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23/09/2023, 12:34 E-book https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=wR85%2bYmnkCR74AKsl7dyAA%3d%3d&l=7ZbpMC70dw5lmMG6po4moQ%3d%3d&cd=… 1/31 Introdução Olá, caro(a) estudante! Neste material, você compreenderá o que é a transformada de Laplace e entenderá como aplicá-la em sistemas lineares, determinando a função de transferência desses sistemas. Além disso, será possível entender o papel dessa importante ferramenta matemática em análises, tomando como exemplo os circuitos elétricos, mais especi�camente. Ademais, você compreenderá como analisar a resposta dos sistemas no domínio da frequência e, com isso, aprenderá a utilizar outra importante ferramenta: o diagrama de Bode. Assim, você aprenderá como projetar �ltros passivos e ativos, largamente utilizados em equipamentos e sistemas práticos, e como utilizar softwares de simulação de circuitos. SINAIS E SISTEMASSINAIS E SISTEMAS APLICAÇÕES DA TRANSFORMADA DEAPLICAÇÕES DA TRANSFORMADA DE LAPLACE, PROJETOS E SIMULADORESLAPLACE, PROJETOS E SIMULADORES DE CIRCUITOSDE CIRCUITOS Au to r ( a ) : M a . S o f i a M a r i a Am o r i m Fa l c o R o d r i g u e s R ev i s o r : M e . G i a n c a r l o M i c h e l i n o G a e t a L o p e s Tempo de leitura do conteúdo estimado em 1 hora e 41 minutos. 23/09/2023, 12:34 E-book https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=wR85%2bYmnkCR74AKsl7dyAA%3d%3d&l=7ZbpMC70dw5lmMG6po4moQ%3d%3d&cd=… 2/31 A transformada de Laplace é uma das principais ferramentas para a análise de sistemas, na prática, permitindo a correlação de um mesmo sistema no domínio do tempo com o domínio da frequência (OPPENHEIM; WILLSKY; NAWAB, 2010). Assim, você verá algumas das principais possibilidades de aplicação, considerando, especialmente, a realidade da engenharia elétrica, em relação aos circuitos elétricos. Modelos de elementos de circuitos No caso mais especí�co dos circuitos elétricos, no domínio da frequência (domínio s), é possível que muitas análises sejam facilitadas. Também, há a possibilidade de se projetar circuitos no domínio s, o que �cará mais claro no �m deste material. Ademais, aqui, parte-se do pressuposto de que os sistemas são, naturalmente, lineares ou que podem ser aproximados dessa forma. Aplicações da Transformada de Laplace SAIBA MAIS A aplicação da transformada de Laplace, na realidade de circuitos elétricos, pode ser resumida em algumas etapas: 1) transformação do circuito, no domínio do tempo, para o domínio s; 2) resolução do circuito, a partir de ferramentas como análise nodal, análise de malhas, transformação de fontes, superposição, dentre outras técnicas já largamente utilizadas; 3) cálculo da transformada inversa de Laplace da solução, obtendo-se, assim, a resposta factível, no domínio do tempo. Para saber mais detalhes de como aplicar essa importante ferramenta matemática, assista ao vídeo disponível em: Fonte: Alexander e Sadiku (2013). 23/09/2023, 12:34 E-book https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=wR85%2bYmnkCR74AKsl7dyAA%3d%3d&l=7ZbpMC70dw5lmMG6po4moQ%3d%3d&cd=… 3/31 Adicionalmente, é fundamental ressaltar que se considera sistema qualquer modelo matemático obtido de um dado processo físico, real, capaz de correlacionar o que é estabelecido para entrada e saída (OPPENHEIM; WILLSKY; NAWAB, 2010). O resistor, por exemplo, pode ser modelado, matematicamente, no domínio do tempo, por sua relação de tensão e corrente, de forma que a seguinte relação é verdadeira: (1) Com a transformada de Laplace, para esse elemento no domínio s, obtém-se: (2) Para um indutor , no domínio do tempo, é possível considerar: (3) Nesse caso, ao se aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados de (3), obtém-se: (4) Ou: (5) O capacitor tem a seguinte relação tensão/corrente no domínio do tempo: (6) Ao ser aplicada a transformada de Laplace, o resultado é: (7) Ou seja: (8) Sendo as condições iniciais nulas, as tensões, no domínio da frequência, podem ser obtidas, por meio das equações 2, 4 e 8, para um resistor, um indutor e um capacitor, respectivamente, como: (9.1) (9.2) (9.3) Sendo a impedância Z(s) = V(s)/I(s), com condições iniciais nulas, as impedâncias referentes a cada um desses elementos são: (10.1) (10.2) (10.3) A S S I S T I R v (t) = Ri (t) V (s) = RI (s) v (t) = L di(t) dt V (s) = L [sI (s) − i ( )] = sLI (s) − Li ( )0− 0− I (s) = V (s) +1 sL i( )0− s i (t) = C dv(t) dt I (s) = C[sV (s) − v ( ) = sCV (s) − Cv ( )0− 0− V (s) = I (s) +1 sC v( )0− s V (s) = RI (s) V (s) = sLI (s) V (s) = I (s)1 sC Z (s) = R Z (s) = sL Z (s) = 1 sC 23/09/2023, 12:34 E-book https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=wR85%2bYmnkCR74AKsl7dyAA%3d%3d&l=7ZbpMC70dw5lmMG6po4moQ%3d%3d&cd=… 4/31 A seguir, apresentaremos mais detalhes sobre os principais passos necessários para a análise de circuitos nesse contexto, o domínio de s e o uso da transformada de Laplace. Ainda, serão apresentados novos exemplos práticos e a aplicação das leis básicas de circuitos. Análise de circuitos Para compreender melhor a análise de circuitos, caro(a) estudante, considere o circuito apresentado no infográ�co a seguir, referente a um equipamento real, e como esse circuito deve ser analisado, para a obtenção da saída. ANÁLISE DE CIRCUITOS UTILIZANDO A TRANSFORMADA DE LAPLACE #PraCegoVer : o infográ�co apresenta o título “Análise de circuitos utilizando a transformada de Laplace”. Logo abaixo, há três tópicos verticais. Ao clicar no primeiro, “Circuito de exemplo”, é apresentado o texto: “consideraremos, aqui, para simpli�cação e porque, muitas vezes, é o que, de fato, acontece na realidade, que as condições iniciais são nulas. Isso possibilita simpli�cações na análise, mais especi�camente no processo de transformação do circuito, e signi�ca, então, que, antes do tempo inicial, em 0 segundo, não havia nenhuma condição importante ou parâmetro a ser considerado”. Em seguida, contém a imagem de um circuito formado por uma fonte de tensão alternada, u de