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UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA, FACULDADE GAMA Sinais e Sistemas - Lista 2 4 de outubro de 2015 1. Um sinal periódico de tempo contínuo x(t) tem valor real e período fundamental T = 8. Os coeficientes diferentes de zero da série de fourier de x(t) são: a1 = a−1 = 2, a3 = a∗−3 = 4 j Expresse x(t) na forma: x(t ) = ∞∑ k=0 Ak cos(ωk t +φk ) Resposta: x(t ) = a1e(2π/T )t +a−1e− j (2π/T )t +a3e j 3(2π/T )t +a−3e− j 3(2π/T )t = 2e j (2π/8)t +2e− j (2π/8)t +4 j e j 3(2π/8)t −4 j e− j 3(2π/8)t = 4cos(π4 t )−8si n( 6π8 t ) = 4cos(π4 t )+8cos( 3π4 t + π2 ) 2. Para o sinal periódico de tempo contínuo x(t ) = 2+ cos ( 2π 3 t ) +4sen ( 5π 3 t ) , Determine a frequência fundamental ω0 e os coeficientes da série de Fourier ak tais que x(t ) = ∞∑ k=−∞ ak e j kω0t Resposta: 1 x(t ) = 2+ 12 e j (2π/3)t + 12 e− j (2π/3)t −2 j e j (5π/3)t +2 j e− j (5π/3)t = 2+ 12 e j 2(2π/6)t + 12 e− j 2(2π/6)t −2 j e j 5(2π/6)t +2 j e− j 5(2π/6)t A partir disso, conclui-se que a frequencia fundamental de x(t) é 2π/6 = π/3. E os coe- ficientes não nulos de fourier de x(t) são: a0 = 2, a2 = a−2 = 1 2 , a5 = a∗−5 =−2 j 3. Use a equação: ak = 1 T ∫ T x(t )e− j kω0t d t = 1 T ∫ T x(t )e− j k(2π/T )t d t Para calcular os coeficientes ak para o sinal periódico de tempo contínuo x(t ) = { 1.5, 0 ≤ t < 1 −1.5, 1 ≤ t < 2 com frequência ω0 =π. Resposta: ω0 =π,T = 2π/ω0 = 2 ak = 12 ∫ 2 0 x(t )e − j kπt d t a0 = 12 ∫ 1 0 1.5d t − 12 ∫ 2 1 1.5d t = 0 e para k 6= 0 ak = 12 ∫ 1 0 1.5e − j kπt d t − 12 ∫ 2 1 1.5e − j kπt d t = 32kπ j [1−e − j kπ] = 3kπe− j k(π/2)si n( kπ2 ) Quando k=0, ak = 1T ∫ <T> x(t )d t = 2T ak = { 2/T, k = 0 bk j (2π/T )k , k 6= 0 4. Considere um sistema LTI de tempo contínuo cuja resposta em frequência é: H( jω) = ∫ ∞ ∞ h(t )e− jωt d t = sen(4ω) ω Se a entrada desse sistema é um sinal periódico x(t ) = { 1, 0 ≤ t < 4 −1, 4 ≤ t < 8 com periodo T = 8, determine a saída correspondente do sistema y(t). 2 Resposta: x(t) é real e impar, ak é puramente imaginario e impar, logo a0 = 0 ak = 18 ∫ 8 0 x(t )e − j (2π/8)kt d t = 18 ∫ 4 0 e − j (2π/8)kt d t − 18 ∫ 8 4 e − j (2π/8)kt d t = 1jπk [1−e− jπk ] ak = { 0, k = 0,±2,±4... 