Raciocínio lógico e Análise Combinatória - RESUMÃO

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Simples
Não pode ser dividida em 
proposições menores
Ex: Bruna é rica..
Deise é empresária.
Composta
São duas ou mais proposições 
conectadas entre si, resultando 
numa única declaração
Ex: Bruna é rica e Deise é 
empresária.
Proposições Lógicas 
1. Conceito 
Vamos iniciar pelo conceito mais elementar no 
estudo do Raciocínio Lógico: 
 
2. Princípios Aplicados às Proposições 
São princípios fundamentais que norteiam os 
estudos das proposições lógicas, sendo de fácil 
entendimento: 
 
3. Tipos de Proposições 
As proposições podem ser classificadas em simples 
ou compostas. 
 
 
 
 
 
 
Conectivos Lógicos e Tabela Verdade 
São os elementos que unem as proposições simples 
para formar as proposições compostas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
•É uma frase declarativa ou uma declaração, que pode 
assumir um dos dois valores lógicos: ou Verdadeiro (V)
ou Falso (F).
Proposição
•Uma proposição verdadeira é sempre verdadeira. 
Uma proposição falsa é sempre falsa.
Princípio da Identidade
•Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa
simultaneamente.
Princípio da não contradição
•Uma proposição só pode ter um dos dois valores 
lógicos, isto é, ou é verdadeira (V) ou falsa (F), não 
podendo ter outro valor.
Princípio do Terceiro Excluído
 SOLDADO PM/PA - MATEMÁTICA – RLM – RESUMÃO 
 Prof°: Rubem Machado - e-mail: rubemachado08@gmail.com 
 
 
Negação das Proposições Compostas 
Operação Negação Pra não esquecer 
𝒑 ∧ 𝒒 ∼ 𝒑 ∨ ∼ 𝒒 
Nega as duas trocando o “e” 
pelo “ou” 
𝒑 ∨ 𝒒 ∼ 𝒑 ∧ ∼ 𝒒 
Nega as duas trocando o 
“ou” pelo “e” 
𝒑 ∨ 𝒒 𝒑 ↔ 𝒒 Troca o ∨ pelo ↔ 
𝒑 → 𝒒 𝒑 ∧ ∼ 𝒒 MANÉ: mantém 𝑝 e nega 𝑞. 
𝒑 ↔ 𝒒 
(𝒑 → 𝒒) ∧ (𝒒 → 𝒑) 
⇓ 
[𝒑 ∧ (∼ 𝒒)] ∨ [𝒒 ∧ (∼ 𝒑)] 
Setinha saindo do “𝑝 para o 
𝑞” e do “𝑞 para o 𝑝”, ou seja, 
nega sua equivalência 
lógica. 
 
 
 
 
Lei da Dupla Negação 
∼ (∼ 𝒑) ⇔ 𝒑 
 
 
 
 
 
 
EQUIVALÊNCIAS IMPORTANTES: 𝒑 → 𝒒
Equivalência 1
( Contrapositiva )
∼ 𝒒 → ~𝒑
Nega tudo e inverte.
Equivalência 2
( Silogismo )
∼ 𝒑 ∨ 𝒒
NEYMAR: nega "p" ou 
mantém "q".
 
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
Fatorial 
Se n é um número natural, define-se fatorial 
de n (símbolo: n!) da seguinte forma: 
 0! = 1 ↳ +𝟑! = ∃ 
 1! = 1 ↳ −𝟑! = ∄ 
 2! = 2 ∙ 1 = 2 ↳ 𝟑! + 𝟐! ≠ 𝟓! 
 3! = 3 ∙ 2 ∙ 1 = 6 
 4! = 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 24 
 5! = 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 120 
 6! = 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 720 
 7! = 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 5040 
 
Princípio Fundamental da Contagem (P.F.C) 
Determinação do número de possibilidades de 
ocorrência sem precisar descrever todas. Os 
processos de contagem se baseiam em dois 
princípios fundamentais, que passaremos a 
estudar agora. 
 
