Prova Final

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Álgebra Linear II –IEM022
Universidade Federal do Amazonas
Profs. Hudson Lima & Germán Benitez
Prova Final
Leia atentamente as instruções a seguir.
• É permitido o uso de: livros didáticos, notas de aula e outros
materiais usados no curso.
• A prova terá ińıcio às 14:00h e términio às 15:50h.
• Após o fim da prova, você tem 15 minutos para digitalizar e enviar
suas soluções.
• Respostas enviadas após 16:05h deverão estar acompanhadas
de justificativa pelo atraso (que pode ser enviada em
mensagem privada no próprio Google Classroom)
• Especifique no arquivo enviado: nome completo, matŕıcula e curso.
• Importante: Deixe bem claro o item e a questão que a solução
pertence (por exemplo, escrevendo: ’item 3b’ antes da resposta do
item b da questão 3).
• Pontuação: Cada questão vale a mesma quantidade de pontos (25 de
100) e quaisquer dois itens na mesma questão vale a mesma
quantidade de pontos.
• Em caso de dúvidas, entre em contato pelo meet, chat no google
classroom ou via e-mail: hudsonlima@ufam.edu.br
• Boa prova!
2
1. Básicas (justificativas curtas).
(a) Existem vetores não nulos que são dois-a-dois ortogonais, mas não
são LI?
(b) Se 〈v, w〉 = 3i, quanto vale 〈w, v〉?
(c) Qual é o cosseno do ângulo entre u = (1, 2, 2,−1) e v = (1, 3, 3,−1)?
(d) Seja α = {v, w} uma base ordenada e T : R2 → R2 uma trans-
formação linear tal que [T ]αcan =
(
1 −1
4 6
)
.
Quanto vale T (v + 2w)?
2. Aplique o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt para ortogo-
nalizar a base ordenada (v1, v2, v3), onde v1 = (1, 1, 1), v2 = (1, 1,−1)
e v3 = (1,−1, 1). (comece por v1, depois v2 e finalmente v3).
3. Considere a matriz
A =
 2 4 −1−1 1 −1
−1 −5 2
 .
(a) Calcule os autovalores de A.
(b) Ache uma base para cada autoespaço.
(c) Existe uma matriz P tal que P−1AP é diagonal? Se sim, exiba-a.
4. Considere P2(R) o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou
igual a 2. Defina
〈f, g〉 := f(0)g(0) + f(1)g(1) + f(2)g(2).
(a) Justifique que a operação acima é um produto interno.
(b) Usando o processo de Gram-Schimidt, ortogonalize a base
{1 + x, 1− x2, 2x}.