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Cálculo Numérico 2ª e di çã o Cálculo Numérico Deiwison Sousa Machado Herivelto Nunes Paiva Raquel Costa da Silva Nascimento Tiago Moreira Cunha Cálculo Numérico DIREÇÃO SUPERIOR Chanceler Joaquim de Oliveira Reitora Marlene Salgado de Oliveira Presidente da Mantenedora Wellington Salgado de Oliveira Pró-Reitor de Planejamento e Finanças Wellington Salgado de Oliveira Pró-Reitor de Organização e Desenvolvimento Jefferson Salgado de Oliveira Pró-Reitor Administrativo Wallace Salgado de Oliveira Pró-Reitora Acadêmica Jaina dos Santos Mello Ferreira Pró-Reitor de Extensão Manuel de Souza Esteves DEPARTAMENTO DE ENSINO A DISTÂNCIA Gerência Nacional do EAD Bruno Mello Ferreira Gestor Acadêmico Diogo Pereira da Silva FICHA TÉCNICA Direção Editorial: Diogo Pereira da Silva e Patrícia Figueiredo Pereira Salgado Texto: Deiwison S. Machado, Raquel Costa S. Nasciemnto, Tiago M. Cunha e Herivelto N. Paiva Revisão Ortográfica: Rafael Dias de Carvalho Moraes Projeto Gráfico e Editoração: Antonia Machado, Eduardo Bordoni, Fabrício Ramos e Victor Narciso Supervisão de Materiais Instrucionais: Antonia Machado Ilustração: Eduardo Bordoni e Fabrício Ramos Capa: Eduardo Bordoni e Fabrício Ramos COORDENAÇÃO GERAL: Departamento de Ensino a Distância Rua Marechal Deodoro 217, Centro, Niterói, RJ, CEP 24020-420 www.universo.edu.br Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Universo – Campus Niterói C144c Cálculo numérico / Deiwison Sousa Machado, Raquel Costa da Silva Nascimento, Tiago Moreira Cunha e Herivelto Nunes Paiva ; revisão de Rafael Dias de Carvalho Moraes. – 2. ed. – Niterói, RJ: UNIVERSO: Departamento de Ensino a Distância:, 2017. 149 p. : il. 1. Cálculos numéricos. 2. Sistemas lineares. 3. Funções (Matemática). 4. Interpolação. 5. Ensino à distância. I. Machado, Deiwison Sousa. II. Nascimento, Raquel Costa da Silva. III. Cunha, Tiago Moreira. IV. Paiva, Herivelto Nunes. V. Moraes, Rafael Dias de Carvalho. CDD 518 Bibliotecária: Elizabeth Franco Martins – CRB 7/4990 Informamos que é de única e exclusiva responsabilidade do autor a originalidade desta obra, não se r esponsabilizando a ASOEC pelo conteúdo do texto formulado. © Departamento de Ensi no a Dist ância - Universidade Salgado de Oliveira Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta publicação pode ser reproduzida, arquivada ou transmitida de nenhuma forma ou por nenhum meio sem permissão expressa e por escrito da Associação Salgado de Oliveira de Educação e Cultura, mantenedor a da Univer sidade Salgado de Oliveira (UNIVERSO). Cálculo Numérico Palavra da Reitora Acompanhando as necessidades de um mundo cada vez mais complexo, exigente e necessitado de aprendizagem contínua, a Universidade Salgado de Oliveira (UNIVERSO) apresenta a UNIVERSOEAD, que reúne os diferentes segmentos do ensino a distância na universidade. Nosso programa foi desenvolvido segundo as diretrizes do MEC e baseado em experiências do gênero bem-sucedidas mundialmente. São inúmeras as vantagens de se estudar a distância e somente por meio dessa modalidade de ensino são sanadas as dificuldades de tempo e espaço presentes nos dias de hoje. O aluno tem a possibilidade de administrar seu próprio tempo e gerenciar seu estudo de acordo com sua disponibilidade, tornando-se responsável pela própria aprendizagem. O ensino a distância complementa os estudos presenciais à medida que permite que alunos e professores, fisicamente distanciados, possam estar a todo o momento, ligados por ferramentas de interação presentes na Internet através de nossa plataforma. Além disso, nosso material didático foi desenvolvido por professores especializados nessa modalidade de ensino, em que a clareza e objetividade são fundamentais para a perfeita compreensão dos conteúdos. A UNIVERSO tem uma história de sucesso no que diz respeito à educação a distância. Nossa experiência nos remete ao final da década de 80, com o bem- sucedido projeto Novo Saber. Hoje, oferece uma estrutura em constante processo de atualização, ampliando as possibilidades de acesso a cursos de atualização, graduação ou pós-graduação. Reafirmando seu compromisso com a excelência no ensino e compartilhando as novas tendências em educação, a UNIVERSO convida seu alunado a conhecer o programa e usufruir das vantagens que o estudar a distância proporciona. Seja bem-vindo à UNIVERSOEAD! Professora Marlene Salgado de Oliveira Reitora. Cálculo Numérico 4 Cálculo Numérico 5 Sumário Apresentação da disciplina ............................................................................................. 7 Plano da disciplina ............................................................................................................ 9 Unidade 1 – Erros............................................................................................................... 11 Unidade 2 – Sistemas Lineares ....................................................................................... 29 Unidade 3 – Zero Reais de Funções Reais.................................................................... 61 Unidade 4 – Interpolação ................................................................................................ 79 Unidade 5 – Resolução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias .............. 95 Unidade 6 –Revisão........................................................................................................... 123 Considerações finais ......................................................................................................... 133 Conhecendo os autores ................................................................................................... 135 Referências .......................................................................................................................... 137 Anexos.................................................................................................................................. 139 Cálculo Numérico 6 Cálculo Numérico 7 Apresentação da Disciplina Caro aluno, Seja bem-vindo à disciplina de Cálculo Numérico da Universidade Salgado de Oliveira – UNIVERSOEAD. Esse material foi desenvolvido de modo cuidadoso para que os principais conceitos relativos à disciplina fossem exibidos com uma linguagem simples e clara. Além disso, o conteúdo traz inúmeros exemplos e exercícios de fixação para facilitar ainda mais o aprendizado. A disciplina contempla os conteúdos fundamentais para a disciplina de Cálculo Numérico: estudo e análise de Erros, resolução de Sistemas Lineares, resolução de Equações Algébricas e Transcendentes, método da Interpolação, métodos numéricos para resolução de Integrais e Equações Diferenciais Ordinárias. Estamos certos de que a leitura dos conteúdos será uma atividade dinâmica, prática e prazerosa, além de contribuir de forma considerável para seu desenvolvimento intelectual, acadêmico e profissional. Bons estudos! Cálculo Numérico 8 Cálculo Numérico 9 Plano da Disciplina Unidade 1 – Erros Nesta unidade trabalharemos os erros, sendo eles absolutos e relativos para obter precisões nos cálculos futuros, onde permearemos as conversões em diferentes bases trabalhando os erros mais comuns: erros de arredondamento e truncamento. Objetivos da unidade: Este assunto tem como objetivo alertar o aluno sobre os erros numéricos obtidos em um processo computacional. No entanto, a principio para compreender esses erros, iremos estudar como os computadores operam com os números. Unidade 2 – Sistemas Lineares Nesta unidade, vamos estudar como resolver Equações diferenciais ordinárias utilizando métodos interativos, ou seja, métodos similares aos que aprendemos para resolver sistemaslineares. Objetivo da unidade: Revisar os conceitos de equações diferenciais Unidade 3 – Zero Reais de Funções Reais Iniciaremos as atividades dessa unidade permeando os conceitos de zero de funções reais, utilizando meios gráficos, para posteriormente solucionar as funções f(x), através de um refinamento. Objetivo da Unidade Determinar e compreender os meios para solucionar diversas funções polinomiais através de métodos distintos. Cálculo Numérico 10 Unidade 4 – Interpolação Iniciaremos esta unidade trabalhando o conceito de interpolação e suas as aplicações nas diversas ciências, para prosseguirmos nas interpolações polinomiais e de Lagrange. Objetivo da Unidade: Verificar e compreender os meios e mecanismos de aproximação de funções. Unidade 5 – Resolução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias Nesta unidade, vamos estudar como resolver Equações diferenciais ordinárias utilizando métodos interativos, ou seja, métodos similares aos que aprendemos para resolver sistemas lineares. Objetivo da unidade: Revisar os conceitos de equações diferenciais Unidade 6 –Revisão Nesta unidade, nosso trabalho será dedicado a revisarmos todo o conteúdo disponibilizado nas unidades anteriores, pois desta forma será possível praticarmos um pouco mais os conhecimentos adquiridos ao longo do curso de cálculo numérico dada a sua complexidade. Objetivos da unidade: Esta unidade tem por objetivo aprimorar o conhecimento do cursistas adquirido ao longo do curso através da execução de exercícios de revisão. Bons estudos! Cálculo Numérico 11 1 Erros Cálculo Numérico 12 Nesta unidade trabalharemos os erros, sendo eles absolutos e relativos para obter precisões nos cálculos futuros, onde permearemos as conversões em diferentes bases trabalhando os erros mais comuns: erros de arredondamento e truncamento. Objetivos da unidade: Este assunto tem como objetivo alertar o aluno sobre os erros numéricos obtidos em um processo computacional. No entanto, a principio para compreender esses erros, iremos estudar como os computadores operam com os números. Plano da unidade: 1.1 Erros na fase de modelagem. 