UCA001_Pesquisa_Operacional_FICHA_web(1)

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PESQUISA 
OPERACIONAL
PESQUISA 
OPERACIONAL
Dayse Mendes 
Joab Symon Costa Santos
© Copyright 2018 da Dtcom. É permitida a reprodução total ou parcial, desde que sejam respeitados os 
direitos do Autor, conforme determinam a Lei n.º 9.610/98 (Lei do Direito Autoral) e a Constituição Federal, 
art. 5º, inc. XXVII e XXVIII, “a” e “b”. 
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
(Ficha catalográfica elaborada pela Dtcom. Bibliotecária – Vanessa Gabriele de Araújo - CRB 14/1498)
M538p 
Mendes, Dayse.
Pesquisa Operacional / Dayse Mendes; Joab Symon Costa Santos. – Curitiba, 
PR: Dtcom, 2018. 
148 p. 
Inclui bibliografia.
ISBN 978-85-93685-44-6
1. Pesquisa operacional. 2. I. Santos, Joab Symon Costa. II. Título.
CDD 658.4034 
Reitor Prof. Celso Niskier
Pro-Reitor Acadêmico Maximiliano Pinto Damas
Pro-Reitor Administrativo e de Operações Antonio Alberto Bittencourt
Coordenação do Núcleo de Educação a Distância Viviana Gondim de Carvalho 
Redação Dtcom
Análise educacional Dtcom
Autoria da Disciplina Dayse Mendes, Joab Symon Costa Santos
Validação da Disciplina Thiago Graça Ramos
Designer instrucional Milena Rettondini Noboa
Banco de Imagens Shutterstock.com
Produção do Material Didático-Pedagógico Dtcom
Sumário
01 Origens e fundamentos da pesquisa operacional ............................................................. 7
02 Conceitos e objetivos da pesquisa operacional ...............................................................14
03 Metodologia e fases de estudo de pesquisa operacional ..............................................20
04 Construção de um modelo ...................................................................................................27
05 Aplicações em logística, produção e vendas ....................................................................33
06 Introdução a modelagem ......................................................................................................40
07 Estrutura de um modelo ........................................................................................................48
08 Variáveis controláveis e não-controláveis .........................................................................55
09 Problema de maximização e minimização .......................................................................62
10 Estrutura do modelo de programação linear completo ..................................................69
11 Exemplos reais de Solução com Pesquisa Operacional .................................................75
12 Resolução gráfica de um problema com duas variáveis ................................................82
13 Construir a região desolução das restrições ....................................................................89
14 Áreas do gráfico para solução ideal ....................................................................................95
15 Problemas de programação linear em gráficos ............................................................ 102
16 Apresentação do Método Simplex ................................................................................... 112
17 Problemas de Maximização .............................................................................................. 118
18 Método da variável auxiliar m grande .............................................................................. 124
19 Solver ..................................................................................................................................... 131
20 Interpretação da solução do Solver ................................................................................. 139
Origens e fundamentos 
da pesquisa operacional
Dayse Mendes
Joab Symon Costa Santos
Introdução
Nesta aula, estudaremos sobre o surgimento da Pesquisa Operacional, e será possível obser-
var como ela auxilia o gestor a tomar decisões e a melhorar os resultados das empresas por meio 
de uma série de técnicas e modelos matemáticos. Vamos lá!
Objetivos de aprendizagem
Ao final desta aula, você será capaz de:
 • conhecer a história, conceito e evolução da pesquisa operacional;
 • entender como a aplicação prática da pesquisa operacional contribui para os resulta-
dos organizacionais;
 • compreender os algoritmos e sistemas matemáticos aplicados na programação linear. 
1 História da pesquisa operacional
A Pesquisa Operacional é um procedimento que auxilia o gestor a tomar decisões com solu-
ção ótima em um problema. O termo vem do inglês Operations Research, uma tentativa de reunir 
várias técnicas matemáticas para obter as informações necessárias à resolução de problemas. 
A Pesquisa Operacional foi desenvolvida durante a Segunda Guerra Mundial, motivada pela 
necessidade de novas técnicas que auxiliassem a vencer o conflito, e estendeu-se a todas as ciên-
cias do período. Para Marins (2011, p. 14): 
O início da PO é, no Ocidente, geralmente atribuído às iniciativas dos serviços mili-
tares no início da Segunda Guerra Mundial. Têm-se, por exemplo, estudos relacio-
nados com o desenvolvimento e uso do radar, problema de alocação eficiente de 
recursos escassos às várias operações militares [...]. 
Assim, fica claro que uma série de operações militares foi resolvida com os métodos de Pes-
quisa Operacional. 
 – 7 – 
TEMA 1
Figura 1 – Estudo das ações militares na Segunda Guerra Mundial
construtor militar
ELEMENTOS INFORGRáFICOS
ZONA MILITAR DE
CONFLITO NO MUNDO
Ucrânia
Síria
Iraque
Afeganistão
Líbia
Nigéria
México
Sudão
do Sul
Congo
CONFLITOS
MILITARES
ocorrendo no mundo
até o momento
Recursos humanosA localização das
unidaes militares
Símbolos basicos
táticos
Lugares de luta
CLASSIFICAÇÃO
GERAL
VEÍCULOS
ARMADOSSOLDADOS AVIÃO SUBMARINO
DESPESAS
MILITARES
OGIVA
NUCLEAR
as 15 potÊncias militares
ao redos do mundo
DIA INTERNACIONAL
DA PAZ
Setembro
ESTABELECIDO
PELA ONU EM
ASSEMBLÉIA GERAL
mais de
pessoa morreram
em guerras no
século 21
trilhões
alocados em despesas
militares no mundo em
2014
jornalistas mortos
em locais de conflito
em 2014
NOTÍCIA
bilhões
gastos em necessidades
militares na Russia em 2014 milhões
de pessoas
se tornaram
refugiados
Fonte: A7880S/Shutterstock.com 
No Brasil, a Pesquisa Operacional chegou ao final da década de 1950, sendo desenvolvida na 
Escola Politécnica da Universidade de São Paulo. Como os professores de lá atuavam no setor privado, 
começaram as primeiras aplicações de PO aos problemas reais. E, em 1966 foi fundada a SOBRAPO 
– Sociedade Brasileira de Pesquisa Operacional, que congrega interessados em PO. (MARINS, 2011).
SAIBA MAIS!
A SOBRAPO ainda promove estudos, eventos, simpósios, incentivando o desenvol-
vimento da Pesquisa Operacional no Brasil, e promovendo a integração dos estu-
diosos do assunto no país com os de outros países, por meio de convênio com so-
ciedades no exterior. Mais informações podem ser encontradas em no link: <http://
www.sobrapo.org.br/>.
Vamos, agora, observar como a PO se desenvolveu, passando de uma ferramenta em opera-
ções militares a um procedimento de auxílio a qualquer tipo de organização. 
2 Desenvolvimento da pesquisa operacional
Ao final da Segunda Guerra, percebeu-se que a PO poderia ser utilizada fora do ambiente 
militar. Com o setor empresarial ficando mais complexo, surgiu a necessidade de procedimentos 
que apoiassem os gestores em suas decisões. No início dos anos 1950, introduziu-se o emprego 
PESQUISA OPERACIONAL
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http://www.sobrapo.org.br/
http://www.sobrapo.org.br/
da PO em uma gama de organizações nos setores comercial, industrial e governamental. A rápida 
disseminação da PO veio a seguir. 
Inicialmente, as equipes de analistas operacionais trabalharam na Grã-Bretanha durante a 
segunda guerra. Depois, elas se expandem para o Canadá, Austrália e Estados Unidos. 
Cordeiro (2009) cita que embora a PO seja oriunda na Inglaterra, a propagação dela deve-
-se, principalmente, à equipe de cientistas liderada por George B. Dantzig, dosEstados Unidos, 
convocada durante o conflito. Dantzig desenvolveu e formalizou o Método Simplex para resolver 
problemas de otimização. Este é um método de resolução manual de problemas que permite a 
modelagem com formulações matemáticas lineares.
FIQUE ATENTO!
Tendo em vista a multidisciplinaridade da Pesquisa Operacional, pode-se visualizar 
suas contribuições em praticamente todas as esferas de desenvolvimento científico. 
As mais diferentes áreas como as Engenharias, a Economia, a Administração e, até 
mesmo a Medicina, utilizam-se dos métodos de resolução da Pesquisa Operacional.
Vale comentar que, segundo Hillier e Lieberman (2006), a Pesquisa Operacional cresceu 
simultaneamente com a computação, posto que a resolução de problemas em PO usa algoritmos 
computacionais com grande frequência.
Figura 2 – Algoritmos computacionais e a Pesquisa Operacional
Fonte: Alexandre III/Shutterstock.com
Vimos que a PO se expande de necessidades da Segunda Guerra para um método possível 
de se usar em todas as organizações. A seguir, observaremos quais são as técnicas matemáticas 
possíveis de utilização em Pesquisa Operacional.
PESQUISA OPERACIONAL
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3 Técnicas matemáticas em Pesquisa Operacional
A resolução de problemas proposta em PO, para auxiliar o gestor na tomada de decisão, parte 
do pressuposto que é possível observar uma situação da realidade e transformá-la em formula-
ções matemáticas. Nesse contexto, conforme Cordeiro (2009), a PO utiliza uma série de técnicas 
matemáticas, tais como teoria dos jogos, teoria das filas, teoria dos grafos, programação linear, 
análise estatística e cálculo de probabilidade. 
Quadro 1 – Técnicas matemáticas em PO
Teoria dos jogos
É aplicada a situações de conflito que envolve disputa de interesses entre 
dois ou mais jogadores em disputa, sendo que cada um pode assumir uma 
série de ações possíveis, delimitadas pelas regras do jogo.
Teoria das filas
Tem como foco observar o tempo médio de espera dos clientes em um 
determinado serviço. Seus pontos de interesse são o tempo de espera dos 
clientes, o número de clientes na fila, e a razão entre o tempo de espera e o 
tempo de prestação de serviço.
Teoria dos grafos
Oferece técnicas de planejamento e programação por redes. Estas se apre-
sentam em formato de diagrama de flechas. São aplicáveis em projetos 
que envolvam várias operações e etapas, vários recursos, diferentes ór-
gãos envolvidos, prazos e custos mínimos.
