Resumo - Função Geradora de Momentos

Prévia do material em texto

Função Geradora de Momentos 
 
Sumário 
Função Geradora de Momentos (F.G.M.): ................................................................................... 2 
Série de Maclaurin: ................................................................................................................... 2 
Parâmetros: .................................................................................................................................. 3 
Estimador: ..................................................................................................................................... 3 
Estimativa: .................................................................................................................................... 3 
Distribuições Discretas de Probabilidade: ................................................................................... 3 
Distribuição Binomial (𝑛, 𝑃): ..................................................................................................... 3 
Binômio de Newton: .............................................................................................................. 3 
Distribuição Bernoulli (𝑃): ........................................................................................................ 4 
Distribuição de Poisson (𝜆): ...................................................................................................... 5 
Distribuição Geométrica (𝑃): .................................................................................................... 6 
Distribuições Contínuas de Probabilidade:.................................................................................. 6 
Distribuição Normal Padrão (𝜇 = 0; 𝜎2 = 1): ........................................................................ 6 
Distribuição Normal (𝜇; 𝜎2): .................................................................................................... 7 
Distribuição Uniforme (𝐴, 𝐵): ................................................................................................... 8 
Distribuição Gama (𝛼, 𝛽): 𝛽 = 1𝜆 ....................................................................................... 10 
Distribuição Gama (𝛼, 𝜆): 𝜆 = 1𝛽 ........................................................................................ 11 
Distribuição Exponencial (𝛽): ................................................................................................. 12 
Distribuição Exponencial (𝜆): .................................................................................................. 13 
𝜒𝑛2 → Distribuição Qui-quadrado (𝑛): .................................................................................. 14 
 
 
2 
 
 
Função Geradora de Momentos (F.G.M.): 
A função geradora de momentos possui esse nome pois, a partir dela, podemos 
encontrar todos os momentos (𝐸(𝑋𝑛)) da variável aleatória 𝑋 (quando estes existem). 
 
𝑀𝑥(𝑡) = 𝐸(𝑒
𝑡𝑥) 
 
Discreta: 
𝑀𝑥(𝑡) = ∑ 𝑒
𝑡𝑥 ∙ 𝑃(𝑋) 
Contínua: 
𝑀𝑥(𝑡) = ∫ 𝑒
𝑡𝑥 ∙ 𝑓(𝑋) ∙ 𝑑𝑥
 
ℝ𝑥
 
𝑑𝑘
𝑑𝑡𝑘
𝑀𝑥(𝑡)|
𝑡=0
= 𝐸(𝑋𝑘) 
 
Série de Maclaurin: 
𝑒𝑥 = ∑
𝑥𝑘
𝑘!
∞
𝑘=0
= 1 + 𝑥 +
𝑥2
2!
+
𝑥3
3!
+
𝑥4
4!
+ ⋯ +
𝑥𝑛
𝑛!
+ ⋯ 
𝑒𝑡𝑥 = ∑
(𝑡𝑥)𝑘
𝑘!
∞
𝑘=0
= 1 + 𝑡𝑥 +
(𝑡𝑥)2
2!
+
(𝑡𝑥)3
3!
+
(𝑡𝑥)4
4!
+ ⋯ +
(𝑡𝑥)𝑛
𝑛!
+ ⋯ 
 
𝑀𝑥(𝑡) = 𝐸[𝑒
𝑡𝑥] = 𝐸 [1 + 𝑡𝑥 +
(𝑡𝑥)2
2!
+
(𝑡𝑥)3
3!
+
(𝑡𝑥)4
4!
+ ⋯ +
(𝑡𝑥)𝑛
𝑛!
+ ⋯ ] ⇒ 
⇒ 𝐸[𝑒𝑡𝑥] = 𝐸[1] + 𝐸[𝑡𝑥] + 𝐸 [
(𝑡𝑥)2
2!
] + 𝐸 [
(𝑡𝑥)3
3!
] + 𝐸 [
(𝑡𝑥)4
4!
] + ⋯ + 𝐸 [
(𝑡𝑥)𝑛
𝑛!
] + ⋯ ⇒ 
⇒ 𝐸[𝑒𝑡𝑥] = 1 + 𝑡 ∙ 𝐸(𝑋) +
𝑡2
2!
∙ 𝐸(𝑋2) +
𝑡3
3!
∙ 𝐸(𝑋3) +
𝑡4
4!
∙ 𝐸(𝑋4) + ⋯ +
𝑡𝑛
𝑛!
∙ 𝐸(𝑋𝑛) + ⋯ 
𝑑
𝑑𝑡
𝑀𝑥(𝑡) = 𝐸(𝑋) + 𝑡 ∙ 𝐸(𝑋
2) +
𝑡2
2!
∙ 𝐸(𝑋3) +
𝑡3
3!
∙ 𝐸(𝑋4) + ⋯ +
𝑡𝑛−1
𝑛 − 1!
∙ 𝐸(𝑋𝑛) + ⋯ 
𝑑
𝑑𝑡
𝑀𝑥(𝑡)|
𝑡=0
= 𝐸(𝑋) 
𝑑2
𝑑𝑡2
𝑀𝑥(𝑡) = 𝐸(𝑋
2) + 𝑡 ∙ 𝐸(𝑋3) +
𝑡2
2!
∙ 𝐸(𝑋4) + ⋯ +
𝑡𝑛−2
𝑛 − 2!
∙ 𝐸(𝑋𝑛) + ⋯ 
𝑑2
𝑑𝑡2
𝑀𝑥(𝑡)|
𝑡=0
= 𝐸(𝑋2) 
𝑑𝑘
𝑑𝑡𝑘
𝑀𝑥(𝑡)|
𝑡=0
= 𝐸(𝑋𝑘) 
3 
 
 
Parâmetros: 
O número de parâmetros representa a quantidade desconhecida da população. 
Exemplo: 𝛼; 𝛽; 𝜇; 𝜎; 𝜆; 𝑛; 𝑃; 𝑒𝑡𝑐. 
Estimador: 
Estimadores são quantidades conhecidas de uma amostra que serão usados para estimar os 
parâmetros de uma população. 
Exemplo: �̂�; �̂�; �̂�; �̂�; �̂�; �̂�; �̂�; 𝑒𝑡𝑐. 
Estimativa: 
A estimativa é o resultado obtido através do estimador. 
 
Distribuições Discretas de Probabilidade: 
Distribuição Binomial (𝑛, 𝑃):
 
𝑓(𝑋|𝑛, 𝑃) = (
𝑛
𝑥
) ∙ 𝑃𝑥 ∙ (1 − 𝑃)𝑛−𝑥 
𝐸(𝑋) = 𝑛 ∙ 𝑃 
𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝑛 ∙ 𝑃(1 − 𝑃) 
 
 
 
𝑛 = quantidade de dados da amostra. 
𝑃 = probabilidade. 
Domínio: 𝑥 = {0, 1, 2, ⋯ , 𝑛} 
A probabilidade tem que estar entre 0 e 1. 
0 ≤ 𝑃 ≤ 1
𝑛 > 0
 
