gabarito calculo diferencial e integral

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Cálculo Diferencial e 
Integral I
2018
Profª. Jaqueline Luiza Horbach
Prof. Leonardo Garcia dos Santos
GABARITO DAS 
AUTOATIVIDADES
2
Cálculo Diferencial e Integral I
UNIDADE 1
TÓPICO 1
1. Usamos o limite para descrever o comportamento de uma função à 
medida que o argumento da função tende a um determinado valor. O 
conceito de limite é usado para definir outros conceitos, como derivada 
e continuidade de funções. Analise as afirmações abaixo e classifique-
as em verdadeiro (V) ou falso (F).
a) (V) O limite de uma função da forma f (x) = ax + b, quando x tende para 0 
é b.
b) (F) Do Teorema do Confronto, podemos concluir que se ( )lim 0
x a
f x
→
= 
e ( )lim
x a
g x
→
= ∞, então ( ) ( )lim 0
x a
f x g x
→
⋅ = .
c) (F) Quando calculamos limites, podemos encontrar indeterminações, 
uma indeterminação representa um único valor real.
d) (F) Se ( ) 1limx a f x L→ = e ( ) 2limx a g x L→ = então 
( )
( )
1
2
lim
x a
f x L
g x L→
= , para qualquer 
L1 e L2.
2. Determine os pontos de acumulação dos conjuntos abaixo: 
a) A = (-∞, 3)
b) B = 2
11 ;n
n
 + ∈ 
 

c) C um conjunto finito
R.: 
a) A' = (-∞, 3]
b) B' = {1} 
c) C' = ∅
3. Mostre, usando a definição de limite, que 
2
2
3 2lim 0
5 1x
x x
x→
− +
=
−
.
R.: O problema já dá a resposta 
2
2
3 2lim 0
5 1x
x x
x→
− +
=
−
3
Cálculo Diferencial e Integral I
4. Prove, usando a definição de limite, que se ( )lim
x a
f x L
→
= , então 
( )( )lim 0
x a
f x L
→
− = .
R.: O problema já dá a resposta. 
5. Calcule os limites a seguir: 
R.:
a) 5 b) 43 c) 11 d) x2 e) 23 f) 1
g) 0 h) 12 log 16 i) 7
4
 j) 0 
6. Usando o Teorema do Confronto e da Função Limitada, calcule os 
limites:
R.:
2x – 3
x – 2
lim
x→-2
4
Cálculo Diferencial e Integral I
a) 0 b) 0 c) 1
7. Calcule o valor dos limites indeterminados:
R.:
a) 2 b) -6 c) 8 d) 2 e) 3
7
f) 1
128
 g) 7
4
 h) 11
27
 i) 2x j) - 6 
8. Para quais valores de c, o limite 
2
22
3 3lim
2x
x ax a
x x→
+ + +
+ −
 existe. E qual 
o valor do limite?
R.: Todo valor a ∈  
9. A definição de limite usando e e d foi introduzida pelo matemático 
Karl Weierstrass para formalizar o conceito, essa definição tornou as 
demonstrações de propriedades e teoremas do cálculo mais lógicas e 
concretas. Classifique as propriedades de limites abaixo em verdadeiro 
(V) ou falso (F):
a) (V) O limite da soma de funções é a soma dos limites dessas funções. 
b) (F) O limite da diferença entre duas funções é igual a zero. 
c) (F) O limite de uma função multiplicada por uma constante é igual à 
constante. 
d) (V) O limite do produto de duas funções é o produto dos limites dessas 
funções.
e) (F) O limite do quociente de duas funções é o quociente dos limites 
dessas funções.
5
Cálculo Diferencial e Integral I
TÓPICO 2 
R.: 12, 1 e não existe.
R.: 1, 5 e não existe.
R.: 3, 3 e 3.
4. A seguir está esboçado o gráfico de uma função y = f (x). Observando 
o gráfico, é possível estimar os seguintes limites:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 22 2
00 0
7 2, se 2
1. Seja ( ) . Calcular lim , lim e lim .
2 1, se 2
1, se 0
2. Seja 2, se 0 . Calcular lim , lim e lim .
x 5, se 0
3. Seja
xx x
xx x
x x
f x f x f x f x
x x x
x x
f x x f x f x f x
x
+ −
− +
→→ →
→→ →
− ≥
= 
− + <
 + <

