Prefeitura Municipal de Limeira - Auxiliar Administrativo

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Prefeitura Municipal de Limeira/SP 
 
 
 
 Auxiliar Administrativo 
 
 
 
 
Matemática 
Sequências Lógicas envolvendo números, letras e figuras. .......................................................................................... 1 
Geometria básica. ................................................................................................................................................................. 1 
Conjuntos numéricos. ....................................................................................................................................................... 15 
Equações do 1º e 2º graus. .............................................................................................................................................. 15 
Sistemas de equações. ...................................................................................................................................................... 18 
Criptografia......................................................................................................................................................................... 21 
Conjuntos: as relações de pertinência, inclusão e igualdade; operações entre conjuntos, união, interseção e 
diferença. ............................................................................................................................................................................ 30 
Comparações. ..................................................................................................................................................................... 34 
Numeração. ........................................................................................................................................................................ 47 
Números e grandezas proporcionais, razões e proporções ...................................................................................... 60 
Regra de três simples e composta; ................................................................................................................................. 62 
Porcentagem; Juros simples - juros, capital, tempo, taxas e montante; .................................................................. 67 
Média Aritmética simples e ponderada;........................................................................................................................ 70 
Conjunto de Números Reais e Conjunto de Números Racionais; ............................................................................. 73 
Problemas envolvendo os itens do programa; ............................................................................................................. 77 
Porcentagem e juros simples. ......................................................................................................................................... 77 
 
 
Língua Portuguesa 
Leitura e Interpretação de texto. ...................................................................................................................................... 1 
Concordância Verbal. Concordância Nominal. ............................................................................................................... 3 
Regência Verbal. .................................................................................................................................................................. 6 
Orações Coordenadas. Orações Subordinadas. .............................................................................................................. 6 
Colocação Pronominal: Próclise, Ênclise e Mesóclise. ............................................................................................... 11 
Locuções verbais. ............................................................................................................................................................. 12 
Crase. .................................................................................................................................................................................. 12 
Verbos. ................................................................................................................................................................................ 14 
Pontuação. ......................................................................................................................................................................... 14 
Sintaxe de Regência. ......................................................................................................................................................... 19 
Figuras de Linguagem....................................................................................................................................................... 34 
 Classes de Palavras. ......................................................................................................................................................... 27 
Termos da Oração. ........................................................................................................................................................... 48 
Ortografia. .......................................................................................................................................................................... 55 
Processos de formação de palavras. ............................................................................................................................. 63 
Encontros Vocálicos, Consonantais e dígrafos. ............................................................................................................ 65 
 Acentuação Gráfica. .......................................................................................................................................................... 66 
 
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Noções de Informática 
Noções de hardware. ........................................................................................................................................................... 1 
Noções de sistema operacional (ambiente Windows)................................................................................................... 6 
Edição de textos, planilhas e apresentações (Office 2013 ou superior). ................................................................. 16 
Uso de Internet: navegador; recursos do navegador; ................................................................................................ 53 
Busca na Internet; ............................................................................................................................................................. 67 
Uso de ferramenta de mensagem eletrônica (email, antispam e listas). ................................................................ 71 
Noções de segurança (senhas, prevenção de vírus e outros códigos maliciosos, antivírus, SPAM e antispam, 
cópias de segurança). ....................................................................................................................................................... 74 
 
 
Atualidades 
Questões relacionadas a fatos políticos, econômicos, sociais e culturais relacionados ao município e do estado, 
ocorridos a partir do primeiro semestre de 2019, divulgados na mídia local. ......................................................... 1 
 
 
Conhecimentos Específicos 
Resolução nº 44, de 1992 (Lei Orgânica do Município de Limeira); ........................................................................... 1 
Lei Municipal nº 41/91 (Estatuto do Servidor Público do Município de Limeira);. .............................................. 29 
Ética e disciplina no funcionalismo público; ................................................................................................................45 
Noções gerais de organização de escritório. ................................................................................................................ 49 
Noções de protocolo, registro, tramitação, expedição, arquivamento de documentos; ....................................... 53 
Comunicação, relações interpessoais nas organizações e trabalho em equipe; .................................................... 60 
Atendimento ao públicos interno e externo. ................................................................................................................ 75 
 
 
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MATEMÁTICA 
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APOSTILAS OPÇÃO 
 
 
Matemática 1 
 
 
 
 
Caro(a) Candidato(a) este tópico será estudado em 
“Numeração.” 
 
 
 
PONTO – RETA E PLANO 
 
Ao estudo das figuras em um só plano chamamos de 
Geometria Plana. 
A Geometria estuda, basicamente, os três princípios 
fundamentais (ou também chamados de “entes primitivos”) 
que são: Ponto, Reta e Plano. Estes três princípios não têm 
definição e nem dimensão (tamanho). 
Para representar um ponto usamos. e para dar nome 
usamos letras maiúsculas do nosso alfabeto. Exemplo: . A 
(ponto A). 
Para representar uma reta usamos ↔ e para dar nome 
usamos letras minúsculas do nosso alfabeto ou dois pontos por 
onde esta reta passa. 
Exemplo: t ( reta t ou reta 𝐴𝐵 ⃡ ). 
 
 
Para representar um plano usamos uma figura chamada 
paralelogramo e para dar nome usamos letras minúsculas do 
alfabeto grego (α, β, π, θ,....). 
Exemplo: 
 
 
Semiplano: toda reta de um plano que o divide em outras 
duas porções as quais denominamos de semiplano. Observe a 
figura: 
 
 
Partes de uma reta 
Estudamos, particularmente, duas partes de uma reta: 
- Semirreta: é uma parte da reta que tem origem em um 
ponto e é infinita. 
Exemplo: (semirreta 𝐴𝐵 ), tem origem em A e passa por B. 
 
- Segmento de reta: é uma parte finita (tem começo e fim) 
da reta. 
 
 
Exemplo: (segmento de reta 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ). 
 
 
Observação: 𝐴𝐵 ≠ 𝐵𝐴 e 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 𝐵𝐴̅̅ ̅̅ . 
 
 
POSIÇÃO RELATIVA ENTRE RETAS 
 
- Retas concorrentes: duas retas são concorrentes 
quando se interceptam em um ponto. Observe que a figura 
abaixo as retas c e d se interceptam no ponto B. 
 
 
 
- Retas paralelas: são retas que por mais que se 
prolonguem nunca se encontram, mantêm a mesma distância 
e nunca se cruzam. O ângulo de inclinação de duas ou mais 
retas paralelas em relação a outra é sempre igual. Indicamos 
retas paralelas a e b por a // b. 
 
 
 
- Retas coincidentes: duas retas são coincidentes se 
pertencem ao mesmo plano e possuem todos os pontos em 
comum. 
 
 
- Retas perpendiculares: são retas concorrentes que se 
cruzam num ponto formando entre si ângulos de 90º ou seja 
ângulos retos. 
 
 
 
 
Ângulos formados por duas retas paralelas com uma 
transversal 
Lembre-se: Retas paralelas são retas que estão no mesmo 
plano e não possuem ponto em comum. 
Vamos observar a figura abaixo: 
 
 
 
Ângulos colaterais internos: (colaterais = mesmo lado) 
 
 
Sequências Lógicas 
envolvendo números, letras e 
figuras. 
Geometria básica. 
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APOSTILAS OPÇÃO 
 
 
Matemática 2 
A soma dos ângulos 4 e 5 é igual a 180°. 
 
A soma dos ângulos 3 e 6 é igual a 180° 
 
Ângulos colaterais externos: 
 
 
 
A soma dos ângulos 2 e 7 é igual a 180° 
 
 
A soma dos ângulos 1 e 8 é igual a 180° 
 
Ângulos alternos internos: (alternos = lados diferentes) 
 
 
Os ângulos 4 e 6 são congruentes (iguais) 
 
 
Os ângulos 3 e 5 são congruentes (iguais) 
 
Ângulos alternos externos: 
 
 
Os ângulos 1 e 7 são congruentes (iguais) 
 
 
Os ângulos 2 e 8 são congruentes (iguais) 
Ângulos correspondentes: são ângulos que ocupam uma 
mesma posição na reta transversal, um na região interna e o 
outro na região externa. 
 
 
Os ângulos 1 e 5 são congruentes (iguais) 
 
 
os ângulos 2 e 6 são congruentes (iguais) 
 
 
os ângulos 3 e 7 são congruentes (iguais) 
 
 
os ângulos 4 e 8 são congruentes (iguais) 
 
Questões 
 
01. Na figura abaixo, o valor de x é: 
 
(A) 10° 
(B) 20° 
(C) 30° 
(D) 40° 
(E) 50° 
 
02. O valor de x na figura seguinte, em graus, é: 
 
(A) 32° 
(B) 32° 30’ 
(C) 33° 
(D) 33° 30’ 
(E) 34° 
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APOSTILAS OPÇÃO 
 
 
Matemática 3 
03. Na figura abaixo, sabendo que o ângulo  é reto, o valor 
de 𝛼 é: 
 
(A) 20° 
(B) 30° 
(C) 40° 
(D) 50° 
(E) 60° 
 
Respostas 
 
01. Resposta: E. 
Na figura, os ângulos assinalados são correspondentes, 
portanto são iguais. 
 
 
x + 2x + 30° = 180° 
3x = 180°- 30° 
3x = 150° 
x = 150° : 3 
x = 50° 
 
02. Resposta: B. 
Na figura dada os ângulos 47° e 2x – 18° são 
correspondentes e, portanto tem a mesma medida, então: 
2x – 18° = 47° → 2x = 47° + 18° → 2x = 65° → x = 65°: 2 
 
x = 32° 30’ 
 
03. Resposta: C. 
Precisamostraçar uma terceira reta pelo vértice A paralela 
às outras duas. 
 
 
Os ângulos são dois a dois iguais, portanto 𝛼 = 40° 
 
ÂNGULOS 
 
Ângulo: É uma região limitada por duas semirretas de 
mesma origem. 
 
Elementos de um ângulo: 
- LADOS: são as duas semirretas 𝑂𝐴 e 𝑂𝐵 . 
-VÉRTICE: é o ponto de intersecção das duas semirretas, 
no exemplo o ponto O. 
 
 
 
Ângulo Central: 
- Da circunferência: é o ângulo cujo vértice é o centro da 
circunferência; 
- Do polígono: é o ângulo, cujo vértice é o centro do 
polígono regular e cujos lados passam por vértices 
consecutivos do polígono. 
 
 
Ângulo Circunscrito: É o ângulo, cujo vértice não 
pertence à circunferência e os lados são tangentes a ela. 
 
 
Ângulo Inscrito: É o ângulo cujo vértice pertence a uma 
circunferência. 
 
 
Ângulo Agudo: É o ângulo, cuja medida é menor do que 
90º. 
 
Ângulo Obtuso: É o ângulo cuja medida é maior do que 
90º. 
 
 
Ângulo Raso: 
 - É o ângulo cuja medida é 180º; 
- É aquele, cujos lados são semirretas opostas. 
 