t, um resistor R1 de 1 ohm em série e um capacitor C1 de um terço Farad, também em série, sendo que este capacitor está em paralelo com a série de um resistor R2 de 5 ohms com o indutor L1, de 1 Hery. A tensão de saída é medida no indutor, dada por vo de t, com polaridade positiva em cima e negativa embaixo. Ao clicar no segundo tópico, “Primeiro passo”, é apresentado o texto: “transformar todos os elementos no domínio da frequência, como já mencionado anteriormente. Assim, para o circuito apresentado, tem-se o seguinte resultado, o qual pode ser visto na próxima �gura. Nela, já estão evidenciadas, também, as correntes que serão usadas. Após isso, prossegue-se para a análise do circuito, de fato, em que são utilizadas técnicas clássicas de circuitos”. Em seguida, é apresentada a imagem do mesmo circuito anterior, mas com os parâmetros representados no domínio da frequência, sendo a fonte 1 sobre s, o resistor R1 1 ohm, o capacitor C1, 3 sobre s, o resistor R2 5 ohms, o indutor L1 s e a tensão de saída vo(s), v o de s. Além disso, são representadas as correntes das malhas formadas: i 1 de s, na malha 1 e: i 2 de s na malha 2. Ao clicar no terceiro tópico, “Segundo passo”, é apresentado o texto: “Uma possibilidade para análise, nesse contexto, é utilizar a análise de malhas: u de t é 1 sobre s; 1 Henry, considerando que a transformação é s vezes L resulta em s e similarmente 1 sobre 3 Farads considerando que tem-se 1 sobre s vezes C, resulta em 3 sobre s. Com relação à primeira malha, tem-se que: 1 sobre s é igual a 1 mais 3 sobre s, vezes I1, menos 3 sobre 2, vezes I2. Ao passo que, para a segunda malha: menos 3 sobre s, vezes I1, mais s mais 5 mais 3 23/09/2023, 12:34 E-book https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=wR85%2bYmnkCR74AKsl7dyAA%3d%3d&l=7ZbpMC70dw5lmMG6po4moQ%3d%3d&cd=… 5/31 sobre s, vezes I2, resulta em I1 é igual a 1 sobre 3, vezes s ao quadrado mais 5 vezes s mais 3, vezes I2. Substituindoa equação anterior na da malha 1, tem-se: 1 sobre s é igual a 1 mais 3 sobre s, vezes 1 sobre 3, vezes s ao quadrado mais 5 vezes s mais 3, vezes I2, menos 3 sobre s, vezes I2. Nesse ponto, algumas manipulações matemáticas serão necessárias: 3 vezes s ao cubo mais 8 vezes s ao quadrado mais 18 vezes s, vezes I2, é igual a 3, o que resulta em I2 é igual 3 sobre s ao cubo mais 8 vezes s ao quadrado mais 18 vezes s. De forma que, por �m, ao isolar a tensão de saída, obtém-se: V o de s é igual a s vezes I2, que é igual a 3 sobre s ao quadrado mais 8 vezes s mais 18, que é igual à raiz quadrada de 3, sobre 2, vezes raiz quadrada de 2, sobre s mais 4, ao quadrado, mais raiz quadrada de 2, ao quadrado. Agora, basta aplicar a transformada inversa de Laplace, que, para t\ \geq\ 0, é: v o de t é igual a 3 sobre raiz quadrada de 2, vezes exponencial de menos 4 vezes t, vezes seno de raiz quadrada de 2, vezes t, volts.” Esse processo, apresentado como exemplo, é válido para qualquer tipo de análise de circuito elétrico. Em seguida, apresentaremos mais detalhes acerca da função de transferência. Função de transferência Dentre as várias possibilidades obtidas a partir da função de transferência , uma das mais importantes é demonstrar, de forma matemática e analítica, como determinado sinal é processado a partir do sistema analisado, nesse caso, a partir do circuito elétrico estudado. Assim, a função de transferência, G(s), é a razão entre a resposta (saída do sistema), Y(s), e a excitação utilizada na entrada, X(s), considerando que todas as condições iniciais são nulas (ALEXANDER; SADIKU, 2013). Desse modo, matematicamente, há: (11) Ainda, considerando o foco especí�co de estudo deste material, os circuitos elétricos, há: (12.1) (12.2) (12.3) (12.4) De maneira geral, o numerador (genericamente, N(s)) é de�nido por um polinômio qualquer, em termos de s. Do mesmo modo, o denominador da função de transferência (genericamente, D(s)) é de�nido a partir de outro polinômio, em termos de s. G (s) = Y (s) X(s) G (s) = Ganho de tens o = a~ (s)Vo (s)Vi G (s) = Ganho de corrente = (s)Io (s)Ii G (s) = Imped ncia = â V (s) I(s) G (s) = Admit ncia = â I(s) V (s) REFLITA 23/09/2023, 12:34 E-book https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=wR85%2bYmnkCR74AKsl7dyAA%3d%3d&l=7ZbpMC70dw5lmMG6po4moQ%3d%3d&cd=… 6/31 O próximo passo é aprender uma das principais ferramentas para a análise no domínio da frequência, incluindo a possibilidade de estudo direto da resposta em frequência: o diagrama de Bode. Conhecimento Teste seus Conhecimentos (Atividade não pontuada) Considere que um circuito elétrico linear de determinada indústria foi modelado matematicamente. A entrada para estudo é , sendo u(t) o sinal a ser aplicado, e a saída, correspondente a essa entrada, foi equacionada como , ambos no domínio do tempo. Com base nesse contexto, qual é a função de transferência do sistema? a) . b) c) . d) . e) . O zero é a raiz do polinômio do numerador, assim, é o valor no qual a função polinomial é zerada. Similarmente, o polo é a raiz do polinômio do denominador, um valor, nesse caso, no qual a função se zera. Fonte: Alexander e Sadiku (2013). x (t) = u (t)e−t y (t) = 10 cos 2t u (t)e−t G (s) = 10 s + 2s + 52 G (s) = 10 (s + 2s + 1)2 s2 G (s) = 10 (s + 2s + 1)2 s + 52 G (s) = 10 (s + 2s + 1)2 s + 2s + 52 G (s) = 10 (s + 2s + 1)2 s + 2s2 Resposta em Frequência 23/09/2023, 12:34 E-book https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=wR85%2bYmnkCR74AKsl7dyAA%3d%3d&l=7ZbpMC70dw5lmMG6po4moQ%3d%3d&cd=… 7/31 A resposta em frequência pode ser de�nida, basicamente, como a análise do comportamento de determinado sistema em termos de frequência, mais especi�camente, em relação ao ganho e à velocidade angular, por exemplo (OPPENHEIM; WILLSKY; NAWAB, 2010). Nesse sentido, apresentaremos mais detalhes sobre como pode ser desenvolvido o diagrama de Bode , uma das ferramentas mais utilizadas nesses tipos de análise. Diagrama de Bode O diagrama de Bode é uma das principais ferramentas nas análises dos sistemas do domínio da frequência, por permitir a visualização da resposta de forma facilitada. Essa ferramenta é formada por dois diagramas, um refere-se à magnitude e outro refere-se à fase, representados em escala logarítmica, para a melhor compreensão, pois, muitas vezes, é necessário visualizar uma extensa faixa de frequências, algo de, por exemplo, 1 a 100 kHz. 1. A primeira curva logarítmica representa a magnitude, mais especi�camente, a magnitude da resposta em frequência do sistema analisado. 