Caderno de atividades III 6º - matemática

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MATEMÁTICA 
 
Ponto, Reta e Plano 
Você já teve uma ideia intuitiva? 
 
 
 
 
Ter uma ideia intuitiva é ter uma percepção 
imediata de algo. Ao observarmos o mundo, 
certas ideias se formam em nossa mente de 
modo intuitivo e nos ajudam a compreender 
a realidade. 
 
 
Em geometria, algumas ideias são intuitivas. São elas o ponto, a reta e o plano. 
 
 
 
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Atividade 1 
Pense e responda 
1. Observando o ambiente ao seu redor, você reconhece algo que dê a ideia de: 
a) Ponto? b) reta? c) plano? 
 
2. Para cada item, pense em três exemplos que deem as ideias de ponto, reta e plano: 
a) na natureza b) No seu material escolar. 
 
 
 
3. Se você tatear objetos como os que vemos a seguir, vai perceber bicos que lembram 
pontos (vértices), quinas que lembram partes de retas (arestas) e superfícies que 
lembram partes de planos (faces). 
 
a) Com suas palavras, descreva a figura A e B. 
 
b) Cite dois exemplos de objetos, construções, entre outros, que lembrem essas formas. 
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Essas ideias intuitivas são chamadas de noções primitivas e são aceitas sem definição 
na Geometria. 
 
O ponto não possui dimensões (comprimento, altura ou 
largura), e sua indicação é feita por letras maiúsculas do 
nosso alfabeto. 
 
A reta é imaginada sem espessura, não tem começo nem fim, ou seja, é ilimitada nos 
dois sentidos. É impossível desenhar uma reta no papel ou no quadro de giz. Por esse 
motivo, representamos apenas “uma parte” da reta e a indicamos com letras minúsculas 
do nosso alfabeto. Veja: 
 
 
O plano é imaginado sem fronteiras, ilimitado em todas as direções. 
Assim como no caso da reta, seria impossível desenhar um plano no papel ou no quadro 
de giz. Por esse motivo, representamos apenas “uma parte” do plano e a indicamos com 
letras minúsculas do alfabeto grego: 𝛼 (alfa), 𝛽 (beta), 𝛾 (gama), ... 
 
As ideias de ponto, reta e plano são modelos criados pelo ser humano e usados para 
compreender melhor certos aspectos do mundo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A Reta 
 
Observando as figuras seguintes, intuímos que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Posições relativas de duas retas em um plano 
Este esquema de ruas é parte da planta de 
uma cidade, e as ruas representadas nos 
dão a ideia de retas. 
A Rua 7 de Setembro e a Avenida República 
representam ruas que nunca se cruzam. 
Dizemos que essas ruas são paralelas. O 
mesmo ocorre com a Rua 7 de setembro e a 
Avenida Independência. 
A Avenida da Liberdade cruza a Rua 7 de 
Setembro. Dizemos que essas ruas são 
concorrentes. O mesmo ocorre com a 
Avenida da Liberdade e a Avenida Independência. 
 
Agora, acompanhe os modelos matemáticos a seguir. 
 
 Retas paralelas 
 
As retas 𝑟 e 𝑠, contidas em 𝛼 (alfa), não 
possuem ponto comum. 
As retas 𝑟 e 𝑠 são denominadas retas 
paralelas. Indicamos, 𝑟//𝑠. 
 
 
 
Retas concorrentes 
 
As retas 𝑟 e 𝑡, contidas em 𝛼, possuem um 
único ponto comum, que é o ponto A. 
As retas 𝑟 e 𝑡 são denominadas retas 
concorrentes ou secantes. Indicamos: 𝑟 × 𝑡. 
 
 
Por um ponto P qualquer 
passam infinitas retas. 
 
 
Por dois pontos distintos. A e B, 
passa uma e só uma reta. 
Podemos usar esses pontos para 
nomeá-la: 𝐴𝐵 ⃡ 
 
 
 
Observação: As retas 𝑎 e 𝑏 abaixo também 
são concorrentes ou secantes. 
Lembrando que a reta é imaginada sem 
começo nem fim. 
 