Binômio de Newton: 
(𝑎 + 𝑏)𝑛 = ∑ (
𝑛
𝑘
) ∙ 𝑎𝑘 ∙ 𝑏𝑛−𝑘
𝑛
𝑘=0
 
 
Exercício: Seja 𝑥1, 𝑥2, ⋯ , 𝑥𝑛 uma amostra aleatória da variável aleatória 𝑋~𝐵𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑎𝑙(𝑛, 𝑃), 
onde 𝑓(𝑥𝑖|𝑛, 𝑃) = (
𝑛
𝑥
) ∙ 𝑃𝑥 ∙ (1 − 𝑃)𝑛−𝑥; 𝑥 = {0, 1}; 𝑃 ∈ (0, 1). Faça o que se pede: 
a) Obtenha a função geradora de momentos. 
𝑀𝑥(𝑡) = 𝐸(𝑒
𝑡𝑥) = ∑ [𝑒𝑡𝑥 ∙ (
𝑛
𝑥
) ∙ 𝑃𝑥 ∙ (1 − 𝑃)𝑛−𝑥]
𝑛
𝑥=0
= ∑ [(
𝑛
𝑥
) ∙ (𝑒𝑡 ∙ 𝑃)𝑥 ∙ (1 − 𝑃)𝑛−𝑥]
𝑛
𝑥=0
⇒ 
⇒ [(𝑒𝑡 ∙ 𝑃) + (1 − 𝑃)]𝑛 = (𝑒𝑡 ∙ 𝑃 + 1 − 𝑃)𝑛 = (1 − 𝑃 + 𝑃𝑒𝑡)𝑛 
4 
 
 
b) Calcule 𝐸(𝑋) por meio da função geradora de momentos. 
𝑀𝑥(𝑡) = (1 − 𝑃 + 𝑃𝑒
𝑡)𝑛 
𝑀𝑥′(𝑡) = 𝑛(1 − 𝑃 + 𝑃𝑒
𝑡)𝑛−1 ∙ 𝑃𝑒𝑡 = 𝑛 ∙ 𝑃 ∙ 𝑒𝑡 ∙ (1 − 𝑃 + 𝑃𝑒𝑡)𝑛−1 
𝐸(𝑋) = 𝑀𝑥′(𝑡)|𝑡=0 = 𝑛 ∙ 𝑃 ∙ 𝑒
0 ∙ (1 − 𝑃 + 𝑃𝑒0)𝑛−1 = 𝑛 ∙ 𝑃 ∙ (1 − 𝑃 + 𝑃)𝑛−1 = 𝑛 ∙ 𝑃 
 
c) Calcule 𝑉𝑎𝑟(𝑋) por meio da função geradora de momentos. 
𝑀𝑥′(𝑡) = 𝑛 ∙ 𝑃 ∙ [𝑒
𝑡 ∙ (1 − 𝑃 + 𝑃𝑒𝑡)𝑛−1] 
𝑀𝑥′′(𝑡) ⇒ 
⇒ Aplicar a regra do produto e da cadeia: 𝑓′(𝑋) ∙ 𝑔(ℎ(𝑋)) + [𝑔′(ℎ(𝑋)) ∙ ℎ′(𝑋)] ∙ 𝑓(𝑋) ⇒ 
⇒ 𝑛 ∙ 𝑃 ∙ [𝑒𝑡 ∙ (1 − 𝑃 + 𝑃𝑒𝑡)𝑛−1 + [(𝑛 − 1)(1 − 𝑃 + 𝑃𝑒𝑡)𝑛−2 ∙ 𝑃𝑒𝑡] ∙ 𝑒𝑡] 
𝐸(𝑋2) = 𝑀𝑥′′(𝑡)|𝑡=0 = 𝑛𝑃[𝑒
0 ∙ (1 − 𝑃 + 𝑃𝑒0)𝑛−1 + (𝑛 − 1)(1 − 𝑃 + 𝑃𝑒0)𝑛−2 ∙ 𝑃𝑒0 ∙ 𝑒0] ⇒ 
⇒ 𝑛 ∙ 𝑃 ∙ [1 + (𝑛 − 1) ∙ 𝑃] = 𝑛 ∙ 𝑃 ∙ [1 + 𝑛 ∙ 𝑃 − 𝑃] = 𝑛 ∙ 𝑃 + 𝑛2 ∙ 𝑃2 − 𝑛 ∙ 𝑃2 
𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝐸(𝑋2) − 𝐸(𝑋)2 = (𝑛 ∙ 𝑃 + 𝑛2 ∙ 𝑃2 − 𝑛 ∙ 𝑃2) − (𝑛 ∙ 𝑃)2 = 𝑛 ∙ 𝑃 − 𝑛 ∙ 𝑃2 
 
Distribuição Bernoulli (𝑃): 
Toda distribuição de Bernoulli é igual à uma distribuição Binomial quando (𝑛 = 1, 𝑃). 
 
𝑓(𝑋|𝑃) = 𝑃𝑥 ∙ (1 − 𝑃)1−𝑥 
𝐸(𝑋) = 𝑃 
𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝑃(1 − 𝑃) 
Domínio: 𝑥 = {0, 1} 
A probabilidade tem que estar entre 0 e 1. 
0 ≤ 𝑃 ≤ 1 
 
Exercício: Seja 𝑥1, 𝑥2, ⋯ , 𝑥𝑛 uma amostra aleatória da variável aleatória 𝑋~𝐵𝑒𝑟𝑛𝑜𝑢𝑙𝑙𝑖(𝑃), 
onde 𝑓(𝑥𝑖|𝑃) = 𝑃
𝑥 ∙ (1 − 𝑃)1−𝑥; 𝑥 = {0, 1}; 𝑃 ∈ (0, 1). Faça o que se pede: 
a) Obtenha a função geradora de momentos. 
𝑀𝑥(𝑡) = 𝐸(𝑒
𝑡𝑥) = ∑[𝑒𝑡𝑥 ∙ 𝑃𝑥 ∙ (1 − 𝑃)1−𝑥]
1
𝑥=0
= ∑[(𝑃𝑒𝑡)𝑥(1 − 𝑃)1−𝑥]
1
𝑥=0
⇒ 
⇒ (𝑃𝑒𝑡)0(1 − 𝑃)1−0 + (𝑃𝑒𝑡)1(1 − 𝑃)1−1 = 1 − 𝑃 + 𝑃𝑒𝑡 
b) Calcule 𝐸(𝑋) por meio da função geradora de momentos. 
𝑀𝑥(𝑡) = 1 − 𝑃 + 𝑃𝑒
𝑡 
𝑀𝑥′(𝑡) = 𝑃𝑒
𝑡 
𝐸(𝑋) = 𝑀𝑥′(𝑡)|𝑡=0 = 𝑃𝑒
0 = 𝑃 
5 
 
 
c) Calcule 𝑉𝑎𝑟(𝑋) por meio da função geradora de momentos. 
𝑀𝑥′(𝑡) = 𝑃𝑒
𝑡 
𝑀𝑥′′(𝑡) = 𝑃𝑒
𝑡 
𝐸(𝑋2) = 𝑀𝑥′′(𝑡)|𝑡=0 = 𝑃 
𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝐸(𝑋2) − 𝐸(𝑋)2 = 𝑃 − 𝑃2 = 𝑃(1 − 𝑃) 
 
Distribuição de Poisson (𝜆): 
 
𝑓(𝑋|𝜆) =
𝑒−𝜆 ∙ 𝜆𝑥
𝑥!
 
𝐸(𝑋) = 𝜆 
𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝜆 
 
Domínio: 𝑥 = {0, 1, 2,3, ⋯ } 
𝜆 = ℝ 
 
Exercício: Seja 𝑥1, 𝑥2, ⋯ , 𝑥𝑛 uma amostra aleatória da variável aleatória 𝑋~𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛(𝜆), onde 
𝑓(𝑥𝑖|𝜆) =
𝑒−𝜆∙𝜆𝑥
𝑥!
; 𝑥 = 0, 1, 2, ⋯; 𝜆 > 0. Faça o que se pede: 
a) Obtenha a função geradora de momentos. 
𝑀𝑥(𝑡) = 𝐸(𝑒
𝑡𝑥) = ∑ [𝑒𝑡𝑥 ∙ [
𝑒−𝜆 ∙ 𝜆𝑥
𝑥!
]]
∞
𝑥=0
= ∑ [
(𝑒𝑡 ∙ 𝜆)𝑥 ∙ 𝑒−𝜆
𝑥!
]
∞
𝑥=0
⇒ 
⇒ 𝑒−𝜆 ∙ ∑
(𝑒𝑡 ∙ 𝜆)𝑥
𝑥!
∞
𝑥=0
⇒ 𝑅𝑒𝑒𝑠𝑐𝑟𝑒𝑣𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑛𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑑𝑎 𝑠é𝑟𝑖𝑒 𝑑𝑒 𝑀𝑎𝑐𝑙𝑎𝑢𝑟𝑖𝑛 ⇒ 𝑒𝑥 = ∑
𝑥𝑘
𝑘!
∞
𝑘=0
|
𝑥=𝑒𝑡∙𝜆
𝑘=𝑥
 
