Jogos Matemáticos

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JOGOS MATEMÁTICOS
CAPÍTULO 1 - O QUE SÃO E PARA QUE 
SERVEM AS FUNÇÕES POLINOMIAIS DO 1º 
GRAU?
Thuysa Schlichting de Souza
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Introdução
Você já reparou que muitas situações cotidianas envolvendo duas variáveis apresentam uma relação de
dependência entre seus valores? Por exemplo, o valor de uma conta de energia elétrica depende da quantidade
de luz gasta durante o mês; o consumo de combustível de um automóvel depende da quantidade de quilômetros
rodados; ou, ainda, o preço pago no envio de um pacote pelos Correios depende do seu peso. É por essas
situações que, neste capítulo, estudaremos um conceito que lhe permitirá descrever e analisar mais
detalhadamente essas relações: o de função.
Inicialmente, abordaremos as principais ideias e definições relacionadas ao estudo de funções, como plano
cartesiano, domínio, imagem, lei de formação e propriedades gráficas. De forma mais aprofundada,
conseguiremos identificar e analisar as funções polinomiais do 1º grau, um tipo particular de função que
apresenta diversas aplicações, especialmente na área de administração e de negócios em geral.
Os novos conceitos serão apresentados por meio dos jogos como Damas, Máquina de Função, Jogo da Velha e
Dorminhoco Matemático, os quais são releituras de jogos propostos por Borba (2008). Desse modo, poderemos
resolver problemas, analisar as regras e refletir sobre as melhores jogadas, ao mesmo tempo em que criamos
relações entre os componentes do jogo e os conceitos matemáticos em questão.
Assim, ao final do capítulo, você será capaz de responder algumas questões relacionadas ao assunto: o que
caracteriza uma função? Para que servem as funções polinomiais do 1º grau? Onde e como posso usá-las em
situações da vida real?
Vamos em frente!
1.1 Jogo de Damas e o sistema de coordenadas cartesianas
O jogo de Damas tem uma longa história que remonta ao antigo Egito. Trata-se de um jogo praticado em um
tabuleiro de 64 casas, alternadamente claras e escuras. Dois jogadores iniciam com 12 pedras cada, um munido
de pedras brancas e o outro de pedras pretas, podendo ser movidas apenas diagonalmente. O objetivo é capturar
ou imobilizar as peças do oponente (CBD, 2018). Dessa forma, por sua organização, é um jogo que estimula o
raciocínio lógico na busca das melhores soluções, o que tem grande valor para a matemática. Mas será que o jogo
de Damas possibilita a aprendizagem de algum conceito matemático específico? Como é possível usá-lo para
ajudar na compreensão da ideia de função?
Para respondermos essas perguntas, precisamos realizar uma adaptação nas regras para possibilitar a inserção
de alguns elementos matemáticos no contexto do jogo. Podemos entender, por exemplo, que cada casa será
identificada por de números, os quais indicam as linhas e as colunas do tabuleiro, conforme vemoscoordenadas 
na figura a seguir.
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Figura 1 - Tabuleiro do jogo de Damas.
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Sempre que uma jogada for realizada, o jogador deve anotar as coordenadas da casa de saída e da casa de
chegada. No movimento indicado pela flecha da figura, entendemos que a saída será dada pelo par ordenado 
, enquanto que a chegada será dada pelo par . O vencedor, além de capturar as peças do adversário,
conforme as regras usuais, precisa ter escrito corretamente todos os pontos encontrados.
Assim, após jogar de acordo com as regras modificadas, podemos refletir sobre as seguintes questões:
• nas coordenadas das casas de saída e de chegada, a ordem que você marcou as linhas e as colunas é 
importante? Por exemplo, os pares ordenados e representam a mesma casa?
• Se você está jogando com as peças brancas, como são descritos os pares ordenados que representam as 
casas que podem ser escolhidas para fazer um movimento? É possível que uma peça seja colocada na casa 
 em algum momento do jogo? Por quê?
Para melhor entendermos essas interrogações, vamos discuti-las na sequência, de forma que sejam
desenvolvidas as ideias de sistema de coordenadas cartesianas e de relação entre dois conjuntos. Aliás, vale
ressaltar que essas são noções importantes para se definir e representar graficamente uma função.
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ressaltar que essas são noções importantes para se definir e representar graficamente uma função.
1.1.1 O plano cartesiano
O sistema utilizado para indicar as casas de saída e de chegada no jogo de Damas é semelhante ao sistema de
, comumente denominado de , que é usado para representar pontoscoordenadas cartesianas plano cartesiano
em um plano.
O plano cartesiano é formado pela união de dois eixos perpendiculares entre si que se cruzam na origem e
dividem o plano, formando quatro regiões, denominadas quadrantes. O eixo horizontal é chamado eixo das
, enquanto que o vertical é denominado . Na figura a seguir, temos umaabscissas eixo das ordenadas
representação disso.
Figura 2 - O plano cartesiano e seus quatro quadrantes.
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Como você pode observar, no jogo de Damas, para se determinar a posição de uma peça no tabuleiro, primeiro se
indica a sua orientação em relação aos números azuis, que, por sua vez, indicam as colunas. Depois, sua
orientação se dá em relação aos números pretos, que indicam as linhas. Da mesma forma, um ponto qualquer no
plano cartesiano é localizado por meio de duas orientações que formam um par ordenado , em que é a
localização em relação ao eixo das abscissas e é a localização em relação ao eixo das ordenadas.
