Física II - EAD

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FÍSICA II
PROF.A MA. LILIAN TUPAN
Reitor: 
Prof. Me. Ricardo Benedito de 
Oliveira
Pró-reitor: 
Prof. Me. Ney Stival
Gestão Educacional: 
Prof.a Ma. Daniela Ferreira Correa
PRODUÇÃO DE MATERIAIS
Diagramação:
Alan Michel Bariani
Thiago Bruno Peraro
Revisão Textual:
Felipe Veiga da Fonseca
Letícia Toniete Izeppe Bisconcim 
Luana Ramos Rocha
Produção Audiovisual:
Eudes Wilter Pitta Paião
Márcio Alexandre Júnior Lara
Marcus Vinicius Pellegrini
Osmar da Conceição Calisto
Gestão de Produção: 
Kamila Ayumi Costa Yoshimura
Fotos: 
Shutterstock
© Direitos reservados à UNINGÁ - Reprodução Proibida. - Rodovia PR 317 (Av. Morangueira), n° 6114
 Prezado (a) Acadêmico (a), bem-vindo 
(a) à UNINGÁ – Centro Universitário Ingá.
 Primeiramente, deixo uma frase de Só-
crates para reflexão: “a vida sem desafios não 
vale a pena ser vivida.”
 Cada um de nós tem uma grande res-
ponsabilidade sobre as escolhas que fazemos, 
e essas nos guiarão por toda a vida acadêmica 
e profissional, refletindo diretamente em nossa 
vida pessoal e em nossas relações com a socie-
dade. Hoje em dia, essa sociedade é exigente 
e busca por tecnologia, informação e conheci-
mento advindos de profissionais que possuam 
novas habilidades para liderança e sobrevivên-
cia no mercado de trabalho.
 De fato, a tecnologia e a comunicação 
têm nos aproximado cada vez mais de pessoas, 
diminuindo distâncias, rompendo fronteiras e 
nos proporcionando momentos inesquecíveis. 
Assim, a UNINGÁ se dispõe, através do Ensino 
a Distância, a proporcionar um ensino de quali-
dade, capaz de formar cidadãos integrantes de 
uma sociedade justa, preparados para o mer-
cado de trabalho, como planejadores e líderes 
atuantes.
 Que esta nova caminhada lhes traga 
muita experiência, conhecimento e sucesso. 
Prof. Me. Ricardo Benedito de Oliveira
REITOR
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UNIDADE
01
SUMÁRIO DA UNIDADE
INTRODUÇÃO .......................................................................................................................................................... 5
1. CARGAS ELÉTRICAS ........................................................................................................................................... 6
2. CONDUTORES E ISOLANTES ............................................................................................................................ 8
3. ELETROSTÁTICA: FORÇA COULOMBIANA ....................................................................................................... 8
4. CAMPO ELÉTRICO ........................................................................................................................................... 10
4.1 CAMPO ELÉTRICO PRODUZIDO POR UMA DISTRIBUIÇÃO DE CARGAS .................................................. 12
4.2 CAMPO ELÉTRICO PARA UMA PARTÍCULA CARREGADA .......................................................................... 12
4.3 CAMPO ELÉTRICO PARA UM ANEL CARREGADO ...................................................................................... 13
5. DIPOLO ELÉTRICO ............................................................................................................................................ 15
6. LEI DE GAUSS .....................................................................................................................................................17
6.1 A PARTÍCULA CARREGADA (CARGA PONTUAL) .......................................................................................... 18
ELETROSTÁTICA
PROF.A MA. LILIAN TUPAN
ENSINO A DISTÂNCIA
DISCIPLINA:
FÍSICA II
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6.2 CAMPO ELÉTRICO NA SUPERFÍCIE PLANA DE UM CONDUTOR .............................................................. 19
7. POTENCIAL ELÉTRICO ......................................................................................................................................20
7.1 POTENCIAL ELÉTRICO PARA UMA PARTÍCULA CARREGADA .................................................................... 22
7.2 POTENCIAL PRODUZIDO POR UM GRUPO DE CARGAS PONTUAIS ......................................................... 23
8. SUPERFÍCIES EQUIPOTENCIAIS .................................................................................................................... 23
CONSIDERAÇÕES FINAIS ..................................................................................................................................... 25
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ENSINO A DISTÂNCIA
INTRODUÇÃO
Caro aluno, seja bem-vindo ao curso de Física II. Neste curso trataremos dos principais 
fenômenos relacionadas à eletricidade, magnetismo e óptica.
Nesta primeira unidade serão apresentados os conceitos fundamentais da eletrostática, 
como: campo elétrico, potencial elétrico, Lei de Gauss para campos elétricos e, ainda, faremos um 
estudo sobre as cargas elétricas, suas unidades e suas implicações em situações cotidianas. 
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1. CARGAS ELÉTRICAS
O estudo dos fenômenos eletromagnéticos é baseado nas cargas elétricas e nos campos 
elétricos e magnéticos que elas criam. Logo, entender de forma clara o que é uma carga elétrica, 
é crucial para os estudos de eletromagnetismo.
Podemos então nos fazer a seguinte pergunta: o que é uma carga elétrica?
A carga elétrica é uma grandeza física que pertence às partículas subatômicas. Uma 
partícula subatômica é de� nida como aquela que está dentro do átomo. Os átomos, por sua vez, 
são compostos por elétrons que estão na eletrosfera e por prótons e nêutrons que se encontram 
no núcleo do átomo.
Os elétrons possuem carga elétrica negativa, os prótons carga elétrica positiva e os 
nêutrons não possuem carga. Desta forma, pode-se entender que existem duas cargas elétricas 
no universo, a positiva e a negativa. A Figura 1 apresenta o interior do átomo com suas partículas 
subatômicas, os elétrons, prótons e nêutrons. Para esse estudo, é su� ciente essa representação, 
mas, na atualidade, o átomo é composto por subpartículas mais complexas.
Figura 1 - Átomo de carbono com suas partículas subatômicas. Fonte: Portal Educ ativo (2012). 
Toda matéria é formada por átomos, que por sua vez são compostos por prótons elétrons, 
isso implica, que toda matéria possui carga elétrica (positiva e negativa). Existe muita carga elétrica 
na matéria, porém as cargas elétricas negativas e positivas existem geralmente em quantidades 
iguais. Não entanto, pode ocorrer de um corpo possuir maior quantidade de um tipo de carga 
elétrica, por exemplo, um corpo pode possuir mais cargas positivas do que negativas, e dessa 
forma ele estará positivamente carregado. Em caso contrário, se o corpo possuir excesso de 
cargas negativas o corpo estará negativamente carregado. Quando a carga em excesso no corpo 
é desconhecida, pode-se simplesmente considerar que o corpo está carregado ou eletrizado. 
Acesse: <https://www.youtube.com/watch?v=ULzrTmx5ob4> para compreender 
melhor o que são corpos carregados. 
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De acordo com o Sistema Internacional (SI) a unidade para carga é o Coulomb [C]. Os 
valores das cargas elétricas do elétron e do próton podem ser visualizados na Tabela 1.
Tabela 1 - Cargas elétricas e suas unidades em Coulombs. O sinal (-) representa uma carga negativa e (+) uma carga 
positiva. Fonte: adaptado de Tripler (1999).
Dessa forma, podemos nos perguntar: o que signi� ca dizer que um corpo possui carga 
igual a: , e ?
Se a carga for , signi� ca que o corpo possui a mesma quantidade de elétrons e 
prótons. 
Por outro lado, com carga igual , o corpo possui elétrons a mais do 
que prótons no corpo. Realizando este cálculo:
 elétrons em excesso nesse corpo.
Para o corpo com carga igual a , temos prótons a mais. 
Assim, a carga elétrica de um corpo pode ser expressa em termos do número de elétrons ou 
prótons em excesso que há no corpo da seguinte forma:(1.1)
onde é a carga elementar tanto do próton quanto do elétron.
Maxwell, em 1891, concluiu via experimentos que: cargas de mesmo sinal se repelem e 
cargas de sinais opostos se atraem.
Isto signi� ca que quando temos um elétron próximo de outro elétron, surgirá entre 
eles uma força de repulsão. O mesmo ocorre com um próton próximo de outro próton, e ao 
colocarmos um elétron perto de um próton, a força será de atração.
Esta descrição foi feita para cargas elementares, mas também funciona para corpos 
carregados, ou seja, um corpo carregado positivamente “sente” uma força de atração por um corpo 
carregado negativamente e um corpo carregado positivamente “sente” uma força de repulsão por 
outro corpo carregado positivamente. O mesmo é válido para corpos carregados negativamente. 
Nos links a seguir você encontrará texto-vídeo que auxiliará na fi xação do conceito 
de carga elétrica.
<http://www.sofi sica.com.br/conteudos/Eletromagnetismo/Eletrostatica/cargas.
php>.
< https://w ww.youtube. com/watch?v=Vaxhe_w iv2aY>.
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2. CONDUTORES E ISOLANTES
Os elétrons possuem uma massa muito menor que a dos prótons e nêutrons. Esta 
diferença é tão grande que, para a massa do átomo, é considerada somente a massa do seu núcleo 
(correspondente à massa dos prótons e nêutrons). Tendo isso em mente é possível concluir que 
movimentar os elétrons é mais fácil que movimentar os prótons e nêutrons. Então quando um 
material está carregado positivamente é porque este perdeu elétrons e não porque ganhou prótons. 
Contudo, quando um corpo está carregado negativamente é porque este ganhou elétrons e não 
porque perdeu prótons. 
