Efeito Compton

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ESTRUTURA DA MATÉRIA I 
GUILHERME SOUZA COSTA 
 
Efeito Compton
 
INTRODUÇÃO 
A natureza corpuscular da radiação foi 
dramaticamente confirmada em 1923 pelas 
experiências de Compton. Ele fez com que um 
feixe de raios X de comprimento de onda λ 
incidisse sobre um alvo de grafite, como é 
mostrado na figura a seguir. 
 
 
 
 
Mediu-se a intensidade dos raios X espalhados 
como função de seu comprimento de onda, 
para vários ângulos de espalhamento. A figura 
a seguir mostra seus resultados experimentais. 
Vemos que, embora o 
feixe incidente consista 
essencialmente de um 
único comprimento de 
onda λ, os raios X 
espalhados têm máximos 
de intensidade em dois 
comprimentos de onda; 
um deles é o mesmo que 
o comprimento de onda 
incidente, e o outro, λ’, é 
maior que λ por uma 
quantidade ∆λ = λ′ − λ, e 
varia com o ângulo 
segundo o qual os raios X espalhados são 
observados. Temos que 
 
∆λ = λ′ − λ → É chamada de deslocamento de 
Compton e ∆λ varia em função do ângulo (𝜃) 
segundo o qual os raios X são espalhados. 
A presença do comprimento de onda λ’ não 
pode ser compreendida se os raios X incidentes 
forem encarados como uma onda 
eletromagnética clássica. No modelo clássico o 
campo elétrico oscilante com frequência v da 
onda incidente age sobre os elétrons livres do 
alvo fazendo-os oscilar com a mesma 
frequência. Esses elétrons, como cargas 
oscilando em uma pequena antena de rádio, 
irradiam ondas eletromagnéticas com a mesma 
frequência v. Portanto, no modelo clássico a 
onda espalhada deveria ter a mesma 
frequência v e o mesmo comprimento de onda 
λ da onda incidente. 
INTERPRETAÇÃO DOS RESULTADOS 
Compton interpretou seus resultados 
experimentais postulando que o feixe de raios 
X incidente não era uma onda de frequência v, 
mas um conjunto de fótons, cada um com 
energia 𝐸 = ℎ𝑣, e que esses fótons colidiam 
com os elétrons livres do alvo da mesma forma 
que colidem duas bolas de bilhar. Nessa 
perspectiva, a radiação espalhada é composta 
por fótons que colidiram com elétrons do alvo. 
Já que o fóton incidente transfere parte de sua 
energia para o elétron com o qual colide, o 
fóton espalhado deve ter uma energia E’ 
menor; portanto, ele deve ter uma frequência 
mais baixa 𝑣′ =
𝐸′
ℎ
, o que implica um 
comprimento de onda λ′ =
𝑐
𝑣′
 maior. 
𝐸 > 𝐸′; 𝐸 = ℎ𝑣 𝑒 𝑐 = 𝑣λ 
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GUILHERME SOUZA COSTA 
↓ ↓ 
𝐾 𝑈0 
 
ℎ𝑣 > ℎ𝑣′ → 
ℎ𝑐
λ
=
ℎ𝑐
λ′
→ λ′ > λ 
Esse ponto de vista explica qualitativamente a 
variação de comprimento de onda, ∆λ = λ′ − λ 
Observe que na interação os fótons são 
encarados como partículas, e não como ondas, 
e que, ao contrário de seu comportamento no 
feito fotoelétrico, eles são espalhados em vez 
de serem absorvidos. 
ANÁLISE DA COLISÃO FÓTON-ELÉTRON 
QUANTITATIVAMENTE 
Para compreender porque ∆λ depende de 𝜃, 
precisamos fazer uma análise quantitativa. 
Assim, para radiação X de frequência v, a 
energia de um fóton no feixe incidente é 
𝐸 = ℎ𝑣 
Adotando a ideia de que o fóton é um pacote 
localizado de energia, vamos considera-lo 
como sendo uma partícula de energia E e 
momento p. Tal partícula deve, entretanto, ter 
certas propriedades bastantes especiais. 
Consideremos a equação que dá a energia total 
relativística de uma partícula em termos de 
massa de repouso m0 e sua velocidade v 
𝐸 =
𝑚0𝑐
2
√1 −
𝑣2
𝑐2
 