⇒ 𝑒−𝜆 ∙ 𝑒𝑒
𝑡∙𝜆 = 𝑒−𝜆+𝑒
𝑡∙𝜆 = 𝑒−𝜆(1−𝑒
𝑡) 
b) Calcule 𝐸(𝑋) por meio da função geradora de momentos. 
𝑀𝑥(𝑡) = 𝑒
−𝜆+𝜆𝑒𝑡 
𝑀𝑥′(𝑡) ⇒ 𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑟𝑎 𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜: 𝑓′(𝑋) ∙ 𝑔(𝑋) + 𝑔′(𝑋) ∙ 𝑓(𝑋) ⇒ 𝑒
−𝜆+𝜆𝑒𝑡 ∙ (𝜆 ∙ 𝑒𝑡) 
𝐸(𝑋) = 𝑀𝑥′(𝑡)|𝑡=0 = (𝜆 ∙ 𝑒
0) ∙ 𝑒−𝜆(1−𝑒
0) = 𝜆 
c) Calcule 𝑉𝑎𝑟(𝑋) por meio da função geradora de momentos. 
𝑀𝑥′(𝑡) = 𝜆 ∙ 𝑒
𝑡 ∙ 𝑒−𝜆+𝜆𝑒
𝑡
 
𝑀𝑥′′(𝑡) ⇒ 𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑟𝑎 𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 𝑒 𝑑𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑒𝑖𝑎
⇒ 𝜆[𝑒𝑡 ∙ 𝑒−𝜆+𝜆𝑒
𝑡
+ (𝑒−𝜆+𝜆𝑒
𝑡
∙ 𝜆𝑒𝑡) ∙ 𝑒𝑡] 
𝐸(𝑋2) = 𝑀𝑥′′(𝑡)|𝑡=0 = 𝜆[𝑒
0 ∙ 𝑒−𝜆+𝜆𝑒
0
+ (𝑒−𝜆+𝜆𝑒
0
∙ 𝜆𝑒0) ∙ 𝑒0] = 𝜆[1 + 𝜆] = 𝜆 + 𝜆2 
𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝐸(𝑋2) − 𝐸(𝑋)2 = (𝜆 + 𝜆2) − (𝜆)2 = 𝜆 
6 
 
 
Distribuição Geométrica (𝑃): 
 
𝑓(𝑋|𝑃) = (1 − 𝑃)𝑥−1 
𝐸(𝑋) =
1
𝑃
 
𝑉𝑎𝑟(𝑋) =
1 − 𝑃
𝑃2
 
Domínio: 𝑥 = {0, 1, 2,3, ⋯ } 
A probabilidade tem que estar entre 0 e 1. 
0 ≤ 𝑃 ≤ 1
 
Distribuições Contínuas de Probabilidade: 
Distribuição Normal Padrão (𝜇 = 0; 𝜎2 = 1): 
𝑍 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
 
𝑓(𝑍) =
1
√2𝜋
𝑒𝑥𝑝 [
−1
2
𝑍2] 
 
Exercício: Seja 𝑥1, 𝑥2, ⋯ , 𝑥𝑛 uma amostra aleatória da variável aleatória 𝑋~𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙(0, 1), 
onde 𝑓(𝑥𝑖|𝑍) =
1
√2𝜋
𝑒𝑥𝑝 [
−1
2
𝑍2] ; 𝑍 ∈ ℝ. Faça o que se pede: 
a) Obtenha a função geradora de momentos. 
𝑀𝑥(𝑡) = 𝐸(𝑒
𝑡𝑍) = ∫ 𝑒𝑡𝑍 ∙
1
√2𝜋
𝑒𝑥𝑝 [
−1
2
𝑍2] ∙ 𝑑𝑍
∞
−∞
= ∫
1
√2𝜋
𝑒𝑥𝑝 [𝑡𝑍 −
1
2
𝑍2] ∙ 𝑑𝑍
∞
−∞
⇒ 
⇒ ∫
1
√2𝜋
𝑒𝑥𝑝 [
2𝑡𝑍 − 𝑍2
2
] ∙ 𝑑𝑍
∞
−∞
= ∫
1
√2𝜋
𝑒𝑥𝑝 [−
1
2
(𝑍2 − 2𝑡𝑍)] ∙ 𝑑𝑍
∞
−∞
⇒ 
⇒ ∫
1
√2𝜋
𝑒𝑥𝑝 [−
1
2
(𝑍2 − 2𝑡𝑍 + 𝑡2 − 𝑡2)] ∙ 𝑑𝑍
∞
−∞
= ∫
1
√2𝜋
𝑒𝑥𝑝 [−
1
2
((𝑍 − 𝑡)2 − 𝑡2)] ∙ 𝑑𝑍
∞
−∞
⇒ 
⇒ ∫
1
√2𝜋
𝑒𝑥𝑝 [−
1
2
(𝑍 − 𝑡)2 +
1
2
𝑡2] ∙ 𝑑𝑍
∞
−∞
= ∫
1
√2𝜋
𝑒𝑥𝑝 [−
1
2
(𝑍 − 𝑡)2] ∙ 𝑒𝑥𝑝 [
1
2
𝑡2] ∙ 𝑑𝑍
∞
−∞
⇒ 
⇒ 𝑒𝑥𝑝 [
𝑡2
2
] ∙ ∫
1
√2𝜋 ∙ 1
𝑒𝑥𝑝 [−
1
2
(𝑍 − 𝑡)2
1
] ∙ 𝑑𝑍
∞
−∞
= 𝑒𝑥𝑝 [
𝑡2
2
] ∙ 1 = 𝑒
𝑡2
2 
 
b) Calcule 𝐸(𝑋) por meio da função geradora de momentos. 
𝑀𝑥(𝑡) = 𝑒
𝑡2
2 
𝑀𝑥′(𝑡) = 𝑒
𝑡2
2 ∙ 𝑡 
𝐸(𝑋) = 𝑀𝑥′(𝑡)|𝑡=0 = 𝑒
02
2 ∙ 0 = 0 
7 
 
 
c) Calcule 𝑉𝑎𝑟(𝑋) por meio da função geradora de momentos. 
𝑀𝑥′(𝑡) = 𝑒
𝑡2
2 ∙ 𝑡 
𝑀𝑥′′(𝑡) = 𝑒
𝑡2
2 ∙ 𝑡 ∙ 𝑡 + 𝑒
𝑡2
2 
𝐸(𝑋2) = 𝑀𝑥′′(𝑡)|𝑡=0 = 𝑒
02
2 ∙ 0 ∙ 0 + 𝑒
02
2 = 1 
𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝐸(𝑋2) − 𝐸(𝑋)2 = 1 − 02 = 1 
 
Distribuição Normal (𝜇; 𝜎2): 
𝑓(𝑋|𝜇; 𝜎2) =
1
√2𝜋𝜎2
𝑒𝑥𝑝 [
−1
2
(𝑥 − 𝜇)2
𝜎2
] 
𝐸(𝑋) = 𝜇 
𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝜎2 
 
𝑒𝑥𝑝(𝑋) = 𝑒𝑥 
𝑥 ∈ ℝ; 𝜇 ∈ ℝ; 𝜎2 ≥ 0 
 
 
Exercício: Seja 𝑥1, 𝑥2, ⋯ , 𝑥𝑛 uma amostra aleatória da variável aleatória 𝑋~𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙(𝜇; 𝜎
2), 
onde 𝑓(𝑥𝑖|𝜇, 𝜎
2) =
1
√2𝜋𝜎2
𝑒𝑥𝑝 [
−1
2
(𝑥−𝜇)2
𝜎2
] ; 𝑥 ∈ ℝ. Faça o que se pede: 
a) Obtenha a função geradora de momentos. 
𝑍 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
⇒ 𝑥 = 𝑍𝜎 + 𝜇 
𝑀𝑥(𝑡) = 𝐸(𝑒
𝑡𝑥) = 𝐸(𝑒𝑡(𝑍𝜎+𝜇)) = 𝐸(𝑒𝑡𝑍𝜎+𝑡𝜇) = 𝐸(𝑒𝑡𝑍𝜎 ∙ 𝑒𝑡𝜇) ⇒ 
⇒ 𝑒𝑡𝜇 ∙ 𝐸(𝑒(𝑡𝜎)𝑍) = 𝑒𝑡𝜇 ∙ 𝑒
(𝑡𝜎)2
2 = 𝑒𝑡𝜇+
𝑡2𝜎2
2 
 
b) Calcule 𝐸(𝑋) por meio da função geradora de momentos. 
𝑀𝑥(𝑡) = 𝑒
𝑡𝜇+
𝑡2𝜎2
2 
𝑀𝑥′(𝑡) = 𝑒𝑥𝑝 [𝑡𝜇 +
𝑡2𝜎2
2
] ∙ (𝜇 + 𝑡𝜎2) 
𝐸(𝑋) = 𝑀𝑥′(𝑡)|𝑡=0 = 𝑒𝑥𝑝 [0 ∙ 𝜇 +
02𝜎2
2
] ∙ [𝜇 + 0 ∙ 𝜎2] = 𝜇 
 
