Memorial de Calculo Pontes

Prévia do material em texto

COORDENAÇÃO DO CURSO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
BRUNA RAMOS DA COSTA 
CARLOS AUGUSTO MOREIRA FURTADO 
JÔNATAS TRIUNFO DA SILVA NASCIMENTO 
ROGERIO SILVA DO CARMO 
RONNAN AMORIM BORGES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MEMORIAL DE CALCULO DAS CARGAS PERMANENTES NA 
LONGARINA E ESFORÇOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PORTO VELHO 
2020.2
1 
 
 
 
 
COORDENAÇÃO DO CURSO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
BRUNA RAMOS DA COSTA 
CARLOS AUGUSTO MOREIRA FURTADO 
JÔNATAS TRIUNFO DA SILVA NASCIMENTO 
ROGEGIO SILVA DO CARMO 
RONNAN AMORIM BORGES 
 
 
 
 
 
 
 
MEMORIAL DE CALCULO DAS CARGAS PERMANENTES NA 
LONGARINA E ESFORÇOS 
 
 
 
 
 
Trabalho apresentado ao Curso de 
Engenharia Civil da Faculdade de 
Ciências Humanas, Exatas e Letras de 
Rondônia (FARO), para a disciplina do 
Prof.º Eng.º Helvio de Oliveira Pantoja 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PORTO VELHO 
2020.2 
2 
 
 
 
1. Sumário 
2. INTRODUÇÃO .............................................................................................................................. 3 
3. DESENVOLVIMENTO ................................................................................................................. 4 
3.1 NORMAS BRASILEIRAS PERTINENTES ..................................................................................... 4 
3.2 PRINCIPAIS ESTRUTURAS DE UMA PONTE .............................................................................. 4 
3.3 APRESENTAÇÃO E ANÁLISE DOS RESULTADOS .................................................................... 5 
3.3.1 Cálculo das Cargas Permanentes .............................................................................................6 
Passo 1: Diagramas de cortante e momento fletor ............................................................................7 
3.3.2 CALCULO DO CARREGAMENTO FORA DO VEICULO ..................................................1 
3.3.3 CALCULO DAS CARGAS MOVEIS ....................................................................................3 
3.3.4 LONGARINAS E LINHA DE INFLUENCIA ........................................................................6 
3.3.5 CALCULO DOS COEFICIENTES ........................................................................................7 
3.3.6 CALCULO DA ÁREA DE AÇO ............................................................................................8 
4. CONCLUSÃO .............................................................................................................................. 53 
5. REFERÊNCIAS ........................................................................................................................... 54 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
 
 
2. INTRODUÇÃO 
 
Este trabalho aborda os assuntos pertinentes aos estudos das pontes, em 
especifico sobre a estrutura ao longo da ponte, reforçando as aulas sobre pontes 
que foram ministradas através da plataforma do TEAMS pelo Prof.º Eng.º Civil 
Helvio de Oliveira Pantoja. 
A sugestão deste trabalho e estudar como atuam as cargas permanentes 
em uma estrutura de ponte permanente isostática de concreto armado com duas 
longarinas para um tráfego de natureza rodoviária. Toda sustentada por duas 
vigas de concreto armado, denominadas longarinas ou superestrutura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
 
 
3. DESENVOLVIMENTO 
 
3.1 NORMAS BRASILEIRAS PERTINENTES 
NBR 7187: Projeto de pontes de concreto armado e de concreto protendido; 
NBR 6118: Projeto de estruturas de concreto; 
NBR 9062: Projeto e execução de estruturas de concreto pré-moldado; 
NBR 7188: Carga móvel em ponte rodoviária e passarela de pedestre; 
NBR 7189: Cargas móveis para projeto estrutural de obras ferroviárias; 
NBR 6122: Projeto e execução de fundações; 
NBR 6123: Forças devidas ao vento em edificações; 
NBR 8681: Ações e segurança nas estruturas; 
NBR 7480: Barras e fios de aço destinados a armaduras para concreto armado; 
NBR 7482: Fios de aço para concreto protendido; 
NBR 7483: Cordoalhas de aço para concreto protendido. 
 
3.2 PRINCIPAIS ESTRUTURAS DE UMA PONTE 
 
A ponte é uma construção que permite interligar ao mesmo nível pontos 
não acessíveis separados por rios, vales, ou outros obstáculos naturais ou 
artificiais. As pontes são construídas para permitirem a passagem sobre o 
obstáculo a transpor, de pessoas, automóveis, comboios, canalizações ou 
condutas de água (aquedutos). 
 
Imagem 1: Ponte com encontros 
Fonte: Google Imagens 
 
 
5 
 
 
 
Infraestrutura é a parte da ponte constituída por elementos que se destinam a 
apoiar no terreno (rocha ou solo) os esforços transmitidos da Superestrutura 
para a Mesoestrutura. 
A infraestrutura é constituída por blocos de estacas, sapatas, tubulões etc. 
Mesoestrutura é a parte da ponte constituída pelos pilares. É o elemento que 
recebe os esforços da superestrutura e os transmite à infraestrutura. 
Superestrutura é constituída de vigas e lajes, sendo o elemento de suporte do 
estrado por onde se trafega, entretanto, a parte útil da obra. 
 
3.3 APRESENTAÇÃO E ANÁLISE DOS RESULTADOS 
 
Segundo MARCHETTI as cargas permanentes podem ser referidas como 
a carga produzida pelo próprio peso da estrutura e por elementos que estão 
permanentemente fixos a estrutura, tais como guarda-corpo, guarda-rodas, 
defensas, passeio, pavimentação, postes de iluminação etc. 
As cargas permanentes podem ser divididas em concentradas e 
distribuídas. De acordo com a NBR 6120, cargas para o cálculo de estrutura de 
edificações, no caso das cargas permanentes distribuídas, usa-se o volume 
relativo ao comprimento unitário do elemento: 
Conhecidos o volume do elemento da ponte e o peso específico (ɣ) do 
material que a constitui, o peso próprio será: 
 
Carga permanente distribuída: q = ɣ. v (kN/m³) 
Carga permanente concentrada: G = ɣ. V (kN) 
 
Tabela 1: Peso especifico dos materiais 
 
 
 
 
 
 
Fonte: NBR 6120 
6 
 
 
 
3.3.1 Cálculo das Cargas Permanentes 
 
𝐺𝑢𝑎𝑟𝑑 𝑅𝑎𝑖𝑙 = á𝑟𝑒𝑎 𝑥 ɣ concreto 
𝐺𝑢𝑎𝑟𝑑 𝑅𝑎𝑖𝑙 = 0,23 𝑥 25 
𝐺𝑢𝑎𝑟𝑑 𝑅𝑎𝑖𝑙 = 5,75 𝐾𝑁/𝑚 
 
𝐴𝑠𝑓𝑎𝑙𝑡𝑜 = á𝑟𝑒𝑎 𝑥 ɣ asfalto 
𝐴𝑠𝑓𝑎𝑙𝑡𝑜 = 0,35 𝑥 24 
𝐴𝑠𝑓𝑎𝑙𝑡𝑜 = 8,4 𝐾𝑁/𝑚 
 
𝐿𝑎𝑗𝑒 = á𝑟𝑒𝑎 𝑥 ɣ concreto 
𝐿𝑎𝑗𝑒 = 1,96 𝑥 25 
𝐿𝑎𝑗𝑒 = 49 𝐾𝑁/𝑚 
 
𝐿𝑜𝑛𝑔𝑎𝑟𝑖𝑛𝑎 = á𝑟𝑒𝑎 𝑥 ɣ concreto 
𝐿𝑜𝑛𝑔𝑎𝑟𝑖𝑛𝑎 = 0,48 𝑥 25 
𝐿𝑜𝑛𝑔𝑎𝑟𝑖𝑛𝑎 = 12 𝐾𝑁/𝑚 
 
𝐶𝑎𝑙ç𝑎𝑑𝑎 = á𝑟𝑒𝑎 𝑥 ɣ concreto 
𝐶𝑎𝑙ç𝑎𝑑𝑎 = 0,15 𝑥 25 
𝐶𝑎𝑙ç𝑎𝑑𝑎 = 3,75 𝐾𝑁/𝑚 
 
𝑔 = 𝐺𝑢𝑎𝑟𝑑 𝑅𝑎𝑖𝑙 + 𝐴𝑠𝑓𝑎𝑙𝑡𝑜 + 𝐿𝑎𝑗𝑒 + 𝐿𝑜𝑛𝑔𝑎𝑟𝑖𝑛𝑎 + 𝐶𝑎𝑙ç𝑎𝑑𝑎 
𝑔 = 5,75 + 8,4 + 49 + 12 + 3,75 
𝑔 = 78,90 𝐾𝑛/𝑚 
 