Programação linear
É uma técnica matemática que visa à análise de uso de recursos restritos 
de produção para que se possa otimizar a solução do problema. É uma 
técnica exige a definição dos valores das variáveis de decisão envolvidas 
na situação problema para otimizar um objetivo a ser alcançado dentro de 
um conjunto de limitações ou restrições.
Análise estatística e 
cálculo de probabilidade
A primeira consiste no método matemático utilizado para obter uma in-
formação com uma quantidade de dados menor do que todo o universo 
dados. Já o segundo permite que se calcule a chance de ocorrência de 
uma situação específica em várias alternativas possíveis. 
Fonte: adaptado de CORDEIRO, 2009.
EXEMPLO
Uma das técnicas matemáticas para resolução de problemas em PO é a teoria da 
fila. Observe que um smartphone chega a cada 3 min no setor de qualidade, no qual 
será inspecionado. Lá, tem somente um operário para realizar a inspeção e ele a 
faz de modo que o primeiro aparelho inspecionado seja sempre o primeiro da fila. 
Os demais ficam aguardando a inspeção, posto que o operário leva 4 minutos para 
inspecionar cada aparelho. Com base na teoria da fila, é possível calcular o número 
médio de smartphones na fila e o tempo médio de espera.
PESQUISA OPERACIONAL
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Cada uma das técnicas apresenta-se mais favorável para um determinado tipo de situação. 
Cabe ao gestor identificar a situação para poder escolher a técnica mais conveniente.
FIQUE ATENTO!
A Pesquisa Operacional lida com problemas organizacionais que serão resolvidos 
por técnicas matemáticas das mais variadas possíveis. Desta forma, a PO fornece 
um conjunto de procedimentos quantitativos para tratar de forma padrão os proble-
mas organizacionais.
Portanto, há várias técnicas matemáticas existentes em PO. A seguir, conheceremos o que é 
um modelo e como aplicá-lo.
4 Modelos matemáticos
De acordo com Marins (2011) modelos são representações simplificadas da realidade para 
verificar o funcionamento de uma determinada atividade sem interrompê-la.
Figura 3 – Modelos matemáticos representam situações reais
Fonte: Crystal Home/Shutterstock.com 
É possível dividir os modelos em três tipos diferentes: os físicos, como as maquetes; os ana-
lógicos como os organogramas; e os modelos matemáticos, como a programação linear. Ainda 
PESQUISA OPERACIONAL
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é possível classificá-los em modelos que se assemelham fisicamente àquilo que estão repre-
sentando e, em modelos abstratos, que têm apenas semelhança lógica com o que representam. 
Modelos matemáticos são exemplos de modelos abstratos. Finalmente, é possível classificar os 
modelos matemáticos como modelos de simulação ou de otimização.
FIQUE ATENTO!
Em grande parte das situações a serem resolvidas, os problemas em Pesquisa Ope-
racional serão resolvidos com modelos matemáticos de otimização que descrevem, 
representam e imitam, de maneira abstrata, a situação que ocorre no mundo real.
Com relação aos modelos matemáticos, Marins (2011) diz que estes são uma representação, 
por meio de expressões matemáticas, da essência de um problema. Para isto, é necessário avaliar 
a situação real e perceber que itens são possíveis de se quantificar. 
EXEMPLO
Moreira (2013) demonstra o exemplo de uma fábrica que produz dois refrigerantes: A 
e B. Esta fábrica precisa decidir quantos refrigerantes vai fazer de cada tipo, de forma 
que o lucro seja maximizado, levando em consideração que cada tipo de refrigeran-
te necessita de matérias-primas específicas e em quantidade limitada. Um problema 
como esse deve ser modelado baseando-se os refrigerantes A e B e suas limitações de 
matéria-prima. 
Marins (2011, p. 17) ainda comenta que:
Se existem n decisões quantificáveis, elas serão representadas por n variáveis de decisão 
ou de controle. As relações e limitações a que estão sujeitas as variáveis de decisão são 
expressas por meio de equações e inequações, denominadas restrições. O objetivo que se 
pretende atingir é formulado como uma função (ou mais de uma), colocada em termos das 
variáveis de decisão, denominada função objetivo. 
SAIBA MAIS!
Problemas de pesquisa operacional podem ser modelados por meio de 
formulações gerais de sistemas inteiros. Confira mais sobre o assunto no artigo 
de Braga et al (2015), disponível em: <http://www.abepro.org.br/biblioteca/TN_
STP_206_222_27622.pdf>. 
Assim, entendemos que a Pesquisa Operacional depende de modelos matemáticos para a 
resolução de problemas organizacionais.
PESQUISA OPERACIONAL
 – 12 – 
Fechamento
Até aqui, observamos o surgimento da PO assim como a sua aplicabilidade em diferentes áreas.
Nesta aula, você teve a oportunidade de: 
 • conhecer a origem da PO, sua evolução e seu uso posterior; 
 • perceber que a PO utiliza de técnicas e modelos matemáticos para a resolução de pro-
blemas organizacionais.
Referências
BRAGA, Izaac Paulo Costa et al. Aplicação do problema do Caixeiro Viajante (PCV) em uma 
empresa do ramo salineiro do RN. In: ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO, 
35., 2015, Fortaleza. Anais... Fortaleza: Enegep, 2015. Disponível em: <http://www.abepro.org.br/
biblioteca/TN_STP_206_222_27622.pdf>. Acesso em: 24 out. 2017.
CORDEIRO, Evilane Leão. Pesquisa operacional: modelagem matemática na tomada de decisão 
de ações administrativas. Revista São Luis Orione, v.1, n.3, jan./dez. 2009, p.113-122. Disponível 
em: <http://www.catolicaorione.edu.br/portal/wp-content/uploads/2015/01/Pesquisa-Operacio-
nal-Modelagem-Matem%C3%A1tica-na-Tomada-de-Decis%C3%A3o-de-A%C3%A7%C3%B5es-Ad-ministrativas-Revista-S%C3%A3o-Luis-Orione-v.-1-n.-3-jan.dez_.-2009.pdf>. Acesso em: 14 de mar. 
2017.
HILLIER, Frederick S.; LIEBERMAN, Gerald J. Introdução à pesquisa operacional. São Paulo: 
McGraw-Hill, 2006.
MARINS, F. A. S. Introdução à Pesquisa Operacional. São Paulo: Cultura Acadêmica, UEP, 2011.
MOREIRA, Daniel Augusto. Pesquisa Operacional: curso introdutório. 2. ed. São Paulo: Cengage 
Learning, 2013.
SOBRAPO. Pesquisa Operacional. Disponível em: <http://www.sobrapo.org.br/>. Acesso em: 14 de 
mar. 2017.
PESQUISA OPERACIONAL
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Conceitos e objetivos 
da pesquisa operacional
Dayse Mendes 
Joab Symon Costa Santos
Introdução
Você imagina como pode ser a Pesquisa Operacional na prática? Pois bem. Nesta aula, vamos 
entender como utilizá-la na rotina organizacional e também conhecer os porquês dos procedimen-
tos de PO levarem as empresas a uma maior eficácia em suas operações. Vamos lá!
Objetivos de aprendizagem
Ao final desta aula, você será capaz de:
 • entender a importância da pesquisa operacional como método para encontrar a solu-
ção ideal para problemas reais;
 • identificar os problemas em produção (empresas) e logística (transportes).
1 Exemplos de problemas resolvidos 
com pesquisa operacional
A Pesquisa Operacional é um procedimento criado para resolver situações problema. Inicial-
mente, ela foi desenvolvida para ser utilizada em ações militares durante a Segunda Guerra Mundial, 
no entanto, não ficou restrita a isso, ela se propagará por todo tipo de organização e de atividade 
humana. De acordo com Hillier e Friedman (2006, p.23) a Pesquisa Operacional “tem sido largamente 
aplicada em áreas tão distintas como manufatura, transportes, construção, telecomunicações, pla-
nejamento financeiro, assistência médica, militar e serviços públicos [...]” entre outras situações. 
FIQUE ATENTO!
A Pesquisa Operacional é um procedimento que se originou na Segunda Guerra 
Mundial, em ações militares das mais variadas possíveis. Nesta época, cientistas, 
engenheiros, físicos e matemáticos formam grupos de estudo para resolver estes 
problemas militares e auxiliar no esforço de guerra.
Ainda segundo os autores, a Pesquisa Operacional busca encontrar sempre uma melhor 
solução, ou solução ótima, para o problema em pauta, identificando a melhor alternativa a ser uti-
lizada, de acordo com as informações disponíveis no momento sobre o problema. Desta maneira, 
a Pesquisa Operacional é responsável pela melhoria da eficiência operacional de muitas empresas 
e, até mesmo, na organização interna de alguns países. 
 – 14 – 
TEMA 2
SAIBA MAIS!
A Pesquisa Operacional teve um impacto tão grande no mundo todo que foi 
possível criar uma série de sociedades de Pesquisa Operacional nos mais diversos 
países e uma Federação Internacional, que as reúne, a International Federation of 
Operational Research Societies (IFOR). Para mais informações, consulte o site da 
IFORS, disponível no link: <http://ifors.org/>.
Hillier e Friedman (2006) listam uma série de problemas que podem ser vistos em empre-
sas reais, como otimização de operações, redesenho de sistemas de produção, programação de 
escala de funcionários, reengenharia de abastecimento, redução de tempo de fabricação, entre 
outros, os quais podem ser resolvidos por meio de Pesquisa Operacional. 
Quadro 1 – Problemas resolvidos por meio de PO
Organização Natureza da aplicação Ano
Monsanto 
Otimizar operações de produção nas fábricas químicas para atender a 
objetivos de produção a um custo mínimo.
1985
Procter and 
Gamble
Redesenhar o sistema de distribuição e de produção nos EUA para redu-
zir custos e aumentar a velocidade de chegada ao mercado. 
1997
Taco Bell
Programar, de forma otimizada, a escala de funcionários para fornecer 
um nível de atendimento ao cliente adequado a um custo mínimo.
1998
Sears
Desenvolver um sistema de programação e rotas de veículos para as 
frotas de entrega e de atendimento domiciliar.
1999
IBM
Fazer a reengenharia de sua cadeia global de abastecimento para res-
ponder mais rapidamente aos clientes, mantendo, ao mesmo tempo, o 
menor estoque possível.
2000
Samsung
Desenvolver métodos de redução de tempos de fabricação e níveis de 
estoque.
2002
Fonte: HILLIER; LIEBERMAN, 2006, p. 25.