 
 
 
8 
 
 
c) Calcule 𝑉𝑎𝑟(𝑋) por meio da função geradora de momentos. 
𝑀𝑥′(𝑡) = 𝑒𝑥𝑝 [𝑡𝜇 +
𝑡2𝜎2
2
] ∙ (𝜇 + 𝑡𝜎2) 
𝑀𝑥′′(𝑡) = 𝑒𝑥𝑝 [𝑡𝜇 +
𝑡2𝜎2
2
] ∙ (𝜇 + 𝑡𝜎2) ∙ (𝜇 + 𝑡𝜎2) + 𝜎2 ∙ 𝑒𝑥𝑝 [𝑡𝜇 +
𝑡2𝜎2
2
] 
𝐸(𝑋2) = 𝑀𝑥′′(𝑡)|𝑡=0 = 𝑒𝑥𝑝 [0 ∙ 𝜇 +
02𝜎2
2
] ∙ (𝜇 + 0 ∙ 𝜎2) ∙ (𝜇 + 0 ∙ 𝜎2) + 𝜎2 ∙ 𝑒𝑥𝑝 [0 ∙ 𝜇 +
02𝜎2
2
] = 𝜇2 + 𝜎2 
𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝐸(𝑋2) − 𝐸(𝑋)2 = (𝜇2 + 𝜎2) − (𝜇)2 = 𝜎2 
 
Distribuição Uniforme (𝐴, 𝐵): 
𝑓(𝑋|𝐴, 𝐵) = {
1
𝐵 − 𝐴
; 𝐴 < 𝑥 < 𝐵
0 ; 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
 
𝐸(𝑋) =
𝐴 + 𝐵
2
 
𝑉𝑎𝑟(𝑋) =
(𝐵 − 𝐴)2
12
 
 
Exercício: Seja 𝑥1, 𝑥2, ⋯ , 𝑥𝑛 uma amostra aleatória da variável aleatória 𝑋~𝑈𝑛𝑖𝑓𝑜𝑟𝑚𝑒(𝐴, 𝐵), 
onde 𝑓(𝑥𝑖|𝐴, 𝐵) =
1
𝐵−𝐴
; 𝐴 < 𝑥 < 𝐵. Faça o que se pede: 
a) Obtenha a função geradora de momentos. 
𝑀𝑥(𝑡) = 𝐸(𝑒
𝑡𝑥) = ∫ 𝑒𝑡𝑥 ∙
1
𝐵 − 𝐴
∙ 𝑑𝑥
𝐵
𝐴
=
1
𝐵 − 𝐴
∙ ∫ 𝑒𝑡𝑥 ∙ 𝑑𝑥
𝐵
𝐴
=
1
𝐵 − 𝐴
∙ ∫ 𝑒𝑢 ∙
𝑑𝑢
𝑡
𝐵𝑡
𝐴𝑡
⇒ 
⇒
1
𝑡 ∙ (𝐵 − 𝐴)
∙ ∫ 𝑒𝑢 ∙ 𝑑𝑢
𝐵𝑡
𝐴𝑡
=
1
𝑡 ∙ (𝐵 − 𝐴)
∙ 𝑒𝑢|𝐴𝑡
𝐵𝑡 =
𝑒𝐵𝑡 − 𝑒𝐴𝑡
𝑡 ∙ (𝐵 − 𝐴)
 
 
b) Calcule 𝐸(𝑋) por meio da função geradora de momentos. 
𝑀𝑥(𝑡) =
𝑒𝐵𝑡 − 𝑒𝐴𝑡
𝑡 ∙ (𝐵 − 𝐴)
=
1
(𝐵 − 𝐴)
∙ [
𝑒𝐵𝑡 − 𝑒𝐴𝑡
𝑡
] 
𝑀𝑥′(𝑡) ⇒ 𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑟𝑎 𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒 𝑑𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑒𝑖𝑎:
 [𝑓′(ℎ(𝑋)) ∙ ℎ′(𝑋)] ∙ 𝑔(𝑋) − 𝑔′(𝑋) ∙ 𝑓(𝑋)
𝑔(𝑋)2
⇒ 
⇒
1
(𝐵 − 𝐴)
∙ [
𝑒𝐵𝑡 − 𝑒𝐴𝑡
𝑡
] =
1
(𝐵 − 𝐴)
∙ [
(𝑒𝐵𝑡 ∙ 𝐵 − 𝑒𝐴𝑡 ∙ 𝐴) ∙ 𝑡 − 1 ∙ (𝑒𝐵𝑡 − 𝑒𝐴𝑡)
𝑡2
] ⇒ 
⇒
1
(𝐵 − 𝐴)
∙ [
𝑒𝐵𝑡 ∙ 𝐵𝑡 − 𝑒𝐴𝑡 ∙ 𝐴𝑡 − 𝑒𝐵𝑡 + 𝑒𝐴𝑡
𝑡2
] =
1
(𝐵 − 𝐴)
∙ [
𝑒𝐵𝑡(𝐵𝑡 − 1) + 𝑒𝐴𝑡(1 − 𝐴𝑡)
𝑡2
] 
9 
 
 
𝐸(𝑋) = 𝑀𝑥′(𝑡)|𝑡=0 =
1
(𝐵 − 𝐴)
∙ [
𝑒𝐵∙0(𝐵 ∙ 0 − 1) + 𝑒𝐴∙0(1 − 𝐴 ∙ 0)
02
] =
1
(𝐵 − 𝐴)
∙
0
0
 
lim
𝑡→0
𝑀𝑥′(𝑡) ⇒ 𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝐿′𝐻𝑜𝑠𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙: lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑋)
𝑔(𝑋)
= lim
𝑥→𝑎
𝑓′(𝑋)
𝑔′(𝑋)
⇒ 
⇒ lim
𝑡→0
[
1
(𝐵 − 𝐴)
∙ [
𝐵𝑒𝐵𝑡(𝐵𝑡 − 1) + 𝐵𝑒𝐵𝑡 + 𝐴𝑒𝐴𝑡(1 − 𝐴𝑡) − 𝐴𝑒𝐴𝑡
2𝑡
]] ⇒ 
⇒ lim
𝑡→0
[
1
(𝐵 − 𝐴)
∙ [
𝐵2 ∙ 𝑡 ∙ 𝑒𝐵𝑡 − 𝐵𝑒𝐵𝑡 + 𝐵𝑒𝐵𝑡 − 𝐴2 ∙ 𝑡 ∙ 𝑒𝐴𝑡 + 𝐴𝑒𝐴𝑡 − 𝐴𝑒𝐴𝑡
2𝑡
]] ⇒ 
⇒ lim
𝑡→0
[
1
(𝐵 − 𝐴)
∙ [
𝐵2 ∙ 𝑡 ∙ 𝑒𝐵𝑡 − 𝐴2 ∙ 𝑡 ∙ 𝑒𝐴𝑡
2𝑡
]] = lim
𝑡→0
[
1
(𝐵 − 𝐴)
∙ [
𝑡(𝐵2 ∙ 𝑒𝐵𝑡 − 𝐴2 ∙ 𝑒𝐴𝑡)
2𝑡
]] ⇒ 
⇒ lim
𝑡→0
[
1
(𝐵 − 𝐴)
∙ [
𝐵2 ∙ 𝑒𝐵𝑡 − 𝐴2 ∙ 𝑒𝐴𝑡
2
]] =
1
(𝐵 − 𝐴)
∙ [
𝐵2 ∙ 𝑒𝐵∙0 − 𝐴2 ∙ 𝑒𝐴∙0
2
] ⇒ 
⇒
𝐵2 − 𝐴2
2(𝐵 − 𝐴)
=
(𝐵 + 𝐴)(𝐵 − 𝐴)
2(𝐵 − 𝐴)
=
𝐴 + 𝐵
2
 