Após a realização dos cálculos de cada parte da superestrutura temos as 
seguintes distribuições pelo software FTOOL. Desenhando a viga no FTOOL 
coloca-se as cargas previamente calculadas em seus locais de aplicação. 
Para o cálculo das forças aplicados as vigas não temos a necessidade de 
realizar esses cálculos separadamente por isso para os esforços seccionais 
utilizamos as cargas permanentes. Nas seções de cálculo cada vão é dividido 
7 
 
 
 
em 10 seções e ainda é conveniente o cálculo correspondente ao meio do 
balanço. Com o estabelecimento dessas seções e com os cálculos das cargas a 
serem aplicadas conseguimos traçar os gráficos de esforço cortante e de 
momento fletor 
 
Passo 1: Diagramas de cortante e momento fletor 
 
CARGAS PERMANETES NA VIGA PRINCIPAL 
 
CARGAS PERMANENTES:DIAGRAMA DO ESFORÇO CORTANTE 
 
CARGAS PERMANENTES:DIAGRAMA DE MOMENTOS FLETORES 
1 
 
 
 
1 
 
 
 
3.3.2 CALCULO DO CARREGAMENTO FORA DO VEICULO 
Valores de h2 
ℎ2
1
=
11,40
8,5
 
ℎ2 =
11,40
8,5
 
ℎ2 = 1,3412 
 
Valores de h3 
ℎ3
1
=
10,40
8,5
 
h3 =
10,40
8,5
 
ℎ3 = 1,2235 
2 
 
 
 
Valores de h4 
ℎ41
=
10,00
8,5
 
h4 =
10,00
8,5
 
ℎ4 = 1,1765 
 
Valores de h5 
ℎ5
1
=
1,5
8,5
 
h5 =
1,5
8,5
 
ℎ5 = 0,1765 
 
Valores (P) 
𝑝 = q x A + q x A 
𝑝 = 3 x 
(1,3412 + 1,2235)𝑥1
2
+ 5 x 
(1,18 + 1) 𝑥 1,50
2
+ 5 x 
(1 + 0,17)𝑥7
2
+ 5x
(0,17𝑥1,50)
2
 
𝑝 = 3,8470 + 8,175 + 20,475 + 0,6375 
𝑝 = 33,1345 KN/m 
 
 
 
 
 
 
3 
 
 
 
3.3.3 CALCULO DAS CARGAS MOVEIS 
 
Valores de h2 
ℎ2
1
=
11,40
8,5
 
ℎ2 =
11,40
8,5
 
ℎ2 = 1,3412 
 
 
 
4 
 
 
 
Valores de h3 
ℎ3
1
=
10,40
8,5
 
h3 =
10,40
8,5
 
ℎ3 = 1,2235 
 
Valores de h4 
ℎ4
1
=
10,00
8,5
 
h4 =
10,00
8,5
 
ℎ4 = 1,1765 
 
Valores de h5 
ℎ5
1
=
8,00
8,5
 
h5 =
8,00
8,5
 
ℎ5 = 0,9412 
 
Valores de h6 
ℎ6
1
=
7,5
8,5
 
h6 =
7,5
8,5
 
ℎ6 = 0,8823 
 
Valores de h7 
ℎ7
1
=
1,5
8,5
 
h7 =
1,5
8,5
 
ℎ7 = 0,1765 
 
 
 
 
5 
 
 
 
Valores Concentrada (P) 
𝑝 = p x h 
𝑝 = 75 x (1,1765 + 1,0 + 0,9412) 
𝑝 = 233,8275 KN 
 
Valores Distribuídas (P) 
𝑝 = q x A + q x A + q x A 
𝑝 = 3 x 
(1,34 + 1,22) 𝑥 1,0
2
+ 5 x 
(0,88 + 0,18) 𝑥 6
2
+ 5 x 
0,18 𝑥 1,50
2
 
𝑝 = 3,84 + 15,9 + 0,675 
𝑝 = 20,415 KN/m 
 
Trem Tipo Homogeinizado 
33,13 − 20,41 = 12,72 𝐾𝑁/𝑚 
12,72 𝑥 6 = 76,32 𝐾𝑁 
76,32/3 = 25,44 𝐾𝑁 
233,83 − 25,44 = 208,39 𝐾𝑁 
 
 
 
 
 
6 
 
 
 
3.3.4 LONGARINAS E LINHA DE INFLUENCIA 
 
CARGAS MOVEIS: DIAGRAMA DE MOMENTO FLETOR 
 
CARGAS MÓVEIS:DIAGRAMA DE ESFORÇO CORTANTE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
 
 
3.3.5 CALCULO DOS COEFICIENTES 
COEFICIENTE DE IMPACTO VERTICAL (BALANÇO) 
𝐶𝐼𝑉 = 1 + 1,06 x (
20
𝐿𝑖𝑣 + 50
) 
𝐶𝐼𝑉 = 1 + 1,06 x (
20
5,40 + 50
) 
𝐶𝐼𝑉 = 1,38 
 
COEFICIENTE DE IMPACTO VERTICAL (VÃO) 
𝐶𝐼𝑉 = 1 + 1,06 x (
20
𝐿𝑖𝑣 + 50
) 
𝐶𝐼𝑉 = 1 + 1,06 x (
20
20,20 + 50
) 
𝐶𝐼𝑉 = 1,30 
 
𝐶𝐼𝑉 =
1,30 + 1,38
2
 
𝐶𝐼𝑉 = 1,34 
 
COEFICIENTE DE NÚMERO DE FAIXAS 
𝐶𝑁𝐹 = 1 − 0,05 x (𝑛 − 2) 
𝐶𝑁𝐹 = 1 − 0,05 x (2 − 2) 
𝐶𝑁𝐹 = 1,00 
 
COEFICIENTE DE IMPACTO ADICIONAL 
𝐶𝐼𝐴 = 1,25 
 
φ = 𝐶𝐼𝑉 𝑥 𝐶𝑁𝐹 𝑥 𝐶𝐼𝐴 
φ = 1,34 𝑥 1,00 𝑥 1,25 
φ = 1,675 
 
 
 
 
 
 
8 
 
 
 
3.3.6 CALCULO DA ÁREA DE AÇO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SEÇÃO 0 
𝑀𝑑 = 1,4 x (𝑀𝑔 + 𝐶𝑜𝑒𝑓 𝑥 𝑀𝑞) 
𝑀𝑑 = 1,4 x (0 + 1,67 𝑥 0) 
𝑀𝑑 = 1,4 KN x m 
𝑀𝑑 = 140 KN x cm 
 
Adotando 𝑑´ = 10 cm 
Temos 
𝑑 = ℎ − 𝑑´ 
𝑑 = 160 − 10 
𝑑 = 150 𝑐𝑚 
 
𝐵𝑤 = 40 𝑐𝑚 
σcd = 0,85 x
𝑓𝑐𝑘
γc
 
σcd = 0,85 x
30
1,4
 
σcd = 18,21 MPa 
σcd = 1,82 KN/cm² 
9 
 
 
 
MOMENTO REDUZIDO 
μ =
140
40 𝑥 1502𝑥 1,82 
 
μ =
140
1638000 
 
μ = 0,000085 < 0,2952 (𝑎𝑟𝑚𝑎𝑑𝑢𝑟𝑎 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒𝑠) 
 
LINHA NEUTRA 
𝑊 = 1 − (1 − 2μ)
1
2 
𝑊 = 1 − (1 − 2 x 0,000085)
1
2 
𝑊 = 1 − (0,9998)
1
2 
𝑊 = 0,0002 
 
ÁREA DE AÇO 
As =
𝑊 𝑥 𝑏 𝑥 𝑑 𝑥 σcd 
𝐹𝑦𝑑 
 
As =
0,0002 𝑥 40 𝑥 150 𝑥 1,82 
43,48 
 
As = 0,050 cm² 
 
Usando barras de 25 mm (As1=4,91cm²) 
0,050 
4,91 
= 1 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 
 
Taxa de armadura 
𝑝 =
𝐴𝑠 
𝐴𝑐 
 
𝑝 =
1 𝑥 4,91 
40 𝑥 160
 
𝑝 = 0,00077 x 100 
𝑝 = 0,077 
𝑝 = 0,08% 
 
10 
 
 
 
ESFORÇO CORTANTE 
Vd = 1,4 x (Vg + Coef x Vq) 
Vd = 1,4 x (0 + 1,67 x 208,4) 
Vd = 487,24 KN 
 
TENSÃO DE CISALHAMENTO 
τwd =
𝑉𝑑
(𝐵𝑤 𝑥 𝑑)
 
