Aula 1dv--Funções de duas Variáveis-Gráficos

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FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS 
 
 Prof. Me Ayrton Barboni 
 
1.1 Introdução 
 
São várias as situações do dia-a-dia de nossas vidas que lidamos, de modo 
natural, com funções de uma ou mais variáveis. 
Vejamos alguns exemplos: 
O preço p para completar o tanque de combustível dos veículos é função 
apenas do número x de litros adquiridos, isto é, o preço p depende unicamente da 
variável independente x , indicado por ( )p x kx= , onde k é o preço por litro do 
combustível. 
O juro simples j de um empréstimo financeiro é diretamente proporcional ao 
capital c envolvido, a taxa de juros i e o tempo t de duração do empréstimo. Portanto, 
trata-se de uma função de três variáveis, indicada por ( )
1
, ,
100
j c i t cit
 
=  
 
. 
Considerando fixada a taxa i , o juro simples é função de duas variáveis: o 
capital e o tempo de duração do empréstimo: 
( ),
100
i
j c t ct
 
=  
 
. 
Os exemplos que seguem visam apresentar o domínio, o contradomínio, o 
conjunto imagem e o gráfico de funções reais de uma ou mais variáveis reais. 
 
Situação-problema 1: 
 Estabeleça uma função que associa cada medida x dos lados de um quadrado 
com sua correspondente área. 
Sabemos que a cada valor de x corresponde a um quadrado de área 2x . Assim, 
podemos construir uma função f real de uma variável real x pertencente a 1 ]0, ]A a= 
com valores ( ) 2y f x x= = . 
 
 
Fig 1.1a 
 
O gráfico cartesiano desta função é a parte da parábola, cujos pares ( )P ,x y 
pertencem ao primeiro quadrante do plano cartesiano 2 . Ele indica a correspondência 
entre os quadrados com lado x , representados no eixo horizontal, e suas respectivas 
áreas 2x , representadas no eixo y vertical. 
 
 Fig 1.1b 
 
O problema proposto só faz sentido se 0x  (existe o quadrado). Então, 
1:f A → , 
*
1A + , ( )
2y f x x= = . 
 
Situação-problema 2: 
 Suponhamos que x e y sejam as medidas dos lados de um mesmo retângulo. 
Estabeleça uma função que associa as medidas dos lados do retângulo com a sua 
correspondente área. 
Sabemos que a cada par ( ),x y de números positivos corresponde a um 
retângulo de lados, respectivamente, com medidas x e y e área z . Então, z xy= . 
Podemos, por exemplo, formar uma função f real de duas variáveis reais 
1]0, ]x a A = e 2]0, ]y b A = com valores ( ),z f x y xy= = em . 
 
 
Fig 1.2a 
O gráfico cartesiano desta função forma uma superfície, cujas ternas ( )P , ,x y z 
pertencem ao primeiro octante de 3 e indicam a correspondência dos retângulos com 
lados ( ),x y representados no plano xy e suas respectivas áreas xy representadas no 
eixo z vertical. 
x
y
0 x
x²
a
a²
1
1
4
2
 
Fig 1.2b 
O problema proposto só faz sentido se 0x  e 0y  (o retângulo existe). Então, 
:f R→ , * 2R + , ( ),z f x y xy= = . 
 
Nota: Os números x , y e z sobre os eixos coordenados representam, respectivamente, 
os pontos ( ),0,0x , ( )0, ,0y e ( )0,0, z . 
 
Situação-problema 3: 
 Suponhamos que x e y sejam as medidas das arestas da base e z a aresta lateral 
de um mesmo prisma reto retângulo. Estabeleça uma função que associe as medidas 
das arestas do prisma com seu correspondente volume. 
Entendemos que a cada terna ( ), ,x y z corresponde um único prisma reto de 
arestas, respectivamente, com medidas x , y e z e volume v . Então, v x y z= . 
Podemos, por exemplo, formar uma função f real de três variáveis reais x , y e z , 
1]0, ]x a A = , 2]0, ]y b A = e 3]0, ]z c A = com valores em . 
 