 
 
 
 
 
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Atividade 2 
São dados dois pontos distintos, 𝑃 e 𝑄. Escreva quantas retas podem passar, ao mesmo 
tempo, pelo ponto 𝑃 e pelo ponto 𝑄. 
 
Atividade 3 
Observe a figura abaixo e dê a posição relativa das retas: 
 
a) 𝑎 e 𝑏 d) 𝑐 e 𝑑 
 
b) 𝑎 e 𝑐 e) 𝑏 e 𝑐 
 
c) 𝑎 e 𝑑 
 
 
Atividade 4 
Considerando um ponto 𝑀 do plano, quantas retas podem passar por esse ponto? 
 
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Semirreta 
 
A figura 1 mostra a reta 𝑟, que passa pelos 
pontos 𝐴, 𝐵. Por ser uma reta, não tem início 
nem fim. 
 
Agora, considere o ponto 𝐴 e a parte da reta 𝑟 que, 
partindo de 𝐴, passa por 𝐵. 
Nesse caso, traçamos a semirreta que tem origem 
no ponto 𝐴 e passa pelo ponto 𝐵, como mostra a 
figura 2, indicamos:𝐴𝐵 . 
 
 
 
 
Observe novamente a figura 1 e considere o 
ponto 𝐵 e a parte da reta que, partindo de 𝐵, 
passa por 𝐴. 
 
Nesse caso, traçamos a semirreta que tem 
origem no ponto 𝐵 e passa pelo ponto 𝐴, como 
mostra a figura 3. Indicamos:𝐵𝐴 . 
 
 
 
 
 
Segmento de reta 
 
Veja a representação de um campo de futebol. Cada uma das linhas laterais, 
prolongadas indefinidamente nos dois sentidos, sugere a ideia de reta. 
 
 
Se considerarmos os pontos 𝐴 e 𝐵, que são extremidades da linha lateral em evidência 
no desenho, e os pontos dessa linha situados entre 𝐴 e 𝐵, a figura geométrica obtida 
representará uma parte da reta. Essa parte da reta, que colocamos em evidência na 
figura, denomina-se segmento de reta. 
Observe: 
 
• Os pontos 𝐴 e 𝐵 são as extremidades do segmento. 
• A reta 𝑟 é a reta suporte do segmento. 
Para nomear um segmento de reta, indicamos as letras das extremidades desse 
segmento com um traço em cima. No exemplo, temos 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ (segmento cujas extremidades 
são os pontos 𝐴 e 𝐵). 
 
Segmentos consecutivos e segmentos colineares 
 
Observe: 
 
 
• Dois segmentos que têm uma extremidade comum são denominados 
segmentos consecutivos. 
São exemplos de segmentos consecutivos: 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ e 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ ; 𝐵𝐶 ̅̅ ̅̅ ̅e 𝐵𝐷̅̅ ̅̅ ; 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ e 𝐵𝐸̅̅ ̅̅ . 
A semirreta é uma parte da reta; ela tem origem e não tem fim em apenas um sentido. 
 
 
• Dois segmentos que estão em uma mesma reta suporte são denominados 
segmentos colineares. 
São exemplos de segmentos colineares: 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ e 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ ; 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ e 𝐵𝐷̅̅ ̅̅ ; 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ e 𝐷𝐸̅̅ ̅̅ . 
São exemplos de segmentos consecutivos e colineares: 𝐵𝐷̅̅ ̅̅ e 𝐷𝐸̅̅ ̅̅ ; 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ e 𝐵𝐷̅̅ ̅̅ . 
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Atividade 5 
Escreva quantos segmentos de reta você encontra em cada figura. 
a) c) 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
Atividade 6 
Em quais figuras você não encontra segmentos de reta? 
 
 
 
Atividade 7 
Quantas e quais são as semirretas com origem no ponto 𝑃 que estão representadas na 
figura? 
 
 
Atividade 8 
Observando a figura ao lado, identifique um segmento que 
seja: 
a) consecutivo com 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ . 
b) Colinear com 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ 
c) Consecutivo com 𝐵𝐷̅̅ ̅̅ . 
 
