g
n
nn
n l
A
l
A
IN


+


=









+

=
og
g
nn
n
A
l
A
l
IN
( )
gnIN +=
( )
gn += 
onde: n = g = 
onde: F = N . I
onde:
n = Relutância magnética do núcleo; [A/Wb]
g = Relutância magnética do entreferro; [A/Wb]
 = força magnomotriz; [Ae]
Figura 28
Eq.16
9. Circuitos Magnéticos
Circuito Elétrico Análogo:
Figura 29
9. Circuitos Magnéticos
9. Circuitos Magnéticos
9. Circuitos Magnéticos
Circuito Elétrico Circuito Magnético 
I :Corrente Elétrica (A)  : Fluxo Magnético (Wb) 
E :Força eletromotriz (V) NiF = :Força magnetomotriz (Aesp) 
 :Condutividade (S/m)  :Permeabilidade (H/m) 
S
I
J = : Densidade de 
Corrente Elétrica (
2/A m ) 
S
B

= : Densidade de Fluxo Magnético 
(
2/Wb m ) 
S
l
R

1
= : Resistência ( ) 
S
l

1
= :Relutância ( /Aesp Wb ) 
1
G
R
= :Condutância (S ) 
1
 =

:Permeância 
( 
/Wb Aesp
) 
 
Identifica-se as seguintes relações entre as grandezas elétricas e magnéticas:
Note-se que a associação entre o circuito elétrico e o circuito magnético levou a denominação densidade de fluxo magnético como sinônimo 
do campo magnético.
Exercícios
1. Dada a peça abaixo, determinar a
densidade de fluxo B em Tesla.
Solução: 
TB
m
Wb
A
B
2
23
5
10.5
10.2,1
10.6
−
−
−
=
==

2. Com base na figura do exercício
anterior, se a densidade de fluxo for 1,2 T
e a área da seção reta for 0,25 pol.2,
determinar o fluxo magnético no interior
da peça.
Solução: 
Convertendo 0,25pol.2 em m2:
AB.=
Wb
mTx
mA
pol
m
pol
m
polA
4
24
24
2
10.936,1
10.613,12,1
10.613,1
.37,39
1
.
.37,39
1
.25,0
−
−
−
=
=
=