τwd =
487,24
(40 𝑥 160)
 
τwd =
487,24
6400
 
τwd = 0,076 𝐾𝑁/𝑐𝑚² 
τwd = 0,76 𝑀𝑃𝑎 
 
VALOR DE REFERÊNCIA 
τwv = 0,27 x (1 −
𝐹𝑐𝑘
250
 ) x Fck 
τwv = 0,27 x (1 −
30
250
 ) x 
30
1,4
 
τwv = 5,09 MPa 
τwv = 0,51KN/cm² 
 
CONTRIBUIÇÃO DO CONCRETO 
τc = Ψ x (𝐹𝑐𝑘)2/3 
τc = 0,09 x (30)2/3 
τc = 0,869 MPa 
τc = 0,087 KN/cm² 
 
 
 
 
 
11 
 
 
 
TENSÃO DE CISALHAMENTO 
τd = 1,11 x (τwd − τc) 
τd = 1,11 x (0,76 − 0,869) 
τd = −0,12 MPa 
τd = 0,012 KN/cm² 
 
CALCULO DA ÁREA DE AÇO POR METRO DE COMPRIMENTO DE VIGA 
(CM²/m) 
Asw = 100 x bw x
𝜏𝑑
𝐹𝑦𝑑
 
Asw = 100 x 40 x
0,012
43,48
 
Asw = 1,10 cm2/m 
 
ESPAÇAMENTO DA ARMADURA PARA ESTRIBOS DE 2 RAMOS 
S =
200 𝑥 𝐴𝑠1
𝐴𝑠𝑤
 
Adotando barras de 10 mm (As1=0,78cm²) 
S =
200 𝑥 0,78 
1,10
 
S = 142 𝑐𝑚 
 
VERIFICAÇÃO DA ÁREA MINIMA 
Asmin = ρ min 𝑥 𝐴𝑐 
Asmin = (
0,12
100
) 𝑥 (30 𝑥 100) 
Asmin = 3,6 cm² 
 
TAMANHO DO ESTRIBO 
I = 2 x (a + b) + 𝛥𝑐 
I = 2 x (17,75 + 154) + 17 
I = 360,5 
12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SEÇÃO 1E 
𝑀𝑑 = 1,4 x (𝑀𝑔 + 𝐶𝑜𝑒𝑓 𝑥 𝑀𝑞) 
𝑀𝑑 = 1,4 x (1150,4 + 1,67 𝑥 2921,3) 
𝑀𝑑 = 8440,56 KN x m 
𝑀𝑑 = 844.055,94 KN x cm 
 
Adotando 𝑑´ = 10 cm 
Temos 
𝑑 = ℎ − 𝑑´ 
𝑑 = 160 − 10 
𝑑 = 150 𝑐𝑚 
 
𝐵𝑤 = 40 𝑐𝑚 
σcd = 0,85 x
𝑓𝑐𝑘
γc
 
σcd = 0,85 x
30
1,4
 
σcd = 18,21 MPa 
σcd = 1,82 KN/cm² 
13 
 
 
 
MOMENTO REDUZIDO 
μ =
844.055,94
40 𝑥 1502𝑥 1,82 
 
μ =
844.055,94
1638000 
 
μ = 0,5153 < 0,2952 (𝑎𝑟𝑚𝑎𝑑𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑢𝑝𝑙𝑎) 
 
δ =
𝑑´
𝑑 
 
δ =
10
150
 
δ = 0,067 
σ´sd = 43,48 KN/cm² 
 
CALCULO DA ARMADURA COMPRIMIDA 
W =
(μ − μlim) 𝑥 𝐹𝑦𝑑
(1 − 𝛿) 𝑥 σ´sd
 
W =
(0,5153 − 0,2952) 𝑥 43,48
(1 − 0,067) 𝑥 43,48
 
W =
0,2201 𝑥 43,48
0,933 𝑥 43,48
 
W =
9,5699
40,567
 
W´ = 0,2359 
 
ÁREA DE AÇO 
As =
𝑊´ 𝑥 𝑏 𝑥 𝑑 𝑥 σcd 
𝐹𝑦𝑑 
 
As =
0,2359 𝑥 40 𝑥 150 𝑥 1,82 
43,48 
 
As = 59,25 cm² 
 
Usando barras de 25 mm (As1=4,91cm²) 
59,25 
4,91 
= 12 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒 25𝑚𝑚 
 
14 
 
 
 
CALCULO DA ARMADURA DE TRAÇÃO 
W´ =
𝜆 𝑥 𝜀𝑙𝑖𝑚 + (μ − μlim)
(1 − 𝛿)
 
W´ =
0,8 𝑥 0,45 + (0,5153 − 0,2952)
(1 − 0,067)
 
W´ =
0,36 + 0,2201
0,933
 
W´ = 0,6218 
 
ÁREA DE AÇO 
As =
𝑊´ 𝑥 𝑏 𝑥 𝑑 𝑥 σcd 
𝐹𝑦𝑑 
 
As =
0,6218 𝑥 40 𝑥 150 𝑥 1,82 
43,48 
 
As = 156,165 cm² 
 
Usando barras de 25 mm (As1=4,91cm²) 
156,165 
4,91 
= 32 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒 25𝑚𝑚 
 
ESFORÇO CORTANTE 
Vd = 1,4 x (Vg + Coef x Vq) 
Vd = 1,4 x (426,1 + 1,67 x 937,3) 
Vd = 2.787,95 KN 
 
TENSÃO DE CISALHAMENTO 
τwd =
𝑉𝑑
(𝐵𝑤 𝑥 𝑑)
 
τwd =
2787,95
(40 𝑥 160)
 
τwd =
2787,95
6400
 
τwd = 0,44 𝐾𝑁/𝑐𝑚² 
τwd = 4,4 𝑀𝑃𝑎 
15 
 
 
 
 
VALOR DE REFERÊNCIA 
τwv = 0,27 x (1 −
𝐹𝑐𝑘
250
 ) x Fck 
τwv = 0,27 x (1 −
30
250
 ) x 
30
1,4
 
τwv = 5,09 MPa 
τwv = 0,51KN/cm² 
 
CONTRIBUIÇÃO DO CONCRETO 
τc = Ψ x (𝐹𝑐𝑘)2/3 
τc = 0,09 x (30)2/3 
τc = 0,869 MPa 
τc = 0,087 KN/cm² 
 
TENSÃO DE CISALHAMENTO 
τd = 1,11 x (τwd − τc) 
τd = 1,11 x (4,4 − 0,869) 
τd = 3,92 MPa 
τd = 0,39 KN/cm² 
 
CALCULO DA ÁREA DE AÇO POR METRO DE COMPRIMENTO DE VIGA 
(CM²/m) 
Asw = 100 x bw x
𝜏𝑑
𝐹𝑦𝑑
 
Asw = 100 x 40 x
0,39
43,48
 
Asw = 35,88 cm2/m 
 
 
 
 
 
16 
 
 
 
ESPAÇAMENTO DA ARMADURA PARA ESTRIBOS DE 2 RAMOS 
S =
200 𝑥 𝐴𝑠1
𝐴𝑠𝑤
 
Adotando barras de 10 mm (As1=0,78cm²) 
S =
200 𝑥 0,78 
35,88
 
S = 4,35 𝑐𝑚 
 
VERIFICAÇÃO DA ÁREA MINIMA 
Asmin = ρ min 𝑥 𝐴𝑐 
Asmin = (
0,12
100
) 𝑥 (30 𝑥 100) 
Asmin = 3,6 cm² 
 
TAMANHO DO ESTRIBO 
I = 2 x (a + b) + 𝛥𝑐 
I = 2 x (17,75 + 154) + 17 
I = 360,5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SEÇÃO 1D 
𝑀𝑑 = 1,4 x (𝑀𝑔 + 𝐶𝑜𝑒𝑓 𝑥 𝑀𝑞) 
𝑀𝑑 = 1,4 x (1150,4 + 1,67 𝑥 2921,3) 
𝑀𝑑 = 8440,56 KN x m 
𝑀𝑑 = 844.055,94 KN x cm 
 
Adotando 𝑑´ = 10 cm 
Temos 
𝑑 = ℎ − 𝑑´ 
𝑑 = 160 − 10 
𝑑 = 150 𝑐𝑚 
 
𝐵𝑤 = 40 𝑐𝑚 
σcd = 0,85 x
𝑓𝑐𝑘
γc
 
σcd = 0,85 x
30
1,4
 
σcd = 18,21 MPa 
σcd = 1,82 KN/cm² 
18 
 
 
 