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Figura 3 - Representação das peças do tabuleiro como pontos no plano cartesiano.
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Sabendo disso, suponha que um jogador irá mover a peça branca da casa destacada em vermelho na figura
acima. Qual será o par ordenado da casa de saída que ele deve anotar? Lembre-se, inclusive, que a primeira
coordenada é dada pelos números azuis, e a segunda pelos números pretos. Portanto, o par ordenado que deverá
ser registrado é o .
Observe, ainda, que a posição da estrela azul é indicada pelo par ordenado . No plano cartesiano, o ponto A
representa a casa da estrela, enquanto que o ponto B representa a casa de saída do movimento. Daí, conclui-se
que, para quaisquer dos números e , o par ordenado é diferente do par ordenado .
Com base nessa conclusão, podemos considerar alguns pontos importantes:
• os pontos localizados sobre o eixo têm o valor da abscissa nulo, ou seja, são da forma ;
• os pontos localizados sobre o eixo têm o valor da ordenada nulo, ou seja, são da forma ;
• convencionou-se que os pontos posicionados sobre os eixos das abscissas ou das ordenadas não 
pertencem a nenhum quadrante;
• o sinal de e o sinal de dependem do quadrante em que o ponto está situado, conforme vemos no 
quadro a seguir.
VOCÊ O CONHECE?
O filósofo e matemático francês René Descartes foi responsável por formalizar o sistema de
coordenadas cartesianas, em 1637, no apêndice “A geometria” do seu livro “O discurso do 
método”. Descartes começou a estudar matemática em 1618, e, ao longo da vida, escreveu
diversas obras sobre o pensamento lógico, a filosofia e a matemática. Em 1649, ele foi para a
Suécia atuar como tutor da Rainha Cristina, porém morreu de pneumonia após alguns meses
(STEWART, 2014).
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Quadro 1 - Sinais em relação aos quadrantes.
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Agora que você já sabe sobre o que se trata o sistema de coordenadas cartesianas e como localizar pontos no
plano, essas ideias serão utilizadas em situações para representar graficamente as relações entre dois conjuntos,
como veremos na sequência.
1.1.2 Relação entre conjuntos
Para compreendermos a relação entre conjuntos, vamos retomar as anotações sobre as casas de saída e de
chegada do jogo de Damas: como foram descritos os pares ordenados que representam as casas escolhidas para
se movimentar?
Para facilitar essa análise, primeiro considere somente as 12 casas iniciais de saída das peças brancas. Os pares
ordenados que as representam podem ser dispostos no plano cartesiano, conforme nos mostra a figura a seguir.Figura 4 - Pares ordenados que representam as peças brancas destacadas no tabuleiro.
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Observe que os pares ordenados escritos em azul no plano cartesiano apresentam valores ímpares, tanto para as
coordenadas do eixo das abscissas quanto para as coordenadas do eixo das ordenadas. Por outro lado, os pares
ordenados escritos em vermelho possuem sempre valores pares nas coordenadas do eixo das abscissas e das
ordenadas. Isso acontece porque as peças só podem ser colocadas sobre as casas pretas, as quais possuem a
característica de apresentarem os da coluna e da linha . Seguindo essa ideia, é valores com a mesma paridade
impossível que uma peça seja movimentada para a casa , por exemplo. Então, pode-se dizer que existe uma 
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impossível que uma peça seja movimentada para a casa , por exemplo. Então, pode-se dizer que existe uma 
 entre os números que formam os pares ordenados que representam a localização das casas de saída erelação R
de chegada no jogo.
Agora, denote de A o conjunto dos números que identificam as colunas do tabuleiro e indique por 
. Chame de B o conjunto dos números que determinam as linhas do tabuleiro e indique
por . Assim, temos a relação R de A em B, que é dada pelo par ordenado , tal que e 
. Além disso, existe a condição que deve ter a mesma paridade de .
Podemos, ainda, compreender o assunto a partir de outro exemplo: considere os conjuntos e 
. O conjunto é uma relação de D em E, pois todo par ordenado é da
forma , sendo e . Com isso, é possível visualizar a relação por meio do plano cartesiano ou por
um diagrama de flechas, como na figura a seguir.
Figura 5 - Representação da relação R1 no plano cartesiano (à esquerda) e no diagrama de flechas (à direita).
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Note que a relação R1 apresenta uma característica diferente da relação R do caso das casas do tabuleiro do jogo
de Damas. Em R1, tem-se que do conjunto D está do conjunto Etodo elemento associado a um único elemento
É essa particularidade que caracteriza R1 como uma Recorde, ainda, que isso não se aplica à relação R,. função.
pois cada elemento do conjunto A está sendo associado a mais de um elemento do conjunto B.
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O conceito de função é muito importante na matemática, pois permite a descrição de situações reais e fenômenos
naturais. No próximo tópico, vamos estudá-lo de forma mais detalhada e aprofundada, relacionando-o ao jogo
Máquina de Função.
1.2 Jogo Máquina de Função e o conceito de função
Você foi apresentado ao conceito de função por meio de relações entre dois conjuntos. Agora, evidenciaremos
outra maneira de pensar uma função: considerá-la como uma máquina. O jogo Máquina de Função possibilitará
uma melhor compressão quanto a ideia, relacionando funções com representações numéricas.
Mas como funcionará o jogo?
