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UNP DL U3

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23/09/2023, 12:34 E-book
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Introdução
Olá, caro(a) estudante!
Neste material, você compreenderá o que é a transformada de Laplace e entenderá como aplicá-la
em sistemas lineares, determinando a função de transferência desses sistemas. Além disso, será
possível entender o papel dessa importante ferramenta matemática em análises, tomando como
exemplo os circuitos elétricos, mais especi�camente.
Ademais, você compreenderá como analisar a resposta dos sistemas no domínio da frequência e,
com isso, aprenderá a utilizar outra importante ferramenta: o diagrama de Bode. Assim, você
aprenderá como projetar �ltros passivos e ativos, largamente utilizados em equipamentos e
sistemas práticos, e como utilizar softwares de simulação de circuitos.
SINAIS E SISTEMASSINAIS E SISTEMAS
APLICAÇÕES DA TRANSFORMADA DEAPLICAÇÕES DA TRANSFORMADA DE
LAPLACE, PROJETOS E SIMULADORESLAPLACE, PROJETOS E SIMULADORES
DE CIRCUITOSDE CIRCUITOS
Au to r ( a ) : M a . S o f i a M a r i a Am o r i m Fa l c o R o d r i g u e s
R ev i s o r : M e . G i a n c a r l o M i c h e l i n o G a e t a L o p e s
Tempo de leitura do conteúdo estimado em 1 hora e 41 minutos.
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A transformada de Laplace é uma das principais ferramentas para a análise de sistemas, na prática,
permitindo a correlação de um mesmo sistema no domínio do tempo com o domínio da frequência
(OPPENHEIM; WILLSKY; NAWAB, 2010). Assim, você verá algumas das principais possibilidades de
aplicação, considerando, especialmente, a realidade da engenharia elétrica, em relação aos circuitos
elétricos.
Modelos de elementos de circuitos
No caso mais especí�co dos circuitos elétricos, no domínio da frequência (domínio s), é possível
que muitas análises sejam facilitadas. Também, há a possibilidade de se projetar circuitos no
domínio s, o que �cará mais claro no �m deste material.
Ademais, aqui, parte-se do pressuposto de que os sistemas são, naturalmente, lineares ou que
podem ser aproximados dessa forma.
Aplicações da
Transformada de Laplace
SAIBA MAIS
A aplicação da transformada de Laplace, na realidade de circuitos
elétricos, pode ser resumida em algumas etapas:
1) transformação do circuito, no domínio do tempo, para o domínio s;
2) resolução do circuito, a partir de ferramentas como análise nodal,
análise de malhas, transformação de fontes, superposição, dentre outras
técnicas já largamente utilizadas;
3) cálculo da transformada inversa de Laplace da solução, obtendo-se,
assim, a resposta factível, no domínio do tempo.
Para saber mais detalhes de como aplicar essa importante ferramenta
matemática, assista ao vídeo disponível em:
Fonte: Alexander e Sadiku (2013).
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Adicionalmente, é fundamental ressaltar que se considera sistema qualquer modelo matemático
obtido de um dado processo físico, real, capaz de correlacionar o que é estabelecido para entrada e
saída (OPPENHEIM; WILLSKY; NAWAB, 2010). O resistor, por exemplo, pode ser modelado,
matematicamente, no domínio do tempo, por sua relação de tensão e corrente, de forma que a
seguinte relação é verdadeira:
 (1)
Com a transformada de Laplace, para esse elemento no domínio s, obtém-se:
 (2)
Para um indutor , no domínio do tempo, é possível considerar:
 (3)
Nesse caso, ao se aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados de (3), obtém-se:
 (4)
Ou:
 (5)
O capacitor tem a seguinte relação tensão/corrente no domínio do tempo:
 (6)
Ao ser aplicada a transformada de Laplace, o resultado é:
 (7)
Ou seja:
 (8)
Sendo as condições iniciais nulas, as tensões, no domínio da frequência, podem ser obtidas, por
meio das equações 2, 4 e 8, para um resistor, um indutor e um capacitor, respectivamente, como:
 (9.1)
 (9.2)
 (9.3)
Sendo a impedância Z(s) = V(s)/I(s), com condições iniciais nulas, as impedâncias referentes a
cada um desses elementos são:
 (10.1)
 (10.2)
 (10.3)
A S S I S T I R
v (t)   =  Ri (t)
V (s)   =  RI (s)
v (t)   =  L
di(t)
dt
V (s)   =  L [sI (s)   −  i ( )]   =  sLI (s)   −  Li ( )0− 0−
I (s)   =   V (s) +1
sL
i( )0−
s
i (t)   =  C
dv(t)
dt
I (s)   =  C[sV (s)   −  v ( ) = sCV (s)   −  Cv ( )0− 0−
V (s) = I (s) +1
sC
v( )0−
s
V (s)   =  RI (s)
V (s)   =  sLI (s)
V (s)   =   I (s)1
sC
Z (s)   =  R
Z (s)   =  sL
Z (s)   =   1
sC
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A seguir, apresentaremos mais detalhes sobre os principais passos necessários para a análise de
circuitos nesse contexto, o domínio de s e o uso da transformada de Laplace. Ainda, serão
apresentados novos exemplos práticos e a aplicação das leis básicas de circuitos.
Análise de circuitos
Para compreender melhor a análise de circuitos, caro(a) estudante, considere o circuito apresentado
no infográ�co a seguir, referente a um equipamento real, e como esse circuito deve ser analisado,
para a obtenção da saída.
ANÁLISE DE CIRCUITOS UTILIZANDO A
TRANSFORMADA DE LAPLACE
#PraCegoVer : o infográ�co apresenta o título “Análise de circuitos utilizando a transformada de Laplace”.