Ângulo Reto: 
- É o ângulo cuja medida é 90º; 
- É aquele cujos lados se apoiam em retas perpendiculares. 
 
 
Ângulos Complementares: Dois ângulos são 
complementares se a soma das suas medidas é 90
0
. 
 
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APOSTILAS OPÇÃO 
 
 
Matemática 4 
Ângulos Replementares: Dois ângulos são ditos 
replementares se a soma das suas medidas é 360
0
. 
 
 
 
Ângulos Suplementares: Dois ângulos são ditos 
suplementares se a soma das suas medidas de dois ângulos é 
180º. 
 
 
Então, se x e y são dois ângulos, temos: 
- se x + y = 90° → x e y são Complementares. 
- se x + y = 180° → e y são Suplementares. 
- se x + y = 360° → x e y são Replementares. 
 
Ângulos Congruentes: São ângulos que possuem a mesma 
medida. 
 
 
 
Ângulos Opostos pelo Vértice: Dois ângulos são opostos 
pelo vértice se os lados de um são as respectivas semirretas 
opostas aos lados do outro. 
 
 
Ângulos consecutivos: são ângulos que tem um lado em 
comum. 
 
Ângulos adjacentes: são ângulos consecutivos que não 
tem ponto interno em comum. 
 
- Os ângulos AÔB e BÔC, AÔB e AÔC, BÔC e AÔC são pares 
de ângulos consecutivos. 
- Os ângulos AÔB e BÔC são ângulos adjacentes. 
 
Unidades de medida de ângulos: 
Grado: (gr.): dividindo a circunferência em 400 partes 
iguais, a cada arco unitário que corresponde a 1/400 da 
circunferência denominamos de grado. 
 Grau: (º): dividindo a circunferência em 360 partes iguais, 
cada arco unitário que corresponde a 1/360 da circunferência 
denominamos de grau. 
- o grau tem dois submúltiplos: minuto e segundo. E temos 
que 1° = 60’ (1 grau equivale a 60 minutos) e 1’ = 60” (1 minuto 
equivale a 60 segundos). 
Questões 
 
01. As retas f e g são paralelas (f // g). Determine a medida 
do ângulo â, nos seguintes casos: 
 
a) 
 
 
b) 
 
 
 
02. As retas a e b são paralelas. Quanto mede o ângulo î? 
 
 
03. Obtenha as medidas dos ângulos assinalados: 
 
a) 
 
 
b) 
 
 
c) 
 
 
d) 
 
 
Respostas 
 
01. Respostas: 
a) 55˚ 
b) 74˚ 
 
 
 
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APOSTILAS OPÇÃO 
 
 
Matemática 5 
02. Resposta: 130. 
Imagine uma linha cortando o ângulo î, formando uma 
linha paralela às retas "a" e "b". 
Fica então decomposto nos ângulos ê e ô. 
 
 
 
Sendo assim, ê = 80° e ô = 50°, pois o ângulo ô é igual ao 
complemento de 130° na reta b. 
Logo, î = 80° + 50° = 130°. 
 
03. Respostas: 
a) 160° - 3x = x + 100° 
160° - 100° = x + 3x → 60° = 4x 
x = 60°/4 → x = 15° 
Então 15°+100° = 115° e 160°-3*15° = 115° 
 
b) 6x + 15° + 2x + 5º = 180° 
6x + 2x = 180° -15° - 5° → 8x = 160° → x = 160°/8 
x = 20° 
Então, 6*20°+15° = 135° e 2*20°+5° = 45° 
 
c) Sabemos que a figura tem 90°. 
Então x + (x + 10°) + (x + 20°) + (x + 20°) = 90° 
4x + 50° = 90° → 4x = 40° → x = 40°/4 → x = 10° 
 
d) Sabemos que os ângulos laranja + verde formam 180°, 
pois são exatamente a metade de um círculo. 
Então, 138° + x = 180° → x = 180° - 138° → x = 42° 
Logo, o ângulo x mede 42°. 
 
PERÍMETRO E ÁREA DAS FIGURAS PLANAS 
 
Perímetro: é a soma de todos os lados de uma figura plana. 
Exemplo: 
 
Perímetros de algumas das figuras planas: 
 
 
 
Área: é a medida da superfície de uma figura plana. 
A unidade básica de área é o m2 (metro quadrado), isto é, 
uma superfície correspondente a um quadrado que tem 1 m de 
lado. 
 
Fórmulas de área das principais figuras planas: 
 
1. Retângulo 
Sendo b a base e h a altura: 
 
 
2. Paralelogramo 
Sendo b a base e h a altura: 
 
 
3. Trapézio 
Sendo B a base maior, b a base menor e h a altura: 
 
 
4. Losango 
Sendo D a diagonal maior e d a diagonal menor: 
 
 
5. Quadrado 
Sendo l o lado: 
 
6. Triângulo: essa figura tem 6 fórmulas de área, 
dependendo dos dados do problema a ser resolvido. 
 
I) sendo dados a base b e a altura h: 
 
 
II) sendo dados as medidas dos três lados a, b e c: 
 
 
III) sendo dados as medidas de dois lados e o ângulo 
formado entre eles: 
 
 
 
 
 
 
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APOSTILAS OPÇÃO 
 
 
Matemática 6 
IV) triângulo equilátero (tem os três lados iguais): 
 
 
V) circunferência inscrita: 
 
Onde p é o semiperímetro e r é o raio. 
 
VI) circunferência circunscrita: 
 
 
Questões 
 
01. (Pref. de Itapevi/SP – Sepultador – VUNESP/2019) 
Ricardo irá instalar cerca elétrica em toda a volta do 
condomínio Boa Vida, que possui as seguintes medidas: 
 
A cerca elétrica que será instalada possui três fios. O 
comprimento total de fios, em metros, que Ricardo utilizará no 
condomínio Boa Vida é de, pelo menos, 
(A) 800. 
(B) 1000. 
(C) 1100. 
(D) 1200. 
(E) 1500. 
 
02. (UNICAMP – Pedagogo – VUNESP/2019) Na figura 
ABCD e AQBP são quadrados. O ponto P é o centro do quadrado 
ABCD. 
 
O perímetro do quadrado ABCD é de 40 cm. Nesse caso, o 
perímetro do triângulo AQB, em cm, é: 
(A) 75 
(B) 25√2 
(C) 50 
(D) 10 + 5√2 
(E) 10 + 10√2 
 
03. Câm. De Piracicaba/SP – Agente Legislativo – 
VUNESP/2019) Um centro de reciclagem de produtos 
eletrônicos está procurando um local para armazenamento e 
separação desse material. Os responsáveis por esse centro 
encontraram quatro possíveis locais para servir de depósito, 
cujas áreas úteis estão representadas a seguir, com as 
dimensões dadas em metros. 
 
Após alguns estudos, esses responsáveis decidiram optar 
por um espaço que tenha área útil maior do que 1000 m2. 
Nesse caso, eles poderão ficar com os locais 
(A) I ou II. 
(B) I ou IV. 
(C) II ou III. 
(D) II ou IV. 
(E) III ou IV. 
 
04. (Pref. de Sapucaia do Sul/RS – Professor – 
FUNDATEC/2019) Considere o quadrado ABCD de centro O 
representado na figura a seguir: 
 
Se OB = 3√2, então a área do quadrado ABCD será: 
(A) 10. 
(B) 12. 
(C) 24. 
(D) 30. 
(E) 36. 
 
05. Corta-se um arame de 30 metros em duas partes. Com 
cada uma das partes constrói-se um quadrado. Se S é a soma 
das áreas dos dois quadrados, assim construídos, então o 
menor valor possível para S é obtido quando: 
(A) o arame é cortado em duas partes iguais. 
(B) uma parte é o dobro da outra. 
(C) uma parte é o triplo da outra. 
(D) uma parte mede 16 metros de comprimento. 
 
06. Um grande terreno foi dividido em 6 lotes retangulares 
congruentes, conforme mostra a figura, cujas dimensões 
indicadas estão em metros. 
 
 
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APOSTILAS OPÇÃO 
 
 
Matemática 7 
Sabendo-se que o perímetro do terreno original, delineado 
em negrito na figura, mede x + 285, conclui-se que a área total 
desse terreno é, em m², igual a: 
(A) 2 400. 
(B) 2 600. 
(C) 2 800. 
(D) 3000. 
(E) 3 200. 
 
Comentários 
 
01. Resposta: D 
Ele quer 3 voltas de fios no terreno todo, sendo assim, 
devemos encontrar o perímetro do retângulo e multiplicar por 
3 para obter a metragem de fios necessárias. 
 
P = 110 + 90 + 110 + 90 = 400m 
Como são 3 voltas: 3x400 = 1200m 
 
02. Resposta: E 
Para descobrir o perímetro do triângulo AQB, devemos 
encontrar os valores de seus lados. 
Como o perímetro do quadrado ABCD é 40cm, podemos 
encontrar o valor de cada um de seus lados, que será 10cm, 
pois os 4 lados são iguais, desta forma já encontramos um dos 
lados do triângulo AQB, temos o valor de AB = 10cm. 
Observe que AQBP é um quadrado, então se descobrir um 
dos lados, consequentemente teremos todos, mas AP é metade 
da diagonal do quadrado ABCD, logo AC = 10√2, então AP = 
5√2, sendo assim AP = 5√2 = 𝐴𝑄 = 𝑄𝐵. 
O Perímetro do triângulo AQB é 10 + 10√2 
 
03. Resposta: D 
Vamos encontrar a área de cada uma das figuras. 
Figura I 
É um retângulo, logo A = 25x35 = 875m², portanto não 
serve. 
Figura II 
Vou dividir a figura em duas partes para poder encontrar 
sua área. 
 
