Avaliação II - Cálculo Diferencial e Integral II (MAD103)

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Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral II (MAD103) 
Avaliação: Avaliação II - Individual Semipresencial ( Cod.:447682) ( peso.:1,50) 
Prova: 9657767 
Nota da Prova: 8,00 
 
Legenda: Resposta Certa Sua Resposta Errada 
1. A integral múltipla é uma integral definida para funções de múltiplas variáveis. Além de calcular áreas e 
volumes definidos por funções de mais de uma variável, este conceito também possui aplicações na área 
da física, como, por exemplo, no cálculo do centro de massa de um corpo. Baseado nisto, classifique V 
para as sentenças verdadeiras e F para as falsas sobre as integrais abaixo quanto a sua relação com a 
região compreendida entre y = x³ e y = 4x. 
 
 a) F - F - V - F. 
 b) F - V - F - F. 
 c) F - F - F - V. 
 d) V - F - F - F. 
 
2. O estudo da derivação parcial permite que estendamos os conceitos estudados no Cálculo Diferencial e 
Integral para duas dimensões, para o espaço tridimensional. Com isto, podemos generalizar vários casos 
existentes e que antes não eram acessados. Baseado nisto, dada a função f(x,y) = ln (x.y), analise as 
sentenças a seguir: 
 
I- f(x,y) é diferenciável em todos os pontos do plano. 
II- A soma de suas derivadas parciais é 1/x + 1/y. 
III- A soma de suas derivadas parciais é x + y. 
IV- O limite da função quando (x,y) tende a (0,0) é zero. 
 
Assinale a alternativa CORRETA: 
 a) As sentenças I e III estão corretas. 
 b) Somente a sentença I está correta. 
 c) Somente a sentença II está correta. 
 d) As sentenças II e IV estão corretas. 
 
3. Uma peça cilíndrica tem 10 cm de raio e 18 cm de altura. Se o raio aumentar à razão de 0,1 cm/s e a 
altura diminuir à razão de 0,05 cm/s, qual a taxa de variação do volume desse cilindro em relação ao 
tempo? 
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 a) 108,04. 
 b) 97,34. 
 c) 97,7. 
 d) 98,1. 
 
4. As funções delimitam os espaços que serão analisados pelo conceito de integral. Deste modo, calcule a 
área da região limitada pelas funções y = x, y = 3x e x + y = 4. 
 a) Área = 0. 
 b) Área = 3. 
 c) Área = 1. 
 d) Área = 2. 
 
5. A função do tipo x=y é chamada dentro da matemática de função identidade, ou seja, valores em "x" 
serão iguais para "y". Deste modo, as funções y = 2, y = x e y = 2x delimitam uma região do plano 
cartesiano. Utilizando a integração do tipo II, calcule a área dessa região. Em seguida, assinale a 
alternativa CORRETA: 
 a) Área = 0. 
 b) Área = 1. 
 c) Área = 2. 
 d) Área = -1. 
 
6. Em matemática, a matriz hessiana de uma função f de n variáveis é a matriz quadrada com n colunas e n 
linhas (n X n) das derivadas parciais de segunda ordem da função. Por isso, esta matriz descreve a 
curvatura local da função "f". Matrizes hessianas são usadas em larga escala em problemas de otimização 
que não usam métodos Newtonianos. Baseado na matriz hessiana a seguir, classifique V para as 
sentenças verdadeiras e F para as falsas: 
 
( ) A matriz hessiana no ponto (1,1) é a matriz identidade. 
( ) A matriz hessiana no ponto (1,1) é a matriz nula. 
( ) A matriz hessiana ajuda a definir pontos críticos da função. 
( ) A matriz hessiana tem ordem igual ao maior grau da função. 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
 
 a) F - F - V - V. 
 b) V - F - V - F. 
 c) F - V - V - F. 
 d) V - V - F - F. 
 
7. Calculando por integral dupla, a área da região limitada pelas curvas y=x² e y=4, obtemos: 
 a) Área igual a 32/3 u.a. 
 b) Área igual a 20/3 u.a. 
 c) Área igual a 11/3 u.a. 
 d) Área igual a 16 u.a. 
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8. O diferencial total de uma função real de várias variáveis reais corresponde a uma combinação linear de 
diferenciais, cujos coeficientes compõem o gradiente da função. O que é realizado é a soma das derivadas 
parciais em cada direção dada na função de várias variáveis. Dada a função f(x,y) = x²y + xy², analise as 
sentenças a seguir: 
 
I- O diferencial total de f é xy. 
II- O diferencial total de f é 2xy. 
III- O diferencial total de f é x² + y² + 4xy. 
IV- O diferencial total de f é x² + y² + 8xy. 
 
Assinale a alternativa CORRETA: 
 a) Somente a sentença III está correta. 
 b) Somente a sentença II está correta. 
 c) Somente a sentença IV está correta. 
 d) Somente a sentença I está correta. 
 
9. A que taxa está crescendo a área de um retângulo se seu comprimento é de 10 cm e está crescendo a uma 
taxa de 1 cm/s, sendo que sua largura é de 9 cm e está crescendo a 0,8 cm/s? 
 a) A taxa é 17 cm²/2. 
 b) A taxa é 16 cm²/2. 
 c) A taxa é 18 cm²/2. 
 d) A taxa é 22 cm²/2. 
 
10. Existem várias técnicas para se construir gráficos de funções. A mais simples é atribuir valores do 
domínio em "x" e achar seus correspondentes em "y". Neste sentido, calcule a área da região no 1° 
quadrante limitada pelas funções: 
 
f(x) = -3x + 6, f(x) = 2x e f(x) = 0. 
 
Em seguida, assinale a alternativa CORRETA: 
 a) Área = 2,5. 
 b) Área = 2,3. 
 c) Área = 2,4. 
 d) Área = 2,2. 
 
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