Os autores ainda citam uma série de outras empresas reais e de países que utilizam ou utili-
zaram ao longo do tempo alguma aplicação de Pesquisa Operacional.
SAIBA MAIS!
Um problema de pesquisa operacional que vem ganhando destaque é a localização 
de facilidades. Esse tipo de problema é usado para localizar centros de distribuição 
com o máximo de eficiência. Ele é comum em empresas de instalação de redes 
elétricas, de logística em centros de distribuição e em problemas de localização de 
aeroportos e terminais rodoviários. 
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PESQUISA OPERACIONAL
http://ifors.org/
Vimos uma série de exemplos reais de aplicação da Pesquisa Operacional podemos, no pró-
ximo item, observaremos uma aplicação clássica para uma situação problema de produção.
2 Pesquisa Operacional aplicada 
em problemas empresariais
A Pesquisa Operacional auxilia o gestor na tomada de decisão em sua rotina organizacional, de 
maneira a mantê-la o mais racional possível. Assim, a PO é bastante aplicada em problemas orga-
nizacionais. Em uma de suas formas clássicas, ela auxilia especificamente na tomada de decisão 
de quanto produzir de maneira a ter o máximo lucro ou a máxima receita com a geração dos itens.
EXEMPLO
Uma empresa que fabrica móveis de cozinha trabalha com três itens diferentes: 
mesa de fórmica quadrada, mesa de fórmica retangular e mesa de fórmica redon-
da. Cada mesa sofre dois procedimentos distintos: produção e acabamento. Cada 
processo aplicado aos itens possui tempo diferente, assim como cada um deles ob-
tém um lucro diferente. Este exemplo é uma adaptação de Lachtermacher (2009). 
Quadro 2 – Dados do problema de produção de mesas de fórmica
Modelo de mesa Produção Montagem Lucro unitário
Quadrada 2 horas 2 horas R$ 30
Retangular 3 horas 2 horas R$ 60
Redonda 4 horas 2 horas R$ 80
Total semanal 1000 horas 600 horas
Fonte: adaptado de LACHTERMACHER, 2009.
Vale reforçar que itens confeccionados variam em sua quantidade produzida de acordo com 
os recursos disponíveis, que são escassos, e de acordo com o objetivo de maximizar lucro ou 
receita com a venda destes itens produzidos. 
FIQUE ATENTO!
Nos problemas empresariais de produção que passarão por um procedimento de 
solução de Pesquisa Operacional, é necessário que o gestor tenha em mãos todas 
as informações sobre os itens a serem gerados, pois o objetivo a ser otimizado e 
todas as restrições podem afetar o resultado do problema.
Atente-se que, além da aplicação para resolução de problemas de produção por meio da Pes-
quisa Operacional, outra aplicação clássica diz respeito ao problema do transporte, a ser estudado 
no próximo item.
 – 16 – 
PESQUISA OPERACIONAL
3 Pesquisa Operacional aplicada 
a problemas de transportes
Um problema frequentemente estudado pela Pesquisa Operacional é o problema de transporte. 
Este tipo de questão, originalmente, apresentava uma situação em que um bem é produzido em um 
determinado local (origem) e deve ser levado para outro (destino). Determinar a melhor forma de reali-
zar este deslocamento minimizando seu custo é o objetivo que se pretende ao resolver este problema. 
Figura 1 – Problema de transporte
Fonte: johnkworks/Shutterstock.com
De acordo com Andrade (2015) neste tipo de planejamento logístico se agrega o valor lugar 
ao produto, isto é, se disponibiliza o produto no local em que o mercado espera que ele esteja, pois 
de nada adianta ter um bom produto se ele não estiver ao alcance do consumidor. O ideal seria 
não transportar, para evitar custos e outros problemas derivados do deslocamento dele. Como 
isto, normalmente, não é possível, o sistema de transporte é fundamental e deve ser planejado de 
modo adequado, acrescentando o mínimo de custo possívelao produto.
FIQUE ATENTO!
O método de transporte surgiu antes dos computadores estarem disponíveis para 
qualquer empresa. Hoje existem sistemas automatizados para a resolução deste 
tipo de problema. Portanto, eles não precisam mais ser resolvidos manualmente. 
Mas a maneira de formular o problema continua a mesma.
Conforme Hillier e Lieberman (2006) além do problema de transporte específico, a metodolo-
gia é usada para outras aplicações como, por exemplo, cronograma de produção.
 – 17 – 
PESQUISA OPERACIONAL
EXEMPLO
Vamos conhecer um problema clássico de transporte, adaptado de Lachtermacher 
(2009). Neste, uma empresa que produz bicicletas possui fábricas em três cidades, 
Rio de Janeiro, São Paulo e Belo Horizonte. O mercado consumidor das bicicletas 
se encontra em Recife, Salvador e Manaus. Conhecemos a capacidade produtiva 
de cada uma das fábricas e a demanda específica de cada mercado consumidor. 
Também temos a informação dos custos de transporte de cada fábrica para cada 
centro consumidor. 
Quadro 3 – custos de transporte, capacidade e demanda do problema da fábrica de bicicletas
Fábrica/Centro 
Consumidor Recife Salvador Manaus Capacidade
Rio de Janeiro 25 20 30 2000
São Paulo 30 25 25 3000
Belo Horizonte 20 15 23 1500
Demanda 2000 2000 1000
Fonte: adaptado de LACHTERMACHER, 2009.
A solução consiste em modelar o problema e calcular qual fábrica envia quantas 
bicicletas para qual centro consumidor, buscando para tanto o menor custo.
Neste tópico, foi possível conhecer um problema clássico da Pesquisa Operacional, o pro-
blema de transportes.
Fechamento
Nesta aula, você teve a oportunidade de: 
 • conhecer a utilidade e a importância da Pesquisa Operacional como um método de 
tomada de decisão racional para os gestores e de resolução otimizada de problemas 
para as empresas;
 • conhecer duas aplicações clássicas de Pesquisa Operacional: a resolução de proble-
mas empresariais de produção e a resolução de problemas de transporte.
 – 18 – 
PESQUISA OPERACIONAL
Referências 
ANDRADE, Eduardo Leopoldino. Introdução à Pesquisa Operacional. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2015.
HILLIER, Frederick S.; LIEBERMAN, Gerald J. Introdução à Pesquisa Operacional. 8. ed. São Paulo: 
McGraw-Hill, 2006.
IFOR. International Federation of Operation Research Societies. Disponível em: <http://ifors.org/>. 
Acesso em: 17 de abr. 2017.
LACHTERMACHER, G. Pesquisa Operacional. 4. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2009.
.
 – 19 – 
PESQUISA OPERACIONAL
Metodologia e fases de estudo de 
pesquisa operacional
Dayse Mendes
Introdução
Nesta aula, vamos observar que a resolução de problemas organizacionais por meio da Pes-
quisa Operacional é constituída por fases que precisam ser seguidas para construir os modelos 
matemáticos adequados aos problemas e solucioná-los. Acompanhe!
Objetivos de aprendizagem
Ao final desta aula, você será capaz de:
 • compreender as fases ordenadas para construção de um problema e possível aplica-
ção em problemas de transporte e produção.
1 Modelagem
A primeira fase para quem pretende resolver um problema por meio de Pesquisa Operacio-
nal é coletar todos os dados necessários para a solução, e, com estes, realizar a modelagem 
matemática do problema. Construir um modelo matemático é um procedimento convencional em 
Pesquisa Operacional.
Figura 1 – Modelando um problema
Fonte: Max Griboedov/Shutterstock.com
 – 20 – 
TEMA 3
https://www.shutterstock.com/pt/g/max+griboedov
Assim, o processo de modelagem é de fundamental importância para a Pesquisa Operacio-
nal. A ideia é de que, quando um gestor se encontra frente a um problema, com várias alternativas 
possíveis de solução, mas conflitantes ou concorrentes, ele pode usar a intuição e “realizar um pro-
cesso de modelagem da situação e exaustivas simulações dos mais diversos cenários de maneira 
a estudar mais profundamente o problema”. (LACHTERMACHER, 2009, p.3)
FIQUE ATENTO!
Embora a Pesquisa Operacional traga racionalidade à tomada de decisão organiza-
cional, não se pode imaginar que, ao utilizar de intuição, o gestor esteja abandonan-
do o caminho da racionalidade. A intuição na verdade complementa uma base de 
conhecimento importante para o processo decisório do gestor relativo à situação 
problema em questão. 
Em Pesquisa Operacional o processo de modelagem é específico, pois se utiliza um tipo de 
modelo, o modelo matemático.
SAIBA MAIS!
Existem os mais variados tipos de modelos, todos utilizados basicamente para 
reconstituir uma situação real, de forma a que se possa investigar esta situação 
real sem ter de interromper as ações dela. Para conhecer mais sobre modelos, 
vale a pena ler o artigo de Antonio Fernando Cornélio “O uso de modelos em ad-
ministração”, disponível em: <http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pi-
d=S0034-75901969000400004>. 
Importante compreender que, sem a fase de modelagem, não é possível resolver problemas 
por meio de Pesquisa Operacional. 
2 Estrutura de problemas matemáticos
Na estrutura de uma resolução de problema por meio de Pesquisa Operacional utilizando 
modelos matemáticos, verificam-se duas características em particular. Conforme Barbosa e 
Zanardini (2015) elas são as grandezas representadas por variáveis de decisão e as relações 
entre variáveis, apresentadas por expressões matemáticas como a função objetivo e as restrições 
do problema. Os autores propõem que, para a estruturação matemática de um problema seja 
observada uma série de condições.
 – 21 – 
PESQUISA OPERACIONAL
http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0034-75901969000400004
http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0034-75901969000400004
Quadro 1 – Condições da modelagem matemática
Variáveis de decisão
correspondem a fatores que se quer controlar ou que se deseja saber 
quanto valem. São as incógnitas do problema.
Parâmetros do problema correspondem aos valores fixos do problema.
Restrições
são encontradas em razão das variáveis do problema. Correspondem 
a limitações da situação.
Função objetivo é a função matemática usada para otimizar a solução do problema.
Fonte: adaptado de BARBOSA; ZANARDINI, 2015. 
Com as condições determinadas é possível formular o problema, expressando matematica-
mente sua essência de maneira a buscar a melhor solução.
FIQUE ATENTO!