Na figura a seguir, são retratadas quatro máquinas que processam e calculam determinados números,
produzindo, assim, números de saídas diferentes. Nesse caso, devemos analisar cada situação e descobrir qual é
a regra de produção da máquina. Não há adversário no jogo e, portanto, não haverá vencedores ou perdedores,
mas você pode se auto desafiar tentando achar a solução o mais rápido possível.
VOCÊ QUER VER?
No vídeo , um jovem aprende o segredo do monge GuidoDescobrindo o algoritmo de Guido
para compor músicas no estilo Gregoriano. O vídeo trata de alguns conceitos musicais e mostra
uma possibilidade de composição algorítmica utilizando os conceitos matemáticos de relação
entre conjuntos e funções. Para assisti-lo, acesse: <https://www.youtube.com/watch?
>.v=HCr6Ys0zvr8
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Figura 6 - Jogo Máquina de Função.
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Investigue cada uma das situações dadas e perceba que em cada uma delas se busca responder a mesma
questão: como uma quantidade depende de outra? Mais especificamente, como os valores da saída dependem
dos valores da entrada?
1.2.1 O conceito de função
Como vimos, é possível considerar uma função como uma máquina. Para exemplificar, considere a matéria-
prima de uma máquina , ou seja, como um número que pode ser processado por . Quando entrar na
máquina, ele será modificado de acordo com a regra que define a função, e a máquina produzirá uma saída .
Na sequência, chame de o conjunto de números de entrada para a máquina, denote de domínio lei de formação
a regra que descreve como esses dados devem ser processados, e de os valores imagem de saída da
máquina.
Assim, quem serão esses elementos em ?
Para buscarmos uma resposta, analise a função . Os números que entram na máquina formam o conjunto
domínio, então, . Os números que saem da máquina, por sua vez, formam o conjunto imagem,
assim, podemos escrever que . E agora? Como podemos identificar a lei de formação?
Cada número de entrada determina um único número de saída, que é exatamente seu triplo. Em outras palavras,
cada valor da imagem é igual à três vezes o valor de um número do domínio, ou seja, ; ; ;
e . Na matemática, convencionou-se utilizar o símbolo para representar um número arbitrário no
domínio de uma função . Portanto, chamando de um número queentra na máquina e de sua respectiva
imagem, a lei de formação será da forma .
Utilizando o mesmo princípio para as demais máquinas de função, temos que:
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Tabela 1 - Elementos de cada máquina do jogo Máquina de Função.
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Considerando a ideia de máquina, pode-se definir uma função como uma lei que associa — a cada elemento 
em um conjunto D — exatamente um elemento, chamado , em um conjunto E (STEWART, 2013). Dado isso,
precisamos ressaltar nomenclaturas e notações importantes:
• O conjunto D é chamado de da função;domínio 
• O conjunto E é chamado de da função;contradomínio 
• O conjunto de é o conjunto de todos os valores possíveis de , obtidos quando varia por imagem 
todo o domínio;
• Uma notação comumente usada para representar uma função de D em E é: . Lê-se: função que 
associa valores do conjunto D a valores do conjunto E;
• Outra notação usual é , que quer dizer que é a imagem de gerada pela função . Neste 
caso, denota-se de e de ;variável independente variável dependente
• Em geral, utiliza-se letras minúsculas para denotar funções e variáveis. Por exemplo, a notação se 
refere à função de variável . No entanto, existe uma forma mais difundida para denotar funções: a letra 
 para indicar a função, para a variável independente e para a variável.
Vejamos alguns exemplos resolvidos utilizando o conceito de função.
• O primeiro será retomado da função dada na relação R1: o domínio de R1 é dado pelo conjunto 
e o contradomínio pelo conjunto . O conjunto imagem é formado apenas 
pelos elementos do conjunto E, que foram gerados por elementos do domínio, ou seja, . 
Note que, aqui, o conjunto imagem não é igual ao contradomínio. A lei de formação que associa, então, 
cada elemento a um único elemento é .
• Seja e : o domínio da função é o conjunto 
e o contradomínio é o conjunto . O conjunto imagem é formado 
pelos números gerados do cálculo do “quadrado” de cada elemento do domínio, assim, . 
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VOCÊ SABIA?
A ideia de função foi sendo desenvolvida por diversos matemáticos ao longo do tempo até se
tornar o que conhecemos hoje. Podemos destacar nesse meio os trabalhos do matemático
suíço Leohnard Euler, que, na metade do século XVIII, concebeu a ideia de denotar funções
pelas letras do alfabeto, tornando possível trabalhar com funções sem apresentar fórmulas
específicas, gráficos ou tabelas (ANTON; BIVENS; DAVIS, 2014).
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Note que dois valores diferentes do domínio apresentam a mesma imagem: e . 
Esse fato não descaracteriza a função, pois a condição de cada elemento do domínio possui uma única 
imagem contínua mantida.
• Seja e : o domínio da função é todo o conjunto dos números reais ( ) e o 
contradomínio também é o conjunto dos reais. Perceba que, então, o domínio não é mais representado 
por um conjunto finito de pontos, e, porisso, não é possível descrever o conjunto imagem pontualmente 
como nos exemplos anteriores. Dessa forma, a imagem da função é o conjunto dos valores reais gerados 
pelas operações “o quíntuplo mais 2”. Assim, . Além disso, você pode 
escolher valores reais arbitrários do domínio para determinar alguns valores do conjunto imagem. Por 
exemplo:
Agora, pense na questão: qual é o elemento do domínio de que possui o número 97 como sua imagem?