Existem materiais que podem facilmente perder ou ganhar elétrons. Neste tipo de materiais 
os elétrons não possuem muita resistência para se mover, estes são chamados de condutores 
(geralmente são os metais). Os condutores são sempre escolhidos quando se deseja uma “� uidez” 
de elétrons no material. Quando se deseja que os elétrons não se desloquem com facilidade (sem 
� uidez), o material escolhido é conhecido como isolante (por exemplo, o plástico ou a borracha).
Cabe ressaltar que, nos materiais condutores, os elétrons tendem a � car na superfície do 
condutor carregado. Isso acontece porque os elétrons se repelem e eles acabam sempre � cando 
nas superfícies. No caso do condutor estar carregado positivamente são as cargas positivas que 
� cam na superfície do condutor.
3. ELETROSTÁTICA: FORÇA COULOMBIANA
A eletrostática é o estudo da interação entre cargas elétricas em repouso em relação a uma 
determinada referência, ou seja, velocidade nula ( ). No ano de 1785, Charles-Augustin 
de Coulomb realizou um experimento em laboratório com o qual descobriu a lei de força que 
governava as partículas carregadas e foi expressada pela seguinte equação (NUSSENZVEIG, 
1997):
 (1.2)
A equação (1.2) é conhecida como a Lei de Coulomb e expressa exatamente a força que 
existe entre duas partículas carregadas (cargas puntiformes). A constante é conhecida como 
constante de Coulomb e vale . Os símbolos e são as cargas elétricas 
dadas em unidades de Coulomb ( ), é a distância entre as cargas. O vetor unitário representa 
a direção e sentido da força que, por sua vez, é dada em Newtons ( ). Essa lei funciona só para 
as partículas, ou seja, as dimensões do corpo não são consideradas (Figura 2). 
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Figura 2 - Duas cargas pontuais a uma distância r uma da outra. Fonte: IFSUL (2014).
Na Figura 2 temos um exemplo de duas cargas puntiformes. Uma contendo uma carga 
 e a outra carga . Elas estão a um a distância de . Assim, qual 
seria o módulo da força que age em ? E em ? Fazendo os cálculos:
Neste sistema esta é a força resultante sobre a partícula de carga e também sobre a 
partícula de carga (pois são um par ação e reação). Esta força atua com o mesmo módulo e 
direção em cada uma das cargas, porém ela possui sentido oposto em cada uma delas. 
A lei de Coulomb também permite o princípio da superposição, que é uma força mecânica 
que tem origem devido aos campos elétricos. O princípio da superposição na eletrostática diz que 
“em um sistema contendo partículas carregadas (cargas puntiformes), as partículas interagem 
independentemente aos pares”. Por exemplo, a força que age sobre uma partícula 1 de carga 
elétrica em um sistema de partículas carregadas é igual à soma vetorial das forças de cada 
partícula agindo sobre a carga . O que pode ser expressado na seguinte equação
 (1.3)
Vejamos um exemplo com o auxílio da Figura 3.
Figura 3 - Três cargas pontuais interagindo. Fonte: a autora.
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Qual é a força resultante em na Figura 3? Como é possível observar, existe uma força 
de atração entre a partícula e a partícula e uma força de repulsão entre as partículas e . 
Tendo isto em mente, se calcula a força devido a cada uma dessas partículas e depois realiza-se 
uma soma vetorial. Assim:
Pela lei dos cossenos, se obtém a força resultando na partícula 
4. CAMPO ELÉTRICO 
Como já foi visto, cargas elétricas exercem forças entre si, atraindo-se ou repelindo-se. 
Desta forma, podemos concluir que existe uma região ao redor da carga onde, ao se colocar uma 
carga qualquer que não perturbe o sistema (carga de prova), esta irá “sentir” uma força devido 
a partícula carregada. Esta região ao redor da partícula carregada é conhecida como campo 
elétrico. Em cada ponto dessa região (campo elétrico) a força é diferente. A Figura 4(a) mostra 
uma carga de prova positiva próxima a um corpo carregado negativamente. O vetor indica a 
força coulombiana que a carga de prova é submetida. Na Figura 4(b) estão desenhados as linhas 
de campo elétrico para uma carga negativa e o vetor campo elétrico nesta con� guração.
Para conhecer a lei dos cossenos acesse:
<https://www.youtube.com/watch?v=3eL7jr1XCWo>.
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Figura 4 - (a) Uma carga de prova na de presença de um campo elétrico. (b) Linhas de campo elétrico para uma 
carga negativa e o vetor campo elétrico E em uma determinada posição do espaço. Fonte: Halliday (2009).
O campo elétrico é um campo vetorial em que cada ponto do espaço no “vetor campo 
elétrico” assume um determinado valor, dado pela equação (1 .4):
 (1.4)
Posto isto, pode-se a� rmar que “o campo elétrico é a região do espaço onde as propriedades 
elétricas se manifestam”. Assim, se introduz a ideia criada pelo cientista inglês Michael Faraday 
(NUSSENZVEIG, 1997) sobre linhas de força ou linhas de campo elétrico. Estas linhas de campo 
elétrico são uma ótima maneira de visualizar o campo elétrico. As linhas de campo geradas por 
cargas pontuais são mostradas na Figura 5 e na Figura 6. É possível observar que as linhas de 
campo elétrico saem das cargas positivas e entram nas cargas negativas. Estas linhas nunca se 
cruzam. A Figura 6 mostra quando dois corpos possuem o mesmo tipo de carga. Por exemplo, no 
caso de cargas positivas, as linhas de campo elétrico se afastam. Quando são dois tipos de cargas 
elétricas, como uma positiva e outra negativa, as linhas de campo elétrico saem da carga positiva 
e entram na carga negativa.
Figura 5 - Linhas de campo elétrico para uma carga positiva e para uma carga negativa. Fonte: Efeito Joule (2010).
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Figura 6 - Exemplos atração e repulsão das cargas. Fonte: Ferreira (2016).
4.1 Campo Elétrico Produzido por uma Distribuição de Car-
gas
Os campos elétricos também obedecem ao princípio da superposição, como mostrado 
na equação (1.5). O vetor campo elétrico sobre uma carga de prova é a soma vetorial dos campos 
elétricos nesse ponto. Demonstrando:
 (1.5)
É importante ressaltar que o campo elétr ico obedece ao formato da distribuição dacarga 
no espaço, ou seja, o campo elétrico muda a sua forma espacial e da equação que o representa.
4.2 Campo Elétrico para uma Partícula Carregada
Uma partícula carregada possui um campo elétrico com formato radial e a equação que 
o representa é comum para campos radiais (como o campo gravitacional da terra). Como visto 
anteriormente, o campo elétrico em termos de força e a força que atua entre duas partículas 
carregadas dada pela lei de Coulomb, é possível observar que:
Por identidade, observa-se que o campo elétrico é:
 (1.6)
A equação (1.6) é conhecida como o campo elétrico gerado por uma partícula carregada.
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4.3 Campo Elétrico para um Anel Carregado 
Para um anel carregado, considere a Figura 7. Nesse exemplo, o campo elétrico será 
calculado no ponto P que passa sobre o eixo central do anel. O primeiro passo para resolver esse 
problema é dividir o anel em pequenos pedaços denominados , ou seja, uma pequena parte 
da carga total do anel; ao mesmo tempo se divide o anel em pequenos pedaços . Os cálculos 
aqui realizados consideram a densidade linear de carga do anel , desta forma:
 (1.7)
A densidade linear de carga é de� nida:
 (1.8)
onde é a carga no anel e é o comprimento (circunferência) do anel na equação (1.8).
Como já se conhece o campo elétrico de uma carga puntiforme, dada pela equação (1.6), 
a parte in� nitesimal do campo elétrico ( ) no anel seria igual a:
 (1.9)
Figura 7- Anel carregado. Fonte: Halliday (2009).
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A distância da carga , pode ser encontrada através do teorema de Pitágoras (utilizando 
o triângulo formada entre R, r e z) observado na Figura 7. Desta maneira, , com 
sendo a distância do centro do anel até o ponto P e sendo o raio do anel. Com isso em mente, 
 � ca:
 (1.10)
Deste modo, só basta integrar a equação (1.10), porém uma análise cuidadosa será 
discutida sobre essa integração. Observando a Figura 7, nota-se que o campo elétrico pode ser 
decomposto em duas componentes, uma com projeção no eixo e outra com projeção paralela 
ao raio do anel (perpendicular à ). A soma vetorial do campo elétrico é dada da seguinte forma:
 (1.11)
Na equação (1.11) o termo que contém seno é igual a zero, isto é, devido à simetria do 
anel. O vetor campo elétrico se cancela mutualmente com a componente de sentido oposto. 
As componentes do vetor campo elétrico na direção são somadas, logo a equação (1.11) se 
transforma em:
 (1.12)
Acoplando a equação (1.10) com a equação (1.12), obtém-se: 
 (1.13)
Reconhecendo na Figura 7 que o , obtém-se a relação:
 (1.14)
E conectando as equações (1.13) e (1.14), temos:
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Com , o campo elétrico do anel carregado é:
 (1.15)
A equação (1.15) representa o campo elétrico em um ponto P sobre o eixo central de um 
anel carregado. 
5. DIPOLO ELÉTRICO
A Figura 8 mostra duas partículas carregadas de módulo e sinais opostos, separadas por 
uma distância . Esta con� guração de cargas recebe o nome de dipolo elétrico. Vamos calcular 
o campo elétrico produzido pelo dipolo elétrico na Figura 8 no ponto P, situado a uma distância 
 do centro do dipolo, sobre a reta que liga as duas partículas, conhecida como eixo do dipolo.
