Operadores ortogonais e operadores simetricos

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2 Operadores ortogonais e operadores simétricos
Def. 2.1 Um operador linear em V é um operador ortogonal se preserva norma, isto é, se
|Tv| = |v|, ∀v ∈ V.
Theorem 2.2 Dado um operador linear T : V → V , as seguintes proposições são equivalentes:
(a) T é ortogonal;
(b) T preserva produto interno, ou seja,
< Tu, Tv >=< u, v >, ∀u, v ∈ V ;
(c) a matriz de T em relação a qualquer base ortonormal de V é uma matriz ortogonal; ou
seja, se β é uma base ortonormal de V e A = [T ]ββ, então AA
t = AtA = I.
De acordo com o Teorema anterior, para saber se T é um operador linear em V , basta obter a
matriz de T em relação a uma base ortonormal qualquer de V e verificar se essa matriz é ortogonal.
No caso em que V = Rn, em geral é mais simples obter a matriz do operador em relação à base
canônica de Rn (ver próximo exemplo).
OBS 2.3 Uma matriz de ordem n× n é uma matriz ortogonal se e somente se suas linhas (ou suas
colunas) formam uma base ortonormal de Rn.
Exemplo 2.4 A aplicação T (x, y) = (x
2
−
√
3
2
y,
√
3
2
x− y
2
) é um operador ortogonal em R2. De fato,
escolhendo como β a base canônica de R2 e chamando de A a matriz de T na base β, temos
A =
(
1
2
−√3
2√
3
2
1
2
)
.
Logo, usando a Observação 2.3, vemos que A é uma matriz ortogonal, logo, pelo Teorema 2.2, T é
um operador ortogonal.
Def. 2.5 Um operador linear em V é um operador auto-adjunto ou simétrico se
< Tu, v >=< u, Tv >, ∀u, v ∈ V.
Do modo semelhante ao que ocorre para operadores ortogonais, também para verificar se um
operador é simétrico, em geral analisamos a matriz do operador, com base no resultado a seguir.
Theorem 2.6 Um operador linear T : V → V é simétrico se e somente se a matriz de T em relação
a qualquer base ortonormal de V é uma matriz simétrica; ou seja, se β é uma base ortonormal de V
e A = [T ]ββ, então A = A
t.
Exemplo 2.7 A aplicação T (x, y) = (2x − y,−x + πy) é um operador simétrico em R2. De fato,
escolhendo mais uma vez a base canônica de R2, a matriz de T nessa base é
(
2 −1
−1 π
)
,
que é uma matriz simétrica. Logo, de acordo com o Teorema 2.6, T é um operador simétrico.
OBS 2.8 Ainda sobre o Teorema 2.6, se β não for uma base ortonormal, então não se pode garantir
que o operador é simétrico. Por exemplo, considere em R2 o operador T (x, y) = (x − 2y,−y) e
β = {(1, 0), (1, 1)}. Como T (1, 0) = (1, 0) e T (1, 1) = (−1,−1), então
[T ]ββ =
(
1 0
0 −1
)
é uma matriz simétrica. No entanto, o operador T não é simétrico. Basta ver, por exemplo, que
< T (1, 0), (0, 1) >=< (1, 0), (0, 1) >= 0 e < (1, 0), T (0, 1) >=< (1, 0), (−2,−1) >= −2.