Exercícios de Geometria Analítica e Álgebra Linear

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Geometria Analítica e Álgebra Linear Professor Antonio 
 
FACULDADE DE ENGENHARIA E INOVAÇÃO TÉCNICO 
PROFISSIONAL - FEITEP 
 
8ª Lista de Exercícios 
Nos exercícios a seguir, consideramos a base B 
= (𝑖, 𝑗, �⃗⃗�) ortonormal e positiva. 
 
01. São dados �⃗⃗� = (1, 1, 0), 𝑣 = (-1, 2, 1) e �⃗⃗⃗� = 
(2, 0, -1) 
a) Calcule �⃗⃗� ^ 𝑣 e 𝑣 ^ �⃗⃗⃗� 
b) Calcule (�⃗⃗� ^ 𝑣) ^ �⃗⃗⃗� e �⃗⃗� ^ (𝑣 ^ �⃗⃗⃗�) 
c) O produto vetorial é uma operação 
associativa? Justifique sua resposta 
 
02. Dados os vetores �⃗⃗� = (1,-1,1) e 𝑣 =(2,-3,4), 
calcular a área do paralelogramo determinado 
por �⃗⃗� e 𝑣. 
 
03. Sejam os vetores �⃗⃗� = (2, -2, -1) e 𝑣 = (a, 0, 
2). Calcular o valor de a para o qual a área do 
paralelogramo determinado por u e v seja igual 
a √7 
 
04. Determinar um vetor unitário ortogonal 
simultaneamente aos vetores �⃗⃗� = (1, -5, -1) e 𝑣 
= (0, 2, 1). 
05. Dados os vetores �⃗⃗� = (1, 3, 2) e 𝑣 = (0, 2, 
1), determinar a área do paralelogramo 
determinado pelos vetores: 
a) �⃗⃗� e 𝑣. 
b) 2�⃗⃗� e �⃗⃗� + 𝑣. 
06. Dados os pontos A(2, 1, -1), B(3, 0, 1) e 
C(2, -1, -3), determinar o ponto D tal que 𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = 
𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ^ 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
07. Dados os vetores �⃗⃗� = (2, 1, -1) e 𝑣 = (1, -1, 
a), calcular o valor de a para que a área do 
paralelogramo determinado por �⃗⃗� e 𝑣 seja 
igual a 62 
 
08. Calcule a área do triângulo de vértices A(1, 
-2, 1), B(2, -1, 4) e C(-1, -3, 3). 
 
09. Dados os vetores �⃗⃗� = (5, 3, -1) e 𝑣 = (0, -
1, 3), calcular a área do paralelogramo 
determinado pelos vetores -2�⃗⃗� e 𝑣 - �⃗⃗� 
 
10. Dados os vetores �⃗⃗� = (–1, 3, 2), 𝑣 = (1, 5, 
–2) e �⃗⃗⃗� =(-7, 3, 1). Calcule as coordenadas dos 
vetores: 
a) �⃗⃗� ^ 𝑣 
b) 𝑣 ^ �⃗⃗⃗� 
c) 𝑣 ^ (�⃗⃗� ^ �⃗⃗⃗�) 
d) (𝑣 ^ �⃗⃗�) ^ �⃗⃗⃗� 
e) ( �⃗⃗� + 𝑣) ^ ( �⃗⃗� +�⃗⃗⃗�) 
f) (�⃗⃗� – �⃗⃗⃗�) ^ �⃗⃗⃗� 
 
11. Calcular a área do triângulo de vértices 
a) A(-1, 0, 2), B(-4, 1, 1) e C(0, 1, 3) 
b) A(1, 0, 1), B(4, 2, 1) e C(1, 2, 0) 
c) A(2, 3, -1), B(3, 1, -2) e C(-1, 0, 2) 
d) A(-1, 2, -2), B(2, 3, -1) e C(0, 1, 1) 
 
12. Calcular x, sabendo que A(x, 1, 1), B(1, -1, 
0) e C(2, 1, -1) são vértices de um triângulo de 
área 
√29
2
 
 
13. Calcular a área do paralelogramo cujos 
lados são determinados pelos vetores 2�⃗⃗� e -𝑣, 
sendo �⃗⃗� = (2, -1, 0) e 𝑣 = (1, -3, 2) 
 
 
14. Dados os pontos A(2, -1, 2), B(1, 2, -1) e 
C(3, 2, 1), determinar o vetor 𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ^ (𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - 2𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) 
 
15. Dados os vetores �⃗� = (1, 2, 1) e �⃗⃗� = (2, 1, 
0), calcular: 
a) 2�⃗� ^ (�⃗� + �⃗⃗�) 
b) (�⃗� + 2�⃗⃗�) ^ (�⃗� - 2�⃗⃗�)