Fig 1.3 
O sistema cartesiano formado pelos eixos x , y , z e v constitui uma base do 
espaço de dimensão 4 e, neste caso, nossa visão euclidiana para o gráfico da f fica 
comprometida. E, por isso, apresentamos apenas a definição: 
:f I → , * 3I + , ( ), ,v f x y z x y z= = . 
 
Exemplo 1.1 
 
Funções reais de uma e de duas variáveis reais: 
a) :f → , 1x x+ , o gráfico cartesiano é uma reta. 
 Figura 1.4a 
b)  : 4,1f − → , 2 3x x x+ , o gráfico cartesiano é parte de uma parábola. 
 Figura 1.4b 
c) :f + , x x 
 Figura 1.4c 
 
 
-1 1 2 3 4
1
2
3
4
x
y
0
-4 -3 -2 -1 1
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
0
-1 1 2 3 4
-1
1
2
3
x
y
0
d) :f  → , ( ) 2 2,x y x y+ , o gráfico cartesiano é um paraboloide. 
 Figura 1.4d 
e)  : 2,2f  − → , ( ) 2, 4x y y− 
 Figura 1.4e 
f) :f  → , ( ), 1
2
y
x y x− − , o gráfico cartesiano é um plano. 
 Figura 1.4f 
 
 
 
1.2 Funções reais de duas variáveis reais 
 
As funções :f A B→ , 2A , B , ( ) ( ), ,x y z f x y= , são reais de 
duas variáveis reais. 
x
y
z
x
y
z
x y
z
x y
 
1.2.1 Domínio e Contra domínio 
 
Dada :f A B→ , 2A , B , tal que ( ) ( ), ,x y z f x y= , chamamos o 
conjunto A de Domínio de f e o conjunto B de Contra Domínio de f . 
 
Exemplo 1.2: 
 
Considerando B = , determinar A “mais amplo”, tal que valem as sentenças: 
 
1) ( ) 2,f x y x y= 
O valor ( ),f x y é número real se 2 0x y  , isto é, se 0y  e x . Portanto, 
( ) ( ) 2, 0A D f x y y= =   
 
 
Fig. 1.5a 
 
2) ( ) ( ), ln 1f x y x y= −   
O valor ( ),f x y é número real se ( )1 0x y−  . Portanto, 
( ) ( ) ( ) 2, 1 0A D f x y x y= =  −  . 
Vemos que 1 0x−  e 0y  ou, também, 1 0x−  e 0y  descrevem o 
domínio A . 
 
 
Fig. 1.5b 
x
y
y
 
3) ( ) 2 2. 4f x y y x= − 
Devemos impor que 2 24 0y x−  para ( ),f x y ser número real. Portanto, 
( ) ( ) 2 2 2, 4 0A D f x y y x= =  −  . 
A inequação 2 24 0y x−  é equivalente a ( )( )2 2 0y x y x− +  , que também é 
equivalente a: 
2 0y x−  e 2 0y x+  (I) 
ou 
2 0y x−  e 2 0y x+  (II). 
O gráfico cartesiano de (I) juntamente com o de (II) é dado por: 
 
 
Fig. 1.5c 
 
O domínio A também pode ser descrito por 
( ) ( ) ( ) 2, 2 e 2 ou 2 e 2A x y y x y x y x y x=    −   − . 
 
4) ( )
2
,
1
f x y
xy
=
−
 
Devemos ter 1 0xy −  para que ( ),f x y seja número real. Portanto, 
( ) ( ) 2, 1A D f x y xy= =   . 
O domínio A é o conjunto dos pontos de 2 , excluídos os pares que formam a 
hipérbole equilátera de equação 1xy = . 
 