1.2 Erros na fase de resolução. 1.2.1 Conversão de bases. 1.2.2 Erros Absolutos e Relativos 1.2.3 Erros de arredondamento e truncamento. Bons estudos! Cálculo Numérico 13 1.1 Erros Para iniciar os estudos desta unidade, vamos pensar no seguinte problema: − Calcular o comprimento de uma circunferência de raio 100m. Como já sabemos, para calcular o comprimento de uma circunferência utiliza- se a fórmula C = 2r. No entanto, é de conhecimento de todos que é um número irracional, ou seja, possui uma representação numérica infinita. Desse modo, utilizando diferentes aproximações para valores de , encontraremos soluções distintas para o problema. Observe: Se = 3,14 então C = 2 x 3,14 x 100, ou seja, C = 628m Se = 3,1416 então C = 2 x 3,1416 x 100, ou seja, C = 628,32m Se = 3,141593 então C = 2 x 3,141593 x 100 , ou seja, C = 628,3186m Está claro que não é possível encontrar um valor exato para este comprimento. Esta situação apresente um dos erros que iremos abordar nesta unidade: os erros de arredondamento. Nesse caso, os erros surgem em virtude da escolha do valor de . Vale ressaltar que erros como este irão surgir sempre que trabalharmos com números irracionais. Outro problema bastante comum é o caso do sistema de numeração utilizado pelos computadores. Estas máquinas operam normalmente no sistema binário, ou seja, o sistema de base 2. Ao inserir dados numéricos em um computador, digitamos os valores na base decimal. O computador o converte para a base binária, e efetua todas as operações neste sistema e, em seguida, o converte novamente para o sistema decimal. E, como iremos estudar mais adiante, alguns números no sistema binário apresentam representação infinita, consequentemente, essa representação irá causar alguns erros de forma similar ao exemplo anterior. Cálculo Numérico 14 Assim como diferentes calculadoras apresentam números limitados de dígitos, o mesmo ocorre com os computadores, por isso se faz necessário estudar os erros obtidos através desses processos numéricos. Esses erros irão ocorrer de formas distintas dependendo do computador. No caso de representações numéricas infinitas, quanto maior o número de dígitos utilizados, maior será a precisão. As principais fontes de erros são as seguintes: Erros nos dados de entrada; Erros no estabelecimento do modelo matemático; Erros no arredondamento durante a computação; Erros de truncamento; Erros humanos e de máquinas. Nesta unidade vamos estudar apenas erros decorridos da representação dos números em um sistema computacional. Estes erros decorrem da representação dos números na máquina utilizada. No entanto, vale lembrar que os erros podem aparecer em dois momentos no processo de resolução de um problema: na fase de modelagem e na fase de resolução. Erros na fase de modelagem. Dizemos que ocorreu um erro na fase de modelagem quando o modelo existente não nos permite que se tenha uma precisão de várias casas decimais, por exemplo, se desejamos calcular a força de um objeto em queda livre, não basta apenas calcular F = m . a , pois existem outros fatores que irão influenciar nos cálculos, como variação na gravidade em função da altitude em relação ao nível do mar, a resistência do ar, entre outros. Cálculo Numérico 15 1.2 Erros na fase de resolução. Erros relativos à fase de resolução podem ocorrer em virtude do fato de um número não ter representação finita no sistema binário, ou através de arredondamentos ou truncamentos como estudaremos nas seções a seguir. 1.2.1Conversão de bases. Para compreender como ocorrem os erros relacionados ao sistema binário, vamos a principio entender como o computador opera as informações numéricas que recebe. Para isso, é necessário conhecer o sistema de numeração binário, ou seja, o sistema de base 2. Utilizamos o sistema de numeração decimal, e este é formado pelos seguintes algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Todos os números que conhecemos são formados a partir da combinação desses algarismos. No sistema de numeração binário, os únicos algarismos que dispomos para escrever todos os números deste sistema são: 0, 1. No sistema de base 3, utilizamos os algarismos 0, 1 e 2, e assim por diante. De forma geral, podemos dizer que no sistema de base n, os algarismos utilizados são: o, 1, 2, ... (n-1). Se quisermos comparar os sistemas decimais e binários teríamos as seguintes equivalências: Base 10: 0 1 2 3 4 5 6 ... ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ Base 2: 0 1 10 11 100 101 110 ... Cálculo Numérico 16 Perceba que podemos representar todos os números do nosso sistema de numeração decimal no sistema binário. É exatamente nesta linguagem que os computadores operam, no sistema de numeração binário. − Como converter um número do sistema decimal para uma base qualquer: Para converter um número escrito no sistema de numeração decimal para a base n deve-se dividir o número na base decimal por n, e em seguida, continuar dividindo os quocientes até que este seja menor que a base. Observe o processo de conversão: Exemplo 01: Converter 56 para a base 5: Exemplo 2: Converter 25 para a base 2: 56 = ( 211 )5 25 = ( 11001 )2 Cálculo Numérico 17 CONSIDERAÇÕES IMPORTANTES: I – Observe que os números são formados através da junção do último quociente seguido dos demais restos. II − Para bases maiores que 10, utilizaremos letras para representar algarismos maiores que 9, por exemplo: a = 10 c = 12 e = 14 b = 11 d = 13 f = 15 III – Na base dez, algunsnúmeros fracionários ao serem convertidos para a base 2 apresentam uma representação infinita, observe como é realizado nos exemplos a seguir. Exemplo 03: Converter 202 para a base 12: Exemplo 04: Converter 4,6875 para a base binária. Considere 4,6875 = 4 + 0,6875. Vamos converter a principio a parte inteira, e como já aprendemos anteriormente, 4 pode ser escrito por (100)2. Para converter a parte fracionária utilizaremos o seguinte processo: 202 = ( 14a )12 Cálculo Numérico 18 Dado o número 0.6875, vamos multiplicar o número após a vírgula sucessivas vezes, observe: 0,6875 x 2 = 1,375 0,375 x 2 = 0,75 0,75 x 2 = 1,5 0,5 x 2 = 1 O resultado será o número formado por todas as partes inteiras dos resultados obtidos. Logo podemos dizer que o número 0,6875 equivale a (0.1011)2. Desse modo, o número 4,6875 na base 2 é ( 100, 1011 )2. − Como converter um número do sistema binário para o sistema decimal: O processo de conversão inverso é bastante simples! Vamos considerar como exemplos os números convertidos anteriormente: Exemplo 05: Converter ( 211 )5 para a base 10. ( 211 )5 = 2 . 52 + 1 . 51 + 1 . 50 = 56 ( 211 )5 = 2 . 25 + 1 . 5 + 1 . 1 ( 211 )5 = 50 + 5 + 1 ( 211 )5 = 56 Exemplo 06: Converter ( 11001 )2 para a base 10. ( 11001 )2 = 1 . 24 + 1 . 23 + 0 . 22 + 0. 21 + 1 . 20 ( 11001 )2 = 1 . 16 + 1 . 8 + 0 . 4 + 0. 2 + 1 . 1 ( 11001 )2 = 16 + 8 + 0 + 0 + 1 ( 11001 )2 = 25 Cálculo Numérico 19 Exemplo 07: Converter ( 14a )12 para a base 10. ( 14a )12 = 1 . 122 + 4 . 121 + a . 120 ( 14a )12 = 1 . 122 + 4 . 121 + 10 . 120 ( 14a )12 = 1 . 144 + 4 . 12 + 10 . 1 ( 14a )12 = 144 + 48 + 10 ( 14a )12 = 202 Exemplo 08: Converter ( 100, 1011 )2 para a base 10. (100, 1011)2 = 1 . 22 + 0 . 21 + 0 . 20 + 1 . 2−1 + 0 . 2−2 + 1 . 2−3 + 1 . 2−4 (100, 1011)2 = 1 . 4 + 0 . 2 + 0 . 1 + 1 . ½ + 0 . ¼ + 1 . 1/8 + 1 . 