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Integrais de 
Funções de uma 
ou mais Variáveis
Universidade do Sul de Santa Catarina
1
UnisulVirtual
Palhoça, 2016
Universidade do Sul de Santa Catarina
Integrais de 
Funções de uma 
ou mais Variáveis
2
Créditos
Universidade do Sul de Santa Catarina – Unisul
Reitor
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Vice-Reitor
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Campus Universitário UnisulVirtual
Diretor
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Unidade de Articulação Acadêmica (UnA) – Ciências Sociais, Direito, Negócios e 
Serviços
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Unidade de Articulação Acadêmica (UnA) – Produção, Construção e Agroindústria
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Unidade de Articulação Acadêmica (UnA) – Saúde e Bem-estar Social
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Gerente de Operações e Serviços Acadêmicos 
Moacir Heerdt
Gerente de Ensino, Pesquisa e Extensão
Roberto Iunskovski
Gerente de Desenho, Desenvolvimento e Produção de Recursos Didáticos 
Márcia Loch
Gerente de Prospecção Mercadológica 
Eliza Bianchini Dallanhol
3
Livro didático
UnisulVirtual
Palhoça, 2016
1ª edição revista e atualizada
Designer instrucional
Rafael da Cunha Lara
Integrais de 
Funções de uma 
ou mais Variáveis
Diva Marília Flemming
4
Livro Didático
Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Universitária da Unisul
Copyright © 
UnisulVirtual 2016
Professor conteudista
Diva Marília Flemming
Designer instrucional
Rafael da Cunha Lara
Assistente acadêmica
Ester Konig da Silva (1ª ed. rev. atual.)
Projeto gráfico e capa
Equipe UnisulVirtual
Diagramador(a)
Fernanda Fernandes
Revisor(a)
Rafael da Cunha Lara
ISBN
978-85-7817-630-3
Nenhuma parte desta publicação pode ser reproduzida por 
qualquer meio sem a prévia autorização desta instituição.
F62
Flemming, Diva Marília
Integrais de funções de uma ou mais variáveis : livro didático / Diva 
Marília Flemming ; design instrucional Rafael da Cunha Lara ; assistente 
acadêmica [Ester Konig da Silva]. – 1. ed. rev. e atual . – Palhoça : 
UnisulVirtual, 2016.
178 p. : il. ; 28 cm.
Inclui bibliografia.
1. Cálculo. 2. Cálculo diferencial. 3. Cálculo integral. I. Lara, Rafael da 
Cunha. II. Silva, Ester Konig da. III. Título.
CDD (21. ed.) 515
5
Sumário
Introdução | 7
Capítulo 1
Cálculo Diferencial e Integral | 9
Capítulo 2
Integral Definida | 55
Capítulo 3
Noções iniciais das integrais múltiplas | 85
Capítulo 4
Aplicações usuais das integrais | 125
Considerações Finais | 171
Referências | 173
Sobre o Professor Conteudista | 175
Anexos | 177
6
7
Introdução
Prezados estudantes
No decorrer deste livro, você terá a oportunidade de vivenciar conceitos e 
métodos do Cálculo Diferencial e Integral. Mais especificamente, você terá a 
oportunidade de analisar os métodos de integração e as suas aplicações mais 
usuais em espaços com duas ou três dimensões. 
Trata-se de um texto inovador, para que você possa apreciar o significado do 
cálculo não só no contexto das áreas exatas e engenharias, mas em outras 
situações práticas, como na explicação do movimento dos planetas em torno 
do sol, na predição do tamanho de uma população, na previsão do tempo, na 
medida do fluxo sanguíneo que sai do coração, na economia etc.
Nos estudos propostos neste livro, as situações práticas surgem modeladas; 
e para a compreensão dos resultados, os objetos do cálculo serão discutidos, 
justificando-se a própria denotação “diferencial” e “integral”.
Elementos da História da Matemática nos ajudam nos alicerces conceituais; 
e também a tecnologia, quando bem aplicada, nos ajuda nos momentos 
consideradas “braçais”, ou seja, nos momentos em que as técnicas e os longos 
algebrismos nos levam à uma rotina em que os métodos se sobrepõem ao 
raciocínio e a lógica.
Lembre-se de que, para compreender o cálculo em suas manobras algébricas, é 
preciso usar a intuição que nos leva de um ponto a um plano, ou ao espaço, tanto 
no tempo presente quanto no tempo infinito.
No primeiro capítulo, vamos apresentar o Cálculo Diferencial e Integral com esse 
novo olhar, que nos mostra uma base conceitual abrangente e importante no 
contexto bidimensional e tridimensional. Ainda neste capítulo, vamos ter os conceitos 
que mostram o processo de integração como um processo inverso da derivação.
No segundo capítulo, vamos olhar para as integrais como uma efetiva 
modelagem de problemas práticos. Neste texto, vamos fazer referência apenas 
aos mais usuais e posteriormente em certificações mais avançadas você terá 
a oportunidade de ampliar o olhar para muitas outras aplicações. É importante 
lembrar que estamos sempre trabalhando com uma ou mais dimensões.
8
No terceiro capítulo, vamos fazer a viagem que nos levará até a definição formal 
das integrais múltiplas. A partir da definição das integrais duplas e triplas, vamos 
poder trabalhar com aplicações que envolvem mais dimensões, como por 
exemplo, a discussão de propriedades de objetos que estão no espaço.
Finalmente, no quarto capítulo, completamos nosso estudo com a discussão 
de diferentes problemas práticos, cuja resolução requer o uso das derivadas e 
integrais.
No decorrer das seções desse livro, apresentamos uma relação de atividades 
formativas para autoavaliação do seu processo de aprendizagem. Para que 
você possa efetivar a sua autoavaliação, essas atividades estarão disponíveis 
em uma mídia digital, onde os recursos gráficos e tecnológicos são amplamente 
explorados. 
Os quadros e gráficos no decorrer do livro foram elaborados pela autora. 
Bons estudos!
Profa. Diva Marília Flemming
9
Habilidades
Seções de estudo
Capítulo 1
Cálculo Diferencial e Integral
Seção 1: Aspectos iniciais do estudo das integrais
Seção 2: Integração por substituição
Seção 3: Integração por partes
Seção 4: Integração por frações parciais
Seção 5: Exemplos e revisão
No decorrer deste capítulo, o estudante irá 
desenvolver habilidades para identificar um 
método adequado ao processo de integração. 
Para tal deverá calcular previamente as primitivas 
das funções elementares, aplicar substituições 
e simplificações convenientes no contexto dos 
métodos de: substituição, integração por partes e 
decomposição em frações parciais.
10
Capítulo 1 
Seção 1
Aspectos iniciais do estudo das Integrais
Há 2000 anos atrás já existia uma motivação para a descoberta do cálculo. 
Eudoxo e Arquimedes já descreviam métodos para trabalhar com o cálculo 
de áreas e volumes de figuras e sólidos irregulares. Apesar de ser uma ideia 
interessante, havia muitas incertezas sobre o infinito que hoje discutimos no 
contexto de Limites de Funções de uma ou mais variáveis.
Rooney (2012) analisa a história do cálculo e pontua que somente no século 
XVII, surgiu um método sistematizado para lidar com essas incertezas. Dois 
grandes matemáticos, o inglês Isaac Newton e o alemão Gottfried Leibniz, 
simultaneamente, descobriram um método para calcular a tangente de uma curva 
em um ponto específico, sendo dada somente a equação que define a curva. 
Newton (1643–1727), sistematicamente não publicava suas descobertas relativas 
ao cálculo e Leibniz (1646–1716) publicou primeiro seus estudos no contexto 
do Cálculo. As lutas sobre quem foi o pioneiro geraram muitas crises e muitas 
páginas na História da Matemática. 
Como Leibniz apresentou uma notação utilizável, ele chegou à frente, assim 
suas considerações foram se desenvolvendo rapidamente, obscurecendo as 
aplicações da geometria que foram o grande interesse do Newton.
Essa história tem muitas implicações na forma comodiscutimos o cálculo 
diferencial e integral nos dias de hoje. Ainda temos a polêmica, se devemos iniciar 
o estudo do cálculo integral com a definição da integral definida, com o cálculo 
de áreas, ou se vamos discutir o cálculo com os seus métodos algébricos.
Quando projetamos o presente texto, contextualizado com uma sequência de textos 
didáticos, a proposta era mostrar o Cálculo com suas aplicações e implicações 
interdisciplinares. Como o presente documento ainda está em um formato linear, 
o presente livro foi redimensionado, mas, estamos rompendo com a barreira da 
dimensão, pois já estamos envolvendo aplicações geométricas definidas no plano 
(cálculo de áreas) e com o mesmo raciocínio já estamos introduzindo as aplicações 
geométricas com sólidos no espaço (cálculo de volumes).
Assim, neste capítulo, vamos lidar com o método, sem envolver algebrismos mais 
complexos, apenas para instrumentalizar os capítulos seguintes.
11
Integrais de Funções de uma ou mais Variáveis 
1.1 Primitiva e integrais indefinidas
Para introduzir a integral indefinida é importante que tenhamos sempre em mente 
que estamos diante de um procedimento matemático que lembra uma operação 
inversa ao processo de derivação.
Vamos relembrar: subtração é uma operação inversa da adição; divisão é uma 
operação inversa da multiplicação, etc. Agora vamos dizer que integração é um 
procedimento inverso à derivação. Observe os exemplos no Quadro 1.
Quadro 1 – Exemplos de Primitiva
Derivada
 
Função (Observar que C é uma constante arbitrária)
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: Elaboração da autora (2014).
Tente responder as seguintes perguntas simplesmente observando os dados do 
Quadro 1.
• Qual é a função cuja derivada é ? 
• Qual é a função cuja derivada é ? 
• Qual é a função cuja derivada é ? 
• Qual é a função cuja derivada é ? 
• Qual é a função cuja derivada é ?
Percebemos que basta olhar o Quadro 1 para verificar que a resposta não é única. 
Por exemplo, você tem as funções ; ; com 
derivadas exatamente iguais à .
12
Capítulo 1 
Observe que C é uma constante arbitrária e, portanto, podemos dar infinitas 
respostas para as perguntas formuladas.
Estamos prontos para definir Primitiva de uma função ou Antiderivada de uma 
função.
Definição 1: Uma função é uma Primitiva ou Antiderivada de 
num intervalo I se para todo .
Assim, no Quadro 1, as funções da segunda, terceira e quarta coluna são 
Primitivas ou Antiderivadas com valores específicos para a constante e na última 
coluna temos a Primitiva com a constante C genérica, podendo assumir de forma 
particular qualquer valor.
1.1.1 Exemplos
(1) Seja . Mostre que é uma Primitiva de 
.
Para desenvolver este exemplo, basta fazer a derivada da função e constatar 
que o resultado é exatamente igual a . Veja:
 