Exercícios de aplicação 1.1 
 
Seja :f A→ , 2A e ( ),z f x y= uma função. Determine o “mais amplo” 
domínio A , tal que: 
 1)
 
2 24z x y= − − 
 2)
 
2 1y x
z
x
− −
= 
 3)
 
2 29 x y
z
y
− −
= 
 4)
 
lnz x y= − 
 5)
 
( )lnz x y= − 6) 
2 2z x y= + 
 7)
 
2 2
1
z
x y
=
+
 8)
 
2 2
1
z
y x
=
−
 
 9)
 
log
x y
z
y
 +
=  
 
 10) ( )2 2ln 4z x y= − + 
11) 
2 2 2 2( , ) ln(4 ) 2f x y x y x y= − − + + + 
12) 
1
( , )
1
x
f x y
y
+
=
−
 
13) ( , ) .ln( )f x y y x x y= − + 14) ( , )
x
f x y
x y
=
−
 
15) ( , ) ln( )f x y x y= − 
 
 
1.2.2 Gráfico e conjunto imagem 
 
O gráfico de uma função de duas variáveis :f A→ , 2A , ( ),z f x y= é o 
conjunto de todos os pontos ( ) 3P , ,x y z  tais que ( ),x y A . 
Simbolicamente: ( ) ( ) ( ) 3, , , e ,G x y z x y A z f x y=   = . 
O conjunto dos números reais z do contra domínio de f tais que ( ),z f x y= 
constitui o conjunto imagem de f . 
Simbolicamente: ( ) ( ) ( ) , e ,I f z x y A z f x y=   = . 
 
Exemplos 1.3 
 
1) Descrever o gráfico da função :f A→ , 2 2z x y= − − , para o “maior” 
domínio 2A . 
O valor z é real para toda escolha de x e y reais, logo, o domínio “mais amplo” 
da f é 
2 . 
Vemos, nestas condições, que o gráfico da f intercepta os planos coordenados 
xz e yz , visto que os pontos dos eixos x e y pertencem ao domínio de f e, 
isoladamente, o separam em dois semiplanos. 
 
a) Fazendo 0y = na sentença 2 2z x y= − − , teremos a equação2z x= − da 
interseção do gráfico de f com plano xz . A equação obtida indica que a interseção é 
uma reta concorrente com os eixos z e x , respectivamente, nos pontos ( )0,0,2 e 
( )2,0,0 . 
b) Fazendo 0x = na sentença 2 2z x y= − − , teremos a equação 2 2z y= − da 
interseção do gráfico de f com o plano yz . A equação indica que a interseção também 
é uma reta que concorre com o eixo z em ( )0,0,2 e o eixo y em ( )0,1,0 . 
c) Fazendo 0z = na sentença 2 2z x y= − − , teremos a equação 1
2
x
y = − + , 
indicando que a interseção do gráfico de f com o plano xy é uma reta concorrente com 
o eixo x em ( )2,0,0 e o eixo y em ( )0,1,0 . 
 
Entendemos, do exposto, que o gráfico de f é um plano e que o conjunto imagem 
de f é . 
 
 
 
Fig. 1.6 
 
 
 2) Descrever o gráfico da função :f A→ , ( . )z f x y c= = , para o “maior” 
domínio. 
O valor z é uma constante real igual a c para todo par ( ),x y do plano xy . Isto 
é, a função associa cada par ( ) 2,x y  ao valor c , nos fazendo entender que o gráfico 
da função é um plano perpendicular ao eixo z em ( )0,0,c e que a sua interseção com os 
planos xz e yz são retas r e s paralelas ao plano xy , conforme mostra a figura abaixo. 
 
 
Fig. 1.7 
x
y
z
r s
x
y
z=c
c
(x,y)
P(x,y,c)
f(x,y)=c
O conjunto imagem da f é  I c= . 
Se 0z = , então o gráfico de f é o plano xy e as retas r e s coincidem, 
respectivamente, com o eixo x e o eixo y . 
 