MOMENTO REDUZIDO 
μ =
844.055,94
40 𝑥 1502𝑥 1,82 
 
μ =
844.055,94
1638000 
 
μ = 0,5153 < 0,2952 (𝑎𝑟𝑚𝑎𝑑𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑢𝑝𝑙𝑎) 
 
δ =
𝑑´
𝑑 
 
δ =
10
150
 
δ = 0,067 
 
σ´sd = 43,48 KN/cm² 
 
CALCULO DA ARMADURA COMPRIMIDA 
W =
(μ − μlim) 𝑥 𝐹𝑦𝑑
(1 − 𝛿) 𝑥 σ´sd
 
W =
(0,5153 − 0,2952) 𝑥 43,48
(1 − 0,067) 𝑥 43,48
 
W =
0,2201 𝑥 43,48
0,933 𝑥 43,48
 
W =
9,5699
40,567
 
W´ = 0,2359 
 
ÁREA DE AÇO 
As =
𝑊´ 𝑥 𝑏 𝑥 𝑑 𝑥 σcd 
𝐹𝑦𝑑 
 
As =
0,2359 𝑥 40 𝑥 150 𝑥 1,82 
43,48 
 
As = 59,25 cm² 
 
Usando barras de 25 mm(As1=4,91cm²) 
59,25 
4,91 
= 12 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒 25𝑚𝑚 
19 
 
 
 
CALCULO DA ARMADURA DE TRAÇÃO 
W´ =
𝜆 𝑥 𝜀𝑙𝑖𝑚 + (μ − μlim)
(1 − 𝛿)
 
W´ =
0,8 𝑥 0,45 + (0,5153 − 0,2952)
(1 − 0,067)
 
W´ =
0,36 + 0,2201
0,933
 
W´ = 0,6218 
 
ÁREA DE AÇO 
As =
𝑊´ 𝑥 𝑏 𝑥 𝑑 𝑥 σcd 
𝐹𝑦𝑑 
 
As =
0,6218 𝑥 40 𝑥 150 𝑥 1,82 
43,48 
 
As = 156,165 cm² 
 
Usando barras de 25 mm (As1=4,91cm²) 
156,165 
4,91 
= 32 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒 25𝑚𝑚 
 
ESFORÇO CORTANTE 
Vd = 1,4 x (Vg + Coef x Vq) 
Vd = 1,4 x (796,9 + 1,67 x 937,3) 
Vd = 3.320,19 KN 
 
TENSÃO DE CISALHAMENTO 
τwd =
𝑉𝑑
(𝐵𝑤 𝑥 𝑑)
 
τwd =
3320,19
(40 𝑥 160)
 
τwd =
3320,19
6400
 
τwd = 0,52 𝐾𝑁/𝑐𝑚² 
τwd = 5,2 𝑀𝑃𝑎 
20 
 
 
 
 
VALOR DE REFERÊNCIA 
τwv = 0,27 x (1 −
𝐹𝑐𝑘
250
 ) x Fck 
τwv = 0,27 x (1 −
30
250
 ) x 
30
1,4
 
τwv = 5,09 MPa 
τwv = 0,51KN/cm² 
 
CONTRIBUIÇÃO DO CONCRETO 
τc = Ψ x (𝐹𝑐𝑘)2/3 
τc = 0,09 x (30)2/3 
τc = 0,869 MPa 
τc = 0,087 KN/cm² 
 
TENSÃO DE CISALHAMENTO 
τd = 1,11 x (τwd − τc) 
τd = 1,11 x (5,2 − 0,869) 
τd = 4,81 MPa 
τd = 0,48 KN/cm² 
 
CALCULO DA ÁREA DE AÇO POR METRO DE COMPRIMENTO DE VIGA 
(CM²/m) 
Asw = 100 x bw x
𝜏𝑑
𝐹𝑦𝑑
 
Asw = 100 x 40 x
0,49
43,48
 
Asw = 45,08 cm2/m 
 
 
 
 
 
21 
 
 
 
ESPAÇAMENTO DA ARMADURA PARA ESTRIBOS DE 2 RAMOS 
S =
200 𝑥 𝐴𝑠1
𝐴𝑠𝑤
 
Adotando barras de 10 mm (As1=0,78cm²) 
S =
200 𝑥 0,78 
45,08
 
S = 3,46 𝑐𝑚 
 
VERIFICAÇÃO DA ÁREA MINIMA 
Asmin = ρ min 𝑥 𝐴𝑐 
Asmin = (
0,12
100
) 𝑥 (30 𝑥 100) 
Asmin = 3,6 cm² 
 
TAMANHO DO ESTRIBO 
I = 2 x (a + b) + 𝛥𝑐 
I = 2 x (17,75 + 154) + 17 
I = 360,5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SEÇÃO 2 
𝑀𝑑 = 1,4 x (𝑀𝑔 + 𝐶𝑜𝑒𝑓 𝑥 𝑀𝑞) 
𝑀𝑑 = 1,4 x (298,4 + 1,67 𝑥 2677,5) 
𝑀𝑑 = 6677,755 KN x m 
𝑀𝑑 = 667775,5 KN x cm 
 
Adotando 𝑑´ = 10 cm 
Temos 
𝑑 = ℎ − 𝑑´ 
𝑑 = 160 − 10 
𝑑 = 150 𝑐𝑚 
 
𝐵𝑤 = 40 𝑐𝑚 
σcd = 0,85 x
𝑓𝑐𝑘
γc
 
σcd = 0,85 x
30
1,4
 
σcd = 18,21 MPa 
σcd = 1,82 KN/cm² 
23 
 
 
 
MOMENTO REDUZIDO 
μ =
667775,5
40 𝑥 1502𝑥 1,82 
 
μ =
667775,5
1638000 
 
μ = 0,4077 < 0,2952 (𝑎𝑟𝑚𝑎𝑑𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑢𝑝𝑙𝑎) 
 
δ =
𝑑´
𝑑 
 
δ =
10
150
 
δ = 0,067 
 
σ´sd = 43,48 KN/cm² 
 
CALCULO DA ARMADURA COMPRIMIDA 
W =
(μ − μlim) 𝑥 𝐹𝑦𝑑
(1 − 𝛿) 𝑥 σ´sd
 
W =
(0,4077 − 0,2952) 𝑥 43,48
(1 − 0,067) 𝑥 43,48
 
W =
0,1125 𝑥 43,48
0,933 𝑥 43,48
 
W =
4,8915
40,567
 
W´ = 0,1206 
 
ÁREA DE AÇO 
As =
𝑊´ 𝑥 𝑏 𝑥 𝑑 𝑥 σcd 
𝐹𝑦𝑑 
 
As =
0,1206 𝑥 40 𝑥 150 𝑥 1,82 
43,48 
 
As = 30,29 cm² 
 
Usando barras de 25 mm (As1=4,91cm²) 
30,29 
4,91 
= 7 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒 25𝑚𝑚 
24 
 
 
 
CALCULO DA ARMADURA DE TRAÇÃO 
W´ =
𝜆 𝑥 𝜀𝑙𝑖𝑚 + (μ − μlim)
(1 − 𝛿)
 
W´ =
0,8 𝑥 0,45 + (0,4077 − 0,2952)
(1 − 0,067)
 
W´ =
0,36 + 0,1125
0,933
 
W´ = 0,5064 
 
ÁREA DE AÇO 
As =
𝑊´ 𝑥 𝑏 𝑥 𝑑 𝑥 σcd 
𝐹𝑦𝑑 
 
As =
0,5064 𝑥 40 𝑥 150 𝑥 1,82 
43,48 
 
As = 127,18 cm² 
 
Usando barras de 25 mm (As1=4,91cm²) 
127,18 
4,91 
= 26 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒 25𝑚𝑚 
ESFORÇO CORTANTE 
Vd = 1,4 x (Vg + Coef x Vq) 
Vd = 1,4 x (637,5 + 1,67 x 811,2) 
Vd = 2.789,09 KN 
 
TENSÃO DE CISALHAMENTO 
τwd =
𝑉𝑑
(𝐵𝑤 𝑥 𝑑)
 
τwd =
2789,09
(40 𝑥 160)
 
τwd =
2789,09
6400
 
τwd = 0,44 𝐾𝑁/𝑐𝑚² 
τwd = 4,36 𝑀𝑃𝑎 
 
25 
 
 
 
VALOR DE REFERÊNCIA 
τwv = 0,27 x (1 −
𝐹𝑐𝑘
250
 ) x Fck 
τwv = 0,27 x (1 −
30
250
 ) x 
30
1,4
 
τwv = 5,09 MPa 
τwv = 0,51KN/cm² 
 
CONTRIBUIÇÃO DO CONCRETO 
τc = Ψ x (𝐹𝑐𝑘)2/3 
τc = 0,09 x (30)2/3 
τc = 0,869 MPa 
τc = 0,087 KN/cm² 
 