1/16 (100, 1011)2 = 4 + 0 + 0 + ½ + 1/8 + 1/16 (100, 1011)2 = 4 + 0,5 + 0,125 + 0,0625 (100, 1011)2 = 4,6875 − Ponto fixo e ponto flutuante: Agora que já aprendemos a converter os números para diferentes bases, vamos nos aprofundar no sistema de aritmética do ponto flutuante, pois é através desta representação que os computadores representam e operam os dados numéricos que enviamos. Considere o número 73,025. Este número pode ser escrito de forma equivalente: 73,025 = 73 + 0,025 Cálculo Numérico 20 Vamos escrever este número no sistema binário. Como já fizemos em cálculos anteriores, a principio convertemos a parte inteira, ou seja,73 = (1001001)2. Em seguida, convertemos a parte fracionária: 0,025 x 2 = 0,05 0 0,05 x 3 = 0,1 0 0,1 x 2 = 0,2 0 0,2 x 2 = 0,4 0 0,6 x 2 = 1,2 1 0,2 x 2 = 0,4 0 0,4 x 2 = 0,8 0 0,8 x 2 = 1,6 1 0,6 x 2 = 1,2 Observe que após a multiplicação de 0,8 x 2 , teremos uma sequência repetida de partes inteiras. Então podemos afirmar que: 0,025 = ( 0,00001001001001) Logo, 0,025 = ( 0,00000110)2. E, sendo assim teremos que: 73,025 = (1001001,00001001001001)2 Para escrever este número na notação de Ponto Flutuante é preciso ter apenas um algarismo na parte inteira. Para isso, irá ser preciso deslocar a vírgula 6 casas a frente, então: 1,00100100001001001001 x 26 Cálculo Numérico 21 OBSERVAÇÃO: Se tivéssemos que deslocar a vírgula para a direita, o expoente da base seria negativo. No entanto, ainda precisamos escrever o expoente da base na forma binária, logo teremos: 1,00100100001001001001 x 2110 Um número escrito na notação de Ponto Flutuante, terá a seguinte forma: ± (.d1d2 ... dt)B x Be Onde: B base em que a máquina opera. .d1d2 ... dt Mantissa t número de dígitos na mantissa ( parte após a vírgula) e expoente no intervalo [ m, M ] ATENÇÃO: O intervalo de e depende da máquina utilizada. Teremos alguns erros decorrentes da impossibilidade de ser representar um número dado se: e > M Overflow ou e < m Underflow Cálculo Numérico 22 Exemplo 09: Considere os números abaixo e vamos escrevê-lo na notação de ponto flutuante de 3 dígitos para a base 10, com e [−4, 4 ]: − 135,94 − 0,13594 x 103 Sem erros 0,ooooo8 0,8 x 10−5 Underflow 876346, 27 8,7634627 x 105 Overflow Se estivéssemos operando em uma máquina que utilize um sistema de aritmética de ponto flutuante de 4 dígitos, no primeiro caso, as operações ocorreriam sem problemas, o sistema apenas irá realizar o arredondamento (− 0,136 x 103 ) ou o truncamento (− 0,135 x 103). No segundo e terceiro casos, o número não pode ser representado por esta máquina, em 0,8 x 10−5 acusaria a ocorrência de underflow, ou seja, o expoente é menor que −4, e em 8,7634627 x 105, temos a ocorrência de um overflow, ou em outras palavras, expoente maior que 4. CONSIDERAÇÕES IMPORTANTES: I − O arredondamento altera ou não o último algarismo do número dependendo do algarismo seguinte, já o truncamento, considera apenas a quantidade de dígitos considerados, não importando qual será o próximo algarismo. II – Precisão dupla: é o mesmo sistema estudado acima, no entanto, neste caso utiliza-se o dobro de dígitos para a mantissa. Cálculo Numérico 23 1.2.2 Erros Absolutos e Relativos. Quando realizamos alguma aproximação é muito importante se estimar o erro obtido nesta operação. Esta estimativa pode ser obtida através de dois conceitos: o erro absoluto ou o erro relativo. I − ERRO ABSOLUTO: É a diferença entre o valor exato de um número x e seu valor aproximado ̅. ̅ O erro absoluto só poderá ser determinado se x for conhecido com exatidão. É comum trabalhar com um valor limite superior para o erro, ao invés do próprio erro, ou seja, consideramos |E | < ε, onde ε é o limitante. Exemplo 10: Sabemos que = 3,141516.. ,ou de outra forma podemos dizer que ( 3,14, 3,15 ). 3,15 3,14 0,01−2 II − ERRO RELATIVO: É a razão entre o erro absoluto pelo valor aproximado. ̅ ̅ ̅ Cálculo Numérico 24 1.2.3Erros de arredondamento e Truncamento no sistema de ponto flutuante. A seguir você encontrará todas as fórmulas para calcular os erros em algumas operações, sem considerar os erros de arredondamento ou truncamento no final do resultado. Adição Subtração Multiplicação Divisão ̅ . . . . Vamos denominar OP, o resultado exato da operação. Em todo operação, o resultado é normalizado e em seguida truncado ou arredondado para t dígitos, obtendo o resultado aproximado. O erro relativo ao resultado de uma operação será: | ER OP| < 10 –t + 1 no Truncamento | ER OP| < ½ . 10 –t + 1 no Arredondamento Cálculo Numérico 25 Observe os exemplos a seguir: Exemplo 11: Dados x = 0,8732 . 105 e y = 0,8669 . 103, vamos obter: a) x + y: Para somarmos dois valores em aritmética de ponto flutuante, devemos fazer com q mantissa do menor expoente se torne igual a mantissa do número de maior expoente. Para isso, vamos considerar o número y = 0,8669 . 103 e deslocar a virgular para a esquerda, e vamos obter: y = 0,008669 . 105. Realizando a operação, teremos: x + y = 0,8732 . 105 + y = 0,008669 . 105 x + y = (0,8732 + 0,008669 ) . 105 x + y = 0,881869. 105 Desse modo, teremos x + y = 0,88187 . 105 no arredondamento e, x + y = 0,88186 . 105 , no truncamento. Cálculo Numérico 26 b) x . y: Para calcular o produto, basta recordar de uma importante propriedade das potências: potências de mesma base, repete-se a base soma os expoentes. Então, teremos: x . y = 0,8732 . 105 . 0,8669 . 103 x . y = 0,8732 . 0,8669 . 105 . 103 x . y = 0,75697708 . 108 Neste caso, teremos que o resultado da operação será: x.y = 0,9770 . 108 para o arredondamento, e x.y = 0,7569 . 108 É HORA DE SE AVALIAR Lembre-se de realizar as atividades desta unidade de estudo. Elas irão ajudá-lo a fixar o conteúdo, além de proporcionar sua autonomia no processo de ensino-aprendizagem. Cálculo Numérico 27 Exercícios - Unidade 1 1. Converta os números escritos no sistema decimal abaixo para a base solicitada: a) 54 para a base 4 b) 192 para a base 5 c) 29 para a base 3 d) 301 para a base 13 e) 6608 para a base 11 2. Converta os números na forma binária para a forma decimal: a) (10111)2 = b) (10111,101)2 = c) ( 0,10011001...)2 = d) (100100101001)2 = e) (0,1101)2 = 3. Converta os números da forma decimal para a forma binária. a) 45 = b) 2,5= c) 0,1= d) 12 = e) 10,05 = Cálculo Numérico 28 4. Escreva os números abaixo na notação de ponto flutuante de 3 dígitos para a base 10, com e [−4, 4 ]: ( ATENÇÃO: Dizemos que um número está normatizado quando em ± (.d1d2 ... dt)B x Be d1 ≠ 0.) a) – 278,13 = b) 1,34 = c) 0,00000227013 = d) 1/32 = e) 10872 = 5. Considere um sistema de aritmética de ponto flutuante de 4 dígitos, base decimal e com acumulador de precisão dupla. Dados os números: x = 0,8123 x 104 y = 0,3154 x 10−3 e z = 0, 2457 x 10 Efetue as operações e obtenha o erro relativo no resultado, supondo que x, y e z estão exatamente representados: a) x + y + z b) x – y – z c) x/y d) (x. y)/z e) x ( y/z) Cálculo Numérico 29 Sistemas Lineares 2 Cálculo Numérico 30 Iremos iniciar as atividades dessa unidade definindo os sistemas lineares e verificando as terminologias de suas variáveis, para posteriormente trabalharmos os diferentes métodos de solução. Objetivos da unidade: Trabalhar e compreender as diversas possibilidades e métodos para resoluções de sistemas lineares. Plano da unidade: 2.1 Introdução. 2.1.1 Classificação quanto ao número de soluções. 2.1.2 Sistemas triangulares. 2.1.3 Transformações elementares. 2.1.4 Substituição retroativa. 2.2 Métodos diretos. 2.2.1 Regra de Cramer 2.2.2 Método de Gauss. 2.2.3 Método de Gauss-Jordan. 2.2.4 Cálculo de determinantes. 2.3- Métodos iterativos. 2.3.1 Método de Jacobi. 2.3.2 Método de Gauss-Seidel. Bons estudos! Cálculo Numérico 31 Sistemas Lineares: Para dar continuidade aos nossos estudos do Cálculo Numérico, iremos estudar nessa unidade os sistemas lineares e alguns importantes conceitos relacionados a este assunto. 2.1. Introdução. A palavra sistema vem do grego systema (sy significa ‘junto’ e sta significa ‘permanecer’). Na Matemática, sistema é conjunto de equações que apresentam resultados que devem satisfazer simultaneamente todas as equações. Para compreender o que significa um Sistema de Equações Lineares, é necessário entender o que é uma equação linear. Uma equação linear é toda equação que pode ser escrita na forma geral: ⋯ = b De modo que: x1, x2, ..., xn são as incógnitas; a1, a2, ..., an são os coeficientes reais; b é o termo independente. Denomina-se Sistema Linear S, de ordem m x n, o conjunto de m equações lineares com n incógnitas, que pode ser representado de forma geral: S = … … … ……………………………………. … Cálculo Numérico 32 Também podemos representar S sob a forma de somatório: ∑ com i = 1, 2, 3, ..., n. Ou então, S pode ser escrito sob a forma matricial de duas diferentes maneiras: … … … . … . … . … . … . … … A x = b Onde: A = Matriz dos coeficientes, x = Vetor das variáveis, b = Vetor constante. Note que se você resolver a multiplicação de matrizes e em seguida igualar os resultados obterá o sistema apresentado inicialmente. Ainda, na forma matricial, podemos representar o sistema na forma de uma única matriz, dita Matriz Completa: S = … … … . … . … . … . … . … Cálculo Numérico 33 IMPORTANTE: OBSERVAÇÃO: Na maioria das vezes, as incógnitas x1, x2, ..., xn aparecem como x, y, z, w, t, .... Exemplo 01: Observe alguns exemplos de equações lineares: x + y = 12; x – y + 2z = 10; 3x + y = –z + 10w. ATENÇÃO: Não são equações lineares: + y = 4 e + xy + = 6w. − Solução de um Sistema linear: Considere a equação linear: ⋯ = b. Denominamos solução da equação, o vetor de números reais ( , , , ... , ) que satisfaz a equação, ou seja, que torna a igualdade verdadeira. Cálculo Numérico 34 Exemplo 02: Dada a equação x + y = 2, temos que: a) O vetor (1, 1) é solução da equação, pois, 1 + 1 = 2. Outras possíveis soluções seriam os vetores (0, 2) e (2, 0). b) O vetor (2, 1) não é solução da equação porque 2 + 1 2. Também não são soluções os vetores (1, 3), (4, 0) e (0, 0), por exemplo. Exemplo 03: Considere a equação 2x – 6y = 8. Temos que o vetor (4 + 3 , ), sendo um número real qualquer, é solução da equação. Isto quer dizer, que a equação possui infinitas soluções. Neste caso, para cada valor de , temos uma solução diferente, observe: a) = 0, o vetor (4, 0) é solução da equação, pois, 2.4 – 6.0 = 8 – 0 = 8. b) = 1, o vetor (7, 1) é solução da equação, pois, 2.7 – 6.1 = 14 – 6 = 8. c) = -1, o vetor (1,-1) é solução da equação, pois, 2.1 – 6.