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Introdução
Prezado(a) estudante, é com entusiasmo que o(a) convido para a leitura desse material. Durante
nosso estudo, discutiremos, dentro do escopo de sinais e sistemas , as ferramentas
matemáticas da convolução , um assunto com forte ênfase em modelos matemáticos e
SINAIS E SISTEMASSINAIS E SISTEMAS
CONVOLUÇÃO E TRANSFORMADA DECONVOLUÇÃO E TRANSFORMADA DE
LAPLACELAPLACE
Au to r ( a ) : E s p . C l óv i s Tr i s t ã o
R ev i s o r : G i a n c a r l o M i c h e l i n o G a e t a L o p e s
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analíticos . Faz-se necessário um estudo introdutório que compreenda as ferramentas de
modelagem e de análise dos sistemas lineares contínuos e discretos , passando pelos
teoremas da transformada de Laplace e suas aplicações. Os sistemas lineares também
envolvem projetos e processamentos. O objetivo deste estudo, portanto, é o de fundamentar o
estudante que lidará, ao longo de sua vida acadêmica e pro�ssional, com a disciplina de
Sistemas e Sinais, em diversas áreas do conhecimento, tais como processamento de sinais,
robótica, circuitos elétricos, sistemas de comunicação, sistemas de controle etc. Bons estudos
a todos. Iniciaremos o estudo teórico sobre convolução, e seguiremos com os teoremas da
 transformada de Laplace.
Nos estudos sobre sinais e sistemas, elencamos um conjunto de ferramentas matemáticas ,
necessárias para a resolução da análise dos sinais capturados e processados pelos sistemas
lineares. Para tanto, a convolução é uma ferramenta matemática utilizada para o cálculo da
saída de um sistema linear e invariante no tempo (SLIT). A saída de um SLIT pode ser calculada
através da convolução entre a entrada e a resposta do sistema ao impulso unitário.
Segundo Lathi (2006), para a análise de sinais e sistemas, essas propriedades são de extrema
importância, pois representam os processos no campo físico , que podem ser modelados com
(SLIT). Este sistema pode ser analisado de forma detalhada , de forma a facilitar o
entendimento, pois possui diversas ferramentas matemáticas que auxiliam sua análise .
Segundo Sovierzoski (2010), podemos aplicar as operações de convolução em diversas
situações, da matemática à engenharia, dispondo de formas analíticas diversas para solucionar
um problema.
Convolução e suas
propriedades
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Sinais de impulso unitário, tanto de tempo discreto, quanto de tempo contínuo,
podem ser representados por combinações lineares. Juntamente com as
propriedades de superposição e invariância no tempo, permitem o desenvolvimento
de um completo sistema de análise SLIT. Essa representação, chamamos de
convolução, que nos fornece um extenso ferramental analítico, para solução de um
problema. Convolução, nada mais é que a soma de duas funções, que se transforma
em uma terceira, que calcula o produto dessas duas funções ao longo do tempo
(OPPENHEIM; WILLSKY; NAWAB, 2010, p. 47).
Para esse estudo analítico, lançamos mão de ferramentas de análise no campo dos sistemas
lineares diferenciais, para os quais a entrada de e a saída de estão relacionadas. A
convolução trabalha com duas funções, e , para a geração da saída . A função
 é uma resposta a um impulso unitário SLIT, ou seja, um modelo matemático que descreve
as características de um sistema . Conhecendo a resposta de um SLIT para uma entrada
impulso unitário, é possível determinar a saída para qualquer entrada . Na Figura 2.1, a
seguir, temos dois sistemas lineares que representam a ideia da convolução. Vamos analisá-los
para entender melhor:
x(t) y(t)
x(t) h(t) y(t)
h(t)
h(t)
y(t) x(t)
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Vimos que o sistema de convolução de sinais é bem complexo e possui algumas propriedades
necessárias para a resolução de equações diferenciais e integrais, e de seus sistemas lineares.
Na próxima seção, iremos estudar o sistema de equações diferenciais.
Convolução: equações diferenciais e integrais
Segundo Lathi (2006), na equação de tempo contínuo , apresentamos a convolução de x(t) e seu
impulso h(t), em:
, sendo * (asterisco) a representação grá�ca da operação de convolução .
Percebemos a sobreposição da função  de entrada , com a função impulso . Podemos
reescrever a equação da convolução desta forma:
Figura 2.1 - Sistemas de Sinais em Tempo Contínuo e em Tempo Discreto
Fonte: Elaborada pelo autor.