(2) Seja a função . Usando a definição de primitiva encontre a função 
 tal que seja a sua primitiva. Observe que C é uma constante arbitrária e 
como a sua derivada é nula, ela não determina modificações na função . 
Desenvolva uma representação gráfica simulando valores para C e discuta as 
características gráficas no contexto do estudo das primitivas de uma função.
Para encontrar a função tal que seja a sua primitiva, basta fazer 
a derivada:
 
13
Integrais de Funções de uma ou mais Variáveis 
Portanto, encontramos uma função constante, ou seja, .
Observe a representação gráfica da Figura 1.1 que mostra diversas funções 
estabelecidas a partir de , variando-se valores para a constante C.
Veja que estamos usando letra maiúscula na função Primitiva para 
diferenciar da função dada, ou .
Figura 1.1 – Função para diferentes valores de C
-2 -1 1 2 3
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
y = 2x – 1
y = 2x + 4
y = 2x + 1
y = 2x + 2
y = 2x + 3
y = 2x – 2
y = 2x – 3
y = 2x
Estamos diante de uma família de funções que atende a característica de ter 
como derivada a função constante . Isto nos lembra de que realmente 
temos infinitas retas cuja declividade é igual a 2.
É possível constatar que o cálculo da Primitiva de uma função sempre vai levar a 
uma família de curvas.
14
Capítulo 1 
1.1.2 Proposição
Se é a primitiva de , então se é uma constante qualquer, a função 
 também é primitiva de .
Veja como é simples provar esta proposição!
Como é a primitiva de , é possível dizer que .
Desta forma:
, ou seja, é uma primitiva de .
Perceba que estamos diante de um novo processo no contexto da matemática. 
Trata-se do processo para determinar todas as primitivas de uma função que será 
denominado de Integração. Ao analisar a próxima definição, vamos observar o 
uso de uma simbologia própria para esse processo em discussão.
Definição 2: Se é uma primitiva de , a expressão 
é chamada Integral Indefinida da função e é denotada por 
.
Veja os significados das notações usadas:
 • O símbolo é chamado sinal de integração;
 • é a função integrando;
 • é o integrando.
O símbolo que aparece no integrando serve simplesmente para identificar a 
variável de integração.
Antes de seguir em frente vamos lembrar que o cálculo integral se originou com 
problemas de:
 • Quadratura – encontrar o valor exato da área de uma região 
bidimensional cuja fronteira consiste de uma ou mais curvas, ou de 
uma superfície tridimensional, cuja fronteira consiste de pelo menos 
uma superfície curva;
 • Cubatura – determinar o volume exato de um sólido tridimensional 
limitado, pelo menos em parte, por superfícies curvas. 
15
Integrais de Funções de uma ou mais Variáveis 
O uso do termo quadratura não mudou muito: matemáticos, cientistas 
e engenheiros comumente dizem que “reduziram um problema a uma 
quadratura”, o que significa que tinham um problema complicado, o 
simplificaram de várias maneiras e agora o problema pode ser resolvido 
avaliando uma integral.
1.1.3 Calculo da integral de uma função
Já trabalhamos com uma tabela com as regras de derivação (Ver tabela disponível 
no Anexo), dessa forma, é possível imaginar que podemos olhar a tabela em 
ordem contrária, isto é, olhar o resultado da derivada para achar a função. 
Podemos inclusive formar uma nova tabela denominada Tabela das Integrais 
Imediatas ou Regras de Integração. 
De imediato, verificamos que vai ser preciso obter caminhos diferentes para as funções 
que não estão contempladas na tabela. A formalização desses caminhos conduz à 
discussão inicial de propriedades da integral indefinida e métodos de integração.
Propriedades: Sejam e duas funções definidas em um conjunto I e K 
uma constante. Então:
1. 
2. – – .
Observe que com essas duas propriedades, podemos garantir que a integral de 
uma constante multiplicada por uma função é igual a constante multiplicada pela 
integral da função. Também, vale que a integral de uma soma ou diferença de 
funções é igual a soma ou diferença das integrais.
Para que possamos usar essas propriedades em diversos exemplos, vamos 
começar a utilizar a Tabela das Integrais Imediatas que é a tabela das derivadas 
visualizadas da direita para a esquerda. Esta tabela está disponível ao final deste 
livro didático, no Anexo. Tenha a tabela em mãos para acompanhar os exemplos 
apresentados.
16
Capítulo 1 
1.1.4 Exemplos
Calcule as integrais indefinidas usando as propriedades e a tabela das integrais 
imediatas. Observe que em todos os exemplos iniciais, ao usar a tabela estamos 
considerando que e . Assim, a variável de integração é . Verifique o 
desenvolvimento a seguir de cada exemplo, acompanhando, as propriedades e 
integrais imediatas utilizadas.
(a) Calcule a integral .
Observe que estamos diante de uma soma, portanto, vamos aplicar a 
propriedade 2 considerando que a integral de uma soma e a soma das integrais.
 
Para resolver as integrais vamos olhar a Tabela das Integrais e aplicar a 
expressão (3) usando m igual a 2, 1 e 0, respectivamente, para resolver cada 
uma das integrais, lembre-se que na última integral podemos pensar que 
. Assim,
 
Como as constantes são arbitráriaspodemos fazer e então temos 
a solução final simplificada:
.
(b) Calcule a integral .
 
Neste caso usamos a propriedade 1 e a constante multiplica a integral. 
Informalmente, podemos dizer que a constante “saiu para fora” da integral. 
17
Integrais de Funções de uma ou mais Variáveis 
(c) Calcule .
 
Observe que usamos as duas propriedades na primeira linha da resolução; 
aplicamos os resultados da tabela para cada uma das integrais da soma e 
finalmente simplificamos o resultado final.
(d) Calcule .
Observe neste exemplo, que na tabela não temos diretamente a integral de uma 
raiz, mas podemos reescrever a raiz com uma potência, ou seja, .
 
(e) Calcule .
Neste caso vamos usar a propriedade 2 e a regra de integração (3). Procure 
sempre ter a Tabela de Integração visível para facilitar a identificação da regra de 
integração que deverá ser aplicada.
 
(f) Calcule . 
O resultado desta integral está diretamente explícito na regra (5). Observe que 
esta é uma função especial pois a integral indefinida é a própria função podendo 
diferir apenas na constante de integração. Portanto, .
18
Capítulo 1 
(g) Calcule .
Vamos usar a propriedade 1 e a regra de integração (2).
.
Observe o uso do módulo na resposta final, pois a função logarítmica não existe 
para valores negativos no campo dos reais.
(h) Calcule .
Neste exemplo vamos usar a propriedade 1 e a regra de integração (7):
.
(i) Calcule .
Para este exemplo vamos usar as relações trigonométricas e 
 para simplificar a expressão e a regra de integração (14):
.
(j) Calcule .
Verifique que neste exemplo a variável de integração é t, mas isso não altera o 
processo, apenas estamos representando a variável por outra letra.
Observe o uso das duas propriedades e das regras de integração (1), (2) e (3).
 
19
Integrais de Funções de uma ou mais Variáveis 
1.2 Atividades de autoavaliação 
Lembre-se que é de grande importância que você calcule as integrais abaixo para 
verificar o domínio do uso das propriedades e da Tabela das Integrais para fazer 
os cálculos. 
Não siga em frente sem calcular as seguintes integrais:
a) b) 
c) d) 
Seção 2
Integração por substituição
Após ter estudado a definição de integral indefinida, você agora já deve ter 
exercitado o cálculo de integrais usando diretamente a tabela de integrais. Assim, 
talvez já tenha percebido que a tabela não esgota as possibilidades de funções a 
serem calculadas. Sendo assim, você pode se perguntar:
Como vou calcular a integral de funções que não estão diretamente na 
tabela?
É possível determinar a integral de uma dada função, aplicando uma das regras 
de integração discutidas na seção anterior depois de ser feita uma mudança de 
variável. Este processo é análogo à regra da cadeia para derivação. Na prática, 
precisamos escolher uma função conveniente, de tal forma que a integral 
obtida seja mais simples. 
Os exemplos que seguem ilustram esse método de integração, destacando-se 
sempre quatro passos fundamentais:
1. Substituir a variável por meio de uma escolha conveniente.
2. Fazer as simplificações possíveis, podendo ocorrer a aplicação das 
propriedades.
3. Identificar e aplicar a regra de integração.
4. Retornar à variável original.
20
Capítulo 1 
2.1 Exemplos
(a) Calcule .
Para este exemplo a escolha conveniente é 
 
.
Lembre que du é a diferencial de u, portanto é a derivada da função u(x) 
vezes dx. Este resultado pode não estar explícito na integral dada.
Observe que não se têm regras maceteadas para identificar a substituição 
conveniente. Mas a ideia é escolher uma relação em que, após a substituição e 
simplificação, a integral fique perfeitamente identificável com uma ou mais regras 
de integração.
Nesse exemplo, está bem visível a substituição:
 
Vamos fazer a substituição, observe que vamos ter agora uma integral na variável 
u para ser identificada com uma regra na tabela:
 
Vamos então usar a propriedade e a regra (3):
 
Observe que este não é o resultado final, pois vamos precisar ter uma resposta 
na variável x, usando a substituição inicial de que , temos:
 
21
Integrais de Funções de uma ou mais Variáveis 
(b) Calcule 
Fazendo , então . Portanto, 
 
(c) Calcule 
Podemos reescrever a integral como . Assim, podemos fazer 
, e ou . 
Fazendo as substituições, aplicando a regra (3) e simplificando obtemos:
 
22
Capítulo 1 
(d) Calcule 
Fazendo , então, ou . Portanto,
 
(e) Calcule 
Fazendo , então ou . Portanto,
.
Simplificando, aplicando a regra (5) e voltando para a variável x, temos:
 
(f) Calcule 
Fazendo , então .
Portanto, . Usando a regra (3) e voltando à variável x, temos:
 