Logo abaixo, há três tópicos verticais. Ao clicar no primeiro, “Circuito de exemplo”, é apresentado o texto:
“consideraremos, aqui, para simpli�cação e porque, muitas vezes, é o que, de fato, acontece na realidade,
que as condições iniciais são nulas. Isso possibilita simpli�cações na análise, mais especi�camente no
processo de transformação do circuito, e signi�ca, então, que, antes do tempo inicial, em 0 segundo, não
havia nenhuma condição importante ou parâmetro a ser considerado”. Em seguida, contém a imagem de
um circuito formado por uma fonte de tensão alternada, u de t, um resistor R1 de 1 ohm em série e um
capacitor C1 de um terço Farad, também em série, sendo que este capacitor está em paralelo com a série
de um resistor R2 de 5 ohms com o indutor L1, de 1 Hery. A tensão de saída é medida no indutor, dada por
vo de t, com polaridade positiva em cima e negativa embaixo. Ao clicar no segundo tópico, “Primeiro
passo”, é apresentado o texto: “transformar todos os elementos no domínio da frequência, como já
mencionado anteriormente. Assim, para o circuito apresentado, tem-se o seguinte resultado, o qual pode
ser visto na próxima �gura. Nela, já estão evidenciadas, também, as correntes que serão usadas. Após
isso, prossegue-se para a análise do circuito, de fato, em que são utilizadas técnicas clássicas de
circuitos”. Em seguida, é apresentada a imagem do mesmo circuito anterior, mas com os parâmetros
representados no domínio da frequência, sendo a fonte 1 sobre s, o resistor R1 1 ohm, o capacitor C1, 3
sobre s, o resistor R2 5 ohms, o indutor L1 s e a tensão de saída vo(s), v o de s. Além disso, são
representadas as correntes das malhas formadas: i 1 de s, na malha 1 e: i 2 de s na malha 2. Ao clicar no
terceiro tópico, “Segundo passo”, é apresentado o texto: “Uma possibilidade para análise, nesse contexto, é
utilizar a análise de malhas: u de t é 1 sobre s; 1 Henry, considerando que a transformação é s vezes L
resulta em s e similarmente 1 sobre 3 Farads considerando que tem-se 1 sobre s vezes C, resulta em 3
sobre s. Com relação à primeira malha, tem-se que: 1 sobre s é igual a 1 mais 3 sobre s, vezes I1, menos 3
sobre 2, vezes I2. Ao passo que, para a segunda malha: menos 3 sobre s, vezes I1, mais s mais 5 mais 3
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sobre s, vezes I2, resulta em I1 é igual a 1 sobre 3, vezes s ao quadrado mais 5 vezes s mais 3, vezes I2.
Substituindoa equação anterior na da malha 1, tem-se: 1 sobre s é igual a 1 mais 3 sobre s, vezes 1 sobre
3, vezes s ao quadrado mais 5 vezes s mais 3, vezes I2, menos 3 sobre s, vezes I2. Nesse ponto, algumas
manipulações matemáticas serão necessárias: 3 vezes s ao cubo mais 8 vezes s ao quadrado mais 18
vezes s, vezes I2, é igual a 3, o que resulta em I2 é igual 3 sobre s ao cubo mais 8 vezes s ao quadrado
mais 18 vezes s. De forma que, por �m, ao isolar a tensão de saída, obtém-se: V o de s é igual a s vezes I2,
que é igual a 3 sobre s ao quadrado mais 8 vezes s mais 18, que é igual à raiz quadrada de 3, sobre 2,
vezes raiz quadrada de 2, sobre s mais 4, ao quadrado, mais raiz quadrada de 2, ao quadrado. Agora, basta
aplicar a transformada inversa de Laplace, que, para t\ \geq\ 0, é: v o de t é igual a 3 sobre raiz quadrada
de 2, vezes exponencial de menos 4 vezes t, vezes seno de raiz quadrada de 2, vezes t, volts.”
Esse processo, apresentado como exemplo, é válido para qualquer tipo de análise de circuito
elétrico. Em seguida, apresentaremos mais detalhes acerca da função de transferência.
Função de transferência
Dentre as várias possibilidades obtidas a partir da função de transferência , uma das mais
importantes é demonstrar, de forma matemática e analítica, como determinado sinal é processado
a partir do sistema analisado, nesse caso, a partir do circuito elétrico estudado. Assim, a função de
transferência, G(s), é a razão entre a resposta (saída do sistema), Y(s), e a excitação utilizada na
entrada, X(s), considerando que todas as condições iniciais são nulas (ALEXANDER; SADIKU, 2013).
Desse modo, matematicamente, há:
 (11)
Ainda, considerando o foco especí�co de estudo deste material, os circuitos elétricos, há:
 (12.1)
 (12.2)
 (12.3)
 (12.4)
De maneira geral, o numerador (genericamente, N(s)) é de�nido por um polinômio qualquer, em
termos de s. Do mesmo modo, o denominador da função de transferência (genericamente, D(s)) é
de�nido a partir de outro polinômio, em termos de s.
G (s)   =  
Y (s)
X(s)
G (s)   =  Ganho de tens o  =  a~
(s)Vo
(s)Vi
G (s)   =  Ganho de corrente  =  
(s)Io
(s)Ii
G (s)   =  Imped ncia  =  â
V (s)
I(s)
G (s)   =  Admit ncia  =  â
I(s)
V (s)
REFLITA
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O próximo passo é aprender uma das principais ferramentas para a análise no domínio da
frequência, incluindo a possibilidade de estudo direto da resposta em frequência: o diagrama de
Bode.
Conhecimento
Teste seus Conhecimentos
(Atividade não pontuada)
Considere que um circuito elétrico linear de determinada indústria foi modelado
matematicamente. A entrada para estudo é , sendo u(t) o sinal a ser aplicado, e
a saída, correspondente a essa entrada, foi equacionada como ,
ambos no domínio do tempo. Com base nesse contexto, qual é a função de transferência do
sistema?
a) .
b) 
c) .
d) .
e) .
O zero é a raiz do polinômio do numerador, assim, é o valor no qual
a função polinomial é zerada. Similarmente, o polo é a raiz do
polinômio do denominador, um valor, nesse caso, no qual a função
se zera.