= =
 + >
( ) ( ) ( ) ( )
3 22 2
1, se 2
 . Calcular lim , lim e lim .
x 1, se 2 xx x
x x
f x f x f x f x
x − + →→ →
+ <= 
+ ≥
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 22 2
00 0
7 2, se 2
1. Seja ( ) . Calcular lim , lim e lim .
2 1, se 2
1, se 0
2. Seja 2, se 0 . Calcular lim , lim e lim .
x 5, se 0
3. Seja
xx x
xx x
x x
f x f x f x f x
x x x
x x
f x x f x f x f x
x
+ −
− +
→→ →
→→ →
− ≥
= 
− + <
 + <

= =
 + >
( ) ( ) ( ) ( )
3 22 2
1, se 2
 . Calcular lim , lim e lim .
x 1, se 2 xx x
x x
f x f x f x f x
x − + →→ →
+ <= 
+ ≥
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 22 2
00 0
7 2, se 2
1. Seja ( ) . Calcular lim , lim e lim .
2 1, se 2
1, se 0
2. Seja 2, se 0 . Calcular lim , lim e lim .
x 5, se 0
3. Seja
xx x
xx x
x x
f x f x f x f x
x x x
x x
f x x f x f x f x
x
+ −
− +
→→ →
→→ →
− ≥
= 
− + <
 + <