Por simetria, o campo elétrico no ponto P (e também os campos e produzidos 
pelas partículas que formam o dipolo) deve ser paralelo ao eixo do dipolo, que foi tomado como 
o eixo . Aplicando o princípio da superposição aos campos elétricos, observa-se que o módulo 
de do campo elétrico no ponto P é dado por:
 (1.16)
Reagrupando os termos da equação (1.16), obtemos:
 (1.17)
Foi executado um cálculo para o campo elétrico do anel carregado, mas como 
dever ser o cálculo do disco carregado?
Acesse o link <https://www.youtube.com/watch?v=g-xEzSaKXb4> e descubra.
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Figura 8- (a) Um dipolo elétrico. Os vetores e no ponto P sobre o eixo do dipolo. (b) O momento dipolar 
 apontando da carga negativa para a carga positiva. Fonte: Halliday (2009). 
A equação (1.17) expressa o campo elétrico criado por um dipolo elétrico. Porém, 
estamos interessados nos efeitos elétricos de um dipolo apenas a distâncias relativamente grandes 
em comparação com as dimensões do dipolo, ou seja, a distâncias tais que . Utilizando o 
teorema binominal de Newton, obtém-se:
 (1.18)
 
O produto na equação (1.18), que envolve os dois parâmetros e que de� nem 
o dipolo, é o modulo de uma grandeza chamada mom ento dipolar elétrico do dipolo. A 
unidade de é o coulomb-metro. Desta forma, podemos escrever a equação (1.17) como:
 
 (1.19)
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O sentido de é aquele que sai da carga negativa e vai para a carga positiva, como 
mostrado na Figura 8. Podemos usar o sentido de para especi� car a orientação de um dipolo.
Há outras distribuições de carga como: linha de carga carregado, placa carregada (ver o 
item capacitores), entre outras. Para algumas distribuições é possível realizar o cálculo analítico, 
enquanto que para outras são necessários cálculos mais complexos.
6. LEI DE GAUSS
O cálculo do campo elétrico pode ser muito complicado dependendo da distribuição 
das cargas envolvidas. Entretanto, há uma outra forma que utiliza a simetria do sistema. Para 
realizar este cálculo, utiliza-se o conceito de � uxo de campo elétrico, além da ideia de superfície 
gaussiana. A de� nição de � uxo de campo elétrico (que é expresso pela letra grega ) representa 
as linhas de campo elétrico que atravessam uma certa área do espaço , conforme a Figura 9.
Figura 9 - De� nição de Fluxo Elétrico. Fonte: Centro de Ensino e Pesquisa Aplicada (2017).
Com base nesta a� rmação, o � uxo de campo elétrico representa a quantidade de linhas de 
campo elétrico que atravessam uma determinada área expressa na seguinte equação:
 (1.20)
onde é o vetor perpendicular à área a ser considerada, ou seja, . O vetor unitário 
 é normal à superfície . A equação (1.20) é uma multiplicação escalar entre dois vetores, logo o 
� uxo trata somente de um escalar. Se da área é obtida uma parte in� nitesimal desta, o � uxo 
elétrico seria também in� nitesimal, assim:
• É possível correlacionar a expansão binomial
 com o problema do dipolo elétrico? 
• Como seria o campo elétrico produzido por cargas em uma casca esférica 
ou em uma esfera maciça?
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 (1.21)
Integrando a equação (1.21), tem-se:
 (1.22)
A equação (1.22) é a de� nição “matemática” de � uxo de campo elétrico. Com isso, 
demonstra-se a L ei de Gauss para campos elétricos. Considerando o seguinte exemplo: desenha-
se uma superfície fechada (conhecida como superfície gaussiana ou gaussiana) ao redor de 
uma distribuição de carga. O � uxo de campo elétrico que atravessa a gaussiana proveniente 
desta distribuição será igual à carga envolvida pela superfície gaussiana dividida pela constante 
dielétrica do vácuo. Portanto, expressa-se:
 (1.23)
Com ajuda da equação (1.22), tem-se:
 (1.24)
A equação (1.24) é conhecida como Lei de Gauss. Uma superfície gaussiana é um arti� cio 
matemático em que se desenha uma região que contenha somente a área (não volume) e esta é 
fechada. 
6.1 A Partícula Carregada (Carga Pontual)
Dada uma partícula de carga na origem de um sistema de referência, dada a simetria 
dessa partícula, “desenha-se” uma gaussiana esféricaao seu redor, como mostrado na Figura 10.
A equação (1.24) mostra uma integração de um campo vetorial em superfície. 
Para saber mais sobre essa integração acesse
<https://www.youtube.com/watch?v=XUHIun_aDq8>.
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Figura 10- Gaussiana ao redor de uma partícula carregada. Fonte: Halliday (2009).
Aplicando a equação (1.24), obtém-se o campo elétrico da partícula carregada: 
 (1.25)
Identi� cando , observa-se que a equação (1.25) é a equação do campo elétrico 
de uma carga pontual, semelhante à equação (1.6).
6.2 Campo Elétrico na Superfície Plana de um Condutor
Considere uma superfície gaussiana em um plano carregado, como mostrado na Figura 11. 
Figura 11- Campo elétrico na superfície de um condutor. Fonte: Halliday (2009).
Como mencionado na seção de cargas elétricas sobre condutores e isolantes, as cargas 
positivas em excesso em um condutor � cam na superfície deste, como mostrado na Figura 11. 
Isto implica que no interior do condutor o campo elétrico é igual a zero ( ) e só existe um 
campo elétrico no exterior do condutor. Então, para cal cular o campo elétrico nessa superfície 
plana, desenha-se uma superfície gaussiana (cilíndrica nesse caso), como indicado na Figura 11. 
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Como pode ser visto, o campo elétrico é perpendicular à superfície do condutor, logo, 
paralelo ao vetor área . A carga envolvida pela superfície gaussiana ) está distribuída 
uniformemente e a densidade de carga pode ser de� nida como:
 (1.26)
Aplicando a lei de Gauss, tem-se:
 (1.27)
A equação (1.27), expressa o campo elétric o em uma superfície condutora carregada. 
Existem muitos sistemas em que é possível aplicar a Lei de Gauss. Ela simplesmente aproveita a 
simetria de muitos sistemas e os resolve de uma forma mais simples.
7. POTENCIAL ELÉTRICO
O potencial elétrico é uma grandeza física que deriva do campo elétrico. Ele mostra a 
capacidade de um corpo carregado de realizar trabalho em relação ao campo elétrico em uma 
carga de prova. Além disso é uma grandeza muito mais acessível em laboratório.
Primeiramente, é necessário entender alguns conceitos básicos associados ao campo de 
força (campo elétrico). Os campos de força são campos vetoriais. O campo elétrico é também 
um campo vetorial, ou seja, em cada ponto do espaço o vetor “Campo Elétrico” assume uma 
determinada característica (módulo, direção e sentido). Existe um tipo de campo vetorial 
conhecido como campo conservativo. O campo vetorial do tipo conservativo é escrito em 
termos de uma função escalar. No caso da Mecânica e do Eletromagnetismo, essa função escalar é 
chamada de energia potencial. O campo gravitacional da Terra tem uma função energia potencial 
gravitacional devido ao campo vetorial da força da gravidade. No caso do campo elétrico, devido 
a cargas eletrostáticas, o campo vetorial da força coulombiana tem a chamada função energia 
potencial elétrica.
 Com esta análise, a partir da força eletrostática de� ne-se a energia potencial elétrica:
 (1.28)
A equação (1.28) é a de� nição de um campo vetorial conservativo aplicado à situação do 
campo elétrico em coordenadas cartesianas. Para facilitar a compreensão, as demonstrações aqui 
serão feitas em uma dimensão, desta forma escrevendo a equação (1.28) na direção do plano 
cartesiano, temos:
 (1.29)
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Para uma melhor compreensão dos cálculos e do fenômeno envolvido, é necessário 
transformar , sem considerar o limite in� nitesimal, desta forma:
 (1.30)
 (1.31)
A equação (1.31) de� ne o trabalho mecânico realizado sobre um campo conservativo. 
Utilizando a equação (1.31) e a dividindo por uma carga de prova , temos:
 (1.32)
A equação (1.32) expressa uma quantidade de energia por carga, ou seja, a quantidade 
de trabalho para mover uma carga. A fração é conhecida como potencial elétrico e é uma 
característica do campo elétrico, não dependendo da carga :
 (1.33)
O potencial elétrico é uma grandeza escalar e sua unidade de medida é o volt (V). Com 
ajuda da equação (1.32), pode-se deduzir uma quantidade muito utilizada conhecida como 
diferença de potencial elétrico (DDP) ou tensão, assim:
 (1.34)
A equação (1.34) demostra que a diferença de potencial é o trabalho por carga elétrica e 
é dada em volt (V).
No desenvolvimento, até agora, se veri� cou o que é o potencial elétrico e o que ele 
signi� ca, mas como o potencial elétrico se relaciona matematicamente com o campo elétrico? 
Utilizando as equações (1.33) e (1.29) e o fato de que . Reescrevendo a equação (1.29):
 (1.35)
A equação (1.35), demostra que o campo elétrico é o gradiente do potencial elétrico. A 
relação inversa também é possível. Isto é demonstrado na equação (1.36):
 (1.36)
A equação (1.36) mostra que é possível escrever a diferença de potencial elétrico através 
do campo elétrico.
