Diagramas de VENN e problemas com categorias

Prévia do material em texto

Diagramas de VENN e 
problemas com categorias
Vagner Luis Zanin
Introdução 
Nesta aula estudaremos um recurso muito interessante para a resolução de problemas 
envolvendo conjuntos numéricos e que foi desenvolvido pelo matemático inglês John Venn (1834-
1923). Publicado em sua obra “Symbolic Logic” (1881), o diagrama de Venn trouxe uma grande 
contribuição para a lógica e a estatística.
Objetivos de aprendizagem
Ao final desta aula, você será capaz de:
 • entender o conceito do diagrama de Venn;
 • conhecer formas de resolução de problemas a partir do diagrama de Venn.
1 O diagrama de Venn
Para iniciarmos os estudos sobre este tema, vamos conhecer um pouco da vida do matemá-
tico inglês John Venn. Segundo Rosen (2010, p. 115):
Venn (1834-1923) nasceu em uma família do subúrbio de Londres, conhecida por sua fi-
lantropia. Ele frequentou escolas londrinas e conquistou seu diploma em matemática na 
Caius College, Cambridge, em 1857. Foi eleito membro de sua faculdade e manteve o cargo 
até a sua morte. Frequentou o seminário em 1859 e, depois de uma breve carreira religiosa, 
retornou a Cambridge, onde desenvolveu trabalhos na área da ciência moral. Além de seu 
trabalho em matemática, Venn tinha interesse em história e escreveu intensamente sobre 
sua faculdade e sua família.
Venn participou profundamente de ramos variados da ciência, sem deixar de se desenvolver 
na matemática, área onde ocorreu sua maior contribuição. Mas qual delas foi a mais importante 
e é utilizada até hoje? 
O diagrama de Venn, criado em 1881, é uma forma gráfica de representar uma coleção de 
objetos e informações e é muito aplicado para a resolução de problemas envolvendo conjuntos, 
que são utilizados amplamente na área da estatística e da probabilidade. Nesse ponto, vale desta-
car que o filósofo britânico George Boole (1815 – 1864), criador da álgebra booliana, foi o primeiro 
matemático a desenvolver a teoria dos conjuntos, estudo que serviu de base para Venn aplicar, na 
forma de balões, em seu diagrama.
George Boole nasceu em 2 de novembro de 1815 em Lincoln, Inglaterra, onde começou a frequentar a 
escola. Foi de seu pai que Boole recebeu as primeiras instruções sobre matemática e o gosto pelos instru-
mentos óticos. Quando começou a se interessar por idiomas, passou a ter aulas com um livreiro local de 
latim e grego e acreditava que esse conhecimento o ajudaria a melhorar sua condição social. Boole não 
teve formação acadêmica, mas aos 16 anos já era um professor assistente. Em 1835, abriu uma escola 
e mudou o seu interesse, passando a estudar matemática. Seu primeiro trabalho nessa área teve como 
base os estudos de Laplace e Lagrange sendo encorajado por Duncan Gregory, que estava em Cambri-
dge. Boole não pode aceitar o conselho de Duncan para frequentar cursos em Cambridge, pois precisou 
cuidar de seus pais, mas ele começou a fazer publicações na recém fundada “Cambridge Mathematical 
Journal”. Também por influência de Duncan passou a estudar álgebra. Recebeu uma medalha da Royal 
Society por uma publicação na “Trasactions of the Royal Society” sobre métodos algébricos para a solução 
de equações diferenciais e, a partir de então, o seu trabalho começou a ser conhecido.
Quadro 1 – Biografia de George Boole
Fonte: BOYER, 1996, p. 430
Figura 1 – Representação da lógica Booleana, utilizada na eletrônica digital.
Fonte: Fouad A. Saad/Shutterstock.com
EXEMPLO
A eletrônica digital é uma das tecnologias que utiliza amplamente os conceitos de 
portas lógicas desenvolvidas por George Boole, precursor dos estudos sobre a te-
oria dos conjuntos.