 
Atividade 9 
Verifique se as afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas: 
 
a) 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ e 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ são consecutivos e colineares 
 
b) 𝑀𝐶̅̅̅̅̅ e 𝐶𝑁̅̅ ̅̅ são colineares e não consecutivos. 
 
c) 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ e 𝐶𝑁̅̅ ̅̅ são consecutivos e não colineares. 
 
d) 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ e 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ são colineares e não consecutivos. 
 
 
Atividade 10 
Rogério representou retas e pontos em uma 
folha utilizando régua e lápis. 
 
 
a) Quais desses pontos foram representados 
na reta azul? 
 
b) Quais desses pontos foram representados, 
simultaneamente, na reta vermelha e na reta verde? 
 
c) Em qual dessas retas podemos identificar o segmento de reta HF 
 
d) Podemos indicar a reta verde por 𝐶𝐷 ⃡ . De maneira parecida, indique as retas azul e 
vermelha. Depois, compare as indicações que você fez com as de um colega. Elas são 
iguais? 
 
Atividade 11 
Observe uma maneira de construir a representação de um segmento de rera AB de 4cm 
de comprimento. 
 
Agora é com você! Represente um segmento de reta com comprimento de: 
a) 3 cm e extremidades C e D. c) 45 mm e extremidades G e H. 
 
b) 5 cm e extremidades E e F. 
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Sólidos geométricos 
 
Observe alguns exemplos de objetos que lembram a forma de sólidos geométricos. 
 
 
 
Poliedros e corpos redondos 
Os sólidos geométricos quetêm apenas faces planas são chamados poliedros. Se 
houver, no sólido geométrico, pelo menos uma parte não plana, ou seja, arredondada, 
o solido geométrico é considerado um não poliedro. 
 
 
 
Poliedros Não poliedros 
 
 
Poli significa muitos; edros significa faces. Poliedro significa objeto com muitas faces 
 
 
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Atividade 12 
Indique se cada sólido geométrico é ou não um poliedro. 
a) c) e) g) 
 
 
 
 
 
 
b) d) f) 
 
 
 
 
 
 
Elementos de um poliedro: Vértice, face e aresta. 
Examine o poliedro ao lado. Ele tem 6 vértices, 
5 faces e 9 arestas. 
• Cada vértice é um ponto. 
• Cada aresta é um segmento de reta. 
• Cada face é uma região plana. 
• Neste poliedro, cada vértice é o encontro 
de 3 arestas. 
• Cada aresta é o encontro de 2 faces. 
• Este poliedro tem 2 faces triangulares e 
3 faces retangulares. 
 
 
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Atividade 13 
Observe o poliedro ao lado e responda. 
 
a) Quantos vértices, quantas faces e quantas arestas esse 
poliedro tem? 
 
b) Cada vértice é o encontro de quantas arestas? 
 
c) Qual é a forma das faces? 
 
 
Atividade 14 
Analisem estes poliedros. 
a) b) c) d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Agora, copie a tabela a seguir e complete-a com o número de vértices (V), o número de 
arestas (A) e o número de faces (F) de cada um. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Atividade 15 
Considere os poliedros da atividade anterior e responda. 
a) Qual deles têm o número de vértices igual ao número de faces? 
 
b) Qual tem um número ímpar de arestas? 
 
Atividade 16 
Ainda usando os poliedros da atividade 14, calcule o valor da expressão V+F-A em cada 
um deles. O que você percebeu? 
 
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Um poliedro bastante conhecido: paralelepípedo ou bloco retangular 
 
Todo sólido geométrico tem 3 dimensões e, por 
isso, é chamado de figura tridimensional. 
Observe as 3 dimensões do bloco retangular. 
 
 
 
Elementos de um bloco retangular 
Examine as imagens e observe os elementos de um bloco retangular: faces, vértices e 
arestas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Poliedros V F A 
a 
b 
c 
d 
 
 
 
Planificação do bloco retangular 
Observe como podemos desmontar ou planificar a “casca”, ou seja, a superfície de um 
bloco retangular. 
 