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7.1 Potencial Elétrico para uma Partícula Carregada
O potencial elétrico de uma carga pontual (ou partícula carregada) pode ser calculado da 
seguinte forma, como mostrado na Figura 12.
Figura 12 - Esquema de cálculo de uma carga pontual. Fonte: Halliday (2009).
Na Figura 12 observa-se uma carga pontual positiva que exibe um campo elétrico cuja 
as linhas de campo elétrico saem da carga. Quando uma outra carga , que está a uma distância 
 de em um ponto e leva-se do ponto para muito longe (no in� nito ), devemos nos 
perguntar qual deve ser o potencial elétrico dessa partícula. Utilizando da equação (1.36) temos:
 (1.37)
Na equação (1.37) se assume que e o ângulo entre e é . Utilizando o 
campo elétrico de uma carga pontual (equação 1.6 ou 1.25) e assumindo que o potencial inicial 
 e que , ou seja, as condições de contorno do problema, logo:
 (1.38)
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A equação (1.38) expressa o potencial elétrico de uma carga pontual (partícula carregada). 
É bom observar que reproduz o potencial elétrico de sinal igual à carga, ou seja, se é positivo 
então é positivo, se é negativo então é negativo.
7.2 Potencial Produzido por um Grupo de Cargas Pontuais
Para calcular o potencial elétrico produzido por um grupo de cargas pontuais é necessário 
usar o princípio da superposição. Desta forma, para cargas, o potencial elétrico produzido será:
 (1.39)
A equação (1.39) pode ser entendida como uma soma algébrica dessas cargas pontuais.
8. SUPERFÍCIES EQUIPOTENCIAIS
Para explicar as superfícies equipotenciais é necessário, novamente, fazer um paralelo 
com a gravidade. Qual é o trabalho gravitacional realizado se uma pessoa andasse de um ponto 
qualquer a outro em uma quadra de futsal? A resposta a esta pergunta é: nenhum trabalho 
gravitacional. Isso acontece, porque o trabalho gravitacional só depende do deslocamento vertical 
(altura). Uma superfície equipotencial é uma superfície imaginária na qual todos os seus pontos 
possuem o mesmo potencial (Figura 13).
Figura 13- (a) Os círculos concêntricos na carga positiva são as superfícies equipotenciais e as linhas tracejadas são 
as linhas de campo elétrico. (b) Superfícies equipotenciais entre duas cargas pontuais negativa e positiva e (c) e entre 
duas cargas positivas. Fonte: Mundim (1999).
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Acesse o link <https://brasilescola.uol.com.br/fi sica/superfi cies-equipotenciais.
htm> e amplie seus conhecimentos sobre superfícies equipotenciais
A Figura 13(a) mostra as superfícies equipotenciais para uma partícula carregada 
positivamente, o campoelétrico é sempre perpendicular à superfície equipotencial (Figuras 
13(b) e 13(c).
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CONSIDERAÇÕES FINAIS
Nessa unidade falamos sobre cargas elétricas, condutores e isolantes, eletrostática, campos 
elétricos, potencial elétrico, além da Lei de Gauss.
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UNIDADE
02
SUMÁRIO DA UNIDADE
INTRODUÇÃO ......................................................................................................................................................... 28
1. CAPACITÂNCIA ................................................................................................................................................... 29
1.1 CÁLCULO DA CAPACITÂNCIA DE CAPACITOR DE PLACAS PARALELAS .................................................... 30
1.2 CAPACITORES COM DIELÉTRICO .................................................................................................................. 32
2. CORRENTE ELÉTRICA ....................................................................................................................................... 33
2.1 DENSIDADE DE CORRENTE ............................................................................................................................ 35
3. FORÇA ELETROMOTRIZ ................................................................................................................................... 35
4. RESISTÊNCIA .................................................................................................................................................... 37
4.1 RESISTIVIDADE ............................................................................................................................................... 37
5. CIRCUITOS ELÉTRICOS .................................................................................................................................... 38
6. LEIS DE KIRCHHOFF ......................................................................................................................................... 39
CIRCUITOS ELÉTRICOS
PROF.A MA. LILIAN TUPAN
ENSINO A DISTÂNCIA
DISCIPLINA:
FÍSICA II
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7. RESISTORES: ASSOCIAÇÃO EM SÉRIE ........................................................................................................... 41
8. RESISTORES: ASSOCIAÇÃO EM PARALELO E MISTA ................................................................................... 42
8.1 ASSOCIAÇÃO MISTA ....................................................................................................................................... 43
9. ASSOCIAÇÃO DE CAPACITORES EM PARALELO EM SÉRIE ......................................................................... 43
9.1 PARALELO ........................................................................................................................................................ 43
9.2 SÉRIE................................................................................................................................................................44
CONSIDERAÇÕES FINAIS .....................................................................................................................................46
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INTRODUÇÃO
Após os estudos sobre eletrostática, nesta unidade falaremos sobre cargas elétricas em 
movimento, ou seja, o estudo sobre a corrente elétrica e circuitos elétricos, bem como sobre 
capacitores.
 Serão apresentados os conceitos de capacitância, corrente elétrica, diferença de potencial, 
resistência elétrica, circuitos elétricos, associação de resistores, associação de capacitores e Leis 
de Kirchho� .
Tais conceitos serão abordados sobre o ponto de vista da Lei de Ohm, assim como, o 
comportamento dos resistores em determinadas con� gurações. Além disso, o estudo dos 
circuitos elétricos utilizando as Leis de Kirchho� , permitirá o avanço signi� cativo em circuitos 
mais complexos e detalhados.
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1. CAPACITÂNCIA
Considere a seguinte situação: um corpo qualquer, com uma carga em uma região do 
espaço, pergunta-se: o que acontecerá com o corpo carregado depois de um tempo genérico?
A resposta a esta pergunta é: o corpo começa a descarregar até � car totalmente 
descarregado. Como o corpo sempre está em contato com o ar, a sua carga elétrica é perdida 
para o ambiente, ou seja, se o corpo possui mais elétrons, ele perde elétrons para os átomos do 
ar e, se possui menos elétrons, ele ganha elétrons dos átomos do ar. Se um corpo não armazena 
cargas elétricas em excesso, como é possível manter um campo elétrico continuo? Seria possível 
“armazenar” um campo elétrico ou carga elétrica por um tempo indeterminado? A resposta é 
sim.
O dispositivo que é capaz de armazenar cargas elétricas e campo elétrico é conhecido 
como capacitor. A ideia de um capacitor é simples, consiste em dois materiais condutores que 
estão paralelos (Figura 1). Quando um condutor carregado com uma carga se aproxima de 
outro condutor carregado com uma carga , os elétrons desses condutores vão para superfície 
que mais se aproxima do outro condutor, criando entre eles um campo elétrico. Este campo 
permanecera assim, até que algo interaja com o sistema e o descarregue. 
Figura 1 - Dois condutores isolados entre si, um em frente ao outro, armazenando carga e campo elétrico. Fonte: 
Halliday (2009).
Na suposição feita anteriormente, o corpo está em um ambiente com atmosfera 
(ar). Uma forma de manter a carga no corpo, é isolar o corpo dessa atmosfera. 
Porém, o armazenamento de cargas não é feito assim, mas com capacitores.
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Os condutores envolvidos no capacitor são chamados placas, independente da forma das 
placas, para qualquer tipo de capacitor, de qualquer geometria. Portanto, um capacitor sempre 
é formado por duas placas; uma com carga positiva e outra com carga negativa. Seu símbolo é 
(┤├), que se parece com um capacitor de placas paralelas. Como as placas são feitas de materiais 
condutores, essas placas são superfícies equipotenciais. Quando as placas estão uma em frente a 
outra, cria-se um campo elétrico e, ao mesmo tempo, uma diferença de pote ncial (DDP) entre 
elas, concentrando as cargas elétricas. A relação entre carga ( ) e DDP ( ) em um capacitor é 
chamada capacitância ( ), assim, a carga é proporcional à DDP (tensão). 
A capacitância é de� nida como a quantidade de carga elétrica por diferença de potencial 
entre as placas do capacitor. Podemos escrever a relação entre estas três grandezas da seguinte 
forma:
 (2.1)
A capacitância é uma medida da quantidade de carga que precisa ser acumulada nas 
placas para produzir certa DDP entre elas. Ela depende essencialmente da geometria do capacitor 
e da permissividade elétrica, mas não da carga e nem da DDP.
Quanto maior for a capacitância, maior é a carga que o capacitor suporta. A unidade 
de capacitância é coulomb por volt (C/V) ou Farad (F). Como F é uma unidade muito grande, 
geralmente se usa o Microfarad ( ) ou Picofarad ( ).
1.1 Cálculo da Capacitância de Capacitor de Placas Paralelas
A carga do capacitor está relacionada com o campo elétrico e o potencial elétrico entre as 
placas do capacitor. A relação da carga elétrica com o campo elétrico é obtida através da Lei de 
Gauss vista na equação (1.23). Observe a Figura 2:
Figura 2 - Esquema de placas paralelas, para o cálculo da carga e do potencial elétrico. Fonte: Halliday (2009).
A Figura 2 mostra duas placas paralelas, uma com carga positiva e a outra com carga 
negativa . Desenha-se primeiramente uma superfície gaussiana na placa positiva e depois o 
seguinte procedimento é adotado na análise do problema: o campo elétrico atravessa a superfície 
gaussiana somente na parte inferior. Após isso, realiza-se uma integralnas seis faces dessa 
superfície. Somente a face inferior em que o campo elétrico atravessa a gaussiana não é nula. 