23
Integrais de Funções de uma ou mais Variáveis 
(g) Calcule 
Aplicando inicialmente a propriedade 2 temos:
 
Observe que na 1ª integral é necessário usar o método da substituição, mas a 
segunda integral é obtida diretamente das regras de integração. Vamos então 
resolver separadamente a primeira integral usando a substituição: e 
 ou . Assim, ou
 
A resolução da segunda integral é direta da tabela: .
Podemos agora finalizar reunindo os dois resultados:
 
Lembre-se da simplificação das constantes de integração 
(h) Calcule .
Para resolver esta integral será necessário completar o 
quadrado do polinômio do denominador da fração:
 
Portanto, a integral pode ser escrita da seguinte forma:
. Vamos fazer a escolha: , 
então . Temos:
.
Observe que os 
algebrismos de 
completar o quadrado 
do polinômio 
para aplicar o 
produto notável 
 é 
um mecanismo muito 
utilizado no decorrer 
do Cálculo Diferencial e 
Integral.
24
Capítulo 1 
Com essa escolha conseguimos usar a regra (17), sendo que . Assim, 
 
2.2 Atividades de autoavaliação 
Calcule as seguintes integrais usando o método da substituição.
a) b) 
c) d) 
e) f) 
g) h) 
i) j) 
Seção 3
Integração por partes
Outro método de integração muito usado é o Método de Integração por Partes. 
Em geral, a função do integrando pode ser visualizada como um produto de 
funções, ou seja, .
Sejam e duas funções deriváveis em um intervalo I.
Considere a seguinte expressão 
.
25
Integrais de Funções de uma ou mais Variáveis 
Observe o uso da regra de derivada de um produto.
A expressão anterior pode ser reescrita como:
.
Integrando ambos os lados da igualdade você obterá:
.
Lembrando que derivação e integração são procedimentos operatórios inversos, 
podemos reescrever a última relação:
 
Para visualizar melhor a expressão anterior, usamos:
 
Assim, a fórmula para aplicarmos no método de integração por partes fica:
 
Vamos aplicar essa fórmula em exemplos. Observe que não devemos aplicar 
esta fórmula em casos simples que podem ser resolvidos por substituição, pois 
podemos criar situações complicadas de forma indiscriminada.
3.1 Exemplos
Calcule as integrais dadas usando o método de integração por partes:
(a) 
Observe que a escolha de u e v deve ser feita de modo que as integrais obtidas 
possam ser resolvidas.
Neste exemplo,
 
Neste momento a constante de integração, pode ser deixada de lado sem perda 
de generalidade.
26
Capítulo 1 
Aplicando a fórmula temos:
 
 ou 
 
Resolvendo por substituição a integral final , vamos obter que 
. Voltamos na expressão da fórmula para dar a resposta final.
 
(b) 
Vamos considerar:
 
Aplicando a fórmula de integração por partes:
 
A integral da função logarítmica é muito usada. É usual visualizá-la como uma 
regra de integração:
.
27
Integrais de Funções de uma ou mais Variáveis 
(c) 
A escolha de e é feita como nos exemplos anteriores, de modo que as 
integrais possam ser resolvidas:
 
Substituindo na fórmula de integração por partes:
 
Simplificando e resolvendo a segunda integral do lado direito temos:
 
(d) 
Para resolver esta integral é muito comum, num primeiro momento, escolhermos 
 e . No entanto, para calcular 
teremos dificuldade, vistoque esta integral não pode ser 
resolvida com métodos algébricos.
Para a resolução da integral dada vamos fazer uma 
escolha inicial adequada. Veja:
 
Os métodos algébricos 
usam técnicas da 
álgebra nas operações 
realizadas. A integral 
 não admite 
primitiva e dessa forma 
não podemos aplicar 
métodos algébricos. O 
resultado dessa integral 
pode ser obtido por 
métodos numéricos, 
que não serão 
discutidos neste texto.
28
Capítulo 1 
Para resolver a integral que determina o valor de v, usamos o método da 
substituição. 
 
Portanto,
 
Retornando à substituição inicial para resolver 
 
Assim, 
Observe que a integral já foi resolvida pelo método de substituição, 
portanto basta completar com a solução final:
 
(e) 
Na resolução dessa integral, além de aplicar duas vezes a fórmula da integração por 
partes, usaremos um artifício para o cálculo final. Então acompanhe a resolução:
 
Aplicando a fórmula de integração por partes temos:
 
Vamos aplicar novamente
a integral por partes
 
29
Integrais de Funções de uma ou mais Variáveis 
Resolvendo a integral por partes temos:
 
Aplicando a fórmula de integração por partes temos:
 
Substituindo este resultado na integral inicial:
 
Observe que a integral do lado direito da equação é igual à integral que queremos 
calcular. Assim, para finalizar basta fazer algebrismos. Veja:
 
3.2 Atividades de autoavaliação 
Calcule as seguintes integrais usando o método de integração por partes:
a) b) 
c) d) 
30
Capítulo 1 
Seção 4
Integração por frações parciais
Este método é aplicável quando temos a integral de uma função racional, ou seja, 
. Lembrando que em alguns casos específicos a solução é obtida mais 
rapidamente usando o método da substituição. Observe as integrais:
(1) (2) .
Em um olhar rápido podemos pensar que a resolução é feita pelo mesmo método 
em função da similaridade das funções, entretanto a primeira é resolvida por 
integração por frações parciais e a segunda pelo método da substituição.
Vai ser necessário usar vários recursos da álgebra que vamos revisar no primeiro 
item dessa seção.
4.1 Frações Parciais
Algumas expressões algébricas racionais podem ser reescritas como uma soma 
de frações parciais. Por exemplo, 
.
De fato, fazendo a operação indicada temos a equivalência algébrica:
 
Perceba que ao substituir uma expressão algébrica por uma soma de frações 
parciais, no contexto da resolução das integrais, estamos visualizando integrais 
com resolução imediata a partir da tabela. Por exemplo:
 
31
Integrais de Funções de uma ou mais Variáveis 
A álgebra nos permite encontrar essas frações parciais e o passo inicial é fazer a 
fatoração de denominador Q(x), lembrando que podemos em alguns casos ficar 
diante de um termo irredutível, ou seja, não fatorável no campo dos números 
reais. Cabe aqui destacar uma importante proposição:
Se Q(x) é um polinômio com coeficientes reais, Q(x) pode ser expresso 
como um produto de fatores lineares e/ou quadráticos, todos com 
coeficientes reais.
Para fazermos a decomposição de uma fração racional em frações mais 
simples analisamos inicialmente as raízes do denominador para que possamos 
fazer a fatoração desta expressão. Os fatores de Q(x) podem ser:
1. lineares e distintos;
2. lineares e alguns deles se repetem;
3. lineares e quadráticos irredutíveis, sendo que os fatores quadráticos 
não se repetem;
4. lineares e quadráticos irredutíveis, sendo que alguns dos fatores 
quadráticos se repetem.
Observe que a cada exemplo, antes de resolver a integral, é preciso determinar 
as frações parciais. Nas seções que seguem vamos explorar cada um dos quatro 
casos citados.
4.2 Aplicação do método das frações parciais
Para facilitar o processo vamos sempre considerar que o coeficiente do termo de 
maior grau do polinômio Q(x) é 1. Se isso não ocorrer, dividimos o numerador e o 
denominador da função racional f(x) por este coeficiente.
Vamos supor também que o grau do polinômio P(x) é sempre menor que o grau 
de Q(x), caso contrário, efetuamos a divisão de P(x) por Q(x) antes de dar início 
ao processo.
32
Capítulo 1 
4.2.1 Os fatores de Q(x) são lineares e distintos.
Suponha que , ,..., e são raízes reais e distintas de Q(x), assim podemos 
escrever . Portanto a decomposição de 
em frações parciais mais simples é dada por:
.
sendo que , ,..., , são constantes a determinar.
Exemplos:
(a) Calcular a integral .
Vamos inicialmente verificar duas questões:
O grau do polinômio de numerador é menor que o grau do polinômio do 
denominador? 
O coeficiente do termo de maior grau do denominador é igual a 1?
Para a fração da integral dada a nossa resposta é “sim” para ambas as questões. 
Dessa forma podemos já iniciar a fatoração do polinômio Q(x).
Para fazer a fatoração vamos investigar as raízes de . Para tal 
podemos usar Bhaskara ou outro método para encontrar as raízes 2 e –5, que 
neste caso são reais e distintas. 
Assim, podemos dizer que: .
A fração pode ser reescrita como:
 
Vamos agora montar as frações parciais como mostra o início desta subseção:
. Fazendo a adição das frações 
parciais temos:
Estamos usando o 
símbolo de equivalência 
ao invés de igual, pois 
este formalismo vai 
auxiliar na identificação 
das constantes A e B.
33
Integrais de Funções de uma ou mais Variáveis 
Eliminando os denominadores, podemos agora escrever:
.
Dessa equivalência podemos obter um sistema de equação cuja solução são os 
valores para as constantes A e B. Veja:
 
Comparando os termos vem:
 
 
Resolvendo o sistema por qualquer um dos métodos existentes vamos obter:
 
Dessa forma a decomposição nas frações parciais fica:
.
Agora vamos finalizar resolvendo a integral dada:
 
(b) Calcular 
Note que o coeficiente do termo de maior grau do denominador é igual 
a 1, portanto não há necessidade de aplicar algebrismos no polinômio do 
denominador.
34
Capítulo 1 
Seja , necessitamos encontrar as três raízes. Uma maneira 
prática de encontrar pelo menos uma raiz, é tomar os divisores do termo 
independente, que neste caso é –4. Seus divisores são , . É bem provável 
que uma das raízes esteja entre esses números. Aqui percebemos facilmente 
que é uma raiz. Para encontrar as outras raízes podemos reduzir o grau do 
polinômio, usando o método de Briott-Rufini, que é um processo prático usado 
na divisão de polinômios. Proceda da seguinte maneira:
Quadro 2 – Método de Rufini
Coloque a raiz encontrada e os coeficientes do 
polinômio com a disposição ao lado.
1 1 –4 –4
Observe a colocação da raiz já conhecida
1 1 –4 –4
–1
Baixe o primeiro coeficiente (1), multiplique pela raiz 
(1 x (–1) = –1) e some com o próximo coeficiente 
(–1 + 1 = 0). Observe a colocação do resultado no 
dispositivo. 
1 1 –4 –4
–1 –1
1 0
Proceda de maneira análoga com o próximo valor: 
(0 x (–1)) = 0 e 0 + (–4) = –4.
1 1 –4 –4
–1 –1 0
1 0 –4
Continue com este processo até o último coeficiente
1 1 –4 –4
–1 –1 0 4
1 0 –4 0
Observe que o valor zero ao final do dispositivo nos mostra que a divisão do 
polinômio por (x + 1) é exata.
Os coeficientes que restaram no final, 1, 0 e –4, são os coeficientes do polinômio 
com um grau menor que o original. Como nosso polinômio tem o grau 3, o 
polinômio resultante tem o grau imediatamente menor, ou seja grau 2: , 
ou seja . Assim nosso polinômio foi decomposto:
 
