Teorema de Green - Exemplos

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O Teorema de Green e Aplicações
Exercícios Resolvidos
Prof.Dr. Claus Haetinger1
2021
Haetinger O Teorema de Green e Aplicações 2021 1 / 153
O Teorema de Green e Aplicações O Teorema de Green
O Teorema de Green
O Teorema de Green aparece neste contexto, com o intuito de
facilitar os cálculos nos casos em que se aplica.
Sejam ~F um campo vetorial bidimensional, R uma região no
plano XOY e C a fronteira dessa região, orientada no sentido
anti-horário.
O Teorema de Green afirma que a integral de linha de ~F em torno
da fronteira de R é igual à integral dupla do rotacional de ~F em R:
∫ ∫
R
rot2D~FdA =
∮
C
~F · dr .
Você pode pensar no lado esquerdo da igualdade como sendo a
soma de todas as pequenas porções de rotação em todos os
pontos dentro da regiâo R e, no lado direito, como a medida da
rotação total do fluido ao redor da fronteira C de R.
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Forma Alternativa
É muito comum ver o Teorema de Green escrito assim:
Seja C uma curva simples, fechada e derivável, D a região do
plano delimitada por C, e P e Q duas funções reais de variável
real com derivadas parciais contínuas numa regão contendo D.
Então:
∫
C
(Pdx + Qdy) =
∫ ∫
D
(∂Q
∂x −
∂P
∂y )dA.
Para reforçar o fato de que a primeira integral é definida ao longo
de uma curva fechada, por vezes esta é representada por
∮
C
(Pdx + Qdy).
Isto está apenas explicitando o produto escalar na integral de
linha do lado esquerdo, assim como o rotacional na integral dupla
do lado direito.
Temos ~F = F (x , y) = P(x , y)~ı+ Q(x , y)~.
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Teorema
Teorema
(Teorema de Green)
Seja C uma curva plana simples, fechada, contínua por partes,
orientada positivamente, e seja D a região delimitada por C.
Se P e Q têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas
sobre uma região aberta que contenha D, então
∮
C
~F · dr =
∫
C
Pdx + Qdy =
∫ ∫
D
(∂Q
∂x −
∂P
∂X )dA.
prova: Ver THOMAS, seção 16.4. �
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Como se lembrar?
Mas, pessoalmente, eu nunca consigo lembrar deste formato de
P e Q.
Afinal, é ∂Q
∂x , ou seria
∂Q
∂y ?
Qual termo é subtraído mesmo?
Parta desta relação:
∮
C
~F · dr =
∫ ∫
R
rot2D~FdA.
Isto tem significado físico: a integral de linha de um campo
vetorial ~F (x , y) ao redor de uma curva fechada C, mede a rotação
de um fluido ao redor daquela fronteira C.
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O Teorema de Green e Aplicações O Teorema de Green
Escreva ~F (x , y) =
[
P(x , y)
Q(x , y)
]
.
(Lembre-se que P é o componente x e Q é o componente y .
Pense no fato que P vem antes de Q no alfabeto).
Expanda cada parte da integral de linha, rotacional, etc.
∮
C
[
P(x , y)
Q(x , y)
]
·
[
dx
dy
]
=
∫ ∫
R
rot2d
([
P(x , y)
Q(x , y)
])
dA.
Como o rot2d de uma função (F1,F2) é dado por
∂F2
∂x −
∂F1
∂y , segue
que:
∮
C
Pdx + Qdy =
∫ ∫
R
(∂Q
∂x −
∂P
∂y ) dxdy .
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Como saber quando usar o Teorema de Green?
Exemplo
Integral de linha - área.
Seja C a circunferência de raio 2 centrada em O(3,−2), orientada
no sentido anti-horário.
Calcule
∮
C
3ydx + 4xdy.
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Resolução
1. Verifique se a curva está orientada no sentido anti-horário. X
2. Identifique quem são P e Q.
P(x , y) = 3y e Q(x , y) = 4x .
3. Calcule as derivadas parciais ∂Q
∂x e
∂P
∂y .
∂Q
∂x = 4 e
∂P
∂y = 3
4. Calcule a integral
∫ ∫
R
(∂Q
∂x −
∂P
∂y ) dA
∫ ∫
R
(∂Q
∂x −
∂P
∂y ) dA =
∫ ∫
R
(4− 3)dA =
∫ ∫
R
dA
Neste caso, R é a própria área do círculo de raio 2, ou seja,
πr2 = π(2)2 = 4π. X
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Dica de Uso
O Teorema de Green pode transformar integrais de linha
complicadas em integrais duplas mais simples.