Assim, conclui-se que:
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 (2.2)
onde é a área do capacitor e o módulo do campo elétrico entra as placas que atravessa 
a superfície gaussiana.
A diferença de potencial entre as placas é encontrada da seguinte forma: o potencial 
elétrico é calculado através da equação (1.35), em que a integral deve ser calculada ao longo de 
um caminho (trajetória de integração). 
Este caminho de integração começa em uma placa e termina em outra, como mostrado 
na Figura 2. Devido a simetria do problema, o caminho de integração coincide com a linha de 
campo elétrico do capacitor. Isto facilita muito os cálculos. Integrando da placa negativa para a 
positiva temos:
 (2.3)
ou seja, a diferença de potencial elétrico é igual ao campo elétrico no capacitor 
multiplicado pela distância entre as placas. Por seguinte, calcula-se a capacitância do capacitor 
de placas paralelas utilizando das equações (2.2) e (2.3):
 (2.4)
A equação (2.4) mostra a capacitância em um capacitor de placas paralelas, esta é 
proporcional a área do capacitor e inversamente proporcional à distância entre as placas, ou seja, 
é proporcional às dimensões do capacitor.
Como calcular uma integral ao longo de uma trajetória? Para descobrir acesse o 
link: <https://www.youtube.com/watch?v=6W7Zk11i6-U&t=81s>.
Como calcular a capacitância de um capacitor cilíndrico? 
 Acesse: <https://www.youtube.com/watch?v=uJ6-hhBIW6k>.
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No link a seguir você encontrará um texto que explica como calcular a capacitân-
cia de um capacitor esférico.
<https://www.if.ufrgs.br/tex/fi s142/cap5/capa05.htm>.
1.2 Capacitores com Dielétrico
Antes de falar sobre capacitores com dielétrico é neces sária uma explicação sobre 
permissividade elétrica.
A permissividade elétrica é uma propriedade do meio em que o campo elétrico está, 
ela descreve como o campo elétrico afeta e é afetado pelo meio. Por exemplo: duas placas estão 
separadas e entre elas não há “nada”, somente o vácuo, nesse caso o que se tem é a permissividade 
do vácuo ( ). Se as duas placas estão separadas e entre elas há um material isolante genérico, 
então tem-se a permissividade elétrica do material isolante. Até agora foi visto somente o caso 
dos capacitores no vácuo, porém, pode ocorrer (na maioria dos casos) que haja um material 
isolante entre as duas placas. Este material é chamado de dielétrico. O dielétrico multiplica a 
capacitância por um fator , esta constante é chamada de constante dielétrica. Desenvolvendo o 
conceito de capacitância com um dielétrico, pode-se escrever que:
 (2.5)
em que representa a geometria do capacitor. No caso do capacitor de placas paralelas, 
adquire a seguinte forma, . Quando se coloca um dielétrico entre as placas, a capacitância 
pode ser multiplicada da seguinte forma:
 (2.6)
em que . Assim, em uma região totalmente preenchida por um material 
dielétrico , a permissividade do vácuo deve ser substituída por em todas as equações.
Acesse <https://www.if.ufrgs.br/tex/fi s142/mod05/m_s07.html> para melhor 
compreensão de capacitores com dielétricos.
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2. CORRENTE ELÉTRICA
Até agora foram estudadas somente as cargas estacionarias (eletrostática), ou seja, quando 
se considera um observador em um sistema de referência inercial, essas cargas são medidas com 
velocidade igual a zero. Essa a� rmação não é completamente correta, pois nenhuma carga ou 
elétron tem velocidade igual a zero. Os elétrons sempre estão em movimento, localizados na 
matéria, este movimento é caótico e não ultrapassa algumas unidades de átomos que ali compõem. 
Porém, quando os elétrons caminham longas distâncias, como centenas ou milhares de átomos, e 
de forma homogênea (ordenada), o fenômeno é conhecido como corrente elétrica.
Na eletroestática um corpo está carregado com uma quantidade maior ou menor de 
elétrons em relação a quantidade de prótons, porém, o movimento dos elétrons é de forma 
aleatória, como mostrado na Figura 3. Os elétrons estão se movimentando em todas as direções 
e sentidos. Por outro lado, quando se coloca uma diferença de potencial (um campo elétrico 
externo) nos extremos desse corpo, o movimento dos elétrons se dará de forma ordenada, como 
na Figura 4. Portanto forma-se uma corrente elétrica. Dentro desse conceito, a corrente elétrica 
pode surgir em qualquer material, porém, este texto irá se focar somente nos materiais condutores.
Figura 3 - Movimento aleatório dos elétrons. Fonte: Corrente Elétrica (2017).
Figura 4 - A de� nição da corrente elétrica. Na � gura (a) tem-se os sentidos dos portadores de carga (os elétrons) se 
movendo para a direta, é dito sentido real da corrente elétrica. (b) tem-se o sentido dos portadores de carga (nesse 
caso, os prótons) se movendo para a esquerda, é dito, nesse caso, sentido convencional da corrente elétrica. Fonte: 
Corrente Elétrica (2017).
O Princípio da Incerteza de Heisenberg expressa que não é possível medir com 
precisão a posição e o momento (velocidade) de uma partícula.
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Nos links a seguir você encontrará texto-vídeo que auxiliará na fi xação do conceito 
de corrente elétrica.
<http://www.sofi sica.com.br/conteudos/Eletromagnetismo/Eletrodinamica/cor-
rente.php>.
<https://www.youtube.com/watch?v=EaUKawWYLA4>.
Quando um condutor não está imerso em um campo elétrico, os elétrons estão em 
movimento aleatório dentro do condutor, mas quando este condutor é colocado dentro de um 
campo elétrico, os elétrons tendem a se alinhar com este, ou seja, os elétrons se movem na direção 
das linhas de origem das linhas do campo elétrico (representando uma fonte de carga positiva) 
e se afastam de onde elas terminam (representando uma fonte de carga negativa). No caso da 
Figura 4 (a), o movimento dos elétrons está em sentido à direta (sentido real dos portadores de 
carga), signi� ca que deve existir uma fonte de carga positiva à direta. Na Figura 4 (b) temos um 
movimento de cargas positivas, o sentido desta corrente é conhecido como sentido convencional 
da corrente elétrica e é utilizado pelos físicos e engenheiros. Porém é bom lembrar que somente 
os elétrons se movem, tanto em condutores como em isolantes. O sentido convencional da 
corrente elétrica não é o sentido real da corrente.
Qual é a de� nição física de uma corrente elétrica? A corrente elétrica é de� nida como a 
taxa temporal com que a carga elétrica varia no material. Por exemplo, um � o condutor possui 
um comprimento e uma seção de área . Sobre esse � o existe uma tensão (DDP), que faz com 
que os elétrons se movam. A equação (2.7) de� ne a corrente.
 (2.7)
A unidade de corrente elétrica é o Ampère ou Coulomb por segundo ( ). 
Para encerrar com o conceito e explicação de corrente elétrica, é necessário entender as duas 
propriedades. A primeira é que a corrente elétrica é conservada, ou seja, as correntes elétricas se 
somam. Isto acontece devido ao fato da carga elétrica também ser conservada. Para entender esse 
conceito, observe a Figura 5, em que há três correntes elétricas que se encontram em um “nó” 
(nome do ponto onde as correntes elétricas se dividem ou se somam), representado pela letra .
Figura 5 - A corrente elétrica se divide em duas correntes e no nó . Fonte: Halliday (2009).
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A Figura 5 mostra que a corrente é dividida nas correntes e , isto pode ser descrito 
da seguinte forma:
A segunda propriedade da corrente elétrica é que apesar de se conhecer que são os 
elétrons que se movem no condutor, o sentido adotado é sempre dos prótons movendo-se no 
condutor. Isso acontece por uma questão histórica.Pensava-se que eram cargas positivas que se 
moviam no condutor (não se tinha conhecimento dos elétrons nem dos prótons) e esse sentido 
foi chamado de sentido convencional da corrente elétrica. No caso de um circuito elétrico, se 
considera o sentido da corrente como aquele que vai do polo positivo de uma bateria para o polo 
negativo dela. Este conceito será explicado adiante.
2.1 Densidade de Corrente
Quando se mede a quantidade de corrente por área no condutor, obtém-se o que é 
chamado de densidade de corrente, que pode ser expressa da seguinte forma:
 (2.8)
 Entretanto é muito mais comum escrever a equação (2.8) da seguinte forma:
 (2.9)
A equação (2.9) demonstra a corrente total de um condutor em termos da densidade de 
corrente.
3. FORÇA ELETROMOTRIZ
Foi explicado que quando se tem um condutor sobre uma DDP esse estabelece uma 
corrente elétrica. Os elétrons ainda se movem para extremidade do condutor e imediatamente 
interrompem seu movimento, levando a corrente à zero ( ). Deste modo, deve-se perguntar 
se existe alguma forma de se manter esse movimento dos elétrons de forma constante. A resposta 
é sim, por meio de uma fonte de tensão. 
Acesse <https://www.youtube.com/watch?v=XJRT-1hQvuY> e descubra mais so-
bre densidade de corrente elétrica.
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A fonte funciona como se fosse uma “bomba” de cargas (semelhante a uma bomba de 
água), ou seja, é um dispositivo que executa o trabalho ( ) de modo a manter uma DDP nas 
extremidades do � o condutor. Um caso concreto muito comum é a bateira ou uma pilha. A 
Figura 6 exempli� ca uma bateria que realiza trabalho e mantém um DDP.