TENSÃO DE CISALHAMENTO 
τd = 1,11 x (τwd − τc) 
τd = 1,11 x (4,36 − 0,869) 
τd = 3,88 MPa 
τd = 0,39 KN/cm² 
 
CALCULO DA ÁREA DE AÇO POR METRO DE COMPRIMENTO DE VIGA 
(CM²/m) 
Asw = 100 x bw x
𝜏𝑑
𝐹𝑦𝑑
 
Asw = 100 x 40 x
0,39
43,48
 
Asw = 35,88 cm2/m 
 
 
 
 
 
 
26 
 
 
 
ESPAÇAMENTO DA ARMADURA PARA ESTRIBOS DE 2 RAMOS 
S =
200 𝑥 𝐴𝑠1
𝐴𝑠𝑤
 
Adotando barras de 10 mm (As1=0,78cm²) 
S =
200 𝑥 0,78 
35,88
 
S = 4,35 𝑐𝑚 
 
VERIFICAÇÃO DA ÁREA MINIMA 
Asmin = ρ min 𝑥 𝐴𝑐 
Asmin = (
0,12
100
) 𝑥 (30 𝑥 100) 
Asmin = 3,6 cm² 
 
TAMANHO DO ESTRIBO 
I = 2 x (a + b) + 𝛥𝑐 
I = 2 x (17,75 + 154) + 17 
I = 360,5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
27 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SEÇÃO 3 
𝑀𝑑 = 1,4 x (𝑀𝑔 + 𝐶𝑜𝑒𝑓 𝑥 𝑀𝑞) 
𝑀𝑑 = 1,4 x (1425,2 + 1,67 𝑥 2914,3) 
𝑀𝑑 = 8808,91 KN x m 
𝑀𝑑 = 880.891,34 KN x cm 
 
Adotando 𝑑´ = 10 cm 
Temos 
𝑑 = ℎ − 𝑑´ 
𝑑 = 160 − 10 
𝑑 = 150 𝑐𝑚 
 
𝐵𝑤 = 40 𝑐𝑚 
σcd = 0,85 x
𝑓𝑐𝑘
γc
 
σcd = 0,85 x
30
1,4
 
σcd = 18,21 MPa 
σcd = 1,82 KN/cm² 
28 
 
 
 
MOMENTO REDUZIDO 
μ =
880.891,34
40 𝑥 1502𝑥 1,82 
 
μ =
880.891,34
1638000 
 
μ = 0,5378 < 0,2952 (𝑎𝑟𝑚𝑎𝑑𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑢𝑝𝑙𝑎) 
 
δ =
𝑑´
𝑑 
 
δ =
10
150
 
δ = 0,067 
 
σ´sd = 43,48 KN/cm² 
 
CALCULO DA ARMADURA COMPRIMIDA 
W =
(μ − μlim) 𝑥 𝐹𝑦𝑑
(1 − 𝛿) 𝑥 σ´sd
 
W =
(0,5378 − 0,2952) 𝑥 43,48
(1 − 0,067) 𝑥 43,48
 
W =
0,2426 𝑥 43,48
0,933 𝑥 43,48
 
W =
10,548
40,567
 
W´ = 0,2600 
 
ÁREA DE AÇO 
As =
𝑊´ 𝑥 𝑏 𝑥 𝑑 𝑥 σcd 
𝐹𝑦𝑑 
 
As =
0,2600 𝑥 40 𝑥 150 𝑥 1,82 
43,48 
 
As = 65,30 cm² 
 
Usando barras de 25 mm (As1=4,91cm²) 
65,30 
4,91 
= 14 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒 25𝑚𝑚 
29 
 
 
 
CALCULO DA ARMADURA DE TRAÇÃO 
W´ =
𝜆 𝑥 𝜀𝑙𝑖𝑚 + (μ − μlim)
(1 − 𝛿)
 
W´ =
0,8 𝑥 0,45 + (0,5378 − 0,2952)
(1 − 0,067)
 
W´ =
0,36 + 0,2426
0,933
 
W´ = 0,6459 
 
ÁREA DE AÇO 
As =
𝑊´ 𝑥 𝑏 𝑥 𝑑 𝑥 σcd 
𝐹𝑦𝑑 
 
As =
0,6459 𝑥 40 𝑥 150 𝑥 1,82 
43,48 
 
As = 162,22 cm² 
 
Usando barras de 25 mm (As1=4,91cm²) 
162,22 
4,91 
= 34 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒 25𝑚𝑚 
ESFORÇO CORTANTE 
Vd = 1,4 x (Vg + Coef x Vq) 
Vd = 1,4 x (478,1 + 1,67 x 691,8) 
Vd = 2.286,77 KN 
 
TENSÃO DE CISALHAMENTO 
τwd =
𝑉𝑑
(𝐵𝑤 𝑥 𝑑)
 
τwd =
2286,77
(40 𝑥 160)
 
τwd =
2286,77
6400
 
τwd = 0,35 𝐾𝑁/𝑐𝑚² 
τwd = 3,57 𝑀𝑃𝑎 
 
30 
 
 
 
VALOR DE REFERÊNCIA 
τwv = 0,27 x (1 −
𝐹𝑐𝑘
250
 ) x Fck 
τwv = 0,27 x (1 −
30
250
 ) x 
30
1,4
 
τwv = 5,09 MPa 
τwv = 0,51KN/cm² 
 
CONTRIBUIÇÃO DO CONCRETO 
τc = Ψ x (𝐹𝑐𝑘)2/3 
τc = 0,09 x (30)2/3 
τc = 0,869 MPa 
τc = 0,087 KN/cm² 
 
TENSÃO DE CISALHAMENTO 
τd = 1,11 x (τwd − τc) 
τd = 1,11 x (3,57 − 0,869) 
τd = 2,99 MPa 
τd = 0,29 KN/cm² 
 
CALCULO DA ÁREA DE AÇO POR METRO DE COMPRIMENTO DE VIGA 
(CM²/m) 
Asw = 100 x bw x
𝜏𝑑
𝐹𝑦𝑑
 
Asw = 100 x 40 x
0,29
43,48
 
Asw = 26,68 cm2/m 
 
 
 
 
 
 
31 
 
 
 
ESPAÇAMENTO DA ARMADURA PARA ESTRIBOS DE 2 RAMOS 
S =
200 𝑥 𝐴𝑠1
𝐴𝑠𝑤
 
Adotando barras de 10 mm (As1=0,78cm²) 
S =
200 𝑥 0,78 
26,68
 
S = 5,85 𝑐𝑚 
 
VERIFICAÇÃO DA ÁREA MINIMA 
Asmin = ρ min 𝑥 𝐴𝑐 
Asmin = (
0,12
100
) 𝑥 (30 𝑥 100) 
Asmin = 3,6 cm² 
 
TAMANHO DO ESTRIBO 
I = 2 x (a + b) + 𝛥𝑐 
I = 2 x (17,75 + 154) + 17 
I = 360,5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
32 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SEÇÃO 4 
𝑀𝑑 = 1,4 x (𝑀𝑔 + 𝐶𝑜𝑒𝑓 𝑥 𝑀𝑞) 
𝑀𝑑 = 1,4 x (2230 + 1,67 𝑥 3789,9) 
𝑀𝑑 = 11.982,79 KN x m 
𝑀𝑑 = 1.198.278,62 KN x cm 
 
Adotando 𝑑´ = 10 cm 
Temos 
𝑑 = ℎ − 𝑑´ 
𝑑 = 160 − 10 
𝑑 = 150 𝑐𝑚 
 
𝐵𝑤 = 40 𝑐𝑚 
σcd = 0,85 x
𝑓𝑐𝑘
γc
 
σcd = 0,85 x
30
1,4
 
σcd = 18,21 MPa 
σcd = 1,82 KN/cm² 
33 
 
 
 
MOMENTO REDUZIDO 
μ =
1.198.278,62
40 𝑥 1502𝑥 1,82 
 
μ =
1.198.278,62
1638000 
 
μ = 0,7315 < 0,2952 (𝑎𝑟𝑚𝑎𝑑𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑢𝑝𝑙𝑎) 
 
