Lista de Exercícios 03 Resolvida - Sinais e Sistemas

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UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA, FACULDADE GAMA
Sinais e Sistemas - Lista 3
Gabarito
17 de novembro de 2015
1. Calcule a Transformada de Fourier dos seguintes sinais:
a) x[n] = (12 )n−1 u[n −1]
b) x[n] = (12 )|n−1|
c) x[n] = u[n −2]−u[n −6]
d) x[n] = si n (π2 n)+ cos(n)
e) x[n] = si n (5π3 n)+ cos (7π3 n)
Resposta:
a) x[n] = (12 )n−1 u[n −1]
Para x[n] = (1/2)n−1u[n −1]
X (e jΩ) =
∞∑
n=−∞
x[n]e− jΩn
X (e jΩ) =
∞∑
n=1
(1/2)n−1e− jΩn
X (e jΩ) =
∞∑
n=0
(1/2)ne− jΩ(n+1)
X (e jΩ) = e− jΩ 1
(1−(1/2)e− jΩ)
b) x[n] = (12 )|n−1|
Para x[n] = (1/2)|n−1|
X (e jΩ) =
∞∑
n=−∞
x[n]e− jΩn
X (e jΩ) =
0∑
n=−∞
(1/2)−(n−1)e− jΩn +
∞∑
n=1
(1/2)n−1e− jΩn
1
0∑
n=−∞
(1/2)−(n−1)e− jΩn =
∞∑
n=0
(1/2)(n+1)e jΩn = (12 ) 11−(1/2)e jΩ
X (e jΩ) = (12 ) 11−(1/2)e jΩ +e− jΩ 1(1−(1/2)e− jΩ) = 0.75e− jΩ1.25−cosΩ
c) x[n] = u[n −2]−u[n −6]
x[n] = u[n −2]− [n −6] = δ[n −2]+δ[n −3]+δ[n −4]+δ[n −5]
X (e jΩ) =
∞∑
n=−∞
x[n]e− jΩn
X (e jΩ) = e−2 jΩ+e−3 jΩ+e−4 jΩ+e−5 jΩ
d) x[n] = si n (π2 n)+ cos(n)
x[n] = si n(πn/2)+ cos(n) = 12 j [e jπn/2 −e− jπn/2]+ 12 [e j n +e− j n]
X (e jΩ) = πj [δ(Ω−π/2)−δ(Ω+π/2)]+π[δ(Ω−1)+δ(Ω+1)], 0 ≤ |Ω| <π
e) x[n] = si n (5π3 n)+ cos (7π3 n)
x[n] = si n(5πn/3)+ cos(7πn/3)
x[n] =−si n(πn/3)+ cos(πn/3)
x[n] =− 12 j [e jπn/3 −e− jπn/3]+ 12 [e jπn/3 +e− jπn/3]
X (e jΩ) =−πj [δ(Ω−π/3)−δ(Ω+π/3)]+π[δ(Ω−π/3)+δ(Ω+π/3)], 0 ≤ |Ω| <π
2. Calcule a Transformada Inversa de Fourier dos seguintes sinais:
a) X (e jΩ) =
{
1, π4 ≤ |Ω| ≤ 3π4
0, 3π4 ≤ |Ω| ≤π,0 ≤ |Ω| < π4
b) X (e jΩ) = 1+3e− jΩ+2e− j 2Ω−4e− j 3Ω+e− j 10Ω
c) X (e jΩ) = e − jΩ2 ,−π≤Ω≤π
d) X (e jΩ) = cos2Ω+ si n23Ω
e) X (e jΩ) = 1−
1
3 e
− jΩ
1− 14 e− jΩ− 18 e−2 jΩ
f) X (e jΩ) = 1−
(
1
3
)6
e− j 6Ω
1− 13 e− jΩ
Resposta:
a) X (e jΩ) =
{
1, π4 ≤ |Ω| ≤ 3π4
0, 3π4 ≤ |Ω| ≤π,0 ≤ |Ω| < π4
x[n] = 12π
∫
2π
X (e jΩ)e jΩndΩ
x[n] = 12π
−π/4∫
−3π/4
e jΩndΩ+ 12π
3π/4∫
π/4
e jΩndΩ
x[n] = 1πn [si n(3πn/4)− si n(πn/4)]
b) X (e jΩ) = 1+3e− jΩ+2e− j 2Ω−4e− j 3Ω+e− j 10Ω
x[n] = 12π
∫
2π
X (e jΩ)e jΩndΩ
x[n] = δ[n]+3δ[n −1+2δ[n −2]−4δ[n −3]+δ[n −10]]
2