(-1) = 2 + 6 = 8. Denominamos solução de um sistema linear o vetor de números reais ( , , , ... , ) que satisfaz todas as equações do sistema. 2.1.1. Classificação dos sistemas lineares: Um sistema linear pode ser classificado em: possível e determinado, possível e indeterminado ou impossível. Esta classificação dependerá do número de soluções que o sistema apresenta como veremos a seguir: Cálculo Numérico 35 I - Sistema possível e determinado: é o sistema que possui uma única solução. Observe o exemplo abaixo: 3 10 2 5 1 . Note que o vetor (3, -1) é a única solução do sistema. Verifique! II – Sistema possível e indeterminado: este segundo caso, ocorre quando um sistema apresenta infinitas soluções. Considere o sistema: 3 4 3 9 12 Tem-se que o vetor (7, 1) é solução do sistema assim como os vetores (4, 0) e (10, 2). Confiram! Na verdade, o vetor (4 + 3 , ), com um número real qualquer, constitui uma solução geral para o sistema. III – Sistema impossível: É o sistema que não admite solução. O sistema abaixo, por exemplo, é impossível porque não existe nenhuma solução que o satisfaça as duas equações ao mesmo tempo. 2 5 2 4 2 2.1.2. Sistema triangulares Para compreender o que é um sistema triangular, é importante recordar o conceito de matrizes triangulares, observe as matrizes abaixo: Cálculo Numérico 36 2 1 7 0 1 8 0 0 4 Exemplo de Matriz Triangular Superior 2 0 0 1 1 0 3 4 4 Exemplo de Matriz Triangular Inferior De modo similar, dizemos que um sistema linear é dito triangular superior quando todos os elementos abaixo da diagonal principal são nulos. 2.1.3. Transformações elementares Existem determinadas operações que podem ser aplicadas a um sistema linear que não afetama solução. A essas transformações damos o nome de transformações elementares. São as seguintes operações: I. Trocar a ordem de duas equações do sistema; II. Multiplicar uma equação por um número real qualquer não nulo; III. Adicionar duas equações do sistema, obtendo uma nova equação. Os sistemas lineares são ditos equivalentes quando admitem a mesma solução. Vale ressaltar que dado dois sistemas lineares S1 e S2, e ambos equivalentes podem obter S2 a partir de uma sequência finita de operações elementares em S1. 2.1.4. Substituição retroativa Quando o sistema está associado a uma matriz triangular, podemos resolvê-lo através do procedimento conhecido como substituição retroativa. Cálculo Numérico 37 Seja o sistema linear A x = b, representado abaixo, onde A é triangular superior n x n, com elementos da diagonal diferentes de zero, B é o vetor de coeficientes do sistema e X é o vetor das incógnitas. ⋯ ⋯ ⋯ …………………… ……… Da última equação desse sistema, podemos calcular o valor da incógnita : = Substituindo o valor de na penúltima equação do sistema, calculamos o valor de : = , , Sucessivamente, fazendo as substituições retroativas, podemos encontrar os valores de , ... , e, finalmente, . O método da substituição retroativa será melhor compreendido através do exemplo a seguir: Cálculo Numérico 38 Exemplo 04: Vamos resolver o sistema dado por meio de substituições retroativas. 8 2 2 2 5 2 6 Representando este sistema na forma matricial, podemos perceber facilmente que ele está associado a uma matriz triangular superior: 1 1 1 1 0 2 1 1 0 0 2 1 0 0 0 2 . 8 2 5 6 A. x = b Para obter a solução deste sistema, vamos retornar ao sistema inicial, na última equação temos: 2t = 2 , e obtemos t = 3. Substituindo t = 3 na equação acima, 2z + t = 5, temos que z = 1. Em seguida, substituindo t = 3 e z = 1 na segunda equação, 2y + z + t = 2, encontramos que y = -1. Finalmente, fazendo t = 3, z = 1 e y = -1 na primeira equação encontramos que x = 5. Logo, a solução do sistema será (5, -1, 1, 3). Verifique! CONSIDERAÇÕES IMPORTANTES: Os métodos de resolução de sistemas lineares podem ser classificados em dois grandes grupos: métodos diretos (alguns autores também chamam de exatos) e métodos iterativos. Nos próximos tópicos vamos discutir alguns desses métodos. Cálculo Numérico 39 2.2. Métodos diretos Os chamados métodos diretos ou exatos para resolução de sistemas lineares são aqueles que forneceriam a solução exata do sistema, através de um processo com um número finito de operações aritméticas, se não fossem os erros de arredondamento. Desprezando os erros de arredondamento, os métodos exatos produzem uma solução, se houver, utilizando uma sequência finita de passos. Os métodos diretos mais utilizados na prática são o método de Gauss e o método de Gauss-Jordan, também chamado apenas de método de Jordan. 2.2.1. Regra de Cramer O primeiro método que vamos estudar é a regra de Cramer. Este método já estudado anteriormente, nos apresenta a solução exata do sistema. Se Ax = b, é um sistema de “n” equações lineares em “n” incógnitas tal que a det(A) ≠ 0 (determinante de A diferente de zero), então o sistema tem uma solução. E esta solução é dada por: ; … Onde Ax é a matriz obtida substituindo as coluna com os coeficientes de x pela coluna dos termos independentes, e assim por diante. Observe o exemplo a seguir: Cálculo Numérico 40 Exemplo 05: Considere o seguinte sistema linear: 2 3 1 2 0 2 2 4 Devemos encontrar os valores das incógnitas (x, y, z) que representem uma solução comum para cada equação do sistema. Sendo assim, para iniciarmos a solução devemos obter a matriz A. 2 1 3 1 2 1 2 1 2 Agora que definimos a matriz A, devemos encontrar a determinante dessa matriz, onde por ser uma matriz de ordem 3, vamos repetir a duas primeiras linha abaixo da matriz e multiplicar os termos na diagonal e depois subtrair a diagonal principal pela secundária. Det( A ) = [(2 x 2 x 2) + (1 x 1 x 3) + (2 x -1 x -1)] – [(3 x 2 x 2) + (-1 x 1 x 2) + (2 x -1 x 1)] Det(A) = [ (8) + (3) + (2) ] – [(12) + (-2) + (-2)] Det(A) = [ 8 + 3 + 2 ] – [ 12 – 2 – 2 ] Det(A) = [ 13 ] – [ 8 ] Det(A) = 5 Cálculo Numérico 41 Agora que encontramos a determinante de A, devemos obter a matriz Ax e calcular o seu determinante, para isso, substituímos a coluna (x) pelos termos independentes do sistema de equações lineares e depois fazemos a regra exposta acima. Sendo assim temos: Fazendo o processo anterior para Ax teremos: Det(Ax) = -15 Agora encontraremos Ay: Cálculo Numérico 42 Fazendo o processo anterior para Ay teremos: Det(Ay) = 16 Agora encontraremos Az: Fazendo o processo anterior para Ax teremos: Det(Ay) = 17 Pela fórmula de Cramer teremos: → 15 5 → → 16 5 → , → 17 5 → , 2.2.2. Método de Gauss O método da eliminação de Gauss, ou simplesmente método de Gauss, consiste em transformar, através da aplicação das operações elementares, o sistema linear original em outro sistema linear equivalente cuja matriz dos coeficientes é triangular superior. Assim, basta fazer substituições retroativas a fim de encontrar os valores das incógnitas. Cálculo Numérico 43 O método pode ser implementado em três etapas: 1) Escreva a matriz completa associada ao sistema; 2) Triangularize a matriz através das operações elementares; 3) Resolva o sistema por meio da substituição retroativa. Exemplo 06: Resolva os sistemas abaixo, utilizando o método de Gauss. a) 2 3 2 0 3 2 1°Passo: Primeiramente escrevemos a matriz completa associada ao sistema: 1 2 1 3 2 1 1 0 3 1 1 2 2°Passo: Iniciamos o processo para tornar a matriz triangular superior. Tomamos o elemento a11 = 1 como pivô e fazemos as seguintes substituições elementares: L2← L2 – 2L1 e L3← L3 – 3L1. Realizando os cálculos e substituindo as respectivas linhas, chegamos à seguinte matriz: 1 2 1 3 0 3 3 6 0 7 4 11 Cálculo Numérico 44 Agora, tomando o elemento a22 = -3 como pivô, e fazendo a substituição L2← L2, tem-se: 1 2 1 3 0 1 1 2 0 7 4 11 Por fim, fazemos a substituição L3← L3 + 7L2 e encontramos a matriz triangular superior associada ao sistema: 1 2 1 3 0 1 1 2 0 0 3 3 Portanto, chegamos ao seguinte sistema equivalente: 2 3 2 3 3 3° Passo: No último passo, basta fazer as substituições retroativas. Da última equação 3z = 3, encontramos que z = 1. Substituindo z = 1 na equação y + z = 2, obtemos y = 1. Substituindo z = 1 e y = 1 na primeira equação x + 2y + z = 3, chegamos que x = 0. Portanto, o sistema é possível e