Fonte: Alexander e Sadiku (2013).
x (t)   =   u (t)e−t
y (t)   =  10 cos 2t u (t)e−t
G (s)   =   10
s  + 2s + 52
G (s)   =  
10 (s  + 2s + 1)2
s2
G (s)   =  
10 (s  + 2s + 1)2
s  + 52
G (s)   =  
10 (s  + 2s + 1)2
s  + 2s + 52
G (s)   =  
10 (s  + 2s + 1)2
s  + 2s2
Resposta em Frequência
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A resposta em frequência pode ser de�nida, basicamente, como a análise do comportamento de
determinado sistema em termos de frequência, mais especi�camente, em relação ao ganho e à
velocidade angular, por exemplo (OPPENHEIM; WILLSKY; NAWAB, 2010). Nesse sentido,
apresentaremos mais detalhes sobre como pode ser desenvolvido o diagrama de Bode , uma das
ferramentas mais utilizadas nesses tipos de análise.
Diagrama de Bode
O diagrama de Bode é uma das principais ferramentas nas análises dos sistemas do domínio da
frequência, por permitir a visualização da resposta de forma facilitada. Essa ferramenta é formada
por dois diagramas, um refere-se à magnitude e outro refere-se à fase, representados em escala
logarítmica, para a melhor compreensão, pois, muitas vezes, é necessário visualizar uma extensa
faixa de frequências, algo de, por exemplo, 1 a 100 kHz.
1. A primeira curva logarítmica representa a magnitude, mais especi�camente, a magnitude da
resposta em frequência do sistema analisado.
2. A segunda curva logarítmica representa o comportamento da fase da resposta em frequência
desse mesmo sistema, na escala de radianos por segundo, mais frequentemente.
Além disso, geralmente, é utilizado um esboço do grá�co da resposta de fase, a partir de vários
segmentos de reta traçados, para que, em seguida, a curva real possa ser obtida, de forma
aproximada, com pequenas correções já previstas em alguns casos.
As curvas de logaritmo da magnitude e da fase da resposta em frequência de um sistema são
de�nidas a partir da relação (OPPENHEIM, WILLSKY & NAWAB, 2010). Nesse contexto, é
preciso considerar, matematicamente, que a função de transferência de um sistema genérico é
desta forma:
 (13)
A magnitude da resposta em frequência, nesse contexto genérico, é dada por:
 (14)
Nesse sentido, conhecendo a magnitude da resposta de cada termo, referente a polo e a zero da
função, há a magnitude total da resposta (NISE, 2013). Complementarmente, a magnitude em
decibéis, dada a forma logarítmica, é:
(15)
A fase da resposta é obtida calculando-se a fase da função apresentada anteriormente. Para
entender melhor, caro(a) estudante, considere que se deseja obter o diagrama de Bode para um
sistema de produção que pode ser modelado pela seguinte função de transferência:
log ω
G (s) =
K(s+ )(s+ )...(s+ )z1 z2 zk
(s+ )(s+ )...(s+ )sm p1 p2 pn
|G (jω)| =
K|(s+ )||(s+ )|...|(s+ )|z1 z2 zk
| ||(s+ )||(s+ )|...|(s+ )|sm p1 p2 pn
|s→ jω
20 log |G (jω)| = 20logK  +  20log |(s + ) |+20log| (s + ) |+. . . −20log| |−20log| (s + )| −z1 z2 sm p1
G (s)   =  
10(s+3)
s(s+2)(s +s+2)2
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Para se obter o diagrama, uma sequência de ações pode ser realizada, conforme expõem
Oppenheim e Willsky (2010):
1. substituição de e, se necessário, normalização da função;
2. de�nição dos fatores e das assíntotas;
3. obtenção das frequências de canto;
4. traçar as assíntotas de Bode, baseando-se nos fatores que formam a função do sistema
analisado;
5. traçar as curvas aproximadas, a partir das assíntotas.
Assim, é preciso iniciar pela transcrição da função na variável complexa. Para o exemplo
apresentado, obtém-se:
Nesse caso, as assíntotas de baixa frequência (que de�nem por onde as curvas devem ser
riscadas) são uma reta única de 0 dB, tanto para 1ª ordem quanto para 2ª ordem. Além disso, com
base nessa função, são de�nidos os cinco fatores que formam a curva:
Esses fatores são denominados em ordem crescente, para a formação das assíntotas restantes,
também necessárias. Na sequência, é possível obter as frequências de canto, que são 3 rad/s, 2
rad/s e rad/s, em relação aos fatores três, quatro e cinco, mencionados anteriormente.
Com essas informações, torna-se possível traçar as retas já mencionadas, que guiarão o processo
de obtenção das curvas logarítmicas da resposta em frequência do sistema em questão. Então, de
modo geral, essas retas recebem o nome de assíntotas de Bode (ou, simplesmente, assíntotas).
Para o sistema apresentado, as assíntotas são as presentes na Figura 3.1:
s  =  jω
G (jω) = =
10.3(jω/3 +1)
2.2.(jω)(jω/2 + 1)[(jω) /2 + jω/2 + 1]2
7,5(jω/3 + 1)
(jω)(jω/2 + 1)[(jω) /2 + jω/2 + 1]2
f1  =  7, 5;   f2  =  1/jω;   f3  = jω/3  + 1;   f4  =   ;   f5  =    1
jω/2 + 1
1
(jω)/2 + jω/2 +12
2
–√
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Figura 3.1 - Assíntotas de Bode para a obtenção do diagrama de Bode
Fonte: Adaptada de Ogata (2010).
#PraCegoVer : a �gura apresenta um grá�co com eixo x de frequência angular, em radianos por segundo,
e, no eixo y, em decibéis. O eixo x vai de 0,2 até 10 rad/s e está em escala logarítmica, e o eixo y vai de –
40 a 40 dB. São traçadas as cinco retas assíntotas, sendo que a primeira é a reta de 7,5 e as demais, até a
última, partem de 0 dB e deixam de ser constantes nas frequências de canto. A reta 2 �ca em torno de 1
rad/s; a reta 3, em 3 rad/; a reta 4, em 2 rad/s; a reta 5, em .