F igura 6 - Exemplo de uma bateria realizando trabalho mantendo a DDP em um circuito, assim uma corrente � ca 
estável no sistema. Fonte: Halliday (2009).
Por convenção, no lado do � o que possui o polo negativo, o potencial é de� nido como 
mais baixo e no do lado que possui o polo positivo, o potencial é de� nido como mais alto. Desta 
forma, quase sempre o polo negativo é e o polo positivo é um valor maior que zero. Existem 
muitos tipos de fontes de tensão como, células solares, células combustíveis entre outras. A 
DDP é mantida para que a corrente se mantenha no sistema. Essa DDP é chamada de força 
eletromotriz. Este nome existe por razões históricas, pois não se trata de uma força, mas sim de 
um potencial elétrico. Matematicamente escrevemos:
 (2.10)
A força eletromotriz de uma fonte é o trabalho de transferência de cargas do polo de 
baixo potencial para o polo de alto potencial, ou seja, a taxa de trabalho por carga. No SI a 
unidade da força eletromotriz é o joule por coulomb ( ) ou volt ( ). Realiza-se o cálculo 
da força eletromotriz para um circuito com uma resistência . Utilizando a equação (2.10) e a 
equação (2.7) se tem: 
 (2.11)
em que , que será visto mais adiante. A equação (2.11) mostra que a 
multiplicação da corrente pela resistência do circuito implica a força eletromotriz (tensão, DDP) 
do sistema. 
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4. RESISTÊNCIA
Quando se aplica uma diferença de potencial (DDP) nas extremidades de um material, 
surge uma corrente elétrica, porém quando aplicamos uma diferença de potencial em um � o de 
cobre ou em um “� o” de vidro, as respostas desses dois materiais são diferentes. No caso do cobre, 
observa-se a presença de uma corrente elétrica com um módulo maior do que no vidro. No caso 
do vidro, a corrente elétrica é basicamente inexistente ou muito pequena se comparada à corrente 
elétrica em um � o de cobre. Neste contexto, deve-se perguntar, por que esses dois resultados 
são diferentes? Esta discrepância acontece porque a matéria apresenta uma propriedade que é 
denominada resistência elétrica. A resistência elétrica representa a di� culdade da passagem 
de uma corrente elétrica em um determinado material. É pela grandeza resistência elétrica que 
se de� ne a característica de um material como condutor, semicondutor ou isolante. Quando 
a corrente elétrica consegue atravessar o material com certa facilidade, diz-se que este é um 
condutor; quando a corrente elétrica tem muita di� culdade de atravessar, o material é um isolante, 
o caso intermediário caracteriza um semicondutor. A descrição matemática de resistência pode 
ser expressar da seguinte forma:
 (2.12)
A equação (2.12) demonstra que a resistência é proporcional à diferença de potencial 
(DDP) e inversamente proporcional à corrente elétrica. Quando se aplica uma DDP nos polos 
de um resistor este não muda o valor resistência, devido à DDP, ou seja, a resistência permanece 
constante, o resistor obedece a Lei de Ohm e, então, é válida a equação (2.12).
 A Lei de Ohm muitas vezes é apresentada como na equação (2.12), porém é necessário 
destacar que existem materiais cuja resistência não permanece constante quando submetida a 
uma DDP, logo, estes materiais não obedecem à Lei de Ohm, por isso são chamados de resistores 
não Ôhmicos. A unidade de resistência elétrica é o Ohm ( ), representado pela letra grega ômega. 
4.1 Resistividade
A resistência de um material pode ser medida através de um ohmímetro. A propriedade 
de resistência do material dependente de dois fatores, da geometria do corpo (uma razão entre 
área e comprimento ) e da resistividade do material. A resistência pode ser dada pela 
Segunda Lei de Ohm, escrita da seguinte forma:
 (2.13)
em que é a resistividade do material e depende exclusivamente de cada material e da 
temperatura que o resistor está submetido na hora da medida. O fator representa a área do � o, 
e o comprimento deste. A equação (2.13) é a representação clara de que a resistência é uma 
característica do dispositivo em um circuito e a resistividade é uma característica intrínseca do 
material. A resistividade elétrica é, então, de� nida da seguinte forma:
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 (2.14)
em que é o campo elétrico dentro do material, e é a densidade de corrente. A unidade 
de resistividade é o ohm-metro ( ).
5. CIRCUITOS ELÉTRICOS
Foram enunciadas as três grandezas fundamentais que compõem um circuito elétrico, a 
DDP (tensão), a corrente elétrica e a resistência elétrica. Neste sentido, pode-se começar o estudo 
sobre circuitos elétricos. Observe a Figura 7.
Figura 7 - Circuito elétrico típico. Fonte: Halliday (2009).
A Figura 7 mostra um circuito elétrico típico, em que se tem uma fonte, representada 
pela letra , e uma carga não especi� cada que pode ser uma resistência, um motor ou outro 
dispositivo que necessite de energia elétrica. 
A corrente foi desenhada no sentido convencional. A fonte mantém uma DDP no 
circuito. Como o polo positivo da fonte está ligado no terminal da carga, este terminal possui 
um potencial elétrico maior do que o terminal ligado ao polo negativo da fonte. A fonte oferece 
uma DDP constante, a corrente estabelecida no circuito também é constante, logo a quantidade 
de carga que atravessa o circuito é igual a (ver equação 2.7). Portanto, a quantidade de 
energia potencial elétrica que se tem no circuito é dada pela equação (1.32), e diferenciando-a 
temos:
A resistência elétrica é afetada pela resistividade, porém também é afetada pela 
temperatura, como isso ocorre? 
Acesse <https://www.youtube.com/watch?v=YhyykO8pjnw> e descubra.
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 (2.15)
Então, esta primeira investigação sobre circuito elétrico, mostrado na equação (2.15), 
demonstra que a potência de um circuito de uma fonte de tensão é a multiplicação da sua tensão 
pela corrente. A unidade de potência é o Watt ( ), o mesmo da mecânica. Utilizando da equação 
(2.15) e a equação (2.12) é possível escrever a potência dissipada em uma resistência elétrica. Isto 
se faz da seguinteforma, isola-se ou na equação (2.12) e depois substitui na equação (2.15). 
Desta forma, pode-se ter duas equações para a potência dissipada:
 (2.16)
 (2.17)
A equação (2.16) demonstra a potência dissipada por um resistor medindo sua corrente, 
enquanto a equação (2.17) mostra a potência dissipada por um resistor medindo a sua DDP. 
6. LEIS DE KIRCHHOFF
Antes de explicar as Leis de Kirchho� são necessárias algumas de� nições e nomenclaturas 
sobre malha, nós e ramos. Até agora se usou o substantivo “circuito” para um conjunto de uma 
bateria, � os e a uma carga que consome energia elétrica. A representação do circuito da Figura 7 
possui uma malha. Então, podemos de� nir circuito como uma combinação de malhas. A malha 
é a menor parte de um circuito. Um circuito elétrico pode ser muito simples ou muito complexo, 
como os circuitos de um computador. Analise a Figura 8:
Figura 8 - Circuito (a) possui somente uma malha, o circuito (b) possui até 3 malhas e dois nós e o circuito (c) possui 
até 7 malhas e 4 nós. Fonte: Circuito Elétrico (2008); Leis de Kirchho� (2001); Mundim (2001). 
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Na Figura 8 é mostrado o caso de três circuitos. O circuito da Figura 8 (a) é simplesmente 
uma malha, com uma fonte e uma resistência. A malha é um circuito fechado (circuitos podem 
ser abertos). Quando se observa a Figura 8(a) há uma malha simples. Nessa malha, a parte entre 
os pontos e , chama-se ramo. A Figura 8(b) mostra um circuito contendo três malhas e dois 
nós. A p rimeira malha é representada pelos pontos abcda, a segunda pelos pontos adefa e a 
terceira pontos bce� . Os nós são representados pelos pontos a e d. O nó é o em que a corrente se 
separa. Na Figura 8(c) existe até 7 malhas e 4 nós.
Desta forma, imagine que se está em cima do ponto desta malha da Figura 8(a) e 
segue até o ponto B, a diferença de potencial é . Agora, imagine que se está em 
cima do ponto desta malha e percorre-se por completo a malha até chegar ao mesmo ponto 
, à diferença de potencial é zero, pois . Nada mais lógico, já que se saiu de 
um potencial localizado em e chegou ao mesmo potencial localizado em . Desta forma, é 
possível anunciar a Lei das Malhas de Kirchho� : “a soma algébrica das variações de potencial 
encontradas ao percorrer uma malha fechada é sempre zero”.
Observando a Figura 8(a), pode-se percorrer a malha no sentido horário, saindo do 
ponto e chegando no mesmo ponto. Encontra-se que:
 (2.18)
e obtendo que:
 (2.19)
A tensão presente na malha (circuito), segundo à equação (2.19), é a multiplicação 
da resistência pela corrente na malha, ou seja, recupera-se a Lei de Ohm. O que ocorreria se 
percorresse a malha no sentido anti-horário? O resultado obtido seria: 
 (2.20)
Isto é, a malha pode ser percorrida tanto no sentido horário quanto no sentido anti-
horário e o resultado será o mesmo. Com as demonstrações feitas nas equações (2.18), (2.19) e 
(2.20) irá se anunciar a chamada regra das resistências e a regra das fontes para malhas. A seguir:
• Regra das Resistências: quando se atravessa a resistência no sentido da corrente, a 
variação do potencial é ; mas quando se atravessa uma resistência no sentido oposto 
da corrente a variação do potencial é .