 
Temos um retângulo menor de lados 5x10 e um maior de 
lados 35x30, calculando a Área de cada um teremos: 
5x10 = 50 
35x30 = 1050 
No total a figura terá 1100m² de área, então serve. 
Figura III 
Temos um trapézio onde base maior = 50, base menor = 
20, altura = 25. 
Sendo assim, vamos calcular a área. 
𝐴 =
(𝐵+𝑏)ℎ
2
=
(50+20)25
2
=
70.25
2
=
1750
2
= 875m² 
Não serve. 
Figura IV. 
Nem precisaria, pois se I e III não pode ser, só resta a II e 
IV, mas vou mostrar como se revolve a área desta figura IV. 
Irei dividir em duas figuras: 
 
Temos um retângulo de dimensões 30x20, cuja área será 
600m² e um trapézio de dimensões B = 30, b = 20, h = 20, cuja 
área será 
𝐴 =
(𝐵+𝑏)ℎ
2
=
(30+20)20
2
=
50.20
2
=
1000
2
= 500m² 
Logo a área total da figura será 500 + 600 = 1100m² que 
supera os 1000m², sendo assim a resposta seria a figura II e IV 
 
04. Resposta: E 
Se OB = 3√2, observando a figura, este valor representa 
metade da diagonal do quadrado, cujo valor é 𝑑 = 𝑙√2. 
d = 2.3√2=6√2 
𝑑 = 𝑙√2 = 6√2 
Logo l = 6. 
Para encontrar a área do quadrado basta multiplicar o 
valor do seu lado por ele mesmo, ou seja, A = l² = 6² = 6x6 = 
36m² 
 
05. Resposta: A 
- um quadrado terá perímetro x 
 o lado será l =
x
4
 e o outro quadrado terá perímetro 30 – x 
o lado será l1 =
30−x
4
, sabendo que a área de um quadrado 
é dada por S = l2, temos: 
S = S1 + S2 
S=l²+l1² 
S = (
x
4
)
2
+ (
30−x
4
)
2
 
S =
x2
16
+
(30−x)2
16
, como temos o mesmo denominador 16: 
 
S =
x2 + 302 − 2.30. x + x2
16
 
S =
x2 + 900 − 60x + x2
16
 
 S =
2x2
16
−
60x
16
+
900
16
, 
 
sendo uma equação do 2º grau onde a = 2/16; b = -60/16 
e c = 900/16 e o valor de x será o x do vértice que e dado pela 
fórmula: x =
−b
2a
, então: 
xv =
− (
−60
16
)
2.
2
16
=
60
16
4
16
 
xv =
60
16
.
16
4
=
60
4
= 15, 
Logo, l = 15 e l1 = 30 – 15 = 15. 
 
06. Resposta: D 
Observando a figura temos que cada retângulo tem lados 
medindo x e 0,8x: 
Perímetro = x + 285 
8.0,8x + 6x = x + 285 
6,4x + 6x – x = 285 
11,4x = 285 
x = 285:11,4 
x = 25 
Sendo S a área do retângulo: 
S= b.h 
S= 0,8x.x 
S = 0,8x2 
Sendo St a área total da figura: 
St = 6.0,8x2 
St = 4,8.(25)2 
St = 4,8.625 
St = 3000 
 
 
 
 
 
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APOSTILAS OPÇÃO 
 
 
Matemática 8 
ÁREA DO CIRCULO E SUAS PARTES 
 
I- Círculo: 
Quem primeiro descreveu a área de um círculo foi o 
matemático grego Arquimedes (287/212 a.C.), de Siracusa, 
mais ou menos por volta do século II antes de Cristo. Ele 
concluiu que quanto mais lados tem um polígono regular mais 
ele se aproxima de uma circunferência e o apótema (a) deste 
polígono tende ao raio r. Assim, como a fórmula da área de um 
polígono regular é dada por A = p.a (onde p é semiperímetro e 
a é o apótema), temos para a área do círculo 𝐴 =
2𝜇𝑟
2
. 𝑟, então 
temos: 
 
 
II- Coroa circular: 
É uma região compreendida entre dois círculos 
concêntricos (tem o mesmo centro). A área da coroa circular é 
igual a diferença entre as áreas do círculo maior e do círculo 
menor. A = 𝜋R2 – 𝜋r2, como temos o 𝜋 como fator comum, 
podemos colocá-lo em evidência, então temos: 
 
 
 
III- Setor circular: 
É uma região compreendida entre dois raios distintos de 
um círculo. O setor circular tem como elementos principais o 
raio r, um ângulo central 𝛼 e o comprimento do arco l, então 
temos duas fórmulas: 
 
 
 
IV- Segmento circular: 
É uma região compreendida entre um círculo e uma corda 
(segmento que une dois pontos de uma circunferência) deste 
círculo. Para calcular a área de um segmento circular temos 
que subtrair a área de um triângulo da área de um setor 
circular, então temos: 
 
 
 
Questões 
 
01. A figura abaixo mostra três círculos, cada um com 10 
cm de raio, tangentes entre si. 
 
Considerando √3 ≅ 1,73 e 𝜋 ≅ 3,14, o valor da área 
sombreada, em cm2, é: 
(A) 320. 
(B) 330. 
(C) 340. 
(D) 350. 
(E) 360. 
 
02. (Pref. de Aracruz/ES – Instrutor de Libras – 
IBADE/2019) Sabe-se que a figura foi feita levando em 
consideração que o raio da circunferência é R e que os catetos 
do triângulo retângulo valem R. Marque a alternativa que 
apresenta o valor da área hachurada, em função de R. 
 
(A)
𝑅2
4
(𝜋 − 2) 
(B) 
𝑅2
4
(𝜋 − 4) 
(C) 
𝑅2
2
(𝜋 + 2) 
(D) 
𝑅2
2
(𝜋 − 4) 
(E) 
𝑅
4
(𝜋 − 2) 
 
03. (Pref. de Juazeiro do Norte/CE – Jornalista – 
CETREDE/2019) Na figura a seguir, o quadrado tem lado 
igual a 4cm. 
 
Qual é o valor da área destacada em cinza? 
(A) 2π cm². 
(B) 4 cm². 
(C) 4π cm². 
(D) 8π cm². 
(E) 8 cm². 
 
04. (Pref. de Teresina/PI – Professor – NUCEPE/2019) 
A figura a seguir mostra um retângulo circunscrito em dois 
círculos tangentes. 
 
Se a área cinza formada pelos dois círculos é igual a 72π 
cm², qual o perímetro do retângulo? 
(A) 24 cm. 
(B) 36 cm. 
(C) 72 cm. 
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APOSTILAS OPÇÃO 
 
 
Matemática 9 
(D) 36√2cm. 
(E) 72√2cm. 
 
05. A área de um círculo, cuja circunferência tem 
comprimento 20𝜋 cm, é: 
(A) 100𝜋 cm2. 
(B) 80 𝜋 cm2. 
(C) 160 𝜋 cm2. 
(D) 400 𝜋 cm2. 
 
06. Quatro tanques de armazenamento de óleo, cilíndricos 
e iguais, estão instalados em uma área retangular de 24,8 m de 
comprimento por 20,0 m de largura, como representados na 
figura abaixo. 
 
Se as bases dos quatro tanques ocupam 
2
5
 da área 
retangular, qual é, em metros, o diâmetro da base de cada 
tanque? 
Dado: use 𝜋=3,1 
(A) 2. 
(B) 4. 
(C) 6. 
(D) 8. 
(E) 16. 
 
Comentários 
 
01. Resposta: B. 
Unindo os centros das três circunferências temos um 
triângulo equilátero de lado 2r, ou seja, l = 2.10 = 20 cm. Então 
a área a ser calculada será: 
 
𝐴 = 𝐴𝑐𝑖𝑟𝑐 + 𝐴𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔 +
𝐴𝑐𝑖𝑟𝑐
2
 
𝐴 =
𝐴𝑐𝑖𝑟𝑐
2
+ 𝐴𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔 
𝐴 =
𝜋𝑟2
2
+ 𝐴𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔 
𝐴 =
𝜋𝑟2
2
+
𝑙2√3
4
 
𝐴 =
(3,14 ∙ 102)
2
+
202 ∙ 1,73
4
 
𝐴 = 1,57 ∙ 100 +
400 ∙ 1,73
4
 
𝐴 = 157 + 100 ∙ 1,73 = 157 + 173 = 330 
 
02. Resposta: A 
Para calcular a área da região pintadabasta fazer a área do 
setor circular e subtrair a área a triângulo retângulo. 
Área do Setor: 
Como o enunciado diz que temos um triângulo retângulo, 
o ângulo será igual a 90° e o raio = R, logo: 
𝐴 =
𝑎𝜋𝑟2
360°
=
90𝜋𝑅2
360°
= 
𝑅²𝜋
4
 
Área do Retângulo: 
𝐴 =
𝑏. ℎ
2
=
𝑅. 𝑅
2
=
𝑅2
2
 
Desta forma a área total da figura pintada será: 
A = 
𝑅²𝜋
4
−
𝑅2
2
 
Colocando em evidência: 
A = 
𝑅2
2
(
𝜋
2
− 1) 
Mas não temos este valor, logo devemos colocar em 
evidência
𝑅2
4
 e não 
𝑅2
2
, mas daí ficaria: 
A = 
𝑅2
4
(𝜋 − 2) 
 
03. Resposta: C 
Para descobrir a área da parte pintada, devemos fazer a 
área do círculo maior menos a área do círculo menor, para isso, 
precisamos encontrar o valor do raio de cada um dos círculos, 
utilizaremos a informação dada sobre o quadrado para 
encontrar esses raios. 
Círculo menor: 
Observando a figura, o lado do quadrado é igual ao 
diâmetro do círculo, logo 4 = d, sendo assim o raio será r = 2 
cm, portanto a área do círculo menor será: 
𝐴 = 𝜋𝑟2 = π22 = 4π 
 
Círculo Maior: 
Observando a figura, o diâmetro do círculo maior é igual a 
diagonal do quadrado. 
Diagonal do quadrado: 𝑙√2 = 4√2 
Então o diâmetro será: 4√2, consequentemente o raio será 
2√2. 
Calculando a área do círculo maior: 
𝐴 = 𝜋(2√2. )
2
 = π4.2 = 8π 
Assim a área pintada da figura será: 8π − 4π = 4π cm² 
 
04. Resposta: C 
Para encontrar o perímetro do retângulo, precisamos 
encontrar o valor do raio do círculo. 
O enunciado deu 72π cm² de área de dois círculos, logo a 
área de apenas um círculo será 36 π cm². 
A = 𝜋𝑟2 = 36π 
𝜋𝑟2 = 36π 
𝑟2 = 36 
𝑟 = √36 
𝑟 = 6𝑐𝑚 
Se o raio é igual a 6 cm, então a largura do retângulo é 12 
cm, pois possui 2 raios de tamanho, já o comprimento do 
retângulo tem 4 raios de tamanho, logo 4x6 = 24 cm. 
Agora, para encontrar o perímetro do retângulo, basta 
somar os 4 lados: 
P = 12 + 24 + 12 + 24 = 72 cm 
 
05. Resposta: A. 
A fórmula do comprimento de uma circunferência é C = 
2π.r, Então: 
C = 20π 
2π.r = 20π 
r =
20π
2π
 
r = 10 cm 
A = π.r2 → A = π.102 → A = 100π cm2 
 
06. Resposta: D. 
Primeiro calculamos a área do retângulo (A = b.h) 
Aret = 24,8.20 
Aret = 496 m2 
4.Acirc = 
2
5
.Aret 
4.πr2 = 
2
5
.496 
4.3,1.r2 = 
992
5
 
12,4.r2 = 198,4 
r2 = 198,4 : 12, 4 → r2 = 16 → r = 4 
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APOSTILAS OPÇÃO 
 
 
Matemática 10 
d = 2r =2.4 = 8 
 
TEOREMA DE PITÁGORAS 
 
Em todo triângulo retângulo, o maior lado é chamado de 
hipotenusa e os outros dois lados são os catetos. 
 