 3) As equações x a= e y b= , com a e b reais, não representam gráficos de 
funções com domínio no plano xy . 
A equação x a= não depende dos valores de y e z e representa o plano 
perpendicular ao eixo x em ( ),0,0a e, portanto, paralelo ao plano yz . A interseção do 
plano x a= com o plano 0z = (plano xy ) é uma reta cuja equação também é x a= . 
A equação y b= não depende dos valores de x e z e representa o plano 
perpendicular ao eixo y em ( )0, ,0b e paralelo ao plano xz . A interseção do plano y b= 
com o plano 0z = (plano xy ) é uma reta cuja equação também é y b= . 
 
 
Fig. 1.8a 
 
 
 
Fig. 1.8b 
 
 
 
x y
z
x = a
x = a
(a,0,0)
x = 0
x
y
z
y= b
(0,b,0)
y=b
y=0
 
Observação 1.1: A equação 0x = representa o plano yz ou o eixo y , a equação 
0y = o plano xz ou o eixo x e 0z = o plano xy . 
 
Fig. 1.8c 
 
 4) Descrever o gráfico da função :f A→ , ( ), 3z f x y x= = − . 
Os valores de z dependem apenas da variável x que percorre o conjunto para 
cada escolha de y real. Portanto, o domínio de f é 
2 . 
A interseção do gráfico de f com o plano 0y = é a reta 3z x= − , com o plano 
0x = é a reta 3z = e com o plano 0z = a reta 3x = . Entendemos que o gráfico de f é 
um plano, conforme ilustra a figura abaixo. 
 
Fig. 1.9 
 
Temos que ( )I I f= = . 
 
 5) Descreva o gráfico da função :f A→ , 2 2z x y= + . 
Vemos que a cada escolha de x e y reais está associado a um só valor real para 
x
y
z
z=0
x=0
y=0
xy
xz
yz
z=3-x
x
y
z
x=3
z=3
(0,0,3)
(3,0,0)
z . Portanto, o domínio “mais amplo” para f é 2A = . 
Entendemos que o gráfico de f intercepta os planos 0y = e 0x = , pois o eixo 
x e o eixo y estão contidos em A . 
 
a) Fazendo 0y = na sentença 2 2z x y= + , teremos a equação 2z x= da 
interseção do gráfico de f com o plano 0y = que é uma parábola. 
b) Fazendo 0x = na sentença 2 2z x y= + , teremos a equação 2z y= da 
interseção do gráfico de f com o plano 0x = que é uma parábola. 
c) Fazendo 0z = na sentença 2 2z x y= + , teremos a equação 2 2 0x y+ = da 
interseção do gráfico de f com o plano 0z = , que é o ponto ( )0,0,0O . 
 
Fig. 1.10a 
 
 
Fig. 1.10b 
 
As interseções obtidas não nos fornecem informações claras a respeito da 
superfície do gráfico de f . 
 
Vamos utilizar o recurso de traçar planos perpendiculares ao eixo z por alguns 
de seus pontos e observar suas interseções com o gráfico de f . 
d) Fazendo 1z = na sentença de f , temos 2 2 1x y+ = . Isto indica que a 
interseção do plano 1z = com a superfície de f é uma circunferência de raio igual a 1. 
 
e) Fazendo 4z = na sentença de f , temos 2 2 4x y+ = . Portanto, a interseção 
de 4z = com a superfície de f uma circunferência de raio 2. 
Entendemos, agora, que o gráfico de f é um paraboloide, conforme mostra a 
figura 1.11. 
 
Fig. 1.10c 
 
Temos que ( )I I f += = . 
 
 6) Que superfície tem equação 2 2 4x y+ = ? 
 A equação 2 2 4x y+ = não depende do valor de z , isto é, se: 
 
a) 0z = , a equação é de uma circunferência do plano xy de centro ( )0,0,0 e 
raio 2. 
b) 1z = , a equação é de uma circunferência no plano 1z = de centro ( )0,0,1 e 
raio 2 . 
c) z c= , c , a equação é de uma circunferência no plano z c= de centro 
( )0,0,c e raio 2 . 
 