O que se quer descobrir é o elemento que satisfaça a condição , ou seja, . Assim,
resolvendo a equação, temos que: . Portanto, .
Quando uma função tem como o conjunto dos reais, dizemos que se trata de uma .contradomínio função real
Se o da função é o conjunto dos reais ou um subconjunto dos reais, dizemos que a função édomínio real de
. Vamos entender melhor quanto as representações de uma função a seguir.variável real
1.2.2 Representações de uma função
Segundo Stewart (2013), é possível representar uma função de quatro maneiras: verbalmente, quando são
descritas com palavras; numericamente, por meio de uma tabela de valores; visualmente, por meio de um
gráfico; e algebricamente, utilizando-se uma fórmula explícita. Conseguir transitar entre essas quatro formas de
representação é bastante útil para se obter um entendimento adicional da função. Algumas funções são descritas
mais facilmente por um método do que pelo outro, mas comumente são caracterizadas por meio de um gráfico e
de uma fórmula algébrica.
Lembre-se de que toda função é um tipo especial de relação. Sendo assim, a ideia de representá-la utilizando
pontos no plano cartesiano continua válida, e o gráfico consistirá de todos os pontos , tais que com 
pertencente ao domínio da função. Em outras palavras, se for uma função com domínio D, seu gráfico será 
. Veja o gráfico da função e da função , respectivamente,do último exemplo:
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Figura 7 - Gráfico das funções.
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Recorde, ainda, que o domínio da função é o conjunto e que o conjunto imagem é 
. Observe que os valores do domínio estão indicados no eixo das abscissas, enquanto que os valores da imagem
estão representados no eixo das ordenadas. Assim, o gráfico é dado pelo conjunto de pares ordenados 
.
Como existem apenas três elementos no domínio da função para serem relacionados com elementos do
contradomínio, é relativamente simples construir o gráfico da função, mas quando o domínio for o conjunto dos
números reais, como será o procedimento de construção do gráfico?
Não é possível calcular todos os pares ordenados, como foi feito em , quando o domínio é um conjunto infinito.
Dessa forma, algumas informações sobre o gráfico poderão ser obtidas com o cálculo de alguns pares ordenados,
mas outras técnicas precisão ser empregadas para que seja possível esboçá-lo precisamente. Por exemplo, o fato
de o gráfico da função ser representado por uma reta é uma característica que pode ser identificada apenas ao
se observar sua lei de formação.
Como , podemos observar que essa função apresenta sua lei de formação da forma ,
VOCÊ SABIA?
Atualmente existem diversos recursos computacionais disponíveis para a construção de
gráficos de funções. Alguns exemplos são o Excel, o Maple, o Wolframalpha e o GeoGebra. Este
último é um gratuito que, além da visualização de gráficos de funções, tambémsoftware
permite a análise de seus elementos. Mais informações podem ser consultadas no : <site
>.https://www.geogebra.org/
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Como , podemos observar que essa função apresenta sua lei de formação da forma ,
 sendo númerosem que e . Funções que podem ser escritas dessa maneira — com os coeficientes e 
reais e — representam um tipo especial de função, chamado de .função polinomial do 1º grau
A função polinomial do 1º grau foi estudada pelos matemáticos ao longo do tempo. Verificou-se uma série de
características e padrões que toda função desse mesmo tipo apresenta. Isso facilita na construção gráfica e na
análise das funções.
Vejamos alguns exemplos de funções polinomiais do 1º grau:
Vale destacarmos que, em muitos casos, o domínio da função polinomial do 1º grau não é especificado. Assim,
como o conjunto é o “maior” conjunto numérico para os quais é possível encontrar , você pode assumir
que o domínio será . Nos livros de cálculo, as funções polinomiais do 1º grau com variável real são comumente
chamadas de . E, mais especificamente, as funções da forma funções afim são
denominadas de , como é o caso da função funções lineares .
Veja uma situação prática que utiliza a ideia de função polinomial do 1º grau na análise da questão.
Para se calcular as contas de água e luz, o valor da corrida de um táxi e o custo de fabricação de um produto, por
exemplo, utiliza-se as funções polinomiais do 1º grau. No próximo tópico, você estudará mais detalhadamente
suas características e aprenderá a esboçar o gráfico desse tipo de função, utilizando suas propriedades.
CASO
Laura trabalha como vendedora na loja América, que é especializada em vendas de
eletrodomésticos. Seu salário é determinado por duas parcelas: a primeira se trata do salário
base (SB) de R$ 600,00 mensais, e a segunda é uma quantia variável (SV) calculada pela
porcentagem de 12% do valor total vendido por ela em um mês .
Para determinar quanto será seu salário no final do mês, Laura precisa considerar as duas
parcelas, ou seja, somar seu salário base com a parte variável. Note que esta é dada pela
seguinte : .função linear
Supondo que Laura vendeu R$ 20.000,00 em determinado mês, sua comissão será calculada na
forma: . Sendo assim, ela receberá a quantia de R$ 2.400,00 de comissão, mais seu salário base
no valor de R$ 600,00, obtendo R$ 3.000,00 de salário total no mês em questão.