- “Em todo triângulo retângulo o quadrado da hipotenusa 
é igual à soma dos quadrados dos catetos”. 
 
a2 = b2 + c2 
 
Questões 
 
01. Millôr Fernandes, em uma bela homenagem à 
Matemática, escreveu um poema do qual extraímos o 
fragmento abaixo: 
Às folhas tantas de um livro de Matemática, um Quociente 
apaixonou-se um dia doidamente por uma Incógnita. 
Olhou-a com seu olhar inumerável e viu-a do Ápice à Base: 
uma figura Ímpar; olhos romboides, boca trapezoide, corpo 
retangular, seios esferoides. 
Fez da sua uma vida paralela à dela, até que se 
encontraram no Infinito. 
“Quem és tu” – indagou ele em ânsia Radical. 
“Sou a soma dos quadrados dos catetos. Mas pode me 
chamar de Hipotenusa.” (Millôr Fernandes – Trinta Anos de 
Mim Mesmo). 
A Incógnita se enganou ao dizer quem era. Para atender ao 
Teorema de Pitágoras, deveria dar a seguinte resposta: 
(A) “Sou a soma dos catetos. Mas pode me chamar de 
Hipotenusa.” 
(B) “Sou o quadrado da soma dos catetos. Mas pode me 
chamar de Hipotenusa.” 
(C) “Sou o quadrado da soma dos catetos. Mas pode me 
chamar de quadrado da Hipotenusa.” 
(D) “Sou a soma dos quadrados dos catetos. Mas pode me 
chamar de quadrado da Hipotenusa.” 
(E) Nenhuma das anteriores. 
 
02. Um barco partiu de um ponto A e navegou 10 milhas 
para o oeste chegando a um ponto B, depois 5 milhas para o 
sul chegando a um ponto C, depois 13 milhas para o leste 
chagando a um ponto D e finalmente 9 milhas para o norte 
chegando a um ponto E. Onde o barco parou relativamente ao 
ponto de partida? 
(A) 3 milhas a sudoeste. 
(B) 3 milhas a sudeste. 
(C) 4 milhas ao sul. 
(D) 5 milhas ao norte. 
(E) 5 milhas a nordeste. 
 
03. Em um triângulo retângulo a hipotenusa mede 13 cm e 
um dos catetos mede 5 cm, qual é a medida do outro cateto? 
(A) 10 
(B) 11 
(C) 12 
(D) 13 
(E) 14 
 
 
 
Respostas 
 
01. Resposta: D. 
 
02. Resposta: E. 
 
 
x2 = 32 + 42 
x2 = 9 + 16 
x2 = 25 
x = √25 = 5 
 
03. Resposta: C. 
132 = x2 + 52 
169 = x2 + 25 
169 – 25 = x2 
x2 = 144 
x = √144 = 12 cm 
 
TEOREMA DE TALES 
 
- Feixe de paralelas: é todo conjunto de três ou mais retas 
e paralelas entre si. 
- Transversal: é qualquer reta que intercepta todas as retas 
de um feixe de paralelas. 
- Teorema de Tales: Se duas retas são transversais de um 
feixe de retas paralelas então a razão entre as medidas de dois 
segmentos quaisquer de uma delas é igual à razão entre as 
medidas dos segmentos correspondentes da outra. 
 
r//s//t//u (// → símbolo de paralelas); a e b são retas 
transversais. Então, temos que os segmentos correspondentes 
são proporcionais. 
 
𝐴𝐵̅̅ ̅̅
𝐸𝐹̅̅ ̅̅
=
𝐵𝐶̅̅ ̅̅
𝐹𝐺̅̅ ̅̅
=
𝐶𝐷̅̅ ̅̅
𝐺𝐻̅̅ ̅̅
=
𝐴𝐷̅̅ ̅̅
𝐸𝐻̅̅ ̅̅
= ⋯. 
 
Teorema da bissetriz interna: 
“Em todo triângulo a bissetriz de um ângulo interno divide 
o lado oposto em dois segmentos proporcionais ao outros dois 
lados do triângulo”. 
 
 
Referências 
SOUZA, Joamir Roberto; PATARO, Patricia Moreno – Vontade de Saber 
Matemática 6º Ano – FTD – 2ª edição – São Paulo: 2012 
http://www.jcpaiva.net/ 
 
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APOSTILAS OPÇÃO 
 
 
Matemática 11 
Questões 
 
 01. Na figura abaixo, o valor de x é: 
 
(A) 1,2 
(B) 1,4 
(C) 1,6 
(D) 1,8 
(E) 2,0 
 
02. Na figura abaixo, qual é o valor de x? 
 
(A) 3 
(B) 4 
(C) 5 
(D) 6 
(E) 7 
03. Calcular o valor de x na figura abaixo. 
 
 
 
Respostas 
 
01. Resposta: C. 
2
5
=
𝑥
4
 
5x = 2.4 
5x = 8 
x = 8 : 5 = 1,6 
 
02. Resposta: B. 
2𝑥 − 3
𝑥 + 2
=
5
6
 
6.(2x – 3) = 5(x + 2) 
12x – 18 = 5x + 10 
12x – 5x = 10 + 18 
7x = 28 
x = 28 : 7 = 4 
 
03. Resposta: 06. 
10
30
=
𝑥
18
 
 
30x = 10.18 
30x = 180 
x = 180 : 30 = 6 
 
 
 
 
SÓLIDOS GEOMÉTRICOS 
 
Sólidos Geométricos são figuras geométricas que possui 
três dimensões. Um sólido é limitado por um ou mais planos. 
Os mais conhecidos são: prisma, pirâmide, cilindro, cone e 
esfera. 
 
- Sólidos geométricos 
 
I) PRISMA: é um sólido geométrico que possui duas bases 
iguais e paralelas. 
 
 
 Elementos de um prisma: 
a) Base: pode ser qualquer polígono. 
b) Arestas da base: são os segmentos que formam as 
bases. 
c) Face Lateral: é sempre um paralelogramo. 
d) Arestas Laterais: são os segmentos que formam as 
faces laterais. 
e) Vértice: ponto de intersecção (encontro) de arestas. 
f) Altura: distância entre as duas bases. 
 
 Classificação: 
Um prisma pode ser classificado de duas maneiras: 
 
1- Quanto à base: 
- Prisma triangular...........................................................a base é 
um triângulo. 
- Prisma quadrangular.....................................................a base é 
um quadrilátero. 
- Prisma pentagonal........................................................a base é 
um pentágono. 
- Prisma hexagonal.........................................................a base é 
um hexágono. 
E, assim por diante. 
 
2- Quanta à inclinação: 
- Prisma Reto: a aresta lateral formacom a base um 
ângulo reto (90°). 
- Prisma Obliquo: a aresta lateral forma com a base um 
ângulo diferente de 90°. 
 
 Fórmulas: 
- Área da Base 
Como a base pode ser qualquer polígono não existe uma 
fórmula fixa. Se a base é um triângulo calculamos a área desse 
triângulo; se a base é um quadrado calculamos a área desse 
quadrado, e assim por diante. 
- Área Lateral: 
Soma das áreas das faces laterais 
- Área Total: 
At=Al+2Ab 
- Volume: 
V = Abh 
 
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APOSTILAS OPÇÃO 
 
 
Matemática 12 
 Prismas especiais: temos dois prismas estudados a parte 
e que são chamados de prismas especiais, que são: 
 
a) Hexaedro (Paralelepípedo reto-retângulo): é um 
prisma que tem as seis faces retangulares. 
 
 
Temos três dimensões: a= comprimento, b = largura e c = 
altura. 
 
Fórmulas: 
- Área Total: At = 2.(ab + ac + bc) 
 
- Volume: V = a.b.c 
 
- Diagonal: D = √a2 + b2 + c2 
 
b) Hexaedro Regular (Cubo): é um prisma que tem as 6 
faces quadradas. 
 
As três dimensões de um cubo comprimento, largura e 
altura são iguais. 
 
Fórmulas: 
- Área Total: At = 6.a2 
 
- Volume: V = a3 
 
- Diagonal: D = a√3 
 
II) PIRÂMIDE: é um sólido geométrico que tem uma base 
e um vértice superior. 
 
 
 Elementos de uma pirâmide: 
A pirâmide tem os mesmos elementos de um prisma: base, 
arestas da base, face lateral, arestas laterais, vértice e altura. 
Além destes, ela também tem um apótema lateral e um 
apótema da base. 
Na figura acima podemos ver que entre a altura, o apótema 
da base e o apótema lateral forma um triângulo retângulo, 
então pelo Teorema de Pitágoras temos: ap2 = h2 + ab2. 
 
 Classificação: 
Uma pirâmide pode ser classificado de duas maneiras: 
1- Quanto à base: 
- Pirâmide triangular...........................................................a base é 
um triângulo. 
- Pirâmide quadrangular.....................................................a base é 
um quadrilátero. 
- Pirâmide pentagonal........................................................a base é 
um pentágono. 
- Pirâmide hexagonal.........................................................a base é 
um hexágono. 
E, assim por diante. 
 
2- Quanta à inclinação: 
- Pirâmide Reta: tem o vértice superior na direção do 
centro da base. 
- Pirâmide Obliqua: o vértice superior está deslocado em 
relação ao centro da base. 
 
 
Fórmulas: 
- Área da Base: 𝐴𝑏 = 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑙í𝑔𝑜𝑛𝑜, como a base 
pode ser qualquer polígono não existe uma fórmula fixa. Se a 
base é um triângulo calculamos a área desse triângulo; se a 
base é um quadrado calculamos a área desse quadrado, e 
assim por diante. 
- Área Lateral: 𝐴𝑙 =
𝑠𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑎𝑠 á𝑟𝑒𝑎𝑠 𝑑𝑎𝑠 𝑓𝑎𝑐𝑒𝑠 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑖𝑠 
 
- Área Total: At = Al + Ab 
 
- Volume: 𝑉 =
1
3
. 𝐴𝑏 . ℎ 
 
- TRONCO DE PIRÂMIDE 
O tronco de pirâmide é obtido ao se realizar uma secção 
transversal numa pirâmide, como mostra a figura: 
 
O tronco da pirâmide é a parte da figura que apresenta as 
arestas destacadas em vermelho. 
É interessante observar que no tronco de pirâmide as 
arestas laterais são congruentes entre si; as bases são 
polígonos regulares semelhantes; as faces laterais são 
trapézios isósceles, congruentes entre si; e a altura de 
qualquer face lateral denomina-se apótema do tronco. 
 
