APS - CÁLCULO 4

Prévia do material em texto

1 
 
 
 
 
Carolina Fernandes Gomes – 16101120 
 Gabriel Brasileiros Baliero – 17100943 
 Gustavo Dias Matias – 20103604 
 Paulo Gabriel Pereira Casaes – 20103503 
 Thiago Santos de Oliveira – 15200142 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicação das equações diferenciais de primeira ordem em misturas salinas 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rio de Janeiro 
2020 
 
2 
 
Aplicação das equações diferenciais de primeira ordem em misturas salinas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Trabalho sobre Equações Diferenciais de 
Primeira Ordem, com aplicabilidade em 
misturas, mais especificamente misturas 
salinas, apresentado ao professor Rodrigo 
Fraga, como pré-requisito para obtenção da 
nota de APS em Cálculo IV. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rio de Janeiro 
2020 
 
3 
 
RESUMO 
 
 
 O presente trabalho procura mostrar os conceitos, fundamentos e características 
essenciais de equações diferenciais de primeira ordem envolvendo misturas salinas. Com o 
conhecimento das equações diferenciais de primeira ordem, pode-se determinar a quantidade 
de massa de sal dissolvida em água em função do tempo. 
 
4 
 
 
SUMÁRIO 
 
 
 
CAPITULO 1 – INTRODUÇÃO ................................................................................... 5 
 1.1 MODELAGEM MATEMÁTICA DE UMA MISTURA ........................................................ 5 
CAPITULO 2 – DESENVOLVIMENTO DE UM PROBLEMA ENVOLVENDO 
MISTURAS SALINAS .................................................................................................. 7 
CAPITULO 3 – CONCLUSÃO ..................................................................................... 9 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ......................................................................... 10 
 
 
5 
 
CAPITULO 1 – INTRODUÇÃO 
 
 
 A mistura é um processo extremamente obrigatório no dia-a-dia. Utilizamos a 
mistura para fazer diversas coisas, entre elas utiliza-la em processos químicos, ou em atividades 
rotineiras. A mistura contém duas ou mais substâncias simples ou compostas. A proporção 
entre os componentes da mistura pode ser alterada por métodos químicos, como a destilação. 
Portanto, todas as substâncias que compartilham o mesmo sistema constituem uma mistura e 
essa mistura pode dar origem à uma equação diferencial de primeira ordem. Na maioria dos 
casos envolvendo misturas e equações diferenciais, calcula-se a quantidade de uma substância 
 𝑸(𝒕) que há em um recipiente em qualquer instante de tempo (𝒕). 
 
1.1 MODELAGEM MATEMÁTICA DE UMA MISTURA 
 
 As unidades ou arranjo de unidades integradas entre si de maneira racional e/ou 
sistemática (reatores, trocadores de calor, tanques de aquecimento, tanques de mistura) são 
exemplos onde podemos simular o processo de modelagem matemática. 
Para o desenvolvimento da modelagem matemática de uma mistura, são definidas 
algumas propriedades. A definição das taxas de entrada e saída da solução corresponde a uma 
regra da cadeia do fluxo com a concentração dada pela equação abaixo. 
 
𝑑𝑄
𝑑𝑡
 = (𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝐸𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎) − (𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑆𝑎𝑖𝑑𝑎) 
 
 Em problemas envolvendo a quantidade de uma mistura salina que há em um 
recipiente em qualquer instante de tempo, utiliza-se a seguinte equação. 
𝑑𝑄
𝑑𝑡
= 𝑞𝑒 ∙ 𝐶𝑒 − 𝑞𝑠 ∙
𝑄
𝑉0 + (𝑞𝑒 − 𝑞𝑠)𝑡
 
Onde: 𝒒𝒆 → 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑎 á𝑔𝑢𝑎 𝑎𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟 
 𝒒𝒔 → 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑎 á𝑔𝑢𝑎 𝑎𝑜 𝑠𝑎𝑖𝑟 
 𝒕 → 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 
 𝑸 → 𝑄𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙 
 𝑽𝟎 → 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 
 𝑪𝒆 → 𝐶𝑜𝑛𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙 𝑛𝑜 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜 
6 
 
Observação: 
{𝑞{𝑒} = 𝑞{𝑠}}. O volume é constante 
{𝑞{𝑒} > 𝑞{𝑠}}. O volume aumenta 
{𝑞{𝑒} < 𝑞{𝑠}}. O volume diminui 
 
 Entende-se que quando a velocidade da água ao entrar for igual a velocidade ao 
sair, o volume será constante. Se a velocidade da água ao entrar for maior que ao sair, o volume 
aumenta e se for ao contrário o volume diminui. 
 