Começando pelas retas da curva de magnitude, é possível notar que, dependendo do valor da
frequência, as inclinações das retas, a partir das frequências de canto, também são diferentes.
Abaixo de rad/s, a inclinação é de – 20 dB por década; entre e 2, é de – 60 dB/década; de 2
até 3 rad/s, há a inclinação máxima: – 80 dB/década; a partir de 3 rad/s, a inclinação decai em 20
dB, retornando para – 60 dB/década.
Com as assíntotas de�nidas, é possível descobrir qual é, de fato, a curva de resposta, obtendo-se,
assim, a curva aproximada de magnitude para o sistema usado como exemplo. Nesse sentido, é
válido salientar que o processo das assíntotas é o mesmo para a curva logarítmica da fase, da
resposta em frequência.
A curva aproximada é obtida, então, por meio da soma das curvas assintóticas, considerando-se
cada uma das contribuições, com correções aproximadas. Geralmente, para fatores de 1ª ordem,
sugere-se uma correção de, mais ou menos, 3 dB na(s) frequência(s) de canto, ao passo que se
utiliza um decibel acima ou abaixo para as frequências que estejam uma oitava acima ou uma
oitava abaixo.
Ainda considerando a magnitude da resposta, o resultado das curvas exatas é:
 rad/s2
–√
2
–√ 2
–√
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Figura 3.2 - Curvas exatas e assíntotas da magnitude da resposta em frequência do sistema de
exemplo
Fonte: Adaptada de Ogata (2010).
#PraCegoVer : a imagem apresenta um grá�co com eixo x de frequência angular, em radianos por
segundo, e, no eixo y, em decibéis. O eixo x vai de 0,2 até 10 rad/s e está em escala logarítmica, e o eixo y
vai de – 40 a 40 dB. São traçadas as cinco retas assíntotas, sendo que a primeira é a reta de 7,5, e as
demais, até a última, partem de 0 dB e deixam de ser constantes nas frequências de canto. A reta 2 �ca
em torno de 1 rad/s; a reta 3, em 3 rad/; a reta 4, em 2 rad/s; a reta 5, em . Além dessas retas,
há as curvas exatas referentes a cada uma das assíntotas, em pontilhado, considerando-se as atenuações
sugeridas nas frequências de canto.
Na Figura 3.3, é possível ver o resultado �nal, após a soma das curvas aproximadas, considerando,
assim, as contribuições individuais, com as correções, incluindo a curva logarítmica de fase obtida
pelos mesmos processos apresentados.
 rad/s2
–√
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Figura 3.3 - Diagrama de Bode do sistema de exemplo
Fonte: Elaborada pela autora.
#PraCegoVer : a �gura apresenta dois grá�cos em escala logarítmica, com a mesma escala no eixo x, de
frequência em radianos por segundo de até . Na parte superior, há a curva de magnitude, a qual
parte de próximo de e cerca de 50 dB. Há um decaimento sutil até um pouco a frente de 1 rad/s,
ponto no qual há o aumento da inclinação. Assim, atinge-se 0 dB, até a curva de resposta assumir cerca de
– 200 dB, mais próximo de rad/s. Na parte de baixo, há a curva de fase, partindo da mesma
frequência da magnitude em, aproximadamente, – 100°. Mais próximo de 0 e 1 rad/s, o decaimento maior
é estabelecido, até que, na mesma frequência da magnitude, por volta de 1 rad/s, há a inversão do sentido
do decaimento, fazendo com que seja estabelecido um pouco mais de – 250° para a curva de resposta até
frequências maiores, de forma constante.
A seguir, estudante, você aprenderá mais detalhes importantes acerca da aplicabilidade da resposta
em frequência e de suas ferramentas, estudando sobre os circuitos de �ltro, com �ltros passivos,
�ltros com acoplamento magnético e exemplos de �ltros ativos.
praticar
Vamos Praticar
O uso dos softwares e de diversas ferramentas computacionais é necessário na simulação dos
circuitos elétricos e para a obtenção, de forma facilitada, da resposta em frequência, por exemplo.
Uma possibilidade é o uso do software Scilab, gratuito e amplamente utilizado, que tem tutoriais e
fóruns, além de ter uma forma facilitada da linguagem C++.
10−2 104
10−2
104
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Nesse sentido, para a obtenção do diagrama de Bode, considere o sistema do exemplo
apresentado. Quais são os comandos necessários para a obtenção do diagrama de Bode no
Scilab?
O conceito de ressonância pode ser utilizado em várias áreas da engenharia e da ciência em geral.
No contexto de circuitos elétricos, esse conceito está presente naqueles que usam elementos como
indutor e capacitor, simultaneamente.
A ressonância é um fenômeno que possibilita a discriminação de frequências em
circuitos de comunicação, sendo a condição em um circuito RLC, no qual as reatâncias
indutiva e capacitiva são iguais em módulo, resultando, portanto, em uma impedância
puramente resistiva (ALEXANDER; SADIKU, 2013, p. 581).
A seguir, serão apresentados os circuitos ressonantes em série.
Circuitos ressonantes em série
Ressonância
Os Os circuitos ressonantes circuitos ressonantes podem ser divididospodem ser divididos
em dois tipos principais, de acordo com aem dois tipos principais, de acordo com a
disposição dos elementos utilizados: circuitosdisposição dos elementos utilizados: circuitos
ressonantes em série e circuitos ressonantesressonantes em série e circuitos ressonantes
em paralelo.em paralelo.
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Um exemplo do circuito ressonante em série está presente na Figura 3.4 e já está representado no
domínio da frequência. A frequência de ressonância ( ) é o valor de frequência que zerará a
componente imaginária da impedância, como descrito adiante.
Figura 3.4 - Exemplo de circuito ressonante em série
Fonte: Alexander e Sadiku (2013).
#PraCegoVer : a imagem apresenta um circuito em série, formado por: uma fonte de tensão em corrente
alternada, ; um resistor de resistência, R; um indutor de indutância, ; um capacitor de
capacitância, . A corrente estabelecida na malha é I.
Assim, a impedância é:
 (16)
A frequência de ressonância é de�nida tal que a seguinte relação é verdadeira:
 (17)
Desse modo: rad/s.
