UCA001 Estatistica Tema12

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Probabilidade: eventos complementares, 
eventos independentes, eventos 
mutuamente exclusivos
José Tadeu de Almeida
Introdução
Nesta aula, descreveremos importantes elementos relacionados à Teoria da Probabilidade 
e seus desdobramentos, a partir do conceito de evento e da própria probabilidade, enquanto 
mecanismo de verificação de possibilidades de ocorrência de um determinado fenômeno esta-
tístico. Assim, entenderemos como a Estatística Indutiva analisa os fenômenos estatísticos e 
infere probabilidades para estas situações.
Objetivos de aprendizagem
Ao final desta aula, você será capaz de:
 • diferenciar os eventos complementares dos independentes e mutuamente exclusivos.
1 Probabilidade
Para viabilizar nosso entendimento sobre a definição da probabilidade, é importante recu-
perarmos alguns elementos. O primeiro deles é o de experimento aleatório, que é o resultado de 
um processo no qual o pesquisador efetua inúmeras repetições de certa experiência, sem saber 
previamente qual será o resultado, uma vez que eles são esperados, mas não podem ser previstos 
(são atribuídos ao acaso). Em um jogo de dados de seis faces, por exemplo, o pesquisador que 
lance um dado mil vezes saberá que nestas mil vezes encontrará valores entre 1 e 6, mas sem 
saber qual deles aparecerá no próximo lançamento.
FIQUE ATENTO!
Não se confunda! Os resultados de um experimento aleatório são previstos, porém 
não são previsíveis, ou seja, sabemos quais os possíveis resultados decorrentes do 
experimento, mas não qual destes resultados iremos observar.
O segundo conceito é o de espaço amostral (também conhecido por conjunto universo), con-
junto que compreende todos os possíveis resultados decorrentes do experimento, especialmente 
o aleatório. Por exemplo, ao lançarmos uma moeda no jogo de ‘cara ou coroa’, o espaço amostral 
é dado por S = {cara; coroa}. No caso do jogo de dados de seis faces, os resultados formam o 
conjunto universo U = {1; 2; 3; 4; 5; 6}.
Figura 1 – Dados e experimentos aleatórios 
Fonte: serpeblu/Shutterstock.com
FIQUE ATENTO!
O conjunto universo pode conter de um a infi nitos elementos. Por exemplo, se um pes-
quisador deseja investigar a ocorrência de casos de uma doença infecto-contagiosa 
na população brasileira, seu espaço amostral será toda a população do país.
O terceiro conceito é o de evento, que pode ser entendido como a sentença que orienta o 
experimento do pesquisador. Por exemplo, considere um experimento aleatório, como o lança-
mento de um dado de 6 faces. Nele, o evento é A = {obter um número no lançamento de um dado} 
e o espaço amostral correspondente é S = {1; 2; 3; 4; 5; 6}.
Nesta situação, o experimento de lançamento do dado torna possível a visualização de qualquer 
resultado do espaço amostral, considerando que não há nenhum elemento que afete ou desvie o resul-
tado do experimento. Logo, temos que o espaço amostral “S” é um conjunto equiprovável, ou seja, há a 
mesma possibilidade de visualização dos diferentes resultados em qualquer repetição do experimento. 
Deste modo, os seis números do dado têm igual chance de serem sorteados no lançamento do mesmo. 
Assim, a probabilidade de um determinado número ser sorteado no evento “A” é dada por:
( ) ( )
( )
n A(n A(
P A =(P A =( )P A =)
n S(n S( 
Ou seja, a probabilidade é dada pela razão entre o número de elementos que compõem os 
possíveis resultados de um evento, e o número de elementos que compõem o espaço amostral. 
No exemplo do jogo de dados de 6 faces, a probabilidade do número “2” ser sorteado no dado é de 
1/6, ou seja, P (X = 2) = 1/6, em que X representa o número sorteado.
FIQUE ATENTO!
O cálculo das probabilidades é viável e lógico em situações nas quais o espaço 
amostral é um conjunto equiprovável. Caso haja alguma variável que afete a estabili-
dade e o caráter aleatório do experimento, como um baralho marcado, por exemplo, 
o cálculo das probabilidades associadas a um experimento perderá sua eficácia.