Ao resolver problemas organizacionais por meio dos procedimentos de Pesquisa 
Operacional o gestor estará sempre em busca de soluções ótimas para suas situa-
ções problema, trazendo o objetivo que melhor atende à organização, maximizando 
ou minimizando resultados.
Em resumo, a estrutura de padrão de um problema de Pesquisa Operacional é constituída por 
variáveis de decisão, função objetivo e restrições relacionadas às limitações da situação problema.
3 Quantificação de problemas reais
Ao trabalhar com problemas reais, o gestor se depara com uma série de dificuldades, em 
especial, quanto aos dados do problema, para começar sua modelagem e posteriormente, fazer 
a resolução. Coletar dados precisos é difícil e os valores normalmente são estimativas grosseiras 
da situação. Desta forma, Hillier e Lieberman (2006, p.33) comentam a importância de “analisar 
como uma solução derivada eventualmente modificaria se o valor atribuído ao parâmetro fosse 
modificado para outros valores plausíveis”.
 – 22 – 
PESQUISA OPERACIONAL
SAIBA MAIS!
Uma forma de fazer análise de modificações de valores nos problemas soluciona-
dos por Pesquisa Operacional é o processo denominado de Análise de Sensibilida-
de. A análise de sensibilidade verifica o efeito das variações de valores no proble-
ma, determinando a importância de uma variável sobre o resultado final de outras 
variáveis. Você pode ler sobre uma aplicação desse processo no artigo de Lima Jr. 
et al (2016) disponível em: <http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pi-
d=S0104-530X2016000300515&lang=pt>.
Hillier e Lieberman (2006) comentam também quanto às situações reais que os problemasda realidade normalmente não têm somente um único modelo correto. Para os autores, é possível 
observar, usando de alguns procedimentos, que o teste de um modelo acaba por induzir a uma 
sucessão de modelos com representações cada vez mais acuradas do problema.
Figura 2 – Problemas reais representados matematicamente
Fonte: Laborant/Shutterstock.com
Para resolver um problema real, portanto, haveria a necessidade de uma coleta de dados 
eficaz e de várias testagens do modelo, até chegar ao modelo que melhor represente a realidade e 
que, portanto, traga a solução ótima do problema.
4 Formulação do problema
A formulação do problema a ser solucionado por Pesquisa Operacional é a fase em que se deli-
mita o objetivo do problema e identificam-se todas as possíveis limitações que o problema apresenta, 
de forma a construir as restrições do modelo. Conforme Barbosa e Zanardini (2015) este é o momento 
em que são verificados registros e informações, com máxima precisão e consistência possível.
 – 23 – 
PESQUISA OPERACIONAL
http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0104-530X2016000300515&lang=pt
http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0104-530X2016000300515&lang=pt
Neste momento, constrói-se um modelo com equações e inequações matemáticas que 
representem o objetivo e as limitações identificadas. A formulação do problema para a mode-
lagem e posterior resolução não pode ser for feita de maneira inadequada, fugindo do objeto de 
estudo, pois todas as demais fases da resolução poderão estar comprometidas pela inadequação, 
levando a erro na resolução.
Dentre os problemas reais das organizações que podem ser resolvidos por meio de Pesquisa 
Operacional, dois deles são classificados como típicos: os problemas de produção e os problemas 
de transportes.
No problema de produção, formula-se um modelo em que se busca como objetivo, frequen-
temente, o lucro máximo e, para tanto, tenta-se descobrir quanto produzir dos itens possíveis 
naquela organização que interferem no lucro, observando as limitações de recurso que geram as 
restrições na modelagem do problema.
EXEMPLO
Considere que uma doceira deseja ter uma empresa que produz docinhos para 
festa. Inicialmente, ela pretende fazer brigadeiros e dois amores. Na produção, ela 
usa em comum, dois ingredientes: leite condensado e chocolate. A doceira tem em 
estoque 1 kg de chocolate e 5 kg de leite condensado. Para um cento de brigadeiro 
se usa 1 kg de leite condensado e 50 g de chocolate. Para produzir um cento de 
dois amores se utiliza 25 g de chocolate e 1 kg de leite condensado. Cada cento de 
brigadeiro origina um lucro de R$ 10,00 e em cada cento de dois amores se obtêm 
um lucro de R$7,00. O problema consiste em determinar quanto a doceira deve 
produzir de brigadeiro e quanto deve produzir de dois amores para obter o máximo 
lucro com as condições de restrição existentes no momento.
No problema de transporte, tem-se por objetivo deslocar itens de um local para outro, mini-
mizando os custos deste deslocamento. As restrições dizem respeito às capacidades de um lado 
dos deslocamentos (origem) e às demandas do outro lado dos deslocamentos (destino).
EXEMPLO
Uma fábrica de pães produz pão de forma em duas instalações localizadas em 
cidades diferentes. Três redes de supermercados pretendem comprar estes pães 
de forma. Veja os dados relativos à capacidade das fábricas, à demanda dos super-
mercados e os custos de transporte: 
 – 24 – 
PESQUISA OPERACIONAL
Quadro 2 – Custos de transporte, capacidade e demanda da fábrica de pães
Fábrica/ 
 Supermercado
Supermercado 
1
Supermercado 
2
Supermercado 
3 Capacidade
Fábrica 1 20 25 30 2500
Fábrica 2 30 25 20 3500
Demanda 1800 2300 1750
Fonte: elaborado pelo autor, 2017.
O problema consiste em atender a todas as demandas de todos os supermercados, 
alcançando o objetivo de realizar os deslocamentos necessários com o menor cus-
to possível de transporte.
Ao formular qualquer tipo de problema, com o objetivo de resolvê-lo por meio de Pesquisa 
Operacional é fundamental distinguir qual o objetivo, quais as variáveis de decisão que serão cal-
culadas e quais são as restrições do problema.
FIQUE ATENTO!
O método de transporte surgiu antes dos computadores estarem disponíveis para 
qualquer empresa. Hoje existem sistemas automatizados para a resolução deste 
tipo de problema, portanto, eles não precisam mais ser resolvidos manualmente. 
Mas a maneira de formular o problema continua a mesma.
Finalizando, vale ressaltar que a formulação do problema é uma fase muito importante da 
Pesquisa Operacional para se alcançar um resultado satisfatório em relação ao problema.
Fechamento
Nesta aula, você teve oportunidade de:
 • conhecer a fase de modelagem e formulação matemática dos problemas organizacio-
nais que se pretende resolver por meio dos procedimentos de pesquisa operacional; 
 • conhecer duas aplicações tradicionais da pesquisa operacional: os problemas de pro-
dução e transporte.
 – 25 – 
PESQUISA OPERACIONAL
Referências
CORNÉLIO, Antonio Fernando. O uso de modelos em Administração. Disponível em: <http://www.
scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0034-75901969000400004>. Acesso em: 25 mar. 
2017.
HILLIER, Frederick S.; LIEBERMAN, Gerald J. Introdução à Pesquisa Operacional. 8. ed. São Paulo: 
McGraw-Hill, 2006.
LACHTERMACHER, Gerson. Pesquisa Operacional. 4. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2009.
LIMA Jr, Francisco Rodrigues et al. Uma metodologia baseada no modelo SCOR® e em inferência 
fuzzy para apoiar a avaliação de desempenho de fornecedores. Revista Gestão e Produção, 
São Carlos, vol. 23, n.3, jul./set., 2016. Disponível em <http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_
arttext&pid=S0104-530X2016000300515&lang=pt>. Acesso em: 24 mar. 2017.
 – 26 – 
PESQUISA OPERACIONAL
http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0034-75901969000400004
http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0034-75901969000400004
http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0104-530X2016000300515&lang=pt
http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0104-530X2016000300515&lang=pt
Construção de um modelo
Dayse Mendes
Introdução
Nesta aula observaremos que existe uma série de fases que precisam ser seguidas para conse-
guirmos construir um modelo que represente adequadamente um problema passível de resolução, 
por meio de Pesquisa Operacional.
Vamos estudar juntos este assunto?
Objetivos de aprendizagem
Ao final desta aula, você será capaz de:
 • entender como construir um problema real em linguagem de Pesquisa Operacional, 
interpretando os problemas e identificando os pontos mais importantes.
1 Definição do problema
 A resolução de um problema, em Pesquisa Operacional, pode ser resumida em um processo 
que inclui uma série de etapas. Elas são: 
 • a definição do problema; 
 • a construção de um modelo matemático que represente este problema; 
 • a obtenção da solução deste modelo e, por consequência, do problema; 
 • o teste do modelo e da solução obtida, ou seja, a validação deste modelo; 
 • a implementação da solução.
Figura 1 – Definindo um problema
Fonte: Andris Torms/Shutterstock.com 
 – 27 – 
TEMA 4
A primeira fase, a definição do problema, é, talvez, a mais complexa de todo este processo. 
Isto porque a compreensão de um problema real é difícil, na medida em que ele se apresenta de 
forma vaga e imprecisa. Cabe ao gestor identificar as informações relevantes para que o problema 
tome forma e possa ser resolvido por Pesquisa Operacional. 
SAIBA MAIS!
Uma das competências fundamentais de um gestor é saber selecionar informação 
fidedigna. Sobre esta questão das competências do gestor, leia mais no capítulo 2 de 
“Liderança e gestão de pessoas em ambientes competitivos”, de Tonet et al (2012).
Dentre as informações que o gestor deve coletar, conforme Marins (2011), algumas são 
básicas, como: 
 • quem deve tomar as decisões; 
 • quais objetivos devem atingidos; 
 •quais são os aspectos que estão sujeitos ao controle de quem decide, denominados de 
variáveis de decisão; 
 • quais são as limitações que o problema apresenta em relação às variáveis de decisão.
EXEMPLO
Um estudo de Pesquisa Operacional, apresentado na obra de Hillier e Lieberman 
(2006), foi realizado para o Departamento de Polícia de São Francisco. Ele teve 
como resultado o desenvolvimento de um sistema para decisão de escala e quanti-
dade de patrulheiros. Para tanto, foi necessário estabelecer quais eram os objetivos 
relacionados ao problema. Após avaliação de várias possibilidades, foram identifi-
cados os seguintes objetivos:
 • manter alto o nível de segurança para o cidadão;
 • manter elevado o moral da tropa;
 • minimizar o custo de operações.
A partir desta identificação, foi possível propor o modelo matemático adequado à 
situação, fazendo com que o nível de proteção necessário fosse atingido. Também 
proporcionou equilíbrio na carga de trabalho entre os policiais, alcançando o segun-
do item. E, como meta de longo prazo, foi adotada a ideia de minimizar o número de 
policiais necessários para atender os outros objetivos.