Para saber se o Teorema de Green realmente tornará uma
integral de linha mais simples, faça as duas perguntas a seguir:
∂Q
∂x é simples?
∂P
∂y é simples?
Leve em consideração se a região abrangida pela curva C será
fácil de descrever com uma integral dupla, ou se sua área é
conhecida.
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Exemplo 1
Exemplo
Determine a área delimitada pela elipse x
2
a2
+ y
2
b2
= 1.
Solução: utilizando a fórmula anterior, segue que a área da elipse é
dada por A = abπ. X
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Exemplo 2
Exemplo
Se ~F (x , y) = −y~ı+x~
x2+y2
, mostre que
∮
C
~F · dr = 2π, para todo
caminho fechado simples que circunde a origem.
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Exemplo 3
Exemplo
Calcule a integral I =
∮
C
(5− xy − y2)dx − (2xy − x2)dy, onde C é
o quadrado com vértices (0, 0), (1, 0), (1, 1) e (0, 1), percorrido no
sentido anti-horário.
Solução: Pelo Teorema de Green, I =
∫ 1
o
∫ 1
0 (−3x)dxdy = −
3
2 . X
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Exemplo 4
Exemplo
Calcule
∫
C
(3y − esen(x))dx + (7x +
√
y4 + 1)dy, onde C é o
círculo x2 + y2 = 9.
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Resolução
Se fôssemos trabalhar pela definição, teríamos que parametrizar
a curva C como ~σ = (3cos(t), 3sen(t)) e, quando inseríssemos
isto em esen(x) daria algo super complicado.
Pelo Teorema de Green, isto será mais simples.
Primeiro, consideremos a orientação de D no sentido anti-horário.
Assim, a integral de linha procurada fica sendo
∫ ∫
x2+y2≤9(
∂Q
∂x −
∂P
∂y )dxdy .
Temos: ∂Q
∂x =
∂
∂x (7x +
√
y4 + 1) = 7 e ∂P
∂y =
∂
∂y (3y − e
sen(x)) = 3.
Portanto, ∂Q
∂x −
∂P
∂y = 7− 3 = 4.
Nossa integral fica:
∫ ∫
x2+y2≤9 4dxdy = 4
∫ ∫
x2+y2≤9 dxdy = 4 · π(3)
2 = 36π. X
Se utilizássemos coordenadas polares: 0 ≤ r ≤ 3 e 0 ≤ θ ≤ 2π
4
∫ 2π
0
∫ 3
0 rdrdθ = 4
∫ 2π
0 dθ
∫ 3
0 rdr = 36π. X
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Exemplo 5
Exemplo
E se a curva não estiver orientada positivamente?
Calcule
∮
C
(3x2 + y2)dx + (5x2 + 4y2)dy, onde C é a fronteira da
região entre as curvas x = 0, y = x2 e y = 1, percorrida no
sentido horário.
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Resolução
Para calcular a integral de linha pela definição, teríamos que fazer
3 parametrizações (uma para cada curva), e calcular 3 integrais.
Muito trabalhoso!
Podemos aplicar o Teorema de Green?
Mas, a curva está orientada negativamente: basta multiplicarmos
o resultado final por −1.
Assim,
∮
C
(3x2 + y2)dx + (5x2 + 4y2)dy = −
∫ ∫
D
(∂Q
∂x −
∂P
∂y )dxdy .
Passo 2: encontrar os extremos de integração de D.
0 ≤ x ≤ 1, x2 ≤ y ≤ 1.
Passo 3: Calcular ∂Q
∂x −
∂P
∂y = 10x − 2y.
Passo 4: Montar e calcular a integral: −
∫ ∫
D
(∂Q
∂x −
∂P
∂y )dxdy .
Temos: −
∫ 1
0
∫ 1
x2
(10x − 2y)dydx = −
∫ 1
0 [10xy − y
2]1
x2
dx =
= −
∫ 1
0 (10x − 1− 10x
8 + x4)dx = −[5x2 − x − 104 x
4 + x
5
5 ]
1
0 =
= −5+ 1+ 104 −
1
5 = −
17
10 . X
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