→ Cálculo das áreas do tronco de pirâmide. 
Num tronco de pirâmide temos duas bases, base maior e 
base menor, e a área da superfície lateral. De acordo com a 
base da pirâmide, teremos variações nessas áreas. Mas 
observe que na superfície lateral sempre teremos trapézios 
isósceles, independente do formato da base da pirâmide. Por 
exemplo, se a base da pirâmide for um hexágono regular, 
teremos seis trapézios isósceles na superfície lateral. 
A área total do tronco de pirâmide é dada por: 
St = Sl + SB + Sb 
Onde: 
St → é a área total 
Sl → é a área da superfície lateral 
SB → é a área da base maior 
Sb → é a área da base menor 
 
 
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APOSTILAS OPÇÃO 
 
 
Matemática 13 
→ Cálculo do volume do tronco de pirâmide. 
A fórmula para o cálculo do volume do tronco de pirâmide 
é obtida fazendo a diferença entre o volume de pirâmide maior 
e o volume da pirâmide obtida após a secção transversal que 
produziu o tronco. Colocando em função de sua altura e das 
áreas de suas bases, o modelo matemático para o volume do 
tronco é: 
 
Onde, 
V → é o volume do tronco 
h → é a altura do tronco 
SB → é a área da base maior 
Sb → é a área da base menor 
 
III) CILINDRO: é um sólido geométrico que tem duas bases 
iguais, paralelas e circulares. 
 
Elementos de um cilindro: 
a) Base: é sempre um círculo. 
b) Raio 
c) Altura: distância entre as duas bases. 
d) Geratriz: são os segmentos que formam a face lateral, 
isto é, a face lateral é formada por infinitas geratrizes. 
 
Classificação: como a base de um cilindro é um círculo, ele 
só pode ser classificado de acordo com a inclinação: 
- Cilindro Reto: a geratriz forma com o plano da base um 
ângulo reto (90°). 
- Cilindro Obliquo: a geratriz forma com a base um ângulo 
diferente de 90°. 
 
 
Fórmulas: 
- Área da Base: Ab = π.r2 
 
- Área Lateral: Al = 2.π.r.h 
 
- Área Total: At = 2.π.r.(h + r) ou At = Al + 2.Ab 
 
- Volume: V = π.r2.h ou V = Ab.h 
 
Secção Meridiana de um cilindro: é um “corte” feito pelo 
centro do cilindro. O retângulo obtido através desse corte é 
chamado de secção meridiana e tem como medidas 2r e h. Logo 
a área da secção meridiana é dada pela fórmula: ASM = 2r.h. 
 
 
 
Cilindro Equilátero: um cilindro é chamado de equilátero 
quando a secção meridiana for um quadrado, para isto temos 
que: h = 2r. 
 
IV) CONE: é um sólido geométrico que tem uma base 
circular e vértice superior. 
 
Elementos de um cone: 
a) Base: é sempre um círculo. 
b) Raio 
c) Altura: distância entre o vértice superior e a base. 
d) Geratriz: segmentos que formam a face lateral, isto é, a 
face lateral e formada por infinitas geratrizes. 
 
Classificação: como a base de um cone é um círculo, ele só 
tem classificação quanto à inclinação. 
- Cone Reto: o vértice superior está na direção do centro 
da base. 
- Cone Obliquo: o vértice superior esta deslocado em 
relação ao centro da base. 
 
 
 Fórmulas: 
- Área da base: Ab = π.r2 
 
- Área Lateral: Al = π.r.g 
 
- Área total: At = π.r.(g + r) ou At = Al + Ab 
 
- Volume: 𝑉 =
1
3
. 𝜋. 𝑟2. ℎ ou 𝑉 =
1
3
. 𝐴𝑏 . ℎ 
 
- Entre a geratriz, o raio e a altura temos um triângulo 
retângulo, então: g2 = h2 + r2. 
 
Secção Meridiana: é um “corte” feito pelo centro do cone. 
O triângulo obtido através desse corte é chamado de secção 
meridiana e tem como medidas, base é 2r e h. Logo a área da 
secção meridiana é dada pela fórmula: ASM = r.h. 
 
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Matemática 14 
Cone Equilátero: um cone é chamado de equilátero 
quando a secção meridiana for um triângulo equilátero, para 
isto temos que: g = 2r. 
 
- TRONCO DE CONE 
Se um cone sofrer a intersecção de um plano paralelo à sua 
base circular, a uma determinada altura, teremos a 
constituição de uma nova figura geométrica espacial 
denominada Tronco de Cone. 
 
Elementos 
- A base do cone é a base maior do tronco, e a seção 
transversal é a base menor; 
- A distância entre os planos das bases é a altura do tronco.Diferentemente do cone, o tronco de cone possui duas 
bases circulares em que uma delas é maior que a outra, dessa 
forma, os cálculos envolvendo a área superficial e o volume do 
tronco envolverão a medida dos dois raios. A geratriz, que é a 
medida da altura lateral do cone, também está presente na 
composição do tronco de cone. 
Não devemos confundir a medida da altura do tronco de 
cone com a medida da altura de sua lateral (geratriz), pois são 
elementos distintos. A altura do cone forma com as bases um 
ângulo de 90º. No caso da geratriz os ângulos formados são um 
agudo e um obtuso. 
 
 
Onde: 
h = altura 
g = geratriz 
 
Área da Superfície e 
Volume 
 
 
 
V) ESFERA 
 
 Elementos da esfera 
- Eixo: é um eixo imaginário, passando pelo centro da 
esfera. 
- Polos: ponto de intersecção do eixo com a superfície da 
esfera. 
- Paralelos: são “cortes” feitos na esfera, determinando 
círculos. 
- Equador: “corte” feito pelo centro da esfera, 
determinando, assim, o maior círculo possível. 
 
 Fórmulas 
 
 
- na figura acima podemos ver que o raio de um paralelo 
(r), a distância do centro ao paralelo ao centro da esfera (d) e 
o raio da esfera (R) formam um triângulo retângulo. Então, 
podemos aplicar o Teorema de Pitágoras: R2 = r2 + d2. 
- Área: A = 4.π.R2 
 
- Volume: V = 
4
3
. π. R3 
 
Fuso Esférico: 
 
Fórmula da área do fuso: 
𝐴𝑓𝑢𝑠𝑜 =
𝛼. 𝜋. 𝑅2
90°
 
 
 
Cunha Esférica: 
 
 
Fórmula do volume da cunha: 
𝑉𝑐𝑢𝑛ℎ𝑎 =
𝛼. 𝜋. 𝑅3
270°
 
 
Referências 
IEZZI, Gelson – Matemática Volume Único 
DOLCE, Osvalo; POMPEO, José Nicolau – Fundamentos da matemática elementar – 
Vol 10 – Geometria Espacial, Posição e Métrica – 5ª edição – Atual Editora 
www.brasilescola.com.br 
 
Questões 
 
01. Dado o cilindro equilátero, sabendo que seu raio é igual 
a 5 cm, a área lateral desse cilindro, em cm2, é: 
(A) 90π 
(B) 100π 
(C) 80π 
 
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APOSTILAS OPÇÃO 
 
 
Matemática 15 
(D) 110π 
(E) 120π 
 
02. Seja um cilindro reto de raio igual a 2 cm e altura 3 cm. 
Calcular a área lateral, área total e o seu volume. 
 
03. Um prisma hexagonal regular tem aresta da base igual 
a 4 cm e altura 12 cm. O volume desse prisma é: 
(A) 288√3 cm3 
(B) 144√3 cm3 
(C) 200√3 cm3 
(D) 100√3 cm3 
(E) 300√3 cm3 
 
Comentários 
 
01. Resposta: B. 
Em um cilindro equilátero temos que h = 2r e do enunciado 
r = 5 cm. 
h = 2r → h = 2.5 = 10 cm 
Al = 2.π.r.h 
Al = 2.π.5.10 
Al = 100π 
 
02. Respostas: Al = 12π cm2, At = 20π cm2 e V = 12π cm3 
Aplicação direta das fórmulas sendo r = 2 cm e h = 3 cm. 
Al = 2.π.r.h At = 2π.r(h + r) V = π.r2.h 
Al = 2.π.2.3 At = 2π.2(3 + 2) V = π.22.3 
Al = 12π cm2 At = 4π.5 V = π.4.3 
 At = 20π cm2 V = 12π cm2 
 
03. Resposta: A. 
O volume de um prisma é dado pela fórmula V = Ab.h, do 
enunciado temos que a aresta da base é a = 4 cm e a altura h = 
12 cm. 
A área da base desse prisma é igual a área de um hexágono 
regular 
𝐴𝑏 =
6.𝑎2√3
4
 
 
𝐴𝑏 =
6.42√3
4
 ➔ 𝐴𝑏 =
6.16√3
4
 ➔ 𝐴𝑏 = 6.4√3 ➔ 𝐴𝑏 = 24√3 
cm2 
 
V = 24√3.12 
V = 288√3 cm3 
 
 
 
Caro(a) Candidato(a) este tópico já foi abordado no 
decorrer da apostila. 
 
 
 
EQUAÇÃO DO 1º GRAU OU LINEAR 
 
Equação é uma sentença matemática expressa por uma 
igualdade em que há pelo menos uma letra que representa um 
número desconhecido, chamada de incógnita. 
 
Exemplos 
2x + 8 = 0 
5x – 4 = 6x + 8 
 
Não são equações 
4 + 8 = 7 + 5 (Não é uma sentença aberta) 
x – 5 < 3 (Não é igualdade) 
5 ≠ 7 (não é sentença aberta, nem igualdade) 
 
Termo Geral da equação do 1º grau 
Onde a e b são números conhecidos e “a” diferente de 0, se 
resolve de maneira simples: subtraindo b dos dois lados 
obtemos (adiante apresentaremos uma outra forma de 
resolução, mais simples): 
ax + b = 0 
ax + b - b = 0 – b 
ax = - b 
x = - −
𝒃
𝒂
 
 
Termos da equação do 1º grau 
3x + 2 = x - 4 
Nesta equação cada membro possui dois termos: 
1º membro composto por 3x e 2 
2º membro composto pelo termo x e -4 
 
Resolução da equação do 1º grau 
O método que usamos para resolver a equação de 1º grau 
(encontrar sua raiz) é isolando a incógnita, isto é, deixar a 
incógnita sozinha em um dos lados da igualdade. O método 
mais utilizado para isto é invertermos as operações. Vejamos: 
Resolvendo a equação 2x + 600 = x + 750, devemos 
“passar” os termos que tem x para um lado e os números para 
o outro invertendo as operações. 
2x – x = 750 – 600, com isso podemos resolver a equação e 
encontrar x = 150. 
 
Exemplo 
Resolução da equação 3x – 2 = 16, invertendo operações. 
 
Procedimento e justificativa: Se 3x – 2 dá 16, conclui-se 
que 3x dá 16 + 2, isto é, 18 (invertemos a subtração). Se 3x é 
igual a 18, é claro que x é igual a 18: 3, ou seja, 6 (invertemos a 
multiplicação por 3). 
Registro: 
3x – 2 = 16 
3x = 16 + 2 
3x = 18 
x = 
3
18
 
x = 6 
 
Resumindo: 
Se a + b = c, conclui-se que a = c – b. 
 
Na primeira igualdade, a parcela b aparece somando no 
lado esquerdo; na segunda, a parcela b aparece subtraindo no 
lado direito da igualdade. 
- Se a . b = c, conclui-se que a = c : b, desde que b ≠ 0. 
 
Na primeira igualdade, o número b aparece multiplicando 
no lado esquerdo; na segunda, ele aparece dividindo no lado 
direito da igualdade. 
 