2. A segunda curva logarítmica representa o comportamento da fase da resposta em frequência desse mesmo sistema, na escala de radianos por segundo, mais frequentemente. Além disso, geralmente, é utilizado um esboço do grá�co da resposta de fase, a partir de vários segmentos de reta traçados, para que, em seguida, a curva real possa ser obtida, de forma aproximada, com pequenas correções já previstas em alguns casos. As curvas de logaritmo da magnitude e da fase da resposta em frequência de um sistema são de�nidas a partir da relação (OPPENHEIM, WILLSKY & NAWAB, 2010). Nesse contexto, é preciso considerar, matematicamente, que a função de transferência de um sistema genérico é desta forma: (13) A magnitude da resposta em frequência, nesse contexto genérico, é dada por: (14) Nesse sentido, conhecendo a magnitude da resposta de cada termo, referente a polo e a zero da função, há a magnitude total da resposta (NISE, 2013). Complementarmente, a magnitude em decibéis, dada a forma logarítmica, é: (15) A fase da resposta é obtida calculando-se a fase da função apresentada anteriormente. Para entender melhor, caro(a) estudante, considere que se deseja obter o diagrama de Bode para um sistema de produção que pode ser modelado pela seguinte função de transferência: log ω G (s) = K(s+ )(s+ )...(s+ )z1 z2 zk (s+ )(s+ )...(s+ )sm p1 p2 pn |G (jω)| = K|(s+ )||(s+ )|...|(s+ )|z1 z2 zk | ||(s+ )||(s+ )|...|(s+ )|sm p1 p2 pn |s→ jω 20 log |G (jω)| = 20logK + 20log |(s + ) |+20log| (s + ) |+. . . −20log| |−20log| (s + )| −z1 z2 sm p1 G (s) = 10(s+3) s(s+2)(s +s+2)2 23/09/2023, 12:34 E-book https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=wR85%2bYmnkCR74AKsl7dyAA%3d%3d&l=7ZbpMC70dw5lmMG6po4moQ%3d%3d&cd=… 8/31 Para se obter o diagrama, uma sequência de ações pode ser realizada, conforme expõem Oppenheim e Willsky (2010): 1. substituição de e, se necessário, normalização da função; 2. de�nição dos fatores e das assíntotas; 3. obtenção das frequências de canto; 4. traçar as assíntotas de Bode, baseando-se nos fatores que formam a função do sistema analisado; 5. traçar as curvas aproximadas, a partir das assíntotas. Assim, é preciso iniciar pela transcrição da função na variável complexa. Para o exemplo apresentado, obtém-se: Nesse caso, as assíntotas de baixa frequência (que de�nem por onde as curvas devem ser riscadas) são uma reta única de 0 dB, tanto para 1ª ordem quanto para 2ª ordem. Além disso, com base nessa função, são de�nidos os cinco fatores que formam a curva: Esses fatores são denominados em ordem crescente, para a formação das assíntotas restantes, também necessárias. Na sequência, é possível obter as frequências de canto, que são 3 rad/s, 2 rad/s e rad/s, em relação aos fatores três, quatro e cinco, mencionados anteriormente. Com essas informações, torna-se possível traçar as retas já mencionadas, que guiarão o processo de obtenção das curvas logarítmicas da resposta em frequência do sistema em questão. Então, de modo geral, essas retas recebem o nome de assíntotas de Bode (ou, simplesmente, assíntotas). Para o sistema apresentado, as assíntotas são as presentes na Figura 3.1: s = jω G (jω) = = 10.3(jω/3 +1) 2.2.(jω)(jω/2 + 1)[(jω) /2 + jω/2 + 1]2 7,5(jω/3 + 1) (jω)(jω/2 + 1)[(jω) /2 + jω/2 + 1]2 f1 = 7, 5; f2 = 1/jω; f3 = jω/3 + 1; f4 = ; f5 = 1 jω/2 + 1 1 (jω)/2 + jω/2 +12 2 –√ 23/09/2023, 12:34 E-book https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=wR85%2bYmnkCR74AKsl7dyAA%3d%3d&l=7ZbpMC70dw5lmMG6po4moQ%3d%3d&cd=… 9/31 Figura 3.1 - Assíntotas de Bode para a obtenção do diagrama de Bode Fonte: Adaptada de Ogata (2010). #PraCegoVer : a �gura apresenta um grá�co com eixo x de frequência angular, em radianos por segundo, e, no eixo y, em decibéis. O eixo x vai de 0,2 até 10 rad/s e está em escala logarítmica, e o eixo y vai de – 40 a 40 dB. São traçadas as cinco retas assíntotas, sendo que a primeira é a reta de 7,5 e as demais, até a última, partem de 0 dB e deixam de ser constantes nas frequências de canto. A reta 2 �ca em torno de 1 rad/s; a reta 3, em 3 rad/; a reta 4, em 2 rad/s; a reta 5, em . Começando pelas retas da curva de magnitude, é possível notar que, dependendo do valor da frequência, as inclinações das retas, a partir das frequências de canto, também são diferentes. Abaixo de rad/s, a inclinação é de – 20 dB por década; entre e 2, é de – 60 dB/década; de 2 até 3 rad/s, há a inclinação máxima: – 80 dB/década; a partir de 3 rad/s, a inclinação decai em 20 dB, retornando para – 60 dB/década. Com as assíntotas de�nidas, é possível descobrir qual é, de fato, a curva de resposta, obtendo-se, assim, a curva aproximada de magnitude para o sistema usado como exemplo. Nesse sentido, é válido salientar que o processo das assíntotas é o mesmo para a curva logarítmica da fase, da resposta em frequência. A curva aproximada é obtida, então, por meio da soma das curvas assintóticas, considerando-se cada uma das contribuições, com correções aproximadas. Geralmente, para fatores de 1ª ordem, sugere-se uma correção de, mais ou menos, 3 dB na(s) frequência(s) de canto, ao passo que se utiliza um decibel acima ou abaixo para as frequências que estejam uma oitava acima ou uma oitava abaixo. Ainda considerando a magnitude da resposta, o resultado das curvas exatas é: rad/s2 –√ 2 –√ 2 –√ 23/09/2023, 12:34 E-book https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=wR85%2bYmnkCR74AKsl7dyAA%3d%3d&l=7ZbpMC70dw5lmMG6po4moQ%3d%3d&cd… 10/31 Figura 3.2 - Curvas exatas e assíntotas da magnitude da resposta em frequência do sistema