35
Integrais de Funções de uma ou mais Variáveis 
Agora fica fácil de encontrar as duas outras raízes, , se e somente se, 
 . Assim:
 
Portanto encontramos os fatores lineares para o cálculo da integral em frações 
parciais. Deste modo, temos:
. 
Vamos agora encontrar os valores de A, B e C. Temos:
 
Ou seja,
 
Podemos montar o sistema para resolver, entretanto como a expressão é válida 
para qualquer valor de x podemos usar a seguinte técnica para obter os valores 
das constantes A, B e C.
Basta aplicar os valores das raízes na expressão. Veja:
 • Para , então ;
 • Para ,então ;
 • Para , então .
Finalizando o cálculo da integral:
 
 
.
36
Capítulo 1 
4.2.2 Os fatores de Q(x) são lineares podendo se repetir
Suponha que a raiz se repita um número n de vezes, então teremos n termos do 
tipo . As frações parciais referentes a este fator são do tipo:
 
Onde , ,..., são constantes que devem ser determinadas. As raízes que não 
se repetem se procede de maneira análoga como no caso 4.2.1.
Exemplos:
(a) Calcule 
Temos . Note que neste caso as raízes são , 
e . Perceba que a raiz tem multiplicidade 2, portanto o termo 
corresponde a duas frações parciais, logo temos:
 
Eliminando o denominador temos:
 é válida para qualquer valor de x. Assim podemos fazer:
 • Para , então ;
 • Para , então .
Para encontrar o valor de B, teremos que fazer a montagem do sistema, podendo 
usar apenas uma equação conveniente para encontrar a constante B. Veja:
 ou
. 
37
Integrais de Funções de uma ou mais Variáveis 
Assim, podemos escrever o sistema:
 
Como queremos encontrar o valor B, podemos usar tanto a 1ª equação como a 2ª 
equação. Temos , ou seja, , e portanto .
Assim temos:
. Logo,
Calculando a integral vem:
 
Observe atentamente a resolução de cada uma das integrais:
 
Temos:
 
As demais integrais são diretas da tabela das integrais imediatas.
Assim a solução final da integral é dada por:
 
38
Capítulo 1 
(b) Calcule 
Note que necessitamos dividir o numerador pelo denominador, pois o grau do 
polinômio do numerador não é menor que o grau do denominador – são iguais a dois.
Temos:
 
Para encontrar o resultado acima, temos que fazer a divisão formal entre 
os dois polinômios. A representação dada indica o quociente igual a 3 e o 
resto igual a 12x – 22.
Temos que o polinômio . Então
, ou seja,
 ou . 
Podemos montar o sistema que vai nos dar o resultado de A e B:
.
O valor de A já ficou explicitado diretamente. Substituindo o valor de A na 
segunda equação, obtemos . Portanto temos:
 
 
.
39
Integrais de Funções de uma ou mais Variáveis 
4.2.3 Q(x) contém fatores quadráticos irredutíveis que não se repetem
Se Q(x) tem um fator do tipo , irredutível, isto é, , então as 
frações parciais referentes a este fator são do tipo , sendo que A, B são 
constantes a serem determinadas.
O termo pode ser integrado completando-se o quadrado e usando 
fórmula .
Exemplos:
(a) Calcule 
Uma das raízes de é . Usando o processo de Briott-Rufini 
achamos o outro fator que é , que é irredutível, pois , ou 
seja, temos raízes complexas. Assim, . Então
.
Eliminando o denominador temos:
, que é válida para qualquer x, 
assim, para x = 2, temos: . 
Para encontrar os outros valores necessitamos montar o 
sistema. Temos:
, ou seja,
 
Com a primeira equação obtemos . Podemos usar a segunda ou a terceira 
para obter o valor de .
Então,
 
 
Lembre que a escolha 
do valor x = 2 nessa 
operação é sempre 
estratégica por ser 
um valor da raiz 
do polinômio Q(x), 
pois dessa forma 
simplificamos os 
cálculos.
40
Capítulo 1 
A primeira integral resolve-se fazendo a substituição . Na segunda, 
fazemos também uma substituição, . E a última integral usa-se a fórmula 
, onde . Assim,
.
(b) Calcule 
Neste exemplo, temos os polinômios com o mesmo grau necessitando divisão 
e, além disso, o coeficiente do termo de maior grau de Q(x) é diferente de 1. 
Primeiramente dividimos P(x) e Q(x) por 4. Logo,
 . 
Dividindo os polinômios, temos:
. 
Agora perceba que , é irredutível, pois . Assim,
. Necessitamos completar 
o quadrado do termo , para podermos usar uma fórmula de 
integração apropriada. Veja:
. Logo,
. 
Resolveremos em separado a segunda integral:
Fazemos e, portanto, . Temos também que . Assim,
.
Resolvemos a primeira integral fazendo uma substituição do tipo e a 
segunda usamos a fórmula , onde e . Assim 
ficamos com:
. Voltando a 
variável x, temos:
41
Integrais de Funções de uma ou mais Variáveis 
 
 
Assim,
 
 .
4.2.4 Q(x) contém fatores quadráticos irredutíveis repetidos.
Se Q(x) tem um fator do tipo irredutível, isto é, , e além disso, 
ele se repete um número n de vezes, este fator corresponderá a uma soma de 
frações parciais da forma:
 
Onde , ,..., e B1, B2,..., , são constantes que devem ser determinadas.
Exemplo
Calcule 
Note que o termo , é irredutível, pois e, além disso, 
se repete duas vezes, assim a decomposição em frações parciais é dado por:
 
Assim,
 
42
Capítulo 1 
Portanto,
 
 
Fazendo a igualdade dos polinômios, temos o seguinte sistema para calcular A, B, 
C, D e E.
 
Com a segunda e quinta equação já temos que e . Da primeira 
equação , obtendo . Da terceira equação , obtemos 
. Da quarta equação e pelo fato de , chegamos em . 
Logo,
 
Temos assim três integrais para resolver. A primeira integral, resolvemos 
diretamente da tabela, a segunda vamos inicialmente aplicar a propriedade da 
soma e a terceira vamos aplicar uma fórmula de recorrência. Veja:
Calculo da integral I1:
 
43
Integrais de Funções de uma ou mais Variáveis 
Calculo da integral I2:
Inicialmente, dividimos a integral em duas integrais:
 
Na integral I4 usamos substituição, fazendo . Então ou 
Assim,
.
Na integral I5 vamos usar diretamente a fórmula de integração 
, observando que temos: . 
Assim,
 
Portanto, temos o resultado da integral I2:
 
Simplificando temos:
 
44
Capítulo 1 
Calculo da integral I3:
Nessa integral vamos dividir em duas integrais, denotadas por I6 e I7 sendo 
que I6 é resolvida por uma substituição simples e I7 vamos usar uma fórmula de 
recorrência.
 
Para resolver I6 usamos a substituição . Então ou . 
Temos:
. 
Para resolver I7 vamos usar a fórmula de recorrência:
Essa fórmula é demonstrável usando-se o método de integração por 
partes: 
Temos:
 
Agora podemos então escrever o resultado fina da I3:
 
45
Integrais de Funções de uma ou mais Variáveis 
Para finalizar a integral dada vamos agora reunir os resultados parciais, olhando a 
nossa primeira linha de ação:
 
Simplificando obtemos:
.
Observamos que em geral esse tipo de integral sempre é bastante trabalhosa 
e nesses casos podemos utilizar um software algébrico para auxiliar nos 
cálculos. Entretanto, é importante lembrar que os softwares algébricos exigem a 
programação inicial para organizar a solução é necessário o conhecimento dos 
passos dos métodos de resolução.
Para o nosso estudo inicial do cálculo integral não vamos nos deparar 
sistematicamente com esse tipo de integral.
4.3 Atividades de autoavaliação 
Calcule as seguintes integrais:
a) 
b) 
c) 
d) 
46
Capítulo 1 
Seção 5
Exemplos e Revisão
Nas seções anteriores deste capítulo você teve a oportunidade de lidar com 
propriedades e métodos do processo de integração. Em alguns momentos 
podemos pensar que é um trabalho braçal, mas é de fundamental importância 
saber lidar com os recursos no momento das situações prática. Se não temos 
a habilidade para lidar com as potencialidades das ferramentas não vamos ter 
competências para lidar com as situações práticas ou com a modelagem dos 
fenômenos da física, da engenharia, do meio ambiente, dentre tantos outros em 
que o Cálculo Diferencial e Integral é aplicável.
Nesta seção, vamos revisar, lembrando que para aprender os métodos do cálculo 
é preciso “colocar a mão na massa”, pois não basta analisar inúmeros exemplos 
prontos. Um grande número de integrais, com aparência igual, são resolvidas por 
métodos diferentes. Além disso, o desenvolvimento dos métodos de integração 
envolve muitos artifícios algébricos da matemática básica e elementar, dessa forma, 
as dificuldades de aprendizagem dos processos algébricos e elementares podem 
ampliar as dificuldades nos cálculos necessários para a resolução de uma integral.
Os métodos de integração não foram todos aqui descritos, dessa forma, é 
possível que ao usar outros livros didáticos você se depare com novos métodos, 
aqui não discutidos emfunção da dimensão e objetivos deste livro.
5.1 Exemplos
Calcular as seguintes integrais:
a) b) 
c) d) 
e) f) 
Diante de uma lista de integrais, para resolver é preciso ter a habilidade para 
saber identificar o método para a resolução. Procure sempre identificar as 
similaridades com as regras de integração da Tabela das Integrais Imediatas. O 
método de substituição sempre deve ser o primeiro a ser investigado. O método 
das frações parciais só é aplicável quando estamos diante de funções racionais 
desde que não seja aplicável o método da substituição.
47
Integrais de Funções de uma ou mais Variáveis 
Nos itens (a) e (b), temos expressões racionais, mas em ambos os casos vamos 
aplicar substituição. As frações parciais serão aplicadas nos itens (e) e (f) e os 
itens (c) e (d) serão desenvolvidos por partes, pois a substituição não é aplicável.
Resolução do item (a):
Usando substituição temos:
 