A resposta de frequência da amplitude da corrente do circuito é:
 (18)
A maior potência dissipada pelo circuito é de�nida como:
 (19)
De modo similar, em frequências intermediárias, e , de meia potência, há:
 (19)
ω0
= θVs Vm/− jωL
1/jωC
Z = G (jω) = V s/I  =  R  +  jωL  + 1/jωC = R + j (ωL − 1/ωC)
Im (Z)   =  ωL − = 01
ωC
= 1/ω0 LC
−−−√
I = |I|   =   Vm
R  + (ωL − 1/ωC)2 2√
P ( ) =ω0
V 2m
2R
ω1 ω2
P ( ) = P ( ) =ω1 ω2
V 2m
4R
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Essas frequências são obtidas a partir da impedância:
 (20.1)
 (20.2)
A largura de banda é de�nida por:
 (21)
Por �m, é necessário salientar que há uma razão prede�nida, um fator de qualidade (Q), que se
refere à razão entre a frequência ressonante e a largura de banda, de forma que:
 (22)
Circuitos ressonantesem paralelo
De forma similar ao circuito apresentado anteriormente, existe outro circuito ressonante, com os
elementos dispostos em paralelo, como apresenta a Figura 3.5:
A admitância é obtida de forma similar ao circuito ressonante em série, resultando em:
 (23)
=   − R/2L  +  ω1 + 1/LC( )R2L
2
− −−−−−−−−−−
√
=  R/2L  +  ω2 + 1/LC( )R2L
2
− −−−−−−−−−−
√
B = R/L
Q  =   =Lω0
R
1
CRω0
Figura 3.5 - Exemplo de circuito ressonante em paralelo
Fonte: Alexander e Sadiku (2013).
#PraCegoVer : a imagem apresenta um circuito em paralelo, formado por: uma fonte de corrente
alternada, ; um resistor de resistência, R; um indutor de indutância, ; um capacitor de
capacitância, . A tensão estabelecida é medida em R, com positivo em cima e negativo embaixo,
denominada VI.
I = θIm/− jωL
1/jωC
Y = + j (ωC  −   )1
R
1
ωL
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Além disso, a frequência ressonante é:
 (24)
As frequências intermediárias são:
 (25.1)
 (25.2)
Por �m, nesse caso, o fator de qualidade é:
 (26)
Diversos componentes elétricos e eletrônicos podem ser combinados, para a obtenção de circuitos
que permitem a �ltragem de frequências, seja em determinada faixa de interesse, rejeitando-se uma
frequência especí�ca, seja �ltrando abaixo ou acima de determinada frequência desejada.
= 1/  rad/sω0 LC
−−−√
=   − 1/2RC  +  ω1 + 1/LC( )12RC
2− −−−−−−−−−−−−√
=  1/2RC  +  ω2 + 1/LC( )12RC
2− −−−−−−−−−−−−√
Q  =  R/ Lω0
Filtros Passivos
Os �ltros passivos são desenvolvidos a partirOs �ltros passivos são desenvolvidos a partir
de elementos passivos, dispensando-se o usode elementos passivos, dispensando-se o uso
dos ampli�cadores operacionais. Dentre essesdos ampli�cadores operacionais. Dentre esses
elementos, são desenvolvidos circuitoselementos, são desenvolvidos circuitos
completos, com combinações de circuitos RCcompletos, com combinações de circuitos RC
(resistor e capacitor), circuitos RL (resistor e(resistor e capacitor), circuitos RL (resistor e
indutor) e/ou circuitos do tipo RLC (resistor,indutor) e/ou circuitos do tipo RLC (resistor,
indutor e capacitor) (PERTENCE JÚNIOR,indutor e capacitor) (PERTENCE JÚNIOR,
2015).2015).
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Nesse sentido, agora, apresentaremos mais detalhes sobre os principais tipos de �ltros passivos ,
classi�cados de acordo com a forma como fazem a �ltragem de determinado sinal.
Filtro passa-baixas
Um circuito RC, formado por um resistor e um capacitor, é o tipo mais elementar de �ltro passa-
baixas , cuja resposta em frequência e circuito pode ser vista na �gura a seguir. Essa �gura também
compara o comportamento ideal com o real, sendo   a frequência de corte, demonstrando que a
faixa de frequências estará de�nida até a frequência de corte.
Figura 3.6 - Filtro passa-baixas e sua resposta em frequência (ideal e real)
Fonte: Adaptada de Alexander e Sadiku (2013).
#PraCegoVer : a imagem apresenta, no lado esquerdo, o circuito formado por: uma fonte de corrente
alternada, de�nida por vi(t); um resistor, R, e um capacitor, C, de saída vo(t) e positivo em cima e negativo
embaixo. No lado direito, há as respostas em frequência, com a frequência angular no eixo x e a
magnitude no eixo y. A curva ideal mostra uma resposta constante, com 1 de magnitude, de 0 até a
frequência de corte ( ), e a real parte de 1 na magnitude em 0 rad/s e a resposta decai de forma suave,
inclusive após .
Passando o circuito para o domínio s e de�nindo-se, matematicamente, a relação entrada/saída
pela função de transferência, há:
 (27)
Note que G(0) = 1, ao passo que G( ) = 0.
Em meia potência, de�ne-se outro valor de interesse de , que é a frequência de corte ( ):
 (28)
ωc
ωc
G (jω) = = =Vo
Vi
1/jωC
R + 1/jωC
1
1 + jωRC
∞
ω ωc
G (j ) = =ωc 1
1 +  R Cω2c 2 2√
1
2√
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Ou seja:
 (29)
Outro circuito possível, para a implementação de um �ltro passa-baixas, é um RL, formado por um
indutor e um resistor, com a saída medida no resistor desse circuito.
Filtro passa-altas
O �ltro passa-altas é bastante semelhante ao �ltro passa-baixas, entretanto, agora, deseja-se um
circuito elétrico, também do tipo RC, que permita a passagem de frequências acima de um valor
limite, de�nido por . O circuito mais simples, que permite essa passagem e as respostas em
frequência ideal e real de um �ltro passa-altas típico, está presente na �gura a seguir.