Portanto, Laura consegue calcular seu salário mensal utilizado a seguinte função polinomial
: . Observe, ainda, que ela receberá R$ 600,00, mesmo que não venda nenhumdo 1º grau
produto, pois, para , temos que .
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1.3 Jogo da Velha e a função polinomial do 1º grau
Você já conhece o conceito de função e seus elementos principais, além das formas de representá-las e como
construir gráficos para funções mais simples com domínio finito. Agora, utilizaremos esses conhecimentos sobre
função como base para compreendermos a função polinomial do 1º grau, que serve de modelo para descrever
muitas situações reais.
O jogo que nos auxiliará no desenvolvimento de como construir gráficos e resolver problemas envolvendo esse
tipo de função é o jogo da Velha, o qual também faremos modificações para possibilitar a inserção de conceitos e
problemas matemáticos em suas regras.
Por se tratar de um jogo popular, provavelmente você já tenha jogado sua versão tradicional. Para isso, é
utilizado um tabuleiro de 3x3 posições, em que dois jogadores fazem suas marcas durante as rodadas. O jogador
que inicia a partida utiliza o símbolo “X”, e o segundo utiliza o símbolo “O”. O jogo inicia com o primeiro jogador
colocando uma marca no tabuleiro, depois, o segundo jogador faz a sua, e assim sucessivamente até que um dos
jogadores vença ou até que ocorra um empate. Um jogador vence quando coloca três símbolos em linha, em
coluna ou na diagonal principal do tabuleiro.
A particularidade do jogo da Velha “matemático” está no fato de que só é possível marcar um símbolo no lugar
desejado mediante a resposta correta de uma questão. O tabuleiro utilizado apresenta as linhas identificadas por
números e as colunas indicadas por letras. Dessa forma, uma posição será representada por uma letra e um
número. Por exemplo, na figura a seguir, temos que o símbolo “X” está na posição B2.
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Figura 8 - Tabuleiro do jogo da Velha.
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Ao escolher uma posição para marcar seu símbolo, o jogador deve buscar uma questão que será identificada pelo
mesmo par de letra e número da posição escolhida. Em seguida, deve-se resolver corretamente a questão
indicada para colocar a marca na posição desejada. Se a resposta não for correta, o adversário marcará a posição
com o símbolo dele.A tabela a seguir apresenta questões que exigirão o domínio de conhecimentos relacionados à função polinomial
do 1º grau. Quando o domínio não for especificado, assume-se que ele seja o conjunto dos números reais. Porém,
quando a questão tratar de uma situação real, é importante verificar o que a variável está representando, para,
assim, determinar um domínio coerente com a situação.
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Tabela 2 - Questões do jogo da Velha.
Fonte: Elaborada pela autora, 2018.
Na sequência, veremos com maior profundidade a resolução de cada questão apresentada, usando os
conhecimentos que você já possui sobre funções em geral.
1.3.1 Reconhecimento do zero da função
Na tabela anterior, obtivemos algumas questões que devem ser respondidas. Nas questões A1, A2 e A3 é
solicitado que seja determinado o zero das funções. Para isso, precisamos verificar que as três funções dadas são
funções polinomiais do 1º grau, pois todas possuem a forma , com os coeficientes reais e :
Então, as questões do tipo A pedem que seja determinado o zero de funções específicas: das polinomiais do 1º
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Então, as questões do tipo A pedem que seja determinado o zero de funções específicas: das polinomiais do 1º
grau. Em outras palavras, devemos achar qual é o número do domínio da função que satisfaça a condição 
.
Resolvendo a igualdade para cada função em A1, A2 e A3, temos:
Note que é possível calcular o zero da função polinomial do 1º grau de maneira generalizada, resolvendo a
equação . Dito de outro modo, o zero será sempre um número da forma , quando 
, com . Contudo, você deve estar se perguntando: por que preciso calcular o zero de uma
função? Para que serve esse número? Antes de compreendermos a relação do zero da função polinomial do 1º
grau, precisamos entender a análise de gráficos e do sinal das funções. 
Nas questões B1, B2 e B3 é solicitado que sejam construídos os gráficos das funções apresentadas. Observe que
as três funções também são funções polinomiais do 1º grau devido à característica das suas leis de formação.
Na questão B1, a função dada é . Para a construção do gráfico, inicialmente se atribui valores arbitrários
do domínio à variável e se calcula o valor de . Como já foi visto, o gráfico será o conjunto de todos os
pares ordenados .
Figura 9 - Construção gráfica da função identidade.
Fonte: Elaborada pela autora, 2018.
Observe que os pares ordenados obtidos representam pontos que estão alinhados no gráfico. O domínio da
função é o conjunto e está representado por todos os valores do eixo das abscissas. Assim, o gráfico será uma
reta oblíqua aos eixos das abscissas e das ordenadas. A função , por sua vez, apresenta o coeficiente 
e o coeficiente , portanto, trata-se de uma função linear. O fato do coeficiente ser igual a 1 faz a função
receber um nome especial: . Note que seu gráfico é o conjunto dos pares ordenados função identidade ,
para , que gera uma reta, que é a bissetriz do primeiro e do terceiro quadrantes.
Na questão B2 é indicada a função polinomial do 1º grau . Os coeficientes são e .
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para , que gera uma reta, que é a bissetriz do primeiro e do terceiro quadrantes.
Na questão B2 é indicada a função polinomial do 1º grau . Os coeficientes são e .
Figura 10 - Construção gráfica da função f(x) = 3x - 4.