=


TB
T
m
Wb
A
B
2,0
10.2
10.2
10.4 1
23
4
=
=== −
−
−
Exercícios
3. Para o circuito magnético em série
visto na figura abaixo, pede-se:
a) Calcular o valor de I necessário para
gerar um fluxo magnético =4.10-4 Wb.
b) Determinar µ e µr para o material
nessas condições.
Solução: 
a)
Do gráfico BxH, temos:
H(aço fundido) = 170A/m, logo: NI = Hl
I = Hl/N = (170A/m x 0,16m)/400
I = 68mA
b) µ = B/H = 0,2(T)/1.709 (A.esp./m)
µ = 1,176.10-3 (Wb/A.m)
Logo a permeabilidade relativa é:
µr = µ/µ0 = 1,176.10
-3/4..10-7
µr=935,83
Exercícios
4. O reator mostrado na Figura abaixo foi construído com um material
magnéticode permeabilidade relativa . A bobina de excitação possui 200
espiras. Calculemos a corrente na bobina de excitação necessária para estabelecer
uma densidade de fluxo magnético . É dada a permeabilidade do vácuo .
E as dimensões estão em cm.
3000=R
21,2 /Wb m )/(104 70 mH
−= 
i
200
espiras
5 520 10
2
0
5
5
Solução:
A solução do problema se resume em montar o circuito
elétrico análogo do problema magnético.
Assim, para este caso temos:
( ) ( )2 2,5 20 2,5 2 20 2 2,5 80 ou 0,8cm m=  + + +  −  =
2 4 25 10 50 ou 50 10S cm m−=  = 
Como conseqüência resulta: 
)/(10.44,42
10.50
8,0
.
104.3000
11 3
47
WbAesp
S
l
===
−−
Sendo , obtém-se:
2/2,1 mWbB = WbSB 44 10.6010.50.2,1. −− ===
Exercícios
Dessa forma, o circuito elétrico análogo é dado por:
( )wsAespR /1044.42 3=
wb41060 −=
i200=
Da análise do circuito elétrico análogo, obtemos:
Substituindo pelos seus valores, obtém-se:
ou ainda:
=Ni
43 10.60.10.44,42200 −=i
Ai 27,1=
Exercícios
5. A estrutura magnética da Figura abaixo é confeccionada de material magnético de permeabilidade
relativa . O número de espiras da bobina de excitação é 400 espiras. Determine a f.m.m. e a
corrente da bobina para estabelecer uma densidade de fluxo magnético no braço direito da
estrutura. Obs.: todas as dimensões são expressas em cm.
4000=R
2/5,0 mWb
i
400
espiras
5 1020 5
4
0
5
5
30 5
3
Solução:
O primeiro passo na resolução do problema, consiste em montar o circuito elétrico análogo, o qual
possui a mesma geometria que a estrutura magnética. Assim, para o problema em questão, o circuito
elétrico análogo é dado ao lado.
R
1
2R 3R
1
2 3
i400
Em seguida calculamos as 
relutâncias de cada trecho. 
Para o problema em questão 
resultam: 
)/(10.6,71
10.5.5
10)].5,2.240()5205,2.(2[
.
104.4000
11 3
4
2
7
1
1
1 WbAesp
S
l
=
−+++
==
−
−
−
)/(10.9,13
10.5.10
10)].5,2.240[(
.
104.4000
11 3
4
2
7
2
2
2 WbAesp
S
l
=
−
==
−
−
−
)/(10.5,87
10.5.5
10)].5,2.240()5,2305.(2[
.
104.4000
11 3
4
2
7
3
3
3 WbAesp
S
l
=
−+++
==
−
−
−
Exercícios
No braço direito da estrutura é dado , de modo que:
Da malha direita do circuito obtemos:
De modo que:
Aplicando-se a lei de Kirchoff para as correntes obtém-se:
Aplicando-se agora a lei de Kirchoff das tensões para a malha da esquerda, podemos escrever:
Resultando:
e também:
2
3 /5,0 mWbB =
WbSB 44333 10.5,1210.25.5,0.
−− ===
3322  =
Wb4
3
43
2 10.7,78
10.9,13
10.5,12.10.5,87 −
−
==
Wb4321 10.2,91
−=+= 
2211  +=Ni
AespNifmm 76210.7,78.10.9,1310.2,91.10.6,71 4343 =+== −−
A
N
fmm
i 9,1
400
762
===
Exercícios
6. A Figura abaixo mostra uma estrutura magnética confeccionada com material magnético de 
permeabilidade relativa , na qual foi introduzido um entreferro de comprimento 1 mm. Todas as 
demais dimensões estão em cm. Vamos calcular a corrente na bobina de excitação, a qual possui 500 
espiras, necessária para estabelecer um fluxo magnético no entreferro de .
2000=R
Wb410.5 −
i
500 espiras
1
m
m
2
2
1
2
2
22 6
Solução:
No circuito elétrico análogo
desta estrutura, além da fonte de f.m.m.
que produz o campo magnético devemos
inserir duas relutâncias em série; uma
relativa à porção do núcleo magnético e
outra devido ao entreferro, como mostra a
Figura ao lado.
R
1
R
2