 
c) Calcule 𝑉𝑎𝑟(𝑋) por meio da função geradora de momentos. 
𝑀𝑥′(𝑡) =
1
(𝐵 − 𝐴)
∙ [
𝑒𝐵𝑡(𝐵𝑡 − 1) + 𝑒𝐴𝑡(1 − 𝐴𝑡)
𝑡2
] 
𝑀𝑥′′(𝑡) =
1
(𝐵 − 𝐴)
∙ [
(𝐵𝑒𝐵𝑡(𝐵𝑡 − 1) + 𝐵𝑒𝐵𝑡 + 𝐴𝑒𝐴𝑡(1 − 𝐴𝑡) − 𝐴𝑒𝐴𝑡)𝑡2 − 2𝑡(𝑒𝐵𝑡(𝐵𝑡 − 1) + 𝑒𝐴𝑡(1 − 𝐴𝑡))
𝑡4
] ⇒ 
⇒
(𝐵2𝑡𝑒𝐵𝑡 − 𝐵𝑒𝐵𝑡 + 𝐵𝑒𝐵𝑡 − 𝐴2𝑡𝑒𝐴𝑡 + 𝐴𝑒𝐴𝑡 − 𝐴𝑒𝐴𝑡)𝑡2 − 2𝑡(𝐵𝑡𝑒𝐵𝑡 − 𝑒𝐵𝑡 + 𝑒𝐴𝑡 − 𝐴𝑡𝑒𝐴𝑡)
𝑡4 ∙ (𝐵 − 𝐴)
⇒ 
⇒
(𝐵2𝑡𝑒𝐵𝑡 − 𝐴2𝑡𝑒𝐴𝑡)𝑡2 − 2𝑡(𝐵𝑡𝑒𝐵𝑡 − 𝑒𝐵𝑡 + 𝑒𝐴𝑡 − 𝐴𝑡𝑒𝐴𝑡)
𝑡4 ∙ (𝐵 − 𝐴)
⇒ 
⇒
𝐵2𝑡3𝑒𝐵𝑡 − 𝐴2𝑡3𝑒𝐴𝑡 − 2𝐵𝑡2𝑒𝐵𝑡 + 2𝑡𝑒𝐵𝑡 − 2𝑡𝑒𝐴𝑡 + 2𝐴𝑡2𝑒𝐴𝑡
𝑡4 ∙ (𝐵 − 𝐴)
⇒ 
⇒
𝑒𝐴𝑡(−𝐴2𝑡3 − 2𝑡 + 2𝐴𝑡2) + 𝑒𝐵𝑡(𝐵2𝑡3 − 2𝐵𝑡2 + 2𝑡)
𝑡4 ∙ (𝐵 − 𝐴)
⇒ 
⇒
𝑡[𝑒𝐴𝑡(−𝐴2𝑡2 + 2𝐴𝑡 − 2) + 𝑒𝐵𝑡(𝐵2𝑡2 − 2𝐵𝑡 + 2)]
𝑡4 ∙ (𝐵 − 𝐴)
⇒ 
⇒
𝑒𝐴𝑡(−𝐴2𝑡2 + 2𝐴𝑡 − 2) + 𝑒𝐵𝑡(𝐵2𝑡2 − 2𝐵𝑡 + 2)
𝑡3 ∙ (𝐵 − 𝐴)
 
𝐸(𝑋2) = 𝑀𝑥′′(𝑡)|𝑡=0 =
𝑒𝐴𝑡(−𝐴2𝑡2 + 2𝐴𝑡 − 2) + 𝑒𝐵𝑡(𝐵2𝑡2 − 2𝐵𝑡 + 2)
𝑡3 ∙ (𝐵 − 𝐴)
=
0
0
 
10 
 
 
lim
𝑡→0
𝑀𝑥′′(𝑡) ⇒ 𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝐿′𝐻𝑜𝑠𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙: lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑋)
𝑔(𝑋)
= lim
𝑥→𝑎
𝑓′(𝑋)
𝑔′(𝑋)
⇒ 
⇒ lim
𝑡→0
[
𝐴𝑒𝐴𝑡(−𝐴2𝑡2 + 2𝐴𝑡 − 2) + (−2𝐴2𝑡 + 2𝐴)𝑒𝐴𝑡 + 𝐵𝑒𝐵𝑡(𝐵2𝑡2 − 2𝐵𝑡 + 2) + (2𝐵2𝑡 − 2𝐵)𝑒𝐵𝑡
3𝑡2 ∙ (𝐵 − 𝐴)
] ⇒ 
⇒ lim
𝑡→0
[
−𝐴3𝑡2𝑒𝐴𝑡 + 2𝐴2𝑡𝑒𝐴𝑡 − 2𝐴𝑒𝐴𝑡 − 2𝐴2𝑡𝑒𝐴𝑡 + 2𝐴𝑒𝐴𝑡 + 𝐵3𝑡2𝑒𝐵𝑡 − 2𝐵2𝑡𝑒𝐵𝑡 + 2𝐵𝑒𝐵𝑡 + 2𝐵2𝑡𝑒𝐵𝑡 − 2𝐵𝑒𝐵𝑡
3𝑡2 ∙ (𝐵 − 𝐴)
] ⇒ 
⇒ lim
𝑡→0
[
−𝐴3𝑡2𝑒𝐴𝑡 + 𝐵3𝑡2𝑒𝐵𝑡
3𝑡2 ∙ (𝐵 − 𝐴)
] = lim
𝑡→0
[
𝑡2(−𝐴3𝑒𝐴𝑡 + 𝐵3𝑒𝐵𝑡)
3𝑡2 ∙ (𝐵 − 𝐴)
] = lim
𝑡→0
[
−𝐴3𝑒𝐴𝑡 + 𝐵3𝑒𝐵𝑡
3(𝐵 − 𝐴)
] ⇒ 
⇒
−𝐴3𝑒𝐴∙0 + 𝐵3𝑒𝐵∙0
3(𝐵 − 𝐴)
=
−𝐴3 + 𝐵3
3(𝐵 − 𝐴)
=
(𝐵 − 𝐴)(𝐴2 + 𝐵𝐴 + 𝐵2)
3(𝐵 − 𝐴)
=
𝐴2 + 𝐵𝐴 + 𝐵2
3
 
𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝐸(𝑋2) − 𝐸(𝑋)2 =
𝐴2 + 𝐵𝐴 + 𝐵2
3
− (
𝐴 + 𝐵
2
)
2
=
𝐴2 + 𝐵𝐴 + 𝐵2
3
−
𝐴2 + 2𝐴𝐵 + 𝐵2
4
⇒ 
⇒
4𝐴2 + 4𝐵𝐴 + 4𝐵2 − 3𝐴2 + 6𝐴𝐵 + 3𝐵2
12
=
𝐴2 − 2𝐴𝐵 + 𝐵2
12
=
(𝐴 − 𝐵)2
12
 
 
Distribuição Gama (𝛼, 𝛽): 𝛽 =
1
𝜆
 
𝑓(𝑋|𝛼, 𝛽)= {
1
Γ(𝛼) ∙ 𝛽𝛼
∙ 𝑥𝛼−1 ∙ 𝑒
−𝑥
𝛽⁄ ; 𝑥 ≥ 0; 𝛼 > 0; 𝛽 > 0
0 ; 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
 
