Matemática - Aula 02

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MATEMÁTICA BÁSICA 
E APLICADA 
Professor: Eng. Marcílio P. Lima 
Medidas de Comprimento 
Transformação de Unidades 
 
 
Unidades de Superfície 
Transformação de Unidade 
 
 
No sistema métrico decimal, devemos lembrar que, na transformação de 
unidades de superfície, cada unidade de superfície é 100 vezes maior que a 
unidade imediatamente inferior. 
Unidades de Superfície 
Transformar 2,36 m2 em mm2 
2,36 x 1.000.000 = 2.360.000 mm2 
Unidades de Superfície 
transformar 580,2 dam2 em km2. 
580,2 : 10.000 = 0,05802 km2 
Unidades de Superfície 
Vamos Praticar: 
 1) Transforme 8,37 dm2 em mm2 (R: 83.700 mm2) 
 2) Transforme 3,1416 m2 em cm2 (R: 31.416 cm2) 
 3) Transforme 2,14 m2 em dam2 (R: 0,0214 dam2) 
 4) Calcule 40m x 25m (R: 1.000 m2) 
Área das figuras planas 
Área das figuras planas 
Determine a área das seguintes figuras (em cm): 
Área das figuras planas 
Um trapézio tem a base menor igual a 2cm, a base maior igual a 3cm e 
a altura igual a 10cm. Qual a área deste trapézio? 
Calcule a área e o perímetro (em metros) dos retângulos descritos: 
a) a = 25 e b = 12 
b) a = 14 e b = 10 
Área das figuras plana 
Área do Circulo 
 
Uma roda gigante tem 8 metros de raio. Quanto percorrerá uma pessoa 
na roda gigante em 6 voltas? 
Critérios de divisibilidade 
Para alguns números como o dois, o três, o cinco e outros, existem 
regras que permitem verificar a divisibilidade sem se efetuar a divisão. 
Essas regras são chamadas de critérios de divisibilidade 
Divisibilidade por 2 
Um número natural é divisível por 2 quando ele termina em 0, ou 2, ou 
4, ou 6, ou 8, ou seja, quando ele é par. 
 
Exemplos: 
1) 5040 é divisível por 2, pois termina em 0. 
2) 237 não é divisível por 2, pois não é um número par 
Critérios de divisibilidade 
Divisibilidade por 3 
Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos dos 
seus algarismos for divisível por 3. 
 
Exemplo: 
234 é divisível por 3, pois a soma de seus algarismos é igual a 
2+3+4=9, e como 9 é divisível por 3, então 234 é divisível por 3. 
Critérios de divisibilidade 
Divisibilidade por 4 
Um número é divisível por 4 quando termina em 00 ou quando o número 
formado pelos dois últimos algarismos da direita for divisível por 4. 
 
Exemplo: 
1800 é divisível por 4, pois termina em 00. 
4116 é divisível por 4, pois 16 é divisível por 4. 
1324 é divisível por 4, pois 24 é divisível por 4. 
3850 não é divisível por 4, pois não termina em 00 e 50 não é divisível 
por 4. 
Critérios de divisibilidade 
Divisibilidade por 5 
Um número natural é divisível por 5 quando ele termina em 0 ou 5. 
 
Exemplos: 
1) 55 é divisível por 5, pois termina em 5. 
2) 90 é divisível por 5, pois termina em 0. 
3) 87 não é divisível por 5, pois não termina em 0 nem em 5. 
Critérios de divisibilidade 
Divisibilidade por 6 
Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3. 
 
Exemplos: 
1) 312 é divisível por 6, porque é divisível por 2 (par) e por 3 (soma: 6). 
2) 5214 é divisível por 6, porque é divisível por 2 (par) e por 3 (soma: 12). 
3) 716 não é divisível por 6, (é divisível por 2, mas não é divisível por 3). 
4) 3405 não é divisível por 6 (é divisível por 3, mas não é divisível por 2). 
Critérios de divisibilidade 
Divisibilidade por 8 
Um número é divisível por 8 quando termina em 000, ou quando o 
número formado pelos três últimos algarismos da direita for divisível por 8. 
 