= =
 + >
( ) ( ) ( ) ( )
3 22 2
1, se 2
 . Calcular lim , lim e lim .
x 1, se 2 xx x
x x
f x f x f x f x
x − + →→ →
+ <= 
+ ≥
a) b) c)
d) e) f)
( )
( )
 0
 1
lim
lim
x
x
f x
f x
−
+
→
→
( )
( )
 0
 2
lim
lim
x
x
f x
f x
+
−
→
→
( )
( )
 1
 2
lim
lim
x
x
f x
f x
−
+
→
→
1. 
2. 
3. 
6
Cálculo Diferencial e Integral I
R.:
a) -1 b) -1 c) -∞ d) 12
− e) ∞ f) 0
5. Seja f (x) uma função definida para todo número real por
( )
2 4 , se 2
4 , se 2
x x x
f x
k x
 − ≤ −
= 
− > −
Determinar o valor da constante k para que exista ( )
2
lim
x
f x
→−
.
R.: - 8. 
6. Calcule os limites:
7. Uma população de bactérias está crescendo segundo a função 
( )
5 0,1 
0,1 
10
1 99
t
t
ep t
e
=
+
, onde t é o tempo em dias e p(t) é o número de indivíduo 
no tempo t. Os pesquisadores estão preocupados com o crescimento 
dessa população e fizeram as seguintes análises. Qual das afirmações 
abaixo está correta? 
R.: 
a) 1
2
− b) ∞ c) ∞ d) 1/e³ e) In 6 f) 5 
g) 1
2
− h) 1
2
− i) ( )log 7
7
 j) 1
7
Cálculo Diferencial e Integral I
a) ( ) Quando t = 0 o número de indivíduos da população era igual a 199.
b) ( ) Quando o tempo vai aumentando, tendendo ao infinito, o número de 
indivíduos vai ao infinito. 
c) ( ) Quando o tempo vai aumentando, tendendo ao infinito, o número de 
indivíduos vai decrescendo e tende a zero. 
d) (x) Quando o tempo vai aumentando, tendendo ao infinito, o número 
de indivíduos tende para 100.000. 
8. Um tanque contém 5.000 litros de água pura. É bombardeada para 
dentro do tanque, a uma taxa de 25L/min, uma solução que contém 
30 gramas de sal por litro de água. A concentração de sal em gramas 
por litro após t minutos é dada pela função 
 O que acontece com a concentração de sal quando t = ∞?
a) ( ) A concentração tende para infinito. 
b) ( ) A concentração tende para zero.
c) (x) A concentração estabiliza em 30 g/L. 
d) ( ) Nada podemos afirmar.
( ) 30
200
tC t
t
=
+
TÓPICO 3 
1. Verifique se cada função a seguir é contínua nos pontos indicados e 
esboce os gráficos:
=
8
Cálculo Diferencial e Integral I
R.: 
a) contínua 
b) contínua
c) descontínua 
d) contínua
e) descontínua 
f) contínua
R.:
a) contínua
b) contínua
c) contínua
2. Realize a análise das funções a seguir como um todo, utilizando-se 
das propriedades vistas neste tópico:
3. Verifique se a função f (x) = x4 – 2x3 – 2x² + 2x possui pelo menos uma 
raiz no intervalo (1, 3).
R.: Sim.
4. Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que a função
 f (x) = x3 - 7x2 + 3x + 2 possui duas raízes reais distintas no intervalo 
(-1, 5).
R.: Sim.
5. O conceito de função contínua é muito importante no estudo 
de funções, as funções contínuas em geral são as funções que 
apresentam mais propriedades, muitos teoremas importantes da 