Já que a velocidade de um fóton é igual a c e 
sua energia E é finita, é aparente que a massa 
de repouso de um fóton deve ser zero. 
Portanto, podemos considerar que o fóton é 
uma partícula com massa de repouso nula, e 
cuja energia relativística total E é inteiramente 
cinética. O momento de um fóton pode ser 
calculado da relação geral entre energia 
relativística total E, o momento p, e a massa de 
repouso m0. Isto é 
𝐸 = 𝑐2𝑝2 + (𝑚0𝑐
2)2 
 
 
Para um fóton o segundo termo à direita é zero 
e temos 𝐸 = 𝑐𝑝, como 𝐸 = ℎ𝑣 =
ℎ𝑐
λ
 
𝑐𝑝 =
ℎ𝑐
λ
→ 𝑝 =
ℎ
λ
 
Encontramos o momento do fóton e seu 
comprimento de onda λ =
𝑐
v
 
É interessante observar que a teoria clássica de 
Mawell da radiação eletromagnética também 
leva a uma equação p =
𝐸
c
, onde agora p 
representa a quantidade de movimento por 
unidade de volume da radiação e E a sua 
energia por unidade de volume. 
Foi observado que a frequência v da radiação 
espalhada era independente do material que 
constituía o alvo. Isso implica que o 
espalhamento não envolve átomos inteiros. 
Compton supôs que o espalhamento era 
devido a colisões entre os fótons e os elétrons 
do alvo. Supôs também que os elétrons que 
participavam do processo de espalhamento 
estavam livres e inicialmente em repouso. 
Pode-se encontrar alguma justificativa a 
princípio para essas suposições se 
considerarmos que a energia de um fóton de 
raio X é varias ordens de grandeza maior do que 
a energia de um fóton de ultravioleta, e de 
nossa discussão do efeito fotoelétrico ficou 
claro que a energia de um fóton de ultravioleta 
é comparável à energia mínima com que o 
elétron está ligado em um metal. 
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Consideremos, então, a colisão entre um fóton 
e um elétron livre e estacionário, como visto na 
figura anteriormente. No diagrama da 
esquerda, um fóton de energia total 
relativística E0 e momento p0 incide sobre um 
elétron estacionário de energia de repouso ou 
própria m0c2. No diagrama da direita, o fóton é 
espalhado de um ângulo 𝜃 e se afasta com 
energia total relativística E1 e momento p1, 
enquanto que o elétron recua, formando um 
ângulo 𝜑 com o eixo da colisão, com energia 
cinética K e momento p. Compton aplicou a 
conservação do momento e da energia 
relativística total a esse problema de colisão. 
Foram usadas as equações relativísticas, uma 
vez que o fóton sempre se move com 