 
Resolução do item (b):
Usando substituição temos:
.
Como precisamos substitui o valor x + 1, observamos que:
se , então ; e .
Assim, 
 
Fazendo a divisão de polinômios, temos:
 
48
Capítulo 1 
Observe que neste exemplo recaímos após a substituição em uma função 
racional com o grau do numerador igual ao grau de denominador, portanto, tem-
se o indicativo da divisão. Para agilizar, ao invés de aplicar as frações parciais, 
usamos a fórmula (26) que nos dá diretamente o resultado da aplicação das 
frações parciais.
Resolução do item (c):
 
Vamos aplicar o método de integração por partes, observe atentamente a escolha 
inicial conveniente, para que possamos encontrar a função v diretamente por 
substituição:
 
 
 
Resolução do item (d):
 
Vamos usar a integração por partes:
 
49
Integrais de Funções de uma ou mais Variáveis 
Observe que usamos uma fórmula trigonométrica para facilitar a resolução. 
Vamos agora aplicar a fórmula da integração por partes:
 
 
Resolução do item (e):
 
Note que o polinômio já está na forma fatorada e os dois 
fatores são irredutíveis, logo:
 
Eliminando os denominadores temos:
 
 
Por igualdade de polinômios, temos o seguinte sistema:
 
Da segunda equação, tem-se e substituindo-a na quarta , 
obtemos . Logo . Da primeira equação tem-se e 
substituindo-a na terceira , obtemos . Logo .
50
Capítulo 1 
Então,
 
Usando diretamente a tabela, obtemos:
.
Resolução do item (f):
 
Como o grau do numerador é igual ao grau de denominador, efetuamos a divisão 
de polinômio temos,
 
A primeira integral do lado direito é resolvida diretamente e a segunda integral 
resolve-se por frações parciais.
Tendo , percebemos que uma raiz é , enquanto 
 é irredutível, pois , logo a decomposição em 
frações parciais é dada por,
 
Temos então,
 para qualquer valor de x.
Assim,
Para , temos e então .
Para encontrar os outros valores, montamos o sistema. Temos:
 
 
51
Integrais de Funções de uma ou mais Variáveis 
Portanto obtemos o sistema:
 
Como e e , então e . Logo temos:
 
A primeira integral resolvemos diretamente e a segunda por substituição. Note 
que a terceira também resolvemos por substituição, fazendo , temos 
. Logo,
 .
52
Capítulo 1 
5.2 Atividades de autoavaliação 
1. Mostre que é uma primitiva de 
2. Calcule as integrais indefinidas. Observe atentamente as propriedades, as 
substituições adequadas e os métodos de integração 
a) b) 
c) d) 
e) f) 
g) h) 
i) j) 
k) l) 
m) n) 
3. Resolva as integrais usando integração por partes.
a) b) 
c) d) 
e) f) 
g) h) 
53
Integrais de Funções de uma ou mais Variáveis 
4. Calcule as seguintes integrais por decomposição em frações parciais.
a) b) 
c) d) 
e) f) 
g) h) 
55
Habilidades
Seções de estudo
Capítulo 2
Integral Definida
Seção 1: Analisando áreas
Seção 2: Integral Definida
Seção 3: Calculando áreas
Seção 4: Exemplos e Revisão
Ao término deste capítulo, o estudante reunirá 
habilidades necessárias para compreender o 
conceito da integral em um contexto prático, 
no cálculo das áreas e volumes. Além disso, 
desenvolverá habilidade para aplicar o Teorema 
Fundamental do Cálculo na resolução de problemas 
que são modelados por integrais definidas.
56
Capítulo 2 
Seção 1
Analisando áreas
1.1 Introdução e definição
Um dos conceitos da Geometria mais antigo é o conceito de área. Historicamente 
têm-se muitas pessoas envolvidas na busca de fórmulas e resultados para 
cálculos de área de figuras planas.
Um método muito discutido é o método da exaustão que estabelece a partição 
da área em polígonos regulares. Por exemplo, para calcular a área de um círculo, 
consideramos a inscrição de polígonos regulares de n lados e seguir os seguintes 
passos que delineiam o raciocínio do método da exaustão:
1. Considerar um polígono regular, com n lados, inscrito no círculo, 
denotado por Pn, por exemplo, observe a Figura 2.1.
Figura 2.1 – Círculo com polígono regular inscrito
2. A área do polígono Pn, denotada por , pode ser escrita como 
, sendo a área do triângulo de base e altura , 
visualizado na Figura 2.2.
3. Observe que , ou seja, a área do triângulo está sendo 
calculada com a fórmula: base vezes altura dividido por dois.
4. Observe que , ou seja, o perímetro do polígono é a soma 
dos n lados iguais.
5. Usando os resultados de (3) e (4) podemos escrever que: 
 
57
Integrais de Funções de uma ou mais Variáveis 
Figura 2.2 – Triângulo de base ln e altura hn 
ln 
r r 
hn 
Para que estamos fazendo tudo isto?
Para concluir a ideia é necessário fazer n crescer cada vez mais e usar o conceito 
de limite. Se n crescer cada vez mais, o perímetro torna-se uma aproximação 
cada vez mais perfeita do comprimento da circunferência, ou seja, igual a e a 
altura aproxima-se do raio. Assim, podemos escrever que:
Área do círculo = .
Usando os passos do deste método, você poderá encontrar a área da região 
representada na Figura 2.3.
A região está delimitada pela curva da função , pelo eixo dos x e por retas 
 e .
Figura 2.3 – Área delimitada por uma função y = f(x), pelo eixo dos x e por retas x = a e x = b.
x
y
ÁREA
ba
58
Capítulo 2 
Para entender o cálculo da área da região, veja os passos acompanhando 
também a Figura 2.4:
1. Faça uma partição do intervalo em n subintervalos, 
escolhendo pontos tais que
.
2. Observe com mais detalhes o intervalo .
3. Escolha um ponto qualquer neste intervalo.
4. Para cada , construa um retângulo de base 
e altura .
5. Agora observe a Figura 2.4. Perceba que podemos formar 
retângulos com área , com para .
6. Agora some a área dos n retângulos, da seguinte forma:
 
Esta soma é chamada de soma de RIEMANN da função .
7. Observe que à medida que n cresce muito, cada torna-se muito 
pequeno e a soma de (6) aproxima-se da área da região que será 
denotada por A.
Figura 2.4 – Retângulos destacados
x
y
59
Integrais de Funções de uma ou mais Variáveis 
Definição 1: Seja uma função contínua, não negativa 
em . A área sob a curva , de até , é definida por: 
, sendo e um ponto qualquer do 
intervalo .
1.2 Exemplos
Usando o método da exaustão, calcule a área delimitada pela curva 
 pelo eixo dos x e pelas retas e . Posteriormente reflita 
sobre a aplicação da definição de área formalizada na Definição 1.
A área que queremos calcular pode ser visualizada na Figura 2.5.
Figura 2.5 – Área delimitada pela função y = x2 – 6x + 11 pelo eixo dos x e pelas retas x = 1 e x = 4
Para calcular a área delimitada, usando o método de exaustão, inicialmente fazemos 
uma partição do intervalo em 3 subintervalos (veja a Figura 2.6 a seguir).
Forme os retângulos com base nessas partições e alturas 
 respectivamente. Veja que:
 • = área de ;
 • = área de ;
 • = área de .
60
Capítulo 2 
Figura 2.6 – Partição da área
1 2 3 4
1
2
3
4
5
6
x
y
R2 R3
R1
A área a ser calculada será aproximadamente igual a:Podemos obter a área exata usando a definição 1, mas para calcular usando a 
definição vamos ter um trabalho algébrico muito grande ou até mesmo impossível 
de ser feito em alguns casos, daí a importância de avançarmos as discussões 
fazendo a inserção de propriedades e teoremas. Observamos que a Definição 1 é 
exatamente a definição da Integral Definida.
1.3 Atividades de autoavaliação 
Usando o método da exaustão calcule a área da figura delimitada pela função 
, pelo eixo dos x e pelas retas e . Faça o gráfico e observe que a 
área pode ser calculada por geometria elementar. Confronte os resultados obtidos.
61
Integrais de Funções de uma ou mais Variáveis 
Seção 2
Integral Definida
Vamos discutir o formalismo da definição da Integral Definida.
Na seção anterior a expressão é denotada por Soma de 
Riemann, mas as ideias iniciais foram de Cauchy (1789 – 1857).
Riemann (1826–1866) percebeu que o cálculo desenvolvido por Cauchy possuía 
falhas lógicas, pois era preciso provar que o limite existia para todas as funções 
contínuas sobre o intervalo dado. Infelizmente ele não conseguiu observar suas 
falhas lógicas. Posteriormente, outros matemáticos perceberam as falhas e é 
devido a Riemann a generalização das ideias de Cauchy. A maior parte da teoria 
de integração foi verificada por Riemann e seus seguidores. 
2.1 Conceitos e Definição
A definição da integral definida é exatamente a definição da área sob a curva, 
conforme apresentada na definição 1.
Definição 2: Seja uma função definida em e seja P uma 
partição qualquer de . A integral definida de , de até , é 
dada por: , desde que o limite exista.
Estamos diante de uma definição que tem uma complexidade em função do 
cálculo do limite e também em função de uma representação simbólica bem 
elaborada. Mas, os estudos avançaram e hoje temos propriedades e teoremas 
que facilitam tanto a notação como o cálculo de integral definida.
Qual será a notação utilizada para a integral definida?
A notação da INTEGRAL DEFINIDA é dada por , ou seja, 
.
62
Capítulo 2 
Os valores que delimitam o intervalo a e b são denominados limites de 
integração.
Se existe, podemos afirmar que a função é integrável no 
intervalo . 
Em geral, o número de funções integráveis é muito grande. Se a função é 
contínua no intervalo dado, então ela é integrável neste intervalo. Inicialmente, 
vamos trabalhar somente com funções contínuas. Posteriormente, no cálculo 
avançado, vamos observar situações em que as funções não são contínuas no 
intervalo dado.
A Integral Definida representa o cálculo de uma área sempre que a função 
for contínua e não negativa no intervalo dado.
É possível mostrar que as integrais definidas tem propriedades similares às das 
integrais indefinidas ou Primitivas. Veja a seguir:
Propriedades:
1. Sejam e duas funções definidas em um conjunto I e K uma constante. 
Então:
a) ;
b) .
2. Se , então , se a integral existir.
3. Se e f(a) existe, então .
4. Se e é uma função integrável no intervalo e em , então 
 é integrável em e vale a relação .
5. Se é integrável e se para todo , então .
6. Se e são integráveis em e para todo , então 
.
63
Integrais de Funções de uma ou mais Variáveis 
7. Se é uma função contínua em , então .
8. Se é uma função contínua em , existe um ponto entre e tal que
 