c) X (e jΩ) = e − jΩ2 ,−π≤Ω≤π
x[n] = 12π
∫
2π
X (e jΩ)e jΩndΩ
x[n] = 12π
π∫
−π
e− jΩ/2e jΩndΩ
x[n] = (−1)n+1π(n−1/2)
d) X (e jΩ) = cos2Ω+ si n23Ω
X (e jΩ) = 1+cos(2Ω)2 + 1−cos(3Ω)2
X (e jΩ) = 1+ 14 e2 jΩ+ 14 e−2 jΩ− 14 e3 jΩ− 14 e−3 jΩ
x[n] = 12π
∫
2π
X (e jΩ)e jΩndΩ
x[n] = δ[n]+ 14δ[n −2]+ 14δ[n +2]− 14δ[n −3]− 14δ[n +3]
e) X (e jΩ) = 1−
1
3 e
− jΩ
1− 14 e− jΩ− 18 e−2 jΩ
X (e jΩ) = 2/9
1− 12 e− jΩ
+ 7/9
1+ 14 e− jΩ
x[n] = 29
(1
2
)n
u[n]+ 79
(−14 )n u[n]
f) X (e jΩ) = 1−
(
1
3
)6
e− j 6Ω
1− 13 e− jΩ
X (e jΩ) = 1+ 13 e− jΩ+ 132 e− j 2Ω+ 133 e− j 3Ω+ 134 e− j 4Ω+ 135 e− j 5Ω
x[n] = 12π
∫
2π
X (e jΩ)e jΩndΩ
x[n] = δ[n]+ 13δ[n −1]+ 19δ[n −2]+ 127δ[n −3]+ 181δ[n −4]+ 1243δ[n −5]
3. Um sistema LIT S causal e estável tem a propriedade(
4
5
)n
u[n] −→ n
(
4
5
)n
u[n]
a. Determine a resposta em frequência H(e jΩ) do sistema S.
b. Determine uma equação de diferenças relacionando qualquer entrada x[n] com
a saída correspondente y[n].
Resposta:
a. Como o sistema é causal e estável, um par entrada/saída é suficiente para de-
terminar a resposta em frequência do sistema. Nesse caso a entrada é x[n] =
(4/5)nu[n] e a saída é y[n] = n(4/5)nu[n]. Sendo assim, a resposta em frequên-
cia será:
H(e jΩ) = Y (e
jΩ)
X (e jΩ)
onde X (e jΩ) e Y (e jΩ) são as transformadas de Fourier de x[n] e y[n], respectiva-
mente. Pela tabela de pares transformados de Fourier de tempo discreto básicos
3
(Tabela 5.2 do Oppenheim) a Transformada de Fourier da entrada será:
x[n] =
(
4
5
)n
u[n] ←→ X (e jΩ) = 1
1− 45 e− jΩ
Utilizando a propriedade da diferenciação na frequência (Tabela 5.1 do Oppe-
nheim) a Transformada de Fourier da saída será:
y[n] = n
(
4
5
)n
u[n] ←→ Y (e jΩ) = j d X (e
jΩ)
dΩ
= (4/5)e
− jΩ
(1− (4/5)e− jΩ)
Portanto:
H(e jΩ) = (4/5)e
− jΩ
1− (4/5)e− jΩ
b. Como H(e jΩ) = Y (e jΩ)/X (e jΩ), pode-se escrever:
Y (e jΩ)
[
1− 4
5
e− jΩ
]
= X (e jΩ)[(4/5)e− jΩ]
Aplicando a Transformada de Fourier em ambos lados uma equação das diferen-
ças será:
y[n]− 4
5
y[n −1] = 4
5
x[n]
4. Determine quais (se algum) dos seguintes sinais têm transformadas de Fourier que
satisfaçam a cada uma das seguintes condições:
a. ℜe X (e jΩ) = 0.