 
 
 
 
 
PRINCÍPIOS E CONECTIVOS 
∎ 𝑃𝑟𝑖𝑛𝑐í𝑝𝑖𝑜 𝑀𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜: 𝑒 → ×
∎ 𝑃𝑟𝑖𝑛𝑐í𝑝𝑖𝑜 𝐴𝑑𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜: 𝑜𝑢 → +
Arranjos Simples
𝑨𝒏,𝒑 =
𝒏!
𝒏 − 𝒑 !
Combinação Simples
𝑪𝒏,𝒑 =
𝒏!
𝒑! 𝒏 − 𝒑 !
Permutação Simples
𝑷𝒏 = 𝒏!
Permutação Circular
𝑷𝑪𝒏 = 𝒏 − 𝟏 !
Arranjos com 
Repetição
𝑨𝒏,𝒑 = 𝒏
𝒑
Combinação com 
Repetição
𝑪𝒏,𝒑 =
𝒏 + 𝒑 − 𝟏 !
𝒑! 𝒏 − 𝟏 !
Permutação com 
Repetição
𝑷 𝒏
𝒂,𝒃,𝒄,… =
𝒏!
𝒂! 𝒃! 𝒄! …
"𝒏" = 𝒖𝒏𝒊𝒗𝒆𝒓𝒔𝒐
"𝒑" = 𝒑𝒂𝒓𝒕𝒆
DICA: Comece 
pela restrição.
De maneira geral: 
 𝒏! = 𝒏 ∙ (𝒏 − 𝟏)! (𝒄𝒐𝒎 𝒏 ∈ ℕ, 𝒏 > 𝟏) 
 
Probabilidade e Conjuntos 
A Existem infinitos eventos em um mesmo espaço 
amostral e a gente pode combinar eles de algumas 
formas. Vem comigo! 
𝐴→𝑠𝑎𝑖𝑟 𝑛º 𝑝𝑎𝑟 𝑛𝑜 𝑑𝑎𝑑𝑜 
𝐵→𝑠𝑎𝑖𝑟 𝑛º 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜 𝑛𝑜 𝑑𝑎𝑑𝑜 
 
A gente pode ter: 
✓ União dos eventos; 
✓ Interseção dos eventos; 
✓ Complementar de um evento. 
❖ Interseção: 𝐴∩𝐵→ quando ocorrer 𝐴 e 𝐵. 
 
Se são eventos independentes (a ocorrência de um não 
interfere na probabilidade de ocorrer o outro): 
𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) = 𝑷(𝑨) × 𝑷(𝑩) 
❖ União: 𝐴∪𝐵→ quando ocorrer 𝐴 ou 𝐵. 
 
𝑷(𝑨 ∪ 𝑩) = 𝑷(𝑨) + 𝑷(𝑩) − 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) 
Não esquece que pra eventos mutuamente exclusivos 
(𝐴∩𝐵=∅), a gente tem: 
𝑷(𝑨 ∪ 𝑩) = 𝑷(𝑨) + 𝑷(𝑩) 
Complementar: 𝑨𝒄 𝒐𝒖 �̅� → tudo que tá no espaço 
amostral e não faz parte do evento. 
 
𝑷(𝑨𝒄) = 𝟏 − 𝑷(𝑨) 𝒐𝒖 𝑷(�̅�) = 𝟏 − 𝑷(𝑨) 
Probabilidade Condicionada 
A probabilidade de ocorrer o evento B, dado que ocorreu 
um evento A, com 𝑃(𝐴) > 0, chama-se P(B | A) a 
probabilidade condicional de B dado A (ou probabilidade 
de B condicionada a A) definida pela expressão: 
 
Situações - Problemas 
Questão 01 – Para construir a tabela verdade 
da proporção ~(p "ou" ~q), um estudante montou o 
quadro apresentado. 
 
Ao se preencher completamente e corretamente a 
tabela, o número de F encontrado na última coluna 
é igual a: 
(A) 1 
(B) 3 
(C) 4 
(D) 0 
(E) 2 
 
Questão 02. (IADES) “Se Lula é o cara, então 
Obama é o craque”. A proposição equivalente a 
esta é: 
(A) Se Obama é o craque, então Lula é o cara. 
(B) Se Lula não é o cara, então Obama não é o 
craque. 
(C) Lula é o cara ou Obama não é o craque. 
(D) Lula não é o cara ou Obama é o craque. 
(E) Obama é o craque ou Lula é o cara. 
 