Quais são as 7 malhas e 4 nós da Figura 8(c)?
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• Regra das Fontes: quando se atravessa uma fonte ideal, do terminal negativo para o 
positivo, a variação do potencial é ; quando se atravessa uma fonte no sentido oposto 
a variação é .
Na Figura 8 (b) e Figura 8 (c) é possível notar a presença de nós. Além das malhas, existe 
também a Lei dos nós de Kirchho� : “a soma das correntes que entram em um nó é igual à soma 
das correntes que saem do nó”.
Isto implica dizer que a corrente elétrica se conserva. As Leis de Kirchho� são uma 
ferramenta poderosa no estudo de circuitos elétricos, com elas se aprenderá a fazer a associação 
de resistores.
7. RESISTORES: ASSOCIAÇÃO EM SÉRIE
Para se estudar mais a fundo o comportamento da corrente elétrica nos circuitos, 
é necessário um entendimento mais aprofundado do comportamento de vários resistores 
empregados em um circuito. Existem pelo menos três representações bem conhecidas na 
literatura, a associação em série, a associação em paralelo e a associação mista. Observe a Figura 
9 (a) e preste atenção na ligação dos resistores entre si.
Figura 9 - (a) Três resistências ligadas em série. (b) A resist ência equivalente do sistema em série. Fonte: Halliday 
(2009).
Na Figura 9 (a) há uma fonte ideal com três resistores. Esses resistores estão ligados em 
série, ou seja, a mesma corrente passa por todos eles. Toda vez que a corrente elétrica passa por 
um deles haverá uma queda de tensão pois uma parte da energia da fonte será usado por aquele 
resistor. A soma das quedas de tensão dos três resistores é a tensão da fonte. Assim, aplicando 
a lei das malhas obtém-se que: 
 (2.21)
Isolando a corrente na equação (1.59), pode-se escrever:
 (2.22)
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A equação (2.22) é similar a equação (2.19), porém na (2.22) é mostrada a chamada 
resistência equivalente, vista na Figura 9(b). Seria como se a fonte enxergasse uma única 
resistência. A resistência equivalente de uma associação em série de resistores é a soma algébrica 
dos resistores, como é possível ver a seguir na equação (2.23).
 (2.23)
Pode-se dizer que a resistência equivalente é percorrida pela mesma corrente e está 
submetida a mesma tensão que as resistências originais.
8. RESISTORES: ASSOCIAÇÃO EM PARALELO E MISTA
Agora, uma análise será feita sobre outro tipo de circuito, com mais malhas. Observe o 
circuito da Figura 10.
Figura 10 - Circuito contendo resistências ligadas em paralelo. Fonte: Teixeira (2014).
Como observado na Figura 10, há três malhas no circuito e é possível identi� car três 
resistores e uma fonte ideal. Quando a corrente sai da fonte, ela se divide em três correntes, uma 
para cada resistor, porém os resistores estão sob a mesma tensão (DDP), então, como os resistores 
estão ligados de forma que eles tenham a mesma tensão, não importando qual a corrente que 
eles estão submetidos, é dito simplesmente que eles estão ligados em paralelo. Da mesma forma 
que há associação em série, é possível escrever uma resistência equivalente para eles. Toma-se o 
seguinte raciocínio, a corrente elétrica que sai da fonte é a soma algébrica das correntes de cada 
resistor, então:
 (2.24)
Da equação (2.24) é possível observar que a relação da resistência equivalente para 
associação em paralelo é:
 (2.25)
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8.1 Associação Mista
O caso de um circuito misto é aquele que apresenta a con� guração de suas resistências 
como uma combinação da associação paralela com a associação em série ao mesmo tempo, como 
mostrado na Figura 11.
Figura 11 - Representação de um circuito com a associação mista de resistores. Fonte: Associação de Resistores 
(2008).
Na Figura 11 os resistores e estão em paralelo e eles estão em série com o resistor .
9. ASSOCIAÇÃO DE CAPACITORES EM 
PARALELO EM SÉRIE
9.1 Paralelo
Assim como ocorre com as resistências, é possível montar uma con� guração de circuito 
capacitivo tanto na forma paralela quanto na forma em série. Considere a Figura 12.
Figura 12 - Con� guração de um circuito capacitivo montado de forma paralela. Fonte: Halliday (2009).
A Figura 12 mostra um circuito com três capacitores ligados em paralelo em relação 
a bateria . Isso signi� ca que cada placa do capacitor é ligada a placa do outro capacitor, de 
modo que exista a mesma diferença de potencial DPP ( ) entre as placas dos capacitores. Assim,quando uma DDP é aplicada entre vários capacitores ligados em paralelo, a DDP ( ) é mesma 
entre todas as placas de todos os capacitores; a carga total armazenada nos capacitores é a soma 
das cargas armazenadas individualmente em cada capacitor (TRIPLE, 1999). 
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Desta forma, os capacitores que estão ligados em paralelo podem ser substituídos por um 
capacitor equivalente com a mesma carga total e a mesma diferença de potencial DDP ( . 
Fazendo uma demonstração matemática temos:
E como a carga total é a soma das cargas temos:
 (2.26)
Da equação (2.26) se obtém a capacitância equivalente , assim:
 (2.27)
A equação (2.27) vale para capacitores ligados em paralelo.
9.2 Série
A Figura 13 mostra três capacitores ligados em série à bateria . A palavra “série” 
signi� ca, sequência, ou seja, os capacitores são ligados um atrás do outro e a DDP é aplicada nas 
extremidades de todo o conjunto. 
Figura 13 - Três capacitores ligados em série. Fonte: Halliday (2009).
Com isto em mente, é possível a� rmar, quando uma DDP ( ) é aplicada a vários 
capacitores ligados em série, a carga armazenada é a mesma em todos os capacitores, pois ela 
se divide entre os capacitores e a soma algébrica das DDPs entre as placas de cada capacitor é 
igual à DDP total aplicada. O mesmo princípio da ligação paralela pode se aplicar aqui, ou seja, 
a ligação em série pode ser substituída por uma capacitância equivalente . A demonstração 
será feita a seguir:
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A DDP da bateria é a soma dos potenciais de cada capacitor, logo:
 (2.28)
A equação (2.28) implica que:
 (2.29)
em que: 
 (2.30)
Considerando que há capacitores ligados em série, pode-se ter a seguinte equação
 (2.31)
A equação (2.31) é a capacitância equivalente para capacitores ligados em série. 
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CONSIDERAÇÕES FINAIS
Nesta unidade aprendemos conceitos muito importantes acerca de diversos dispositivos 
eletrônicos, bem como suas aplicações e leis físicas que regem seus comportamentos.
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UNIDADE
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SUMÁRIO DA UNIDADE
INTRODUÇÃO ......................................................................................................................................................... 49
1. CAMPOS MAGNÉTICOS ....................................................................................................................................50
1.1 CAMPO MAGNÉTICO CRIADO POR UM FIO .................................................................................................. 52
2. LEI DE AMPÈRE ................................................................................................................................................. 53
2.1 CÁLCULO DO CAMPO MAGNÉTICO DE UM FIO LONGO RETILÍNEO PELA LEI DE AMPÈRE ................... 54
2.2 CAMPO MAGNÉTICO CRIADO POR UM SOLENOIDE (BOBINA) ................................................................ 55
3. LEI DE FARADAY ................................................................................................................................................56
4. A LEI DE LENZ ................................................................................................................................................... 57
4.1 REESCREVENDO A LEI DE INDUÇÃO DE FARADAY .....................................................................................58
5. INDUTÂNCIA ......................................................................................................................................................58
6. EQUAÇÕES DE MAXWELL................................................................................................................................ 59
ELETROMAGNETISMO E CAMPOS MAGNÉTICOS
PROF.A MA. LILIAN TUPAN
ENSINO A DISTÂNCIA
DISCIPLINA:
FÍSICA II
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6.1 A LEI DE GAUSS PARA CAMPOS MAGNÉTICOS ...................................................................................... 59
7. CAMPOS MAGNÉTICOS INDUZIDOS ...............................................................................................................60
8. AS EQUAÇÕES DE MAXWELL ..........................................................................................................................60
9. ONDAS ELETROMAGNÉTICAS ......................................................................................................................... 62
10. DESCRIÇÃO QUALITATIVA DA ONDA ELETROMAGNÉTICA ....................................................................... 63
11. COMO A ONDA ELETROMAGNÉTICA SE PROPAGA? ....................................................................................64
12. TRANSPORTE DE ENERGIA E VETOR DE POYNTING ..................................................................................65
CONSIDERAÇÕES FINAIS .....................................................................................................................................66
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INTRODUÇÃO
O avanço no estudo das cargas elétricas sejam elas estáticas ou em movimento, ainda não 
é su� ciente para explorar e modelar os fenômenos elétricos comuns na natureza. Assim, se faz 
necessário o estudo dos campos magnéticos.
Os campos magnéticos possuem um comportamento diferente dos campos elétricos em 
relação às cargas elétricas. Seu estudo detalhado expõe melhor alguns fenômenos da natureza.
Nesta unidade serão apresentados os conceitos de campo magnético, Lei de Ampère, Lei 
de Faraday, Indutância, Equações de Maxwell e Ondas Eletromagnéticas.
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1. CAMPOS MAGNÉTICOS
Assim como o campo elétrico, o campo magnético exerce uma força nas partículas 
carregadas que estão imersas na região onde há o campo magnético. Todavia, essa força possui 
algumas características diferentes da força gerada pelo campo elétrico. Inicialmente, discutiremos 
sobre a origem física do campo magnético e posteriormente analisaremos suas implicações.