b. ImX (e jΩ) = 0.
c. Existe um inteiro α tal que e jαΩX (e jΩ) seja real.
d.
∫ π
−π X (e
jΩ)dΩ= 0.
e. X (e jΩ) periódico.
i. x[n] como na Figura a.
ii. x[n] como na Figura b.
iii. x[n] como na Figura c.
iv. x[n] como na Figura d.
v. x[n] = (12 )n u[n].
vi. x[n] = (12 )|n| .
4
Resposta:
a. Para que ℜe X (e jΩ) seja zero, o sinal deve ser real e ímpar. Somente ii é real e
ímpar.
b. Para que ImX (e jΩ) seja zero, o sinal deve ser real e par. Somentes os sinais iv e vi
são reais e pares.
c. Assumindo Y (e jΩ) = e j 0ΩX (e jΩ). Utilizando a propriedade do deslocamento do
tempo para Transformada de Fourier tem-se y[n] = x[n +α]. Se Y (e jΩ) é real,
então y[n] é real e par. Portanto, x[n] tem que ser simétrico a α. Isso acontece
somente nos sinais i, ii, iv e vi.
d. Como
π∫
−π
X (e jΩ)dΩ = 2πx[0], esta condição é satisfeita somente se x[0] = 0. Isso
acontece somente nos sinais ii e iv.
e. X (e jΩ) sempre é periódico quando período é 2π. Portanto, todos os sinais aten-
dem esta condição.
5. a) Considere um sistema LIT de tempo discreto com resposta ao impulso
h[n] = 1
2
n
u[n]
Use a transformada de Fourier para determinar a resposta a cada um dos seguin-
tes sinais de entrada:
(i) x[n] = ( 34 )nu[n]
(ii) x[n] = (n +1)( 14 )nu[n]
(iii) x[n] = (−1)n
b) Suponha que
h[n] =
[(
1
2
)2
cos
(πn
2
)]
u[n]
Use a transformada de Fourier para determinar a resposta a cada uma das seguin-
tes entradas:
5
(i) x[n] = (12 )n u[n]
(ii) x[n] = cos (πn2 )
Resposta:
a) A saída do sistema é:
Y (e jΩ) = X (e jΩ)H(eeΩ)
Portanto:
H(e jΩ) = 1
1− (1/2)e− jΩ
(i) x[n] = ( 34 )nu[n]
Temos:
X (e jΩ) = 1
1− (3/4)e− jΩ
Portanto:
Y (e jΩ) =
[
1
1− 34 e− jΩ
][
1
1− 12 e− jΩ
]
Y (e jΩ) = −2
1− 12 e− jΩ
+ 3
1− 34 e− jΩ
Fazendo a Transformada Inversa de Fourier, obtemos:
y[n] = 3
(
3
4
)n
u[n]−2
(
1
2
)n
u[n]
(ii) x[n] = (n +1)( 14 )nu[n]
Temos:
X (e jΩ) = 1(
1− (1/4)e− jΩ)2
Portanto:
Y (e jΩ) =
[
1(
1− 14 e− jΩ
)2
][
1
1− 12 e− jΩ
]
Y (e jΩ) = 4
1− 12 e− jΩ
− 2
1− 14 e− jΩ
− 3(
1− 14 e− jΩ
)2
Fazendo a Transformada Inversa de Fourier, obtemos:
y[n] = 4
(
1
2
)n
u[n]−2
(
1
4
)n