Questão 03. (IADES) Assinale a afirmativa que é 
logicamente equivalente à sentença “Se Manoel 
instalou a rede de computadores, então Joaquim 
configurou a rede de computadores”. 
(A) Manoel instalou a rede de computadores ou 
Joaquim configurou a rede de computadores. 
(B) Manoel instalou a rede de computadores ou 
Joaquim não configurou a rede de computadores. 
(C) Se Joaquim não configurou a rede de 
computadores, então Manoel não instalou a rede de 
computadores. 
(D) Se Manoel instalou a rede de computadores, 
então Joaquim não configurou a rede de 
computadores. 
(E) Se Manoel não instalou a rede de computadores, 
então Joaquim não configurou a rede de 
computadores. 
 
 
Questão 03. (IADES) Assinale a afirmativa que é 
logicamente equivalente à sentença “Se Manoel 
instalou a rede de computadores, então Joaquim 
configurou a rede de computadores”. 
(A) Manoel instalou a rede de computadores ou 
Joaquim configurou a rede de computadores. 
(B) Manoel instalou a rede de computadores ou 
Joaquim não configurou a rede de computadores. 
(C) Se Joaquim não configurou a rede de 
computadores, então Manoel não instalou a rede de 
computadores. 
(D) Se Manoel instalou a rede de computadores, 
então Joaquim não configurou a rede de 
computadores. 
(E) Se Manoel não instalou a rede de computadores, 
então Joaquim não configurou a rede de 
computadores. 
 
Questão 04. (IADES) Uma afirmação logicamente 
equivalente a “Se carros elétricos não poluem o 
ar, então eu não destruo a atmosfera” é: 
(A) Carros elétricos poluem o ar ou eu destruo a 
atmosfera. 
(B) Carros elétricos poluem o ar ou eu não destruo 
a atmosfera. 
(C) Carros elétricos não poluem o ar ou eu não 
destruo a atmosfera. 
(D) Carros elétricos poluem o ar e eu destruo a 
atmosfera.(E) Carros elétricos não poluem o ar e eu destruo a 
atmosfera. 
 
Questão 05. A contrapositiva da proposição 
condicional “Se Felipe é honesto, então Gabriel 
não é pontual” será dada por: 
(A) “Se Gabriel não é pontual, então Felipe é 
honesto”. 
(B) “Se Felipe não é honesto, então Gabriel é 
pontual”. 
(C) “Se Gabriel é pontual, então Felipe é honesto”. 
(D) “Se Felipe é pontual, então Gabriel não é 
honesto”. 
(E) “Se Gabriel é pontual, então Felipe não é 
honesto”. 
 
Questão 06. A frase “Se o agente administrativo 
arquivou os documentos, então o trabalho foi 
realizado” é equivalente a frase: 
(A) O agente administrativo arquivou os 
documentos ou o trabalho foi realizado. 
(B) O agente administrativo arquivou os 
documentos e o trabalho foi realizado. 
(C) O agente administrativo não arquivou os 
documentos ou o trabalho foi realizado. 
(D) O agente administrativo arquivou os 
documentos ou o trabalho não foi realizado. 
Questão 07. Dada a proposição: “Se eu investigar, 
eu descubro o assassino”, é correto afirmar que ela 
pode ser reescrita, sem alterar o sentido lógico, 
igual a alternativa: 
(A) “Se eu não investigar, eu não descubro o 
assassino”. 
(B) “Se eu não descobri o assassino, eu não 
investiguei”. 
(C) “Descobri o assassino e não investiguei”. 
(D) “Investiguei e não descobri o assassino”. 
(E) “Se eu descobri o assassino, eu não investiguei”. 
Questão 08. Durante um curso de formação, o 
instrutor emitiu a seguinte proposição: “As guias 
são todas timbradas ou o relatório não é válido”. 
Entre as afirmações abaixo, qual é logicamente 
equivalente? 
(A) “Se as guias são todas timbradas, então o 
relatório não é válido”. 
(B) “Se as guias não são todas timbradas, então o 
relatório é válido”. 
(C) “Se o relatório é válido, então as guias são todas 
timbradas”. 
(D) “As guias não são todas timbradas e o relatório 
é válido” 
Questão 09. Num determinado período os preços 
aumentaram 30% em média, e os salários, 56% em 
média. De quantos foi o aumento médio do poder 
aquisitivo dos assalariados? 
(A) 18% 
(B) 20% 
(C) 26% 
(D) 28% 
(E) 30% 
 