#PraCegoVer : sistemas de Sinais em tempo contínuo e em tempo discreto são apresentados em
duas �guras. Na �gura a) sistema de sinais em tempo contínuo; e na �gura b) sistema de sinais em
tempo discreto temos dois sistemas de sinais, com entrada, processamento e saída. Os sistemas são
nomeados com a letra (a), que representa um sistema contínuo ao longo do tempo (t), com entrada de
dados na função , processamento em e saída em ; e com a letra (b), em que temos um
sistema discreto, que varia os valores ao longo do tempo (n), com entrada na função x(n),
processamento em h(n) e saída em (y).
x(t) h(t) y(t)
y(t) = x(t) ∗ h(t)
x(t) h(t)
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Onde representa a integral da convolução, e   a variável de tempo, para o cálculo da
convolução. A seguir, apresento a Figura 2.2, onde temos a equação , da
convolução no tempo contínuo. Na �gura, podemos perceber a função impulso atuando no
intervalo -1 a 3, com a soma da entrada da função , há um deslocamento do impulso nesse
intervalo. Podemos observar que, abaixo da �gura, há duas colunas, a da esquerda representa o
, sendo a entrada do impulso, deslocando-se discretamente no eixo horizontal-vertical; na
coluna da direita, a saída do impulso em desloca-se discretamente no tempo.
y(t) = x(τ)h(t − τ)dτ∫
−∞
∞
y(t) τ
(t) = x(τ)h(t − τ)vτ
h(t)
x(t)
(t)pn
(t)vn
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Segundo Lathi (2006), o tema da convolução nos remete a dois momentos de captura dos
sinais, referentes ao domínio do tempo:
Convolução no tempo discreto
Um sinal é dito discreto quando há um conjunto de números reais ou complexos , que são
coletados em um certo domínio do tempo . Essa sequência de números, por ser discreto , adota
a regra de , onde n é o índice associado a cada número que foi coletado ao longo do intervalo
de tempo, por exemplo, , sendo , e assim
Figura 2.2 - Representação grá�ca da Equação de Convolução
Fonte: Haykin e Van Veen (2001, p. 103).
#PraCegoVer : na imagem acima, apresentamos grá�cos no plano cartesiano XY, em preto e branco,
que descrevem exemplos de convoluções. Esse conjunto de imagens possui, na primeira linha, um
grá�co no plano cartesiano XY, que representa gra�camente a função impulso que, no seu eixo y,
possui a função impulso h(t), variando de -0,5 a 1,0. Da linha 2 à linha 5, dividimos a folha em duas
colunas: na coluna da direita, temos representações grá�cas da função impulso com pontos
discretos; e na coluna da esquerda, temos grá�cos com a saída desses impulsos convoluídos. Na
coluna 1, linhas 2 a 5, temos representações grá�cas dos impulsos discretos que são plotados no eixo
XY, nos postos (-0,5,-1,0), (0, 0,5), (1,1), (2,1), (3,0,5). Na coluna 2, temos as saídas desses pontos, na
função impulso h(t), deslocando-se no eixo XY, no intervalo de tempo de -1 a 4 no eixo X; a função
desloca-se no intervalo, formando uma onda senoidal.
xn
= {0,1, 2, 3, . . . }xn = 0, = 1x1 x2
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sucessivamente, podendo ser aplicado a , que é a saída e/ou resultado de um sistema linear.
Podemos usar algumas funções para a extração desses números, tais como: função impulso de
Dirac, função degrau unitário,  função trigonométrica e função exponencial .
A seguir, temos um exemplo de uma convolução discreta no tempo, onde dada a função
, onde e é a função unitária e ,
a função é a função impulso.
Dada a equação da convolução no tempo discreto , analisamos a
função , para o intervalo e  temos:
se ,   , temos a representação grá�ca, em função de , da
convolução discreta.
Convolução no tempo contínuo
A convolução contínua é representada por um sistema SLIT , que coleta informações ao longo
do tempo. São utilizadas regras, tais como: se o sistema possui um impulso no tempo , a sua
saída será um impulso no tempo. Caso o sistema receba um deslocamento no tempo, a sua
saída também será o deslocamento no tempo.
Convolução em sinais analógicos e digitais
yn
y(n) = u(n) ∗ u(n − 3) x(k) = u(n) u(n) h(k) = u(n − 3)
h(k)
= x(k) ⋅ h(n − k)xn ∑
k=−∞
∞
y(n) = u(n) ∗ u(n − 3) n = [−4, . . , 4] k = [0, … , 1]
n − 3 < 0 n < 3, y(n) = 0 x(k) h(k)
Figura 2.3 - Convolução discreta no tempo
Fonte: Haykin e Van Veen (2001, p. 153).
#PraCegoVer : a �gura apresenta dois grá�cos sobre convolução discreta, representados por pontos
no eixo y, de 0 a 1, no intervalo de tempo -2 a 4, em x.
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Essa convolução de sinais analógicos exige que o sinal esteja de�nido no mesmo instante de
tempo em que é analisado, exigindo o emprego de algumas funções, para essa extração e
análise, as quais já vimos anteriormente, tais como: função impulso de Dirac, função degrau
unitário, função trigonométrica e função exponencial.
Já a convolução de sinais digitais parte de um processo de �ltragem, com quantização e
eliminação de ruídos,   bem como a multiplicação de valores da entrada pelas constantes, e
realizando somas e produtos até a obtenção dos resultados, além do uso de técnicas
matemáticas para a extração dos dados, como a análise de Fourier, que será apresentada nos
próximos tópicos.