determinado, com solução 0,1, 1 T. b) 2 4 10 6 3 6 15 11 Cálculo Numérico 45 1° Passo: Escrevemos a matriz completa associada ao sistema: 2 4 10 6 3 6 15 11 2° Passo: Aplicamos o processo de triangularização. Inicialmente vamos fazer a substituição L1←0,5L1. Realizando os cálculos, chegamos à seguinte matriz: 1 2 5 3 3 6 15 11 Agora, fazemos L2←3L1 – L2 e obtemos: 1 2 5 3 0 0 0 2 3° Passo: Logo, o sistema equivalente é: 2 5 3 0 0 0 2 Da última equação, concluímos que o sistema é impossível. Portanto,a solução é vazia, S = ∅. c) 3 9 6 5 15 10 2 6 4 1°Passo: Escrevemos a matriz completa associada ao sistema: 3 9 6 5 15 10 2 6 4 Cálculo Numérico 46 2° Passo: Vamos realizar as operações elementares: L1 ← 1/3L1 1 3 2 5 15 10 2 6 4 L2 ← L2 – 5L1 1 3 2 0 0 0 2 6 4 L3 ← L3 + 2L1 1 3 2 0 0 0 0 0 0 3° Passo: Logo, o sistema equivalente é: 3 2 0 0 0 0 0 0 3 2 0 0 0 Na última equação, considerando y uma incógnita livre, temos: x = 2 + 3y. Logo, o sistema é possível e indeterminado, pois fazendo y = , com um número real qualquer, encontramos infinitas soluções para o sistema, observe: S = (2 + 3 , ), R. 2.2.3. Método de Jordan O método de Jordan, ou método de Gauss-Jordan, é bem semelhante ao método anterior. Consiste em transformar o sistema linear original em outro sistema linear equivalente cuja matriz dos coeficientes é diagonal, através da aplicação das operações elementares. Como a matriz obtida é diagonal, têm-se diretamente os valores das incógnitas sem precisar fazer substituições retroativas. Cálculo Numérico 47 Exemplo 07: Resolva os sistemas abaixo, utilizando o método de Jordan. 2 4 2 0 1 Inicialmente, vamos escrever a matriz completa do sistema: 1 1 2 4 2 1 1 0 1 1 1 1 Em seguida, vamos efetuar as seguintes operações elementares: L2 ← L2 – 2L1 1 1 2 4 0 3 5 8 1 1 1 1 L3 ← L3 – L1 1 1 2 4 0 3 5 8 0 2 3 5 L3 ← – 2/3L2 + L3 1 0 1/3 4/3 0 3 5 8 0 0 1/3 1/3 L1 ← L1 – L3 1 0 0 1 0 3 5 8 0 0 1/3 1/3 L2 ← L2 + 15L3 1 0 0 1 0 3 0 3 0 0 1/3 1/3 Cálculo Numérico 48 Terminamos o processo de diagonalização, obtemos o seguinte sistema equivalente: 0 0 1 0 3 0 3 0 0 1/3 1/3 1 3 3 1/3 1/3 Imediatamente temos que x = 1, y = 1 e z = 1. Logo, a solução do sistema é (1, 1, 1)T. IMPORTANTE OBSERVAÇÃO: A diferença entre os dois últimos métodos apresentados é que neste último, ao final das operações elementares a matriz dos coeficientes se torna uma matriz diagonal e não uma matriz diagonal superior. 2.2.4. Cálculo de determinantes Uma aplicação imediata dos métodos de Gauss e de Jordan é o cálculo de determinantes. Conforme a ordem da matriz aumenta, o procedimento para computar o seu determinante torna-se extenso e mais complicado. É necessário frisar que somente matrizes quadradas possuem determinantes. E, para se calcular as determinantes das matrizes triangulares superior, triangulares inferiores e diagonais basta multiplicar os elementos da diagonal principal. Desse modo, faremos uso de duas importantes propriedades para calcular determinantes: Cálculo Numérico 49 Propriedade 1: Se A e B são matrizes equivalentes, então det (A) = det (B). Propriedade 2: Se A é uma matriz triangular (superior ou inferior), então o determinante de A é igual ao produto dos elementos de sua diagonal principal. Para calcular o determinante de uma matriz qualquer, basta aplicar o método de Gauss ou Jordan para transformá-la em triangular e, depois, aplicar a Propriedade 2. Vamos analisar alguns exemplos. Exemplo 08: Vamos calcular os determinantes das seguintes matrizes: a) A = 2 3 1 4 4 3 2 3 1 L2 ← L2 – 2L1 2 3 1 0 2 1 2 3 1 L3 ← L3 – L1 2 3 1 0 2 1 0 6 2 L3 ← L3 – 3L2 2 3 1 0 2 1 0 0 5 Cálculo Numérico 50 Agora que já encontramos através das operações elementares uma matriz triangular superior equivalente à matriz dada, vamos calcular o determinando de A. Logo, det (A) = 2. (–2). 5 = –20. b) B = 5 7 2 2 0 3 0 4 5 8 0 3 0 5 0 6 L3 ← L3 + L1 5 7 2 2 0 3 0 4 0 15 2 5 0 5 0 6 L3 ← L3 + 5L2 5 7 2 2 0 3 0 4 0 0 2 15 0 5 0 6 L4 ← L4 –5/3L2 5 7 2 2 0 3 0 4 0 0 2 15 0 0 0 2/3 Logo, o det (B) será: det (B) = 5 . 3. 2. 2/3 = 20. 2.3. Métodos iterativos Os ditos métodos iterativos para resolução de sistemas lineares são métodos que fornecem uma sequência de soluções aproximadas para solução do sistema com uma dada precisão, através de um processo infinito convergente. Geralmente, são melhores do que os métodos diretos quando a matriz de coeficientes é esparsa, tendo muitos elementos iguais à zero. Cálculo Numérico 51 2.3.1 Método de Jacobi. A ideia principal desse método é converter o sistema linear A.x = b, em um sistema equivalente: x = C . x + g Partindo-se de uma aproximação inicial x(0) e construindo a sequência x(k +1) = C . x(K) + g, sendo C(n x n) e g(n x 1), podemos chegar a soluções através de sucessivas iterações. Considere C é uma matriz de ordem (n) e g é um vetor de coluna (n x 1). Genericamente, escreveremos o sistema da seguinte forma: Para determinarmos os valores de x1, x2 e x3, vamos isolar os termos que se encontram na diagonal principal. Sendo assim, obtemos: a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 a31 x1 + a32 x3 + a33 x3 = b3 a11 x1 = - a12 x2 - a13 x3 + b1 a22 x2 = - a21 x1 - a23 x3 + b2 a33 x3 = - a31 x1 - a32 x3 + b3 Cálculo Numérico 52 Representando esse sistema em notação matricial, teremos: 0 0 0 . Ou seja: X = C . x + g Exemplo 09: Vamos resolver o sistema através do método de Jacobi: 10 2 7 5 8 2 3 10 6 , onde 0,5 1,5 0,5 e 10 Onde: , . Cálculo Numérico 53 Vamos iniciar a aplicação deste método, escrevendo o sistema dado na notação matricial, ou seja: 10 2 1 1 5 1 2 3 10 e 7 8 6 O objetivo agora é anular a diagonal principal, através da divisão dos demais coeficientes pelo valor correspondente ao coeficiente da sua diagonal, além de inverter o sinal da matriz principal, onde seguimos a fórmula explicitada anteriormente. 0 0,2 0,1 0,2 0 0,2 0,2 0,3 0 . 0,7 1,6 0,6 Através da anulação da diagonal principal conseguimos extrair as equações para obter o valor de x, y, z, observe: x = –0,2y – 0,1z + 0,7 y = –0,2x – 0,2z – 1,6 z = –0,2x – 0,3y + 0,6 Agora que determinamos as equações, vamos utilizar os valores da hipótese inicial, para determina x(1), x(2), x(3).... x(n). 0,5 1,5 0,5 Cálculo Numérico 54 Substituído nas equações teremos: 1° Iteração: x = –0,2 (-1,5) – 0,1(0,5) + 0,7 = 0,95 y = –0,2(0,5) – 0,2(0,5) – 1,6 = -1,8 z = –0,2(0,5) – 0,3(-1,5) + 0,6 = 0,95 Vamos fazer o mesmo processo, só que agora com os novos valores de x, y, z. 0,95 1,8 0,95 2° Iteração: x = –0,2 (-1,8) – 0,1(0,95) + 0,7 = 0,965 y = –0,2(0,95) – 0,2(0,95) – 1,6 = -1,98 z = –0,2(0,95) – 0,3(-1,8) + 0,6 = 0,95 Esse processo irá se repetir 7 vezes, pois na 7ª iteração encontraremos o erro de 10-3. CONSIDERAÇÕES IMPORTANTES: O erro é obtido através da diferença dos valores atribuídos a x, y, z,, entre a iteração posterior e a anterior, ou seja, x(1) – x(0); x(2) – x(1); x(3) – x(2) ... Cálculo Numérico 55 Para auxiliar os cálculos podemos formar a seguinte tabela: x(0) x(1) x(2) x(3) x(4) x(5) x(6) x(7) x 0,5 0,95 0,965 1,001 0,9965 1,00061 0,999566 1,000122 y -1,5 -1,8 -1,98 -1,983 -2,0004 -1,99824 -2,00029 -1,99978 z 0,5 0,95 0,95 1,001 0,9947 1,00082 0,99935 1,000173 Para calcular o Erro, podemos também fazer o uso de tabelas, observe: x(1) – x(0) x(2) – x(1) x(3) – x(2) x(4) – x(3) x(5) – x(4) x(6) – x(5) x(7) – x(6) 0,45 0,015 0,036 -0,0045 0,00411 -0,00104 0,000556 -0,3 -0,18 -0,003 -0,0174 0,00216 -0,00205 0,000503 0,45 0 0,051 -0,0063 0,00612 -0,00147 0,000823 Erroencontrado para os três valores (Ɛ = 10-3). Sendo assim temos como solução: x = 1,000122 y = -1,99978 z = 1,000173 2.3.2 Método de Gauss-Seidel. Para finalizar esta unidade, vamos aprender o último método de resolução, para isso, observe o sistema abaixo: nnnnnnn nn nn bxaxaxaxa bxaxaxaxa bxaxaxaxa ...... ......................................................... ...... ...... 332211 22323222121 11313212111 Cálculo Numérico 56 Se aii ≠ 0 podemos isolar x = Cx + g, por separação da diagonal, igual ao método anterior, podendo escrever o seguinte sistema: Logo podemos concluir que o método de Para relembrá-lo, vamos apresentar a resolução do exemplo a seguir: É uma variação do método de Gauss-Jacobi, sendo similar na transformação do sistema em um sistema equivalente do tipo x=Cx + g. A diferença consiste em que no método de calcular, a variável xj (k+1), usaremos todos os valores x1 (k+1), x2(k+1), ..., xj – 1(k+1), já calculados. Muito bem, chegamos ao fim desta unidade, agora é hora de refletir um pouco sobre os conhecimentos adquiridos, e exercitar sobre os diversos métodos de soluções de sistemas lineares que você estudou. É HORA DE SE AVALIAR Lembre-se de realizar as atividades desta unidade de estudo. Elas irão ajudá-lo a fixar o conteúdo, além de proporcionar sua autonomia no processo de ensino-aprendizagem. )1(11,)1(22)1(11)1( )( 2 )( 323 )1( 1212 22 )1( 2 )( 1 )( 313 )( 2121 11 )1( 1 ...... 