δ =
𝑑´
𝑑 
 
δ =
10
150
 
δ = 0,067 
 
σ´sd = 43,48 KN/cm² 
 
CALCULO DA ARMADURA COMPRIMIDA 
W =
(μ − μlim) 𝑥 𝐹𝑦𝑑
(1 − 𝛿) 𝑥 σ´sd
 
W =
(0,7315 − 0,2952) 𝑥 43,48
(1 − 0,067) 𝑥 43,48
 
W =
0,4363 𝑥 43,48
0,933 𝑥 43,48
 
W =
18,970
40,567
 
W´ = 0,4676 
 
ÁREA DE AÇO 
As =
𝑊´ 𝑥 𝑏 𝑥 𝑑 𝑥 σcd 
𝐹𝑦𝑑As =
0,4676 𝑥 40 𝑥 150 𝑥 1,82 
43,48 
 
As = 117,44 cm² 
 
Usando barras de 25 mm (As1=4,91cm²) 
117,44 
4,91 
= 24 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒 25𝑚𝑚 
34 
 
 
 
CALCULO DA ARMADURA DE TRAÇÃO 
W´ =
𝜆 𝑥 𝜀𝑙𝑖𝑚 + (μ − μlim)
(1 − 𝛿)
 
W´ =
0,8 𝑥 0,45 + (0,7315 − 0,2952)
(1 − 0,067)
 
W´ =
0,36 + 0,4363
0,933
 
W´ = 0,8535 
 
ÁREA DE AÇO 
As =
𝑊´ 𝑥 𝑏 𝑥 𝑑 𝑥 σcd 
𝐹𝑦𝑑 
 
As =
0,8535 𝑥 40 𝑥 150 𝑥 1,82 
43,48 
 
As = 214,36 cm² 
 
Usando barras de 25 mm (As1=4,91cm²) 
214,36 
4,91 
= 44 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒 25𝑚𝑚 
ESFORÇO CORTANTE 
Vd = 1,4 x (Vg + Coef x Vq) 
Vd = 1,4 x (318,8 + 1,67 x 579,1) 
Vd = 1.800,3 KN 
 
TENSÃO DE CISALHAMENTO 
τwd =
𝑉𝑑
(𝐵𝑤 𝑥 𝑑)
 
τwd =
1800,3
(40 𝑥 160)
 
τwd =
1800,3
6400
 
τwd = 0,28 𝐾𝑁/𝑐𝑚² 
τwd = 2,81 𝑀𝑃𝑎 
 
35 
 
 
 
VALOR DE REFERÊNCIA 
τwv = 0,27 x (1 −
𝐹𝑐𝑘
250
 ) x Fck 
τwv = 0,27 x (1 −
30
250
 ) x 
30
1,4
 
τwv = 5,09 MPa 
τwv = 0,51KN/cm² 
 
CONTRIBUIÇÃO DO CONCRETO 
τc = Ψ x (𝐹𝑐𝑘)2/3 
τc = 0,09 x (30)2/3 
τc = 0,869 MPa 
τc = 0,087 KN/cm² 
 
TENSÃO DE CISALHAMENTO 
τd = 1,11 x (τwd − τc) 
τd = 1,11 x (2,81 − 0,869) 
τd = 2,15 MPa 
τd = 0,22 KN/cm² 
 
CALCULO DA ÁREA DE AÇO POR METRO DE COMPRIMENTO DE VIGA 
(CM²/m) 
Asw = 100 x bw x
𝜏𝑑
𝐹𝑦𝑑
 
Asw = 100 x 40 x
0,22
43,48
 
Asw = 20,24 cm2/m 
 
 
 
 
 
 
36 
 
 
 
ESPAÇAMENTO DA ARMADURA PARA ESTRIBOS DE 2 RAMOS 
S =
200 𝑥 𝐴𝑠1
𝐴𝑠𝑤
 
Adotando barras de 10 mm (As1=0,78cm²) 
S =
200 𝑥 0,78 
20,24
 
S = 7,72 𝑐𝑚 
 
VERIFICAÇÃO DA ÁREA MINIMA 
Asmin = ρ min 𝑥 𝐴𝑐 
Asmin = (
0,12
100
) 𝑥 (30 𝑥 100) 
Asmin = 3,6 cm² 
 
TAMANHO DO ESTRIBO 
I = 2 x (a + b) + 𝛥𝑐 
I = 2 x (17,75 + 154) + 17 
I = 360,5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
37 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SEÇÃO 5 
𝑀𝑑 = 1,4 x (𝑀𝑔 + 𝐶𝑜𝑒𝑓 𝑥 𝑀𝑞) 
𝑀𝑑 = 1,4 x (2713 + 1,67 𝑥 4340,3) 
𝑀𝑑 = 13.945,82 KN x m 
𝑀𝑑 = 1.394.582,14 KN x cm 
 
Adotando 𝑑´ = 10 cm 
Temos 
𝑑 = ℎ − 𝑑´ 
𝑑 = 160 − 10 
𝑑 = 150 𝑐𝑚 
 
𝐵𝑤 = 40 𝑐𝑚 
σcd = 0,85 x
𝑓𝑐𝑘
γc
 
σcd = 0,85 x
30
1,4
 
σcd = 18,21 MPa 
σcd = 1,82 KN/cm² 
38 
 
 
 
MOMENTO REDUZIDO 
μ =
1.394.582,14
40 𝑥 1502𝑥 1,82 
 
μ =
1.394.582,14
1638000 
 
μ = 0,8514 < 0,2952 (𝑎𝑟𝑚𝑎𝑑𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑢𝑝𝑙𝑎) 
 
δ =
𝑑´
𝑑 
 
δ =
10
150
 
δ = 0,067 
 
σ´sd = 43,48 KN/cm² 
 
CALCULO DA ARMADURA COMPRIMIDA 
W =
(μ − μlim) 𝑥 𝐹𝑦𝑑
(1 − 𝛿) 𝑥 σ´sd
 
W =
(0,8514 − 0,2952) 𝑥 43,48
(1 − 0,067) 𝑥 43,48
 
W =
0,5562 𝑥 43,48
0,933 𝑥 43,48
 
W =
24,184
40,567
 
W´ = 0,5961 
 
ÁREA DE AÇO 
As =
𝑊´ 𝑥 𝑏 𝑥 𝑑 𝑥 σcd 
𝐹𝑦𝑑 
 
As =
0,5961 𝑥 40 𝑥 150 𝑥 1,82 
43,48 
 
As = 149,71 cm² 
 
Usando barras de 25 mm (As1=4,91cm²) 
149,71 
4,91 
= 31 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒 25𝑚𝑚 
39 
 
 
 
CALCULO DA ARMADURA DE TRAÇÃO 
W´ =
𝜆 𝑥 𝜀𝑙𝑖𝑚 + (μ − μlim)
(1 − 𝛿)
 
W´ =
0,8 𝑥 0,45 + (0,8514 − 0,2952)
(1 − 0,067)
 
W´ =
0,36 + 0,5562
0,933
 
W´ = 0,9820 
 
ÁREA DE AÇO 
As =
𝑊´ 𝑥 𝑏 𝑥 𝑑 𝑥 σcd 
𝐹𝑦𝑑 
 
As =
0,9820 𝑥 40 𝑥 150 𝑥 1,82 
43,48 
 
As = 246,63 cm² 
 
Usando barras de 25 mm (As1=4,91cm²) 
246,63 
4,91 
= 51 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒 25𝑚𝑚 
ESFORÇO CORTANTE 
Vd = 1,4 x (Vg + Coef x Vq) 
Vd = 1,4 x (159,4 + 1,67 x 473,1) 
Vd = 1.392,27 KN 
 
TENSÃO DE CISALHAMENTO 
τwd =
𝑉𝑑
(𝐵𝑤 𝑥 𝑑)
 
τwd =
1329,27
(40 𝑥 160)
 
τwd =
1329,27
6400
 
τwd = 0,21 𝐾𝑁/𝑐𝑚² 
τwd = 2,07 𝑀𝑃𝑎 
 
40 
 
 
 
VALOR DE REFERÊNCIA 
τwv = 0,27 x (1 −
𝐹𝑐𝑘
250
 ) x Fck 
τwv = 0,27 x (1 −
30
250
 ) x 
30
1,4
 
τwv = 5,09 MPa 
τwv = 0,51KN/cm² 
 
CONTRIBUIÇÃO DO CONCRETO 
τc = Ψ x (𝐹𝑐𝑘)2/3 
τc = 0,09 x (30)2/3 
τc = 0,869 MPa 
τc = 0,087 KN/cm² 
 
TENSÃO DE CISALHAMENTO 
τd = 1,11 x (τwd − τc) 
τd = 1,11 x (2,07 − 0,869) 
τd = 1,33 MPa 
τd = 0,13 KN/cm² 
 
CALCULO DA ÁREA DE AÇO POR METRO DE COMPRIMENTO DE VIGA 
(CM²/m) 
Asw = 100 x bw x
𝜏𝑑
𝐹𝑦𝑑
 
Asw = 100 x 40 x
0,13
43,48
 
Asw = 11,96 cm2/m 
 
 
 