Portanto, entendemos que o gráfico de equação 2 2 4x y+ = em 3 é uma 
superfície cilíndrica com raio 2 e eixo z . Este gráfico, certamente, não é o de uma 
função. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 1.11a 
 
A região da superfície limitada pelos planos 1z c= e 2z c= , 2 1c c , é um cilindro 
 z 
 
 
 
 
 
 
 
 y 
 x 
 
 
 
 
 
de raio 2 e altura 2 1h c c= − e bases nos planos 1z c= e 2z c= . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 1.11b 
 7) Descreva o gráfico da função :f A→ , 
2 2
1
z
x y
=
+
, para o “maior” domínio 
2A . 
O valor z é real se x e y não forem ambos iguais à zero. Logo, 
( ) ( )  ( ) 2 2, 0 e 0 0,0D f A x y x y= =    = − . 
Vemos que, excluindo ( )0,0 , os pontos do eixo x e do eixo y pertencem ao 
domínio de f , bem como os demais pontos de 
2 . Isto nos leva a entender que o gráfico 
de f intercepta os planos 0y = e 0x = segundo as curvas 
2
1
z
x
= e 
2
1
z
y
= : 
a) Fazendo 0y = na sentença 
2 2
1
z
x y
=
+
, teremos a equação 
2
1
z
x
= da 
interseção do gráfico de f com o plano 0y = . 
b) Fazendo 0x = na sentença 
2 2
1
z
x y
=
+
, teremos a equação 
2
1
z
y
= da 
interseção do gráfico de f com o plano 0x = . 
 
Vê-se, pela sentença de f , que a cota z é estritamente positiva, logo, a superfície 
de f não intercepta o plano xy e pelo fato de (0,0) ( )D f esta, também, não intercepta 
o eixo z . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 1.12a 
 
 z 
 
 
 
 
 
 y 
 
 x 
 z 
 
 
 
 
 
 
 
 y 
 
 x 
As interseções acima obtidas não nos dão informações claras sobre a superfície 
do gráfico de f . 
Vamos utilizar o recurso de traçar planos perpendiculares ao eixo z e observar 
suas interseções com o gráfico de f . 
 
c) Fazendo 1z = na sentença de f , temos a equação 2 2 1x y+ = da interseção 
do plano 1z = com o gráfico da f . Trata-se de uma circunferência de raio igual a 1. 
d) Fazendo 4z = na sentença de f , temos outra circunferência 2 2 1/ 4x y+ =
de raio igual à 
1
2
. 
 
Podemos dizer que o gráfico de f se assemelha a um funil, cujo duto se estreita 
a medida que aumentam os valores positivos de z e se alarga indefinidamente quando z 
se aproxima de 0+ . 
 
 
 z 
 
 
 
 
 
 1 
 
 
0 y 
 
 x 
Fig. 1.12b 
 
O conjunto imagem de f é *I += . 
 
1.2.3. Curvasde nível 
 
Vimos, nos exemplos 5, 6 e 7 da seção 1.3.2, que a forma geométrica dos gráficos 
das funções de duas variáveis foram entendidas somente depois de obtidas as suas 
interseções com os planos perpendiculares ao eixo z ( , ).z c c=  
Chamaremos de curvas de nível de uma função f de duas variáveis a projeção 
sobre o plano xy de cada curva obtida pela interseção de z c= , para algum c , com 
a superfície de f . 
As curvas de níveis de uma função f são formadas pelos pontos do domínio da 
f que satisfazem a equação ( , ) , ,f x y c c=  isto é, o conjunto dos pontos do domínio 
para os quais o valor de f é constante e igual a c . 
 
 
 
Exemplo 1.5: 
 1) Seja a função 2 2 2: , ( , ) 1,f f x y x y→ = + + e os planos 3,z = 4z = e 
5z = . 
 Solução: 
 As projeções sobre o plano xy das interseções do gráfico de f com os planos 
3,z = 4z = e 5z = dados são as curvas de nível 1c , 2c e 3c . 
 