1 ......................................................... ...... 1 ...... 1 k nnn k n k nn nn k n k nn kkk k nn kkk xaxaxab a x xaxaxab a x xaxaxab a x Cálculo Numérico 57 Exercícios - Unidade 2 1. Resolva o sistema abaixo usando o método da eliminação de Gauss. 100 20 40 80 2. Três amigas, Ana, Beatriz e Carla, foram a uma lanchonete. Ana comeu um sanduíche, tomou um suco e um café e pagou R$12,00; Beatriz consumiu dois sanduíches, um suco e um café, pagando R$17,50; e Carla comeu um sanduíche, tomou dois sucos e dois cafés, totalizando R$18,50. a) Escreva o sistema linear que representa a situação descrita. b) Determine o preço unitário do sanduíche, do suco e do café. 3. (Unicamp-SP) Resolva o seguinte sistema de equações lineares: 2 1 2 2 2 3 2 4 4. Utilizando a Regra de Cramer, solucione o sistema linear abaixo: 2 1 3 2 5 2 4 3 7 3 Cálculo Numérico 58 5. Utilizando o método de Cramer, solucionar o seguinte sistema linear. 2 3 6 2 3 6. Resolva o sistema linear abaixo utilizando o método de Gauss-Jacobi. Considere = 10 -3. 4 2 3 6 2 8 3 5 2 , X (0) = Atenção: No desenvolvimento desse exercício, você verá que o erro está aumentando, logo, não conseguirá uma convergência as linhas da matriz nessa ordem. Sendo assim, troque a primeira linha com a segunda. Dessa forma, os maiores valores (em módulo) ficarão na diagonal principal, permitindo assim a convergência. Cálculo Numérico 59 7.Através da Regra de Cramer, solucionar o sistema linear abaixo. 8.Determine “m” para que o sistema seja possível e determinado. Atenção: Na 3ª linha não há y, logo, deve-se admitir zero, na sua posição correspondente. 3x + 2y + 4z = 1 x + y + 2z = 2 4x + 3y – 2z = 3 mx + 2y – 2z = 1 x – 3y + z = 0 x + 2z = 0 Cálculo Numérico 60 9. Através do Método de Eliminação de Gauss, solucione o sistema linear abaixo: 10. Resolva através do método de Cramer e do Método de Eliminação de Gauss, o sistema linear abaixo, em seguida faça uma comparação dos métodos. x + 5y + 2z = 10 2x + y – 3z = –3 3x + 6y + 5z = 19 10x + 2y + z = 7 x + 5y + z = –8 2x + 3y + 10z = 6 Cálculo Numérico 61 3 Zero Reais De Funções Reais Cálculo Numérico 62 Iniciaremos as atividades dessa unidade permeando os conceitos de zero de funções reais, utilizando meios gráficos, para posteriormente solucionar as funções f(x), através de um refinamento. Objetivo da Unidade Determinar e compreender os meios para solucionar diversas funções polinomiais através de métodos distintos. Plano da Unidade 3.1 - Zeros de Funções Reais 3.2 - Isolamento das Raízes 3.3 - Refinamento das Raízes 3.3.1 Método da Bisseção 3.3.2 Método da Posição Falsa 3.3.3 Método de Newton-Raphson Bons estudos! Cálculo Numérico 63 Equações polinomiais, algébricas e transcendentes Nosso foco nesta Unidade é abordar algumas técnicas de como obter os zeros de uma função, ou também chamados os zeros reais. Os zeros da função são os valores reais de “x” que tornam a função f(x) igual a zero − f(x) = 0. No entanto, observe que se temos uma função do tipo F(x) = 3x4 + 2x3 – x2 + 1, calcular os zeros desta função é equivalente a encontrar as raízes de uma equação, ou seja, calcular os valores de x que satisfazem a equação: 3x4 + 2x3 – x2 + 1 = 0 Desse modo, em outras palavras iremos apresentar alguns métodos para encontrar as raízes dessas equações, que podem ser polinomiais, algébricas ou transcendentes. Observe a diferença entre cada uma delas: Equação Polinomial Exemplo: 3x4 + 2x3 – x2 + 1 = 0 Equação Transcendente É a equação que envolve funções transcendentes, tais como: sen x, ex , ln x, ...x Exemplo: cos (x) – 1 = 0 Equação Algébrica: Exemplo: √ 1 3 0 3.1 Zeros Reais de Funções Reais Obter os zeros das raízes equivale a encontrar os valores reais de “x” que tornem a função f(x) igual a zero. Os métodos numéricos para resolver este problema, consistem em partir de uma aproximação inicial para a raiz e em seguida, através de processos iterativos, aproximar este valor da raiz real dentro de uma precisão desejada. Cálculo Numérico 64 Esses métodos dividem-se em duas partes: Isolamento das Raízes → processo no qual iremos determinar os intervalos onde existem raízes. Refinamento das Raízes → processo no qual iremos determinar valores aproximados para as raízes dentro do intervalo calculado. 3.2- Isolamento das Raízes Neste método, nosso objetivo é determinar um intervalo onde existem raízes. Para isolar as raízes em um intervalo, vamos analisar o comportamento dos gráficos obtidos a partir de equações polinomiais: Para este gráfico podemos afirmar que a função f(x) possui dois zeros reais, pois o gráfico passou do eixo y positivo para o negativo duas vezes, ou seja, interceptou o eixo “x” em dois momentos (a e b) Seguindo a mesma analogia anterior, podemos afirmar que para esta função teremos três zeros reais: a, b e c. Cálculo Numérico 65 Logo podemos afirmar que em uma função real f(x) com intervalos (a, b), existe sempre um x ∈ (a, b) tal que f(x) = 0, se f(a) . f(b) < 0. Exemplo 01: Determine os intervalos reais da função f(x) = x³ - 9x + 3, onde estão localizados os zeros da função: Para resolver este exemplo, vamos considerar um intervalo para x de −5 a 5. (Este intervalo foi uma hipótese inicial, poderia ser escolhido qualquer outro intervalo). Em seguida, substituímos os valores de x dentro deste intervalo e determinarmos os respectivos valores correspondentes a y no gráfico e encontrar desta forma os zeros reais. Para este exemplo, verifica-se que a função f(x) não possui zeros reais, ou seja, o gráfico da função não intercepta o eixo x. Cálculo Numérico 66 Sendo assim, teremos: x = −5 f(-5) = (-5)³ - 9(-5) + 3 → f(-5) = −77 x = −4 f(-4) = (-4)³ - 9(-4) + 3 → f(-4) = − 25 x = −3 f(-3) = (-3)³ - 9(-3) + 3 → f(-4) = − 3 x = −2 f(-2) =(-2)³ - 9(-2) + 3 → f(-2) = 13 x = −1 f(-1) = (-1)³ - 9(-1) + 3 → f(-1) = 11 x = 0 f(0) = (0)³ - 9(0) + 3 → f(0) = 3 x = 1 f(1) = (1)³ - 9(1) + 3 → f(1) = - 5 x = 2 f(2) = (2)³ - 9(2) + 3 → f(2) = - 7 x = 3 f(3) = (3)³ - 9(3) + 3 → f(3) = 3 x = 4 f(4) = (4)³ - 9(4) + 3 → f(4) = 31 x = 5 f(5) = (5)³ - 9(5) + 3 → f(5) = 81 Agora, vamos analisar os resultados obtidos. Observe que para x = −4, temos y = − 25 e para x = −3 temos y = 3, logo f(−4) . f (−3) < 0. Como ocorreu uma variação nos sinais, podemos concluir que o gráfico da função interceptará o eixo x neste intervalo. Então, podemos afirmar que existe uma raiz x1, no intervalo entre −4 e −3. De forma análoga, identificamos o intervalo das demais raízes, x2 e x3. Observe: Cálculo Numérico 67 x y -5 -77 -4 -25 -3 3 -2 13 -1 11 0 3 1 -5 2 -7 3 3 4 31 5 83 Para facilitar a interpretação desses cálculos, vamos apresentar o esboço do gráfico da função polinomial citada no exemplo: Observe que para todas as mudanças de sinais de “y”, temos um zero real da função localizado neste intervalo da variação no qual ocorre a variação do sinal de f(x). X1 ( -4; -3 ) X2 ( 0; 1 ) X3 ( 2; 3 ) Cálculo Numérico 68 3.3 Refinamento das Raízes Após o processo de isolamento apresentado acima, devemos descobrir através de um processo iterativo no intervalo de x ∈ (a , b), que seja uma aproximação para a raiz. O critério de “parada”, ponto onde a solução é satisfatória, ocorre quando o |f(x)| < Ɛ, onde Ɛ é o erro aproximado. 3.3.1 Método da Bisseção Para encontrar as raízes da equação através deste método devemos reduzir o intervalo onde cada iteração é calculada pela média aritmética dos extremos do intervalo. Vamos entender melhor como este método procede através do exemplo a seguir. Considerando Xk igual à raiz aproximada no intervalo (ak, bk), adotaremos a seguinte fórmula: 2 Exemplo 02: Utilizando a mesma função do exemplo anterior, vamos encontrar os zeros reais aplicando o método da bisseção, dado Ɛ = 10-3 . Considere a função: f(x) = x³ - 9x + 3 Vamos considerar o intervalo para uma das raízes: x2 ∈ (0 ; 1). É importante ressaltar que este intervalo foi escolhido aleatoriamente. Note que fazendo x = 0 e x = 1, vamos obter respectivamente: + 3 e -5. Já realizamos este cálculo anteriormente, você se recorda? Cálculo Numérico 69 x = 0 f(0) = (0)³ - 9(0) + 3 → f(0) = 3 x = 1 f(1) = (1)³ - 9(1) + 3 → f(1) = - 5 Agora, vamos calcular a média aritmética entre os valores extremos do intervalo, ou seja, 0 e 1. 