Definido qual o problema, se pode partir para a próxima fase, a construção do modelo que 
represente esta situação.
PESQUISA OPERACIONAL
 – 28 – 
2 Construção do Modelo
Os modelos são representações da realidade, numa forma simplificada em relação à situ-
ação real. Para que um modelo represente adequadamente a realidade de um problema a ser 
trabalhado em Pesquisa Operacional, é necessário que o gestor tenha capacidade de abstração, 
imaginação e criatividade. E que tenha habilidade com formulações matemáticas, pois os mode-
los usados em PO são matemáticos. 
FIQUE ATENTO!
Normalmente, na etapa de modelagem, leva-se em conta a técnica que poderá vir a 
ser utilizada para resolução do problema; de forma a se conseguir um modelo que 
possa ser adequado à situação problema, mas que também auxilie em uma simpli-
ficação na etapa de obtenção da solução.
Para Marins (2011) estes modelos matemáticos representam situações problema por meio 
de expressões matemáticas. Nele se representam as várias decisões quantificáveis do problema 
por meio de n variáveis de decisão. O objetivo que se pretende atingir na situação problema é 
formulado em uma equação que é uma função, colocada em termos das variáveis de decisão, 
denominada função objetivo. Já as “limitações a que estão sujeitas as variáveis de decisão são 
expressas por meio de equações e inequações, denominadas restrições” (MARINS, 2011, p.17).
EXEMPLO
Uma empresa de laticínios produz dois tipos de queijo: prato e parmesão. A uni-
dade de queijo prato traz um lucro de R$1,00 e a unidade de queijo parmesão traz 
um lucro de R$1,50. A equação que representa o lucro desta empresa é modelada 
matematicamente como:
 • x1 = quantidade de queijo prato; 
 • x2 = quantidade de queijo parmesão.
LUCRO TOTAL = 1,00 x1 + 1,50 x2
Em resumo, um modelo de um problema de Pesquisa Operacional é constituído por variáveis 
de decisão, função objetivo e restrições relacionadas às limitações da situação problema. Após 
construído o modelo, é possível começar a buscar sua solução.
3 Solução do Modelo
Finalizada a construção do modelo matemático que representa a situação problema, é possível 
iniciar a obtenção de uma solução. Existe uma série de métodos matemáticos diferentes que são clas-
sicamente utilizados em Pesquisa Operacional. De acordo com Marins (2011) podemos citar como 
exemplos a Programação Linear, a Programação em Redes, a Teoria dos Grafos e a Teoria das Filas. 
PESQUISA OPERACIONAL
 – 29 – 
SAIBA MAIS!
Para descobrir mais detalhes sobre softwares de suporte às resoluções em Pesquisa 
Operacional, é recomendável o artigo de Ferreira e Baron (2017). Disponível em: 
<http://itp.ifsp.edu.br/ojs/index.php/IC/article/view/339/512>.
Podemos contar, de acordo com Marins (2011), com uma série de softwares, que dispo-
nibilizam alguns métodos importantes da Pesquisa Operacional, tornando viável a solução de 
problemas complexos. Como exemplos, temos o Solver do Excel®, que atua com planilhas eletrô-
nicas; o LINDO® – Linear Discrete Optimizer, para problemas de Programação Linear, Não Linear 
e variações; e, para Simulação, o ARENA® (Marins, 2016, p.18). Todos estes softwares auxiliam 
na solução do problema já modelado.
Figura 2 – Solver no Excel
Fonte: LINE ICONS/Shutterstock.com
Portanto, para solucionar um problema é necessário escolher o método que mais se adeque 
à situação e, a partir disto, validar o modelo.
4 Validação do Modelo
Na fase de validação são feitos testes com o modelo, de forma a verificar se ele atende ade-
quadamente a necessidade de simular, o melhor possível, a realidade da situação problema em 
estudo. Como os problemas, de um modo geral, são complexos, há dificuldade em se conseguir 
todos os dados necessários. Também há a possibilidade de que se interprete os dados de forma 
errada. Tudo isto pode provocar distorções no modelo e, por consequência, na solução. Por isso, 
a necessidade de testes.
FIQUE ATENTO!
Em cada situação específica, pode ser definida uma sistemática para testar o mo-
delo e sua solução. O importante é que, se a solução for usada repetidamente, o 
modelo deve continuar a ser testado. 
PESQUISA OPERACIONAL
 – 30 – 
http://itp.ifsp.edu.br/ojs/index.php/IC/article/view/339/512
Segundo Marins (2011) uma das formas de testar um modelo é por meio da reconstrução do 
passado (uso de dado históricos), verificando-se a adequação do modelo às informações disponí-
veis. Marins (2011) ainda comenta que a fase de validação do modelo pode indicar que este ainda 
não está adequado ou que é muito simplificado, exigindo sua correção pelo refinamento de algum 
aspecto ou pela consideração de algo que possa ter sido omitido.
Figura 3 – Teste
Fonte: zimmytws/Shutterstock.com 
Findados os testes se pode partir para a implementação da solução do problema.
5 Implementação da solução
Passadas todas as fases, por último se pode implementar a solução final que foi aprovada 
pelo gestor. Nesta fase, em que os resultados serão obtidos, é importante a participação da equipe 
que trabalhou com o modelo para a garantir a correta implementação da solução. 
Figura 4 – Trabalho de equipe
Fonte: Sergey Nivens/Shutterstock.com 
PESQUISA OPERACIONAL
 – 31 – 
Como normalmente se usa softwares para obter os resultados, deve-se organizar adequadamente 
toda a documentação referente à solução, de forma a não suscitar dúvidas quando de sua utilização.
FIQUE ATENTO!
A fase de implementação envolve um aspecto essencialmente técnico e um aspec-
to pessoal. O técnico diz respeito à busca de informações e à utilização correta dos 
softwares. O pessoal diz respeito ao compromisso e à experiência da equipe de 
Pesquisa Operacional em relação a obtenção da solução do problema.
De acordo com Andrade (2015), após a validação da solução obtida, esta deve ser transfor-
mada em regra de operação. Também, segundo o autor, é necessário avaliar os resultados em 
cada etapa do processo, para garantir uma melhor adequação da solução ao problema em ques-
tão, fazendo ajustes ou correções que forem necessários.
Finalizando, se pode observar que a implementação da solução merece um cuidado especial 
para que sejam superadas todas as possíveis resistências com relação a sua realização.
Fechamento
Nesta aula, você teve a oportunidade de:
 • conhecer todas as fases para que se possa solucionar um problema;
 • compreender como modelar o problema em formato apropriado para chegar a sua 
resolução, por meio de métodos de Pesquisa Operacional;
 • entender como testar as possíveis soluções e adotar aquela mais adequada para a situação.
Referências
ANDRADE, Eduardo Leopoldino. Introdução à pesquisa operacional. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2015.
FERREIRA, Denise Helena Lombardo; BARON, Carolina. Utilização de softwares na Pesquisa Ope-
racional. Revista Brasileira de Iniciação Científica,Itapetinga, v.4, n.1, 2017. Disponível em <http://
itp.ifsp.edu.br/ojs/index.php/IC/article/view/339/512>. Acesso em: 15 mai. 2017.
HILLIER, Frederick Stanton; LIEBERMAN, Gerald. Introdução à Pesquisa Operacional. 8. ed. São 
Paulo: McGraw-Hill, 2006. Ok para o Hillier
MARINS, Fernando Augusto Silva. Introdução à Pesquisa Operacional. São Paulo: Cultura Acadê-
mica, UEP, 2011.
TONET, Helena Correa et al. Liderança e gestão de pessoas em ambientes competitivos. São 
Paulo: Editora da FGV, 2012. Disponível em <https://books.google.com.br/books?id=NCSHCgAA-
QBAJ&pg=PT49&dq=compet%C3%AAncias+do+gestor&hl=pt-BR&sa=X&ved=0ahUKEwio78W-
f3anTAhXMHJAKHXE1AhQ4ChDoAQhPMAg#v=onepage&q&f=false>. Acesso em: 15 mai. 2017.
PESQUISA OPERACIONAL
 – 32 – 
http://itp.ifsp.edu.br/ojs/index.php/IC/article/view/339/512
http://itp.ifsp.edu.br/ojs/index.php/IC/article/view/339/512
Aplicações em logística, 
produção e vendas
Dayse Mendes
Introdução
Nesta aula é possível verificar que, dentre os vários problemas organizacionais que podem 
ser resolvidos por meio dos algoritmos de Pesquisa Operacional, existem algumas aplicações 
clássicas que são recorrentes na literatura pertinente sobre PO, bem como em sua utilização 
prática pelas empresas.
Vamos então ver alguns exemplos destas aplicações clássicas?
Objetivos de aprendizagem
Ao final desta aula, você será capaz de:
 • entender como a Pesquisa Operacional atua em várias áreas da empresa, identificando 
sua aplicação.
1 Pesquisa Operacional aplicada ao 
problema de carregamento de caminhão
Um problema clássico, que pode ser resolvido por meio da Pesquisa Operacional, está rela-
cionado a uma questão contemporânea da gestão, relativa à área da logística.
Figura 1 – Caminhão contêiner
Fonte: gwycech/Shutterstock.com 
 – 33 – 
TEMA 5
Trata-se do problema do carregamento do caminhão. Nele, de acordo com Junqueira et al 
(2010), o objetivo é otimizar o carregamento ou arranjo de cargas em dispositivos de unitização, 
como contêineres, caminhões, vagões ferroviários ou paletes. A ideia básica é poder determinar o 
melhor padrão de empacotamento, de modo a maximizar o volume total das caixas carregadas. 
FIQUE ATENTO!
A logística é uma área de extrema relevância para a gestão de empresas contempo-
râneas. Com uma boa gestão logística é possível reduzir custos e capital investido, 
bem como oferecer melhores serviços ao consumidor final, transformando as deci-
sões operacionais em vantagem competitiva para as organizações.
É preciso ressaltar que há uma restrição importante neste tipo de problema: as caixas não 
podem se sobrepor umas às outras dentro do dispositivo de unitização, já que o princípio básico 
de física nos diz que dois corpos distintos não podem ocupar o mesmo lugar no espaço e ao 
mesmo tempo. 
SAIBA MAIS!