Todas as propriedades citadas podem ser demonstradas como proposições 
matemáticas. Essas provas podem ser encontradas em Fleming e Gonçalves 
(2006) e são observáveis geometricamente a partir do conceito de área.
Como vamos aplicar as propriedades? Como vamos calcular as integrais 
definidas?
O teorema que será discutido a seguir é a nossa chave para o cálculo das 
integrais definidas. Lembrando que vamos também retornar às propriedades para 
fazer exemplos formais ou exemplos mais práticos. Além disso, vamos visualizar 
a conexão da integral definida com a integral indefinida ou primitiva da função.
2.2 Teorema Fundamental do Cálculo
Podemos usar muitas páginas para discutir o Teorema Fundamental do Cálculo, 
desde as suas raízes até os nossos dias. Como o objetivo é calcular a integral 
definida no contexto das aplicações práticas de área, volumes, da física etc., 
vamos fazer recortes e usar apenas a condição da continuidade para a função. 
Para uma panorâmica geral, com muitos recortes das obras dos matemáticos 
aqui citados, podemos, em acordo com Adauto (2008), lembrar alguns nomes: 
Newton (1643-1727) com a introdução do conceito de primitiva de uma função; 
Leibniz (1646-1716) quando inicia o cálculo de áreas e o conceito da integral 
definida; Cauchy (1789-1857) pela sua atenção especial para as funções reais em 
um intervalo fechado [a, b], pela notação de integral que usamos; por relacionar 
as integrais com as derivadas; por relacionar os trabalhos de Newton e Leibniz 
e por trabalhar com as funções contínuas nas situações práticas. É usual 
denominar o Teorema Fundamental do Cálculo, como Teorema de Cauchy.
Poderíamos parar por aqui, mas cabe ainda informar que Riemann (1826-1866) 
e Darboux (1842-1917) têm uma nova versão do teorema quando ampliam a 
demonstração para as funções limitadas. Em uma etapa mais atual teríamos Lebesgue 
(1875-1941) com a formulação do teorema para funções absolutamente contínuas.
64
Capítulo 2 
Para o presente texto, basta a formulação de Cauchy, com a garantia da função 
contínua no intervalo a ser considerado no cálculo da integral.
Proposição 1: Seja uma função contínua num intervalo [a, b]. Então a função 
 definida por tem derivada em todos os pontos que é 
dada por ou .
Proposição 2: Se é uma função contínua num intervalo [a, b] e se F(t) é uma 
primitiva de neste intervalo, então .
Em uma linguagem menos formal podemos dizer que esta última 
proposição é o Teorema Fundamental do Cálculo que vai ser usada 
de forma sistemática sempre que aplicarmos as integrais em situações 
práticas ou resolução de problemas. 
Para facilitar e sistematizar o cálculo, vamos utilizar a seguinte representação nos 
diversos exemplos que seguem:
.
Essa expressão, resultante das proposições dadas, indica um método para 
calcular a integral definida usando a tabela das integrais imediatas discutidas no 
Capítulo 1.
Observe que para calcular a integral definida, vamos:
 • calcular a integral indefinida para obter a primitiva da função F(x). O 
uso da constante de integração não é necessário, pois obviamente 
sempre ao final do cálculo ela vai ser simplificada;
 • aplicar a função primitiva nos pontos superior e inferior do intervalo 
dado e subtrair os resultados.
O resultado da integral definida será a função primitiva aplicada no ponto do 
limite superior menos a função primitiva aplicada no ponto do limite inferior da 
integral definida. 
65
Integrais de Funções de uma ou mais Variáveis 
2.3 Exemplos
Calcule as integrais definidas nos intervalos indicados.
(1) 
Vamos utilizar o Teorema Fundamental do Cálculo:
.
Utilizamos a tabela de integrais para encontrar a primitiva ou para calcular a 
integral indefinida. Posteriormente aplicamos os limites de integração. Temos:
 
 
(2) 
Em alguns exemplos é interessante calcular a integral indefinida em separado 
para posteriormente aplicar os limites de integração.
Para calcular esta integral indefinida fazemos a substituição:
 
Assim,
.
66
Capítulo 2 
Aplicando agora esse resultado para o cálculo de integral definida dada:
 
Usamos uma das propriedades dos logaritmos para simplificar a resposta: 
.
(3) 
Para resolver esta integral na forma indefinida, vamos reescrever e 
usar o método da substituição:
 
 
Agora basta substituir os limites de integração:
 
67
Integrais de Funções de uma ou mais Variáveis 
(4) 
Para resolver esta integração vai ser preciso usar a técnica de integração por 
partes. 
Observe que a escolha de e deve ser feita de modo que as integrais obtidas 
possam ser resolvidas. Neste exemplo, temos:
 
Neste momento a constantede integração, pode ser deixada de lado sem perda 
de generalidade. Temos:
 
.
Observe que a integral é resolvida por substituição. Assim, 
. Para finalizar o exemplo vamos aplicar os limites 
de integração:
 
2.4 Atividades de autoavaliação 
Calcule as seguintes integrais definidas.
a) b) 
c) d) 
68
Capítulo 2 
Seção 3
Calculando áreas
3.1 Situações que surgem na prática
Agora você está preparado para calcular a área de diferentes tipos de regiões 
planas. Os exemplos serão básicos, mas serão suficientes para que você possa 
visualizar o potencial das integrais definidas para calcular áreas de regiões com 
diferentes formatos. Na Unidade 5, vamos retornar ao estudo de áreas com o uso 
de outro tipo de coordenadas.
A apresentação de exemplos será precedida de uma apresentação geral do 
formato da região e também das funções envolvidas.
3.1.1 Situação 1
Nesta situação vamos analisar problemas de cálculo de área que são limitadas 
por uma função ; o eixo dos x; e .
Observe que podem ocorrer duas diferentes situações (ver Figura 2.7 e Figura 2.8).
Figura 2.7 – 
x
y
b
Área
a
69
Integrais de Funções de uma ou mais Variáveis 
Observe que na Figura 2.7 a função é positiva no intervalo considerado.
Figura 2.8 – 
x
y
b
Área
a
Observe que na Figura 2.8 a função é negativa no intervalo considerado
Pela propriedade 5, sabemos que a integral definida da situação da Figura 2.7 vai 
ter um resultado positivo e na situação da Figura 2.8, um resultado negativo, daí 
o fato de aparecer o sinal negativo antes da integral para o cálculo da área na 
Figura 2.8.
Exemplos:
(1) Calcular a área da região delimitada por ; o eixo dos x; e .
Solução:
A Figura 2.9 mostra a área solicitada. Observe que a função é toda positiva, no 
intervalo dado, pois está acima do eixo dos x. Assim, .
70
Capítulo 2 
Figura 2.9 – 
1 2 3 4
1
2
x
y
Inicialmente vamos calcular a integral indefinida:
 
Aplicando os limites de integração calculamos a área solicitada.
 
 
(2) Calcular a área da região delimitada por ; o eixo dos x; e 
.
A Figura 2.10 mostra a área solicitada. Observe que no intervalo a função é 
negativa. Assim, 
.
71
Integrais de Funções de uma ou mais Variáveis 
Figura 2.10 – Área delimitada pela parábola e o eixo dos x
1 2 3 4
-1
1
x
y
Acompanhe a seguir a resolução da integral, lembrando que estamos usando as 
regras de integração e o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites 
de integração. Veja que estamos, também, usando as propriedades citadas na 
seção anterior.
 
3.1.2 Situação 2
Nesta situação vamos analisar problemas de cálculo de área delimitada por duas 
funções e entre e .
Podem ocorrer diferentes situações, por exemplo, ver as Figuras 2.11 e 2.12. 
Na Figura 2.11 temos que as duas funções são positivas no intervalo dado e na 
Figura 2.12 ambas as funções são negativas. Podemos ainda ter uma função 
positiva e outra negativa. Em qualquer uma dessas situações apontadas a área 
sempre será dada pela integral da diferença entre as duas funções, tomando-se 
sempre o cuidado para subtrair a função menor da função maior. Graficamente, a 
função maior sempre está acima da função menor.
72
Capítulo 2 
Temos assim a seguinte fórmula para ser aplicada: para 
 contínuas em (a, b).
Figura 2.11 – 
x
y
b
Área
a
y = g(x)
y = f(x)
Figura 2.12 – 
x
y
b
Área
a
y = g(x)
y = f(x)
73
Integrais de Funções de uma ou mais Variáveis 
Exemplo:
Calcular a área da região delimitada por e .
Para encontrar os limites de integração é necessário neste caso encontrar 
a intersecção. Veja a Figura 2.13 e observe os pontos de intersecção. A 
representação gráfica sempre é interessante para visualizar os pontos de 
intersecção e a efetiva relação entre as funções dadas. Neste caso no intervalo 
[-5; 0, 5] temos que .
Figura 2.13 – Gráfico da área delimitada pela parábola e pela reta
-5 -4 -3 -2 -1 1 2
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
É possível constatar que a intersecção entre os gráficos está nos pontos em que 
 e .
Observe que podemos encontrar esses pontos algebricamente igualando as duas 
funções. Veja:
 
Resolvendo a equação encontrada usando a fórmula de Bhaskara obtemos 
e .
Para concluir o exemplo, basta verificar que a área solicitada está delimitada 
pelas duas funções dadas no intervalo . Assim,
 