u[n]−3(n +1)
(
1
4
)n
u[n]
(iii) x[n] = (−1)n
Temos:
X (e jΩ) = 2π
∞∑
k=−∞
δ(Ω− (2k +1)π)
6
Portanto:
Y (e jΩ) =
[
2π
∞∑
k=−∞
δ(Ω− (2k +1)π)
][
1
1− 12 e− jΩ
]
Y (e jΩ) = 4π
3
∞∑
k=−∞
δ(Ω− (2k +1)π)
Aplicando a Transformada Inversa de Fourier, obtemos:
x[n] = 2
3
(−1)n
b) Dado:
h[n] = 1
2
(
1
2
e jπ/2
)n
u[n]+ 1
2
(
1
2
e− jπ/2
)n
u[n]
Obtemos:
H(e jΩ) = 1/2
1− 12 e jπ/2e− jΩ
+ 1/2
1− 12 e− jπ/2e− jΩ
(i) x[n] = (12 )n u[n]
Temos:
X (e jΩ) = 1
1− 12 e− jΩ
Portanto:
Y (e jΩ) =
[
1/2
1− 12 e jπ/2e− jΩ
+ 1/2
1− 12 e− jπ/2e− jΩ
][
1
1− 12 e− jΩ
]
Y (e jΩ) = A
1− (1/2)e jπ/2e− jΩ +
B
1− (1/2)e− jΩ +
C
1− (1/2)e− jπ/2
onde: A =− j [2(1− j )], B = 1/2 e C = 1/[2(1+ j )]. Portanto:
y[n] = − j
2(1− j )
(
j
2
)n
u[n]+ 1
2(1+ j )
(
− j
2
)n
u[n]+ 1
2
(
1
2
)n
u[n]
(ii) x[n] = cos (πn2 )
y[n] = cos(πn/2)
3
[
4−
(
1
2
)n]
u[n]
6. Considere um sistema LIT causal descrito pela equação de diferenças
y[n]+ 1
2
y[n −1] = x[n]
a) Determine a resposta em frequência H(e jΩ) desse sistema.
b) Qual é a resposta desse sistema às seguintes entradas?
(i) x[n] = ( 12 )nu[n]
7
(ii) x[n] = (−12 )nu[n]
(iii) x[n] = δ[n]− 12δ[n −1]
Resposta:
a)
H(e jΩ) = Y (e
jΩ)
X (e jΩ)
= 1
1+ 12 e− jΩ
b) A Transformada de Fourier da saída será: Y (e jΩ) = X (e jΩ)H(e jΩ)
(i) Nesse caso:
X (e jΩ) = 1
1− 12 e− jΩ
Portanto:
Y (e jΩ) =
[
1
1− 12 e− jΩ
][
1
1+ 12 e− jΩ
]
Y (e jΩ) = 1/2
1− 12 e− jΩ
+ 1/2
1+ 12 e− jΩ
Aplicando a Transformada Inversa de Fourier, obtemos:
y[n] = 1
2
(
1
2
)n
u[n]+ 1
2
(
−1
2
)n
u[n]
(ii) Nesse caso:
X (e jΩ) = 1
1+ 12 e− jΩ
Portanto:
Y (e jΩ) =
[1
1− 12 e− jΩ
]2
Aplicando a Transformada Inversa de Fourier, obtemos:
y[n] = (n +1)
(
−1
2
)n
u[n]
(iii) Nesse caso:
X (e jΩ) = 1− 1
2
e− jΩ
Portanto:
Y (e jΩ) =
[
1− 1
2
e− jΩ
][
1
1+ 12 e− jΩ
]
Y (e jΩ) =−1+ 2
1+ 12 e− jΩ
Aplicando a Transformada Inversa de Fourier:
y[n] =−δ[n]+2
(
−1
2
)n
u[n]
8
7. Para um sistema consistindo na cascata de dois sistemas LIT com respostas em frequên-
cia
H1(e
jΩ) = 2−e
− jΩ
1+ 12 e− jΩ
e
H2(e
jΩ) = 1
1− 12 e− jΩ+ 14 e− j 2Ω
a) Encontre a equação de diferenças descrevendo o sistema global.