velocidades relativísticas, e o elétron com o 
qual ele se choca na maioria das vezes também 
o faz. 
PRINCÍPIO DE CONSERVAÇÃO DO MOMENTO 
Quando aplicamos a conservação do 
momento, temos que: 𝐴𝑛𝑡𝑒𝑠 = 𝐷𝑒𝑝𝑜𝑖𝑠 
𝑃𝑓ó𝑡𝑜𝑛 + 𝑃𝑒𝑙é𝑡𝑟𝑜𝑛 = 𝑃′𝑓ó𝑡𝑜𝑛 + 𝑃′𝑒𝑙é𝑡𝑟𝑜𝑛 
𝑥: 
ℎ
λ
+ 0 =
ℎ𝑐𝑜𝑠𝜃
λ′
+ 𝑃𝑒𝑙é𝑡𝑟𝑜𝑛𝑐𝑜𝑠𝜑 
→ 𝑥: 
ℎ
λ
−
ℎ
λ
𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑃𝑒𝑙é𝑡𝑟𝑜𝑛𝑐𝑜𝑠𝜑 (1) 
𝑦: 0 =
ℎ𝑠𝑒𝑛𝜃
λ′
− 𝑃𝑒𝑙é𝑡𝑟𝑜𝑛𝑠𝑒𝑛𝜑 
→ 𝑦: 
ℎ
λ′
𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑃𝑒𝑙é𝑡𝑟𝑜𝑛𝑠𝑒𝑛𝜑 (2) 
Elevando ao quadrado (1) e (2) e depois 
somando, obtemos: 
→ (
ℎ
λ
−
ℎ
λ
𝑐𝑜𝑠𝜃)2 = 𝑃2𝑒𝑙é𝑡𝑟𝑜𝑛𝑐𝑜𝑠
2𝜑 
 → (
ℎ
λ′
𝑠𝑒𝑛𝜃)2 = 𝑃2𝑒𝑙é𝑡𝑟𝑜𝑛𝑠𝑒𝑛
2𝜑 
→ (
ℎ
λ
−
ℎ
λ
𝑐𝑜𝑠𝜃)2 + (
ℎ
λ′
𝑠𝑒𝑛𝜃)
2
= 
𝑃2𝑒𝑙é𝑡𝑟𝑜𝑛(𝑐𝑜𝑠
2𝜑 + 𝑠𝑒𝑛2𝜑) 
→ (
ℎ
λ
)2 −
2ℎ2
λλ′
𝑐𝑜𝑠𝜃 +
ℎ2
λ′2
𝑐𝑜𝑠2𝜃 +
ℎ2
λ′2
𝑠𝑒𝑛2𝜃
= 𝑃2𝑒𝑙é𝑡𝑟𝑜𝑛 
→
ℎ2
λ2
−
2ℎ2
λλ′
𝑐𝑜𝑠𝜃 +
ℎ2
λ′2
(𝑐𝑜𝑠2𝜃 + 𝑠𝑒𝑛2𝜃)
= 𝑃2𝑒𝑙é𝑡𝑟𝑜𝑛 
 →
ℎ2
λ2
+
ℎ2
λ′
2 −
2ℎ2
λλ′
𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑃2𝑒𝑙é𝑡𝑟𝑜𝑛 (#) 
Princípio de conservação da energia 
relativística 
Ao aplicar o princípio de conservação da 
energia relativística, encontramos 
𝐴𝑛𝑡𝑒𝑠 = 𝐷𝑒𝑝𝑜𝑖𝑠 
𝐸𝑓ó𝑡𝑜𝑛 + 𝐸𝑒𝑙é𝑡𝑟𝑜𝑛 = 𝐸′𝑓ó𝑡𝑜𝑛 + 𝐸′𝑒𝑙é𝑡𝑟𝑜𝑛 
Perceba que: 
➢ 𝐸𝑓ó𝑡𝑜𝑛 → só possui energia cinética; 
➢ 𝐸𝑒𝑙é𝑡𝑟𝑜𝑛 → só possui energia potencial; 
➢ 𝐸′𝑓ó𝑡𝑜𝑛 → só possui energia cinética; 
➢ 𝐸′𝑒𝑙é𝑡𝑟𝑜𝑛 → possui energia cinética e 
potencial. 
Nessa perspectiva, 
ℎ𝑣 + 𝑚0𝑒𝑐
2 = ℎ𝑣′ + 𝐾𝑒𝑙é𝑡𝑟𝑜𝑛 + 𝑚0𝑒𝑐
2 
ℎ𝑣 − ℎ𝑣′ = 𝐾𝑒𝑙é𝑡𝑟𝑜𝑛 
→
ℎ𝑐λ
−
ℎ𝑐
λ′
= 𝐾𝑒𝑙é𝑡𝑟𝑜𝑛 (∗) 
Lembre-se que a energia relativística total é 
dada por 
𝐸 = 𝐾 + 𝑚0𝑐
2 (𝐼) 
 Onde 𝐾 representa a energia cinética 
relativística e 𝑚0𝑐
2 a energia de repouso. 
Dessa forma, 
𝐸2 = 𝑝2𝑐2 + (𝑚0𝑐
2)2 (𝐼𝐼) 
Onde 𝐾 foi expresso em termos do momento. 
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Substituindo (𝐼) em (𝐼𝐼), obtemos: 
(𝐾 + 𝑚0𝑐
2)2 = 𝑝2𝑐2 + (𝑚0𝑐
2)2 
𝐾2+2𝐾𝑚0𝑐
2 + (𝑚0𝑐
2)2 = 𝑝2𝑐2 + (𝑚0𝑐
2)2 
𝐾2
𝑐2
+2𝐾𝑚0 = 𝑝
2 (𝐼𝐼𝐼) 
Substituindo (∗) e (#) em (𝐼𝐼𝐼), temos que 
(
ℎ𝑐
λ
−
ℎ𝑐
λ′
)
2
𝑐2
+ 2(
ℎ𝑐
λ
−
ℎ𝑐
λ′
)𝑚0 = 
ℎ2
λ2
+
ℎ2
λ′2
−
2ℎ2
λλ′
𝑐𝑜𝑠𝜃 
Rearrumando a expressão: 
(
ℎ𝑐
λ
−
ℎ𝑐
λ′
)
2 𝑐2
𝑐2
+ 2 (
ℎ
λ
−
ℎ
λ′
) 𝑐𝑚0 = 
ℎ2
λ2
+
ℎ2
λ′2
−
2ℎ2
λλ′
𝑐𝑜𝑠𝜃 
Simplificando: 
ℎ2
λ2
− 2
ℎ2
λλ′
+
ℎ2
λ′2
+ 2𝑚0𝑐 (
ℎ
λ
−
ℎ
λ′
) = 
ℎ2
λ2
+
ℎ2
λ′2
−
2ℎ2
λλ′
𝑐𝑜𝑠𝜃 
2𝑚0𝑐 (
ℎ
λ
−
ℎ
λ′
) = 2
ℎ2
λλ′
− 2
ℎ2
λλ′
𝑐𝑜𝑠𝜃 
𝑚0𝑐 (
ℎ
λ
−
ℎ
λ′
) =
ℎ2
λλ′
(1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃) 
𝑚0𝑐ℎ (
1
λ
−
1
λ′
) =
ℎ2
λλ′
(1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃) 
𝑚0𝑐
(λ′ − λ)
λλ′