De modo geral, as pessoas, no seu cotidiano, em algum momento tiveram contato com 
um imã, por exemplo, o imã de geladeira ou de uma caixa de som. Quando se aproxima um imã 
do outro, observa-se que eles se atraem ou se repelem dependendo o “lado” do imã que está 
apontado para o outro. Isso acontece porque os imãs possuem dois polos, um polo norte e um 
polo sul; diferente do campo elétrico, em que cada partícula tinha somente uma carga (positiva 
ou negativa). 
Estas forças de atraçã o e repulsão obedecem ao seguinte princípio: polos iguais se repelem 
e polos diferentes se atraem (MAXWELL, 1891). Sempre um imã ou um material magnético 
terá dois polos, até então nunca foi observado um material magnético que produza um campo 
magnético que possua somente um polo magnético; diferente da carga elétrica em que é possível 
observar somente uma carga elétrica.
Além dos imãs, uma outra forma de se produzir um campo magnético é através de uma 
corrente elétrica atravessando um � o. Quando a corrente elétrica atravessa o � o, ela produz um 
campo magnético ao seu redor. E, com esse mesmo princípio, é possível produzir um eletroímã. 
Existe, ainda, uma característica importantíssima das partículas elementares (como elétrons, 
prótons e nêutrons) que é conhecida como spin, está relacionada com o campo magnético 
intrínseco destas partículas, ou seja, o spin simplesmente está presente nas partículas. A razão 
de um imã criar um campo magnético ao seu redor é explicada pelo fato de existirem pequenas 
correntes elétricas nesse imã. Estas correntes se originam no momento angular do elétron ao 
redor do átomo e do spin.
Uma das características mais interessantessobre o campo magnético são suas propriedades 
que se assemelham com a do campo elétrico. A única diferença entre esses dois campos está 
relacionada a simetria espacial que suas forças desencadeiam.
Acesse <https://www.youtube.com/watch?v=7Tp6nIg8kYw> e descubra mais so-
bre o spin.
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F igura 1 - Um “imã” com seus polos sul e norte e suas respectivas linhas de campo magnético. As linhas saem do 
polo norte e entram no polo sul. Fonte: Silva (2008).
A Figura 1 mostra a representação mais típica de um material (objeto) que possui um 
campo magnético ao seu redor, trata-se de uma barra magnética ou um imã. As linhas de campo 
magnético saem do polo norte e entram no polo sul (isto é uma convenção). O Vetor campo 
magnético é tangente a essas linhas, ou seja, em cada ponto do espaço ao redor do imã. O 
campo magnético medido será tangente à linha de campo magnético, como foi o caso do campo 
elétrico.
Frente a estas de� nições, deve-se fazer a seguinte pergunta: o que acontece quando se tem 
uma partícula carregada dentro de um campo magnético?
A resposta a esta pergunta é que a partícula “sente” uma força de origem magnética, 
porém essa força é perpendicular à direção de movimento da partícula e perpendicular ao campo 
magnético. Matematicamente, pode-se representar tal força da seguinte forma:
 (3.1)
A equação (3.1) mostra a força , conhecida como força de Lorentz. Uma observação 
é necessária neste ponto, a componente da força na direção da velocidade é sempre zero. 
Isto signi� ca que não muda o módulo da velocidade da partícula, somente a direção 
(consequentemente, a trajetória). Para identi� car a direção da força , faz-se o uso da regra da 
mão direta, em que se direciona a mão no sentido do campo magnético, primeiramente, depois 
fecha-se os dedos no sentido da velocidade da partícula. Após isso, o dedão deve aponta na 
direção da força, como mostra a Figura 2
Figura 2 - Representação da regra da mão direita. Fonte: Halliday (2009).
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A unidade de campo magnético no SI é o Tesla ( ), mas também é usado no CGS o Gauss 
( ), que equivale: . 
1.1 Campo Magnético Criado por um Fio
O campo magnético é criado de forma intrínseca na matéria ou por uma corrente elétrica. 
Vamos, agora, analisar o campo magnético ao redor de um � o por onde � ui uma corrente elétrica. 
Primeiramente, observemos a Figura 3.
Figura 3 - Esquema de um campo magnético formado em ponto P do espaço por uma corrente elétrica que percorre 
um � o qualquer. Fonte: Halliday (2009).
Na Figura 3 existe uma corrente que percorre um � o qualquer. O objetivo é calcular 
o campo magnético no ponto . Para solucionar o problema, utilizaremos a equação (3.4-Biot-
Savart), que é escrita da seguinte forma:
 (3.4)
em que é a permeabilidade magnética do vácuo, cujo o valor é .
A permeabilidade magnética caracteriza a resistência com que o � uxo de campo magnético 
atravessa um corpo. Quanto mais alta a permeabilidade, mais linhas de campo atravessam esse 
corpo. O produto , na equação (3.4), representa um pequeno pedaço do � o onde se passa 
a corrente elétrica. Este pequeno trecho de � o está associado a uma derivada do campo 
magnético . Na mesma equação (3.4) está escrito o campo magnético na forma vetorial 
e, também, o campo magnético na forma de módulo. A equação (3.4) é conhecida como Lei de 
Biot-Savart e baseia-se em observações experimentais. Esta equação é usada para calcular alguns 
campos magnéticos criados por algumas geometrias de � os. 
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No link a seguir você encontrará um texto que auxiliará na fi xação do conceito da 
Lei de Biot-Savart.
<https://brasilescola.uol.com.br/fi sica/a-lei-biotsavart.htm>. 
No link a seguir você encontrará um vídeo que auxiliará na fi xação do conceito da 
Lei de Biot-Savart.
• <https://www.youtube.com/watch?v=k6Z0FFpcoy0>.
2. LEI DE AMPÈRE
Um cálculo interessante, que já foi mostrado anteriormente para campos elét ricos, é o 
fato de se calcular o campo elétrico para qualquer distribuição de carga por meio da Lei de Gauss. 
Do mesmo modo, é possível calcular o campo magnético associado a qualquer distribuição de 
correntes escrevendo o campo magnético , associado a um pequeno intervalo de elemento de 
corrente elétrica e depois somando estes ’s. Porém, isto pode ser muito complicado e o uso de 
computadores seria necessário. Mas se a distribuição de correntes possuir alguma simetria, pode-
se usar a chamada Lei de Ampère para determinar o campo magnético total. A Lei de Ampère é 
expressa da seguinte forma:
 (3.5)
O círculo na integral da equação (3.5) indica que a integral se trata de um caminho 
fechado e é também uma integral de linha. Este caminho fechado é chamado de amperiana. 
Também observamos que esta integração é de um produto escalar .
A corrente envolvida representa todas as correntes dentro da amperiana. Podemos 
observar um exemplo na Figura 4.
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Figura 4 - Desenho de uma curva amperiana fechada. Fonte: Lei de Ampere (2013).
Na Figura 4 é possível notar que a curva amperiana pode adquirir qualquer formato, 
podendo até assumir (na maioria dos casos) uma forma que esteja dentro da simetria do problema. 
A mão direta na Figura 4 indica o sentido escolhido arbitrariamente. Com a mão direta envolta 
da amperiana e com os dedos apontados no sentido do laço de integração, é possível concluir que 
a corrente apontada na direção do dedão é positiva e a corrente apontada na direção contraria é 
negativa. Logo, da Figura 4 pode-se concluir:
 (3.6)
2.1 Cálculo do Campo Magnético de um Fio Longo Retilíneo 
pela Lei de Ampère
Umas das aplicações mais clássicas da Lei de Ampère é para um � o longo retilíneo. A 
ideia é desenhar uma amperiana circular ao redor da seção do � o, como na Figura 5.
 
Figura 5 - Esquema demonstrando a direção e sentido do vetor campo magnético e o vetor deslocamento em uma 
amperiana. Fonte: Halliday (2009).
A Figura 5 mostra uma seção de um � o longo retilíneo percorrido por uma corrente , a 
direção e o sentido da corrente é para fora do papel. Como o � o possui uma simetria circular, é 
possível fazer uma amperiana circular de raio e, utilizando a equação (3.5), obtemos: 
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 (3.7)
Observando o resultado encontrado na equação (3.7) é possível reconhecer o campo 
magnético para um � o longo. Para melhor entendimento, algumas passagens na equação (3.7) 
serão explicadas.
Como o produto é um produto escalar, então, temos que e, 
como o ângulo entre e é zero e o cosseno é um , resulta que a parte da integral, 
em que se tem , o resultado é o comprimento da circunferência que representa a 
amperiana.
2.2 Campo Magnético Criado por um Solenoide (Bobina)
Existe uma situação em que a lei de Ampère é muito útil, quando se enrola um � o, como 
na Figura 6. Nessa con� guração, diz-se que foi criado uma bobina ou um solenoide. Quando se 
dá uma única volta em um � o é dito que foi obtida a con� guração de uma espira.
Figura 6 - Desenho de um solenoide e como se forma o campo magnético dentro dele, onde as linhas de campo 
magnético saem é o polo norte e onde as linhas de campo entram é o polo sul. Fonte: Sánchez (2013).
Quando se passa uma corrente elétrica pela bobina, cria-se, no seu centro, um campo 
magnético, como mostra a Figura 6. Isto acontece porque existem várias contribuições das partes 
da bobina. Pode-se representar, matematicamente, o campo magnético no centro de uma bobina 
ideal pela seguinte equação:
 (3.8)
em que é o número de espiras da bobina.
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Para saber como foi encontrado o campo magnético dentro de