b) Determine a resposta ao impulso do sistema global.
Resposta:
a) Como os dois sistemas estão em cascata, a resposta em frequência de todo o sis-
tema é:
H(e jΩ) = H1(e jΩ)H2(e jΩ)
H(e jΩ) = 2−e
− jΩ
1+ 18 e− j 3Ω
Portanto, a Transformada de Fourier relacionando a entrada e a saída é:
Y (e jΩ)
X (e jΩ)
= 2−e
− jΩ
1+ 18 e− j 3Ω
Aplicando a Transformada Inversa de Fourier:
y[n]+ 1
8
y[n −3] = 2x[n]−x[n −1]
b) Podemos reescrever a resposta em frequência do sistema global como:
H(e jΩ) = 4/3
1+ 12 e− jΩ
+ (1+ j
p
3)/3
1− 12 e j 120e− jΩ
+ (1− j
p
3)/3
1− 12 e− j 120e− jΩ
Aplicando a Transformada Inversa de Fourier:
h[n] = 4
3
(
−1
2
)n
u[n]+ 1+ j
p
3
3
(
1
2
e j 120
)n
u[n]+ 1− j
p
3
3
(
1
2
e− j 120
)n
u[n]
8. Considere o sinal analógico
xa(t ) = 3cos(100πt )
a) Determine a frequência de amostragem mínimo requerida para evitar aliasing.
b) Suponha que o sinal é amostrado ao ritmo fs = 200H z. Qual é o sinal discreto no
tempo obtido após a amostragem?
c) Suponha que o sinal é amostrado ao ritmo fs = 75H z. Qual é o sinal discreto no
tempo obtido após a amostragem?.
9
d) Qual é a frequência 0 < f < fs/2 de uma sinusóide cujas amostras são idênticas
ao sinal do item anterior?
Resposta:
a) Como a frequência do sinal analógico é de 50 Hz, a frequência de amostragem
mínima para evitar aliasing é de fs = 100H z
b) Se o sinal é amostrado à frequência de fs = 200H z, o sinal discreto no tempo é:
x[n] = 3cos
(
100πn
200
)
= 3cos
(πn
2
)
c) Se o sinal é amostrado à frequência de fs = 75H z, o sinal discreto no tempo é:
x[n] = 3cos
(
100πn
75
)
= 3cos
(
4πn
3
)
= 3cos
(
2π− 2π
3
)
n = 3cos
(
2πn
3
)
d) Para o ritmo de amostragem de fs = 75H z, obtivemos para a frequência da si-
nusóide discreta do sinal c) f = 1/3, que corresponde a frequência analógica de
fs · f = 75 ·1/3 = 25H z. O sinal pretendido será:
ya(t ) = 3cos(2 ·25πt ) = 3cos(50πt )
Este sinal amostrado resultará em fs = 75 amostras/s.
9. A frequência que, sob o teorema de amostragem, precisa ser exdida pela frequência de
amostragem é chamada de taxa de Nyquist. Determine a taxa de Nyquist correspon-
dente a cada um dos seguintes sinais:
a. x(t ) = 1+ cos(2000πt )+ si n(4000πt )
b. x(t ) = si n(4000πt )πt
c. x(t ) =
(
si n(4000πt )
πt
)2
Resposta:
a. X ( jΩ) = 0 para |Ω| > 4000π. Portanto, a taxa de Nyquist para este sinal é:
ΩN = 2(4000π) = 8000π
b. O sinal é X ( jΩ) é um pulso retangular para X ( jΩ) = 0 quando |Ω| > 4000π. Por-
tanto, a taxa de Nyquist deste sinal é:
ΩN = 2(4000π) = 8000π.
c. X ( jΩ) é a convolução de dois pulsos retangulares que são zeros para |Ω| > 4000π.