Exemplos 
01. O triplo de um número menos 21 é igual a 6, quem é 
esse número? 
Como não sabemos quem é este número, chamaremos ele 
de “x”, assim, o triplo de um número é 3x, menos 21 é – 21, 
ficará então: 
3x – 21 = 6 
3x = 6 + 21 
3x = 27 
x = 
27
3
 
x = 9 
Conjuntos numéricos. 
Equações do 1º e 2º graus. 
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APOSTILAS OPÇÃO 
 
 
Matemática 16 
02. A soma de três números consecutivos é 126. Quais são 
esses números? 
Como não sabemos quem são estes números e eles são 
consecutivos, vamos enumerá-los a partir do primeiro, 
chamando ele de “x”, o consecutivo será “x + 1”, e o consecutivo 
de “x + 1” será “x + 2”, equacionando, teremos: 
x + x + 1 + x + 2 = 126 
3x + 3 = 126 
3x = 126 – 3 
3x = 123 
x = 
123
3
 
x = 41 
Assim os números serão 41, 42 e 43. 
 
03. Encontre a solução para a equação: 2.(9x – 4) – 7 + (6 – 
5x).3 = 18 
 
Temos a equação, mas para iniciar devemos aplicar a 
propriedade distributiva. 
2.(9x – 4) – 7 + (6 – 5x).3 = 18 
18x – 8 – 7 + 18 – 15x = 18 
Agora é deixar letra para um lado e número para o outro, 
lembre-se de inverter a operação. 
18x – 15x = 18 + 8 + 7 – 18 
3x = 15 
x = 
15
3
 
x = 5 
 
Questões 
 
01. (UFG/GO - Técnico de Tecnologia da Informação - 
UFG/2018) Um feirante vende pamonhas na feira e tem um 
custo inicial de R$ 250,00, além de um custo médio para 
produzir cada pamonha de R$ 3,20. Em um dia de feira, o seu 
custo total foi de R$ 973,20. Nessas condições, nesse dia, ele 
produziu quantas pamonhas? 
 
(A) 196 
(B) 218 
(C) 226 
(D) 244 
 
02. (AFAP - Assistente Administrativo de Fomento - 
FCC/2019) A soma de três números pares, positivos e 
consecutivos é 330. O maior número dessa sequência é o 
número 
(A) 116. 
(B) 108. 
(C) 100. 
(D) 112. 
(E) 110. 
 
03. (IFES - Assistente em Administração - IFES/2019) 
Dois amigos alugaram dois carros (um carro cada um), da 
mesma categoria, em duas locadoras diferentes. A Locadora A 
cobra uma diária de R$ 100,00, acrescida de um valor de R$ 
0,50 por km rodado; enquanto a Locadora B cobra uma diária 
de R$ 70,00, acrescida de R$ 0,80 por km rodado. Sabe-se que 
os dois entregaram os carros no final do dia e que pagaram o 
mesmo valorpela locação dos veículos. Pode-se afirmar que o 
valor pago e a quilometragem percorrida por cada um foram, 
respectivamente, iguais a: 
(A) R$ 100,00 e 150 km 
(B) R$ 150,00 e 100 km 
(C) R$ 160,00 e 180 km 
(D) R$ 180,00 e 160 km 
(E) R$ 200,00 e 200 km 
 
04. (PM/SP - Oficial Administrativo - VUNESP) O gráfico 
mostra o número de gols marcados, por jogo, de um 
determinado time de futebol, durante um torneio. 
 
 
Sabendo que esse time marcou, durante esse torneio, um 
total de 28 gols, então, o número de jogos em que foram 
marcados 2 gols é: 
(A) 3. 
(B) 4. 
(C) 5. 
(D) 6. 
(E) 7. 
 
05. (PRODAM/AM - Auxiliar de Motorista - FUNCAB) 
Um grupo formado por 16 motoristas organizou um churrasco 
para suas famílias. Na semana do evento, seis deles desistiram 
de participar. Para manter o churrasco, cada um dos 
motoristas restantes pagou R$ 57,00 a mais. 
O valor total pago por eles, pelo churrasco, foi: 
(A) R$ 570,00 
(B) R$ 980,50 
(C) R$ 1.350,00 
(D) R$ 1.480,00 
(E) R$ 1.520,00 
 
Comentários 
 
01. Resposta: C 
Custo inicial: 250 
Custo por pamonha: 3,20 
Custo total: 973,20 
Como não sabemos a quantidade de pamonhas vendidas, 
chamaremos de x. 
Assim a fórmula será: 3,20x + 250 = 973,20 
3,20x = 973,20 – 250 
3,20x = 723,20 
x = 
723,20
3,20
= 226 pamonhas 
 
02. Resposta: D 
Como não sabemos quem são esses valores chamaremos o 
primeiro de x, o consecutivo de x + 2 e o próximo x + 4, pois 
são consecutivos e pares, assim: 
x + x + 2 + x + 4 = 330 
3x = 330 – 6 
3x = 324 
x = 
324
3
 = 108. 
Assim os números são 108, 110 e 112 
 
03. Resposta: B 
Vamos aos dados: Locadora A: 100 + 0,50x. 
Locadora B: 70 + 0,80x. 
Como eles pagaram o mesmo valor podemos igualar A = B. 
100 + 0,50x = 70 + 0,80x 
100 – 70 = 0,80x – 0,50x 
30 = 0,30x 
x = 
30
0,30
= 100km, assim o valor pago será: 
A: 100 + 0,50.100 = 100 + 50 = 150 reais (Poderíamos ter 
feito em B, daria o mesmo resultado). 
R$150,00 e 100km. 
 
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APOSTILAS OPÇÃO 
 
 
Matemática 17 
04. Resposta: E 
Devemos multiplicar o número de jogos pelo número de 
gols e somar e igualando a 28. 
0.2 + 1.8 + 2.x + 3.2 = 28 
0 + 8 + 2x + 6 = 28 → 2x = 28 – 14 → x = 14 / 2 
x = 7 
 
05. Resposta: E 
Vamos chamar de ( x ) o valor para cada motorista. Assim: 
16 . x = Total 
Total = 10 . (x + 57) (pois 6 desistiram) 
Combinando as duas equações, temos: 
16.x = 10.x + 570 → 16.x – 10.x = 570 
6.x = 570 → x = 570 / 6 → x = 95 
O valor total é: 16 . 95 = R$ 1520,00. 
 
EQUAÇÃO DO 2º GRAU 
 
Equação é toda sentença matemática que possui incógnitas 
(letras), coeficientes (números) e um sinal de igualdade (=). As 
equações do 2° grau1 ou equações quadráticas, são aquelas 
onde temos uma variável cujo maior grau deverá ser 2, pode 
ser escrita da seguinte forma: 
 
 
Em que a, b, c são números reais e a ≠ 0. 
 
Nas equações de 2° grau com uma incógnita, os números 
reais expressos por a, b, c são chamados coeficientes da 
equação. 
 
Equação completa e incompleta: 
Quando b ≠ 0 e c ≠ 0, a equação do 2º grau se diz completa. 
 
Exemplos 
x2 - 5x + 6 = 0= 0 é uma equação completa (a = 1, b = – 5, c 
= 6). 
-3y2 + 2y - 15 = 0 é uma equação completa (a = -3, b = 2, c 
= -15). 
 
Quando b = 0 ou c = 0 ou b = c = 0, a equação do 2º grau se 
diz incompleta. 
Todas essas equações estão escritas na forma ax2 + bx + c 
= 0, que é denominada forma normal ou forma reduzida de 
uma equação do 2º grau com uma incógnita. 
 
Raízes de uma equação do 2º grau 
Raiz é o número real que, ao substituir a incógnita de uma 
equação, transforma-a numa sentença verdadeira. As raízes 
formam o conjunto verdade ou solução de uma equação. 
 
Resolução das equações incompletas do 2º grau com 
uma incógnita. 
Primeiramente devemos saber duas importantes 
propriedades dos números Reais que é o nosso conjunto 
Universo. 
 
1º) Se x ϵ R, y ϵ R e x.y=0, então x= 0 ou y=0 
2º) Se x ϵ R, y ϵ R e x2=y, então x= √𝑦 ou x=-√𝑦 
 
1º Caso) A equação é da forma ax2 + bx = 0. 
x2 – 9x = 0  colocamos x em evidência 
x . (x – 9) = 0 , aplicando a 1º propriedade dos reais temos: 
x = 0 ou x – 9 = 0 
 x = 9 
Logo, S = {0, 9} e os números 0 e 9 são as raízes da equação. 
2º Caso) A equação é da forma ax2 + c = 0. 
 
1somatematica.com.br 
x2 – 16 = 0 
x2 = 16 
x2 = ±√16 
x = ± 4, (aplicando a segunda propriedade). 
Logo, S = {–4, 4}. 
 
Resolução das equações completas do 2º grau com 
uma incógnita. 
Para este tipo de equação utilizaremos a Fórmula de 
Bháskara. Essa fórmula é chamada fórmula resolutiva ou 
fórmula de Bháskara. 
 
 
Nesta fórmula, o fato de x ser ou não número real vai 
depender do discriminante Δ; temos então, três casos a 
estudar. 
 
1º caso 
Δ > 0 
(Positivo) 
Duas raízes reais 
distintas. 
a
b
x
.2
' +−= 
a
b
x
.2
'' −−= 
2º caso 
Δ = 0 
(Nulo) 
Duas raízes reais iguais. 
x’ = x” = 
a
b
2
−
 
3º caso 
Δ < 0 
(Negativo) 
Não temos raízes reais. 
 
 
A existência ou não de raízes reais e o fato de elas serem 
duas ou uma única dependem, exclusivamente, do 
discriminante Δ = b2 – 4.a.c; daí o nome que se dá a essa 
expressão. 
 
Exemplo 
1) Resolver a equação 3x2 + 7x + 9 = 0 no conjunto R. 
Temos: a = 3, b = 7 e c = 9 
 
 
𝑥 =
−7 ± √−59
6
 
 
Como Δ < 0, a equação não tem raízes reais. 
Então: S = ᴓ 
 
Relação entre os coeficientes e as raízes 
As equações do 2º grau possuem duas relações entre suas 
raízes, são as chamadas relações de Girard, que são a Soma (S) 
e o Produto (P). 
 
1) Soma das raízes é dada por: 𝑺 = 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 = −
𝒃
𝒂
 
 
2) Produto das raízes é dada por: 𝑷 = 𝒙𝟏 . 𝒙𝟐 =
𝒄
𝒂
 
 
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APOSTILAS OPÇÃO 
 
 
Matemática 18 
Logo podemos reescrever a equação da seguinte forma: 
 
x2 – Sx + P=0 
 
Exemplo 
Determine uma equação do 2º grau cujas raízes sejam os 
números 2 e 7. 
Resolução: 
Pela relação acima temos: 
S = 2+7 = 9 e P = 2.7 = 14 → Com esses valores montamos 
a equação: x2 -9x +14 =0 
 
Questões 
 
01. Para que a equação (3m-9)x²-7x+6=0 seja uma 
equação de segundo grau, o valor de m deverá, 
necessariamente, ser diferente de: 
(A) 1. 
(B) 2. 
(C) 3. 
(D) 0. 
(E) 9. 
 