Figura 2 – Probabilidades em uma roleta 
Fonte: Fer Gregory/Shutterstock.com
Há duas notações possíveis para a probabilidade, o uso de porcentagens ou a expressão 
algébrica da razão mencionada na equação acima. Deste modo, podemos verificar que a proba-
bilidade de um evento aleatório qualquer, situa-se em qualquer ponto compreendido entre 0 e 1 
(ou seja, de 0% a 100%).
SAIBA MAIS!
Aprofunde seu conhecimento sobre a Teoria da Probabilidade no segundo 
capítulo da dissertação de mestrado de Rodrigo Rodrigues Fraga (UnB). Acesse: 
<http://www.impa.br/opencms/pt/ensino/downloads/PROFMAT/trabalho_
conclusao_curso/2013/rodrigues_fraga.pdf>.
2 Probabilidade de ocorrência de um evento
Agora, entenderemos os diferentes tipos de eventos que fazem parte da Teoria das Probabi-
lidades. Acompanhe!
O evento certo é aquele cuja probabilidade de ocorrer é de 100%, de forma que todos os 
elementos do espaço amostral são possíveis resultados deste evento. Suponhamos que um pes-
quisador selecione o evento B = {sortear um valor entre 1 a 6 em um dado}. Neste caso, há 100% 
de chance deste evento ser bem-sucedido. Logo, sua probabilidade, dada por P(B), é igual a 1.
Figura 3 – Apostas, probabilidades e corridas de cavalos
Fonte: Stefan Holm/Shutterstock.com
Eventos impossíveis são vistos quando nenhum dado do conjunto universo gera os resul-
tados necessários para o evento. Suponhamos que um pesquisador deseje o evento J = {obter 
valores entre 10 e 15 em um dado de seis faces}. Não há elementos no espaço amostral para este 
evento, logo, o conjunto de possíveis resultados é vazio, de notação Ø. Portanto, P (Ø) = 0. Neste 
contexto, dizemos que o Φ (vazio) representa o evento impossível. 
O evento simples ou elementar ocorre quando há apenas um resultado no espaço amostral 
que satisfaz as condições de um evento. Por exemplo, o evento A = {obter número 6 em um dado}. 
Neste caso, como n(A) = 1, temos que 
( ) ( )
( )
n A(n A( 1P A = =(P A = =( )P A = =) (P A = =( )P A = =)
(
P A = =
( )
P A = =
)
P A = =
n S n(n S n( )n S n) 
Deste modo, o evento A mencionado acima tem probabilidade de 1/6: n(S) = 6.
3 Eventos complementares
Eventos estipulados pelo pesquisador, e experimentados, podem ocorrer ou simplesmente 
não ocorrer. Por exemplo, ao adquirir um bilhete de loteria, o apostador pode ganhar ou perder. 
Assim, dependendo da probabilidade envolvida no experimento, é muito mais provável que um 
dado evento não ocorra que ocorra. Por exemplo, a chance de se ganhar o prêmio máximo em 
certas loterias é de um para dezenas de milhões, muito inferior a 0,01%. 
Assim, podemos pensar que um evento possui uma probabilidade de sucesso, dada por p, 
e uma probabilidade de fracasso, dada por q. Este valor q está associado a um evento comple-
mentar, ou seja, o evento que resume a possibilidade contrária ao objetivo do pesquisador que 
realiza o experimento.
SAIBA MAIS!
Podemos verificar que as probabilidades relacionadas a um evento são números 
reais entre zero e 1. Assim, há situações e experimentos cujas chances de sucesso 
são extremamente remotas ou limitadas, ou seja, próximas de zero. Como ganhar 
na loteria com uma aposta mínima, por exemplo.
Figura 4 – Sucesso e fracasso em máquinas caça-níqueis
Fonte: Cyclonphoto/Shutterstock.com
No exemplo do dado de 6 faces, sabemos que a chance do evento A = {obter número 6} é de 
1/6. Mas, qual a chance do evento “A” não acontecer? O espaço amostral do evento, que é o número 
de faces do dado, mostra que há ainda outros 5 resultados possíveis no experimento, de modo que 
a probabilidade do evento complementar B = {obter número diferente de 6} é igual a P(B) = 5/6.