Fonte: Elaborada pela autora, 2018.
Lembre-se que uma reta é definida por meio de dois pontos, com isso, o gráfico de uma função polinomial do 1º
grau fica completamente determinado a eles. Agora, utilizando a ideia para a construção do gráfico da função 
, dada em B3, podemos encontrar uma resposta.
Primeiro, escolha dois números reais para substituir na função e encontre dois pares ordenados. Marque-os no
plano cartesiano e ligue-os, formando uma reta que representa o gráfico de . A escolha dos dois números do
domínio pode ser feita de forma arbitrária, mas se costuma optar por indicar os pares ordenados que cortam os
eixos das abscissas e das ordenadas. Ou seja, procura-se o valor de quando e o valor de quando 
. Veja no caso da função :
• Para , tem-se que . Portanto, um ponto do gráfico é .
• Para , tem-se que . Portanto, , e temos mais um ponto do gráfico, que é 
representado pelo par ordenado .
Note, ainda, que o par ordenado sempre fará parte do gráfico de uma função polinomial do 1º grau 
.
Temos, por fim, as questões C1, C2 e C3, em que são apresentados diferentes problemas que precisam ser
resolvidos utilizando os conhecimentos sobre função polinomial do 1º grau até aqui estudados.
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No C1, lidamos com o preço a ser pago em uma corrida de táxi, considerando dois valores: um fixo de R$ 3,45,
que corresponde à bandeirada; e um valor variável que custa R$ 1,82, contado a cada quilometro rodado.
Utilizando esses dados, é possível construir uma tabela que permite melhor visualização da relação entre
quilômetros rodados e valor pago.
Tabela 3 - Relação entre quilômetros rodados e valor pago em uma corrida de táxi.
Fonte: Elaborada pela autora, 2018.
Observe que o valor a ser pago depende da quantidade de quilômetros rodados pelo táxi. Em outras palavras, a
variável independente será a quilometragem realizada, enquanto que a variável dependente será o valor a
ser pago. Dessa forma, a função será .
Para calcular o preço de uma corrida de 12 quilômetros rodados, basta substituirmos o valor no lugar de : 
. Assim, o resultado é que o passageiro pagará um valor de R$ 25,29 em uma
corrida de 12 quilômetros.
Observe, além disso, que no segundo item da questão é pedida a distância percorrida por um passageiro,
sabendo-se o valor pago. Veja que, nesse caso, é necessário encontrar um valor para uma já determinada,
que é o valor 43,49. Então: . Portanto, um
passageiro que pagou R$ 43,49 pela corrida de táxi, conforme estipula o problema, percorreu uma distância de
22 quilômetros.
No segundo problema, vamos lidar com as ideias de custo variável e custo fixo. Sabe-se que em uma empresa o
VOCÊ SABIA?
Existem diretivas que podem nos ajudar na análise de problemas matemáticos. Após ler o
enunciado de um problema, é possível escolher uma letra para cada variável envolvida na
questão. Depois, precisamos encontrar uma expressão para a quantidade desconhecida. Utiliza-
se, então, as condições do problema para escrever a quantidade desconhecida como uma
função de uma variável. Observe, contudo, as restrições ao domínio de , pois podem existir
condições físicas que precisem ser consideradas (TAN, 2007).
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No segundo problema, vamos lidar com as ideias de custo variável e custo fixo. Sabe-se que em uma empresa o
custo fixo mensal é igual a R$ 3.900,00 e que o custo de produção por unidade é R$ 13,00. Além disso, é dado que
a quantidade fabricada e vendida no mês é de 380 unidades. Pede-se, portanto, o custo total mensal.
Mas o que é o custo total mensal de um produto?
Devemos ter em mente que, para se fabricar um produto, existe um , que é constituído por parcelascusto fixo
que não dependem da quantidade produzida, ou seja, um conjunto de despesas que a empresa precisa pagar
mesmo que parasse de produzir. Além dele, existe, ainda, um , que é formado por parcelas quecusto variável
dependem da quantidade de produto produzida, pois são custos diretamente ligados à produção. Dessa forma, o 
 de produção precisa considerar tanto o custo variável quanto o custo fixo (LAPA, 2012).custo total
Assim, para resolver a questão, note primeiro que são dadas as informações:
• Custo fixo ;
• Custo de produção por unidade ;
• Quantidade produzida no mês .
Observe que o custo total de produção depende da quantidade de produtos fabricados no mês. Isto é, a variável
independente será a quantidade produzida, enquanto que a variável dependente, a qual chamaremos de ,
será o custo total. Assim, a função será . Como a questão pede o valor do
custo total mensal, sabendo-se a quantidade fabricada no mês, basta substituirmos por 380, em que teremos: 
. Isto é, R$ 8.840,00.
Por fim, o último problema aplicado das funções polinomiais do 1º grau também apresentauma situação
envolvendo os custos de uma empresa. São dados o custo fixo de fabricação, o custo de produção por unidade e o
preço de venda. Pede-se, então, a quantidade de produto necessária para que a empresa tenha um lucro total de
R$ 526,00. Assim, para resolvermos a questão, observe as informações recolhidas do enunciado:
• Custo fixo ;
• Custo de produção por unidade ;
• Preço de venda por unidade .