de exemplo Fonte: Adaptada de Ogata (2010). #PraCegoVer : a imagem apresenta um grá�co com eixo x de frequência angular, em radianos por segundo, e, no eixo y, em decibéis. O eixo x vai de 0,2 até 10 rad/s e está em escala logarítmica, e o eixo y vai de – 40 a 40 dB. São traçadas as cinco retas assíntotas, sendo que a primeira é a reta de 7,5, e as demais, até a última, partem de 0 dB e deixam de ser constantes nas frequências de canto. A reta 2 �ca em torno de 1 rad/s; a reta 3, em 3 rad/; a reta 4, em 2 rad/s; a reta 5, em . Além dessas retas, há as curvas exatas referentes a cada uma das assíntotas, em pontilhado, considerando-se as atenuações sugeridas nas frequências de canto. Na Figura 3.3, é possível ver o resultado �nal, após a soma das curvas aproximadas, considerando, assim, as contribuições individuais, com as correções, incluindo a curva logarítmica de fase obtida pelos mesmos processos apresentados. rad/s2 –√ 23/09/2023, 12:34 E-book https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=wR85%2bYmnkCR74AKsl7dyAA%3d%3d&l=7ZbpMC70dw5lmMG6po4moQ%3d%3d&cd… 11/31 Figura 3.3 - Diagrama de Bode do sistema de exemplo Fonte: Elaborada pela autora. #PraCegoVer : a �gura apresenta dois grá�cos em escala logarítmica, com a mesma escala no eixo x, de frequência em radianos por segundo de até . Na parte superior, há a curva de magnitude, a qual parte de próximo de e cerca de 50 dB. Há um decaimento sutil até um pouco a frente de 1 rad/s, ponto no qual há o aumento da inclinação. Assim, atinge-se 0 dB, até a curva de resposta assumir cerca de – 200 dB, mais próximo de rad/s. Na parte de baixo, há a curva de fase, partindo da mesma frequência da magnitude em, aproximadamente, – 100°. Mais próximo de 0 e 1 rad/s, o decaimento maior é estabelecido, até que, na mesma frequência da magnitude, por volta de 1 rad/s, há a inversão do sentido do decaimento, fazendo com que seja estabelecido um pouco mais de – 250° para a curva de resposta até frequências maiores, de forma constante. A seguir, estudante, você aprenderá mais detalhes importantes acerca da aplicabilidade da resposta em frequência e de suas ferramentas, estudando sobre os circuitos de �ltro, com �ltros passivos, �ltros com acoplamento magnético e exemplos de �ltros ativos. praticar Vamos Praticar O uso dos softwares e de diversas ferramentas computacionais é necessário na simulação dos circuitos elétricos e para a obtenção, de forma facilitada, da resposta em frequência, por exemplo. Uma possibilidade é o uso do software Scilab, gratuito e amplamente utilizado, que tem tutoriais e fóruns, além de ter uma forma facilitada da linguagem C++. 10−2 104 10−2 104 23/09/2023, 12:34 E-book https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=wR85%2bYmnkCR74AKsl7dyAA%3d%3d&l=7ZbpMC70dw5lmMG6po4moQ%3d%3d&cd… 12/31 Nesse sentido, para a obtenção do diagrama de Bode, considere o sistema do exemplo apresentado. Quais são os comandos necessários para a obtenção do diagrama de Bode no Scilab? O conceito de ressonância pode ser utilizado em várias áreas da engenharia e da ciência em geral. No contexto de circuitos elétricos, esse conceito está presente naqueles que usam elementos como indutor e capacitor, simultaneamente. A ressonância é um fenômeno que possibilita a discriminação de frequências em circuitos de comunicação, sendo a condição em um circuito RLC, no qual as reatâncias indutiva e capacitiva são iguais em módulo, resultando, portanto, em uma impedância puramente resistiva (ALEXANDER; SADIKU, 2013, p. 581). A seguir, serão apresentados os circuitos ressonantes em série. Circuitos ressonantes em série Ressonância Os Os circuitos ressonantes circuitos ressonantes podem ser divididospodem ser divididos em dois tipos principais, de acordo com aem dois tipos principais, de acordo com a disposição dos elementos utilizados: circuitosdisposição dos elementos utilizados: circuitos ressonantes em série e circuitos ressonantesressonantes em série e circuitos ressonantes em paralelo.em paralelo. 23/09/2023, 12:34 E-book https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=wR85%2bYmnkCR74AKsl7dyAA%3d%3d&l=7ZbpMC70dw5lmMG6po4moQ%3d%3d&cd… 13/31 Um exemplo do circuito ressonante em série está presente na Figura 3.4 e já está representado no domínio da frequência. A frequência de ressonância ( ) é o valor de frequência que zerará a componente imaginária da impedância, como descrito adiante. Figura 3.4 - Exemplo de circuito ressonante em série Fonte: Alexander e Sadiku (2013). #PraCegoVer : a imagem apresenta um circuito em série, formado por: uma fonte de tensão em corrente alternada, ; um resistor de resistência, R; um indutor de indutância, ; um capacitor de capacitância, . A corrente estabelecida na malha é I. Assim, a impedância é: (16) A frequência de ressonância é de�nida tal que a seguinte relação é verdadeira: (17) Desse modo: rad/s. A resposta de frequência da amplitude da corrente do circuito é: (18) A maior potência dissipada pelo circuito é de�nida como: (19) De modo similar, em frequências intermediárias, e , de meia potência, há: (19) ω0 = θVs Vm/− jωL 1/jωC Z = G (jω) = V s/I = R + jωL + 1/jωC = R + j (ωL − 1/ωC) Im (Z) = ωL − = 01 ωC = 1/ω0 LC −−−√ I = |I| = Vm R + (ωL − 1/ωC)2 2√ P ( ) =ω0 V 2m 2R ω1 ω2 P ( ) = P ( ) =ω1 ω2 V 2m 4R 23/09/2023, 12:34 E-book https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=wR85%2bYmnkCR74AKsl7dyAA%3d%3d&l=7ZbpMC70dw5lmMG6po4moQ%3d%3d&cd… 14/31 Essas frequências são obtidas a partir da impedância: (20.1) (20.2) A largura de banda é de�nida por: (21) Por �m, é necessário salientar que há uma razão prede�nida, um fator de qualidade (Q), que se refere à razão entre a frequência ressonante e a largura de banda, de forma que: (22) Circuitos ressonantesem paralelo De forma similar ao circuito apresentado anteriormente, existe outro circuito ressonante, com os elementos dispostos em paralelo, como apresenta a Figura 3.5: A admitância é obtida de forma similar ao circuito ressonante em série, resultando em: (23) = − R/2L + ω1 + 1/LC( )R2L 2 − −−−−−−−−−− √ = R/2L + ω2 + 1/LC( )R2L 2 − −−−−−−−−−− √ B = R/L Q = =Lω0 R 1 CRω0 Figura 3.5 - Exemplo de circuito ressonante em paralelo Fonte: Alexander e Sadiku (2013). #PraCegoVer : a imagem apresenta um circuito em paralelo, formado por: uma fonte de corrente alternada, ; um resistor de resistência, R; um indutor de indutância, ; um capacitor de capacitância, . A tensão estabelecida é medida em R, com positivo em cima e negativo embaixo, denominada VI. I = θIm/− jωL 1/jωC Y = + j (ωC − )1 R 1 ωL 23/09/2023, 12:34 E-book https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=wR85%2bYmnkCR74AKsl7dyAA%3d%3d&l=7ZbpMC70dw5lmMG6po4moQ%3d%3d&cd… 15/31 Além disso, a frequência ressonante é: (24) As frequências intermediárias são: (25.1) (25.2) Por �m, nesse caso, o fator de qualidade é: (26) Diversos componentes elétricos e eletrônicos podem ser combinados, para a obtenção de circuitos que permitem a �ltragem de frequências, seja em determinada faixa de interesse, rejeitando-se uma frequência especí�ca, seja �ltrando abaixo ou acima de determinada frequência desejada. = 1/ rad/sω0 LC −−−√ = − 1/2RC + ω1 + 1/LC( )12RC 2− −−−−−−−−−−−−√ = 1/2RC + ω2 + 1/LC( )12RC 2− −−−−−−−−−−−−√ Q = R/ Lω0 Filtros Passivos Os �ltros passivos são desenvolvidos a partirOs �ltros passivos são desenvolvidos a partir de elementos passivos, dispensando-se o usode elementos passivos, dispensando-se o uso dos ampli�cadores operacionais. Dentre essesdos ampli�cadores operacionais. Dentre esses elementos, são desenvolvidos circuitoselementos, são desenvolvidos circuitos completos, com combinações de circuitos RCcompletos, com combinações de circuitos RC (resistor e capacitor), circuitos RL (resistor e(resistor e capacitor), circuitos RL (resistor e indutor) e/ou circuitos do tipo RLC (resistor,indutor) e/ou circuitos do tipo RLC (resistor, indutor e capacitor) (PERTENCE JÚNIOR,indutor e capacitor) (PERTENCE JÚNIOR, 2015).2015). 23/09/2023, 12:34 E-book https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=wR85%2bYmnkCR74AKsl7dyAA%3d%3d&l=7ZbpMC70dw5lmMG6po4moQ%3d%3d&cd… 16/31 Nesse sentido, agora, apresentaremos mais detalhes sobre os principais tipos de �ltros passivos , classi�cados de acordo com a forma como fazem a �ltragem de determinado sinal. Filtro passa-baixas Um circuito RC, formado por um resistor e um capacitor, é o tipo mais elementar de �ltro passa- baixas , cuja resposta em frequência e circuito pode ser vista na �gura a seguir. Essa �gura também compara o comportamento ideal com o real, sendo a frequência de corte, demonstrando que a faixa de frequências estará de�nida até a frequência de corte. Figura 3.6 - Filtro passa-baixas e sua resposta em frequência (ideal e real) Fonte: Adaptada de Alexander e Sadiku (2013). #PraCegoVer : a imagem apresenta, no lado esquerdo, o circuito formado por: uma fonte de corrente alternada, de�nida por vi(t); um resistor, R, e um capacitor, C, de saída vo(t) e positivo em cima e negativo embaixo. No lado direito, há as respostas em frequência, com a frequência angular no eixo x e a magnitude no eixo y. A curva ideal mostra uma resposta constante, com 1 de magnitude, de 0 até a frequência de corte ( ), e a real parte de 1 na magnitude em 0 rad/s e a resposta decai de forma suave, inclusive após . Passando o circuito para o domínio s e de�nindo-se, matematicamente, a relação entrada/saída pela função de transferência, há: (27) Note que G(0) = 1, ao passo que G( ) = 0. Em meia potência, de�ne-se outro valor de interesse de , que é a frequência de corte ( ): (28) ωc ωc G (jω) = = =Vo Vi 1/jωC R + 1/jωC 1 1 + jωRC ∞ ω ωc G (j ) = =ωc 1 1 + R Cω2c 2 2√ 1 2√ 23/09/2023, 12:34 E-book https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=wR85%2bYmnkCR74AKsl7dyAA%3d%3d&l=7ZbpMC70dw5lmMG6po4moQ%3d%3d&cd… 17/31 Ou seja: (29) Outro circuito possível, para a implementação de um �ltro passa-baixas, é um RL, formado por um indutor e um resistor, com a saída medida no resistor desse circuito. Filtro passa-altas O �ltro passa-altas é bastante semelhante ao �ltro passa-baixas, entretanto, agora, deseja-se um circuito elétrico, também do tipo RC, que permita a passagem de frequências acima de um valor limite, de�nido por . O circuito mais simples, que permite essa passagem e as respostas em frequência ideal e real de um �ltro passa-altas típico, está presente na �gura a seguir. Matematicamente, a função de transferência é: (30) Note que , e é possível perceber, com facilidade, que, no contexto, a frequência de corte é de�nida por: = 1/RCωc ωc Figura 3.7 - Circuito do �ltro passa-altas e resposta em frequência (ideal e real) Fonte: Adaptada de Alexander e Sadiku (2013). #PraCegoVer : a imagem apresenta, no lado esquerdo, o circuito elétrico, formado por: uma fonte de tensão em corrente alternada, vi(t); um capacitor de capacitância, C, e um resistor de resistência, R, em série. A saída é medida no resistor, por vo(t), com polaridade positiva em cima e negativa embaixo. No lado direito, há as respostas em frequência ideal e real, em um grá�co com frequência angular, no eixo x , e magnitude, no eixo y . A resposta ideal mostra que a magnitude será 1, inde�nidamente, a partir da frequência de corte (wc), ao passo que a real mostra que essa transição não ocorre de forma automática. Na frequência de corte, a magnitude é de cerca de 0,707. G (jω) = = = (s)Vo (s)Vi R R + 1/jω jωRC 1 + jωRC G(0) = G(∞) = 1 23/09/2023, 12:34 E-book https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=wR85%2bYmnkCR74AKsl7dyAA%3d%3d&l=7ZbpMC70dw5lmMG6po4moQ%3d%3d&cd… 18/31 (31) Ademais, assim como no �ltro passa-baixas, esse tipo de circuito pode ser obtido por circuitos simples, como um circuito RL, mas, nesse caso, a saída deverá ser obtida a partir do indutor utilizado. Filtro passa-faixa Um circuito em série ressonante, formado por um resistor, um indutor e um capacitor, sendo assim, um circuito RLC, permite a implementação de um �ltro passa-faixa , que delimita a faixa de frequências