 
 
 
41 
 
 
 
ESPAÇAMENTO DA ARMADURA PARA ESTRIBOS DE 2 RAMOS 
S =
200 𝑥 𝐴𝑠1
𝐴𝑠𝑤
 
Adotando barras de 10 mm (As1=0,78cm²) 
S =
200 𝑥 0,78 
11,96
 
S = 13,04 𝑐𝑚 
 
VERIFICAÇÃO DA ÁREA MINIMA 
Asmin = ρ min 𝑥 𝐴𝑐 
Asmin = (
0,12
100
) 𝑥 (30 𝑥 100) 
Asmin = 3,6 cm² 
 
TAMANHO DO ESTRIBO 
I = 2 x (a + b) + 𝛥𝑐 
I = 2 x (17,75 + 154) + 17 
I = 360,5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
42 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SEÇÃO 6 
𝑀𝑑 = 1,4 x (𝑀𝑔 + 𝐶𝑜𝑒𝑓 𝑥 𝑀𝑞) 
𝑀𝑑 = 1,4 x (2873,9 + 1,67 𝑥 4534,1) 
𝑀𝑑 = 14.624,19 KN x m 
𝑀𝑑 = 1.462.418,58 KN x cm 
 
Adotando 𝑑´ = 10 cm 
Temos 
𝑑 = ℎ − 𝑑´ 
𝑑 = 160 − 10 
𝑑 = 150 𝑐𝑚 
 
𝐵𝑤 = 40 𝑐𝑚 
σcd = 0,85 x
𝑓𝑐𝑘
γc
 
σcd = 0,85 x
30
1,4
 
σcd = 18,21 MPa 
σcd = 1,82 KN/cm² 
43 
 
 
 
MOMENTO REDUZIDO 
μ =
1.462.418,58
40 𝑥 1502𝑥 1,82 
 
μ =
1.462.418,58
1638000 
 
μ = 0,8928 < 0,2952 (𝑎𝑟𝑚𝑎𝑑𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑢𝑝𝑙𝑎) 
 
δ =
𝑑´
𝑑 
 
δ =
10
150
 
δ = 0,067 
 
σ´sd = 43,48 KN/cm² 
 
CALCULO DA ARMADURA COMPRIMIDA 
W =
(μ − μlim) 𝑥 𝐹𝑦𝑑
(1 − 𝛿) 𝑥 σ´sd
 
W =
(0,8928 − 0,2952) 𝑥 43,48
(1 − 0,067) 𝑥 43,48
 
W =
0,5976 𝑥 43,48
0,933 𝑥 43,48
 
W =
25,984
40,567
 
W´ = 0,6405 
 
ÁREA DE AÇO 
As =
𝑊´ 𝑥 𝑏 𝑥 𝑑 𝑥 σcd 
𝐹𝑦𝑑 
 
As =
0,6405 𝑥 40 𝑥 150 𝑥 1,82 
43,48 
 
As = 160,86 cm² 
 
Usando barras de 25 mm (As1=4,91cm²) 
160,86 
4,91 
= 33 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒 25𝑚𝑚 
44 
 
 
 
CALCULO DA ARMADURA DE TRAÇÃO 
W´ =
𝜆 𝑥 𝜀𝑙𝑖𝑚 + (μ − μlim)
(1 − 𝛿)
 
W´ =
0,8 𝑥 0,45 + (0,8928 − 0,2952)
(1 − 0,067)
 
W´ =
0,36 + 0,5976
0,933
 
W´ = 1,0264 
 
ÁREA DE AÇO 
As =
𝑊´ 𝑥 𝑏 𝑥 𝑑 𝑥 σcd 
𝐹𝑦𝑑 
 
As =
1,0264 𝑥 40 𝑥 150 𝑥 1,82 
43,48 
 
As = 257,78 cm² 
 
Usando barras de 25 mm (As1=4,91cm²) 
257,78 
4,91 
= 52 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒 25𝑚𝑚 
ESFORÇO CORTANTE 
Vd = 1,4 x (Vg + Coef x Vq) 
Vd = 1,4 x (0 + 1,67 x 373,7) 
Vd = 873,71 KN 
 
TENSÃO DE CISALHAMENTO 
τwd =
𝑉𝑑
(𝐵𝑤 𝑥 𝑑)
 
τwd =
873,71
(40 𝑥 160)
 
τwd =
873,71
6400
 
τwd = 0,14 𝐾𝑁/𝑐𝑚² 
τwd = 1,36 𝑀𝑃𝑎 
 
45 
 
 
 
VALOR DE REFERÊNCIA 
τwv = 0,27 x (1 −
𝐹𝑐𝑘
250
 ) x Fck 
τwv = 0,27 x (1 −
30
250
 ) x 
30
1,4
 
τwv = 5,09 MPa 
τwv = 0,51KN/cm² 
 
CONTRIBUIÇÃO DO CONCRETO 
τc = Ψ x (𝐹𝑐𝑘)2/3 
τc = 0,09 x (30)2/3 
τc = 0,869 MPa 
τc = 0,087 KN/cm² 
 
TENSÃO DE CISALHAMENTO 
τd = 1,11 x (τwd − τc) 
τd = 1,11 x (1,36 − 0,869) 
τd = 0,54 MPa 
τd = 0,054 KN/cm² 
 
CALCULO DA ÁREA DE AÇO POR METRO DE COMPRIMENTO DE VIGA 
(CM²/m) 
Asw = 100 x bw x
𝜏𝑑
𝐹𝑦𝑑
 
Asw = 100 x 40 x
0,054
43,48
 
Asw = 4,97 cm2/m 
 
 
 
 
 
 
46 
 
 
 
ESPAÇAMENTO DA ARMADURA PARA ESTRIBOS DE 2 RAMOS 
S =
200 𝑥 𝐴𝑠1
𝐴𝑠𝑤
 
Adotando barras de 10 mm (As1=0,78cm²) 
S =
200 𝑥 0,78 
4,97
 
S = 31,39 𝑐𝑚 
 
VERIFICAÇÃO DA ÁREA MINIMA 
Asmin = ρ min 𝑥 𝐴𝑐 
Asmin = (
0,12
100
) 𝑥 (30 𝑥 100) 
Asmin = 3,6 cm² 
 
TAMANHO DO ESTRIBO 
I = 2 x (a + b) + 𝛥𝑐 
I = 2 x (17,75 + 154) + 17 
I = 360,5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
47 
 
 
 
CÁLCULO DO ESFORÇO ATUANTE NO ESTRIBO LIMITE SERVIÇO EM 
VIGAS DE PONTE 
Fser=Fgk+ý1*Fqk 
Mser=Mg+0,5*rq 
Mser=2873,9+(0,5*1,32*4534,1) 
Mser=586641 kn.cm 
 
CÁLCULO DA ARMADURA=AS (ÁREA DE AÇO) 
Fck=30Mpa 
d’=7cm 
d=200-7 
d=193cm 
µ=
𝑀𝑑
𝑏∗𝑑2∗ƥ𝑐𝑑
 
 
µ=
1,4∗(2873,9+1,32∗4534,1)
(40∗1932∗1,82)
*100 
µ=
1240247,68
2711727,2
 
µ=0,3029>0,2952 
 
ARMADURA DUPLA 
£=1,25*[1-√1 − 2 ∗ 0,4574 
£=0,89 
W´ = £ ∗ μ 
W’=0,8*0,4574 
W’=0,41 
As =
𝑊´ 𝑥 𝑏 𝑥 𝑑 𝑥 σcd 
𝐹𝑦𝑑 
 
As =
0,41 𝑥 40 𝑥 193 𝑥 1,82 
43,48 
 
As=132,49cm² 
N° de barras= 25 barras de 25mm 
48 
 
 
 
 
MOMENTO DE FISSURAÇÃO NBR-6118 
 
Mr
∞∗Ic∗fct 
𝑦𝑡 
 
Mr1,5* 
(𝑏∗
ℎ3
12
)∗𝑓𝑐𝑡
ℎ²
 
Fct=1,4*√30/10
3
 
Fct=2,02Mpa=0,20kn/cm²Logo: Mr=
𝑏∗ℎ2∗𝑓𝑐𝑡
4
 
40 ∗ 2002 ∗ 0,20
4
 
Mr=80000kn.cm ou 800kn. 
MOMENTO DE INÉRCIA SEÇÃO DE CONCRETO (IC) 
 
Ic=
𝑏∗ℎ³
12
 
Ic=
40∗200³
12
 
Ic=2666666,66cm ou 0,2667 m 
 
MÓDULO DE ELASTICIDADE DO CONCRETO(Ecs) NBR-6118 
Ecs=0,85*5620*√𝑓𝑐𝑘 
Ecs=0,85*5600*√30 
Ecs=26071,59Mpa 
Ecs=2607kn/cm² 
 
