Unidade 3 - Trigonometria e sistemas de coordenadas

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Unidade 3 - Trigonometria e sistemas de coordenadas
OBJETIVOS DA UNIDADE
· Compreender conceitos básicos da trigonometria como ângulos, seno, cosseno e tangente, e o círculo trigonométrico;
· Compreender um sistema de coordenadas em duas e três dimensões;
· Calcular o valor de distâncias nos sistemas de coordenadas.
Esta unidade trará elementos básicos da trigonometria para o entendimento dos instrumentos, como os ângulos e o círculo trigonométrico, apresentando como eles são empregados como unidades de medida, além das distinções expressivas e numéricas de graus e radianos.
Para aprofundar a compreensão sobre o círculo trigonométrico, será revisitado o teorema de Pitágoras, um teorema de fundamental importância para a trigonometria. Somado a isso, serão trazidas as definições de seno, cosseno e tangente presentes no círculo trigonométrico e no triângulo retângulo.
ÂNGULOS E UNIDADES DE MEDIDA
Há conhecimentos que compõem os fundamentos da matemática e são utilizados em áreas como análise, trigonometria e geometria. Um deles é o ângulo. O estudo dos ângulos não se restringe à matemática e influencia inúmeras áreas do conhecimento de navegação, astronomia e aviação. Existem muitas influências práticas disso, como a explicação sobre o formato do planeta, descartando a que apontou, por muitos séculos, que a Terra seria plana.
A princípio, tal ideia será explicitada por meio da geometria, considerando o encontro de duas semirretas com a mesma origem (vértice), como na Figura 1. O ponto A é o vértice das duas semirretas, já B e C são pontos arbitrários que demarcam as semirretas.
EXPLICANDO
As semirretas têm um começo demarcado por um ponto, mas não têm fim. Em outras palavras, elas se iniciam num ponto (vértice) e passam por outro ponto, estendendo-se de maneira ilimitada.
Ao se pensar o ângulo como uma medida de abertura entre semirretas, se idealiza uma variação, isto é, um ângulo maior ou menor descreve uma abertura grande ou pequena.
Ressalta-se que o ângulo não leva em conta para onde apontam as semirretas, apenas a abertura que se dá entre elas. A Figura 2 traz o mesmo ângulo que a Figura 1, mesmo que as orientações das semirretas tenham mudado.
Figura 2. Reprodução do mesmo ângulo.
Ambas apresentam o ângulo descrevendo suas características e sentido geométrico. Porém, há mecanismos para se medir um ângulo em quantidade, sendo aferido em graus e em radianos.
Figura 3. Representação de 1 grau.
Essa unidade de medida é usual na construção de objetos matemáticos. Ressalta-se, contudo, que a unidade grau é subdividida em duas outras unidades: o minuto e o segundo. 1° tem 60 minutos (60’). Caso 1° for dividido em 60 partes, cada uma delas será uma unidade de minuto. Caso o minuto for dividido em 60 partes, a unidade será denominada segundo (‘’). Em outras palavras, a relação entre as medidas se dá pela seguinte conversão:
Figura 4. Ilustração de um radiano.
Como ambas as medidas (graus e radianos) são dadas em função de uma circunferência, se estabelece uma relação entre elas de:
Por fim, ainda há a terminologia relativa a ângulos específicos. Um ângulo reto é aquele cuja medida equivale a 90°. Os que têm menos do que 90° são chamados de ângulos agudos e os que têm a medida mais do que 90° são os ângulos obtusos.
TRIÂNGULO RETÂNGULO, CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO E IDENTIDADES
Num triângulo retângulo com lados a, b e c, conforme a Figura 5, as áreas de quadrados construídos com base nos lados são comparadas. O lado de maior tamanho, oposto ao ângulo reto, é chamado hipotenusa. Os outros dois lados recebem o nome de catetos.
Figura 5. Construção geométrica do teorema de Pitágoras.