permitida, a partir de duas frequências de corte, como mostra a Figura 3.8: A função de transferência é dada por: (32) Além disso, percebe-se que = 0, sendo a frequência central ( ), entre e , dada por: (33) = 1/RCωc Figura 3.8 - Circuito de um �ltro passa-faixa e respostas em frequência (ideal e real) Fonte: Adaptada de Alexander e Sadiku (2013). #PraCegoVer : a �gura mostra, no lado esquerdo, o circuito elétrico, formado por: uma fonte de tensão em corrente alternada, vi(t), em série, com um indutor de indutância, L; um capacitor de capacitância, C; um resistor de resistência, R. A saída é medida no resistor, dada por vo(t), e há polaridade positiva em cima e negativa na parte de baixo. No lado direito, há as respostas em frequência, com a frequência angular no eixo x do grá�co, e a magnitude no eixo y. A resposta ideal mostra que a magnitude é 1 de w1 até w2, e a real mostra que há uma atenuação nessas frequências. Nesses pontos, especi�camente, a magnitude é 0,707. G (jω) = = (jω)Vo (jω)Vi R R + j(ωL − 1/ωC) G(0) = G(∞) ω0 ω1 ω2 = 1/ω0 LC −−−√ 23/09/2023, 12:34 E-book https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=wR85%2bYmnkCR74AKsl7dyAA%3d%3d&l=7ZbpMC70dw5lmMG6po4moQ%3d%3d&cd… 19/31 Trata-se, portanto, de um �ltro de banda estreita , com frequência central especí�ca (PERTENCE JÚNIOR, 2015). É importante ressaltar que um �ltro desse tipo também pode ser formado apenas por circuitos RC, fazendo a associação em cascata de um �ltro passa-baixas ( ) na entrada de um �ltro passa-altas ( ). Esse é um tipo de �ltro denominado �ltro de banda larga. Filtro rejeita-faixa Um circuito RLC também pode permitir outro arranjode �ltro, conhecido como �ltro rejeita-faixa ou �ltro notch, com a saída medida entre o capacitor e o indutor, de forma que a rejeição ocorrerá com base na frequência central, como mostra a �gura a seguir. Figura 3.9 - Circuito de um �ltro rejeita-faixa e suas respostas em frequência (ideal e real) Fonte: Adaptada de Alexander e Sadiku (2013). #PraCegoVer : a �gura mostra, no lado esquerdo: o circuito em série de uma fonte de tensão em corrente alternada, vi(t); um resistor de resistência, R; um capacitor de capacitância, C; um indutor de indutância, L. A saída é medida do capacitor ao indutor, sendo a polaridade positiva em cima e negativa embaixo e representada por vo(t). No lado direito, há as respostas em frequência, com a frequência angular, no eixo x, e a magnitude, no eixo y, com a resposta ideal com a magnitude 1, de 0 até w1, em 0, de w1 até w2, e em 1, novamente, a partir de w2, ao passo que a resposta real mostra que há uma transição, com a magnitude de 0,707 nas frequências w1 e w2. A função de transferência no contexto é: (34) Ademais, , e a frequência central é: (35) =ω2 ωc =ω1 ωc G (jω) = = (jω)Vo Vi(jω) j(ωL − 1/ωC) R + j(ωL − 1/ωC) G(0) = G(∞) = 1 = 1/ω0 LC −−−√ 23/09/2023, 12:34 E-book https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=wR85%2bYmnkCR74AKsl7dyAA%3d%3d&l=7ZbpMC70dw5lmMG6po4moQ%3d%3d&cd… 20/31 Por �m, esse �ltro e os outros mencionados até aqui podem ser implementados com circuitos semelhantes, inclusive, mais complexos, dependendo das exigências do sistema e/ou do processo de �ltragem. Uma possibilidade é a utilização de elementos ativos, como �cará mais claro adiante. Conhecimento Teste seus Conhecimentos (Atividade não pontuada) Considere que um �ltro rejeita-faixa deve rejeitar um ruído, caracterizado por uma senoide de 200 Hz, permitindo, ainda, uma largura de banda de 100 Hz. Para o projeto desse �ltro, é possível estabelecer valores de componentes já disponíveis. No contexto, utiliza-se um resistor de 150 ohms. Quais podem ser os valores de L e C? a) L = 4 H e C = 2 . b) L = 2,4 H e C = 2,5 . c) L = 0,4 H e C = 6,5 . d) L = 0,24 H e C = 2,65 . e) L = 0,2 H e C = 2 . Agora, discutiremos os �ltros ativos , divididos de acordo com a forma de �ltragem. Depois, apresentaremos uma visão geral do projeto desses tipos importantes de circuitos elétricos. Ademais, como exemplo, consideramos os �ltros de 1ª ordem, utilizando, assim, somente um circuito RC ou RLC, para a comparação com os �ltros passivos. A principal diferença entre um �ltro ativo e um passivo é a presença do ampli�cador operacional , um elemento ativo (PERTENCE JÚNIOR, 2015). μF μF μF μF μF Filtros Ativos 23/09/2023, 12:34 E-book https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=wR85%2bYmnkCR74AKsl7dyAA%3d%3d&l=7ZbpMC70dw5lmMG6po4moQ%3d%3d&cd… 21/31 Filtro passa-baixas O circuito presente na Figura 3.10, relativamente simples, contém um exemplo genérico de �ltro passa-baixas de 1ª ordem, mostrando, assim, o uso do �ltro RC combinado com um ampli�cador similar. Figura 3.10 - Exemplo de �ltro passa-baixas Fonte: Alexander e Sadiku (2013). #PraCegoVer : a imagem apresenta um circuito com fonte de entrada de polaridade positiva em cima e negativa embaixo, representada por Vi. Em seguida, há o resistor de entrada, Ri, conectado ao terminal negativo do ampli�cador. O terminal positivo do ampli�cador está conectado no negativo da entrada, e o resistor de feedback , Rf, está conectado, em paralelo, com um capacitor Cf, entre a entrada negativa do ampli�cador e a saída dele. A tensão de saída é Vo, polaridade positiva em cima e negativa embaixo. A função de transferência do circuito apresentado, de forma similar ao processo feito para o �ltro passa-baixas, é: (36) Nesse contexto, a frequência de corte é: (37) Filtro passa-altas O circuito presente na Figura 3.11 representa uma das possibilidades de implementação de um �ltro ativo, passa-altas, de 1ª ordem. Devido à forma como o ampli�cador está conectado, há um ampli�cador inversor. G (jω) = − Rf (1 + jω )Ri CfRf =ω0 1RfCf 23/09/2023, 12:34 E-book https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=wR85%2bYmnkCR74AKsl7dyAA%3d%3d&l=7ZbpMC70dw5lmMG6po4moQ%3d%3d&cd… 22/31 A função de transferência é: (38) De forma similar, é possível obter a frequência de corte, em termos de parâmetros do circuito, algo fundamental para o projeto