0 1 2 0,5 Para descobrir o sinal da função quando x = 0,5, vamos substituir este valor na função dada: f(0,5) = (0,5)³ - 9(0,5) + 3 → f(0,5) = − 1,375 Perceba que encontramos um valor negativo, o que faz com que tenhamos um intervalo menor para localizar a raiz aproximada. Observe a representação a seguir: Cálculo Numérico 70 Note que para x = 0,5 o sinal da função é negativo, ou seja o valor de y é negativo. Desse modo, a regra da bisseção exige que devamos sempre encontrar um valor positivo com um negativo, logo traçado ficará: Agora vamos substituir 0,25 na função: f(0,25) = (0,25)³ - 9(0,25) + 3 → f(0,25) = 0,765625 Observe que para x = 0,25, encontramos um valor positivo, o nosso novo intervalo estará localizado entre: 0,25 e 0,5. Seguindo o mesmo procedimento anterior, vamos obter a média aritmética entre a e b. Note que: M = (0,25 + 0,5 ) / 2 M = 0,375 Cálculo Numérico 71 Deve-se repetir esse processo até obter o resultado com Ɛ = 10-3. Para facilitar o desenvolvimento do método, sugere-se a seguinte planilha, onde: k = número de amostra a = valores de x b = valores de x x = média aritmética f(x) = resultado da equação K a b x f(x) 1 0 1 0,5 -1,375 2 0 0,5 0,25 0,765625 3 0,25 0,5 0,375 -0,32226 4 0,25 0,375 0,3125 0,2180 5 0,3125 0,375 0,34375 -0,05313 6 0,3125 0,34375 0,328125 0,0822 7 0,328125 0,34375 0,335937 0,01447 8 0,335937 0,34375 0,339843 -0,019337 9 0,335937 0,339843 0,337890 -0,002433 10 0,335937 0,337890 0,336914 0,006017 11 0,336914 0,337890 0,337402 0,001792 12 0,337402 0,337890 0,337646 -0,000321 Sendo assim teremos como resposta para esse intervalo: X = 0,337646 Erro encontrado Cálculo Numérico 72 3.3.2 Método da Posição Falsa Neste método a redução do intervalo ocorre por meio da média ponderada entre “a” e “b”, com pesos |f(b)| e |f(a)|, respectivamente. Dessa forma a raiz aproximada fica: . . Exemplo 03: Continuando com a mesma função do exemplo 1 e 2, aplicaremos agora o método da posição falsa para a função f(x) = x³ - 9x + 3, com Ɛ = 10-3. Vamos continuar fazendo para x2 ∈ (0 ; 1) Para solução desse método vamos desenvolver a seguinte tabela, ressalto que a regra dos sinais deve ser respeitada igual ao método anterior. K a b f(a) f(b) x f(x) 1 0 1 3 -5 0,375 - 0,322266 2 0 0,375 3 - 0,322266 0,338624 - 0,008790 2 0 0,338624 3 - 0,008790 0,337635 - 0,000226 Exemplo de aplicação da fórmula: 0 . 5 1 . 3 5 3 Erro encontrado Cálculo Numérico 73 Exemplo da reta a ser traçada: Solução: x = 0,337635 3.3.3 – Método de Newton-Raphson O método consiste em criar uma função de iteração para tornar a convergência mais rápida, a partir de uma aproximação inicial x0 [a , b], obtemos a raiz aproximada através da aplicação do algoritmo: ) ′ ) Exemplo 5: Determinar através do Método de Newton-Raphson a solução para a função: f(x) = x³ - 9x + 3 , com Ɛ = 10-3. Cálculo Numérico 74 Vamos manter o x2 ∈ (0 ; 1), para melhores comparações dos métodos. 1° Passo: Derivar da função Como f(x) = x³ - 9x + 3 , então a derivada será: f ´(x) = 3x² - 9 2° Passo: Determinar os valores de f(x) e f ‘(x) para x = 0,5 f(x) = x³ - 9x + 3 f(0,5) = (0,5)³ - 9(0,5) + 3 → -1,375 f ´(x) = 3x² -9 f ´(0,5) = 3(0,5)² -9 → - 8,25 3°Passo: O novo valor de x pela fórmula será: 0,5 , , → 0,3333333 Em seguida, deve-se repetir o processo com o novo valor de x, até encontrar o erro de 10-3. Cálculo Numérico 75 Observe a tabela a seguir: K x f(x) f’(x) 0 0,5 - 1,375 -8,25 1 0,3333333 0,037037037 -8,666666667 2 0,3376068 0,0000183409 Muito bem, chegamos ao fim desta unidade, agora é hora de refletir um pouco sobre os conhecimentos adquiridos, pois conseguimos determinar soluções para diversas equações polinomiais. É HORA DE SE AVALIAR Lembre-se de realizar as atividades desta unidade de estudo. Elas irão ajudá-lo a fixar o conteúdo, além de proporcionar sua autonomia no processo de ensino-aprendizagem. Erro encontrado Hipótese inicial, recomenda-se sempre a média dos intervalos das raízes Cálculo Numérico 76 Exercícios – Unidade 3 1.Determine os intervalos reais da função: f(x) = √ 5 2. Determine os intervalos reais da função: f(x) = x³ - 2x² - 20x + 30 3.Determine os intervalos reais da função: f(x) = x log (x) – 1 ( Atenção: Não existe logaritmo de número negativo de e zero.) 4.Através do método da bisseção, faça o refinamento da raiz da função: f(x) = x³ - 9x + 3; para x1 ∈ (-4 ; -3) e x3 ∈ (2 ; 3); considere Ɛ = 10-3. Observação: Já fizemos o x2 ∈ (0 ; 1) Cálculo Numérico 77 5.Utilizando o método da bisseção, faça o refinamento da raiz, definida pela função f(x) = x³ - 2x² - 20x + 30, com x∈(-5 ; -4); Ɛ = 10-3. 6.Pelo método da posição falsa determine todasas raízes reis definidas pela função f(x) = x³ - 9x + 3; com Ɛ = 10-3. 7.Determine a raiz da função f(x) = x log (x) -1, com Ɛ = 10-3, através do método da bisseção e da posição falsa, e em seguida faça uma comparação entre os métodos. Cálculo Numérico 78 8.Utilizando o método de Newton-Raphson, determine a raiz da função f(x) = √ 5 , Ɛ = 10-3. 9.Refaça o exercício nº 7, utilizando o método de Newton-Raphson, e compare os três métodos. 10.Pelo método de Newton-Raphson determine todas as raízes reis definidas pela função f(x) = x³ - 2x² - 20x + 30; com Ɛ = 10-3. Cálculo Numérico 79 4 Interpolação Cálculo Numérico 80 Iniciaremos esta unidade trabalhando o conceito de interpolação e suas as aplicações nas diversas ciências, para prosseguirmos nas interpolações polinomiais e de Lagrange. Objetivo da Unidade: Verificar e compreender os meios e mecanismos de aproximação de funções. Plano da Unidade: 4.1 Conceito de interpolação. 4.2 Interpolação Polinomial. 4.3 Interpolação de Lagrange. Bons estudos! Cálculo Numérico 81 Interpolação: Interpolar significa determinar valores intermediários entre valores dados de uma função, onde se admite a construção de novos conjuntos numéricos, a partir de dados ponderados de valores conhecidos. Logo, nas ciências exatas, como a engenharia, a física, a economia, a estatística, a química e outras, temos arranjos (hipóteses ou valores fixos) que através de dados de amostragens ou experimentos, pode-se construir uma função que se aproxime dos dados desejados (dados pontuais), permitindo a continuidade dos cálculos. 4. 1 Interpolação Polinomial Interpolar uma função f(x) consiste em aproximar esta função por outra G(x), que satisfaça algumas propriedades. Sendo assim, podemos interpolar por meio de polinômio de grau menor ou igual. Observe abaixo uma interposição de uma função linear (reta), com uma função do segundo grau (parábola), como exemplo. y x` x P1(x`) P2(x`) P2(x’) é a Parábola → interpola 3 pontos P1(x’) é a Reta → Interpola 2 pontos Cálculo Numérico 82 Representaremos o polinômio Pn(x) por: Pn(x) = a0 + a1x + a2x² + a3x³ + ... + anxn Sendo assim, podemos montar o seguinte sistema linear: a0 + a1x0 + a2x0² + a3x0³ + ... + anx0n = f(x0) a0 + a1x1 + a2x1² + a3x1³ + ... + anx1n = f(x1) a0 + a1x2 + a2x2² + a3x2³ + ... + anx2n = f(x2) a0 + a1xn + a2xn² + a3xn³ + ... + anxnn = f(xn) Por notação matricial temos: V • a = f 1 x0 x0² x0 n 1 x1 x1² x1 n 1 xn xn² xn n a0 a1 an f(x0) f(x1) f(xn) V a f = x Cálculo Numérico 83 A matriz “V” é uma matriz de Vandermonde e, portanto desde que x0, x1, x2, ... , xn sejam pontos distintos, temos det(v) ≠ 0. Portanto, o sistema acima admite solução única. A matriz coluna “a” é a matriz incógnitas e a matriz “f” é a das constantes f(xi) = yi. Existe um único polinômio Pn(x), de grau ≤ n, tal que: Pn(xk) = f(xk) ; k = 0, 1, 2, ... , n Exemplo 01: Sistema linear – Polinômio Interpolador Encontre um polinômio de grau menor que interpole os pontos: Representando, temos: x -1 0 2 f(x) 4 1 -1 P2(x) = a0 + a1x + a2x² V • a = f x -1 0 2 f(x) 4 1 -1 x0 x1 x2 1 x0 x0² 1 x1 x1² 1 x2 x2² a0 a1 a2 f(x0) f(x1) f(x2) V a f = • Cálculo Numérico 84 Fazendo a multiplicação de “V” por “a” (lembrando, linha por coluna – regra de multiplicação de matrizes), teremos: a0 – a1 + a2 = 4 a0 = 1 a0 + 2a1 + 4a2 = -1 Resolvendo esse sistema linear, iremos obter: a0 = 1 a1 = -2,3333 a2 = 0,6667 Desse modo, o Polinômio encontrado será: P2(x) = a0 + a1x + a2x² P2 (x) = 1 – 2,3333x + 0,6667x² Exemplo 02: Dada a função f(x) = x4 + 2x +1, encontre um polinômio interpolador do 2º grau com x0 = -1, x1 = 0 e x2 = 1. Depois verifique se f(1,5) = P2(1,5). 1 -1 -1² 1 0 0² 1 2 2² a0 a1 a2 4 1 -1 V a f = • Cálculo Numérico 85 O primeiro passo para resolução desse exemplo é encontrar os valores de x para a função f(x). f(x) = x4 + 2x +1 x0 = -1 → f(-1) = (-1)4 + 2.(-1) + 1 = 0 x1 = 0 → f(0) = (0)4 + 2.(0) + 1 = 1 x0 = 1 → f(1) = (1)4 + 2.(1) + 1 = 4 Após, determinado os valores de x para f(x), deve-se esboçar a planilha para melhor aplicar a fórmula: V.a = f. x -1 0 1 f(x) 0 1 4 P2(x) = a0 + a1x + a2x² V • a = f x0 x1 x2 1 x0 x0² 1 x1 x1² 1 x2 x2² a0 a1 a2 f(x0) f(x1) f(x2) V a f = • 1 -1 -1² 1 0 0² 1 1 1² a0 a1 a2 0 1 4 V a f = • Cálculo Numérico 86 Fazendo a multiplicação de “V” por “a” (mesmo processo do exemplo1), teremos: a0 – a1 + a2 = 0 a0 = 1 a0 + a1 + a2 = 4 Resolvendo esse sistema linear, você irá obter: a0 = 1 a1 = 2 a2 = 1 1ª Solução: P2(x) = a0 + a1x + a2x² P2 (x) = 1 – 2x + x² 2ª Solução: Verificar se f(1,5) = P2(1,5) f(x) = x4 + 2x +1 x = 1,5 → f(1,5) = (1,5)4 + 2.(1,5) + 1 = 9,0625 P2(x) = 1 + 2x + x² x = 1,5 → P2(1,5) = 1 + 2.