O teorema de Pitágoras exprime a seguinte relação:
ASSISTA
A racionalização é um artifício matemático que trabalha com uma fração com raiz no denominador. O vídeo Racionalização de denominadores, do canal Matemática no Papel traz casos de racionalização.
https://youtu.be/cvLaDKWbQEc
No exemplo anterior, foram encontrados os valores de objetos trigonométricos (cosseno e tangente) através do valor de outro (seno). Todavia, é possível chegar aos valores de cada um deles por outra maneira. Alguns dos valores, nesse momento, serão definidos e recordados ao longo dos cursos de cálculo. O Quadro 1 exibe os valores dos ângulos, senos, cossenos e tangentes.
Além da fixação de seno, cosseno e tangente apoiada no círculo trigonométrico e nos valores dos ângulos notáveis, eles são aproveitados nos estudos dos triângulos retângulos. Quando estudados a partir de triângulos retângulos, são chamados de razões trigonométricas. Razão por referir-se a uma divisão e trigonométrica por tratar de itens de trigonometria - seno, cosseno e tangente. Toma-se como base o triângulo retângulo, com hipotenusa a, catetos b e c, e dois ângulos agudos, x e y, representados pela Figura 7:
O ângulo θ é um ângulo qualquer que pertence ao triângulo retângulo. A hipotenusa é o maior lado do triângulo, sempre oposto ao ângulo reto (90°), expressa por a na Figura 7. Os catetos são b e c, e o fato de serem adjacentes ou opostos depende do referencial adotado. O cateto adjacente é o mais próximo ao ângulo de referência, e o cateto oposto, do mesmo modo, está do lado oposto ao ângulo de referência. Tomando como referência o ângulo y, são demarcados os artifícios já citados, levando em consideração os catetos oposto e adjacente:
Coordenadas, planos e movimento
As coordenadas são vistas dentro de um plano cartesiano bidimensional, no qual se mede uma distância entres dois pontos dentro do sistema de coordenadas, generalizando o Teorema de Pitágoras e expandindo para o estudo do plano tridimensional, possibilitando o cálculo da distância dentro desse contexto.
Por fim, será discutida a ideia de movimento em três dimensões em um aspecto abstrato, sem cálculos, bem como a composição do movimento em uma dimensão combinando um movimento em três dimensões.
COORDENADAS E PLANO TRIDIMENSIONAL
Ao se pensar em princípios físicos básicos, um dos focos de estudo é sua posição. Saber determinar a posição de um objeto no espaço é de fundamental importância para a aviação. Quando o avião se prepara para aterrissar em uma pista, saber sua localização exata impede que aconteça uma colisão com outra aeronave, ou até mesmo que ele pouse em uma pista errada. Os registros históricos são vastos em acidentes causados pela ausência de informação precisa, em especial no século passado.
Um sistema que dá uma noção exata de posição é o sistema de coordenadas. Embora existam muitos tipos de sistemas, apenas o sistema de coordenadas cartesianas será tratado aqui. Ele conta com um plano cartesiano formado por duas retas reais (eixo x e y) e ortogonais:
Figura 8. Plano cartesiano e dois pontos A e B arbitrários.
Cada ponto presente é indicado por um par ordenado, um conjunto de dois números reais (x, y) que dão a posição do ponto. A Figura 8 ostenta dois pontos A e B dentro do sistema de coordenadas. No caso, os pares ordenados são deliberados em modo visual.
Para delimitar os pares ordenados, são traçadas retas paralelas aos eixos que passam pelos pontos. A Figura 9 traz essa situação, de modo a ilustrar os pares ordenados dos pontos A e B:
Figura 9. Linhas de referência para pares ordenados.
Para os pares ordenados A e B, basta observar as retas paralelas vermelhas e azuis, lembrando que o par ordenado é indicado por (x, y). Para o ponto A, pela reta vermelha, nota-se que seu valor é x = 3, enquanto a azul aponta o valor de y = 3. Assim, seu par ordenado é (3,3).