do �ltro. Assim: (39) Filtro passa-faixas Como mencionado anteriormente, um �ltro passa-faixas é obtido a partir da combinação de �ltros passa-baixas e passa-altas. Além disso, nesse caso, é possível inserir um circuito inversor, de forma que a inversão do sinal não ocorra, devido à combinação resultante dos circuitos com ampli�cadores. O resultado pode ser visto no modelo apresentado na Figura 3.12, um �ltro ativo de três estágios. Figura 3.11 - Exemplo de �ltro passa-altas Fonte: Alexander e Sadiku (2013). #PraCegoVer : a imagem apresenta um circuito com fonte de entrada de polaridade positiva em cima e negativa embaixo, representada por Vi. Em seguida, há o resistor de entrada, Ri, e o capacitor Ci, conectados ao terminal negativo do ampli�cador. O terminal positivo do ampli�cador está conectado no negativo da entrada, e o resistor de feedback , Rf, está conectado entre a entrada negativa do ampli�cador e a saída dele. A tensão de saída é Vo, polaridade positiva em cima e negativa embaixo. G (jω) = − = − Rf + 1/jωRi Ci jωCiRf 1 + jωCiRi =ω0 1 RiCi 23/09/2023, 12:34 E-book https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=wR85%2bYmnkCR74AKsl7dyAA%3d%3d&l=7ZbpMC70dw5lmMG6po4moQ%3d%3d&cd… 23/31 Figura 3.12 - Exemplo de �ltro passa-faixas Fonte: Alexander e Sadiku (2013).Fonte: VG Educacional #PraCegoVer : a imagem apresenta um circuito de um �ltro passa-faixas, formado por três circuitos ativos, distinguidos por três estágios. No estágio 1, há um �ltro passa-baixas ajustado em w2, com circuito com fonte de entrada de polaridade positiva em cima e negativa embaixo, representada por Vi. Em seguida, há o resistor de entrada, R, conectado ao terminal negativo do ampli�cador. O terminal positivo do ampli�cador está conectado no negativo da entrada, e o resistor de feedback , R, está conectado, em paralelo, com um capacitor C1, entre a entrada negativa do ampli�cador e a saída dele. A tensão de saída é aplicada à entrada do estágio 2, um �ltro passa-altas, ajustado em w1, na entrada com a série de um resistor, R, e um capacitor, C2. O terminal positivo do ampli�cador está conectado ao negativo da entrada e aterrado, sendo que há um resistor de realimentação, R, conectado entre C2 e a saída do �ltro, para a entrada do estágio 3, com um inversor para proporcionar ganho. Esse circuito é formado por Ri na entrada, associado ao terminal negativo do ampli�cador. O terminal positivo está conectado ao negativo da fonte de entrada, e há um resistor de realimentação, Rf, conectado com Ri e com a saída, determinada pela tensão Vo, com polaridade positiva em cima e negativa embaixo. A função de transferência é dada por: (40) As frequências de corte são: (41.1) (41.2) A frequência central é resultado da raiz . Filtro rejeita-faixa G (jω) = − Rf Ri 1 1 + jω RC1 jω RC2 1 + jω RC2 = 1/Rω1 C2 = 1/Rω2 C1 =ω0 ω1ω2− −−−√ 23/09/2023, 12:34 E-book https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=wR85%2bYmnkCR74AKsl7dyAA%3d%3d&l=7ZbpMC70dw5lmMG6po4moQ%3d%3d&cd… 24/31 De forma similar ao �ltro anterior, o �ltro rejeita-faixa pode ser desenvolvido a partir da associação de �ltros passa-baixa e passa-alta, mas em paralelo e contando com um circuito ampli�cador somador para efetivar a operação. O resultado disso pode ser visto no circuito da Figura 3.13: A função de transferência correspondente é: (42) As frequências e são as mesmas de�nidas em 41.1 e 41.2, assim como a frequência central. Projeto de filtros ativos Dentre os vários recursos disponíveis, a resposta em frequência é fundamental para o projeto de �ltros em geral, como já �cou claro nos�ltros passivos. Isso se repete para os �ltros ativos, e uma possibilidade, nesse caso, é o uso do diagrama de Bode. Para saber mais detalhes acerca desse assunto, caro(a) estudante, você pode ler a obra “Engenharia de sistemas de controle”, de Norman Figura 3.13 - Exemplo de �ltro rejeita-faixa Fonte: Alexander e Sadiku (2013). #PraCegoVer : a imagem apresenta um circuito com entrada dada por Vi, polaridade positiva em cima e negativa embaixo. Em seguida, na parte de cima, há o circuito de um �ltro passa-baixas, igual ao usado no �ltro passa-faixas, com a adição do resistor, Ri, na saída desse �ltro. Embaixo da entrada, em paralelo com o �ltro passa-baixas, há o �ltro passa-altas, igual ao descrito para o �ltro passa-faixas, com o resistor, Ri, na saída também. Através dos resistores, Ri, as saídas dos �ltros passa-baixas e passa-altas estão conectadas em um último ampli�cador operacional, no terminal negativo, sendo que o terminal positivo está conectado ao negativo da entrada. Ainda, há um resistor de feedback, Rf, conectando o terminal negativo do ampli�cador operacional com a saída, formando a saída, Vo, com positivo em cima e negativo embaixo. G (jω) = − (− − )Rf Ri 1 1 + jω RC1 jω RC2 1 + jω RC2 ω1 ω2 23/09/2023, 12:34 E-book https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=wR85%2bYmnkCR74AKsl7dyAA%3d%3d&l=7ZbpMC70dw5lmMG6po4moQ%3d%3d&cd… 25/31 S. Nise (2013), mais especi�camente, das páginas 918 a 920, relacionadas à obtenção de circuitos de �ltros ativos a partir da função de transferência. praticar Vamos Praticar Em vários equipamentos, utiliza-se um �ltro ativo do tipo passa-baixas para restringir ruídos que podem estar presentes, em frequências acima da faixa de frequência de interesse. Dessa forma, considere que, no equipamento em questão, é necessário um ganho de 4 e as frequências acima de 500 Hz não são de interesse. Com base nesse contexto, projete um �ltro com as características apresentadas, supondo, ainda, que há um capacitor de . Por �m, apresentaremos uma visão geral do uso de softwares e ferramentas computacionais na simulação de circuitos elétricos, considerando o Multisim, em sua plataforma on-line . O acesso é feito pela internet, pelo site da empresa, no qual é possível realizar um cadastro ou fazer o download de uma versão mais completa (paga). Na opção gratuita, a plataforma inicial de trabalho permite a seleção dos componentes, desde elementos passivos, como resistores, indutores e capacitores, até a inserção de elementos eletrônicos e ativos, como ampli�cadores operacionais. A simulação é, facilmente, acessada pelo lado direito, permitindo a seleção do tempo de análise e o uso de elementos de medição, como amperímetros, voltímetros e, até mesmo, um osciloscópio, para a visualização de formas de onda de entrada e saída, por exemplo. 