02. (SEDUC/SP - Agente de Organização Escolar - 
VUNESP/2018) As quantidades de vagas de carros e motos na 
garagem de uma casa são dadas pelas raízes da equação -x² + 
6x = 5. Sabendo que há mais vagas de carros do que de motos, 
a quantidade de vagas de moto nesta garagem é de: 
(A) 1. 
(B) 2. 
(C) 3. 
(D) 4. 
(E) 5. 
 
03. (Pref. de Quixeré/CE - Professor PEB II - 
CETREDE/2018) Sejam x1 e x2 as raízes da equação x² – 7x 
+12 = 0. Então a raiz quadrada do número x1² + x2² é: 
(A) 10. 
(B) 5. 
(C) 15. 
(D) –25. 
(E) 125. 
 
04. O dobro da menor raiz da equação de 2º grau dada por 
x²-6x=-8 é: 
(A) 2 
(B) 4 
(C) 8 
(D) 12 
 
Comentários 
 
01. Resposta: C 
Neste caso o valor de a ≠ 0, 𝑙𝑜𝑔𝑜: 
3m - 9 ≠ 0, resolvendo: letra para um lado e número para o 
outro. 
3m ≠ 9 
m ≠ 3 
 
02. Resposta: A 
Precisamos resolver a equação do 2° grau -x² + 6x = 5, para 
isso vamos igualar a 0. 
-x² + 6x – 5 = 0. 
a = - 1, b = + 6, c = - 5 
∆= (6)2 − 4. (−1). (−5) ⇒ 36 − 20 = 16 
𝑥 =
−(+6) ± √16
2. (−1)
⇒ 𝑥 =
−6 ± 4
−2
 
 
 𝑥1 =
−6+4
−2
=
−2
−2
= 1 
 𝑥2 =
−6−4
−2
=
−10
−2
= 5 
Como há mais vagas de carros do que de motos temos que 
carros = 5 e motos = 1 
 
03. Resposta: B 
Vamos encontrar as raízes da equação do 2° grau x² – 7x 
+12 = 0. 
x² – 7x +12 = 0 
a = 1, b = - 7, c = 12 
∆= (−7)2 − 4. (1). (12) ⇒ 49− 48 = 1 
𝑥 =
−(−7) ± √1
2.1
⇒ 𝑥 =
7 ± 1
2
 
 
 𝑥1 =
7+1
2
=
8
2
= 4 
 
 𝑥2 =
7−1
2
=
6
2
= 3 
Como ele quer saber a raiz quadrada de x1² + x2², 4²+3³ = 
16 + 9 = 25. 
√25 = 5 
 
04. Resposta: B 
x²-6x+8=0 
 ∆= (−6)2 − 4.1.8 ⇒ 36 − 32 = 4 
 
 𝑥 =
−(−6)±√4
2.1
⇒ 𝑥 =
6±2
2
 
 
 𝑥1 =
6+2
2
= 4 
 
 𝑥2 =
6−2
2
= 2 
 
Dobro da menor raiz: 22=4 
 
 
 
SISTEMA DO 1º GRAU 
 
Um sistema de equação do primeiro grau com duas 
incógnitas x e y, pode ser definido como um conjunto formado 
por duas equações do primeiro grau. Lembrando que equação 
do primeiro grau é aquela que em todas as incógnitas estão 
elevadas à potência 1. 
 
- Observações gerais 
Já estudamos sobre equações do primeiro grau com duas 
incógnitas, como exemplo: x + y = 7; x – y = 30; x + 2y = 9 x – 
3y = 15 
Foi visto também que as equações do 1º grau com duas 
variáveis admitem infinitas soluções: 
x + y = 6 x – y = 7 
 
 
Vendo a tabela acima de soluções das duas equações, é 
possível checar que o par (4;2), isto é, x = 4 e y = 2, é a solução 
para as duas equações. 
 
Assim, é possível dizer que as equações 
x + y = 6 
x – y = 7 
Sistemas de equações. 
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APOSTILAS OPÇÃO 
 
 
Matemática 19 
{ Observe este símbolo. A matemática convencionou 
neste caso para indicar que duas ou mais equações formam um 
sistema. 
 
- Resolução de sistemas 
Resolver um sistema significa encontrar um par de valores 
das incógnitas x e y que faça verdadeira as equações que fazem 
parte do sistema. 
 
Exemplo: 
O par (4,3) pode ser a solução do sistema 
x – y = 2 
x + y = 6 
 
Para saber se estes valores satisfazem ao sistema, basta 
substituir os valores em ambas as equações: 
x - y = 2; x + y = 6 
4 – 3 = 1; 4 + 3 = 7 
1 ≠ 2 (falso) 7 ≠ 6 (falso) 
A resposta então é falsa. O par (4,3) não é a solução do 
sistema de equações acima. 
 
- Métodos para solução de sistemas do 1º grau. 
 
Método de substituição 
Esse método de resolução de um sistema de 1º grau 
estabelece que “extrair” o valor de uma incógnita é substituir 
esse valor na outra equação. 
Observe: 
x – y = 2 
x + y = 4 
Vamos escolher uma das equações para “extrair” o valor de 
uma das incógnitas, ou seja, estabelecer o valor de acordo com 
a outra incógnita, desta forma: 
x – y = 2 → x = 2 + y 
Agora iremos substituir o “x” encontrado acima, na “x” da 
segunda equação do sistema: 
x + y = 4 
(2 + y) + y = 4 
2 + 2y = 4 → 2y = 4 – 2 → 2y = 2 → y = 1 
Temos que: x = 2 + y, então 
x = 2 + 1 
x = 3 
Assim, o par (3, 1) torna-se a solução verdadeira do 
sistema. 
 
Método da adição 
Este método de resolução de sistema do 1º grau consiste 
apenas em somas os termos das equações fornecidas. 
Observe: 
x – y = - 2 
3x + y = 5 
Neste caso de resolução, somam-se as equações dadas: 
x – y = -2 
3x + y = 5 + 
4x = 3 
x = 3/4 
Veja nos cálculos que quando somamos as duas equações 
o termo “y” se anula. Isto tem que ocorrer para que possamos 
achar o valor de “x”. 
Agora, e quando ocorrer de somarmos as equações e os 
valores de “x” ou “y” não se anularem para ficar somente uma 
incógnita? 
Neste caso, é possível usar uma técnica de cálculo de 
multiplicação pelo valor excludente negativo. 
Ex.: 
3x + 2y = 4 
2x + 3y = 1 
 
Ao somarmos os termos acima, temos: 
5x + 5y = 5, então para anularmos o “x” e encontramos o 
valor de “y”, fazemos o seguinte: 
» multiplica-se a 1ª equação por +2 
» multiplica-se a 2ª equação por – 3 
 
Vamos calcular então: 
3x + 2y = 4 (x +2) 
2x + 3y = 1 (x -3) 
6x +4y = 8 
-6x - 9y = -3 + 
-5y = 5 
y = -1 
 
Substituindo: 
2x + 3y = 1 
2x + 3.(-1) = 1 
2x = 1 + 3 
x = 2 
 
Verificando: 
3x + 2y = 4 → 3.(2) + 2(-1) = 4 → 6 – 2 = 4 
2x + 3y = 1 → 2.(2) + 3(-1) = 1 → 4 – 3 = 1 
 
- Gráfico de um sistema do 1º grau 
Dispondo de dois pontos, podemos representa-los 
graficamente em um plano cartesiano. A figura formada por 
esses pontos é uma reta. 
Exemplo: 
Dado x + y = 4, vamos traçar o gráfico desta equação. 
Vamos atribuir valores a x e a y para acharmos os pontos no 
gráfico. 
Unindo os pontos traçamos a reta, que contém todos os 
pontos da equação. A essa reta damos o nome de reta suporte. 
 
 
Questões 
 
01. Em uma gincana entre as três equipes de uma escola 
(amarela, vermelha e branca), foram arrecadados 1 040 
quilogramas de alimentos. A equipe amarela arrecadou 50 
quilogramas a mais que a equipe vermelha e esta arrecadou 30 
quilogramas a menos que a equipe branca. A quantidade de 
alimentos arrecadada pela equipe vencedora foi, em 
quilogramas, igual a 
(A) 310 
(B) 320 
(C) 330 
(D) 350 
(E) 370 
 
02. Os cidadãos que aderem voluntariamente à Campanha 
Nacional de Desarmamento recebem valores de indenização 
entre R$150,00 e R$450,00 de acordo com o tipo e calibre do 
armamento. Em uma determinada semana, a campanha 
arrecadou 30 armas e pagou indenizações somente de 
R$150,00 e R$450,00, num total de R$7.500,00. 
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APOSTILAS OPÇÃO 
 
 
Matemática 20 
Determine o total de indenizações pagas no valor de 
R$150,00. 
(A) 20 
(B) 25 
(C) 22 
(D) 24 
(E) 18 
 
03. A razão entre a idade de Cláudio e seu irmão Otávio é 
3, e a soma de suas idades é 28. Então, a idade de Marcos que 
é igual a diferença entre a idade de Cláudio e a idade de Otávio 
é 
(A) 12. 
(B) 13. 
(C) 14. 
(D) 15. 
(E) 16. 
 
Respostas 
 
01. Resposta: E. 
Amarela: x 
Vermelha: y 
Branca: z 
x = y + 50 
y = z - 30 
z = y + 30 
 {
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1040
𝑥 = 𝑦 + 50
𝑧 = 𝑦 + 30
 
Substituindo a II e a III equação na I: 
 𝑦 + 50 + 𝑦 + 𝑦 + 30 = 1040 
 3𝑦 = 1040 − 80 
y = 320 
Substituindo na equação II 
x = 320 + 50 = 370 
z=320+30=350 
A equipe que mais arrecadou foi a amarela com 370kg 
 
02. Resposta: A. 
Armas de R$150,00: x 
Armas de R$450,00: y 
 {
150𝑥 + 450𝑦 = 7500
𝑥 + 𝑦 = 30
 
 
x = 30 – y 
Substituindo na 1ª equação: 
 150(30 − 𝑦) + 450𝑦 = 7500 
 4500 − 150𝑦 + 450𝑦 = 7500 
 300𝑦 = 3000 
 𝑦 = 10 
 𝑥 = 30 − 10 = 20 
O total de indenizações foi de 20. 
 