Com os pares ordenados do ponto B, ocorre a mesma coisa. Considerando a reta vermelha, paralela ao eixo y, B está na coordenada -2 de x e 1 de y. Portanto, seu par ordenado seria (-2,1). Vale ressaltar aqui que a ordem do par ordenado é relevante. Por exemplo, caso o ponto B tivesse coordenadas (1,-2), diferentes de (-2,1), sua localização no sistema de coordenadas seria distinta. Por isso, um par ordenado sempre será escrito como (x, y) e nunca do modo (y, x).
Uma aplicação da aviação no estudo de coordenadas
em um plano bidimensional é referente à distância entre dois pontos quaisquer. Por exemplo, um espectador, ao ver um avião que está no ponto A chegar até o ponto B, indaga qual a distância que o avião percorreu.
A distância entre dois pontos quaisquer é apurada por uma ferramenta conhecida da Geometria: o teorema de Pitágoras. A Figura 10 exemplifica a aplicação do teorema. 
Figura 10. Distância entre dois pontos.
Uma vez construído o triângulo retângulo e conhecidos os catetos, tem-se a hipotenusa como a distância entre os pontos A e B. Assim, para saber o valor numérico, é aplicado o teorema de Pitágoras:
A distância entre os pontos A e B foi dada pelo teorema de Pitágoras, ressaltando que a aferição da distância é feita a partir de quaisquer dois pontos genéricos, inclusive sem que se recorra à visualização gráfica dos pontos para efetuar os cálculos.
Dois pontos arbitrários, C e D, têm pares ordenados (x1, y1) e (x2, y2), respectivamente. A distância d entre os pontos, também pelo teorema de Pitágoras, é determinada como:
Compreendido o sistema de coordenadas bidimensional e como se calcula uma distância entre dois pontos por ele, isso é estendido para um sistema tridimensional que simula o mundo físico.
Figura 11. Captura de tela do programa Geogebra com um plano 3D com dois pontos.
A Figura 11 apresenta um plano tridimensional, constituído de um plano bidimensional com um novo eixo ortogonal adicionado, designado como eixo z, composto por uma reta numérica pertencente ao conjunto dos números reais. 
No plano tridimensional, a identificação das coordenadas dos pontos é mais difícil. Agora, elas são chamadas de tripla ordenada, pois são definidas por três números, escritos na forma (x, y, z). Dentro do sistema, o cálculo da distância entre pontos possui similaridades com o sistema bidimensional. Em um sistema bidimensional, a fórmula de cálculo da distância se dá através do teorema de Pitágoras:
ASSISTA
A dedução da fórmula pode ser realizada de inúmeros jeitos. Não é necessário, porém, que o aluno saiba como foi deduzida, mas caso haja o desejo de aprofundamento matemático, o vídeo Chegando à formula para distância entre pontos no espaço, do canal Academia Zanella, traz uma discussão de como a dedução é feita.
https://www.youtube.com/watch?v=j0-O9FM1Ntw&feature=youtu.be
Sabendo que os pontos A e B contêm coordenadas (3,2,3) e (1,1,1), se efetuar o cálculo da distância entre os pontos substituindo os valores na fórmula supracitada:
// EXEMPLO 1
Um controlador de voo observa a movimentação de uma aeronave de um ponto A, de coordenadas (7,3,2) tendo, como opções de descida, um ponto B de coordenadas (0,0,0) e um ponto C de coordenadas (10,10,0). Sabendo-se que o piloto tem de optar pela menor distância a ser percorrida, qual o ponto a ser escolhido para a descida?
Com o propósito de resolver o problema, é estimada a distância do ponto A até os pontos B e C a fim de verificar qual das duas distâncias é menor. Para tal fim, se usa a fórmula de distância entre dois pontos em um plano tridimensional. Em relação à distância de A para B, ela é obtida por:
Como a distância é igual entre os pontos A e B, e A e C, o piloto pode escolher qualquer um dos destinos para pousar a aeronave.