2 jπk , k =±1,±3,±5, ... Quando x(t) é passado atraves do sistema LIT com frequencia H( jω), a saida y(t) é dada por: y(t ) =∑∞k=−∞ ak H( j kω0)e j kω0t Onde ω0 = 2πT = π4 ak é não nulo somente para valores ímpares, desta maneira: H( j kω0) = H( j k(π/4)) = si n(kπ)k(π/4) é sempre zero para valores impares de k. e: y(t ) = 0 5. Considere um sistema LIT causal implementado como circuito RLC mostrado na figura abaixo. Nesse circuito, x(t) é a tensão de entrada. A tensão y(t) no capacitor é conside- rada a saída do sistema. a) Encontre a equação diferencial relacionando x(t) e y(t). b) Determine a resposta em frequência desse sistema considerando a saída do sis- tema para as entradas da forma x(t ) = e jωt . c) Determine a saída y(t ) se x(t ) = sen(t ). Resposta: a) ic =C d y(t )d t iR = RC d y(t )d t VL = LC d 2 y(t ) d t 2 Tensão de entrada = VR +VL +VC 3 x(t ) = LC d 2 y(t )d t 2 +RC d y(t ) d t + y(t ) Substituindo os valores: d 2 y(t ) d t 2 + d y(t ) d t + y(t ) = x(t ) b) H( jω) = 1−ω2+ jω+1 c) x(t) é periodico com periodo 2π, x(t) pode ser expresso na forma: x(t ) = 12 j e j (2π/2π)t − 12 j e− j (2π/2π)t os coeficientes não nulos de fourier de x(t) são a1 = a∗−1 = 12 j y(t ) = a1H( j )e j t −a−1H(− j )e− j t = (1/2 j )( 1j e j t − 1− j e− j t ) = (−1/2)(e j t +e− j t ) =−cos(t ) 6. Determine a série de Fourier dos sinais abaixo. a) f (t ) = {−1, −T /2 < t < 0 1, 0 < t < T /2 b) f (t ) = { 0, −π< t < 0 1 π t , 0 < t <π c) δN [n] =∑+∞l=−∞δ[n − l N ] d) x[n] =∑+∞k=−∞ p[n −kN ], para N=4, p[n] =−δ[n +1]+δ[n −1] e) x[n] =∑+∞k=−∞ p[n −kN ], para N=10, p[n] = δ[n +1]+δ[n]+δ[n −1] Resposta: a) a0 = 0 an = 2T ∫ 0 −T /2−1cos(nω0t )d t + ∫ T /2 0 1cos(nω0t )d t an = 0 bn = 2T ( ∫ 0 −T /2−1sen(nω0t )d t + ∫ T /2 0 1sen(nω0t ))d t 2 nπ (1− cos(nπ)) = { 0, n = par 4 nπ , n = i mpar f (t ) = 4π ∑∞ n=i mpar 1 n si n(nω0t ) = 4π ( si n(ω0t )+ si n(3ω0t )3 + si n(5ω0t )5 + ... ) 4 b) an = 22π ∫ π 0 1 π tcos(nω0t )d t = 1 π2 [( 1 n si n(nt ) )π 0 − 1n (∫ π 0 si n(nt )d t )] = 1 π2n2 (cos(nπ)−1) an = { 0, n = par − 2 π2n2 , n = i mpar bn = 22π (∫ π 0 1 π t si n(nω0t )d t ) =− 1πn cos(nπ) =− 1πn (−1)n f (t ) = 14 − 2π2 ( cos(t )+ cos(3t )9 + cos(5t )25 + ... ) − 1π ( −si n(t )+ si n(2t )2 − si n(3t )3 + ... ) c) (Trem de impulsos): ck = 1N ∑∑+∞ l=−∞δ[n − l N ]exp(− j k 2πN n) = 1N ∑ δ[n]exp(− j k 2πN n) = 1N Portanto:∑+∞ k=−∞δ[n −kN ] = 1N ∑ exp( j k 2πN n) Observe que os coeficientes da serie de fourier sao constantes( isto é, de periodo igual a 1 para qualquer que seja N). d) (Pulso impar): ck = 14 ∑2 n=−1 (−δ[n +1]+δ[n −1])exp(− j k 2π4 n) = 14 (−exp( j k π2 )+exp(− j k 2π ))=− j2 sen(k π2 ) c0 = 0 (valor médio), c1 =− j /2, c2 = 0, c3 =+ j /2 = c−1 x[n] = c1exp( j 2π4 n)+ c−1exp(− j 2π4 n) = sen( 2π4 ) e) (Pulso par): ck = 110 ∑5 n=−4 (δ[n +1]+δ[n]+δ[n −1])exp(− j k 2π10 n) 1 10 ( 1+exp(− j k 2π10 )+exp( j k 2π10 )= 110 (1+2cos(k π5 )) c0 = 310 (valor médio)= 110 ∑5 n=−4 