Γ(𝛼) = ∫ 𝑢𝛼−1 ∙ 𝑒−𝑢 ∙ 𝑑𝑢
∞
0
 Γ(𝛼) = (𝛼 − 1)! 𝐸(𝑋) = 𝛼 ∙ 𝛽 𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝛼 ∙ 𝛽2 
Exercício: Seja 𝑥1, 𝑥2, ⋯ , 𝑥𝑛 uma amostra aleatória da variável aleatória 𝑋~𝐺𝑎𝑚𝑎(𝛼, 𝛽), onde 
𝑓(𝑥𝑖|𝛼, 𝛽) =
1
Γ(𝛼)∙𝛽𝛼
∙ 𝑥𝛼−1 ∙ 𝑒
−𝑥
𝛽⁄ ; 𝑥 ≥ 0; 𝛼 > 0; 𝛽 > 0. Faça o que se pede: 
a) Obtenha a função geradora de momentos. 
𝑀𝑤(𝑡) = 𝐸(𝑒
𝑡𝑥) = ∫ 𝑒𝑡𝑥 ∙
𝑥𝛼−1 ∙ 𝑒
−𝑥
𝛽⁄
Γ(𝛼) ∙ 𝛽𝛼
∙ 𝑑𝑥
∞
0
⇒
1
Γ(𝛼) ∙ 𝛽𝛼
∫ 𝑒𝑡𝑥 ∙ 𝑥𝛼−1 ∙ 𝑒
−𝑥
𝛽⁄ ∙ 𝑑𝑥
∞
0
⇒ 
⇒
1
Γ(𝛼) ∙ 𝛽𝛼
∫ 𝑥𝛼−1 ∙ 𝑒
𝑡𝑥−
𝑥
𝛽 ∙ 𝑑𝑥
∞
0
=
1
Γ(𝛼) ∙ 𝛽𝛼
∫ 𝑥𝛼−1 ∙ 𝑒
−𝑥(
1
𝛽
−𝑡)
∙ 𝑑𝑥
∞
0
⇒ 
⇒
1
Γ(𝛼) ∙ 𝛽𝛼
∫ (
𝑢
1
𝛽
− 𝑡
)
𝛼−1
∙ 𝑒−𝑢 ∙
𝑑𝑢
1
𝛽
− 𝑡
∞
0
=
1
Γ(𝛼) ∙ 𝛽𝛼
∙
1
1
𝛽
− 𝑡
∫
𝑢𝛼−1
(
1
𝛽
− 𝑡)
𝛼−1
∙ 𝑒−𝑢 ∙ 𝑑𝑢
∞
0
⇒ 
⇒
1
Γ(𝛼) ∙ 𝛽𝛼
∙
1
1
𝛽
− 𝑡
∙
1
(
1
𝛽
− 𝑡)
𝛼−1
∫ 𝑢𝛼−1 ∙ 𝑒−𝑢 ∙ 𝑑𝑢
∞
0
=
1
Γ(𝛼) ∙ 𝛽𝛼
∙
1
(
1
𝛽
− 𝑡)
𝛼 ∙ Γ(𝛼) ⇒ 
⇒
1
𝛽𝛼 ∙ (
1
𝛽
− 𝑡)
𝛼 =
1
(1 − 𝛽𝛼𝑡)𝛼
 
11 
 
 
b) Calcule 𝐸(𝑋) por meio da função geradora de momentos. 
𝑀𝑥(𝑡) =
1
(1 − 𝛽𝛼𝑡)𝛼
= (1 − 𝛽𝛼𝑡)−𝛼 
𝑀𝑥′(𝑡) = −𝛼(1 − 𝛽
𝛼𝑡)−𝛼−1(−𝛽) = 𝛼𝛽(1 − 𝛽𝛼𝑡)−𝛼−1 
𝐸(𝑋) = 𝑀𝑥′(𝑡)|𝑡=0 = 𝛼𝛽(1 − 𝛽
𝛼 ∙ 0)−𝛼−1 = 𝛼𝛽 
 
c) Calcule 𝑉𝑎𝑟(𝑋) por meio da função geradora de momentos. 
𝑀𝑥′(𝑡) = 𝛼𝛽(1 − 𝛽
𝛼𝑡)−𝛼−1 
𝑀𝑥′′(𝑡) = 𝛼𝛽(−𝛼 − 1) ∙ (1 − 𝛽
𝛼𝑡)−𝛼−2 ∙ (−𝛽) 
𝐸(𝑋2) = 𝑀𝑥′′(𝑡)|𝑡=0 = 𝛼𝛽(−𝛼 − 1) ∙ (1 − 𝛽
𝛼 ∙ 0)−𝛼−2 ∙ (−𝛽) = 𝛼2𝛽2 + 𝛼𝛽2 
𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝐸(𝑋2) − 𝐸(𝑋)2 = (𝛼2𝛽2 + 𝛼𝛽2) − (𝛼𝛽)2 = 𝛼𝛽2 
 
Distribuição Gama (𝛼, 𝜆): 𝜆 =
1
𝛽
 
𝑓(𝑋|𝛼, 𝜆) = {
𝜆𝛼
Γ(𝛼)
∙ 𝑥𝛼−1 ∙ 𝑒−𝜆∙𝑥 ; 𝑥 ≥ 0; 𝛼 > 0; 𝜆 > 0
0 ; 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
 
Γ(𝛼) = ∫ 𝑢𝛼−1 ∙ 𝑒−𝑢 ∙ 𝑑𝑢
∞
0
 Γ(𝛼) = (𝛼 − 1)! 𝐸(𝑋) =
𝛼
𝜆
 𝑉𝑎𝑟(𝑋) =
𝛼
𝜆2
 
 
Exercício: Seja 𝑥1, 𝑥2, ⋯ , 𝑥𝑛 uma amostra aleatória da variável aleatória 𝑋~𝐺𝑎𝑚𝑎(𝛼, 𝜆), onde 
𝑓(𝑥𝑖|𝛼, 𝜆) =
𝜆𝛼
Γ(𝛼)
∙ 𝑥𝛼−1 ∙ 𝑒−𝜆∙𝑥; 𝑥 ≥ 0; 𝛼 > 0; 𝜆 > 0. Faça o que se pede: 
a) Obtenha a função geradora de momentos. 
𝑀𝑤(𝑡) = 𝐸(𝑒
𝑡𝑥) = ∫ 𝑒𝑡𝑥 ∙
𝜆𝛼
Γ(𝛼)
∙ 𝑥𝛼−1 ∙ 𝑒−𝜆∙𝑥 ∙ 𝑑𝑥
∞
0
⇒ 
⇒
𝜆𝛼
Γ(𝛼)
∫ 𝑒𝑡𝑥 ∙ 𝑥𝛼−1 ∙ 𝑒−𝜆∙𝑥 ∙ 𝑑𝑥
∞
0
=
𝜆𝛼
Γ(𝛼)
∫ 𝑒𝑡𝑥−𝜆∙𝑥 ∙ 𝑥𝛼−1 ∙ 𝑑𝑥
∞
0
⇒ 
⇒
𝜆𝛼
Γ(𝛼)
∫ 𝑒−𝑥(−𝑡+𝜆) ∙ 𝑥𝛼−1 ∙ 𝑑𝑥
∞
0
=
𝜆𝛼
Γ(𝛼)
∫ 𝑒−𝑢 ∙ (
𝑢
−𝑡 + 𝜆
)
𝛼−1
∙
𝑑𝑢
−𝑡 + 𝜆
∞
0
⇒ 
⇒
𝜆𝛼
Γ(𝛼)
∙
1
(−𝑡 + 𝜆)𝛼−1
∙
1
−𝑡 + 𝜆
∫ 𝑒−𝑢 ∙ 𝑢𝛼−1 ∙ 𝑑𝑢
∞
0
=
𝜆𝛼
Γ(𝛼)
∙
1
(−𝑡 + 𝜆)𝛼
∙ Γ(𝛼) ⇒ 
⇒ 𝜆𝛼 ∙
1
(−𝑡 + 𝜆)𝛼
= (
𝜆
𝜆 − 𝑡
)
𝛼
 
 
12 
 
 
b) Calcule 𝐸(𝑋) por meio da função geradora de momentos. 
𝑀𝑥(𝑡) = (
𝜆
𝜆 − 𝑡
)
𝛼
= 𝜆𝛼 ∙ (𝜆 − 𝑡)−𝛼 
𝑀𝑥
′ (𝑡) = 𝜆𝛼 ∙ (−𝛼)(𝜆 − 𝑡)−𝛼−1 ∙ (−1) = 𝛼𝜆𝛼 ∙ (𝜆 − 𝑡)−𝛼−1 
𝐸(𝑋) = 𝑀𝑥′(𝑡)|𝑡=0 = 𝛼𝜆
𝛼 ∙ (𝜆 − 0)−𝛼−1 = 𝛼𝜆𝛼 ∙ 𝜆−𝛼−1 = 𝛼𝜆−1 =
𝛼
𝜆
 
 
c) Calcule 𝑉𝑎𝑟(𝑋) por meio da função geradora de momentos. 
𝑀𝑥′(𝑡) = 𝛼𝜆
𝛼 ∙ (𝜆 − 𝑡)−𝛼−1 
𝑀𝑥
′′(𝑡) = 𝛼𝜆𝛼(−𝛼 − 1)(𝜆 − 𝑡)−𝛼−2 ∙ (−1) = 𝛼𝜆𝛼(𝛼 + 1)(𝜆 − 𝑡)−𝛼−2 
𝐸(𝑋2) = 𝑀𝑥′′(𝑡)|𝑡=0 = 𝛼𝜆
𝛼(𝛼 + 1)(𝜆 − 0)−𝛼−2 = 𝛼(𝛼 + 1) ∙ 𝜆−2 =
𝛼2 + 𝛼
𝜆2
 
𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝐸(𝑋2) − 𝐸(𝑋)2 = (
𝛼2
𝜆2
+
𝛼
𝜆2
) − (
𝛼
𝜆
)
2
=
𝛼
𝜆2
 
 
Distribuição Exponencial (𝛽): 
Toda distribuição de Exponencial é igual à uma distribuição Gama quando (𝛼 = 1, 𝛽). 
 