matemática são válidos somente para funções contínuas. Em relação 
a funções contínuas, considere a função 
( ) ( )
( )
( )
2
2
4
a) 
b) 
c) 
sec
2
f x x
xf x
x
fx x x
=
−
=
−
= −
( )
2 2 , se 0
0, se 0
x x xf x x
x
 + +
≠= 
 =
9
Cálculo Diferencial e Integral I
e avalie as afirmações abaixo. 
I. f está definida no ponto x = 0;
II. ( )
0
lim
x
f x
→
 existe;
III. ( ) ( )
0
lim 0
x
f x f
→
= .
É correto o que se afirma em
a) ( x ) I, apenas. 
b) ( ) I e II, apenas.
c) ( ) I e III, apenas.
d) ( ) I, II e III.
6. Um estacionamento cobra R$ 15,00 na primeira hora e, a cada hora 
que passa, mais R$ 5,00. Sabendo que o estacionamento funciona por 
10 horas e que nenhum carro pode ficar no estacionamento quando 
ele está fechado, determine os pontos de descontinuidade da função 
que relaciona o tempo estacionado com o valor pago.
R.: 1hora, 2horas, 3 horas, ... , 9 horas.
7. Situações que podem ser modeladas por funções contínuas estão 
muito presentes no cotidiano das pessoas. Avalie as situações a 
seguir se elas podem ser modeladas por uma função contínua ou 
não, se a situação pode ser modelada por uma função contínua, use 
C; caso contrário, use D (descontínua).
a) ( C ) A temperatura em um local específico como uma função do tempo. 
b) ( C ) O custo de uma corrida de táxi como uma função da distância 
percorrida. 
c) ( C ) A velocidade de um automóvel como uma função do tempo.
d) ( D ) O valor pago como uma função da quantidade das unidades 
compradas.
10
Cálculo Diferencial e Integral I
TÓPICO 1 
UNIDADE 2
1. Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f a seguir 
no ponto P dado, se existir.
R.:
a) y = 8x - 10 b) não existe c) y = 6x - 11
2. Seja y = f (x) uma função, se a reta tangente a f passando pelo ponto 
(4, 3) também passa pelo ponto (0, 2), encontre o valor de f (4) e f'(4).
R.: 3 e 1,5
3. O deslocamento de uma partícula movendo-se ao longo de uma reta 
é dado pela equação y = t2 - 8t + 18, com t o tempo em segundos. 
a) Encontre a velocidade média no intervalo de tempo [3, 4].
b) Encontre a velocidade média no intervalo de tempo [4, 5].
c) Encontre a velocidade instantânea quando t = 3, 5.
d) Encontre a velocidade instantânea quando t = 4, 5.
R.: a) – 2 b) 2 c) – 1 d) 1
4. Se uma bola foi atirada ao ar com uma velocidade de 40 m/s, sua altura 
em metros depois de t segundo é dado por y = 40t - 16t2. Encontre a 
velocidade quando t = 2 s.
R.: 8 m/s
5. Usando a definição, calcule as derivadas das funções abaixo: 
a) f (x) = 4x2 + 4
( ) ( )
( )
( ) ( )
2
2
2
2 2 e 2,0
, se 0
( ) e 0,0
, se 0
2 e 3,7
a) 
b) 
c) 
f x x P
x x
f x P
x x
f x x P
= −
≤
= 
>
= −
11
Cálculo Diferencial e Integral I
TÓPICO 2
( )
0, se 0
5 , se 0 4
1 , se 4
5
x
f x x x
x
x