Sobre o princípio da impenetrabilidade da matéria e outros princípios fundamentais 
da física que interferem nas nossas decisões do dia a dia, vale a pena conhecer 
o artigo de Baptista (2006). Ele faz uma grande revisão dos diferentes princípios 
da física surgidos ao longo da história, bem como as novas roupagens desses 
no desenvolvimento de algumas teorias relevantes. Disponível em: <http://www.
sbfisica.org.br/rbef/pdf/060213.pdf>. 
Este é um problema recorrente da logística das empresas que pode ser resolvido de forma 
bastante simples com a utilização de métodos de Pesquisa Operacional.
2 O problema do aluguel de veículos 
com espaço refrigerado e não refrigerado
Uma variação do problema de carregamento do caminhão diz respeito àquela situação em 
que uma parte da carga é perecível e precisa ser transportada em área refrigerada do caminhão. 
Assim, além da restrição de que uma carga não pode ocupar o lugar de outra, também há a restri-
ção da separação das cargas perecíveis das não perecíveis. Como objetivos, procuramos otimizar 
o volume carregado ou minimizar o custo de transporte.
PESQUISA OPERACIONAL
 – 34 – 
http://www.sbfisica.org.br/rbef/pdf/060213.pdf
http://www.sbfisica.org.br/rbef/pdf/060213.pdf
EXEMPLO
Uma empresa de transporte tem dois tipos de caminhões. O tipo A tem 3m3 de 
espaço refrigerado e 4m3 de espaço não refrigerado; já o tipo B tem 3m3 de espaço 
refrigerado e 2m3 de espaço não refrigerado. O cliente quer transportar um produto 
que necessita 20m3 de espaço refrigerado e 10m3 de espaço não refrigerado. A 
empresa calcula em 1.000 litros o consumo de combustível utilizando o caminhão 
A e 800 litros para o caminhão B. Nesta situação, o que desejamos saber é quantos 
caminhões de cada tipo deverão ser usados no transporte do produto, com o menor 
consumo de combustível. Esta situação é apresentada por Lachtermacher (2009).
Além dos problemas clássicos de logística que podem ser resolvidos por Pesquisa Operacio-
nal, outro problema bastante tradicional está relacionado à questão dos processos produtivos em 
uma empresa.
3 O problema de uma indústria de cintos e sapatos
Um dos usos mais clássicos da Pesquisa Operacional está na situação de maximização de 
lucros por meio da produção de bens em uma indústria. Nesta situação específica, a indústria tem 
um mesmo tipo de matéria-prima para fabricar dois produtos: cintos e sapatos. 
FIQUE ATENTO!
Uma questão importante a ser observada, quando da resolução de uma situação 
problema relacionada aos processos produtivos das indústrias, é a das restrições. 
De um modo geral, recursos como matéria-prima, mão-de-obra, quantidade de ho-
ras, quantidade de maquinários serão recursos escassos e, portanto, restrições à 
otimização da solução do problema. 
Figura 2 – Sapatos
Fonte: Aliaksei Smalenski/Shutterstock.com 
PESQUISA OPERACIONAL
 – 35 – 
Cada tipo de produto, nessa espécie de problema, proporciona um lucro diferente. A indústria 
precisa fabricar os dois produtos, pois tem clientes para cada um deles. Assim, a ideia é verificar 
quanto de cada um deve ser produzido para maximizar o lucro.
SAIBA MAIS!
Existem vários outros problemas clássicos relacionados à questão da decisão 
do quanto produzir em um mix de produtos que compartilham dos mesmos 
recursos, como a mesma matéria-prima, a mesma mão-de-obra ou os mesmos 
equipamentos, como o da malharia e o da marcenaria. Outros exemplos destes 
podem ser observados nos capítulos 2 e 3 de Lachtermacher (2009).
O modelo que auxilia solucionar situações problema da produção é um dos mais recorrentes 
em Pesquisa Operacional. No entanto, há outras áreas que se beneficiam da PO, como, por exem-
plo, a agroindústria. 
4 Exemplo de aplicação de Pesquisa 
Operacional na agricultura
Em outra aplicação clássica da Pesquisa Operacional, pode-se tomar decisões relacionadas 
ao planejamento agrícola. Conforme Caixeta-Filho (2012), quando existe a possibilidade de diver-
sificação de culturas, os agricultores se defrontam com a decisão de quais culturas escolher e 
quanto disponibilizar de área para cada uma das culturas. 
FIQUE ATENTO!
Não só as empresas urbanas necessitam melhorar suas metodologias de tomada 
de decisão para otimizar seus resultados. As agroindústrias também se beneficiam 
dos métodos de resolução de problemas disponibilizados pela Pesquisa Operacio-
nal, podendo assim maximizar lucros ou minimizar custos.
O objetivo, nessa situação, é obter o maior lucro com o cultivo a partir das opções de negócios 
existentes, tais como, por exemplo, o plantio, a criação de animais ou o arrendamento de terras.
PESQUISA OPERACIONAL
 – 36 – 
Figura 3 – Plantio
Fonte: ollirg/Shutterstock.com 
Além dos problemas organizacionais, no campo ou na cidade, também é possível resolver 
problemas pessoais com a Pesquisa Operacional. 
5 Pesquisa Operacional e o problema da dieta
Mais um clássico problema que pode ser resolvido por Pesquisa Operacional diz respeito à 
questão da dieta alimentar. Conforme Namen e Bornstein (2004), George Stigler apresenta, em 
1945, uma determinada situação. Nela, pretende-se observar quais as necessidades mínimas diá-
rias de nutrientes que um homemmediano, pesando aproximadamente 70 kg, deveria ingerir num 
universo de 77 diferentes alimentos, para atender a recomendação do Conselho Nacional de Pes-
quisa Norte-americano. Além disso, a dieta elaborada deveria ter o menor custo possível. 
EXEMPLO
Lachtermacher (2009) apresenta um exemplo para o problema da dieta. Um ho-
mem com atividade moderada deve seguir uma dieta balanceada baseada no con-
sumo de diversos tipos de alimentos de forma a suprir suas necessidades diárias 
de energia, que podem variar de 2400 a 2500 kcal. Cada porção de alimento fornece 
uma porcentagem dessa necessidade diária de diferentes nutrientes. Preço e quan-
tidade calórica de cada porção também devem ser informados para que se possa 
saber qual a combinação de alimentos que satisfaz o consumo mínimo necessário 
de nutrientes e, ao mesmo tempo, tem custo mínimo.
PESQUISA OPERACIONAL
 – 37 – 
 “Stigler resolveu um conjunto amplo de inequações (9 x 77) através de uma heurística inte-
ligente, obtendo um custo total para a dieta de 39,93 dólares por ano. Nesse processo, foram 
examinadas manualmente 510 diferentes possibilidades de combinação de alimentos” (NAMEN e 
BORNSTEIN, 2004, p. 446).
Figura 4 – Alimentos de uma dieta
Fonte: Paul Cowan/Shutterstock.com
Finalizando, vale ressaltar que a formulação do problema é uma fase muito importante da Pes-
quisa Operacional para se alcançar um resultado satisfatório em relação à resolução deste problema.
Fechamento
Nesta aula, você teve a oportunidade de:
 • conhecer uma série de exemplos em que se faz necessário tomar decisões e perceber 
que essas situações podem ter suas soluções alcançadas por meio do uso de Pesquisa 
Operacional;
 • entender como a Pesquisa Operacional atua em várias áreas da empresa, identificando 
sua aplicação;
 • entender como a Pesquisa Operacional pode ser utilizada em situações não empresa-
riais, como é o caso do problema da dieta;
 • observar, com estes exemplos, o alcance da Pesquisa Operacional.
PESQUISA OPERACIONAL
 – 38 – 
Referências 
BAPTISTA, José Plínio. Os princípios fundamentais ao longo da História da Física. Revista Brasi-
leira de Ensino de Física, v. 28, n. 4, p. 541-553, 2006. Disponível em: <http://www.sbfisica.org.br/
rbef/pdf/060213.pdf>. Acesso em: 01 mai. 2017.
CAIXETA-FILHO, José Vicente. Pesquisa Operacional: técnicas de otimização aplicadas a siste-
mas agroindustriais. São Paulo: Atlas, 2012. E-Book.
JUNQUEIRA, Leonardo et al. Modelos de otimização para problemas de carregamento de contêine-
res com considerações de estabilidade e de empilhamento. Pesquisa Operacional, v. 30 n. 1, Rio 
de Janeiro, RJ, jan./abr. 2010. Disponível em: <http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttex-
t&pid=S0101-74382010000100005>. Acesso em: 30 abr. 2017.
LACHTERMACHER, Gerson. Pesquisa Operacional. 4. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2009.
PESQUISA OPERACIONAL
 – 39 – 
http://www.sbfisica.org.br/rbef/pdf/060213.pdf
http://www.sbfisica.org.br/rbef/pdf/060213.pdf
http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0101-74382010000100005
http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0101-74382010000100005
Introdução a modelagem
Dayse Mendes
Introdução
Sabemos que a ferramenta de Programação Linear permite a análise e a resolução de proble-
mas de maneira racional. Desta forma, estudaremos a modelagem de problemas em Programa-
ção Linear e verificaremos o quanto isto é importante para a Pesquisa Operacional. Então, acom-
panhe-nos nessa jornada!
Objetivos de aprendizagem:
Ao final desta aula, você será capaz de:
 • entender um problema real e como fazer sua construção em linguagem matemática, 
para resolução através de técnicas de Pesquisa Operacional. 
1 Exemplos de modelos
Para iniciarmos os estudos sobre modelagem utilizando Programação Linear, vale a pena 
observar algumas das situações-problema comuns que podem ser resolvidas por meio desta fer-
ramenta de PO. Como sabemos, o gestor de qualquer tipo de organização deve tomar decisões, 
dentre elas a de alocação de recursos, de modo que melhore o aproveitamento dos resultados 
atingidos. Embora estejamos enfatizando as situações organizacionais, a resolução de problemas 
com uso de Programação Linear pode se dar em qualquer contexto no qual se busque otimizar 
uma decisão, mesmo em situações particulares ou individuais.
FIQUE ATENTO!
A resolução de alguns tipos de problemas nas organizações, em especial aqueles 
que buscam otimização de solução, pode ser alcançada por meio de Programação 
Linear. A Programação Linear é um tipo de modelo matemático de resolução de 
problemas que utiliza funções lineares. 