p[n] ck,k=0,...,9 = [0.30 0.26 0.16 0.04 −0.06 −0.10 −0.06 0.04 0.16 0.26] 7. Calcule a transformada de Fourier de cada um dos seguintes sinais: a) [e−at cosω0t ]u(t ), a > 0 b) e−3|t |sen2t c) x(t ) = { 1+ cosπt , |t | ≤ 1 0, |t | > 1 5 d) ∑∞ k=0 a kδ(t −kT ), |α| < 1 e) [te−2t sen4t ]u(t ) Resposta: a) e−at cos(ω0t )u(t ) = 12 e−at e jω0t u(t )+ 12 e−at e− jω0t u(t ) X ( jω) = 12(a− jω0+ jω) + 1 2(a+ jω0+ jω) b) x(t ) = e−3|t |si n(2t )u(t )+e3|t |si n(2t )u(−t ) x1(t ) = e−3|t |si n(2t )u(t ) → X1( jω) = 2( jω+3+2 j )( jω+3−2 j ) x2(t ) = e3|t |si n(2t )u(−t ) =−x1(−t ) → X2( jω) =− 2(−3−2 j+ jω)(−3+2 j+ jω) X ( jω) = X1( jω)+X2( jω) = 24 jω(13+4ω+ω2)(−13+4ω−ω2) c) X ( jω) = 2si nωω + si nωπ−ω − si nωπ+ω d) X ( jω) = 1 1−ae− jωT e) x(t ) = (1/2 j )te−2t e j 4t u(t )− (1/2 j )te−2t e− j 4t u(t ) X ( jω) = 8( jω+2)( jω+2−4 j )2( jω+2+4 j )2 8. Determine o sinal de tempo contínuo correspondente a cada uma das seguintes trans- formadas a) X ( jω) = 2sen[3(ω−2π)](ω−2π) b) X ( jω) = cos(4ω+π/3) c) X ( jω) = 2[δ(ω−1)−δ(ω+1)]+3[δ(ω−2π)+δ(ω+2π)] Resposta: a) x(t ) = { e j 2πt , |t | < 3 0, other wi se b) x(t ) = 12 e− jπ/3δ(t −4)+ 12 e jπ/3δ(t +4) c) x(t ) = 2 jπ si nt + 3πcos(2πt ) 9. a) Calcule a convolução de cada um dos seguintes pares de sinais x(t) e h(t) calculando X ( jω) e H( jω), usando a propriedade de convolução e fazendo a transformada inversa i. x(t ) = te−2t u(t ), h(t ) = e−4t u(t ) 6 ii. x(t ) = te−2t u(t ), h(t ) = te−4t u(t ) iii. x(t ) = e−t u(t ), h(t ) = e t u(−t ) b) Suponha que x(t ) = e−(t−2)u(t − 2) e h(t ) seja como esboçado na figura abaixo. Verifique a propriedade de convolução para esse par de sinais mostrando que a transformada de Fourier y(t ) = x(t )∗h(t ) é igual a H( jω)X ( jω) Resposta: i) Y ( jω) = X ( jω)H( jω) = [ 1 (2+ jω)2 ][ 1 4+ jω ] = (1/4)4+ jω − (1/4)2+ jω + (1/2)(2+ jω)2 y(t ) = 14 e−4t u(t )− 14 e−2t u(t )+ 12 te−2t u(t ) ii) Y ( jω) = X ( jω)H( jω) = [ 1 (2+ jω)2 ][ 1 (4+ jω)2 ] = (1/4)2+ jω + (1/4)(2+ jω)2 − (1/4)4+ jω + (1/4)(4+ jω)2 y(t ) = 14 e−2t u(t )+ 14 te−2t u(t )− 14 e−4t u(t )+ 14 te−4t u(t ) iii) Y ( jω) = X ( jω)H( jω) = [ 1 1+ jω ][ 1 1− jω ] = 1/21+ jω + 1/21− jω y(t ) = 12 e−|t | b) y(t ) = 0, t < 1 1−e−(t−1), 1 < t ≤ 5 e−(t−5) −e−(t−1), t > 5 Y ( jω) = 2e− j 3ωsi n(2ω)ω(1+ jω) = [ e− j 2ω 1+ jω ] e jω2si n(2ω) ω = X ( jω)H( jω) 10. A entrada e saída de um sistema LIT estável e causal estão relacionadas pela equação diferencial d 2 y(t ) d t 2 +6 d y(t ) d t +8y(t ) = 2x(t ) 7 a) Encontre a resposta ao impulso desse sistema. b) Qual é a resposta desse sistema