Circuitos Acoplados Magneticamente

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Circuitos Acoplados Magneticamente
Relembrando Leis da Física....
• A lei de Ampère estabelece que o fluxo de corrente elétrica gera um campo magnético.
• Se esse campo for acoplado a um circuito elétrico e variar com o tempo (enlace de fluxo), 
a lei de Faraday estabelece que será gerada uma tensão no circuito.
• Embora este fenômeno ocorra em grande parte nos circuitos, esse efeito é amplificado 
nas bobinas.
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O enlace do fluxo magnético  em uma bobina com N espira é:
𝜆 = 𝑁𝜙
O enlace de fluxo e a corrente estão relacionados por :
𝜆 = 𝐿𝑖
A constante de proporcionalidade entre o enlace de fluxo e a 
corrente é a indutância 
𝜙 =
𝐿
𝑁
𝑖
A tensão induzida na bobina está relacionada com a taxa de variação com o tempo de enlace de fluxo 
𝑣 =
𝑑𝜆
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
𝐿𝑖 = 𝐿
𝑑𝑖
𝑑𝑡
+ 𝑖
𝑑𝐿
𝑑𝑡
Admite-se agora que uma segunda bobina com N2 espiras seja posicionada a uma distância 
próxima o suficiente de uma bobina de N1 espiras de modo que o fluxo magnético produzido 
pela corrente i enlace a segunda bobina.
Pela lei de Faraday, a tensão v2 será induzida porque o fluxo magnético  enlaça a segunda 
bobina. 
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O enlace de fluxo da bobina 2 é 𝜆2 = 𝑁2𝜙 e, pela lei de Faraday, a tensão v2 é expressa por:
𝑣2 =
𝑑𝜆2
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
𝑁2𝜙 =
𝑑
𝑑𝑡
𝑁2
𝐿1
𝑁1
𝑖1 =
𝑁2
𝑁1
𝐿1
𝑑𝑖1
𝑑𝑡
= 𝐿12
𝑑𝑖1
𝑑𝑡
A tensão v2 é diretamente proporcional à variação de i1 com o tempo. A constante de 
proporcionalidade, L21, é definida como indutância mútua (M) e expressa em henrys. 
Bobinas magneticamente acopladas 
𝑣2 = 𝐿12
𝑑𝑖1
𝑑𝑡𝑣1 = 𝐿1
𝑑𝑖1
𝑑𝑡
Indutância Mútua
• O fluxo de corrente em uma bobina estabelece um campo magnético em torno dessa bobina 
e também em torno de uma segunda bobina próxima. 
• O fluxo variável com o tempo em torno da segunda bobina produz uma tensão em seus 
terminais; essa tensão é proporcional à taxa de variação temporal da corrente fluindo na 
primeira bobina.
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
v2(t)M21
di1(t)
dt

v1(t)M12
di2(t)
dt
Se conectarmos uma fonte de corrente na bobina 2, ambas as correntes contribuem para o 
fluxo magnético .
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Aplicando a lei de Faraday, tem-se:
𝑣1 = 𝐿1
𝑑𝑖1
𝑑𝑡
+ 𝐿12
𝑑𝑖2
𝑑𝑡
𝑣2 = 𝐿21
𝑑𝑖1
𝑑𝑡
+ 𝐿12
𝑑𝑖2
𝑑𝑡
Em sistemas lineares L12=L21 = M, em que M é o símbolo para indutância mútua.
Portanto a tensão em cada bobina é composta dois termos: um termo próprio devido a 
corrente que flui na própria bobina e um termo mútuo devido a corrente que flui na outra 
bobina.
Caso o sentido da corrente i2 seja invertido, as equações ficam:
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𝑣1 = 𝐿1
𝑑𝑖1
𝑑𝑡
−𝑀
𝑑𝑖2
𝑑𝑡
𝑣2 = −𝑀
𝑑𝑖1
𝑑𝑡
+ 𝐿12
𝑑𝑖2
𝑑𝑡
A escolha do sinal correto é estabelecida pelo uso de uma das várias possibilidades que 
incluem a “convenção do ponto”, ou pela análise da maneira particular na qual cada uma 
das bobinas está enrolada.
Convenção do Ponto 
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Exercício: 
No circuito mostrado abaixo, (a) determine v1 de i2 = 5 sen 45t A e i1 = 0; (b) determine v2, 
se i1 = - 8e
-t A e i2 = 0.
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Resposta: v1 = - 450 cos(t) V; (b) v1 = - 16 e
(-t) V.
Exercício: 
As duas bobinas mutuamente acopladas podem ser interconectadas de quatro formas 
possíveis. Determine a indutância equivalente de cada uma das quatro possíveis 
interconexões.
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Exercício: 
Calcule a indutância total dos indutores em série vistos na figura abaixo.
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Resposta: LT = 26H
Exercício: 
Determine a tensão de saída Vs do circuito .
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Resposta: vs = 5,36|3,43° V
Combinação de Efeitos Mútuos e Próprios
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dt
di
M
dt
di
Lv
dt
di
M
dt
di
Lv
12
22
21
11