Assim, podemos verificar que a soma das probabilidades de eventos complementares é 
igual a 1:
p + q = 1
Assim, no exemplo do dado de 6 faces, há 1/6 de chances de um dado mostrar o número6, 
e 5/6 deste experimento fracassar, ou seja, de não se visualizar o número esperado. A soma de 
probabilidades de eventos complementares, então, é igual a 1.
4 Eventos independentes
Eventos independentes são aqueles que podem ocorrer simultaneamente, de modo que a 
ocorrência do primeiro evento não afeta a ocorrência do segundo evento. Assim, suponhamos, den-
tro do experimento aleatório de lançamento de um dado, dois eventos: B = {obter um número ímpar}; 
e C = {obter o número 4}. Você pode perceber que os resultados possíveis do evento B não afetam 
a ocorrência do evento C, pois o evento B tem como resultados possíveis os números do conjunto 
F = {1; 3; 5}, e o evento C tem por resultados possíveis os números do conjunto A = {1; 2; 3; 4; 5; 6}. 
Temos, então, uma combinação de eventos independentes. Neste caso, a probabilidade de 
realização simultânea destes eventos é igual ao produto da probabilidade de realização de cada 
evento em separado.
EXEMPLO
Se, ao lançarmos um dado, e considerarmos o evento A= {obter número 2} e o evento 
B = {obter número 4}, qual a chance de obter sucesso no evento “A” e no evento “B” 
simultaneamente? A probabilidade de sucesso no evento “A” é dada por P(A) = 1/6. O 
evento “B” tem probabilidade de sucesso dada por P(B) = 1/6. Assim, a probabilidade 
de sucesso no evento “A” e no evento “B” é dada por (1⁄6) × (1⁄6) = 1⁄36.
Deste modo, verifi camos que quando dois ou mais eventos são independentes, a ocorrência 
de um evento não depende, necessariamente, da ocorrência de outro evento.
5 Eventos mutuamente exclusivos
Dois ou mais eventos são considerados mutuamente exclusivos quando não podem, dentro 
de um mesmo espaço amostral, ocorrer simultaneamente. Por exemplo, quando lançamos uma 
moeda, os eventos A = {obter ‘cara’}, com probabilidade dada por p1, e B = {obter ‘coroa’}, com pro-
babilidade igual a p2, não podem ocorrer ao mesmo tempo. Se um evento se realiza, o outro não 
poderá se realizar.
Neste caso, a probabilidade p, relacionada a eventos mutuamente exclusivos é dada pela 
soma da probabilidade de realização de cada evento em separado, de modo que:
p1 + p2 = p
EXEMPLO
Suponhamos os eventos mutuamente exclusivos A = {obter número 4 no lança-
mento de um dado} e B = {obter número 6}. A probabilidade de obtermos sucesso 
no evento A ou no evento B é dada por ( ) ( ) 1 1 2 1P A + P B = + = =(P A + P B = + = =( )P A + P B = + = =) (P A + P B = + = =( )P A + P B = + = =)P A + P B = + = =P A + P B = + = =P A + P B = + = =1 1 2 1P A + P B = + = =1 1 2 1
6 6 6 3
 
Fechamento
Nesta aula, você teve a oportunidade de:
 • conhecer o conceito de probabilidade e entendê-lo a partir da ocorrência de um evento;
 • diferenciar as probabilidades associadas a eventos complementares, independentes e 
mutuamente exclusivos.
Referências
BUSSAB, Wilton de Oliveira; MORETTIN, Pedro. Estatística Básica. 6.ed. São Paulo: Saraiva, 2010.
CRESPO, Antonio. Estatística Fácil. São Paulo: Saraiva, 2005.
FRAGA, Rodrigo Rodrigues. O estudo das loterias: uma abordagem motivadora e facilitadora para 
aprendizagem da probabilidade no Ensino Médio. Instituto Nacional de Matemática Pura e Apli-
cada, Rio de Janeiro, 2013. Disponível em: <http://www.impa.br/opencms/pt/ensino/downloads/
PROFMAT/trabalho_conclusao_curso/2013/rodrigues_fraga.pdf.>. Acesso em: 18 fev. 2017.