se x(t ) = te−2t u(t )? c) Repita o item a) para o sistema LIT estável e causal descrito pela equação: d 2 y(t ) d t 2 + p 2 d y(t ) d t + y(t ) = 2 d 2x(t ) d t 2 −2x(t ) Resposta: a) H( jω) = Y ( jω)X ( jω) = 2−ω2+2 jω+8 H( jω) =1jω+2 − 1jω+4 h(t ) = e−2t u(t )−e−4t u(t ) b) X ( jω) = 1(2+ jω)2 Y ( jω) = X ( jω)H( jω) = 2−ω2+2 jω+8 1(2+ jω)2 Y ( jω) = 1/4jω+2 − 1/2( jω+2)2 + 1( jω+2)3 − 1/4jω+4 y(t ) = 14 e−2t u(t )− 12 te−2t u(t )+ 12 t 2e−2t u(t )− 14 e−4t u(t ) c) H( jω) = Y ( jω)X ( jω) = 2(−ω 2−1) −ω2+p2 jω+1 H( jω) = 2+ − p 2−2p2 j jω− − p 2+ jp2 2 + − p 2+2p2 j jω− − p 2− jp2 2 h(t ) = 2δ(t )−p2(1+2 j )e(−1+ j )t/ p 2u(t )−p2(1−2 j )e−(1− j )t/ p 2u(t ) 11. Considere o sinal x(t): a) Encontre a transformada de Fourier X ( jω) de x(t ). b) Esboce o sinal: F (t ) = x(t )∗ ∞∑ k=−∞ δ(t −4k) . 8 c) Encontre outro sinal g(t) diferente de x(t) e tal que F (t ) = g (t )∗ ∞∑ k=−∞ δ(t −4k) . d) Argumente que,embora G( jω) seja diferente de X ( jω), G( j πk2 ) = X ( j πk2 ) para to- dos os k inteiros. Você nao deve obter explicitamente G( jω) para responder a este item. Resposta: a) x(t ) = x1(t )∗x1(t ) onde x1(t ) = { 1, |ω| < 1/2 0, other wi se X1( jω) = 2 si n(ω/2)ω X ( jω) = X1( jω)X1( jω) = [ 2 si n(ω/2)ω ]2 b) c) d) F ( jω) = X ( jω)π2 ∑∞ k=−∞δ( j (ω−k π2 )) =G( jω)π2 ∑∞ k=−∞δ( j (ω−k π2 )) Pode ser reescrito como: F ( jω) = π2 ∑∞ k=−∞ X ( jπk/2)δ( j (ω−k π2 )) = π2 ∑∞ k=−∞G( jπk/2)δ( j (ω−k π2 )) Isso é possível se: G( jπk/2) = X ( jπk/2) 9 12. Na figura abaixo, é mostrado uma implementação de um filtro passa-faixa usando mo- dulação senoidal e filtros passa-baixas. Demonstre que a saída y(t) do sistema é idên- tica àquela que seria obtida através da modulação com portadora exponencial com- plexa retendo apenas a parte real da saída. Resposta: g1(t ) é a resposta de H1( jω) a x(t )cosωc t e g2(t ) a resposta de H2( jω) a x(t )si nωc t y(t ) = x(t )e jωc t = x(t )cosωc t + j x(t )si nωc t ω(t ) = g1(t )+ j g2(t ) f (t ) = e− jωc tω(t ) = [cosωc t − j si nωc t ][g1(t )+ j g2(t )] A parte real de f(t): g1(t )cosωc t + g2(t )si nωc t 13. Esboce a representação por diagrama de blocos na forma direta I e II das equações diferenciais e das equações das diferenças abaixo. a) y(t ) = x(t )+0,5x ′(t )+3y ′(t ). b) y(t )+ dd t y(t )−4 d 3 d t y(t ) = x(t )+3 d 5 d t x(t ). c) 3y(t ) = x(t )−2x ′(t )+x ′′(t )−0,3x ′′′(t ). d) y[n] = x[n]+2x[n −1]+3x[n −2]+0,9y[n −1]. e) 2y[n]+ y[n −1]−4y[n −3] = x[n]+3x[n −5]. f) y[n] = x[n]−x[n −1]+2x[n −2]−3x[n −4]. 