dt
di
M
dt
di
Lv
dt
di
M
dt
di
Lv
12
22
21
11


Exercício: 
Escreva um conjunto completo de equações fasoriais para o circuito da figura abaixo 
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Exercício: 
Escreva as equações de malha para essa rede na forma fasorial
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Exercício: 
Escreva as equações das malhas do circuito mostrada na figura abaixo, utilizando as 
correntes de malha indicadas.
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Base Física da Convenção do Ponto
• O significados dos pontos deve ser interpretado e, termos do fluxo 
magnético.
• A partir da consideração do direção do fluxo magnético produzido por 
cada bobina, mostra-se que os pontos podem ser colocados no 
terminal superior ou inferior de cada bobina.
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Exercício: 
Descubra a relação entre a tensão de saída no resistor de 400 e a tensão da fonte, 
expressa em notação fasorial.
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Resposta: V2/V1 =6.88e 
-j16.70◦
A tensão de saída é maior em 
módulo que a tensão de entrada, de 
forma que é possível ter um ganho 
de tensão nesse tipo de circuito.
Portanto é interessante considerar 
essa relação entre as tensões em 
função de .
Solução: 
𝑉2
𝑉1
=
𝑗3600𝜔
400 + 𝑗500𝜔 − 19𝜔2
O módulo dessa relação é chamado de função de transferência do circuito.
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0 5 10 15 20 25 30
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Frequência(rad/s)
M
a
g
n
it
u
d
e
 d
o
 g
a
n
h
o
 d
e
 T
e
n
s
ã
o
clear all;
w=linspace(0,30,1000);
num=j*w*3600;
for indx=1:1000
den= 400+j*500*w(indx)-19*(w(indx)^2);
ganho(indx)=num(indx)/den;
end
figure(1);
plot(w,abs(ganho));
xlabel('Frequencia(rad/s)');
ylabel('Magnitude do ganho de Tensão');
Energia nos Indutores Acoplados 
A energia armazenada nos indutores magneticamente acoplados em qualquer instante de 
tempo é expressa por:
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
w(t)
1
2
L1[i1(t)]
2 
1
2
L2[i2(t)]
2 M i1(t)  i2(t) 
Essa equação estabelece um limite superior para o valor da indutância mútua:

M  L1L2
Se uma corrente entra em um terminal marcado com o ponto enquanto a 
outra deixa um terminal marcado com um ponto, inverte o sinal do termo da 
energia mútua:
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  )()()]([
2
1
)]([
2
1
)( 21
2
22
2
11 titiMtiLtiLtw 
Portanto a energia será:
𝑤 𝑡 =
1
2
𝐿1 𝑖1 𝑡
2 +
1
2
𝐿2 𝑖2 𝑡
2 ∓𝑀 𝑖1 𝑡 𝑖2 𝑡
O Coeficiente de Acoplamento
• O grau com que M se aproxima de seu valor máximo é descrito pelo coeficiente de 
acoplamento, definido como: 
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
k 
M
L1L2
onde 0 ≤ k ≤ 1
• Esse coeficiente indica a quantidade do fluxo em uma bobina que está sendo enlaçado 
pela outra bobina, isto é, se todo fluxo em uma bobina atinge a outra bobina, então têm-
se 100% de acoplamento e k = 1.
Exercício: 
Sejam L1 = 0,4H, L2 = 2,5H, k = 0,6 e i1 = 4.i2 = 20 cos(500t - 20°) mA. Determine v1(0) e a 
energia total armazenada no sistema em t =0.
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Resposta: v1 (0) =1,881 V e w = 151,2 J
Exercício: 
Para o circuito abaixo, determine o coeficiente de acoplamento. E calcule a energia 
armazenada nos indutores acoplados no tempo t =1 s se v= 60cos(4t+30°)V.
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Resposta: em t= 1s  w = 20,73J
Exercício: 
O circuito acoplado mostrado na figura abaixo possui um coeficiente de acoplamento de 1. 
Determine a energia armazenada nos indutores mutuamente acoplados no tempo t = 5ms. 
Considere L1 = 2,653mH e L2 = 10,61mH.
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Resposta: em t= 5ms  w = 22,5 mJ
MatLab:
A=[2+j -2j;-2j 4+4*j];
B=[24; 0];
I= inv(A)*B; % I = A\B
I =
9.2308 - 1.8462i
2.7692 + 1.8462i
%conversão para polar 
mod_i1= abs(I(1)); 
ang_i1= angle(I(1))*180/pi;
mod_i2= abs(I(2)); 
ang_i2= angle(I(2))*180/pi;
Transformador Linear 
• Definimos transformadores como uma 
rede contendo duas ou mais bobinas 
magneticamente acopladas em que 
esse acoplamento é realizado de forma 
deliberada.
• O transformador linear é um excelente 
modelo para o transformadorreal 
utilizado em frequências de rádio e 
frequências mais elevadas.
• Os transformadores tem o lado primário 
(contém a fonte) e o lado secundário 
(contém a carga).
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Impedância Refletida
A impedância de entrada Zin vista pela fonte é: 
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
Zin  Z11 
( j)2M 2
Z22

Z11  R1  jL1
Z22  R2  jL2  ZL
Exercício: 
Para o circuito abaixo, calcule a impedância de entrada e a corrente I1. Considere Z1 = 60 -
j100  , Z2 = 30 + j40 e ZL=80 + j60.
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Resposta: Zent = 100,41|-53,1°; I1 = 0,5|113,1°A.
Rede T equivalente
Considere as equações de malha para mostrar que 
esses circuitos são equivalentes
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Exercício: 
Obtenha o equivalente T do transformador linear mostrado na figura abaixo:
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Exercício: 
Obtenha o equivalente T para os enrolamentos magneticamente acoplados, para determinar 
as correntes fasoriais I1 e I2. A frequência da fonte é 400 rad/s.
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Repita o exercício, porém deslocando o ponto de polaridade do enrolamento secundário 
para o terminal inferior.
Resposta: I1 = 63,25|-71,57° mA (ef); I2 = 59,63|-116,57° mA (ef)
Rede  equivalente
• A rede  equivalente não é obtida tão facilmente. Ela é mais complicada e 
não é tão usada.
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𝐿𝐴 =
𝐿1𝐿2 −𝑀
2
𝐿2 −𝑀
𝐿𝐶 =
𝐿1𝐿2 −𝑀
2
𝐿1 −𝑀
𝐿𝐵 =
𝐿1𝐿2 −𝑀
2
𝑀
Exercício: 
Obtenha o equivalente  do transformador linear mostrado na figura abaixo, assumindo 
correntes iniciais nulas:
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Transformador Ideal
• Um transformador é considerado ideal se possui as seguintes 
propriedades:
• Bobinas possuem reatância muito grande (L1, L2 e M );
• Coeficiente de acoplamento é igual à unidade (k = 1);
• Bobinas primárias e secundárias são sem perdas (R1 = R2 = 0)
• Um transformador ideal é o caso limite de dois indutores acoplados, em 
que as indutâncias se aproximam do infinito e o acoplamento é perfeito.
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Transformador Ideal
• O transformador ideal é uma aproximação útil para descrever-se um 
transformador fortemente acoplado no qual o coeficiente de acoplamento é 
unitário e onde as reatâncias indutivas do primário e do secundário são 
extremamente grandes em comparação com as impedâncias terminais.
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
a2 
L2
L1