(1,5) + (1,5)² = 6,25 Logo, conclui-se que f(x) ≠ P2(x). Cálculo Numérico 87 Suponha agora que deseja o valor de f(x) para a ̅ ∈ [xi ; xi +1] A Interpolação consiste em determinar um polinômio de 1º grau que contenha os pontos A[xi ; G(xi)] e B[xi + a ; f(xi + 1)]. Os triângulos ABD e AEC são semelhantes, logo: ̅ 1 ̅ Sendo assim, temos: ̅ ̅ y xi x F (xi +1) xi +1 ̅ F ( ̅) F (xi) A C D B E Cálculo Numérico 88 Exemplo 03: Considere sen0 0° = 0 e o sen 10°= 0,17365, através da interpolação determine o sen 6,5º. Podemos obter os seguintes dados a para resolução: ̅ = 6,5º xi = 0º → f(xi) = 0 xi+1 = 10º → f(xi+1) = 0,17365 Utilizando a fórmula abaixo, iremos obter o valor interpolado do sen6,5º. ̅ ̅ Substituindo pelos valores obtidos, teremos: 6,5 0 6,5 0 10 0 0,17365 0 6,5 0,11287 Exemplo 04: Considere sen 6º = 0,10453 e o sen 7° = 0,12187, através da interpolação determine o sen 6,5º. Cálculo Numérico 89 ̅ = 6,5º xi = 6º → f(xi) = 0,10453 xi+1 = 7º → f(xi+1) = 0,12187 Utilizando a fórmula: ̅ ̅ Substituindo pelos valores obtidos, teremos: 6,5 0,10453 6,5 6 7 6 0,12187 0,10453 6,5 0,1132 4.2 Interpolação de Lagrange Determinado e conhecido as funções Ln,k, um polinômio interpolado pode ser facilmente determinado, sendo chamado de n-ésimo polinômio interpolador de Lagrange. Logo temos o seguinte polinômio de grau (n): Cálculo Numérico 90 Observe que no numerador, temos os produtos (x-xi), com i≠k, e no denominador os produtos (xk-xi), com i≠k. Sendo assim, a fórmula de Lagrange do Polinômio de Interpolação pode ser descrita da seguinte forma: Exemplo 05: Dada a função f(x) = x3 - 9x +3, encontre um polinômio interpolador do 2º grau com x0 = 0, x1 = 2 e x2 = 3, utilizando o método de Lagrange. Depois verifique se f(1) = P2(1). O primeiro passo para resolução desse exemplo é encontrar os valores de x para a função f(x). f(x) = x3 - 9x +3 x0 = 0 → f(0) = (0)3 – 9 .(0) + 3 = 3 x1 = 2 → f(2) = (2)3 – 9 .(2) + 3 = -7 x0 = 3 → f(3) = (3)3 – 9 .(3) + 3 = 3 Após determinado os valores de x para f(x), deve-se esboçar a planilha para melhor aplicar V.a = f. x -10 1 f(x) 0 1 4 *Note que iniciamos igual ao exemplo 2. x0 x1 x2 Cálculo Numérico 91 Como possuímos três pontos, precisaremos de um polinômio de grau 2, dada pela seguinte função: . . 2 . 3 0 2 . 0 3 ² 5 6 6 . . 0 . 3 2 0 . 2 3 ² 3 2 . . 0 . 2 3 0 . 3 2 ² 2 3 Logo o polinômio interpolador seguirá a seguinte expressão: . . . 3 . ² 5 6 6 7 . ² 3 2 3 . ² 2 3 Resolvendo a expressão, teremos o seguinte polinômio interpolador: 5 ² 15 3 Cálculo Numérico 92 A segunda etapa do exemplo 5 é verificar se f(x) é igual a P2(x), para x igual a 1, para isso iremos utilizar as duas funções. f(x) = x³ - 9x + 3 → f(1) = (1)³ - 9.(1) + 3 = -5 P2(x) = 5x² - 15x + 3 → P2(x) = 5.(1)² - 15.(1) + 3 = -7 Pode-se contatar que f(x) é diferente de P2(x), entretanto os pontos são próximos. É HORA DE SE AVALIAR Lembre-se de realizar as atividades desta unidade de estudo. Elas irão ajudá-lo a fixar o conteúdo, além de proporcionar sua autonomia no processo de ensino-aprendizagem. Cálculo Numérico 93 Exercícios – Unidade 4 1. Considere o sen 45° = 0,7071 e o sen 60º 0,866. Através do método de interpolação, determine o sen0 de 51°. 2. Considere o sen 75° = 0,9659256 e o sen 90º 1. Através do método de interpolação, determine o sen0 de 84°. 3. Dada a função f(x) = x4 + x + 1, encontre um polinômio interpolador do 2º grau com x0 = 1; x1= 0, x2 = -1. Verifique se f(3) = p2(3). 4.Dada a função f(x) = x3 - 2x² - 20x + 30, encontre um polinômio interpolador do 2º grau com x0 = -4, x1 = -2 e x2 = 0, utilizando o método de Lagrange. Depois verifique se f(1) = P2(1). 5.Dada a função f(x) = x3 – 9x + 3, encontre um polinômio interpolador do 2º grau com x0 = –3, x1 = –2 e x2 = 0, utilizando o método de Lagrange. Depois verifique se f(1) = P2(1). 6.A tabela abaixo relaciona o calor específico da água em função da temperatura. Calcule o calor específico da água a uma temperatura de 33ºC. Temperatura (ºC) Calor Específico 20 30 45 55 0,99907 0,99826 0,99849 0,99919 Cálculo Numérico 94 7.Observem a seguinte tabela de capacidade de corrente para condutores de cobre “nu” limitados a índice da variação da temperatura. Através da interpolação polinomial, determine: a) Para uma seção transversal de 10mm², qual será a capacidade operacional para uma temperatura de 15ºC. b) Para uma seção transversal de 25mm², qual será a capacidade operacional para uma temperatura de 42ºC. c) Para uma seção transversal de 70mm², qual será a capacidade operacional para uma temperatura de 34ºC. d) Considerando a temperatura de 30ºC, qual seria a capacidade operacional de uma seção transversal de 30mm². e) Considerando a temperatura de 45ºC, qual seria a capacidade operacional de uma seção transversal de 60mm². 8.Dada a função f(x) = 2x² – 3x, encontre um polinômio interpolador do 2º grau com x0 = –10; x1= –1, x2 = 0. Verifique se f(0) = P2(0). Cálculo Numérico 95 5 Resolução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias Cálculo Numérico 96 Nesta unidade, vamos estudar como resolver Equações diferenciais ordinárias utilizando métodos interativos, ou seja, métodos similares aos que aprendemos para resolver sistemas lineares. No entanto, inicialmente, vamos definir e exemplificar as equações diferenciais ordinárias e apresentar como podemos resolvê-las através dos métodos tradicionais. Após compreender algumas destas resoluções, iremos finalizar a Unidade apresentando os métodos interativos de resolução. Vale ressaltar que não iremos nos aprofundar no conceito de equações diferenciais, apenas nos restringiremos aos conceitos que são importantes para a compreensão do Método Runge – Kutta. A ideia de revisar os conceitos de equações diferenciais é que vocês compreendam a importância do método. Objetivo da unidade: Revisar os conceitos de equações diferenciais Plano da unidade: Equações diferenciais ordinárias Métodos Runge-Kutta Bons estudos! Cálculo Numérico 97 Equações Diferenciais ordinárias: Equações diferenciais são equações que apresentam derivadas ou diferenciais de uma função desconhecida em seus termos. As derivadas ou diferenciais serão as incógnitas desta equação. Para entender melhor este conceito considere y uma função de x, e n um inteiro positivo, então uma relação de igualdade que envolva x, y, y', y'', ...,y(n) é chamada uma equação diferencial de ordem n. Logo, podemos perceber que a ordem de uma equação diferencial é dada pela ordem da derivada de mais alta ordem da função incógnita que aparece na equação. E, o grau de uma equação depende do maior expoente da variável. Observe: Equação Ordem Grau y’ = 5x ou y(1)=5x 1 1 y’’ + x2 (y’)3 – 40y = 0 ou y(2) + x2 (y’)3 – 40y = 0 2 3 (y’")³+2y'+5y = cos(x) 3 3 Tipos de equações: As equações diferenciais são divididas em dois tipos: a) Equação diferencial ordinária (EDO): São equações que envolvem apenas funções de uma variável e derivadas daquela mesma variável. b) Equação diferencial parcial (EDP): São as equações que contém funções com mais do que uma variável e suas derivadas parciais. Exemplo 01: 2 Cálculo Numérico 98 Resolução de uma equação diferencial: A solução de uma equação diferencial é uma função que contém derivadas e diferenciais e que satisfaz a equação dada. Em outras palavras podemos dizer que, é a função que, substituída na equação dada, transforma-a em uma identidade. As soluções de uma equação diferencial se classificam em: Solução geral apresenta n constantes independentes entre si (n = ordem da EDO). Essas constantes, de acordo com a conveniência, podem ser escritas C, 2C, C2, lnC, Solução Particular é solução obtida a partir da solução geral, mediante condições dadas (chamadas condições iniciais ou condições de contorno). Importante: É importante ressaltar que podemos escrever y’ de diferentes formas. Considere a função y = f (x), chamaremos a sua derivada )(' xf dx dy . Exemplo 02: − Vamos resolver a equação diferencial ordinária: = 5x2 − 3x + 8. Solução: Vamos começar organizando a variável y no primeiro membro e as variáveis x no segundo membro. dy = (5x2 - 3x + 8) dx Cálculo Numérico 99 Em seguida, vamos integrar cada um dos termos da equação dada, observe: = 5 3x 8 dx dy 5 3 8 Ao resolver as integrais, vamos encontrar a solução geral da equação diferencial. y = + 8x + C Solução geral. Podemos obter uma solução particular para esta equação. Neste caso, vamos considerar y(1) = 4, como condição inicial, e substituir esses valores na equação geral para encontrar a constante C, observe: y(x) = + 8x + C y(1) = . . + 8 . 1 + C 4 = . . + 8 + C 4 = + 8 + C 24 = 10 9 + 48 + C C = 24 – 49 C = − 25 Cálculo Numérico 100 Sendo assim, temos que uma solução particular seria: y = Importante Se derivarmos a solução geral ou a solução particular, encontraremos a equação diferencial dada inicialmente. Conhecendo uma solução particular podemos verificar se esta função é solução de uma equação diferencial dada, observe: Y’’ + 5y’ – 14 y = 0. Note que: y1(x) = e −7x e y2(x) = e2x são soluções da equação. Observe que calculando as derivadas de 1º e 2º ordem teremos: y1 ‘ = −7 e −7x e y2’= 2 e2x y1 ´’ = 49 e −7x e y2’’ = 4 e2x Substituindo as derivadas na equação diferencial ordinária podemos verificar
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