Questão 10. (UERJ – 2016) Um índice de inflação 
de 25% em um determinado período de tempo 
indica que, em média, os preços aumentaram 25% 
nesse período. Um trabalhador que antes podia 
comprar uma quantidade X de produtos, com a 
inflação e sem aumento salarial, só poderá comprar 
agora uma quantidade Y dos mesmos produtos, 
sendo Y < X. 
Com a inflação de 25%, a perda do poder de compra 
desse trabalhador é de: 
(A) 20% 
(B) 30% 
(C) 50% 
(D) 80% 
(E) 75% 
 
Questão 11. (IADES - 2019 - Conselho de 
Arquitetura e Urbanismo/AC - Auxiliar 
Administrativo) Antes de realizar uma cirurgia, o 
paciente perguntou ao médico qual era a 
probabilidade de a cirurgia dar certo e resolver o 
problema de saúde apresentado. O médico 
respondeu que a probabilidade de sucesso da 
cirurgia era de 99%. Com base nessa situação 
hipotética, é correto afirmar que a chance de a 
cirurgia não dar certo era igual a: 
(A) 0,99 
(B) 0,1 
(C) 1 
(D) 0,001 
(E) 0,01 
 
Questão 12. O uniforme para atividades físicas de 
determinado batalhão é composto por: tênis, 
camiseta e calção. Na última encomenda, foram 
solicitados tênis em 3 cores diferentes, camisetas 
em 4 cores diferentes e calções em 5 cores 
diferentes. Dois uniformes são considerados iguais 
quando tiverem os respectivos tênis, camisetas e 
calções na mesma cor. Com base nessa situação 
hipotética, quantos uniformes diferentes podem ser 
montados para esse batalhão? 
(A) 12 
(B) 56 
(C) 48 
(D) 24 
(E) 60 
 
Questão 13. (Probabilidade - (IADES) - 2018 - 
(IGEPREV/PA) - Técnico de Administração) 
Considerando E o espaço amostral e A, B, C e D, 
eventos de E, assinale a alternativa que 
corresponde à probabilidade de que o evento A não 
ocorra. 
(A) 𝑷(�̅�) = 𝟏 − 𝑷(𝑨) 
(B) 𝑷(�̅�) = 
𝟏
(𝑷(𝑩)+𝑷(𝑪)+𝑷(𝑫))
 
(C) 𝑷(�̅�) = 𝟏 − 𝑷(𝑩) + 𝑷(𝑪) + 𝑷(𝑫) 
(D) 𝑷(𝑨) = 𝑷(�̅�) + 𝟏 
(E) 
𝑷(�̅�)
𝑷(𝑨)
 = 𝟏 
Questão 14. (Probabilidade - (IADES) - 2018 - 
(PMDF/DF) - Soldado) Nesse final de semana, 2 
dos 40 soldados do batalhão em que Renato é 
lotado deverão ser sorteados para uma missão 
especial. Para tal, o comandante identificou os 
soldados com os números de 1 a 40 e colocou 40 
bolas numeradas de 1 a 40 em uma urna para 
retirar duas que corresponderiam aos sorteados. 
Ao ser retirada, a primeira bola caiu no chão e se 
perdeu, sem que o respectivo número tenha sido 
visto. O comandante então decidiu realizar o sorteio 
com as bolas restantes. 
Nessa situação hipotética, qual é a probabilidade de 
que Renato tenha sido um dos dois sorteados? 
(A) 1/20 
(B) 2/39 
(C) 1/1.560 
(D) 19/400 
(E) 79/1.600 
Questão 15. (Probabilidade - (IADES) - 2018 - 
(APEX Brasil) - Analista) Em um grupo de 
trabalho da Apex-Brasil, formado por 40 
colaboradores, 32 deles têm proficiência em inglês, 
28 têm proficiência em francês e 2 não têm 
proficiência nesses idiomas. Deseja-se escolher, ao 
acaso, um colaborador para representar a agência 
em um evento. Considerando que alguns 
colaboradores têm proficiência nos dois idiomas, 
qual a probabilidade de o escolhido ser proficiente 
em somente um desses idiomas? 
(A) 0,8 (B) 0,5 (C) 0,4 (D) 0,7 (E) 0,6