Atividade I Antiderivada Integral EE 2020 2

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ATIVIDADE I
CURSO: ENGENHARIA ELÉTRICA
Professor Me. Neilon José de Oliveira
CÁLCULO II - ANTIDERIVADA OU INTEGRAL
Calcular a derivada de uma função f(x) significa calcular o coeficiente angular de uma reta tangente em um ponto qualquer da curva desta função. Assim ao calcularmos a derivada de:
· f(x)=2x-3, temos f’(x)=2 e este valor é uma constante e coincide com o próprio coeficiente angular da reta que representa o gráfico da função f(x)=2x-3.
· f(x)=2x+3, temos f’(x)=2 e este valor é uma constante e coincide com o próprio coeficiente angular da reta que representa o gráfico da função f(x)=2x+3
f(x)=2x-3.						 f(x)=2x+3.
Para x=-3 teremos f(-3)= 2(-3)-3=-6-3=-9 			Para x=-3 teremos f(-3)= 2(-3)+3=-6+3=-3
Para x=-2 teremos f(-2)= 2(-2)-3=-4-3=-7 			Para x=-2 teremos f(-2)= 2(-2)+3=-4+3=-1
Portanto a derivada das funções f(x)=2x+3 e f(x)=2x-3 são iguais. Assim podemos afirmar que elas possuem o mesmo coeficiente angular, ou seja, são retas paralelas.
Assim, qual a derivada de:
f(x)=2x+1	f’(x)=2			f(x)=2x-1	f’(x)=2			f(x)=2x+5	f’(x)=2
f(x)=4x-2	f’(x)=4			f(x)=4x+8	f’(x)=4			f(x)=4x+5	f’(x)=4
O que significa calcular a antiderivada (ou integral) de uma função?
Calcular a antiderivada de uma função g(x) significa calcular qual a função f(x) que derivada resulta em g(x). 
Se a derivada de g(x) é g’(x)=2, a antiderivada é _________________
Neste caso seria responder a pergunta: Qual a função cuja derivada é igual a 2?
Neste caso podemos ter várias funções: f(x)=2x			f(x)=2x	+ 5		
Antiderivada exista várias, ou seja, g(x)=2x+k
Se a derivada de g(x) é g’(x)=4, a antiderivada é _________________
Neste caso seria responder a pergunta: Qual a função cuja derivada é igual a 4?
Neste caso podemos ter várias funções: f(x)=4x+1			f(x)=4x	+ 0,5
Note que podemos ter infinitas funções que satisfaz essa condição. Portanto dizemos que existem infinitas antiderivadas de uma função. O símbolo de antiderivada é . Para a função g(x) temos a seguinte representação:
 	ou 	 	se		g(x)=x²+3
 	ou 	 	se		g(x)=2x+3
 	ou 	 	se		h(x)=
Então qual a integral (ou antiderivada) de:
 =2x ou 2x+1 ou 2x+3 2x+k
 =3x+k
 =-6x+k
 = =1x+k
 =0x+k ou k
Agora, se a derivada de f(x)=x²+4 é f’(x)=2x
A integral de é	x²+k
Se a derivada de f(x)=3x²+6x é f’(x)=6x+6
A integral de é 3x²+6x+k
Se a derivada de f(x)=x³+4 é f’(x)= 3x²
A integral de é	x³+k
Se a derivada de f(x)=3x4+3x³ + 3x² é f’(x)=12x³+9x²+6x¹
A integral de é	 3x4+3x³ + 3x² +k 
A regra para calcular a derivada de uma função f(x)= é 
Portanto, para derivar multiplicamos a função pelo expoente e subtraímos uma unidade no expoente.
Para integrar somaremos uma unidade no expoente e dividimos por esse valor, ou seja:
 = 
Sendo assim, vamos calcular:
A integral de é	== 
A derivada será =4.=x³+k
A integral de é	=+k=
A integral de é	 = 
A integral de é	...... = = 
A integral de é	...... = = 
A integral de é	 = ? Não. Pois o denominador neste casa é zero. Logo a regra
 = 
para calcular a antiderivada só é válida para .
Portanto não pode ser calculada por esta propriedade.
Qual a derivada da função y=ln(x)? 
Lembrando do Cálculo I, temos que . Portanto:
E caso o expoente for uma fração?
A integral de é f(x)+. Vamos calcular f(x). Assim:
 
 = = +k = 
LEMBRETE 
A integral de é	
= =+k	 = 
LEMBRETE;
A integral de é	
==
A integral de é 	......
 é	...... = =
A integral de é	......
 = = 
A integral de é	
Propriedades
P1
P2
EXEMPLOS
a) 
+==
b) 
			
			
c) Agora vamos calcular a derivada de f(x)=x²-4x . Preencha a tabela abaixo e vamos analisar o gráfico. 
 
 f(x)=x²-4x
Para x=-3			 f(-3)=(-3)²-4.(-3)=+9+12=21
Para x=-2			 f(-2)=(-2)²-4.(-2)=+4+8=12
Vamos calcular a equação da reta tangente que passa por (4, 0).
f(x)=x²-4x
A derivada é 		f’(x)=2x-4
Para x=4			f’(4)=2.4-4=4 
Portanto o coeficiente angular da reta é 4
y=ax+b
a= coef. angular = 4
Para x=4 temos y=0 em (4, 0).
Então:
0 =4.4+b
b= -16
Portanto a equação da reta é dada por:
y=4x-16
Vamos calcular a equação da reta tangente que passa por (0, 0).
Vamos calcular a equação da reta tangente que passa por (2, -4).
Então, qual o valor da integral de f(x)=2x-4
	
CURSO: ENGENHARIA ELÉTRICA
CÁLCULO DA ANTIDERIVADA OU INTEGRAL
ATIVIDADE I
Professor Me. Neilon José de Oliveira
Calcule a antiderivada (ou integral indefinida) e em seguida faça a derivada da função obtida para fazer a verificação.
1) 	
2) 	
3) 	
4) 	
5) 	
6) 	
7) 	
8) 	
9) 	
10) 
11) 
12) 
13) 
14) 
15) 
16) 
17) 
18) 
19) 
20) 
21) 
22) 
23) 
24) 
25) 
26) 
27) 
28) 
29) 
30) 
31) Dê uma função que ao ser derivada resulta em f(x)=x²-3x+2.
Seu sucesso só depende de você: estude.