=
ℎ
λλ′
(1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃) 
(λ′ − λ) =
ℎ
𝑚0𝑐
(1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃) 
Onde (λ′ − λ) = ∆λ e 
ℎ
𝑚0𝑐
= λ𝑐. Portanto, 
encontramos 
∆λ = λ𝑐(1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃) 
Vale ressaltar que ∆λ representa o 
deslocamento Compton e 
λ𝑐 =
ℎ
𝑚0𝑐
= 2,43𝑥10−12𝑚 ≅ 0,0243Å 
Onde λ𝑐 é chamado de comprimento de onda 
Compton e 𝑚0 a massa do elétron. 
Observe que ∆λ, o deslocamento Compton, 
depende apenas do ângulo de espalhamento 𝜃 
e não do comprimento de onda inicial λ. 
CONSIDERAÇÕES SOBRE O EFEITO COMPTON 
Apesar de explicar o surgimento de um fóton 
com menor energia e a dependência λ′ em 
função do ângulo de espalhamento, o fóton 
espalhado com a mesma energia do fóton 
incidente ainda não foi explicado do ponto de 
vista da teoria corpuscular da luz. 
Para explicar λ′ supusemos até aqui que o 
elétron com o qual o fóton colide está livre. 
Mesmo que o elétron esteja inicialmente 
ligado, essa suposição é justificada pelo fato da 
energia cinética adquirida por ele na colisão ser 
muito maior do que a sua energia de ligação. 
No entanto, se o elétron estiver muito 
fortemente ligado a um átomo do alvo, ou a 
energia do fóton incidente for muito pequena, 
há uma chance de que o elétron não seja 
ejetado do átomo. Nesse caso, podemos 
pensar que a colisão se dá entre o fóton e o 
átomo inteiro. O átomo ao qual o elétron está 
ligado recua como um todo após a colisão. 
Então a massa característica para o processo é 
a massa M do átomo e ela deve substituir na 
equação do deslocamento Compton a massa 
eletrônica 𝑚0. 
Como 𝑀 ≫ 𝑚0 (por exemplo 𝑀 ≅ 22000𝑚0 
para o carbono) vemos que o deslocamento 
Compton para colisões com elétrons 
fortemente ligados é extremamente pequeno 
(um milionésimo de angstrom para o carbono), 
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de modo que o comprimento de onda do fóton 
espalhado permanece praticamente igual. 
∆λ =
ℎ
𝑚0𝑐
(1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃) =
ℎ
𝑀𝑐
(1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃) 
∆λ = 0 𝑒 λ′ = λ 
Em resumo, alguns fótons são espalhados por 
elétrons que são liberados pela colisão; esses 
fótons tem seu comprimento de onda 
modificado. Outros fótons são espalhados por 
elétrons que permanecem ligados após a 
colisão; esses fótons não tem seu comprimento 
de onda modificado.