 
Tanque com uma mistura 
 
 Esta imagem foi retirada do site “luso academia”, assim como a referência dos cálculos. No 
capítulo 2 irá mostrar um problema simples envolvendo a quantidade de uma mistura salina que há em 
um recipiente em qualquer instante (t), através da equação diferencial. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
CAPITULO 2 – DESENVOLVIMENTO DE UM PROBLEMA 
ENVOLVENDO MISTURAS SALINAS 
 
 Em um tanque naval há 150 litros de solução salina que contem 20 kg de 
sal. Despeja-se água no tanque com uma velocidade de 10 litros por minuto e sai a 
mistura com velocidade de 9 litros por minuto. A concentração mantém-se 
homogênea. Encontre a quantidade de sal depois de meia hora. 
Dados: 
1. Volume inicial: 𝑉𝜊 = 𝟏𝟓𝟎𝒍 
2. Quantidade de sal: 𝑄(0) = 𝟐𝟎𝒌𝒈 
3. Velocidade da agua ao entrar: 𝑞𝑒 = 𝟏𝟎𝒍/𝒎𝒊𝒏 
4. Velocidade da agua ao sair: 𝑞𝑠 = 𝟗𝒍/𝒎𝒊𝒏 
5. Concentração de sal no inicio: Ce = 𝟎 
Se é a quantidade de sal no tanque em um dado momento. O volume de solução 
salina em qualquer momento é 
𝑉 = 𝑉0 + (𝑞𝑒 − 𝑞𝑠)𝑡 
A concentração de sal é: 
𝐶 =
𝑄
𝑉
=
𝑄
𝑉0 + (𝑞𝑒 − 𝑞𝑠)𝑡𝐶
 
 
Logo →
𝑑𝑄
𝑑𝑡
= −𝑞𝑠 ∙
𝑄
𝑉0+(𝑞𝑒−𝑞𝑠)𝑡
 
Substituindo os valores na equação temos: 
𝑑𝑄
𝑑𝑡
= −9 ∙
𝑄
150 + (10 − 9)𝑡
 
 
A equação é linear e pode ser escrita como 
𝑑𝑄
𝑑𝑡
+ 9 ∙
𝑄
150 + 𝑡
= 0 
Teremos um fator integrante neste caso: 
𝜇(𝑡) = 𝑒∫
9
150+𝑡 𝑑𝑡 = 𝑒9 ln(150+𝑡) = (150 + 𝑡)9 
8 
 
Multiplicando a equação por 𝜇(𝑡) obtemos: 
(150 + 𝑡)9 ∙
𝑑𝑄
𝑑𝑡
+ 9𝑄(150 + 𝑡)8 = 0 →
𝑑
𝑑𝑡
∙ [(150 + 𝑡)9𝑄] = 0 
Integrando-se obtemos: 
(150 + 𝑡)9 𝑄 = 𝑐 
 
Ou seja, 
𝑸 =
𝒄
(𝟏𝟓𝟎 + 𝒕)𝟗
 
 
Substituindo 𝑡 = 0 𝑒 𝑄 = 20 → 𝑐 = 7,68 ∙ 1020 
 
Substituindo o valor de encontrado temos: 
𝑄 =
7,68 ∙ 1020
(150 + 𝑡)9
 
para 𝑡 = 30, a quantidade de sal depois de meia hora será: 
𝑄(30) = 𝟑. 𝟖𝒌𝒈 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
 
CAPITULO 3 – CONCLUSÕES 
 
 A partir do que foi apresentado percebe-se a importânia das equaçoes diferênciais 
no estudo das ciências. Apresentando-se de modo que a natureza ferramental da mesma, seja 
fundamental para mensurar taxas de variações, comparando assim valores primarios com 
secundários (no caso acima entrada e saída) de misturas homogêneas e a encontrar quantidade 
de uma substância misturada que há no recipiente em função do tempo. 
 Nas atividades industriais, a maioria dos processos apresentam a necessidade de 
agitação e mistura em ao menos uma de suas etapas. No caso de um processo de mistura, supõe-
se geralmente que os componentes da mistura são perfeitamente misturados para facilitar a 
modelagem matemática. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
https://lusoacademia.org/2016/02/28/aplicacao-das-equacoes-
diferenciais-de-primeira-ordem-misturas/ 
 
http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/pde/arquivos/975-
4.pdf 
https://lusoacademia.org/2016/02/28/aplicacao-das-equacoes-diferenciais-de-primeira-ordem-misturas/
https://lusoacademia.org/2016/02/28/aplicacao-das-equacoes-diferenciais-de-primeira-ordem-misturas/
http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/pde/arquivos/975-4.pdf
http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/pde/arquivos/975-4.pdf