Exemplos reais de modelos que podem ser resolvidos por Programação Linear são os de 
quantidade a produzir de mix de produtos para otimizar lucro, de alocação de mão de obra para 
minimizar custo, de mistura de matéria-prima para maximizar produção ou receita, de balancea-
mento da produção para minimização de tempo, e uma série de outras situações recorrentes nas 
empresas, as quais podem ser modeladas e resolvidas por este método matemático.
 – 40 – 
TEMA 6
EXEMPLO
Uma fábrica produz dois tipos de sucos: laranja e uva. Para produzir estes sucos se 
usa, entre outros recursos, água e suco concentrado de maçã, sendo estes restri-
tos. Para a produção de um litro de suco de laranja usa-se um litro de água e meio 
litro de suco de maçã. Para a produção de suco de uva se usa dois litros de água e 
um de maçã. Sabe-se que há disponibilidade semanal de, no máximo, 7000 litros de 
suco de maçã e, por uma questão ambiental, só se pode usar 9000 litros de água 
por semana. O lucro gerado pelo litro de suco de laranja é R$5,00 e pelo litro de suco 
de uva é R$2,00. O gestor da fábrica gostaria de saber quanto produzir de cada tipo 
de suco para obter o maior lucro possível. Todas as situações que apresentam este 
tipo de formato podem ser resolvidas por Programação Linear.
SAIBA MAIS!
Programação Linear trabalha com funções lineares, é importante recordar este 
conceito. O livro “Funções Reais”, de Antonio Carlos Garcia, apresenta, dentre outros 
conceitos de função, a definição de função linear. Leia no link: <https://books.google.
com.br/books?id=KO6wCQAAQBAJ&lpg=PA40&dq=fun%C3%A7%C3%A3o%20
linear&hl=pt-BR&pg=PA40#v=onepage&q=fun%C3%A7%C3%A3o%20linear&f=false>. 
Vamos observar, a seguir, a estrutura dos modelos de Programação Linear de modo que 
possamos reconhecê-los. 
2 Estrutura dos modelos
Tendo visto alguns exemplos de modelagem em Programação Linear, vamos aprofundar 
nosso estudo, observando que existe uma forma padronizada de apresentação destes modelos de 
resolução de problemas. Denominaremos essa forma padrão de estrutura do modelo. Existe um 
formato para se alocar os dados do problema. De acordo com Lachtermacher (2009) tal estrutura 
padrão é construída da forma a seguir.
Otimizar: 
 • f(X) = f (x1, x2,...,xn).
Sujeito a: 
 • g1 (x1, x2,...,xn) ≤ ou ≥ b1;
 • g2 (x1, x2,...,xn) ≤ ou ≥ b;
 • gm (x1, x2,...,xn) ≤ ou ≥ bm.
PESQUISA OPERACIONAL
 – 41 – 
Em que: 
 • f(X) = f (x1, x2,...,xn) = c1x1 + c2x2 + ... cnxn;
 • gi (x1, x2,...,xn) = ai1x1 + ai2x2 + ... + ainxn ;
 • (i= 1, ..., m);
 • n é o número de variáveis do problema;
 • m é o número de restrições do problema;
 • i é o índice de determinada restrição (i = 1, 2, …, m);
 • j é o índice de determinada variável (j = 1, 2, …, n;
 • cj é o coeficiente (constante) da variável xj, da função objetivo;
 • aij é o coeficiente (constante) na i-ésima restrição e da variável xj;
 • bi é a constante da i-ésima restrição. 
Ao fazermos a modelagem de qualquer problema para resolução em Programação Linear, 
vamos construir o modelo matemático com essa estrutura. Lembre-se de que qualquer modelo é 
uma tentativa idealizada de uma situação real, por meio de expressões matemáticas. 
Figura 1 – Problemas reais transformados em modelos matemáticos
Fonte: Moriz; Dicogm/Shutterstock.com
Ao tentar resolver uma situação-problema real, otimizando sua resolução,precisamos de um 
objetivo que deve ser determinado na coleta de dados. Veja que estes se tornam função objetivo 
na modelagem. Para que a função objetivo seja especificada, matematicamente, é preciso defi-
nir as variáveis de decisão relativas a esta situação-problema variável. Logo, essas podem estar 
sujeitas a uma série de limitações, denominadas na modelagem de Programação Linear como 
restrições do problema.
PESQUISA OPERACIONAL
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https://www.shutterstock.com/pt/g/moriz
https://www.shutterstock.com/pt/g/dicogm
Figura 2 – Modelagem em Programação Linear
Minimizar Z = 3x1 + 2x2
Restrições:
 2x1 + x2 ≥ 10
 x1 + 5x2 ≥ 15
 x1 ≥ 0
 x2 ≥ 0Variáveis de
decisão
Função
objetivo
Restrições
}
Fonte: elaborada pela autora, 2017.
EXEMPLO
Vamos observar uma situação em que se possa modelar um problema de acor-
do com a estrutura de Programação Linear. Como situação-problema, temos uma 
empresa que manufatura dois modelos de cadeiras, o modelo C1 e o modelo C2. 
Há 1000 m2 de matéria-prima para fabricar os dois modelos por dia. Cada cadeira 
utiliza parafusos diferentes, cuja disponibilidade diária é de 500 parafusos para C1 e 
600 parafusos para C2. Os lucros unitários são de $40,00 para C1 e $30,00 para C2.
Observe as variáveis de decisão:
 • X1 = quantidade a produzir de C1;
 • X2 = quantidade a produzir de C2.
Agora, repare bem na função objetivo:
 • Max L = 40x1 + 30x2
Aqui, temos as restrições:
x1 + x2 ≤ 1000.
x1≤ 500.
x2≤ 600.
x1, x2 ≥ 0.
Ao longo deste item pudemos observar qual é o modelo padrão das equações de um pro-
blema que utiliza equações e inequações lineares. A seguir veremos como este modelo é utilizado 
na Programação Linear.
PESQUISA OPERACIONAL
 – 43 – 
FIQUE ATENTO!
Os modelos de Programação Linear contêm função objetivo, variáveis de decisão 
e restrições na estrutura que se pode observar. A estrutura a seguir apresenta o for-
mato das funções matemáticas utilizadas para construir cada um dos elementos 
padrão de Programação Linear.
3 Identificação de uma estrutura de 
Programação Linear
Agora, precisamos identificar uma estrutura de Programação não Linear. Vamos verificar 
como isso é feito? Conforme Lachtermacher (2009), a Programação Matemática estuda a oti-
mização de recursos. Esta resolução, por meio de modelagem matemática, busca descrever a 
quantidade a ser maximizada ou minimizada por meio de uma função que envolva os recursos 
relativos ao modelo, que são as variáveis a partir de decisão do problema. É importante ressaltar 
que, normalmente, os recursos são escassos nas organizações, levando o modelo a ter limitações. 
Essas são expressas por equações ou inequações matemáticas, denominadas de restrições. 
Dependendo do tipo das funções utilizadas nas funções-objetivo e nas restrições, como 
aponta o autor, existem áreas distintas de resolução. São elas:
 • “Programação Linear: programação matemática em que todas as funções-objetivo e 
restrições são representadas por funções lineares.” (LACHTERMACHER, 2009, p.17). 
Figura 3 – Função Linear
Fonte: Mattz90/Shutterstock.com
PESQUISA OPERACIONAL
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https://www.shutterstock.com/pt/g/mattz90
 • “Programação não-linear: programação matemática em que pelos menos uma das 
funções-objetivo ou restrições são representadas por funções não lineares. Entre 
os diversos tipos destacam-se a programação côncava, convexa ou quadrática.” 
(LACHTERMACHER, 2009, p.17). 
Figura 4 – Programação não-linear
Fonte: marekuliasz/Shutterstock.com
Portanto, um problema de Programação Linear busca por uma solução ótima, maximizando 
ou minimizando uma função-objetivo, atendendo às restrições que o problema impõe. Desta 
forma, padroniza-se a terminologia relativa ao termo solução, explicando seu conceito, conforme 
Lachtermacher (2009): 
 • solução é qualquer especificação de valores, dentro do domínio da função-objetivo, 
para as variáveis de decisão, independentemente de ser a escolha desejada ou não;
 • solução viável é uma solução em que todas as restrições são satisfeitas;
 • solução ótima é uma solução viável que tem o valor mais favorável para a função obje-
tivo, ou seja, maximiza ou minimiza a função-objetivo, podendo ser única ou não.
Ainda nesse contexto, todo problema de programação linear parte de algumas hipóteses que 
são assumidas, quando tentamos resolvê-lo. As hipóteses estão apresentadas a seguir:
 • proporcionalidade se refere ao valor da função-objetivo diretamente proporcional ao 
valor de cada variável de decisão.
 • aditividades são atividades (variáveis de decisão) do modelo como entidades total-
mente independentes, não permitindo que haja interdependência entre elas, isto é, 
não permitindo a existência de termos cruzados, tanto na função-objetivo como nas 
restrições;
PESQUISA OPERACIONAL
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https://www.shutterstock.com/pt/g/marekuliasz
 • divisibilidade quando assume que todas as variáveis de decisão possam ser divididas 
em qualquer número de partes, isto é, qualquer variável de decisão pode assumir qual-
quer valor fracionário.
 • certeza quando assume que todos os parâmetros do modelo são constantes e conhe-
cidos. Em problemas reais, a hipótese de certeza quase nunca é satisfeita, provocando 
a necessidade de análise de sensibilidade dos resultados. (LACHTERMACHER, 2009)
SAIBA MAIS!
Para alguns problemas de Programação Linear há a necessidade de fazer uma 
análise de sensibilidade nos resultados, ou seja, investigar os efeitos que as 
alterações nos parâmetros do modelo podem causar na solução ótima. O livro 
“Pesquisa Operacional para Cursos de Administração”, de Belfiore e Fávero (2012), 
em seu Capítulo 4, apresenta com detalhes como trabalhar com esta análise.
FIQUE ATENTO!
A Programação Linear de qualquer problema parte de quatro hipóteses, as quais 
são a proporcionalidade, a aditividade, a divisibilidade e a certeza. Precisamos en-
tender que o problema deve se encaixar nessas hipóteses para que possamos re-
solvê-lo por modelagem em Programação Linear. 
Assim, vimos como podemos identificar um problema escrito em uma estrutura de Progra-
mação Linear.