Exemplos: 
1) 7000 é divisível por 8, pois termina em 000. 
2) 56104 é divisível por 8, pois 104 é divisível por 8. 
3) 61112 é divisível por 8, pois 112 é divisível por 8. 
4) 78164 não é divisível por 8, pois 164 não é divisível por 8. 
Critérios de divisibilidade 
Divisibilidade por 9 
Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos dos 
seus algarismos for divisível por 9. 
 
Exemplo: 
2871 é divisível por 9, pois a soma de seus algarismos é igual a 
2+8+7+1=18, e como 18 é divisível por 9, então 2871 é divisível por 9. 
Critérios de divisibilidade 
Divisibilidade por 10 
Um número natural é divisível por 10 quando ele termina em 0. 
 
Exemplos: 
1) 4150 é divisível por 10, pois termina em 0. 
2) 2106 não é divisível por 10, pois não termina em 0 
MMC e MDC 
O mmc é mais utilizado que o mdc. 
 
Uma das mais importantes utilização do mmc é na operação de soma e 
subtração de frações. 
MMC – MINIMO MULTIPLO COMUM 
FATORAÇÃO 
Regra prática para a fatoração 
1º) Dividimos o número pelo seu menor divisor primo; 
2º) a seguir, dividimos o quociente obtido pelo menor divisor 
primo desse quociente e assim sucessivamente até obter o 
quociente 1. 
 
A figura ao lado mostra a fatoração do número 630. 
 
Então 630 = 2 x 3 x 3 x 5 x 7. 
 
630 = 2 x 3² x 5 x 7. 
MMC – MINIMO MULTIPLO COMUM 
 Dois ou mais números sempre têm múltiplos comuns a eles. 
 
 Vamos achar os múltiplos comuns de 4 e 6 
 Múltiplos de 6: 0, 6, 12, 18, 24, 30,... 
 Múltiplos de 4: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24,... 
 Múltiplos comuns de 4 e 6: 0, 12, 24,... 
 
Dentre estes múltiplos, diferentes de zero, 12 é o menor deles. Chamamos o 12 
de mínimo múltiplo comum de 4 e 6. 
 
O menor múltiplo comum de dois ou mais números, diferente de zero, é 
chamado de mínimo múltiplo comum desses números. Usamos a 
abreviação m.m.c. 
MMC – MINIMO MULTIPLO COMUM 
CÁLCULO DO M.M.C. 
Podemos calcular o m.m.c. de dois ou mais números utilizando a fatoração. 
Acompanhe o cálculo do m.m.c. de 12 e 30: 
 
1º) decompomos os números em fatores primos 
2º) o m.m.c. é o produto dos fatores primos comuns e não-comuns: 
12 = 2 x 2 x 3 
30 = 2 x 3 x 5 
m.m.c (12,30) = 2 x 2 x 3 x 5 
Escrevendo a fatoração dos números na forma de potência, temos: 
12 = 2² x 3 
30 = 2 x 3 x 5 
m.m.c (12,30) = 2² x 3 x 5 
MMC – MINIMO MULTIPLO COMUM 
PROCESSO DA DECOMPOSIÇÃO SIMULTÂNEA 
Neste processo decompomos todos os números ao mesmo tempo, num 
dispositivo como mostra a figura ao lado. O produto dos fatores primos que 
obtemos nessa decomposição é o m.m.c. desses números. Ao lado vemos o 
cálculo do m.m.c.(15,24,60) 
 
 Portanto, m.m.c.(15,24,60) = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 120 
MDC – MÁXIMO DIVISOR COMUM 
Dois números naturais sempre têm divisores comuns. Por exemplo: os 
divisores comuns de 12 e 18 são 1,2,3 e 6. Dentre eles, 6 é o maior. 
Então chamamos o 6 de máximo divisor comum de 12 e 18 e indicamos 
m.d.c.(12,18) = 6. 
 Alguns exemplos: 
 
 mdc (6,12) = 6 
 mdc (12,20) = 4 
 mdc (20,24) = 4 
 mdc (12,20,24) = 4 
 mdc (6,12,15) = 3 
MDC – MÁXIMO DIVISOR COMUM 
CÁLCULO DO M.D.C. 
 Um modo de calcular o m.d.c. de dois ou mais números é utilizar a 
decomposição desses números em fatores primos. 
1) decompomos os números em fatores primos; 
2) o m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns. 
Acompanhe o cálculo do m.d.c. entre 36 e 90: 
36 = 2 x 2 x 3 x 3 
90 = 2 x 3 x 3 x 5 
O m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns => m.d.c.(36,90) = 2 x 3 x 3 
Portanto m.d.c.(36,90) = 18. 
 