É importante perceber que o lucro total (L) de uma empresa é obtido pela diferença entre a receita da empresa e
o custo total de produção, lembrando que a receita (R) é a quantia recebida pela venda da quantidade do
produto, ou seja, . Além disso, na questão C2 já foi visto que 
. Portanto, o lucro total será dado pela função: .
O problema da pergunta é a quantidade de produto necessária para que se tenha . Resolvendo a
equação, temos que: .
A partir dessas resoluções, conseguimos reconhecer o zero, construir gráficos a partir da determinação de dois
pontos e resolver problemas envolvendo as funções polinomiais do 1º grau. Contudo, é importante saber
relacionar esses conhecimentos: o que os pontos que cruzam os eixos das abscissas e das ordenadas podem
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VOCÊ QUER LER?
As situações propostas no jogo da Velha mostram alguns exemplos de como as funções
polinomiais do 1º grau comparecem em problemas ligados ao desempenho financeiro de uma
empresa. Se você tem interesse em conhecer outras aplicações, com um mínimo de teoria e
foco apenas em temas que são abordados em economia e áreas afins, a leitura do livro “A
Matemática Aplicada à Economia”, escrito por Lília Ladeira Veras, pode ser uma ótima opção
de conhecimento.
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relacionar esses conhecimentos: o que os pontos que cruzam os eixos das abscissas e das ordenadas podem
dizer sobre a lei de formação da função polinomial do 1º grau? Qual é o significado do zero da função no gráfico?
Vamos entender melhor sobre isso a partir de agora.
1.4 Jogo Dorminhoco Matemático e o gráfico da função 
polinomial do 1º grau
A partir de agora, estudaremos sobre como relacionar os conhecimentos algébricos de função polinomial do 1º
grau com os conhecimentos gráficos. Um exemplo é o reconhecimento do zero da função no gráfico e a relação
dos valores dos coeficientes com o estudo do sinal da função. O jogo que nos auxiliará no desenvolvimento do
conteúdo deste tópico será o Dorminhoco Matemático.
O Dorminhoco Matemático é um jogo de cartas que pode ser jogado em grupos de três ou mais pessoas. Cada
jogador recebe, inicialmente, três cartas aleatórias, exceto aquele que começar o jogo: este dever receber quatro
cartas. As cartas, então, são divididas em três categorias: função, zero da função e gráfico, mais uma carta
chamada “dorminhoco”, que é o ônus do jogo. Quem recebê-la, deve ficar uma rodada sem poder passá-la para
frente.
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Figura 11 - Cartas do jogo Dorminhoco Matemático.
Fonte: Elaborada pela autora, 2018.
A dinâmica é a seguinte: o primeiro jogador escolhe uma de suas cartas e a passa para a pessoa à sua esquerda. O
jogo prossegue dessa forma, com um jogador passando uma carta para o seguinte, até que alguém forme uma
trinca de cartas. Quando isso acontecer, a pessoa deve baixar suas cartas discretamente e os demais jogadores
devem fazer o mesmo. O último a baixar suas cartas será o “dorminhoco”, ou seja, o perdedor do jogo.
Uma trinca será composta por uma carta de cada categoria e devem estar relacionadas entre si. O gráfico deve
corresponder à função dada pela lei de formação, assim como o zero da função polinomial do 1º grau. Vale
lembrarmos que, como o domínio não foi definido, deve-se considerá-lo sendo o conjunto . Você deverá saber
interpretar o gráfico da função polinomial do 1º grau para conseguir relacionar as cartas corretamente e,
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interpretar o gráfico da função polinomial do 1º grau para conseguir relacionar as cartas corretamente e,
consequentemente, fazer uma trinca. Por isso, vamos analisar as trincas dadas na figura anterior e discutir as
relações possíveis entre cada representação.
1.4.1 Os coeficientes e variação da função
Primeiramente, vale recordamos que o gráfico de uma função com , com e domínio , é
sempre representado por uma reta, sendo que bastam dois pontos para ser possível esboçar o seu gráfico.
Recorde, ainda, que o zero da função é o número real , tal que , e, no caso da função polinomial do 1º
grau, será um número real da forma . Agora que deixamos isso claro, vamos analisar as funções indicadas
separadamente para identificarmos a relação entre os coeficientes da função e sua variação (crescimento ou
decrescimento) em cada caso.
Na função , o zero será: . Portanto, o par ordenado está no gráfico da função e
representa o ponto onde a reta cruza o eixo das abscissas. Para que seja investigada a variação da função e se
visualize como os valores de se comportam quando se aumenta os valores de , faremos uma tabela:
Tabela 4 - Valores da função f(x) = 2x - 1.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2018.
Note que, quando se aumenta o valor de , o correspondente valor de também aumenta. Ou seja, para
quaisquer elementos e pertencentes ao domínio da função, tem-se que, se , então, .
Dessa forma, a função é crescente.
Na segunda função, , o zero da função será . Nesse caso, o par ordenado representa o
ponto onde a reta cruza o eixo das abscissas. Da mesma forma que foi feito no caso anterior, será investigada a
variação da função por meio da tabela:
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Tabela 5 - Valores da função f(x) = -2x + 5.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2018.
Observe que, quando se aumenta o valor de , o correspondente valor de diminui de valor. Assim, para
quaisquer elementos e pertencentes ao domínio da função, tem-se que, se , então, . Dessa
forma, a função é decrescente.