De acordo com Rosen (2010, p. 113), “os conjuntos podem ser representados graficamente 
usando diagramas de Venn, [...], onde o conjunto universo U, que contém todos os objetos em con-
sideração, é representado por um retângulo”. 
FIQUE ATENTO!
Embora seja fruto de um trabalho teórico, o diagrama de Venn é de suma importân-
cia no inter-relacionamento de informações e objetos. 
Figura 2 – Diagrama proposto por John Venn
Fonte: littleredshark/Shutterstock.com
FIQUE ATENTO!
A representação por balões utilizada no diagrama de Venn é uma estratégia para 
simbolizar e representar conjuntos que se entrecruzam. É possível, por exemplo, 
identificar a preferência por uma determinada marca de celular, coletando dados de 
diversos clientes de uma loja e unindo simultaneamente estes balões para identifi-
car quem gosta das marcas A, B e C ao mesmo tempo.
Podemos observar na figura 2 que os círculos, destacados em três cores básicas, unem-
se em algumas situações formando cores diferentes ou, ainda, possuem participações comuns, 
entrelaçando-se uns nos outros, formando outras cores. A partir dessa representação, é possível 
correlacionar objetos e informações, realizando operações lógicas entre conjuntos, tais como a 
união e a interseção, obtendo, assim, dados que antes pareciam insuficientes para a resolução de 
tais problemas. De acordo com Rosen (2010, p.113) “os diagramas de Venn são utilizados para 
indicar as relações entre conjuntos”.
FIQUE ATENTO!
A união e a interseção de conjuntos podem ser representadas com o diagrama de 
Venn por silogismos (raciocínio dedutivo estruturado formalmente a partir de duas 
proposições) categóricos ou hipotéticos, por meio das expressões: todo, nenhum 
e algum. 
No próximo tópico, faremos um estudo a respeito de métodos e formas de resolver proble-
mas a partir do diagrama de Venn.
2 Formas de resolução de problemas 
a partir do diagrama de Venn
Agora que já sabemos quem foi John Venn e como surgiu a ferramenta proposta por ele, 
vamos aprofundar nosso estudo nos métodos de resolução de problemas envolvendo o diagrama 
proposto por ele. Para isso, exemplificaremos alguns problemas que demonstram estratégias para 
resolução desses problemas.
SAIBA MAIS!
O livro “Introdução à História da Matemática”, de Rogério S. Mol, apresenta o início 
de diversas teorias matemática, entre elas a teoria dos conjuntos numéricos. 
Leia mais: <http://www.mat.ufmg.br/ead/acervo/livros/introducao_a_historia_da_
matematica.pdf>. 
2.1 Interseção de dois conjuntos
Em uma primeira estratégia, desenhamos os diagramas conectados por balões. Observe o 
exemplo a seguir: em uma escola há 1000 alunos, sendo que 650 deles possuem o uniforme azul 
marinho e 320 possuem o azul marinho e o verde-militar. A partir dessas informações, como pode-
mos descobrir o número de alunos que vestem somente o uniforme verde militar?
Para isso, representamos, primeiramente, as quantidades citadas no enunciado em dois 
balões que se interceptam, como mostra a figura 3:
330 320
1000
Azul Verde
X
Figura 3 – Representação da interseção de dois conjuntos
Fonte: Elaborado pelo autor, 2016.
Em um segundo passo, coletamos os dados representados nos balões e efetuamos uma 
soma de todas as quantidades, já que 1000 é o conjunto universo dos alunos dessa escola. A fór-
mula obtida fica da seguinte forma:
330 + 320 + X = 1000
Sendo assim, o resultado será a quantidade desconhecida, que é de 350 alunos.
2.2 Interseção de três conjuntos
Alguns problemas são caracterizados por uma lista de informações, onde teremos a interse-
ção de três conjuntos, simultaneamente. Neste tipo de problema, a melhor estratégia é desenhar 
a intersecção de todos os conjuntos e colocar as quantidades em todos os espaços dentro dos 
balões. Observe o exemplo a seguir: uma pesquisa de campo realizada em uma pequena cidade 
coletou os seguintes dados sobre a audiência de determinados canais de televisão.
