Comparação de Duas Populações Normais com Variâncias Desconhecidas

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COMPARAÇÃO DE DUAS POPULAÇÕES
NORMAIS COM VARIÂNCIAS DESCONHECIDAS
IGUAIS E DESIGUAIS: CASO AMOSTRAS
INDEPENDENTES.
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Campina Grande, 2017 1/14
Testes de hipóteses sobre a igualdade de médias de duas
populações normais.
Condições Necessárias
Sejam X e Y duas populações normalmente distribuı́das,
X ∼ N(µX , σ2X) e Y ∼ N(µY , σ2Y ),
em que µX , µY , σ2X e σ
2
Y são desconhecidos.
SejamX1, X2, ..., XnX e Y1, Y2, ..., YnY amostras, independentes uma
da outra, de X e de Y , respectivamente.
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Campina Grande, 2017 2/14
Variâncias desconhecidas e iguais
σ2X = σ
2
Y = σ
2
Como S2X e S
2
Y são dois estimadores não viesados de σ
2, podemos
combiná-los para obter um estimador comum
S2p =
(nX − 1)S2X + (nY − 1)S2Y
nX + nY − 2
,
que também é um estimador não viesado de σ2.
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Campina Grande, 2017 3/14
Procedimento Geral
Definição das hipóteses
1. Teste bilateral{
H0 : µX − µY = 0
H1 : µX − µY 6= 0
2. Teste unilateral à direita{
H0 : µX − µY = 0
H1 : µX − µY > 0
3. Teste unilateral à esquerda{
H0 : µX − µY = 0
H1 : µX − µY < 0
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Campina Grande, 2017 4/14
Escolha da Estatı́stica para o teste
Estatı́stica
Neste caso, utilizaremos a estatı́stica
T =
X − Y
Sp
√
1/nX + 1/nY
.
Se a hipótese nula H0 : µX = µY for verdadeira, a estatı́stica de teste
T =
X − Y
Sp
√
1/nX + 1/nY
∼ t(nX + nY − 2).
Ou seja, a estatı́stica de teste, sob a hipótese nula, segue uma distribuição
t de Student com (nX + nY − 2) graus de liberdade.
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Campina Grande, 2017 5/14
Região Crı́tica
Fixado o nı́vel de significância do teste (α) e supondo H0 verdadeira,
a região crı́tica padronizada do teste fica como:
a) RC = ]−∞;−tα[ ∪ ]tα;∞[ ;
b) RC = ]t2α;∞[ ;
c) RC = ]−∞;−t2α[ .
Conclusão
Se t0 ∈ RC, rejeitamos H0, caso contrário, não rejeitamos H0.
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Campina Grande, 2017 6/14
Exemplo
Duas técnicas de venda são aplicadas por dois grupos de vendedores:
a técnica A, por 12 vendedores, e a técnica B, por 15 vendedores.
Espera-se que a técnica B produza melhores resultados. Vamos testar,
ao nı́vel de 5%, se há diferenças significativas entre as vendas resultan-
tes das duas técnicas. Vamos supor que as vendas sejam distribuı́das
normalmente, com variância comum σ2, desconhecida.
No final de um mês, obtiveram-se os resultados para a técnica A: x =
68, s2X = 50. E os resultados para a técnica B: y = 76, s
2
Y = 75.
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Campina Grande, 2017 7/14
Exemplo
As hipóteses a serem testadas são:{
H0 : µX − µY = 0
H1 : µX − µY < 0.
A partir das duas amostras calculamos
s2p =
11× 50 + 14× 75
25
= 64,
t0 =
68− 76√
64
√
1/12 + 1/15
= −2, 58.
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Campina Grande, 2017 8/14
Exemplo
Fixando α = 0, 05 e consultando a Tabela t com 25 graus de liberdade
temos
RC = ]−∞,−1, 708[ .
Como t0 = 2, 56 pertence à RC, então rejeitamos H0, ou seja, existe
evidência de que a técnica B produz melhores resultados do que a
técnica A.
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Campina Grande, 2017 9/14
Variâncias desconhecidas e desiguais
σ2X 6= σ2Y
Quando a hipótese de igualdade de variâncias for rejeitada, temos que
sob a hipótese nula, que a estatı́stica T segue uma distribuição aproxi-
madamente t de Student com ν graus de liberdade.
T =
X − Y√
S2X/nX + S
2
Y /nY
≈ t(ν),
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Campina Grande, 2017 10/14
Variâncias desconhecidas e desiguais
em que
ν =
(A+B)2
A2/(nX − 1) +B2/(nY − 1)
,
na qual
A =
s2X
nX
, B =
s2Y
nY
.
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Campina Grande, 2017 11/14
Exemplo
Queremos testar as resistências de dois tipos de vigas de aço, X e Y.
Uma amostra de 15 vigas do tipo X forneceu uma média amostral de
70,5 e variância amostral de 81,6, enquanto que uma amostra de 20 vi-
gas do tipo Y forneceu uma média amostral de 84,3 e variância amos-
tral de 161,5. Foi realizado um teste F com nı́vel de 10% e rejeitamos
a hipótese de variâncias iguais. O interesse é testar
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Campina Grande, 2017 12/14
Exemplo
{
H0 : µX − µY = 0
H1 : µX − µY 6= 0.
A estatı́stica de teste
t0 =
−13, 8
3, 68
= −3, 75.
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Campina Grande, 2017 13/14
Exemplo
Os graus de liberdade
ν =
182, 66
2, 11 + 3, 43
= 32, 9,
assim vamos usar ν = 33. Fixando-se α = 0, 05, temos da Tabela t
que a
RC = ]−∞;−2, 0345[ ∪ ]2, 0345;∞[ .
Como t0 ∈ RC, rejeitamos a hipótese nula, assim há evidências de que
os dois tipos de vigas têm resistências médias diferentes.
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Campina Grande, 2017 14/14