Fechamento
Nesta aula, você teve oportunidade de:
 • entender como alguns problemas reais de organizações podem ser construídos numa 
linguagem matemática;
 • conhecer como eles possibilitam a resolução por meio de técnicas de Pesquisa 
Operacional;
 • observar exemplos destas situações-problema e de sua estruturação em PO.
PESQUISA OPERACIONAL
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Referências
BELFIORE, Patrícia; FÁVERO, Luiz Paulo. Pesquisa operacional para cursos de administração, 
contabilidade e economia. Rio de Janeiro: Elsevier, 2012. Disponível em: <https://books.google.
com.br/books?id=spbIUnIPwn8C&printsec=frontcover&hl=pt-BR#v=onepage&q&f=false>. 
Acesso em: 13 de mar. de 2017.
GARCIA, Antônio Carlos. Funções reais. São Paulo: Edição do Autor, 2013. Disponível em: <https://
books.google.com.br/books?id=KO6wCQAAQBAJ&pg=PA40&dq=fun%C3%A7%C3%A3o+linear&h
l=pt-BR&sa=X&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false>. Acesso em: 22 de fev. de 2017.
LACHTERMACHER, Gerson. Pesquisa Operacional. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2009.
MARINS, Fernando Augusto Silva. Introdução à Pesquisa Operacional. São Paulo: Cultura Acadê-
mica, UEP, 2011.
PESQUISA OPERACIONAL
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Estrutura de um modelo
Dayse Mendes 
Joab Symon Costa Santos
Introdução
Nesta aula vamos aprender a organizar os dados de um problema e a desenvolver um proce-
dimento de modelagem preciso.
Objetivos de aprendizagem
Ao final desta aula, você será capaz de:
 • conhecer a estrutura e a organização dos dados de forma correta para resolução do 
problema. 
1 As variáveis de decisão
Você sabia que algumas situações-problema comuns nas empresas podem ser resolvidas 
por meio de modelagem em programação linear? Para Hillier e Lieberman (2006, p. 12), “os mode-
los matemáticos de um problema de negócios devem ser vistos como sistemas de equações e deexpressões matemáticas relativas, pois eles são capazes de descrever a essência do problema”. 
Desta forma, se existirem n decisões quantificáveis no problema, elas devem ser representa-
das na forma de n variáveis de decisão (por exemplo: x1, x2, xn) cujos valores serão determinados 
na resolução do problema. Um exemplo de variável de decisão é a quantidade de um determinado 
item que deve ser produzido. Para (2011, p. 24), o gestor deve se perguntar “se o responsável pela 
decisão tem autoridade para escolher o valor numérico (quantidade) do item. Se a resposta for 
positiva, esta é uma variável de decisão”.
FIQUE ATENTO!
Não confunda parâmetros do problema com variáveis de decisão. Parâmetros são 
elementos fixos e não podem ser manipulados pelo gestor. Já variáveis de decisão 
são passíveis de mudança de acordo com as análises feitas para alcançar as me-
lhores soluções para os problemas.
 – 48 – 
TEMA 7
SAIBA MAIS!
Compreenda mais sobre os parâmetros em Pesquisa Operacional lendo o artigo 
“Pesquisa Operacional: Modelagem Matemática na Tomada de Decisão de Ações 
Administrativas” (CORDEIRO, 2009), disponível em: <http://www.catolicaorione.
edu.br/portal/wp-content/uploads/2015/01/Pesquisa-Operacional-Modelagem-
Matem%C3%A1tica-na-Tomada-de-Decis%C3%A3o-de-A%C3%A7%C3%B5es-
Administrativas-Revista-S%C3%A3o-Luis-Orione-v.-1-n.-3-jan.dez_.-2009.pdf>.
Depois que as variáveis de decisão do problema são determinadas, pode-se definir qual obje-
tivo se pretende alcançar. Esta definição ocorre com o estabelecimento da função objetivo.
2 Função objetivo
Quando resolvemos um problema, precisamos identificar qual objetivo pretendemos atingir. A 
medida de desempenho mais apropriada, ou seja, o objetivo que pretendemos atingir (por exemplo, 
lucro) em uma situação problema, pode ser expresso por meio de função matemática modelada em 
termos das variáveis de decisão do problema. “Essa função é chamada função-objetivo” (HILLIER; 
LIEBERMAN, 2006, p. 12).
Figura 1 – Maximização do lucro
Fonte: Aha-Soft/Shutterstock.com
Sobre a função-objetivo, Marins (2011) comenta que a pesquisa operacional busca encontrar 
o melhor que pode ser feito com o que se tem, maximizando ou minimizando resultados. O autor 
também menciona que a busca pelo máximo valor do lucro é uma das funções-objetivo mais 
comuns dos modelos matemáticos. Importante perceber que ao construir a função-objetivo, deve-
mos perguntar o que queremos em relação àquele problema: maximizar lucros, receitas, vendas, 
minimizar custos, perdas, entre outras possibilidades.
PESQUISA OPERACIONAL
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EXEMPLO
Uma empresa fabrica dois tipos de bonecas de plástico, B1 e B2. Esses produtos 
utilizam dois recursos: plástico e horas de produção. Há 2.000 kg disponíveis de 
plástico e 40 horas disponíveis para a produção. Cada dúzia da boneca B1 usa 1 
quilo de plástico e 2 minutos de produção e cada dúzia da boneca B2 usa 2 quilos 
de plástico e 3 minutos de produção. Sabe-se que o lucro esperado com a venda 
de B1 é $4,00/dúzia e com a venda de B2 é $7,00/dúzia. Sabe-se também que a 
empresa deseja determinar a maximizar o lucro total semanal. Com base nestes 
dados é possível construir a expressão matemática da função objetivo, que será:
Max L = 4x1 + 7x2
Em que:
x1 = quantidade de dúzias de bonecas do tipo B1 a produzir semanalmente;
x2 = quantidade de dúzias de bonecas do tipo B2 a produzir semanalmente;
4 = valor do lucro trazido pela venda da dúzia de bonecas do tipo B1;
7 = valor do lucro trazido pela venda da dúzia de bonecas do tipo B2;
L = Lucro total com a venda de B1 e B2.
Vale destacar que na programação linear a situação problema terá em sua mode-
lagem um único objetivo. A função objetivo é expressa em forma matemática por 
meio de uma equação linear.
SAIBA MAIS!
A Programação Linear resolve problemas com um único objetivo, problemas 
com mais de um objetivo podem ser resolvidos por outros métodos de Pesquisa 
Operacional. Você pode conhecer um destes modelos lendo o artigo de Lima Jr. et al 
(2013) disponível no link: <http://www.scielo.br/pdf/gp/2013nahead/aop_1191.pdf>.
Observe que, após ser estabelecida a função objetivo, cabe ao gestor verificar quais são as 
limitações do problema, definindo assim suas restrições.
3 Restrições técnicas
Quaisquer restrições nos valores, atribuídos às variáveis de decisão da situação problema, 
também são expressas de forma matemática, por meio de desigualdades ou igualdades, gerando 
inequações para as desigualdades e equações para as igualdades. Tais expressões matemáticas 
para limitações são denominadas restrições. 
Marins (2011) dá exemplos de restrições típicas dos problemas organizacionais, comen-
tando sobre limites das quantidades de recursos disponíveis, como colaboradores, máquinas, 
orçamento, matéria-prima, entre outros recursos; além dos requisitos contratuais para a produção 
e atendimento das demandas atendidas pela empresa. 
PESQUISA OPERACIONAL
 – 50 – 
Figura 2 – Recursos produtivos como restrições
Fonte: Elenabsl/Shutterstock.com
FIQUE ATENTO!
Os recursos, por serem normalmente escassos no processo produtivo organiza-
cional, são elementos limitadores do processo. São eles que determinam o quanto 
será possível otimizar ou não uma determinada solução e, portanto, são as restri-
ções nos modelos de programação linear. 
Marins (2011) descreve o processo de elaboração da modelagem das restrições assim:
 • no início é preciso criar as restrições com palavras, como: “a quantidade requerida de 
um recurso” ou “a disponibilidade do recurso”, e expressar estas situações por meio de 
igualdades (=) ou desigualdades (≥ ou ≤); 
 • depois é importante verificar se as unidades de medida do lado esquerdo da expressão 
matemática da restrição são as mesmas unidades de medida do lado direito da expres-
são matemática. Por exemplo, se for restrição de tempo em minutos, devemos conferir 
se nos dois lados estamos usando minutos; 
 • para organizar a restrição em palavras para a notação matemática utilize valores 
conhecidos ou estimados para os parâmetros e os símbolos matemáticos adotados 
para as variáveis de decisão;
 • por fim, escreva a restrição de modo que os termos envolvendo as variáveis de decisão 
fiquem do lado esquerdo da expressão matemática, deixando o valor associado a uma 
constante do lado direito;
Observe ainda que não existem somente restrições técnicas. Outro tipo de restrição se refere 
ao fato de que as variáveis não podem assumir valores negativos. Esta situação é resolvida na 
modelagem por meio de restrições de não-negatividade.
PESQUISA OPERACIONAL
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4 Restrições de não negatividade
Uma situação que devemos observar quando vamos construir um modelo de um problema é 
o fato de que variáveis de decisão (como as quantidades produzidas de um determinado produto, 
por exemplo), não podem ter valores negativos, ou seja, elas só podem assumir valores nulos ou 
positivos. Nesta situação, coloca-se no modelo uma restrição que determina que as variáveis de 
decisão devem ter valores maiores ou iguais a zero, gerando assim inequações. Essas restrições 
são conhecidas como restrições de não-negatividade, conforme cita Marins (2011).
Lembre-se de que cada variável de decisão da situação problema gera uma restrição de não 
negatividade e, portanto, uma inequação do tipo xi ≥ 0.
Figura 3 – Variáveis somente com valores nulos ou positivos
Fonte: Mr. Master/Shutterstock.com
FIQUE ATENTO!
Pela característica dos elementos que compõe as variáveis de decisão de que as 
mesmas só podem ter resultado positivo ou nulo na solução do problema, insere-se 
no modelo de programação linear expressões matemáticas de inequação em que 
se expressa esta característica, denominando-a de variáveis de não-negatividade.
PESQUISA OPERACIONAL
 – 52 – 
5 Estrutura básica de um 
problema de programação linear
Os problemas que podem ser resolvidos por programação linear são relacionados à atri-
buição e distribuição de recursos, normalmente