 • 50 pessoas assistiam o canal A;
 • 30 pessoas assistiam o canal A e B;
 • 15 pessoas assistiam o canal A, B e C;
 • 20 pessoas assistiam o canal A e C;
 • 25 pessoas assistiam o canal B e C;
 • 70 pessoas assistiam o canal B;
 • 90 pessoas assistiam o canal C;
Com base nessas informações, como podemos defi nir o número total de pessoas que foram 
entrevistadas? Primeiramente, desenhamos o diagrama de Venn, inter-relacionando todas as infor-
mações. Acompanhe afi gura 4:
15
515
15
30 60
10
A
B C
X
Figura 4 - Representação de três conjuntos que se inter-relacionam
Fonte: Elaborado pelo autor, 2016.
Observe que o conjunto universo é representado pelos balões, que aparecem na fi gura 4. 
Podemos, então, concluir que a soma de todas estas quantidades nos dará o total de pessoas 
entrevistadas:
15 + 15 + 15 + 5 + 30 + 10 + 60 = 150
Ou seja, 150 pessoas foram entrevistadas nesta cidade.
EXEMPLO
Uma pesquisa realizada em uma determinada região a respeito da preferência de 
um canal de TV pode ser representada em diagramas de Venn, com o auxílio da 
teoria dos conjuntos, onde os espectadores de diferentes canais podem ser inclu-
ídos em balões para, assim, ser possível obter o número daqueles que gostam, ao 
mesmo tempo, do canal A e B, por exemplo. 
2.3 Representação de conjuntos
Neste tópico, veremos como representar, a partir do diagrama de Venn, mais de três conjun-
tos: nestes casos, não podemos representar quatro conjuntos a partir de quatro circunferências 
pois, desta maneira, não é possível representar todas as relações que se formam. Para isso, utiliza-
remos elipses para retratar, de forma adequada, todas as interseções possíveis. Observe a fi gura 5:
Figura 5 – Não é um diagrama de Venn
Fonte: Elaborado por Catiúscia Borges, 2016.
Observamos que, neste caso, nem todas as regiões possíveis são representadas. Por exem-
plo, não há uma região em que apenas o círculo azul e o verde se intersectem. Agora, observe na 
fi gura 6 a representação a partir de elipses:
Figura 6 – Diagrama de Venn para representar quatro conjuntos com quatro elipses.
Fonte: Elaborado por Catiúscia Borges, 2016.
Neste ponto, vale destacar que existem outras propostas para o diagrama de Venn formado por 
quatro conjuntos. O matemático israelense Branko Grünbaum, por exemplo, propôs um Diagrama de 
Venn para cinco conjuntos usando elipses congruentes em um arranjo radialmente simétrico.
SAIBA MAIS!
No livro “Matemática Discreta” (2010), o autor Kenneth H. Rosen aborda, de forma 
bem didática, os conceitos e definições de conjuntos e as representações do 
diagrama de Venn.
Podemos concluir que os diagramas desenvolvidos por John Venn, representados grafica-
mente por balões ou elipses, são uma maneira bem prática e visual de retratar a união e interseção 
de conjuntos e solucioná-los nos mais diversos problemas.
Fechamento
Nesta aula, você teve oportunidade de:
 • Entender o conceito do diagrama de Venn;
 • Conhecer as formas de resolução do diagrama de Venn.
Referências 
BOYER, Carl B. História da Matemática. São Paulo: Edgard Blucher,1996.
MOL, Rogério S. Introdução à história da matemática. Editora CAED-UFMG. Belo Horizonte, 
2013. Disponível em: <http://www.mat.ufmg.br/ead/acervo/livros/introducao_a_historia_da_
matematica.pdf>. Acesso em: 29 ago. 2016. 
MORAIS, José Luiz. Matemática e Lógica para Concursos. São Paulo: Editora Saraiva,2012.
ROSEN, Kenneth H. Matemática Discreta. São Paulo: Mc Graw-Hill, 2010.