 ≤

= − < <

 ≥
−
b) g (x) = 6
c) f (x) = 2x + x2
d) f (x) = √x2 + 2x
R.:
a) f (x) = 8x
b) g' (x) = 0
c) f' (x) = 2x + 2xIn(2) 
d) ( )′
2
x +1
f x =
x +2x
6. Considere a função 
a) Calcule a derivada de f e determine o domínio de f'.
b) A função f é contínua em todos os pontos? 
R.:
a) ( )
( )
0, 0
1, 0 4
1 , 4
5 ^ 2 
x
f x x
x
x

 ≤= − < <

 ≥
−
′

 se 
se
se 
 b) Não
7. Mostre que a derivada de uma função par é uma função ímpar.
R.: f' (x) = -f' (-x)
8. Mostre que a derivada de uma função ímpar é uma função par.
R.: f' (x) = f' (-x)
1. Prove usando a definição de derivada que se f e g forem deriváveis, 
então a função h (x) = f (x) - g (x) também é derivável e h'(x) = f'(x) - g'(x).
R.: h'(x) = f'(x) - g'(x)
12
Cálculo Diferencial e Integral I
2. Calcule a derivada das funções abaixo: 
4. Calcule a derivada da função inversa das funções abaixo: 
3. Calcule a derivada das funções abaixo: 
R.: 
a) f (x) = 8x
b) g' (x) = 0
c) f' (x) = 2x + 2xIn(2) 
d) ( )′
2
x +1
f x =
x +2x
R.: 
13
Cálculo Diferencial e Integral I
5. Calcule todas as derivadas das funções abaixo. 
R.:
a) 3x2, 6x, 6, 0, 0, ...
b) 2e2x, 4e2x, 8e2x, ...
c) 4x3, 12x2, 24x, 24, 0, 0, ...
d) 3 4
2 6, , 
x x
e) 12x(x2 + 2)5, 12(x2 + 2)4 (11x2 + 2),...
f) ex (x + 1), ex (x + 2),...
6. Mostre que a função y = e2x+3 satisfaz a igualdade y'' - y' - 2y = 0.
R.: Satisfaz.
R.:
a) 2
1
3x
 b) 1
2x
 c) x log(x) d) 2
2
3
x
x +
1. Calcule a derivadas das funções trigonométricas abaixo: 
TÓPICO 3
14
Cálculo Diferencial e Integral I
2. Determine a derivada segunda e terceira das funções trigonométricas: 
3. Mostre que valem as proposições abaixo: 
a) A derivada da função g:  → [0, p] - {
2
p } dada por g (y) = arcsec(y) é
 g'(y) = 2
1
 1y y −
.
b) A derivada da função g:  → [0, p] - {
2
p } dada por g (y) = arccossec(y) é 
g'(y) = - 2
1
 1y y −
.
c) A derivada da função g:  → (- 
2
p , 
2
p ) dada por g (y) = arccotg (y) é
 g'(y) = - 2
1
1 y+
.
R.:
a) 2x cos(x2 + 3) b) 12x3 cos(3x4- p2)
c) 24 sen2(8x) cos(8x) d) e3x (3 sen(2x) + 2 cos(2x))
e) -12x2sen(4x3 - 5) f) cos(x) - xsen(x)
h) sen(sen(x))(-cos(x)) i) (6x+ex)sec2(3x2+ex)
j) 4tg(2x)sec2(2x) l) sec2(x)
m) ( ) ( ) ( )( )
( )( )
2 2 2
2
x tg x sec x sen sec x
cos sec x
 n) -tg(x)
o) cos2(x) - sen2(x) p) cossec(x)(2sec2(2x) - tg(2x)cotg(x))
R.:
a) –sen(x)
b) –cos(x)
c) 2tg(x)sec2(x)
d) 2cotg(x)cossec2(x)
e) sec(x)(tg2(x) + sec2(x))
f) -sec(x) (sec2(x)sen(sec(x)) + tg2(x)sec(x)cos(sec(x) ) ) + tg2(x)sen(sec(x))
R.: Sim, valem as proposições.
15
Cálculo Diferencial e Integral I
4. Calcule as derivadas da função implícita dadas pelas equações a 
seguir: 
R.:
a) 
( )
( ) ( )
′
x
x
1- e cos y
y =
-e sen y +2y +cos y
b) ′
3 - xy =
y -5
c) 
( )( ) ( ) ( )′ 2
y ln sen x
y = + y arctg x cotg x
x +1
UNIDADE 3
TÓPICO 1
UNI AUTOATIVIDADES Deixamos a você, prezado acadêmico, criar uma 
relação com o conteúdo de funções quadráticas, visto em disciplinas 
anteriores e/ou no ensino médio. Lembre dos conceitos vistos no 
passado e com certeza você irá conseguir criar várias relações.
EXERCÍCIO: Faça um estudo equivalente para as funções: 
y = 12x - 3x2 e y = 4 - 18x - 3x2
R.: São parábolas, com concavidades voltada para baixo.
TÓPICO 1
1. Dada a função população em função do tempo ( )
3
21 30 2P x x= + , em 
milhões de habitantes, em função do tempo x, que é calculado em anos.
16
Cálculo Diferencial e Integral I
a) Encontre a função Crescimento Populacional. Em seguida, explique por 
que a derivada da função População indica o crescimento dela.
b) Qual a quantidade de habitantes em quatro anos?
c) O quanto a população estará crescendo daqui a exatos quatro anos?
R.:
a) 4
3
x b) 422
3
 c) 1688
9
2. Para cada função a seguir, determine: 
a) Os pontos críticos.
b) Os intervalos de crescimento e decrescimento.
c) Os pontos de máximo e mínimo.
d) Os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
R.:
a) x=3, decresce (-∞,3), cresce (3,∞), mínimo, cima (-∞,∞), não tem. 
b) x=0, decresce (-∞,0), cresce (0,∞), mínimo, cima (-∞,∞), não tem. 