74
Capítulo 2 
Observe que a parábola está acima da reta, assim no intervalo .
Fazendo o cálculo da integral definida temos:
 
(–5) (–5) (–5)
 
3.1.3 Situação 3
A região está delimitada por várias funções e o cálculo da área requer partições 
para que se tenha a situação 1 ou 2.
Exemplo:
Calcular a área da região apresentada na Figura 2.14.
Figura 2.14 – Área delimitada por três funções e o eixo dos x
0.5 1 1.5 2
0.5
1
1.5
x
y
y = x
y = – (x – 1/2)(x – 3)
y = 3x – 4,5A2
A3
A1
75
Integrais de Funções de uma ou mais Variáveis 
A visualização da Figura 2.14 nos mostra que as áreas A1 e A2 estão 
enquadradas na situação 1 e que a área A3 está enquadrada na situação 2. 
Assim, 
Área = A1 + A2 + A3, sendo que:
 • ;
 • ;
 • .
Fazendo os cálculos obtemos:
 
 
76
Capítulo 2 
 
Para finalizar o exemplo, vamos adicionar as áreas parciais encontradas. Assim,
 
3.2 Atividades de autoavaliação 
1) Calcular a área da região delimitada por ; o eixo dos x; e .
2) Calcular a área de região delimitada entre as funções e .
3) Calcular a área da região delimitada entre as funções e e 
.
77
Integrais de Funções de uma ou mais Variáveis 
Seção 4
Exemplos e Revisão
Nessa seção vamos revisar o que foi discutido neste capítulo 2. A definição, 
propriedades e o teorema fundamental do cálculo foram discutidos para a 
resolução de problemas de áreas. Segue a expressão que pode ser considerada 
como uma fórmula auxiliar no cálculo da integral definida: 
4.1 Exemplos
Os exemplos apresentados nesta seção são exercícios propostos no livro 
Flemming e Gonçalves (2006), nas listas 6.11 e 6.13 do capítulo 6.
(1) Sem calcular a integral, verifique a seguinte desigualdade:
 
Vamos usar a propriedade 6 citada na Seção 2 deste capítulo.
 
Portanto vale para 
78
Capítulo 2 
(2) Verificar se o resultado da integral é positivo, negativo ou zero, sem 
fazer o cálculo.
Vamos agora aplicar a propriedade 5 da seção 2, analisando o sinal da função no 
intervalo dado:
 
Resultado positivo, porque para .
Podemos também usar a análise gráfica, veja a Figura 2.15
Figura 2.15 – Área 
-2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
-1
1
x
y
(3) Calcular a integral da função no intervalo dado e esboçar o gráfico da função
 em [–1, 1]. O resultado obtido representa uma área?
Estamos diante de uma função modular que deve ser reescrita como uma função 
de duas sentenças:
 
79
Integrais de Funções de uma ou mais Variáveis 
Assim temos:
 
A representação gráfica consta na Figura 2.16.
Figura 2.16 – Função 
-1 1
-1
1
x
y
Podemos observar que o resultado obtido não representa a área. Para calcular a 
área hachurada, temos que considerar a parte da função que tem sinal negativo. 
Podemos escrever:
 
80
Capítulo 2 
(4) Calcular a área da região delimitada por .
A Figura 2.17 mostra a região dada.
Figura 2.17 – Área delimitada por 
-2 -1 1 2
1
2
3
4
5
x
y
Os pontos de intersecção estão visíveis graficamente, mas também podem ser 
calculados algebricamente. Temos:
 
Assim a área é dada por:
 
81
Integrais de Funções de uma ou mais Variáveis 
(5) Calcular a área delimitada por .
A Figura 2.18 mostra a região dada.
Figura 2.18 – Região delimitada por 
1 2 3 4
1
2
x
y
Como a região tem simetria podemos calcular a integral no intervalo [1, 2] e ao 
final multiplicar o resultado por dois. 
Temos também que considerar que precisamos considerar a função modular que 
no intervalo [1, 2] assume .
 
82
Capítulo 2 
4.2 Atividades de autoavaliação 
1) Calcule as seguintes integrais definidas:
a) b) 
c)d) 
e) f) 
g) h) 
2) Calcule a área da região limitada pela parábola e pelo eixo dos x.
3) Calcule a área da região delimitada por ; ; e .
4) Calcule a área delimitada pelas seguintes curvas:
a) e 
b) e 
5) Calcule a integral . Interprete geometricamente o resultado obtido.
6) Observe a figura dada. Identifique as três funções que estão representadas 
graficamente:
 • – função polinomial do terceiro grau;
 • – função modular;
 • – função constante.
83
Integrais de Funções de uma ou mais Variáveis 
Calcule a área das regiões , e .
-1 1 2 3 4 5
-3
3
6
9
12
15
x
y
ÁREA A 1
ÁREA
A 3
ÁREA A 2
85
Habilidades
Seções de estudo
Capítulo 3
Noções iniciais das integrais 
múltiplas
Seção 1: Definição e cálculo das integrais duplas
Seção 2: Definição e cálculo das integrais triplas
Ao término deste capítulo, o estudante terá 
condições de ampliar o seu estudo das integrais 
para os espaços tridimensionais tornando-se 
competente para discutir e analisar situações 
problemas que envolvem o Cálculo Integral de 
funções de uma ou mais variáveis. 
86
Capítulo 3 
Seção 1
Definição e cálculo das integrais duplas
Vamos discutir nesta Seção o processo de integração para as funções de duas 
variáveis. Esse processo prevê a análise da projeção da função sobre um dos 
planos coordenados, pois a partir daí é possível definir os limites de integração, os 
quais permitem olhar as integrais duplas em dois estágios, sendo que cada estágio 
recai na solução de uma integral simples já discutida nos capítulos anteriores.
1.1 Definição da integral dupla
Vamos considerar uma função definida numa região fechada e limitada 
do plano xy, como mostra a Figura 3.1.
Figura 3.1 – Função e sua região de integração
Vamos denotar por R a região fechada e limitada do plano xy, obtida pela projeção 
da superfície da função sobre o plano (ver Figura 3.2). Traçando retas paralelas 
aos eixos x e y, recobrimos a região R por pequenos retângulos.
Consideremos somente os retângulos Rk que estão totalmente contidos em R, 
numerando-os de 1 até n.
Em cada retângulo Rk, escolhemos um ponto e formamos a soma 
, denotada como soma de Riemann de sobre a região 
de integração R, sendo que é a área do retângulo Rk.
87
Integrais de Funções de uma ou mais Variáveis 
Imagine que mais retas sejam traçadas tornando os retângulos cada vez menores. 
Fazemos isso de tal maneira que a diagonal máxima dos retângulos Rk tende a 
zero quando n tende ao infinito. Se existe, ele é chamado 
integral dupla de sobre a região R.
O limite deve ser independente da escolha das retas que 
subdividem a região R e dos pontos tomados nos retângulos Rk. A sua 
existência depende da função e também da região R. Em nosso 
estudo, vamos supor que o contorno da região R é formado por um número finito 
de arcos de curvas “suaves”, isto é, de arcos de curvas que não contêm pontos 
angulosos. Nesse caso, se f é contínua sobre R, temos a garantia da existência 
da integral dupla.
Figura 3.2 – Retângulos Rk contidos no domínio de f
Usamos as notações:
 ou 
A região R é denominada região de integração.
88
Capítulo 3 
1.2 Propriedades das integrais duplas
Podemos afirmar que o cálculo das integrais duplas usando a definição é um 
processo bastante trabalhoso. Assim, o uso das propriedades e de outros 
teoremas vai ser essencial para facilitar os cálculos.
Vamos supor que a região de integração R tem uma fronteira formada por um 
número finito de arcos de curvas suaves e as funções e são 
contínuas sobre a região R. Assim, temos a garantia da existência das integrais 
duplas envolvidas.
1.2.1 Proposição
a. , para todo k real.
b. 
c. Se , para todo , então
 
d. Se para todo pertencente à região R, então 
 
e. Se a região R é composta de duas sub-regiões R1 e R2 que não 
têm pontos em comum, exceto possivelmente os pontos de suas 
fronteiras, então
 
Para provar essas proposições, usamos a definição da integral dupla e 
propriedades de limites. Veja como é simples!
89
Integrais de Funções de uma ou mais Variáveis 
Vamos provar o item (b)
 
Vamos supor que as integrais e existem. Portanto, existem, 
respectivamente, os limites: e 
Escrevemos:
 = 
 = 
 = 
Como vamos aplicar essas proposições ou propriedades? Como vamos 
calcular as integrais duplas?
Para discutir o Cálculo das Integrais Duplas, vamos organizar as ideias fazendo 
a análise a partir da forma da região de integração. Vamos basicamente ter dois 
tipos de região de integração: 
 • Tipo I – retangulares (ver, por exemplo, a Figura 3.3);
 • Tipo II – com formatos geométricos que envolvem diversas funções 
(ver, por exemplo, a Figura 3.4).
Figura 3.3 – Região do tipo I 
x
y
R
b
c
d
a
90
Capítulo 3 
Figura 3.4 – Região do tipo II
x
y
b
R
d
a c
Quando temos uma região de integração definida por um conjunto de funções que 
se interceptam, vamos trabalhar com duas diferentes representações conforme 
a sua forma. Observe bem as Figuras 3.5. Veja que elas podem ser descritas 
algebricamente por desigualdades, identificadas em um dos seguintes tipos:
 • Tipo II.1: , com e contínuas em ;
 • Tipo II.2: , com e contínuas em .
Figura 3.5 – Regiões do tipo II (a) e (b)
x
y
b
y= f2(x)
y = f 1(x)
a
R
x
y
d
x = �2(y)
x = g1(y) R
c
O cálculo da integral vai ser feito como um processo de 
iteração. Vamos resolver uma integração e após resolver 
a outra. Para fazer isto é necessário traduzir a forma 
geométrica em um dos tipos acima e reescrever a integral. 
Veja no Quadro 1 a formatação dessa nova representação.
Esse processo iterado 
nos leva a terminologia 
integral iterada.
91
Integrais de Funções de uma ou mais Variáveis 
Observe na última coluna do Quadro 1 que os colchetes já indicam como será 
o processo iterativo. Em geral, os colchetes poderão ser dispensados, ficando 
sempre subentendidos. É importante verificar que estamos realizando o cálculo 
da integral em duas etapas, no momento que integramos em relação a x o y 
é considerado constante e no momento que integramos em relação a y, o x é 
considerado constante.
Quadro 1 – Diferentes representações da região de integração
TIPOS Representação algébrica da região de integração
Figura de 
referência Integral iterada
I
 