Matematicamente, a função de transferência é:
 (30)
Note que , e é possível perceber, com facilidade, que, no contexto, a frequência
de corte é de�nida por:
= 1/RCωc
ωc
Figura 3.7 - Circuito do �ltro passa-altas e resposta em frequência (ideal e real)
Fonte: Adaptada de Alexander e Sadiku (2013).
#PraCegoVer : a imagem apresenta, no lado esquerdo, o circuito elétrico, formado por: uma fonte de
tensão em corrente alternada, vi(t); um capacitor de capacitância, C, e um resistor de resistência, R, em
série. A saída é medida no resistor, por vo(t), com polaridade positiva em cima e negativa embaixo. No
lado direito, há as respostas em frequência ideal e real, em um grá�co com frequência angular, no eixo x , e
magnitude, no eixo y . A resposta ideal mostra que a magnitude será 1, inde�nidamente, a partir da
frequência de corte (wc), ao passo que a real mostra que essa transição não ocorre de forma automática.
Na frequência de corte, a magnitude é de cerca de 0,707.
G (jω) = = =
(s)Vo
(s)Vi
R
R + 1/jω
jωRC
1 + jωRC
G(0) = G(∞) = 1
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 (31)
Ademais, assim como no �ltro passa-baixas, esse tipo de circuito pode ser obtido por circuitos
simples, como um circuito RL, mas, nesse caso, a saída deverá ser obtida a partir do indutor
utilizado.
Filtro passa-faixa
Um circuito em série ressonante, formado por um resistor, um indutor e um capacitor, sendo assim,
um circuito RLC, permite a implementação de um �ltro passa-faixa , que delimita a faixa de
frequências permitida, a partir de duas frequências de corte, como mostra a Figura 3.8:
A função de transferência é dada por:
 (32)
Além disso, percebe-se que = 0, sendo a frequência central ( ), entre e ,
dada por:
 (33)
= 1/RCωc
Figura 3.8 - Circuito de um �ltro passa-faixa e respostas em frequência (ideal e real)
Fonte: Adaptada de Alexander e Sadiku (2013).
#PraCegoVer : a �gura mostra, no lado esquerdo, o circuito elétrico, formado por: uma fonte de tensão em
corrente alternada, vi(t), em série, com um indutor de indutância, L; um capacitor de capacitância, C; um
resistor de resistência, R. A saída é medida no resistor, dada por vo(t), e há polaridade positiva em cima e
negativa na parte de baixo. No lado direito, há as respostas em frequência, com a frequência angular no
eixo x do grá�co, e a magnitude no eixo y. A resposta ideal mostra que a magnitude é 1 de w1 até w2, e a
real mostra que há uma atenuação nessas frequências. Nesses pontos, especi�camente, a magnitude é
0,707.
G (jω)   =   =
(jω)Vo
(jω)Vi
R
R + j(ωL − 1/ωC)
G(0) = G(∞) ω0 ω1 ω2
= 1/ω0 LC
−−−√
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Trata-se, portanto, de um �ltro de banda estreita , com frequência central especí�ca (PERTENCE
JÚNIOR, 2015).
É importante ressaltar que um �ltro desse tipo também pode ser formado apenas por circuitos RC,
fazendo a associação em cascata de um �ltro passa-baixas ( ) na entrada de um �ltro
passa-altas ( ). Esse é um tipo de �ltro denominado �ltro de banda larga.
Filtro rejeita-faixa
Um circuito RLC também pode permitir outro arranjode �ltro, conhecido como �ltro rejeita-faixa ou
�ltro notch, com a saída medida entre o capacitor e o indutor, de forma que a rejeição ocorrerá com
base na frequência central, como mostra a �gura a seguir.
Figura 3.9 - Circuito de um �ltro rejeita-faixa e suas respostas em frequência (ideal e real)
Fonte: Adaptada de Alexander e Sadiku (2013).
#PraCegoVer : a �gura mostra, no lado esquerdo: o circuito em série de uma fonte de tensão em corrente
alternada, vi(t); um resistor de resistência, R; um capacitor de capacitância, C; um indutor de indutância, L.
A saída é medida do capacitor ao indutor, sendo a polaridade positiva em cima e negativa embaixo e
representada por vo(t). No lado direito, há as respostas em frequência, com a frequência angular, no eixo x,
e a magnitude, no eixo y, com a resposta ideal com a magnitude 1, de 0 até w1, em 0, de w1 até w2, e em 1,
novamente, a partir de w2, ao passo que a resposta real mostra que há uma transição, com a magnitude
de 0,707 nas frequências w1 e w2.
A função de transferência no contexto é:
 (34)
Ademais, , e a frequência central é:
 (35)
=ω2 ωc
=ω1 ωc
G (jω) = =
(jω)Vo
Vi(jω)
j(ωL − 1/ωC)
R + j(ωL − 1/ωC)
G(0) = G(∞) = 1
= 1/ω0 LC
−−−√
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Por �m, esse �ltro e os outros mencionados até aqui podem ser implementados com circuitos
semelhantes, inclusive, mais complexos, dependendo das exigências do sistema e/ou do processo
de �ltragem. Uma possibilidade é a utilização de elementos ativos, como �cará mais claro adiante.
Conhecimento
Teste seus Conhecimentos
(Atividade não pontuada)
Considere que um �ltro rejeita-faixa deve rejeitar um ruído, caracterizado por uma senoide de 200
Hz, permitindo, ainda, uma largura de banda de 100 Hz. Para o projeto desse �ltro, é possível
estabelecer valores de componentes já disponíveis. No contexto, utiliza-se um resistor de 150
ohms. Quais podem ser os valores de L e C?
a) L = 4 H e C = 2 .
b) L = 2,4 H e C = 2,5 .
c) L = 0,4 H e C = 6,5 .
d) L = 0,24 H e C = 2,65 .
e) L = 0,2 H e C = 2 .