500i
A partir da análise de malhas obtém-se:
)( 21 +=Ni
Exercícios
Na qual:
é a relutância do núcleo e:
é a relutância do entreferro.
Observe que apesar do entreferro ter apenas 1 mm, sua relutância, neste caso, é algo em
torno de 5 vezes maior que a relutância do núcleo.
Sendo obtemos:
Resultando:
.
WbAesp
S
l
/10.8,35
10.2.2
10)].1.212(2)161(2[
.
10.4.2000
1
.
1 4
4
2
7
1
1
1 =
−+++
==
−
−
−
WbAesp
S
l
/10.180
10).1,02)(1,02(
10.1
.
10.4
1
.
1 4
4
3
7
2
2
0
2 =
++
==
−
−
−
Wb410.5 −= 44 10.5.10)1808,35(500 −+=i
Ai 16,2=
Anexo 01: 
O Parâmetro Indutância
A indutância é uma característica dos campos magnéticos e foi descoberta
primeiramente por Faraday, em 1831. De um modo geral, indutância pode ser
caracterizada como aquela propriedade de um elemento do circuito pela qual a energia
pode ser armazenada num campo de fluxo magnético.
Um fator importante e diferenciador da indutância, contudo, é que ela aparece num
circuito apenas quando há uma corrente variável, ou mesmo um fluxo variável.
Para cobrir o assunto completamente, a indutância será analisada sob três pontos de
vista: a) de circuito; b) de energia e c) físico.
No entanto, um elemento do circuito possa ter indutância, em virtude de suas
propriedades geométricas e magnéticas, sua presença no circuito somente poderá ser
sentida, desde que haja uma variação da corrente no tempo.
O Parâmetro Indutância
a) Análise sob o ponto de vista de circuito
A relação entre tensão e corrente referente ao parâmetro indutância é expressa a
seguir:
dt
di
.LvL =
A equação mostra a diferença de potencial vL que aparece nos
terminais do parâmetro indutância, quando uma corrente variável
circula para o terminal “c” do circuito.
Note-se que a ponta da seta na variável vL está
mostrada no terminal “c”, indicando que este
terminal é, neste instante, positivo em relação ao
terminal “d”, pois o coeficiente angular (di/dt), ou
declividade, é positiva, caso contrário, a ponta da
seta estaria apontando para o ponto “d”
(coeficiente angular negativo).
v (t)
L
a
b c
d
VL
I
+
-
Figura 1
Eq.01
O Parâmetro Indutância
Qualquer elemento do circuito que apresente a propriedade de indutância é
denominado indutor e é designado pelo símbolo constante no circuito anterior. Como
elemento ideal, o indutor é considerado como não tendo resistência, embora, na
prática, deve ter a resistência do fio que constitui a bobina.
dt
di
v
L
L
= Volt. s / A ou 
Henrys (H)
A razão entre a diferença de potencial nos terminais do
indutor num determinado instante de tempo e a derivada
correspondente da função corrente-tempo, expressa o
parâmetro indutância.
 =
=
)t(
)0(
i
i
t
0
L dt.v.
L
1
di
dt.vL.
L
1
diExpressando a corrente no indutor em função da
tensão, nota-se que a corrente em um indutor é
dependente da integral da tensão através de seus
terminais, assim como a corrente na bobina no início da
integração i(0).
)0(idt.v
L
1
)t(i
t
0
L += 
Eq.02
Eq.03
O Parâmetro Indutância
Uma análise na equação (Eq. 04) abaixo revela uma propriedade importante da
indutância: a corrente num indutor não pode variar abruptamente, num tempo nulo,
pois uma alteração finita na corrente num tempo nulo requer que uma tensão infinita
apareça no indutor, o que é fisicamente impossível.
)0(idt.v
L
1
)t(i
t
0
L += 
Por outro lado, a equação (Eq. 05) revela que, num tempo nulo, a contribuição para a
corrente no indutor do termo com a integral é zero, de forma que a corrente
imediatamente antes (I-) e depois (I+) da aplicação da tensão no indutor é a mesma.
Portanto, pode-se considerar a indutância como tendo a propriedade de inércia.
dt
di
.LvL =
Eq.04 Eq.05
O Parâmetro Indutância
b) Análise sob o ponto de vista de energia
Supondo que um indutor tenha corrente inicial nula (i(0)=0A) . Então, se um corrente i
circula na bobina, na qual existe uma diferença de potencial vL, a energia total
recebida no intervalo de tempo de 0 a t é:



=






=
→=
i
0
t
0
t
0
L
di.i.LW
dt.i.
dt
di
.LW
dt.i.vW )J(Joule
Considerando o indutor como sendo ideal, a equação
anterior estabelece que o indutor absorve uma quantidade
de energia que é proporcional ao parâmetro indutância (L),
bem como, ao quadrado do valor instantâneo da corrente.
Desta forma, a energia é armazenada pelo indutor num
campo magnético, e é de valor finito e recuperável.)J(Joule2i.L.
2
1
W →=
Face ao fato, de que a energia associada com o parâmetro indutância aumenta e
diminui com a corrente, podemos concluir que o indutor tem a propriedade de ser
capaz de retornar energia à fonte da qual a recebe.
Eq.06
OParâmetro Indutância
A equação anterior revela que, uma forma alternativa de identificar o parâmetro
indutância é em termos da quantidade de energia armazenada no seu campo magnético,
correspondente à sua corrente instantânea. Assim, pode-se escrever que:
)H(Henry
2i
W.2
L →=
Logo, uma corrente constante resulta em uma queda de tensão nula nos terminais do
indutor ideal. Isso não é verdadeiro, em relação à energia absorvida e armazenada
no campo magnético do indutor.
A equação acima, confirma imediatamente esse fato. Uma corrente constante resulta
numa energia armazenada fixa. Qualquer tentativa de se alterar esse estado de
energia encontra uma resistência firme dos efeitos do armazenamento inicial de
energia.
Isso, novamente, reflete o aspecto inercial de indutância.
Já foi demonstrado que, para a diferença de potencial
existir nos terminais de um indutor, a corrente deve
variar.
Eq.07
O Parâmetro Indutância
c) Análise sob o ponto de vista físico
A tensão nos terminais de um indutor pode ser expressa, sob o ponto de vista de
circuito, em função da corrente que circula no indutor. Contudo essa mesma tensão
pode ser descrita pela Lei de Faraday em termos do fluxo produzido pela corrente e
pelo número de espiras (N) da bobina do indutor. Conseqüentemente, pode-se
escrever:
dt.di
dt.d.N
L
dt
d
.N
dt
di
.LvL

=

==
Nesses casos, onde o fluxo () é diretamente
proporcional à corrente i para todos os valores (isto é
resistor linear), essa última expressão se torna:
)H(
A
tWb
i
.N
L =
−






→

=
Aqui, o parâmetro indutância tem uma representação
híbrida, porque é em parte expresso em função da
variável do circuito (corrente i), e em parte, em função
da variável do campo (fluxo ).
)H(
di
d.N
L →

=
Eq.08
Eq.09
O Parâmetro Indutância
Para se evitar essa representação híbrida, substitui o fluxo por seu equivalente:
Onde a fmm é a força magnetomotriz que produz
o fluxo  no circuito magnético que tem relutância
.
==
i.N
Magnética'relutância
fmm
Se o núcleo é suposto como tendo um comprimento médio de “lm” metros e uma área
de seção transversal de “Am” metros quadrados, então a relutância magnética pode
ser escrita como:
Am.
lm

=
Onde µ é a permeabilidade, uma propriedade física do
material magnético.
Eq.10
Eq.11
O Parâmetro Indutância
Manipulando adequadamente as equações anteriores, resulta na expressão para o
parâmetro indutância, como sendo:
Uma análise da equação anterior revela alguns fatos interessantes sobre o parâmetro
indutância que não estão facilmente disponíveis quando essa variável é definida, tanto
do ponto de vista de circuito como de energia.
O que mais impressiona, é o fato de a indutância, como a resistência, ser dependente
da geometria das dimensões físicas e da propriedade magnética do meio. Isso é
importante porque nos diz o que pode ser feito para se alterar o valor de da
indutância L.
Desta forma, o parâmetro indutância pode ser aumentado de quatro formas: a)
aumentando o número de espiras; b) utilizando núcleo de ferro de maior
permeabilidade; c) reduzindo o comprimento médio do núcleo de ferro; e d)
aumentando a área de seção transversal do núcleo de ferro.

=

=
22 N
lm
Am..N
L
Eq.12
Bibliografia
1. Fundamentos de Máquinas Elétricas. Autor: Vincent DEL TORO
2. Máquinas Elétricas. Autor: A. E. FITZGERALD
3. Máquinas elétricas e Transformadores. Autor: Irving I. KOSOW
4. Apostila POLI/USP
5. Ciência e Engenharia de Materiais. Autor: W. D. CALLISTER