N2
2
N1
2
Aplicações dos transformadores
• Casamento de Impedância: 
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
Zin 
ZL
a2
• Ajuste de corrente: 
• Ajuste do Nível de Tensão: 

I2
I1

1
a

V2
V1
 a
Aplicações dos Transformadores
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Transformador Elevador 
Transformador Abaixador em 
uma subestação 
Transformador Abaixador 
próximos a edifícios
Exercício: 
No circuito da figura abaixo, determine a potência média dissipada no resistor de 10K
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Resposta: P10 = 6,25W
Exercício: 
No circuito do transformador ideal da figura abaixo, encontre:
a) A corrente da fonte I1;
b) A tensão de saída Vo;
c) A potência complexa fornecida pela fonte.
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Resposta: I1 = 11,09|33,69° A; V0 = 110,9|213,69° V e S=1330,8|-33,69° VA
Uso do transformador para o Casamento de 
Impedância
• Os transformadores podem ser particularmente úteis quando se tenta
assegurar que uma carga receba a maior potência possível a partir de
uma fonte.
• Lembre-se de que a potência máxima é transferida para a carga quando a
impedância dela for igual à resistência interna da fonte.
• Mesmo que seja impossível conseguir um casamento perfeito, quanto
mais próxima a impedância da carga estiver da impedância interna da
fonte, maior a potência transferida para a carga e maior a eficiência do
sistema.
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Exercício (exemplo): 
A impedância interna da fonte é de 500 , um valor muito 
diferente da impedância de entrada do alto –falante, que é 8. 
Nessas condições, é de esperar que a potência fornecida ao 
alto falante seja muito menor que a máxima possível. 
Determine a potência fornecida nas condições apresentadas.
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Foi introduzido um transformador de casamento de impedâncias disponível 
comercialmente de 500 para 8 entre o alto falante e a fonte. Calcule a impedância de 
entrada do transformador e a potência fornecida à carga
Compare os valores das potências fornecidas 
ao alto falante nas duas condições e descubra 
a relação de espiras aproximada para o 
transformador.
Outra aplicação importante das capacidades de casamento de impedâncias do transformador 
ocorre no casamento de uma linha de transmissão paralela de 300  de uma antena de 
televisão à entrada de 75  de um televisor.
Um casamento de impedância tem de ser feito de maneira a garantir que um sinal mais 
intenso seja transferido para o receptor de TV.
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Uso do transformador para o Isolamento Elétrico
• O transformador é frequentemente usado para isolar entre si duas partes
de um circuito elétrico. O isolamento significa a ausência de qualquer
conexão física direta.
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Conectar o voltímetro diretamente à 
linha de transmissão de 40.000 V seria 
um operação de risco para o técnico, 
devido a possibilidade de contato físico. 
Incluindo um transformador no projeto 
original da linha de transmissão, 
podemos reduzir a tensão a níveis 
seguros para fins de medição e calcular 
a tensão da linha pelo número de 
espiras.
Equivalente de Thévenin
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Exercício: 
Para o circuito abaixo, determine o circuito equivalente pelo qual o transformador e o 
circuito do secundário são substituídos e também pelo qual o transformador e o circuito do 
primário são substituídos. 
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Solução: 
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Exercício: 
Determine todas as tensões e correntes indicadas no circuito mostrado abaixo.
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Resposta : I1 = 2,33|-13,5° A; V1 = 83,49|13,07°V , V2 = 20,87|193,07°V; I2 = 9,33|166,50° A
Exercício: 
Determine a tensão Vs do circuito mostrado abaixo.
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Solução: 
Resposta : Vs = 2,80|160,35°V
Exercício: 
Determine as correntes I1 e I2 , e as tensões V1 e V2 do circuito mostrado abaixo.
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Resposta : I1 = 5 A; I2 = 2,5 A; V1 = 5|63°V , V2 = 2 5 |63°V