Portanto, X ( jΩ) = 0 para |Ω| > 8000π e a taxa de Nyquist desse sinal é:
ΩN = 2(8000π) = 16kπ
10
10. A amostragem com trem de impulsos x[n] é usada para obter
g [n] =
∞∑
k=−∞
x[n]δ[n −kN ].
Se X (ekΩ) = 0 para 3π/7 ≤ |Ω| ≤ π, determine o maior valor para o intervalo de amos-
tragem N que garante que não haverá aliasing durante a amostragem de x[n].
Resposta:
2π
N
≥ 2
(
3π
7
)
=⇒ N ≤ 7
3
Portanto, N = 2.
11. Determine a transformada de Laplace de cada um dos sinais seguintes usando a equa-
ção de definição.
a. x(t ) = u(t −1)
b. x(t ) = e−t+2u(t )
c. x(t ) = si n(Ω0t )u(t +2)
d. x(t ) = cos(Ω0t )u(t −3)
e. x(t ) =
{
si n(πt ), 0 < t < 1
0, caso contrário
Resposta:
a. x(t ) = u(t −1)
X (s) = ∫ ∞0 u(t −1)e−st d t
X (s) = ∫ ∞1 e−st d t
X (s) = e−ss
b. x(t ) = e−t+2u(t )
X (s) = ∫ ∞0 e−t+2e−st
X (s) = e2s+1
c. x(t ) = si n(Ω0t )u(t +2)
X (s) = ∫ ∞0 e jΩ0 t−e− jΩ0 tj 2 e−st d t
X (s) = Ω2
s2+Ω20
d. x(t ) = cos(Ω0t )u(t −3)
X (s) = ∫ ∞3 e jΩt+e− jΩ0 t2 e−st d t
X (s) = e−3s (scos(3Ω0)−Ω0si n(3Ω0))
s2+Ω20
e. x(t ) =
{
si n(πt ), 0 < t < 1
0, caso contrário
X (s) = ∫ 10 e jπt−e− jπtj 2 e−st d t
X (s) = π(1+e−s )(s2+π2)
11
12. Use as propriedades da transformada de Laplace e a tabela de transformadas de La-
place básicas para determinar a transformada de Laplace unilateral de cada um dos
seguintes sinais:
a. x(t ) = t 2e−2t u(t )
b. x(t ) = e−t u(t )si n(3πt )u(t )
c. x(t ) = dd t tu(t )
d. x(t ) = ∫ t0 e−2τcos(3τ)dτ
Resposta:
a. x(t ) = t 2e−2t u(t )
t 2s(t ) ←→ d 2d s2 S
e−2t u(t ) ←→ 1s+2
X (s) = d 2d s2
( 1
s+2
)
X (s) = 2(s+2)3
b. x(t ) = e−t u(t )si n(3πt )u(t )
S1(t )∗S2(t ) ←→ S1(s) ·S2(s)
e−t u(t ) ←→ 1s+1
si n(3πt )u(t ) ←→ 3πs2+9π2
X (s) = 3π(s+1)(s2+9π2)
c. x(t ) = dd t tu(t )
d
d t s(t ) ←→ s · s(s)− s(0+)
tu(t ) ←→ 1s2
X (s) = 1s −0
X (s) = 1s
d. x(t ) = ∫ t0 e−2τcos(3τ)dτ
x(t ) = ∫ t−i n f t y e−2τcos(3τ)u(t )dτ∫ t
−i n f t y s(τ)dτ←→ 1s
∫ 0+
−∞ s(τ)dτ+ S(s)s
X (s) = 1s · s+2(s+2)2+9
13. Use o método das frações parciais para encontrar as seguintes transformadas de La-