 
Também podemos montar a 
superfície de um paralelepípedo 
usando uma planificação. Neste 
exemplo, basta dobrar a 
planificação nas linhas tracejadas. 
 
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Atividade 16 
Circule os itens que citam objetos que lembram um paralelepípedo. 
a) Um tijolo. d) Uma geladeira. 
 
b) Uma caixa de fósforos. e) Um tubo de cola. 
 
c) Uma bola. f) Um livro. 
 
 
Atividade 17 
Determine o número de vértices (𝑉), o número de faces (𝐹) e o número de arestas (𝐴) 
em um bloco retangular. Em seguida, verifique o valor da expressão 𝑉 + 𝐹 − 𝐴 para ele. 
 
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Um caso particular de bloco retangular: o cubo 
 
Imagine um bloco retangular com as 3 dimensões de medidas iguais, ou seja, com todas 
as arestas com medidas de comprimentos iguais. Esse bloco retangular que você 
imaginou é o poliedro que chamamos de cubo. 
Observe a representação de um cubo com os elementos e a planificação da superfície 
dele. 
 
 
 
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Atividade 18 
Escreva o nome de 3 objetos que lembram a forma de um cubo. 
 
 
Atividade 19 
Examine a imagem de um cubo e da planificação da superfície dele e responda. 
 
a) Quantos vértices, arestas e faces o cubo tem? 
 
b) Qual é a forma geométrica das faces? 
 
c) Em que o cubo é semelhante aos demais blocos retangulares? 
 
d) Em que ele é diferente dos demais blocos retangulares? 
 
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Prismas e pirâmides 
 
Os blocos retangulares (ou paralelepípedos) fazem parte de um grupo maior chamado 
prismas. Outro grupo importante de poliedros são as pirâmides. 
 
Prismas 
 
Os prismas possuem faces laterais retangulares e duas bases idênticas e paralelas 
entre si. Veja a representação de alguns deles. As faces pintadas de laranja são as 
bases dos prismas e as demais são as faces laterais. 
 
 
 
Observe que o nome do prisma é definido de acordo com a forma das bases dele. 
 
Pirâmides 
As pirâmides possuem uma base. Suas faces laterais são triangulares e todas as 
arestas determinadas pelas faces laterais possuem um vértice em comum. Veja a 
representação de algumas delas. As faces em verde são as bases e as demais são as 
faces laterais. 
 
 
Toda pirâmide tem faces laterais triangulares. 
Observe que o nome da pirâmide também é definido de acordo com a forma da base 
dela. 
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Atividade 20 
Responda: 
a) Qual é a forma das faces laterais em todos os prismas? 
 
b) E qual é a forma das bases? 
 
 
Atividade 21 
Responda: 
a) Qual é a forma das faces laterais em todas as pirâmides? 
 
b) E qual é a forma da base? 
 
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Nomenclatura 
 
A nomenclatura de prismas e pirâmides é feita de acordo com o polígono da base. 
Observe o quadro abaixo com exemplos de nomenclatura desses poliedros. 
 
Número de lados da base 
Poliedro 3 lados 4 lados 5 lados 6 lados 
Prisma Prisma 
triangular 
Prisma 
quadrangular 
Prisma 
pentagonal 
Prisma 
hexagonal 
Pirâmide Pirâmide 
triangular 
Pirâmide 
quadrangular 
Pirâmide 
pentagonal 
Pirâmide 
hexagonal 
 
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Atividade 22 
Você já viu que os prismas e as pirâmides têm algumas características diferentes. 
Escreva duas diferenças entre os prismas e as pirâmides. 
 
 
Atividade 23 
Se um prisma possui 6 arestas na sua base, como ele é chamado? Quantos vértices 
ele possui? 
 
Atividade 24 
Observe a pirâmide abaixo e responda: 
 
a) Quantas faces, vértices e arestas tem essa pirâmide? 
 
b) Qual a forma de suas faces laterais? E de sua base? 
 
c) Do que depende seu nome? Como podemos nomeá-las? 
 
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