Agora, discutiremos os �ltros ativos , divididos de acordo com a forma de �ltragem. Depois,
apresentaremos uma visão geral do projeto desses tipos importantes de circuitos elétricos.
Ademais, como exemplo, consideramos os �ltros de 1ª ordem, utilizando, assim, somente um
circuito RC ou RLC, para a comparação com os �ltros passivos. A principal diferença entre um �ltro
ativo e um passivo é a presença do ampli�cador operacional , um elemento ativo (PERTENCE
JÚNIOR, 2015).
μF
μF
μF
μF
μF
Filtros Ativos
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Filtro passa-baixas
O circuito presente na Figura 3.10, relativamente simples, contém um exemplo genérico de �ltro
passa-baixas de 1ª ordem, mostrando, assim, o uso do �ltro RC combinado com um ampli�cador
similar.
Figura 3.10 - Exemplo de �ltro passa-baixas
Fonte: Alexander e Sadiku (2013).
#PraCegoVer : a imagem apresenta um circuito com fonte de entrada de polaridade positiva em cima e
negativa embaixo, representada por Vi. Em seguida, há o resistor de entrada, Ri, conectado ao terminal
negativo do ampli�cador. O terminal positivo do ampli�cador está conectado no negativo da entrada, e o
resistor de feedback , Rf, está conectado, em paralelo, com um capacitor Cf, entre a entrada negativa do
ampli�cador e a saída dele. A tensão de saída é Vo, polaridade positiva em cima e negativa embaixo.
A função de transferência do circuito apresentado, de forma similar ao processo feito para o �ltro
passa-baixas, é:
 (36)
Nesse contexto, a frequência de corte é:
 (37)
Filtro passa-altas
O circuito presente na Figura 3.11 representa uma das possibilidades de implementação de um �ltro
ativo, passa-altas, de 1ª ordem. Devido à forma como o ampli�cador está conectado, há um
ampli�cador inversor.
G (jω) =   −
Rf
(1 + jω )Ri CfRf
=ω0 1RfCf
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A função de transferência é:
 (38)
De forma similar, é possível obter a frequência de corte, em termos de parâmetros do circuito, algo
fundamental para o projeto do �ltro. Assim:
 (39)
Filtro passa-faixas
Como mencionado anteriormente, um �ltro passa-faixas é obtido a partir da combinação de �ltros
passa-baixas e passa-altas. Além disso, nesse caso, é possível inserir um circuito inversor, de forma
que a inversão do sinal não ocorra, devido à combinação resultante dos circuitos com
ampli�cadores. O resultado pode ser visto no modelo apresentado na Figura 3.12, um �ltro ativo de
três estágios.
Figura 3.11 - Exemplo de �ltro passa-altas
Fonte: Alexander e Sadiku (2013).
#PraCegoVer : a imagem apresenta um circuito com fonte de entrada de polaridade positiva em cima e
negativa embaixo, representada por Vi. Em seguida, há o resistor de entrada, Ri, e o capacitor Ci,
conectados ao terminal negativo do ampli�cador. O terminal positivo do ampli�cador está conectado no
negativo da entrada, e o resistor de feedback , Rf, está conectado entre a entrada negativa do ampli�cador
e a saída dele. A tensão de saída é Vo, polaridade positiva em cima e negativa embaixo.
G (jω) =   − =   −
Rf
 + 1/jωRi Ci
jωCiRf
1 + jωCiRi
=ω0
1
RiCi
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Figura 3.12 - Exemplo de �ltro passa-faixas
Fonte: Alexander e Sadiku (2013).Fonte: VG Educacional
#PraCegoVer : a imagem apresenta um circuito de um �ltro passa-faixas, formado por três circuitos ativos,
distinguidos por três estágios. No estágio 1, há um �ltro passa-baixas ajustado em w2, com circuito com
fonte de entrada de polaridade positiva em cima e negativa embaixo, representada por Vi. Em seguida, há
o resistor de entrada, R, conectado ao terminal negativo do ampli�cador. O terminal positivo do
ampli�cador está conectado no negativo da entrada, e o resistor de feedback , R, está conectado, em
paralelo, com um capacitor C1, entre a entrada negativa do ampli�cador e a saída dele. A tensão de saída
é aplicada à entrada do estágio 2, um �ltro passa-altas, ajustado em w1, na entrada com a série de um
resistor, R, e um capacitor, C2. O terminal positivo do ampli�cador está conectado ao negativo da entrada e
aterrado, sendo que há um resistor de realimentação, R, conectado entre C2 e a saída do �ltro, para a
entrada do estágio 3, com um inversor para proporcionar ganho. Esse circuito é formado por Ri na entrada,
associado ao terminal negativo do ampli�cador. O terminal positivo está conectado ao negativo da fonte
de entrada, e há um resistor de realimentação, Rf, conectado com Ri e com a saída, determinada pela
tensão Vo, com polaridade positiva em cima e negativa embaixo.
A função de transferência é dada por:
 (40)
As frequências de corte são:
 (41.1)
 (41.2)
A frequência central é resultado da raiz .
Filtro rejeita-faixa
G (jω)   =   −
Rf
Ri
1
1 + jω RC1
jω RC2
1 + jω RC2
= 1/Rω1 C2
= 1/Rω2 C1
=ω0 ω1ω2− −−−√
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De forma similar ao �ltro anterior, o �ltro rejeita-faixa pode ser desenvolvido a partir da associação
de �ltros passa-baixa e passa-alta, mas em paralelo e contando com um circuito ampli�cador
somador para efetivar a operação. O resultado disso pode ser visto no circuito da Figura 3.13:
A função de transferência correspondente é:
 (42)
As frequências e são as mesmas de�nidas em 41.1 e 41.2, assim como a frequência central.
Projeto de filtros ativos
Dentre os vários recursos disponíveis, a resposta em frequência é fundamental para o projeto de
�ltros em geral, como já �cou claro nos�ltros passivos. Isso se repete para os �ltros ativos, e uma
possibilidade, nesse caso, é o uso do diagrama de Bode. Para saber mais detalhes acerca desse
assunto, caro(a) estudante, você pode ler a obra “Engenharia de sistemas de controle”, de Norman
Figura 3.13 - Exemplo de �ltro rejeita-faixa
Fonte: Alexander e Sadiku (2013).
