Teorema de Green - Resumo

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O Teorema de Green e Aplicações
Exercícios Resolvidos
Prof.Dr. Claus Haetinger1
2021
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O Teorema de Green
●eorge Green foi um matemático e físico inglês.
Nasceu em Sneinton, condado de Nottinghamshire, em 14 de
julho de 1793 e faleceu em Nottingham, em 31 de maio de 1841.
Na sua obra Essay on the Application of Mathematical Analysis to
the Theory of Electricity and Magnetism, introduziu a noção de
função potencial no estudo dos campos magnéticos.
O Teorema de Green, que demonstrou em 1828, facilitou
bastante o estudo das funções.
O asteroide 12016 Green foi batizado em sua honra.
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O Teorema de Green tem a virtude de relacionar a integral de
linha ao longo de uma curva fechada no plano com a integral
dupla sobre a região limitada por essa curva.
Em outras palavras, ele estabelece uma relação entre a integral
dupla de uma região D e a integral de linha ao longo de sua
fronteira.
Seja C uma curva simples, fechada e derivável, D a região do
plano delimitada por C, e P e Q duas funções reais de variável
real com derivadas parciais contínuas numa regão contendo D.
Então:
∫
C
(Pdx + Qdy) =
∫ ∫
D
(∂Q
∂x −
∂P
∂y )dA.
Para reforçar o fato de que a primeira integral é definida ao longo
de uma curva fechada, por vezes esta é representada por∮
C
(Pdx + Qdy).
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Para quem já avançou seus estudos, o Teorema de Green pode
ser visto como um caso especial do Teorema de Kelvin-Stokes,
quando aplicado a uma região no plano XOY .
De fato, pode-se aumentar o campo vetorial de duas dimensões a
um de três dimensões no qual a componente z = 0.
Neste caso,
∮
C
(Pdx +Qdy) =
∮
C
(P,Q, 0) · (dx , dy , dz) =
∮
C
F ·dr .
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Outro modo de análise se dá pelo Teorema da Divergência, o qual
pode ser aplicado a qualquer número de dimensões e se trata de
um caso especial do Teorema de Stokes.
Em duas dimensões, equivale ao Teorema de Green.
Esta análise também foge do escopo deste curso.
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O Teorema de Green é um dos quatro principais teoremas do
Cálculo multivariável:
Teorema de Green
Teorema da divergência em 2D
Teorema de Stokes
Teorema da divergência 3D.
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Cálculo de Área
Pode-se utilizar o Teorema de Green para calcular a área
delimitada por uma curva parametrizada e fechada.
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