LISTA 1 TEORIA DAS ESTRUTURAS II

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TEORIA DAS ESTRUTURAS II 
Prof. LEONARDO DE SOUZA BASTOS 
 
LISTA DE PROBLEMAS Nº1 – DESLOCAMENTOS EM VIGAS ISOSTÁTICAS 
 
1.1 – Sabendo que 
4
( )
4
. ( )
xdv
EI q x
dx
= : 
a) Determine a equação v(x) que representa a deformada da viga bi-apoiada abaixo 
(linha elástica), utilizando método da integração direta. 
(Obtenha a equação em função de EI) 
 
 
Dicas : 
• Não esqueça que cada integração gera um coeficiente. 
• Utilize as condições de contorno para eliminar os coeficientes. 
 
b) Obtenha após determinar v(x) , obtenha a deformação vertical para as seguintes 
coordenadas: ( adote E=24 GPa e Seção:15x30cm) 
X = 0,5 
X = 1,0 
X = 2,5 (deformada máxima) ; confira esse valor com o uso de uma tabela prática. 
 
c) Desenhe os diagramas de momento fletor e cortante. Observe que: 
 
(x)
d
( )
Q
q x
dx
= ; 
(x)
dM
Q( )x
dx
= ; porque onde o cortante é nulo o momento é máximo? 
 
d) Qual é as vantagens e desvantagens de determinar a deformada de uma viga 
utilizando o integração direta. 
v(x) 
Essa questão não será 
cobrada em prova. 
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1.2 – Sabendo que 
4
( )
4
. ( )
xdv
EI q x
dx
= : 
e) Determine a equação v(x) que representa a deformada da viga bi-apoiada abaixo 
(linha elástica), utilizando método da integração direta. 
(Obtenha a equação em função de EI) 
 
 
Dicas : 
• Não esqueça que cada integração gera um coeficiente. 
• Utilize as condições de contorno para eliminar os coeficientes. 
 
f) Obtenha após determinar v(x) , obtenha a deformação vertical para as seguintes 
coordenadas: (adote E=24 GPa e Seção:15x30cm) 
X = 0,5 
X = 1,0 
X = 4,0 (deformada máxima) ; confira esse valor com o uso de uma tabela prática. 
 
g) Desenhe os diagramas de momento fletor e cortante. Observe que: 
 
(x)
d
( )
Q
q x
dx
= ; 
(x)
dM
Q( )x
dx
= ; porque onde o cortante é nulo o momento é máximo? 
 
1.3 - Obtenha o flecha máxima 10δ (deformação vertical) no meio do vão, da viga 
abaixo, utilizando Principio dos Trabalhos Virtuais (PTV): 
 
 
 
a) Resolver em função de EI 
b) Obter o valor para E = 20 GPa e Seção = 10x25 cm 
Solução : Conferir com uma tabela prática de flechas em vigas ou no Ftool. 
 
v(x) 
Essa questão não será 
cobrada em prova. 
1 0δ 
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1.4- Obtenha o flecha máxima 10δ (deformação vertical) no fim do balanço, da viga 
abaixo, utilizando Principio dos Trabalhos Virtuais (PTV): 
 
 
a) Resolver em função de EI 
b) Obter o valor para E = 16 GPa e Seção = 7,5x20 cm ( ex: peça de madeira) 
 
1.5- Obtenha o flecha máxima 10δ (deformação vertical) no fim do balanço, da viga 
abaixo, utilizando Principio dos Trabalhos Virtuais (PTV): 
 
 
 
Atenção : Observe, que para utilizar a tabela de integração será necessário separar o 
diagrama de momento fletor em dois efeitos sobrepostos. 
a) Resolver em função de EI 
b) Obter o valor para E = 200 GPa e Seção W 410x46,1(perfil de Aço) 
OBS : Tabela Gerdau : W 410x46,1 � I = 15690 cm4 
Solução : 1 0 8 ,1 0 c mδ = ; confira utilizando tabe prática, somando os dois 
efeitos (carga distribuída e carga concentrada). Conferir com o Ftool também. 
 
1.6- Calcule as flechas máximas 10δ e 20δ (deformações verticais) nos locais indicados, 
da viga abaixo, utilizando Principio dos Trabalhos Virtuais (PTV): 
 
 
a) Resolver em função de EI 
b) Obter o valor para E = 200 GPa e Seção W 410x46,1(perfil de Aço) 
OBS : Tabela Gerdau : W 200x31,3 � I = 3168 cm4 
Solução : 1 0 1, 7 1c mδ = ; 2 0 2 , 5 6 c mδ = conferir com Ftool 
1 0δ 
1 0δ 
1 0δ 2 0δ 
No meio do vão 
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1.7- Determine as flechas máximas em cada vão 10δ ; 20δ e 30δ (deformações 
verticais), da viga abaixo, utilizando Principio dos Trabalhos Virtuais (PTV): 
 
 
a) Resolver em função de EI 
b) Obter o valor para E = 200 GPa e Seção W 250x22,3 (perfil de Aço) 
OBS : Tabela Gerdau : W 250x22,3 � I = 2939 cm4 
 
Solução : 1 0 8 , 2 c mδ = ; 2 0 1, 0 8 c mδ = ; 3 0 2 , 7 2 c mδ = 
 
1.8- Obtenha a flecha máxima 10δ (deformação vertical), utilizando Principio dos 
Trabalhos Virtuais (PTV): 
 
 
 
a) A estrutura é hiperestática ou isoestática ? Explique . 
b) Resolver em função de EI 
c) Obter o valor para E = 200 GPa e Seção W 360x51 (perfil de Aço) 
OBS : Tabela Gerdau : W 360x51 � I = 14222 cm4 
 
Solução : 1 0 5 , 6 8 c mδ = ; conferir com Ftool 
 
10δ 
20δ 
30δ 
No meio do vão 
10δ 
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1.9- Obtenha a flecha máxima 10δ (deformação vertical), utilizando Principio dos 
Trabalhos Virtuais (PTV). Neste exercício as barras não possuem a mesma inércia. 
 
 
a) A estrutura é hiperestática ou isoestática ? Explique . 
b) Resolver em função de EI 
c) Obter o valor para EI = 20,6 x 106 N.m³ 
Solução : 1 0 2 , 7 5 c mδ = 
 
1.10 - Obtenha a rotação máxima 10δ (ângulo) no primeiro apoido da viga abaixo, 
utilizando Principio dos Trabalhos Virtuais (PTV): 
 
 
 
a) Resolver em função de EI 
b) Obter o valor para E = 24 GPa e Seção = 15x30 cm 
Solução : 
3
1 0 9 , 6 4 1 0x r a dδ
−
= .Conferir com uma tabela prática de 
flechas/deformações ou no Ftool. 
 
 
1.11- Obtenha a rotação máxima 10δ (ângulo) no fim do balanço, da viga abaixo, 
utilizando Principio dos Trabalhos Virtuais (PTV): 
 
a) Resolver em função de EI 
b) Obter o valor para E = 200 GPa e Seção W 360x39 cm 
OBS : Tabela Gerdau : W 360x39 � I = 10331 cm4 
Solução 
2
1 0 2 , 0 2 1 0x r a dδ
−
= ; conferir no Ftool 
10δ 
2EI EI 2EI 
1 0δ 
1 0δ