0, 1 μF Simulação de Circuitos 23/09/2023, 12:34 E-book https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=wR85%2bYmnkCR74AKsl7dyAA%3d%3d&l=7ZbpMC70dw5lmMG6po4moQ%3d%3d&cd… 26/31 Fonte: bestforbest / 123RF. No caso especí�co do MATLAB, mediante um algoritmo simples, a partir da função de transferência do circuito, por exemplo, é possível obter o diagrama de Bode completo. Ademais, ferramentas como o Simulink, parte desse importante software, podem ser utilizadas para a simulação completa do circuito elétrico em si. Além dessa ferramenta, existem diversas outras possibilidades, como: o LTSpice, as versões mais antigas do PSIM e outras ferramentas gratuitas de circuitos eletrônicos. Ainda, é possível utilizar o Simulink, por meio do MATLAB, e o Scilab, que é gratuito, similar ao MATLAB e inclui a possibilidade de se obter, facilmente, o diagrama de Bode, por exemplo. 23/09/2023, 12:34 E-book https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=wR85%2bYmnkCR74AKsl7dyAA%3d%3d&l=7ZbpMC70dw5lmMG6po4moQ%3d%3d&cd… 27/31 Material Complementar L I V R O Sinais e sistemas: uma introdução Felipe Gabriel de Mello Elias Editora: Intersaberes ISBN: 9788522701810 Comentário: No livro de sinais e sistemas, na seção 5.6, mais especi�camente, são apresentados mais detalhes acerca da análise da região de convergência da transformada de Laplace, de forma bastante clara e com alguns exemplos. L I V R O Controle essencial Paulo Álvaro Maya e Fabrizio Leonardi Editora: Pearson ISBN: 9788576057000 Comentário: Esse livro de sinais e sistemas é mais dedicado ao estudo da área de controle. Na obra, são tratados diversos recursos importantes de modelagem matemática, incluindo aspectos mais especí�cos da função de transferência, no capítulo 4. 23/09/2023, 12:34 E-book https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=wR85%2bYmnkCR74AKsl7dyAA%3d%3d&l=7ZbpMC70dw5lmMG6po4moQ%3d%3d&cd… 28/31 W E B Simulações de circuitos RLC com MATLAB-Simulink e PSIM Ano: 2018. Comentário: Para saber como é possível utilizar ferramentas como o MATLAB, mais especi�camente, por meio do Simulink e do PSIM, na simulação de circuitos com resistores, capacitores e indutores, assista ao vídeo disponível em: ACESSAR W E B Simulações de circuitos RLC com MATLAB-Simulink e PSIM Ano: 2018. Comentário: Para saber como é possível utilizar ferramentas como o MATLAB na obtenção do diagrama de Bode e para ver uma introdução a essa importante ferramenta matemática da análise de circuitos práticos, como os �ltros, assista ao vídeo disponível em: ACESSAR https://www.youtube.com/watch?v=iE1HIVbOkhw https://www.youtube.com/watch?v=5SJ-bj758P0 23/09/2023, 12:34 E-book https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=wR85%2bYmnkCR74AKsl7dyAA%3d%3d&l=7ZbpMC70dw5lmMG6po4moQ%3d%3d&cd… 29/31 23/09/2023, 12:34 E-book https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=wR85%2bYmnkCR74AKsl7dyAA%3d%3d&l=7ZbpMC70dw5lmMG6po4moQ%3d%3d&cd… 30/31 Conclusão Neste material, apresentamos detalhes práticos de duas ferramentas fundamentais: a transformada de Laplace e o diagrama de Bode. A transformada de Laplace é uma ferramenta facilitadora para a análise de circuitos elétricos, que, com o diagrama de Bode, permite a análise desses circuitos no domínio da frequência. Há, ainda, a possibilidade de projetar circuitos práticos importantes, como os �ltros passivos e os ativos, utilizados em diversos tipos de equipamentos e dispositivos, nos sistemas industriais em geral e, até mesmo, em elementos do cotidiano. Por �m, é importante salientar que a utilização de softwares e ferramentas computacionais, para o desenvolvimento e os testes de equipamentos e circuitos, faz parte da atuação do(a) engenheiro(a). Referências ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N. O. Fundamentos de circuitos elétricos . 5. ed. Porto Alegre: Bookman, 2013. DIAGRAMA de Bode: parte 1. [ S. l.: s. n. ], 2018. 1 vídeo (20 min 59 s). Publicado pelo canal Luis Antonio Aguirre. Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=5SJ- bj758P0 . Acesso em: 8 jul. 2021. ELIAS, F. G. M. Sinais e sistemas : uma introdução. Curitiba: Intersaberes. (Biblioteca Ânima). MAYA, P. A.; LEONARDI, F. Controle essencial . São Paulo: Pearson, 2015. (Biblioteca Ânima). ME SALVA! LAP01 – Introdução à transformada de Laplace. [ S. l.: s. n .], 2014. 1 vídeo (8 min 42 s). Publicado pelo canal Me salva! ENEM 2021. Disponível em: https://www.youtube.com/watch? v=GrRWAOqF2p0 . Acesso em: 6 jul. 2021. NISE, N. S. Engenharia de sistemas de controle . 6. ed. São Paulo: LTC, 2013. OGATA, K. Engenharia de controle moderno . 4. ed. São Paulo: Pearson, 2010. (Biblioteca Ânima). OPPENHEIM, A. V.; WILLSKY, A. S.; NAWAB, S. R. Sinais e sistemas . 2. ed. São Paulo: Pearson Prentice- Hall, 2010. (Biblioteca Ânima). PERTENCE JÚNIOR, A. Ampli�cadores operacionais e �ltros ativos-8 . Porto Alegre: Bookman Editora, 2015. SIMULAÇÕES de Circuito RLC com Matlab-Simulink e Psim. [ S. l.: s. n. ], 2018. 1 vídeo (8 min 34 s). Publicado pelo canal Eng. Luis Cesar Emanuelli. Disponível em: https://www.youtube.com/watch? v=iE1HIVbOkhw . Acesso em: 8 jul. 2021. https://www.youtube.com/watch?v=5SJ-bj758P0 https://www.youtube.com/watch?v=5SJ-bj758P0https://www.youtube.com/watch?v=GrRWAOqF2p0 https://www.youtube.com/watch?v=GrRWAOqF2p0 https://www.youtube.com/watch?v=iE1HIVbOkhw https://www.youtube.com/watch?v=iE1HIVbOkhw 23/09/2023, 12:34 E-book https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=wR85%2bYmnkCR74AKsl7dyAA%3d%3d&l=7ZbpMC70dw5lmMG6po4moQ%3d%3d&cd… 31/31
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