Por fim, temos . Lembre-se que essa função é linear, pois o coeficiente tem valor nulo. Dessa maneira,
o zero da função é , e o par ordenado faz parte do gráfico da função. Esse é o ponto que chamamos 
, onde a função cruzará o gráfico. Essa, inclusive, é uma característica das funçõesorigem do plano cartesiano
lineares que permite identificar a lei de formação da função apenas olhando o gráfico. Ou seja, se o gráfico é dado
por uma reta que passa pela origem, trata-se de uma função linear.
De todo modo, com essa função também será investigada sua variação com a construção de uma tabela:
Tabela 6 - Valores da função.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2018.
Observe que, quando se aumenta o valor de , o correspondente valor de também aumenta de valor, como no
caso da . Dessa forma, a função é decrescente.
De modo geral, é possível afirmar que uma função polinomial do 1º grau, , é:
• crescente quando o coeficiente de é positivo, ou seja, ;
• decrescente quando o coeficiente de é negativo, ou seja, .
Agora, voltando na figura das cartas do jogo Dorminhoco, observe a representação gráfica de cada função e o que
acontece com os valores de antes e depois do zero da função. Em outras palavras, perceba o que acontece
com os valores da imagem da função a partir do ponto em que corta o eixo das abscissas. Para funções
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crescentes, temos que e . No caso das funções decrescentes, vale a relação 
e .
Com isso, é possível afirmar que a reta que representa uma função polinomial do 1º grau no gráfico que
estudamos corta o eixo das abscissas em um único ponto, o qual é indicado pelo par ordenado . Quando a
reta está “desenhada” abaixo do eixo das abscissas, a função é negativa; e quando está acima, a função é positiva.
Para se fazer esse estudo de sinal, é necessário compreendermos a variação da função, ou seja, se a função é
crescente ou decrescente. Isso pode ser visto na lei de formação pelo sinal do coeficiente .
As funções polinomiais do 1º grau nos ajudam a resolver muitos problemas cotidianos. Uma análise detalhada da
sua lei de formação e da sua representação gráfica pode auxiliar na tomada de importantes decisões. Agora, você
já conhece esse tipo especial de função, bem como suas características principais,estando munido de
importantes ferramentas para interpretar gráficos e identificar situações-problema envolvendo essas funções.
Síntese
Neste capítulo, você estudou o conceito de função, o qual é considerado um dos mais importantes da matemática,
principalmente por ser aplicável em muitas situações práticas do nosso dia a dia. Além disso, as funções
polinomiais do 1º grau também foram estudadas mais detalhadamente ao longo do capítulo.
Neste capítulo, você teve a oportunidade de:
• aprender o conceito de função e suas representações numéricas;
• representar graficamente relações entre dois conjuntos utilizando o sistema de coordenadas cartesianas;
• identificar e estudar as principais características da função polinomial do 1º grau;
• reconhecer, calcular e interpretar graficamente o zero da função polinomial do 1º grau;
• construir e analisar o gráfico da função polinomial do 1º grau;
• reconhecer e aplicar os conhecimentos de função polinomial do 1º grau em situações reais.
Bibliografia
ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. . 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014. Vol. 1.Cálculo
BORBA, F. M. de. . 2008. Dissertação (Mestrado em Ensino deJogos matemáticos para o ensino de função
VOCÊ QUER LER?
Se você tem interesse em conhecer uma interessante aplicação das funções polinomiais do 1º
grau, sugerimos a leitura do texto “Introdução à Regressão Linear”, escrito pelo professor
Ulysses Sodré. Ele trata sobre regressão linear, mostrando como situar uma série de dados
experimentais aleatórios em funções afim. O texto está disponível na página: <http://pessoal.
>. Vale a pena conferir!sercomtel.com.br/matematica/superior/algebra/mmq/mmq.htm
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BORBA, F. M. de. . 2008. Dissertação (Mestrado em Ensino deJogos matemáticos para o ensino de função
Ciências e Matemática) – Universidade Luterana do Brasil, Canoas, 2008.
Disponível em: < >. Acesso em:http://www.ppgecim.ulbra.br/teses/index.php/ppgecim/article/viewFile/95/89
19/04/2018.
CBD. Confederação Brasileira de Jogo de Damas. Regras oficias do Jogo de Damas válidas para todo o
. Disponível em: < >. Acesso em: 05/04território brasileiro http://www.codexdamas.com.br/regras_oficiais.html
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GEOGEBRA. 2018. Disponível em: < >. Acesso em: 19/04/2018.https://www.geogebra.org/
LAPA, N. . São Paulo: Saraiva, 2012.Matemática aplicada
M3 MATEMÁTICA MULTIMÍDIA. . 23 nov. 2012. Disponível em: <Descobrindo o Algoritmo de Guido
>. Acesso em: 19/04/2018.https://www.youtube.com/watch?v=HCr6Ys0zvr8
SODRÉ, U. . 14 out. 2004.Introdução à Regressão Linear
Disponível em: < >. Acesso em:http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/superior/algebra/mmq/mmq.htm
23/04/2018.
STEWART, I. : Uma história da matemática dos primeiros números à teoria do caos. Rio deEm busca do infinito
Janeiro: Zahar, 2014.
STEWART, J. . São Paulo: Cengage Learning, 2013. Vol. 1.Cálculo
TAN, S. T. . 2. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2007.Matemática Aplicada a Administração e Economia
VERAS, L. L. . 3. ed. São Paulo: Atlas, 2011.Matemática aplicada a Economia