Escrevendo a fatoração do número na forma de potência temos: 
36 = 2² x 3² 
90 = 2 x 3² x 5 
Portanto m.d.c.(36,90) = 2 x 3² = 18. 
O piso de uma sala retangular, medindo 3,52 m × 4,16 m, será revestido com 
ladrilhos quadrados, de mesma dimensão, inteiros, de forma que não fique espaço 
vazio entre ladrilhosvizinhos. Os ladrilhos serão escolhidos de modo que tenham a 
maior dimensão possível. 
Na situação apresentada, o lado do ladrilho deverá medir 
 
A. mais de 30 cm. 
B. menos de 15 cm. 
C. mais de 15 cm e menos de 20 cm. 
D. mais de 20 cm e menos de 25 cm. 
E. mais de 25 cm e menos de 30 cm 
 
Note que estamos querendo revestir com ladrilhos quadrados iguais de modo que 
não fiquem espaços vazios e que sejam os maiores possíveis. Não é difícil 
observar que na verdade estamos querendo achar o maior divisor comum, o 
popular MDC. 
 
EXERCÍCIOS 
No alto de uma torre de uma emissora de televisão duas luzes “piscam” com 
frequências diferentes. A primeira, “pisca“ 12 vezes por minuto e a segunda, “pisca“ 
15 vezes por minuto. Se num certo instante as luzes piscam simultaneamente, após 
quantos segundos elas voltarão a piscar simultaneamente? 
 
a) 10 segundos. 
b) 20 segundos. 
c) 15 segundos. 
d) 40 segundos. 
e) 30 segundos. 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
No estoque de uma papelaria, há uma caixa com várias borrachas iguais e, para 
facilitar as vendas, o dono dessa papelaria decidiu fazer pacotinhos, todos com a 
mesma quantidade de borrachas. Ao fazer isso, notou que era possível colocar 3 ou 
4 ou 5 borrachas em cada pacotinho e, assim, não sobraria borracha alguma na 
caixa. O menor número de borrachas que essa caixa poderia conter era: 
 
(A) 80. 
(B) 65. 
(C) 60. 
(D) 70. 
(E) 75. 
 
 
EXERCÍCIOS 
Uma pizzaria funciona todos os dias da semana e sempre tem promoções para 
seus clientes. A cada 4 dias, o cliente tem desconto na compra da pizza de 
calabresa; a cada 3 dias, na compra de duas pizzas, ganha uma mini pizza doce, e 
uma vez por semana tem a promoção de refrigerantes. Se hoje estão as três 
promoções vigentes, esse ocorrido voltará a acontecer daqui a quantas semanas? 
 
(A)40 
(B)12 
(C)84 
(D)22 
(E) 7 
 
EXERCÍCIOS 
Seu Flávio, o marceneiro, dispõe de três ripas de madeira que medem 60cm, 
80cm e 100 cm de comprimento, respectivamente. Ele deseja cortá-las em 
pedaços iguais de maior comprimento possível. Qual é a medida procurada? 
 
(A)40 
(B)12 
(C)84 
(D)20 
(E) 7 
 
EXERCÍCIOS 
Três viajantes partem num mesmo dia de uma cidade A. Cada um desses três 
viajantes retorna à cidade A exatamente a cada 30, 48 e 72 dias, respectivamente. 
O número mínimo de dias transcorridos para que os três viajantes estejam juntos 
novamente na cidade A é: 
 
(A) 144. 
(B) 240. 
(C) 360. 
(D) 480. 
(E) 720. 
 
EXERCÍCIOS 
Em um colégio de São Paulo, há 120 alunos na 1.ª série do Ensino Médio, 144, na 
2.ª e 60, na 3.ª. Na semana cultural, todos esses alunos serão organizados em 
equipes com o mesmo número de elementos, sem que se misturem alunos de 
séries diferentes. O número máximo de alunos que pode haver em cada equipe é 
igual a 
 
 
(A) 7. 
(B) 10. 
(C) 12. 
(D) 28. 
(E) 30. 
 
EXERCÍCIOS