#PraCegoVer : a imagem apresenta um circuito com entrada dada por Vi, polaridade positiva em cima e
negativa embaixo. Em seguida, na parte de cima, há o circuito de um �ltro passa-baixas, igual ao usado no
�ltro passa-faixas, com a adição do resistor, Ri, na saída desse �ltro. Embaixo da entrada, em paralelo com
o �ltro passa-baixas, há o �ltro passa-altas, igual ao descrito para o �ltro passa-faixas, com o resistor, Ri,
na saída também. Através dos resistores, Ri, as saídas dos �ltros passa-baixas e passa-altas estão
conectadas em um último ampli�cador operacional, no terminal negativo, sendo que o terminal positivo
está conectado ao negativo da entrada. Ainda, há um resistor de feedback, Rf, conectando o terminal
negativo do ampli�cador operacional com a saída, formando a saída, Vo, com positivo em cima e negativo
embaixo.
G (jω) =   − (− − )Rf
Ri
1
1 + jω RC1
jω RC2
1 + jω RC2
ω1 ω2
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S. Nise (2013), mais especi�camente, das páginas 918 a 920, relacionadas à obtenção de circuitos
de �ltros ativos a partir da função de transferência.
praticar
Vamos Praticar
Em vários equipamentos, utiliza-se um �ltro ativo do tipo passa-baixas para restringir ruídos que
podem estar presentes, em frequências acima da faixa de frequência de interesse. Dessa forma,
considere que, no equipamento em questão, é necessário um ganho de 4 e as frequências acima
de 500 Hz não são de interesse. Com base nesse contexto, projete um �ltro com as características
apresentadas, supondo, ainda, que há um capacitor de .
Por �m, apresentaremos uma visão geral do uso de softwares e ferramentas computacionais na
simulação de circuitos elétricos, considerando o Multisim, em sua plataforma on-line . O acesso é
feito pela internet,   pelo site da empresa, no qual é possível realizar um cadastro ou fazer o
download de uma versão mais completa (paga).
Na opção gratuita, a plataforma inicial de trabalho permite a seleção dos componentes, desde
elementos passivos, como resistores, indutores e capacitores, até a inserção de elementos
eletrônicos e ativos, como ampli�cadores operacionais. A simulação é, facilmente, acessada pelo
lado direito, permitindo a seleção do tempo de análise e o uso de elementos de medição, como
amperímetros, voltímetros e, até mesmo, um osciloscópio, para a visualização de formas de onda
de entrada e saída, por exemplo.
0, 1 μF
Simulação de Circuitos
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Fonte: bestforbest / 123RF.
No caso especí�co do MATLAB, mediante um algoritmo simples, a partir da função de transferência
do circuito, por exemplo, é possível obter o diagrama de Bode completo. Ademais, ferramentas
como o Simulink, parte desse importante software, podem ser utilizadas para a simulação completa
do circuito elétrico em si.
Além dessa ferramenta, existem diversas outras possibilidades, como: o LTSpice, as versões mais antigas do PSIM e outras
ferramentas gratuitas de circuitos eletrônicos. Ainda, é possível utilizar o Simulink, por meio do MATLAB, e o Scilab, que é
gratuito, similar ao MATLAB e inclui a possibilidade de se obter, facilmente, o diagrama de Bode, por exemplo.
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Material
Complementar
L I V R O
Sinais e sistemas: uma introdução
Felipe Gabriel de Mello Elias
Editora: Intersaberes
ISBN: 9788522701810
Comentário: No livro de sinais e sistemas, na seção 5.6, mais
especi�camente, são apresentados mais detalhes acerca da análise da
região de convergência da transformada de Laplace, de forma bastante clara
e com alguns exemplos.
L I V R O
Controle essencial
Paulo Álvaro Maya e Fabrizio Leonardi
Editora: Pearson
ISBN: 9788576057000
Comentário: Esse livro de sinais e sistemas é mais dedicado ao estudo da
área de controle. Na obra, são tratados diversos recursos importantes de
modelagem matemática, incluindo aspectos mais especí�cos da função de
transferência, no capítulo 4.
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W E B
Simulações de circuitos RLC com MATLAB-Simulink
e PSIM
Ano: 2018.
Comentário: Para saber como é possível utilizar ferramentas como o
MATLAB, mais especi�camente, por meio do Simulink e do PSIM, na
simulação de circuitos com resistores, capacitores e indutores, assista ao
vídeo disponível em:
ACESSAR
W E B
Simulações de circuitos RLC com MATLAB-Simulink
e PSIM
Ano: 2018.
Comentário: Para saber como é possível utilizar ferramentas como o
MATLAB na obtenção do diagrama de Bode e para ver uma introdução a
essa importante ferramenta matemática da análise de circuitos práticos,
como os �ltros, assista ao vídeo disponível em:
ACESSAR
https://www.youtube.com/watch?v=iE1HIVbOkhw
https://www.youtube.com/watch?v=5SJ-bj758P0
23/09/2023, 12:34 E-book
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Conclusão
Neste material, apresentamos detalhes práticos de duas ferramentas fundamentais: a transformada de
Laplace e o diagrama de Bode. A transformada de Laplace é uma ferramenta facilitadora para a análise de
circuitos elétricos, que, com o diagrama de Bode, permite a análise desses circuitos no domínio da
frequência.
Há, ainda, a possibilidade de projetar circuitos práticos importantes, como os �ltros passivos e os ativos,
utilizados em diversos tipos de equipamentos e dispositivos, nos sistemas industriais em geral e, até
mesmo, em elementos do cotidiano.
Por �m, é importante salientar que a utilização de softwares e ferramentas computacionais, para o
desenvolvimento e os testes de equipamentos e circuitos, faz parte da atuação do(a) engenheiro(a).
Referências
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https://www.youtube.com/watch?v=iE1HIVbOkhw
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23/09/2023, 12:34 E-book
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