CÁLCULO DA RELAÇÃO DOS MÓDULOS DE ELASTICIDADE DO AÇO E DO 
CONCRETO ES/EC 
Es=210GPa ou 21,10 kn/cm² 
M=
21000000
2607
 
M=8 
49 
 
 
 
 
CÁLCULO DA TAXA DE ARMADURA TRACIONADA (Ƥ) 
Ƥ=
𝐴𝑆
𝐴𝐶
 
Ƥ=
132,49
40∗193
 
Ƥ=1,72% ou 0,0172 
Ƥ=0, pois na parte comprimida usa-se barras só para amarrar os estribos 
Tabela k2, cálculo de rigidez no estágio2, para ɋ= 0,10 
Mq=8,06*0,0172 
Mq= 0,14 
Por tabela k2=0,072 
 
 
 
CÁLCULO MOMENTO DE INÉRCIA (I2) 
I2= k2.b.h³ 
I2= 0,072*40*193³ 
I2=20704484,16 cm ou 0,2070 m 
 
CÁLCULO DA RELAÇÃO ENTRE A ÁREA EQUIVALENTE DE CONCRETO 
SUBSTITUINDO O AÇO 
AC*EC=Es*As; como 
𝐸𝑠
𝐸𝑐
 = M 
AC= As*m 
AC= 8,06*132,49 
AC= 1067,87cm² 
 
ýCG*AT=£yi*Ai 
ýCG= (1067,87+40*200) 
ýCG=1067,87*7+(40*200) *100 
ýCG*9067,87=807475,09 
ýCG=
807475,09
9067,87
 
ýCG=89,05 cm 
50 
 
 
 
para a borda superior, a distância é 110,95 cm 
 
CÁLCULO DA INÉRCIA I2=£AI*YI2 
I2=1067,87*82,05²+110,95 * 40* (110,95/2) ² 
I2=7189117,08+13657836,82 
I2=20846953,9 cm ou 0,2085m 
 
CÁLCULO DO MOMENTO DE INÉRCIA EQUIVALENTE PELA EQUAÇÃO DE 
BRANSON 
IEq=(
𝑀𝑟
𝑀
)³*Ic+[1-(
𝑀𝑟
𝑀
)³]*I2<IC 
IEq= (
80000
586641
)³*26666666666,66+ [1- (
80000
586641
)³] 
IEq=67637,21+20846953,9 
IEq=20861712,81cm ou 0,2086 m 
 
CÁLCULO DA FLECHA PELAS EQUAÇÕES DE TEORIA DAS ESTRUTURAS 
Carga distribuída 
W=
𝑆𝑃𝐿
384 𝐸𝑆
 + 
3𝑃𝐿³
48𝐸𝑆
 
W=
5∗(40+0,5∗20,2)∗20,2
384∗26071∗0,2086
 +
3∗(0,5∗208,4)∗20,2³
48∗26071590∗0,2086
 
W=0,020+0,0033 
W=0,023m ou 2,3cm 
 
CÁLCULO DO ACRÉSCIMO DA FLECHA PELA FLUÊNCIA NBR-6118 
 
∞f= ∆E 
∆E=Et-E(to) 
E(t)=0,68*(0,996) ¹*t^0,32 para t<70 meses 
E(t)=2 para T>70 meses 
Para 1 mês desforma E (1) = 0,68 
Como’=0 
∆w=[E9to>70) -E (1)] *W 
∆w=1,32*2,3 
51 
 
 
 
∆w=3,04m 
 
FLECHA TOTAL WOO=W+∆W 
Woo=2,3+3,04 
Woo=5,34 
Logo: Vão/Woo= 2020/5,34 
378 ou seja passa, pois, a norma diz que é> L/250 
Cálculo da armadura de tração no ELU 
 
Md=1,4(Mg+coef.Mq) 
d=193 
Fck=30Mpa 
Ơcd=1,82kn/cm² 
Md=1,4(2873,9+1,32*4534,1) 
Md=12402,48 Kn.m ou 1240247,68 kn.cm 
µ=
1240247,68
40∗1932∗1,82
 
µ=0,4574>0,2952 
E=1,25*[1-(√(1 − 2 ∗ μ)] 
E=1,25[1-√1 − 2 ∗ 0,4574)] 
E=0,89 
w=µ*E 
W=0,4574*0,89 
W=0,41 
As=
𝑤∗𝑏∗𝑑∗µ𝑐𝑑
𝑓𝑦𝑑
 
As=
0,41∗40∗193∗1,82
43,48
 
As=132,49cm² 
Nº de barras 25 barras de 25 mm 
 
CÁLCULO DA ÁREA DE CONCRETO QUE ENVOLVE A ARMADURA (ACE) 
Ace=40*(4,75+15+18,75) 
Ace=132,40cm² 
52 
 
 
 
Pse=
𝐴𝑠
𝐴𝐶𝑒
 
Pse=
132,49
1540
 
Pse=0,086 
E por tabela profundida da linha neutra no estágio 2 puro 
E=0,407 ou 40,7%; ou seja do total da seção da peça somente 73,13 cm será 
comprimido, e 120,87 cm só serve para envolver a armadura. 
 
Cálculo da tensão no aço 
Ƃs=
𝑚(1−𝐸)𝑚
𝑘2∗𝑏∗𝑑²
 
Ƃs=
8,06∗(1−0,41)∗1240247,68
0,072∗40∗200²
 
Ƃs=5,12 kn/cm² 
 
CÁLCULO DA ABERTURA DA FISSURA 
Equação 1 
Wk=
Ø𝑖
12,5𝑛1
 +
ƥ𝑖
𝐸𝑠𝑖
 + 
3ƥ𝑖
𝑓𝑐𝑡𝑚
 
Wk=
25∗5,12∗3∗5,12
12,5∗2,25∗21000∗0,29
 
Wk=0,012mm 
 
Equação 2 
Wk=
Ø𝑖
12,5𝑛1
 *
ƥ𝑖
𝐸𝑠𝑖
 *(
4+45
𝑝𝑟𝑖
) 
Wk=
25∗5,12∗(
4
0,086
)+45
12,5∗2,25∗21000
 
Wk=
11713,49
590625
 
Wk=0,020 mm 
Está ok, pois a menor fissura calculada foi de 0,012mm,onde a norma 
estabelece valores entre; o,2 a 0,4 mm, para todas as classes de 
agressividade. 
 
 
53 
 
 
 
4. CONCLUSÃO 
 
Este trabalho apresentou uma pequena parcela de estudos sobre pontes, 
numa gama de estudos e normas, cujo intuito é proporcionar um maior 
aprendizado e maior importância para o estudo das cargas em pontes. 
Pode-se observar constantemente a crescente aumento de demandas de 
estradas e consequentemente as pontes são alternativas passar determinado 
obstáculos como os rios. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
54 
 
 
 
5. REFERÊNCIAS 
 
TIMERMAN, Júlio; BEIER, Martin. CONSIDERAÇÕES SOBRE A REVISÃO DA 
ABNT NBR 7188: carga móvel rodoviária e de pedestres em pontes, viadutos, 
passarelas e outras estruturas. Carga Móvel Rodoviária e de Pedestres em 
Pontes, Viadutos, Passarelas e outras Estruturas. 2012. Disponível em: 
http://www.deecc.ufc.br/Download/TB803_Pontes%20I/Nova%20NBR7188.pdf. 
Acesso em: 29 de setembro de 2020. 
 
DESCONHECIDO. INTRODUÇÃO A ENGENHARIA DE PONTES. Disponível 
em: https://engenhariacivilfsp.files.wordpress.com/2015/02/pontes-cap-1-2-e-
3.pdf. Acesso em: 30 set. 2020. 
	2. INTRODUÇÃO
	3. DESENVOLVIMENTO
	3.1 NORMAS BRASILEIRAS PERTINENTES
	3.2 PRINCIPAIS ESTRUTURAS DE UMA PONTE
	3.3 APRESENTAÇÃO E ANÁLISE DOS RESULTADOS
	3.3.1 Cálculo das Cargas Permanentes
	Passo 1: Diagramas de cortante e momento fletor
	3.3.2 CALCULO DO CARREGAMENTO FORA DO VEICULO
	3.3.3 CALCULO DAS CARGAS MOVEIS
	3.3.4 LONGARINAS E LINHA DE INFLUENCIA
	3.3.5 CALCULO DOS COEFICIENTES
	3.3.6 CALCULO DA ÁREA DE AÇO
	4. CONCLUSÃO
	5. REFERÊNCIAS