place:
a. X (s) = −s−4s2+3s+2
b. X (s) = 2s−1s2+2s+1
c. X (s) = 5s+4s3+3s2+2s
d. X (s) = 3s2+8s+5(s+2)(s2+2s+1)
e. X (s) = −9(s+1)(s2+2s+10)
Resposta:
12
a. X (s) = −s−4s2+3s+2
X (s) = −3s+1 + 2s+2
x(t ) = (−3e−t +2e−2t )u(t )
b. X (s) = 2s−1s2+2s+1
X (s) = 2s+1 + −3(s+1)2
x(t ) = (2e−t −3te−t )u(t )
c. X (s) = 5s+4s3+3s2+2s
X (s) = 2s + 1s+1 + −3s+2
x(t ) = (2+e−t −3e−2t )u(t )
d. X (s) = 3s2+8s+5(s+2)(s2+2s+1)
X (s) = 1s+2 + 2s+1 + 0(s+1)2
x(t ) = (e−2t +2e−t )u(t )
e. X (s) = −9(s+1)(s2+2s+10)
X (s) = −1s+1 + s+1(s+1)2+32
x(t ) = (−e−t +e−t cos(3t ))u(t )
14. Use o método das frações parciais para determinar a Transformada Inversa de Fourier
dos seguintes sinais:
a. X (e jΩ) = 3−
1
4 e
− jΩ
− 116 e− j 2Ω+1
b. X (e jΩ) = 3−
5
4 e
− jΩ
1
8 e
− j 2Ω− 34 e− jΩ+1
c. X (e jΩ) = 6
e− j 2Ω−5e− jΩ+6
Resposta:
a. X (e jΩ) = 3−
1
4 e
− jΩ
− 116 e− j 2Ω+1
X (e jΩ) = 1
1− 14 e− jΩ
+ 2
1+ 14 e− jΩ
x[n] =
((1
4
)n +2(−14 )n)u[n]
b. X (e jΩ) = 3−
5
4 e
− jΩ
1
8 e
− j 2Ω− 34 e− jΩ+1
X (e jΩ) = 2
1− 14 e− jΩ
+ 1
1− 12 e− jΩ
x[n] =
(
2
(1
4
)n + (12 )n)u[n]
c. X (e jΩ) = 6
e− j 2Ω−5e− jΩ+6
X (e jΩ) = −6
e− jΩ−2 + 6e− jΩ−3
X (e jΩ) = 3
1− 12 e− jΩ
− 2
1− 13 e− jΩ
x[n] =
(
3
(1
2
)n −2(13 )n)u[n]
13
15. (Computacional - aceito em Matlab, Scilab, Octave ou Python) Para um sinal de tempo
discreto x[n] definido como:
x[n] =
{
e−(0.1n)
2/2, |n| ≤ 50
0, caso contrário
Use os comandos do MATLAB fft e fftshift para numericamente avaliar e plotar a Trans-
formada Discreta de Fourier de x[n] e os seguintes sinais subamostrados em 500 valores
deΩ no intervalo −π≤Ω<π.
a. y[n] = x[2n]
b. y[n] = x[4n]
16. (Computacional - aceito em Matlab, Scilab, Octave ou Python) Suponha que o sinal de
tempo discreto
x[n] = e−n/15si n
(
2π
13
n + π
8
)
, 0 ≤ n ≤ 59
resulte da amostragem de um sinal de tempo contínuo a uma taxa de 45 kHz. Plote o
sinal de tempo discreto resultante da amostragem do sinal de tempo contínuo subja-
cente em 30 kHz. (Dica: use o comando do MATLAB resample para efetuar a reamos-
tragem).
14