 Fig 1.13a 
 
 As curvas 1c , 2c e 3c são circunferências, respectivamente, de equações 
2 2 1 3,x y+ + = 2 2 1 4x y+ + = e 2 2 1 5x y+ + = . 
 É comum ver os agentes imobiliários apresentarem aos seus clientes um mapa do 
empreendimento contendo curvas de nível que descrevem a topografia da região e a 
localização dos lotes de terremos a serem vendidos. 
 O comprador deve entender que os pontos de cada curva têm uma mesma altitude 
e que duas curvas próximas distintas informam o desnível no terreno, numericamente, 
indicado na legenda do mapa. 
 Se o comprador escolher um lote que possui curvas de nível muito próximas, 
significa que escolheu uma área com muita declividade e, talvez, possa ser impraticável 
a construção de sua residência. 
 
 
 
 
 C3 C1 
 
 C2 
 
 
 
 
 
 Fig1.13b 
 2) Algumas curvas de nível da função 2: ,f →
2 2
5
( , ) ,
1
x
f x y
x y
−
=
+ +
 
obtidas com o auxílio de um programa de computador. 
z
y
z = 4
z = 3
z = 5
x
y
 C1 
 C2 
C3 
 
 Fig. 1.13c Fig. 1.13d 
 
 1.2.4. Gráficos obtidos com aplicativos de computador 
 
 Os aplicativos utilizados por computadores, em geral, traçam planos paralelos 
aos planos xz e yz , contendo os pontos do domínio de uma função f . Estes planos 
interceptam o gráfico de f , formando uma tela que nos permite entender a forma 
geométrica de sua superfície. 
 
Exemplo 1.6: 
 São apresentadas abaixo algumas funções de duas variáveis com os respectivos 
domínios, conjunto imagem e gráfico cartesiano. 
 
 1)   ( ) 2: 2,2 , , 4 .f x y y − → − 
 
( )  0,2I f = 
 
 
Fig. 1.14 
 
 2) ( )
1
: , , 1 .
2
f x y x y → − − 
x
y
zz
y
x
y
x
x
y
z
( )I f = 
 
Figura 1.15 
 
 3) ( )2 2 2
1 1
: , ,
2 2
f f x y x y→ = − 
( )I f = 
 
 
Figura 1.16 
 
 4) ( ) 2 2: , , 1.f A f x y x y→ = + − 
( ) ( ) 2 2 2, 1 ´́ mais amplo´́D f A x y x y= =  +  
( )I f += 
 
Fig 1.17 
x
y
z
z
x
y
x y
z
 5) ( ) 2 2: , , 16 .f A f x y x y→ = − − 
 ( ) ( ) 2 2 2, 16 ´́ mais ampló ´D f A x y x y= =  +  
 ( )  0,4I f = 
 
 
 6) ( ) 2 2
16
: , ,
1
x
f A f x y
x y
→ =
+ + 
( ) 2 ´́ mais ampló ´D f A= = 
 ( ) [ 8, 8]I f = − 
 
Fig. 1.19 
 
 
 
 
 
 
z
x y
z
y
x
Fig. 1.18 
 7) ( ) ( )2 2 2: , , senf A f x y x y→ = + 
( ) 2 ´́ mais ampló ´D f A= = 
( )  0,1I f = 
 
Fig.. 1.20 
 
 
Exercícios de aplicação 1.2: 
 
Esboçar, em 3 , o gráfico da superfície com equação: 
 
1) 2x = 
2) 3y = 
3) 4z y= − 
4) ( )
22 2 4x y+ − = , limitada pelos planos 0z = e 4z y= − . 
5) 
2 2
1
4 9
x y
+ = , limitada pelos planos 0z = e 3z = . 
6) 24z y= − , limitada inferiormente pelo plano 0z = . 
7) 
2 21z x y= − − 
8) 2 2 2 1x y z+ + = 
9) 6 2 3z x y= − − 
10) 2 24z x y= + , limitada superiormente pelo plano 4z = . 
 
z
x
y