14. Considerando a condição inicial de repouso, encontre as respostas ao impulso dos sis- temas LIT descritos pelas equações a seguir (Dica: questões 2.55 e 2.56 do Oppenheim). 10 a) y ′′(t )+3y ′(t )+2y(t ) = x(t ). Resposta: Condições iniciais: y(0+) = 0, y ′(0+) = 1. Equação homogênea: s2 +3s +2 = 0 → s =−2;−1. Solução: h(t ) = Ae−2t +Be−t ,t ≥ 0 Aplicando condições iniciais: h(t ) = (e−t −e−2t )u(t ) b) y ′′(t )+2y(t )+2y(t ) = x(t ). Resposta: Condições iniciais: y(0+) = 0, y ′(0+) = 1. Equação homogênea: s2 +2s +2 = 0 → s =−1± j . Solução: h(t ) = Ae(−1+ j )t +Be(−1− j )t = e−t [Ae j t +Be− j t ],t ≥ 0 Aplicando condições iniciais: h(t ) = (e−t sin t )u(t ) c) y[n]− 15 y[n −1] = x[n]. Resposta: A entrada é dada por x[n] = δ[n]. A equação será: y[n] = 15 y[n −1]+x[n] n x[n] 15 y[n −1] y[n] 0 1 0 1 1 0 1 1 2 0 1 1 3 0 1 1 4 0 1 1 h[n] = { 0 , n < 0 1 , n ≥ 0 d) y[n]− y[n −2] = x[n]. Resposta: A entrada é dada por x[n] = δ[n]. A equação será: y[n] = y[n −2]+x[n] n x[n] y[n −2] y[n] 0 1 0 1 1 0 0 0 2 0 1 1 3 0 0 0 4 0 1 1 5 0 0 0 6 0 1 1 11 h[n] = { 0 , n < 0 e n > 0, ímpar 1 , n ≥ 0, par e) y[n]− y[n −2] = 2x[n]−3x[n −4]. Resposta: A entrada é dada por x[n] = δ[n]. A equação será: y[n] = y[n −2]+2x[n]−3x[n −4] n 2x[n] −3x[n −4] y[n −2] y[n] 0 2 0 0 2 1 0 0 0 0 2 0 0 2 2 3 0 0 0 0 4 0 −3 2 −1 5 0 0 0 0 6 0 0 −1 −1 h[n] = 2 , n = 0 e n = 2 −1 , n ≥ 4 0 , caso contrário. 15. (Computacional) A partir do link http://www.physionet.org/cgi-bin/atm/ATM? database=nstdb&tool=plot_waveforms, baixe um sinal de ECG em formato mat de duração de 1 minuto. Em seguida, carregue-o no matlab: load signal.mat x = val(1,:) t = linspace(1,60,length(x)); plot(t,x); A imagem deve ser semelhante a: 12 http://www.physionet.org/cgi-bin/atm/ATM?database=nstdb&tool=plot_waveforms http://www.physionet.org/cgi-bin/atm/ATM?database=nstdb&tool=plot_waveforms Em seguida, insira um ruido gaussiano branco com SNR de 10dBw: y = awgn(x,10,’measured’); a) Construa um filtro de média movel de duas amostras e convolua com o sinal de entrada. Plote o sinal resultante da convolução. b) Construa um filtro de média movel de três amostras e convolua com o sinal de entrada. Plote o sinal resultante da convolução. c) O que se pode inferir dos resultados de a) e b). d) Plote a fase e magnetude dos filtros média móvel de duas e três amostras. Discuta o resultado. e) Plote as curvas de nível para a forma generalizada do filtro de média móvel, para M=0,1,...,10 e N=0,1,...,10 e convolua cada uma com o sinal de ECG ruidoso. Dis- cuta os resultados. Resultado Esperado: 13 14
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