𝑓(𝑋|𝛽) = {
1
𝛽
∙ 𝑒
−𝑥
𝛽 ; 𝑥 > 0; 𝛽 ≥ 0
0 ; 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
 
𝐸(𝑋) = 𝛽 𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝛽2 
 
Exercício: Seja 𝑥1, 𝑥2, ⋯ , 𝑥𝑛 uma amostra aleatória da variável aleatória 𝑋~𝐸𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙(𝛽), 
onde 𝑓(𝑥𝑖|𝛽) =
1
𝛽
∙ 𝑒
−𝑥
𝛽⁄ ; 𝑥 > 0. Faça o que se pede: 
a) Obtenha a função geradora de momentos. 
𝑀𝑤(𝑡) = 𝐸(𝑒
𝑡𝑥) = ∫ 𝑒𝑡𝑥 ∙
1
𝛽
∙ 𝑒
−𝑥
𝛽 ∙ 𝑑𝑥
∞
0
=
1
𝛽
∫ 𝑒
𝑡𝑥−
𝑥
𝛽 ∙ 𝑑𝑥
∞
0
⇒ 
⇒
1
𝛽
∫ 𝑒
𝑥(𝑡−
1
𝛽
)
∙ 𝑑𝑥
∞
0
=
1
𝛽
∫ 𝑒𝑢 ∙
𝑑𝑢
𝑡 −
1
𝛽
 
 
=
1
𝛽
∙
1
𝑡 −
1
𝛽
∫ 𝑒𝑢 ∙ 𝑑𝑢
 
 
⇒ 
⇒
1
𝛽 (𝑡 −
1
𝛽
)
∙ (𝑒𝑢)| =
1
𝛽𝑡 − 1
∙ (𝑒
𝑥(𝑡−
1
𝛽
)
)|
0
∞
=
1
𝛽𝑡 − 1
∙ [𝑒−∞ − 𝑒0] ⇒ 
⇒
1
𝛽𝑡 − 1
∙ (−1) =
1
1 − 𝛽𝑡
⟶ 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑡 <
1
𝛽
 
13 
 
 
b) Calcule 𝐸(𝑋) por meio da função geradora de momentos. 
𝑀𝑥(𝑡) =
1
1 − 𝛽𝑡
= (1 − 𝛽𝑡)−1 
𝑀𝑥
′ (𝑡) = −1(1 − 𝛽𝑡)−2(−𝛽) = 𝛽(1 − 𝛽𝑡)−2 
𝐸(𝑋) = 𝑀𝑥′(𝑡)|𝑡=0 = 𝛽(1 − 𝛽 ∙ 0)
−2 = 𝛽 
 
c) Calcule 𝑉𝑎𝑟(𝑋) por meio da função geradora de momentos. 
𝑀𝑥′(𝑡) = 𝛽(1 − 𝛽𝑡)
−2 
𝑀𝑥
′′(𝑡) = 𝛽(−2)(1 − 𝛽𝑡)−3(−𝛽) = 2𝛽2(1 − 𝛽𝑡)−3 
𝐸(𝑋2) = 𝑀𝑥′′(𝑡)|𝑡=0 = 2𝛽
2(1 − 𝛽 ∙ 0)−3 = 2𝛽2 
𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝐸(𝑋2) − 𝐸(𝑋)2 = (2𝛽2) − (𝛽2) = 𝛽2 
 
Distribuição Exponencial (𝜆): 
 
𝑓(𝑋|𝜆) = {𝜆 ∙ 𝑒
−𝜆∙𝑥 ; 𝑥 > 0; 𝜆 ≥ 0
0 ; 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
 
𝐸(𝑋) =
1
𝜆
 𝑉𝑎𝑟(𝑋) =
1
𝜆2
 
 
Exercício: Seja 𝑥1, 𝑥2, ⋯ , 𝑥𝑛 uma amostra aleatória da variável aleatória 𝑋~𝐸𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙(𝜆), 
onde 𝑓(𝑥𝑖|𝜆) = 𝜆 ∙ 𝑒
−𝜆𝑥; 𝑥 > 0. Faça o que se pede: 
a) Obtenha a função geradora de momentos. 
𝑀𝑤(𝑡) = 𝐸(𝑒
𝑡𝑥) = 𝜆 ∙ ∫ 𝑒𝑡𝑥−𝜆𝑥 ∙ 𝑑𝑥
∞
0
= 𝜆 ∙ ∫ 𝑒𝑥(𝑡−𝜆) ∙ 𝑑𝑥
∞
0
⇒ 
⇒ 𝜆 ∙ ∫ 𝑒𝑢 ∙
𝑑𝑢
𝑡 − 𝜆
 
 
= 𝜆 ∙
1
𝑡 − 𝜆
∫ 𝑒𝑢 ∙ 𝑑𝑢
 
 
=
𝜆
𝑡 − 𝜆
(𝑒𝑢)| =
𝜆
𝑡 − 𝜆
(𝑒𝑥(𝑡−𝜆))|
0
∞
⇒ 
⇒
𝜆
𝑡 − 𝜆
[𝑒−∞ − 𝑒0] =
𝜆
𝑡 − 𝜆
(−1) =
𝜆
𝜆 − 𝑡
⟶ 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑡 < 𝜆 
 
b) Calcule 𝐸(𝑋) por meio da função geradora de momentos. 
𝑀𝑥(𝑡) =
𝜆
𝜆 − 𝑡
= 𝜆 ∙ (𝜆 − 𝑡)−1 
𝑀𝑥
′ (𝑡) = 𝜆(−1)(𝜆 − 𝑡)−2(−1) = 𝜆(𝜆 − 𝑡)−2 
𝐸(𝑋) = 𝑀𝑥′(𝑡)|𝑡=0 = 𝜆(𝜆 − 0)
−2 = 𝜆 ∙ 𝜆−2 = 𝜆−1 =
1
𝜆
 
14 
 
 
c) Calcule 𝑉𝑎𝑟(𝑋) por meio da função geradora de momentos. 
𝑀𝑥′(𝑡) = 𝜆(𝜆 − 𝑡)
−2 
𝑀𝑥
′′(𝑡) = 𝜆(−2)(𝜆 − 𝑡)−3(−1) = 2𝜆(𝜆 − 𝑡)−3 
𝐸(𝑋2) = 𝑀𝑥′′(𝑡)|𝑡=0 = 2𝜆(𝜆 − 0)
−3 = 2𝜆 ∙ 𝜆−3 = 2𝜆−2 =
2
𝜆2
 
𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝐸(𝑋2) − 𝐸(𝑋)2 = (
2
𝜆2
) − (
1
𝜆
)
2
=
1
𝜆2
 
 
 𝜒𝑛
2 → Distribuição Qui-quadrado (𝑛): 
Toda distribuição Qui-quadrado é igual à uma distribuição Gama quando (𝛼 =
𝑛
2
, 𝛽 = 2). 
𝑓(𝑋|𝑛) = {
1
Γ (
𝑛
2
) ∙ 2
𝑛
2
∙ 𝑥
𝑛
2
−1 ∙ 𝑒
−𝑥
2⁄ ; 𝑥 > 0; 𝑛 > 0
0 ; 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
 