Figura 3.3
 
ou
 
II.1
 
Figura 3.5 (a)
 
II.2
 
Figura 3.5(b)
 
Para identificar a representação algébrica a partir de uma representação 
gráfica, basta fazer uma boa leitura do gráfico. No caso II.1, por exemplo, 
o x varia de um valor constante a até outro valor constante b, portanto a 
integração em x deve ser a última. Para estabelecer a variação de y basta 
você imaginar uma varredura na região do sentido negativo para o positivo 
no eixo dos y (trace retas para ajudar na visualização).
92
Capítulo 3 
Agora é “mão de obra” para formalizar o cálculo das integrais duplas. Lembre-se 
de que é um passo a passo:
1. Formalize a representação gráfica da região de integração;
2. Identifique em que tipo está enquadrada. Lembre-se de que a 
região pode ficar enquadrada em mais de um tipo e neste caso 
você deverá fazer uma escolha;
3. Formalize a representação algébrica;
4. Formalize a escrita da integral iterada;
5. Calcule a integral que está dentro dos colchetes;
6. Coloque o resultado obtido dentro da nova integral que deve ser 
resolvida para obter o resultado final.
1.3 Exemplos
(1) Calcular a integral .
Observe que neste caso já temos a integral iterada apresentada. Assim, vamos 
iniciar nossa caminhada. Neste exemplo já estamos com a caminhada avançada, 
pois já estamos na etapa (4) do nosso passo a passo.
Não estamos visualizando os colchetes, mas sabemos onde eles estão. Veja:
 
Vamos calcular a integral que está dentro dos colchetes:
 
Usamos no cálculo o raciocínio da integral simples discutida no capítulo 1 e 
estamos integrando em x, portanto, a variável y neste momento é considerada 
uma constante.
Para finalizar o nossopasso a passo vamos colocar o resultado na integral 
seguinte para encontrar o resultado final. Temos:
.
93
Integrais de Funções de uma ou mais Variáveis 
Portanto, 
 =19.
(2) Calcular a integral dupla da função na região de integração 
definida na Figura 3.6.
Figura 3.6 – Região de integração
1 2 3 4
-1
1
2
3
x
y
R
Já temos a região de integração formatada graficamente. Vamos então para a 
etapa (2), identificando qual o tipo de região. Numa rápida inspeção verificamos 
na Figura 3.6 que a nossa região é retangular, portanto, do tipo I.
Seguindo o passo a passo vamos descrever algebricamente a região R como 
.
Assim, temos:
 
Resolvendo a integral dentro dos colchetes temos:
.
Colocando o resultado encontrado na outra integral vamos ter:
.
Dessa forma .
94
Capítulo 3 
(3) Calcular a integral sendo R é a região limitada por e 
.
Na integral dada não podemos esquecer que .
A região de integração pode ser visualizada na Figura 3.7 apresentada a seguir.
Figura 3.7 – Região delimitada por e 
1 2
-1
1
2
3
4
x
y
R
y = 2x y = x2
É fácil visualizar que a região R pode ser enquadrada nos dois tipos II.1 e II.2. 
Veja:
 ou 
Observe a varredura da região. Por exemplo, na descrição do tipo II.1 coloque 
retas percorrendo a região no sentido de baixo para cima (do negativo para o 
positivo no eixo dos y) e constate que as retas cortam inicialmente a função , 
para posteriormente cortarem a função (ver Figura 3.7).
Assim, a integral dada pode ser calculada de duas maneiras. Para exemplificar 
e confirmar a equivalência dos cálculos, vamos desenvolver usando as duas 
maneiras, mas deve ficar claro que não é necessário resolver duas vezes.
95
Integrais de Funções de uma ou mais Variáveis 
1a maneira. Região do tipo II.1.
Neste caso vamos escrever e, portanto a nossa primeira integral 
vai ser resolvida em relação a y, considerando-se x constante.
 = 
Resolvendo a integral dentro dos colchetes temos:
 
Resolvendo a segunda integral temos:
 
2a maneira. Região do tipo II.2.
Neste caso vamos escrever e, portanto a nossa primeira integral 
vai ser resolvida em relação a x, considerando-se y constante.
 = 
Resolvendo a integral dentro dos colchetes temos:
 
Resolvendo a segunda integral temos:
 
.
Observe que, nesse exemplo, as duas maneiras envolvem praticamente os 
mesmos cálculos. Em alguns casos, uma boa escolha da ordem de integração 
pode simplificar bastante o trabalho.
96
Capítulo 3 
(4) Calcular sendo R o retângulo de vértices , , 
e .
Acompanhe o nosso passo a passo da resolução
A representação gráfica da região de integração pode ser visualizada na Figura 
3.8. Trata-se de uma região do tipo I retangular.
Figura 3.8 – Região retangular
1
π/2
π
x
y
R
Sua representação algébrica é dada por 
Portanto, podemos escrever a integral iterada:
 ou .
Observe que não usamos os colchetes, mas eles estão subentendidos.
Agora precisamos escolher qual formatação vai ser mais adequada ou eficiente. 
Com um pouco de experiência, realizamos uma investigação para descobrir qual 
delas pode minimizar o nosso trabalho.
Se usarmos , vai recair em uma integral por partes e se 
usarmos em uma substituição simples. Dessa forma o mais 
conveniente é usar a segunda opção, fazendo primeiro a integração em relação a 
y, considerando x como uma constante.
97
Integrais de Funções de uma ou mais Variáveis 
Vamos a seguir desenvolver o cálculo sem fazer a retirada da primeira integral. 
Observe que não mudamos o processo, mudamos apenas a maneira de escrever 
os resultados.
 = 
= =
 
.
Para calcular a integral , usamos a substituição e 
Assim, .
Observe que, neste exemplo, podemos resolver usando qualquer ordem de 
integração, mas em alguns casos a função obtida não admite primitiva. Veja o 
exemplo que segue.
(5) Calcular a integral 
Nesse caso, não é possível calcular a integral com a ordem de integração dada, 
pois a função não possui primitiva entre as funções elementares do 
Cálculo. Assim vamos fazer a inversão da ordem de integração para verificar a 
viabilidade de solução desta integral. Vamos descrever inicialmente a região de 
integração graficamente e analiticamente em acordo com os três passos iniciais 
do nosso passo a passo.
Na Figura 3.9 temos a região de integração R.
Figura 3.9 – Região de integração R
1
1
x
y
R
98
Capítulo 3 
Algebricamente temos:
 
Podemos observar que R também é uma região do Tipo II.2, podendo ser descrita por:
 
Temos:
I = = = = =
.
Vamos ter a necessidade de fazer partições na região de integração?
É possível que em alguns casos tenhamos que fazer partições na região de 
integração dada. Temos como ferramenta de cálculo a propriedade (e) que foi 
enunciada na proposição das propriedades das integrais duplas listadas nesta 
seção. Observe por exemplo a região de integração triangular da Figura 3.10.
Figura 3.10 – Região de integração triangular do tipo II
1 2 3
1
2
3
x
y
R2
R1
y = 1/3 x
y = 3x y = –x+4
Verifique que uma maneira para descrever algebricamente toda a região triangular 
é particionar em duas regiões:
 e 
99
Integrais de Funções de uma ou mais Variáveis 
1.4 Cálculo de Área usando integral dupla
A expressão que pode ser reescrita como ou nos dá a 
área da região de integração R. Essa afirmação pode ser mostrada de várias 
maneiras, mas vamos aqui apenas revisar o item II.1 do Quadro 1, para observar 
atentamente o significado de cada uma das integrais.
Se temos uma região R do Tipo II.1, e f(x, y) igual a 1, podemos escrever:
.
Ao resolver essa expressão vamos obter:
1
 
Em acordo com a discussão no contexto das integrais simples temos que o 
resultado obtido representa a área da região delimitada pelas funções e 
 no intervalo .
De forma similar podemos obter a área quando estamos no contexto da região do 
tipo II.2 do Quadro 1.
Exemplos:
(1) Calcular a área da região R delimitada por e 
A região R pode ser visualizada na Figura 3.11 e é do tipo II.2 e pode ser descrita 
como .
Figura 3.11 – Região R delimitada por e 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
-1
1
2
3
x
y
R
100
Capítulo 3 
Assim a área é dada por:
 
 
 unidades de área.
(2) Calcular a área da região apresentada na Figura 3.12, delimitada por uma 
parábola e por dois segmentos de reta.
Figura 3.12 – Região delimitada por uma parábola e dois segmentos de reta
-0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
1.75
3.5
x
y
R
Parábola
y = (1 – x)(x – 5)
Ao analisar a Figura 3.12, podemos afirmar que a região é do tipo II e que 
precisamos fazer uma partição para descrevê-la. Vamos optar pelo traçado do 
segmento em . Assim temos:
 e 
Observe que foi necessário encontrar as expressões 
matemáticas dos segmentos. Para tal podemos usar o cálculo 
da equação da reta que passa por dois pontos dados.
Para achar a equação 
da reta que passa por 
dois pontos podemos 
usar . 
101
Integrais de Funções de uma ou mais Variáveis 
Assim, o cálculo da área da Figura 3.12 é obtida fazendo-se:
 
 
 unidades de área.
1.5 Volume usando integral dupla
Se no raciocínio que nos levou à definição da integral dupla, usamos o fato de 
que seja maior ou igual a zero sobre a região R, podemos interpretar 
que representa o volume de um prisma reto, cuja base é o retângulo 
 e cuja altura é (ver Figura 3.13)
Figura 3.13 – Volume de um prisma reto destacado
Dessa forma, a soma de Riemann representa uma aproximação do volume da 
porção do espaço abaixo da função e acima da região R do plano xy, 
delimitada lateralmente por superfícies que contornam a região R (ver Figura 3.14).
102
Capítulo 3 
Figura 3.14 – Volume
A integral dupla , representa um volume desde que 
tenhamos seja maior ou igual a zero sobre a região R. A região de 
integração é a base do sólido contida no plano xy.
1.6 Exemplos
Os exemplos que seguem estão propostos em Gonçalves e Flemming (2007) na 
seção 7.10.
(1) Calcular o volume do sólido delimitado