A2 CÁLCULO APLICADO UMA VARIÁVEL

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1-) Numa avaliação, um professor solicitou que os alunos encontrassem a derivada da seguinte função racional polinomial: . Chamou a atenção do professor a resolução do aluno Paulo, que derivou a função uma vez e fez as afirmações descritas nas asserções I e II, a seguir.
 
A partir do apresentado, analise as asserções I e II  e a relação proposta entre elas.
 
I. A derivada da função é  igual 
Pois:
II. para derivar nesse caso é necessário usar a regra do quociente.
 
A seguir, assinale a alternativa correta.
2-) O estudante de uma universidade, para ter acesso ao seu armário, precisa de um código com 4 dígitos. O professor disponibilizou o código da seguinte forma: 1º dígito: , em que , 2º dígito: , em que , 3º dígito: , em que , 4º dígito: , em que  Para descobrir qual é o código, encontre o valor das derivadas.
Nesse sentido, assinale a alternativa que indique o código do armário do estudante.
3-) As derivadas das funções elementares podem ser obtidas através dos resultados tabelados. Os resultados da tabela foram obtidos através do limite por definição da derivada. Assim, é importante conhecer as derivadas das funções elementares para derivar funções com maior facilidade.
A respeito das derivadas de funções elementares, considere  e analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. (  ) Se , então .
II. (  ) Se , então 
III. (  ) Se , então .
IV. (  ) Se  então .
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
4-) Para derivar funções, é necessário saber como derivar as funções elementares, que são tabeladas, e  também as regras operatórias: soma, produto e quociente. Para derivar a função , é necessário conhecer a derivada da função exponencial, logarítmica e a regra do quociente. Nesse sentido, assinale a alternativa que determine o valor de 
5-) As funções trigonométricas possuem características próprias, tornando-as funções de grande complexidade. Portanto, derivar essas funções a partir da definição de derivadas por limites, torna-se um trabalho árduo. Assim, a tabela de derivadas inclui fórmulas para derivar, também, as funções trigonométricas.
 
A respeito das derivadas de funções trigonométricas, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
 
I. (  ) .
II. (  ) .
III. (  ) .
IV. (  ) 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
A RESPOSTA CERTA É A 4 VFFV
6-) Um tanque contém um  líquido que, por conta da válvula da saída estar com defeito, o líquido está gotejando em um recipiente. Por observação experimental, foi possível, através da modelagem matemática, verificar que após t horas, há litros no recipiente. Nesse contexto, encontre a taxa de gotejamento do líquido no recipiente, em litros/horas, quando horas.
 
Após os cálculos, assinale a alternativa que indique o resultado encontrado.
7-) Na maioria das vezes, ao calcular o limite de uma função racional polinomial, pode ocorrer indeterminação matemática do tipo 0/0. Nesse caso, para determinar o limite, devemos fatorar as funções racionais polinomiais utilizando a fatoração do polinômio que, em certas situações, é um cálculo muito simples.
Nesse contexto, encontre o limite   e assinale a alternativa que indique qual é o resultado obtido para o limite.
8-) Para derivar a função , é necessário conhecer a derivada da função tangente e a regra da cadeia, pois essa função é uma composição da função tangente, polinomial e potência. Assim, inicialmente, deve-se aplicar a derivada da função potência, depois da função tangente e, por fim, a função polinomial.
 
 Nesse sentido, assinale a alternativa que indique qual o valor de 
9-) A derivada de uma função aplicada a um ponto P é igual ao coeficiente angular da reta tangente à curva  no ponto P. Sendo assim, é possível encontrar as equações da reta tangente e da reta normal . Nesse contexto, encontre as equações da reta tangente e da reta normal à curva , no ponto e analise as afirmativas a seguir.
 
I. A equação da reta tangente é igual a 
II. A equação da reta normal é igual a 
III. O coeficiente angular da reta normal é o valor inverso do coeficiente angular da reta normal.
IV. A derivada da função é igual à , portanto, o coeficiente angular da reta normal é igual a .
 
Está correto o que se afirma em:
10-) Uma função, definida por várias sentenças pode ser derivada, respeitando-se a limitação do domínio para cada sentença e atendendo a condição para que a derivada de uma função exista num ponto : as derivadas laterais a direita, , e a derivada lateral à esquerda, , existem e são iguais. Segundo Fleming (2006) nem toda função contínua num ponto é derivável, no entanto, foi comprovado por teorema que toda função derivável num ponto é contínua. Considere a função f(x) a seguir, definida por várias sentenças:
FLEMING, D. M. Cálculo A. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006.
 
Nesse contexto, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
 
I.  (  ) A função   é derivável em .
II. (  ) A derivada de existe, pois as derivadas laterais são: .
III. (  ) A função  não é derivável em porque  não é contínua em .
IV. (  ) A função  é derivável em , porque  é contínua em .
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.