𝐸(𝑋) = 𝑛 𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 2𝑛 
𝜒𝑛
2 = 𝑤 = (𝑍1)
2 + (𝑍2)
2 + (𝑍3)
2 + ⋯ + (𝑍𝑛)
2 
 
Exercício 1: Seja 𝑥1, 𝑥2, ⋯ , 𝑥𝑛 uma amostra aleatória da variável aleatória 𝑋~𝜒1
2. Faça o que se 
pede: 
a) Obtenha a função geradora de momentos. 
𝑀𝑥(𝑡) = 𝐸 (𝑒
𝑡𝑍2) = ∫ 𝑒𝑡𝑍
2
∙
1
√2𝜋
𝑒𝑥𝑝 [
−1
2
𝑍2] ∙ 𝑑𝑍
∞
−∞
= ∫
1
√2𝜋
𝑒𝑥𝑝 [𝑡𝑍2 −
1
2
𝑍2] ∙ 𝑑𝑍
∞
−∞
⇒ 
⇒ ∫
1
√2𝜋
𝑒𝑥𝑝 [
2𝑡𝑍2 − 𝑍2
2
] ∙ 𝑑𝑍
∞
−∞
= ∫
1
√2𝜋
𝑒𝑥𝑝 [
1
2
(−𝑍22𝑡𝑍2)] ∙ 𝑑𝑍
∞
−∞
⇒ 
⇒ ∫
1
√2𝜋
𝑒𝑥𝑝 [−
1
2
𝑍2(1 − 2𝑡)] ∙ 𝑑𝑍
∞
−∞
= ∫
1
√2𝜋
𝑒𝑥𝑝 [−
1
2
𝑍2 (
1
1
1 − 2𝑡
)] ∙ 𝑑𝑍
∞
−∞
⇒ 
⇒ ∫
1
√2𝜋
𝑒𝑥𝑝 [−
1
2
𝑍2 (
1
𝜃
)] ∙ 𝑑𝑍
∞
−∞
= ∫
1
√2𝜋
𝑒𝑥𝑝 [−
1
2
(
𝑍2
𝜃
)] ∙ 𝑑𝑍
∞
−∞
⇒ 
⇒ ∫
1
√2𝜋
1 − 2𝑡
1 − 2𝑡
𝑒𝑥𝑝 [−
1
2
(
𝑍2
𝜃
)] ∙ 𝑑𝑍
∞
−∞
= ∫
1
√2𝜋
1
1 − 2𝑡
(1 − 2𝑡)
𝑒𝑥𝑝 [−
1
2
(
𝑍2
𝜃
)] ∙ 𝑑𝑍
∞
−∞
⇒ 
⇒ ∫
1
√2𝜋𝜃√1 − 2𝑡
𝑒𝑥𝑝 [−
1
2
(
𝑍2
𝜃
)] ∙ 𝑑𝑍
∞
−∞
=
1
√1 − 2𝑡
∫
1
√2𝜋𝜃
𝑒𝑥𝑝 [−
1
2
(
𝑍2
𝜃
)] ∙ 𝑑𝑍
∞
−∞
⇒ 
⇒
1
√1 − 2𝑡
∫
1
√2𝜋𝜃
𝑒𝑥𝑝 [−
1
2
(
𝑍2
𝜃
)] ∙ 𝑑𝑍
∞
−∞
=
1
√1 − 2𝑡
∙ 1 =
1
√1 − 2𝑡
 
15 
 
 
b) Calcule 𝐸(𝑋) por meio da função geradora de momentos. 
𝑀𝑥(𝑡) =
1
√1 − 2𝑡
= (1 − 2𝑡)
−1
2 
𝑀𝑥′(𝑡) =
−1
2
(1 − 2𝑡)
−3
2 ∙ (−2) = (1 − 2𝑡)
−3
2 
𝐸(𝑋) = 𝑀𝑥′(𝑡)|𝑡=0 = (1 − 2 ∙ 0)
−3
2 = 1
−3
2 = 1 
 
c) Calcule 𝑉𝑎𝑟(𝑋) por meio da função geradora de momentos. 
𝑀𝑥′(𝑡) = (1 − 2𝑡)
−3
2 
𝑀𝑥′′(𝑡) =
−3
2
(1 − 2𝑡)
−5
2 ∙ (−2) = 3(1 − 2𝑡)
−5
2 
𝐸(𝑋2) = 𝑀𝑥′′(𝑡)|𝑡=0 = 3(1 − 2 ∙ 0)
−5
2 = 3 
𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝐸(𝑋2) − 𝐸(𝑋)2 = 3 − (1)2 = 2 
 
Exercício2: Seja 𝑥1, 𝑥2, ⋯ , 𝑥𝑛 uma amostra aleatória da variável aleatória 𝑋~𝜒𝑛
2. Faça o que se 
pede: 
a) Obtenha a função geradora de momentos. 
𝜒𝑛
2 = 𝑤 = (𝑍1)
2 + (𝑍2)
2 + (𝑍3)
2 + ⋯ + (𝑍𝑛)
2 
𝑤 = 𝑦1 + 𝑦2 + 𝑦3 + ⋯ + 𝑦𝑛 
𝑀𝑤(𝑡) = 𝐸(𝑒
𝑡𝑤) = 𝐸(𝑒𝑡[𝑦1+𝑦2+𝑦3+⋯+𝑦𝑛]) = 𝐸(𝑒𝑡𝑦1+𝑡𝑦2+𝑡𝑦3+⋯+𝑡𝑦𝑛) 
𝑀𝑤(𝑡) = 𝐸(𝑒
𝑡𝑦1 ∙ 𝑒𝑡𝑦2 ∙ 𝑒𝑡𝑦3 ∙ ⋯ ∙ 𝑒𝑡𝑦𝑛) ⇒ 𝑉𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑖𝑠 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 
𝑀𝑤(𝑡) = 𝐸(𝑒
𝑡𝑦1) ∙ 𝐸(𝑒𝑡𝑦2) ∙ 𝐸(𝑒𝑡𝑦3) ∙ ⋯ ∙ 𝐸(𝑒𝑡𝑦𝑛) 
𝑀𝑤(𝑡) = 𝑀𝑦1(𝑡) ∙ 𝑀𝑦2(𝑡) ∙ 𝑀𝑦3(𝑡) ∙ ⋯ ∙ 𝑀𝑦𝑛(𝑡) 
𝑀𝑤(𝑡) =
1
(1 − 2𝑡)
1
2
∙
1
(1 − 2𝑡)
1
2
∙
1
(1 − 2𝑡)
1
2
∙ ⋯ ∙
1
(1 − 2𝑡)
1
2
=
1
(1 − 2𝑡)
𝑛
2
 
 
b) Calcule 𝐸(𝑋) por meio da função geradora de momentos. 
𝑀𝑥(𝑡) =
1
(1 − 2𝑡)
𝑛
2
= (1 − 2𝑡)
−𝑛
2 
𝑀𝑥′(𝑡) =
−𝑛
2
(1 − 2𝑡)
−𝑛
2
−1(−2) = 𝑛(1 − 2𝑡)
−𝑛
2
−1 
𝐸(𝑋) = 𝑀𝑥′(𝑡)|𝑡=0 = 𝑛(1 − 2 ∙ 0)
−𝑛
2
−1 = 𝑛 
16 
 
 
c) Calcule 𝑉𝑎𝑟(𝑋) por meio da função geradora de momentos. 
𝑀𝑥′(𝑡) = 𝑛(1 − 2𝑡)
−𝑛
2
−1 
𝑀𝑥′′(𝑡) = 𝑛 (
−𝑛
2
− 1) (1 − 2𝑡)
−𝑛
2
−2 ∙ (−2) 
𝐸(𝑋2) = 𝑀𝑥′′(𝑡)|𝑡=0 = 𝑛 (
−𝑛
2
− 1) (1 − 2 ∙ 0)
−𝑛
2
−2 ∙ (−2) = (
−𝑛2
2
− 𝑛) (−2) = 𝑛2 + 2𝑛 
𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝐸(𝑋2) − 𝐸(𝑋)2 = (𝑛2 + 2𝑛) − (𝑛)2 = 2𝑛