// EXEMPLO 2
Um controlador de voo observa a movimentação de uma aeronave de um ponto A, de coordenadas (8,4,4) tendo como opções de descida um ponto B de coordenadas (0,0,0) e um ponto C de coordenadas (5,5,0). Sabendo-se que o piloto deve optar pela menor distância a ser percorrida, qual o ponto a ser escolhido para a descida?
Para se resolver o exercício, é calculada a distância do ponto A até os pontos B e C a fim de verificar qual das duas distâncias é menor. Para tanto, entra a fórmula de distância entre dois pontos em um plano tridimensional. A distância de A para B é estimada por:
Como a distância de A para B (9,80) é maior do que a distância do ponto A para C (5,1), o ponto escolhido para a descida será o ponto C. Os cálculos da distância entre pontos, ao se pensar em uma situação real, mensuram a movimentação de uma aeronave no espaço tridimensional. Entender a movimentação física, no entanto, não é tão simples assim.
MOVIMENTO EM 3 DIMENSÕES
As leis físicas válidas para duas dimensões podem ser trabalhadas sem instrumentos mais complexos, como um vetor. Não obstante, para o estudo de movimentos em 3 dimensões, o trabalho com vetores passa a ser essencial, por mais que se trate de algo referente a cálculo vetorial.
Em todo caso, é possível analisar como seria o movimento em três dimensões sem esse conceito matemático. Para isso, quando se desloca em três dimensões, é necessário ter em mente o movimento nos três eixos (x, y e z) e ao longo do tempo (t). Assim, surge a reprodução para cada um dos eixos, utilizando o movimento em uma dimensão, visto na Figura 12.
Concatenando as três em uma só, se chega ao gráfico com o movimento em três dimensões. A Figura 13 proporciona o resultado da concatenação.
Figura 13. Movimento de um objeto em três dimensões. Fonte: KINEMATICS. Acesso em: 09 jan. 2020.
Logo, se compreende como é composto o movimento tridimensional. Todavia, para seu estudo quantitativo se empregam componentes matemáticos mais sofisticados, que tenham direcionalidade e sentido. Tais componentes serão estudados de outras disciplinas mais avançadas.
SINTETIZANDO
Na primeira parte desta unidade, foram compreendidos e descritos elementos básicos da trigonometria, tais como ângulos, seno, cosseno, tangente e o círculo trigonométrico. Os ângulos, bem como o círculo trigonométrico, foram discutidos como unidade de medidas por meio do triângulo retângulo e do teorema de Pitágoras.
Também foi apresentado o sistema de coordenadas em duas e três dimensões. Expostos os planos geométricos em questão, se mostrou como é feita a representação de pontos nos sistemas de coordenadas.
Por fim, foi revelado o cálculo numérico de distâncias dentro dos sistemas de coordenadas, explorando o teorema de Pitágoras para o cálculo de distâncias em um plano bidimensional e tridimensional.
Tais elementos são de vital importância nas Ciências Aeronáuticas pois, sem elas, seria impossível o controle e localização de aeronaves, ou quaisquer outros objetos voadores. Logo, é preciso saber as noções mínimas para sua aplicação no cotidiano profissional.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
CHEGANDO à formula para distância entre pontos no espaço. Postado por Academia Zanella. (10min. 00s). son. color. port. Disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=j0-O9FM1Ntw>. Acesso em: 09 jan. 2020.
KINEMATICS in 3D. Postado por Physics From A to Z. (10min. 05s). son. color. ing. Disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=-LyiR8wo9Sk>. Acesso em: 09 jan. 2020.
RACIONALIZAÇÃO de Denominadores. Postado por Matemática no Papel. (12min. 13s.). son. color. port. Disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=cvLaDKWbQEc>. Acesso em: 09 jan. 2020. 
STEWART, J. Calculus: early transcendentals. Thomson Brooks/Cole, v. 6, 2003.