Lista de Geometria Analitica

Prévia do material em texto

Semestre Suplementar 2020.3
GCET061 Geometria Anaĺıtica
Lista de Exerćıcios - Semana 1
Questão 1. Dados os vetores ~u,~v e ~w como na figura abaixo, desenhe representantes para os
vetores:
a)
1
3
~u + 2~w +
1
2
~v
b) ~a + ~w
c) −~u + 3
5
~a + ~w
d)
3
4
~v +
1
3
~u +
1
3
~w
1
Questão 2. Nas figuras abaixo, os hexágonos são regulares. Em cada caso, determine a soma
dos vetores indicados.
2
Questão 3. Usando as propriedades de soma de vetores e multiplicação por escalar, resolva as
seguintes equações nas incógnitas ~x, ~y e ~z em função de ~u,~v e ~w.
a)
{
3~x + ~y = 2~u
~x− ~y = ~u + ~v
3
b)

~x + ~y + ~z = ~u
~x− ~z = ~v
3~x− 2~y = ~w
Questão 4. Dado um vetor não nulo ~v, obtenha ~u de norma 6 tal que ~v e ~u sejam paralelos e
de mesmo sentido.
Questão 5. Considere um triângulo ABC. Sendo M,N e P os pontos médios de AB,BC e
CA, respectivamente, exprima
−→
BP e
−→
MN em função de
−→
AB e
−→
AC .
Questão 6. Seja ABC um triângulo qualquer, com medianas AD,BE e CF. Prove que
−→
AD +
−→
BE +
−→
CF=
→
0 .
Questão 7. Sendo ABCDEF um hexágono regular de centro O, prove que
−→
AB +
−→
AC +
−→
AD +
−→
AE +
−→
AF= 6·
−→
AO .
Questão 8. Decida se cada uma das afirmações a seguir é verdadeira ou falsa.
a) Se ~u = ~v, então |~u| = |~v|.
b) Se |~u| = |~v|, então ~u = ~v.
c) Se ~u‖~v, então ~u = ~v.
d) Se ~u = ~v, então ~u‖~v.
e) Se ~w = ~u + ~v, então |~w| = |~u|+ |~v|.
f) Se |~w| = |~u|+ |~v|, então ~u,~v e ~w são paralelos.
g) |5~u| = | − 5~u| = 5|~u|.
h) Os vetores 3~u e −4~u são paralelos e de mesmo sentido.
i) Se ~u‖~v, |~u| = 3 e |~v| = 6, então ~v = 2~u ou ~v = −2~u.
j) Se |~v| = 5, o versor de −12~v é −~v
5
.
4
Gabarito
Questão 1.
Questão 2.
5
6
Questão 3.
a) ~x =
3
4
~u +
1
4
~v e ~y = −1
4
~u− 3
4
~v
b) ~x =
2
7
~u +
2
7
~v +
1
7
~w, ~y =
3
7
~u +
3
7
~v − 2
7
~w e ~z =
2
7
~u− 5
7
~v +
1
7
~w.
Questão 4.
~u = 6
−→
v
o
.
Questão 5.
−→
BP= −
−→
AB +
1
2
−→
AC e
−→
MN= 0
−→
AB +
1
2
−→
AC .
Questão 6. Demonstração
Questão 7. Demonstração
Questão 8.
a)V b)F c)F d)V e)F f)V g)V h)F i)V j)V.
7