c) x=0, cresce (-∞,∞), baixo (-∞,0), cima (0,∞), x=0 
d) x=0, cresce (-∞,0), decresce (0,∞), máximo, baixo (-∞,∞), não tem. 
e) x=0, decresce (-∞,0), cresce (0,∞), mínimo, cima (-∞,∞), não tem.
f) Não tem, decresce (-∞,0), decresce (0,∞), não tem, baixo (-∞,0), cima 
(0,∞), não tem. 
g) x=-4 e x=0, descresce (-4,-3), cresce (-3,∞), mínimo, cima (-4,∞), não tem.
h) x=1,5 e x=-1,5, decresc (-∞; 1,5), cresce (-1,5;1,5) decresce (1,5;∞), mínimo 
e máximo, cima (-∞,0), baixo (0,∞), x=0
17
Cálculo Diferencial e Integral I
4. Verifique que a função satisfaz as hipóteses do Teorema do Valor 
Médio sobre o intervalo dado. Então encontre todos os números c 
que satisfazema conclusão do Teorema do Valor Médio.
3. Verifique que a função satisfaz as hipóteses do Teorema de Rolle 
sobre o intervalo dado. Então encontre todos os números c que 
satisfazem a conclusão do Teorema de Rolle.
R.:
a) satisfaz 
b) satisfaz
c) satisfaz 
R.:
a) satisfaz 
b) satisfaz
c) satisfaz 
TÓPICO 2
1. Realize o esboço gráfico das seguintes funções seguindo o método 
visto neste tópico:
18
Cálculo Diferencial e Integral I
a)
b)
c)
19
Cálculo Diferencial e Integral I
d)
e)
f)
20
Cálculo Diferencial e Integral I
g)
TÓPICO 3
1. Uma cidade foi atingida por uma epidemia. Biólogos calculam que 
a quantidade de pessoas atingidas ao longo do tempo é dada pela 
expressão:
a) Qual a taxa de expansão da epidemia após 4 dias?
b) Qual a taxa de expansão da epidemia após 8 dias?
c) Quantas pessoas serão atingidas no 5º dia?
R.:
a) 64 - 2t2 b) -64 c) 279
2. Um importador de café estima que sua demanda será dada por:
( ) ³64
3
tf t t= −
 libras de café, quando o preço for p dólares por libra. Calcula-se 
também que daqui a t semanas o preço do café será
p (t) = 0,02t2 + 0,1t + 6
 dólares por libra. Qual será a taxa de variação da demanda de café 
daqui a 10 semanas?
R.: 6
( ) 4374
²
D p
p
=
21
Cálculo Diferencial e Integral I
3. Uma pedra é jogada em um laguinho de águas calmas, gerando 
ondas em forma de círculos concêntricos. O raio r da onda exterior 
aumenta a uma taxa constante de 0,3 metro por segundo. A que taxa 
a área da água perturbada está aumentando quando o raio exterior 
é de 1 metro?
R.: dA = 2pRdR
4. Cascalho está sendo empilhado em uma pilha cônica a uma taxa de 
3 metros cúbicos por minuto. Encontre a taxa de variação da altura 
da pilha quando a altura é 3 metros. (Suponha que o tamanho do 
cascalho é tal que o raio do cone é igual à sua altura.)
R.: 0,106 m/min
5. Por várias semanas, o Serviço de Trânsito vem pesquisando a 
velocidade do tráfego numa autoestrada. Verificou-se que num dia 
normal de semana, à tarde, entre 1 e 6 horas, a velocidade do tráfego 
é de aproximadamente
v(t) = 2t3 - 21t2 + 60t + 40
 quilômetros por hora, onde t é o número de horas transcorridas após 
o meio-dia. A que horas, dentro do intervalo de tempo mencionado, 
o tráfego se move mais rapidamente e a que horas se move mais 
lentamente?
R.: No tempo t = 1 e t = 6
6. Um campo retangular vai ser cercado ao longo da margem de um rio 
e não precisa de cerca ao longo do rio. Se o material da cerca custa 
R$ 40,00 por metro para o lado paralelo ao rio e R$ 25,00 por metro 
para os outros dois lados, encontre as dimensões do campo de maior 
área que pode ser cercado com um custo fixo de R$ 10.000,00.
R.: 100 metros.
7. Um fabricante precisa produzir caixas de papelão, com tampa, tendo 
na base um retângulo com comprimento igual ao triplo da largura. 
Calcule as dimensões que permitem a máxima economia de papelão 
para produzir caixas de volume de 36 m³.
R.: Largura 2m, comprimento 6m e altura 3m.
22
Cálculo Diferencial e Integral I
8. Uma lata cilíndrica com tampa superior tem volume 10 cm³. Determine 
as dimensões da lata, de modo que a quantidade de material para 
sua fabricação seja mínima.
R.: Raio e altura 3 5
p
.
TÓPICO 4
1. Utilize a regra de L’Hospital para calcular os limites:
R.:
a) 1
4
 b) 1
2
− c) 1 d) 1 e) 1 f) 2
2
1 p− +
 g) 1
2
−