03. Resposta: C. 
Cláudio :x 
Otávio: y 
 
𝑥
𝑦
= 3 
 {
𝑥 = 3𝑦
𝑥 + 𝑦 = 28
 
 𝑥 + 𝑦 = 28 
3y + y = 28 
4y = 28 
y = 7 x = 21 
Marcos: x – y = 21 – 7 = 14 
 
 
 
 
 
SISTEMA DO 2º GRAU 
 
Utilizamos o mesmo princípio da resolução dos sistemas 
de 1º grau, por adição, substituições, etc. A diferença é que 
teremos como solução um sistema de pares ordenados. 
Uma sequência prática para acharmos sua solução é: 
- Estabelecer o sistema de equações que traduzam o 
problema para a linguagem matemática; 
- Resolver o sistema de equações; 
- Interpretar as raízes encontradas, verificando se são 
compatíveis com os dados do problema. 
Exemplo: 
Com uma corda de 10 m de comprimento, Pedro deseja 
cercar uma área retangular de 4 m². Quais as medidas dos 
lados desse retângulo? 
 
 
 
Temos: 
Comprimento: x 
Largura: y 
 
Deduzimos acima que seu perímetro é 10 → x + y + x + y = 
10 ou 2x + 2y = 10 → x + y = 5 (dividindo todos os termos por 
2). 
E sua área é 4, como a área do retângulo é dada por largura 
x comprimento, temos: 
x.y = 4 
 
Montando o sistema temos: 
 
{
𝑥 + 𝑦 = 5
𝑥. 𝑦 = 4
 → ( isolando x na 1ª equação ) x = 5 – y,→ 
(substituindo na 2ª equação) (5 – y).y = 4 
 
Resolvendo: 
5y – y2 = 4 → - y2 + 5y – 4 = 0.(.-1) → y2 – 5y + 4 =0 
(Temos então uma equação do 2ª grau) 
 
a = 1 ; b= -5 e c= 4 
 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
→ 𝑥 
 
=
−(−5) ± √(−5)2 − 4.1. (4)
2.1
→ 𝑥 =
5 ± √25 − 16
2
 
 
𝑥 =
5 ± √9
2
 ∴ 𝑥1 =
5 − 3
2
=
2
2
= 1 𝑒 𝑥2 =
5 + 3
2
 
=
8
2
= 4 
 
Logo : 
Sex = 1 → y=5-1 → y=4 
Se x= 4 → y = 5 -4 → y = 1 
 
Observando temos os valores 1 e 4 ,tanto para x como para 
y. Então as medidas dos lados são 1 e 4 , podendo x ou y 
assumirem os mesmos. 
Fazendo a conferência temos: 
x + y = 5 ∴ x.y = 4 
4 + 1 = 5 4.1 = 4 
5 = 5 4 = 4 
O par ordenado (1,4) ou (4,1) satisfaz o sistema de 
equações. 
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Matemática 21 
Questões 
 
01. A soma entre dois números positivos é 37. Se o produto 
entre eles é 330, então o valor da diferença entre o maior e o 
menor número é: 
(A) 7. 
(B) 23. 
(C) 61. 
(D) 17. 
(E) 49. 
 
02. Marque, dentre as alternativas abaixo, a que identifica 
os pontos comuns aos gráficos de y = x2 + 2x e y = x + 2. 
(A) (-2, 1) e (-1,3). 
(B) (-2, 0) e (-1,3). 
(C) (2,0) e (1,3). 
(D) (-2,0) e (1,3). 
 
03. Sabe-se que o produto da idade de Miguel pela idade 
de Lucas é 500. Miguel é 5 anos mais velho que Lucas. Qual a 
soma das idades de Miguel e Lucas? 
(A) 40. 
(B) 55. 
(C) 65. 
(D) 50. 
(E) 45. 
Respostas 
 
01. Resposta: A. 
Sendo x e y os dois números procurados: 
x + y = 37 (I) 
x.y = 330 (II) 
isolando y na equação (I) temos x + y = 37 → y = 37 – x, 
substituindo na equação (II): 
x.(37 – x) = 330 
37x – x2 = 330 
x2 – 37x + 330 = 0 , a = 1; b = - 37 e c = 330 
∆ = b2 – 4.a.c 
∆ = (- 37)2 – 4.1.330 
∆ = 1369 – 1320 
∆ = 49 
 
𝑥 =
−𝑏±√∆
2.𝑎
 → 𝑥 =
−(−37)±√49
2.1
 = 
37±7
2
 → 
𝑥 =
37+7
2
=
44
2
= 22 ou 𝑥 =
37−7
2
=
30
2
= 15 
 
Se x = 22 → y = 37 – 22 = 15 
 
22 – 15 = 7 
 
02. Resposta: D. 
Do enunciado y = x2 + 2x e y = x + 2, então: 
x2 + 2x = x + 2 
x2 + 2x – x – 2 = 0 
x2 + x – 2 = 0, a = 1, b = 1 e c = - 2 
 
∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 
∆= 12 − 4.1. (−2) 
∆ = 1 + 8 = 9 
𝑥 =
−𝑏±√∆
2𝑎
 
 
𝑥 =
−1±√9
2.1
 
 
𝑥 =
−1±3
2
 → 𝑥 =
−1+3
2
= 1 ou 𝑥 =
−1−3
2
= −2 
 
Se x = 1 → y = 1 + 2 = 3 (1, 3) 
Se x = - 2 → y = - 2 + 2 = 0 (-2, 0) 
 
03. Resposta: E. 
Sendo Miguel M e Lucas L: 
M.L = 500 (I) 
M = L + 5 (II) 
substituindo II em I, temos: 
(L + 5).L = 500 
L2 + 5L – 500 = 0, a = 1, b = 5 e c = - 500 
 
∆ = b2 – 4ac 
∆ = 52 – 4.1.(- 500) 
∆ = 25 + 2000 
∆ = 2025 
 
𝐿 =
−𝑏±√∆
2𝑎
 
 
𝐿 =
−5±√2025
2.1
=
−5±45
2
 → 𝐿 =
−5+45
2
=
40
2
= 20 ou 
𝐿 =
−5−45
2
=
−50
2
= −25 esta não convém pois L (idade) 
tem que ser positivo. 
Então L = 20 → M.20 = 500 → m = 500 : 20 = 25 
M + L = 25 + 20 = 45 
 
 
 
É considerada como a ciência e a arte de escrever 
mensagens em forma cifrada ou em código, é um dos principais 
mecanismos de segurança que você pode usar para se proteger 
dos riscos associados ao uso da Internet. 
A primeira vista ela até pode parecer complicada, mas para 
usufruir dos benefícios que proporciona você não precisa 
estudá-la profundamente e nem ser nenhum matemático 
experiente. Atualmente, a criptografia já está integrada ou 
pode ser facilmente adicionada à grande maioria dos sistemas 
operacionais e aplicativos e para usá-la, muitas vezes, basta a 
realização de algumas configurações ou cliques de mouse. 
Por meio do uso da criptografia você pode: 
- proteger os dados sigilosos armazenados em seu 
computador, como o seu arquivo de senhas e a sua declaração 
de Imposto de Renda; 
- criar uma área (partição) específica no seu computador, 
na qual todas as informações que forem lá gravadas serão 
automaticamente criptografadas; 
- proteger seus backups contra acesso indevido, 
principalmente aqueles enviados para áreas de 
armazenamento externo de mídias; 
- proteger as comunicações realizadas pela Internet, como 
os e-mails enviados/recebidos e as transações bancárias e 
comerciais realizadas. 
 
Nas próximas seções são apresentados alguns conceitos de 
criptografia. Antes, porém, é importante que você se 
familiarize com alguns termos geralmente usados e que são 
mostrados na tabela abaixo. 
 
Termo Significado 
Texto claro 
Informação legível (original) que será 
protegida, ou seja, que será codificada 
Texto 
codificado 
(cifrado) 
Texto ilegível, gerado pela codificação de 
um texto claro 
Codificar 
(cifrar) 
Ato de transformar um texto claro em um 
texto codificado 
Decodificar 
(decifrar) 
Ato de transformar um texto codificado em 
um texto claro 
Método 
criptográfico 
Conjunto de programas responsável por 
codificar e decodificar informações 
Criptografia. 
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APOSTILAS OPÇÃO 
 
 
Matemática 22 
Chave 
Similar a uma senha, é utilizada como 
elemento secreto pelos métodos 
criptográficos. Seu tamanho é geralmente 
medido em quantidade de bits 
Canal de 
comunicação 
Meio utilizado para a troca de informações 
Remetente Pessoa ou serviço que envia a informação 
Destinatário Pessoa ou serviço que recebe a informação 
 
Criptografia de chave simétrica e de chaves 
assimétricas 
De acordo com o tipo de chave usada, os métodos 
criptográficos podem ser subdivididos em duas grandes 
categorias: criptografia de chave simétrica e criptografia de 
chaves assimétricas. 
 
Criptografia de chave simétrica: também chamada de 
criptografia de chave secreta ou única, utiliza uma mesma 
chave tanto para codificar como para decodificar informações, 
sendo usada principalmente para garantir a confidencialidade 
dos dados. Casos nos quais a informação é codificada e 
decodificada por uma mesma pessoa não há necessidade de 
compartilhamento da chave secreta. Entretanto, quando estas 
operações envolvem pessoas ou equipamentos diferentes, é 
necessário que a chave secreta seja previamente combinada 
por meio de um canal de comunicação seguro (para não 
comprometer a confidencialidade da chave). Exemplos de 
métodos criptográficos que usam chave simétrica são: AES, 
Blowfish, RC4, 3DES e IDEA. 
Criptografia de chaves assimétricas: também conhecida 
como criptografia de chave pública, utiliza duas chaves 
distintas: uma pública, que pode ser livremente divulgada, e 
uma privada, que deve ser mantida em segredo por seu dono. 
Quando uma informação é codificada com uma das chaves, 
somente a outra chave do par pode decodificá-la. Qual chave 
usar para codificar depende da proteção que se deseja, se 
confidencialidade ou autenticação, integridade e não-repúdio. 
A chave privada pode ser armazenada de diferentes maneiras, 
como um arquivo no computador, um smartcard ou um token. 
Exemplos de métodos criptográficos que usam chaves 
assimétricas são: RSA, DSA, ECC e Diffie-Hellman. 
A criptografia de chave simétrica, quando comparada com 
a de chaves assimétricas, é a mais indicada para garantir a 
confidencialidade de grandes volumes de dados, pois seu 
processamento é mais rápido. Todavia, quando usada para o 
compartilhamento de informações, se torna complexa e pouco 
escalável, em virtude da: 
- necessidade de um canal de comunicação seguro para 
promover o compartilhamento da chave secreta entre as 
partes (o que na Internet pode ser bastante complicado) e; 
- dificuldade de gerenciamento de grandes quantidades de 
chaves (imagine quantas chaves secretas seriam necessárias 
para você se comunicar com todos os seus amigos). 
 
A criptografia de chaves assimétricas, apesar de possuir 
um processamento mais lento que a de chave simétrica, 
resolve estes problemas visto que facilita o gerenciamento 
(pois não requer que se mantenha uma chave secreta com cada 
um que desejar se comunicar) e dispensa a necessidade de um 
canal de comunicação seguro para o compartilhamento de 
chaves. 
Para aproveitar as vantagens de cada um destes métodos, 
o ideal é o uso combinado