Convolução: propriedades
As operações de convolução possuem propriedades matemáticas de comutatividade,
distributividade e associatividade. Representadas pelas equações:
Essas propriedades representam a convolução de dois sinais contínuos �nitos, que resultarão
em um sinal convoluído . Se os sinais x(t) e y(t) estiverem contidos em um determinado
intervalo, aplicando as operações de re�exão e deslocamento, tem-se o resultado da convolução
de sinais contínuos �nitos dentro do mesmo intervalo .
Convolução: somatório
A convolução para sinais de tempo discretos possuem o mesmo ferramental analítico e
matemático utilizado no tempo contínuo. As variáveis envolvidas no tempo discreto e sua
integral transformam-se em um somatório , conforme a  equação citada em Lathi (2006):
, temos
, sendo k uma constante.
Convolução: grá�ica
Segundo Miyazaki (2018), o entendimento grá�co da convolução auxilia a compreensão e o
entendimento sobre como uma integral de convolução funciona. Tal entendimento se mostra útil
na determinação de sinais mais complexos. Além disso, nos permite visualizar de forma grá�ca
o resultado da integral da convolução.
Como relata Lathi (2006), vários sinais não possuem uma descrição matemática , mas podem
ser descritos gra�camente ; se esses tipos de sinais puderem ser concluídos, aplicamos a
convolução grá�ca.
A partir deste ponto, faz-se necessária uma explicação relativa à operação de convolução:
usando as funções x(t) e h(t), temos y(t), que é a convolução de x(t) e h(t). Segundo Lathi (2006),
y[n] = x[n] ∗ h[n]
y[N ] = x[n]h[n − k]∑
k=−∞
∞
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temos a equação:
, sendo a variável de integração.
A representação grá�ca da de�nição da convolução é dada pela da Figura 2.4, a seguir:
Note que, em , é uma reversão do grá�co da Figura 2.4b, representada no resultado da
convolução de e , representado gra�camente na Figura 2.4c, com a saída em
cinza.
Como pudemos perceber, precisamos determinar a área sob o produto das funções x(t) e h(t),
para todos os valores de (t) no intervalo -∞ a ∞.
Assim, podemos resumir o procedimento da convolução grá�ca da seguinte forma:
y(t) = x(τ)h(t − τ)dτ∫
−∞
∞
τ
Figura 2.4 - Representação da integral da Convolução
Fonte: Lathi (2006, p.170).
#PraCegoVer : na �gura, há três grá�cos; da esquerda para a direita, na primeira linha, temos o grá�co
(a), que representa a função x(t), como um grá�co contínuo, com um degrau no ponto (-1,1). Na
primeira linha, ao lado do grá�co (a), temos o grá�co (b), que representa a função impulso h(t), que
sofre uma queda no ponto (-2,2), em linha contínua de semiparábola, tendendo a zero(0) no eixo x e y.
Na segunda linha, temos a sobreposição do grá�co (a) e (b), que representa a convolução grá�ca das
funções, o grá�co (a) permanece o mesmo, mas o grá�co (b) sofre uma inversão em seu eixo y e um
deslocamento, iniciando o impulso no ponto (2,2), com a semiparábola tendendo a zero em -x e y.
h(−t)
x(t) h(t) y(t)
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1. mantenha a função x(t) �xa;
2. visualize a função h(t) e espelhamento no eixo vertical, quando t=0, para termos h(-t);
3. a área abaixo do produto de x(t) com h(t) é o resultado da integral da convolução, sendo
a intersecção das funções x(t) e h(t);
4. repita esse procedimento, deslocando a �gura, conforme os valores positivos e
negativos, em (t).
Esse procedimento foi apresentado na Figura 2.4.
En�m, a resposta para sistemas lineares é dada pela operação da convolução, na qual um valor
é �xado e o outro é invertido e deslocado. Onde a função impulso h(t) é revertida, e a função x(t)
é deslocada no eixo horizontal, há uma forma de visualizar uma operação de convolução,
interpretando gra�camente a integral de convolução, a �m de compreender visualmente e
mentalmente os resultados de saída da integral.
Esse procedimento pode ser usado em conjunto com a propriedade comutativa, apresentada na
seção anterior. Via de regra, o cálculo da convolução é simpli�cado, caso seja escolhida a
reversão da função mais simples, sendo possível fazer a resolução de , ou
; note que este símbolo (*) não é o sinal da multiplicação, e sim a representação da
convolução de duas funções.
h(t) ∗ x(t)
x(t) ∗ h(t)
Como podemos veri�car, a resolução de um exemplo com a representação grá�ca da
convolução é dada equação:
, esta é a primeira função x(t), que representa uma das equações do sistema
linear;
, esta é a segunda função e representa a função impulso h(t).
S A I B A M A I S
Prezado(a) estudante, podemos usar um software de computação cientí�ca para a resolução das
convoluções grá�cas, como o Wolfram Alpha, que possui um conjunto de bibliotecas. Para saber mais
sobre o assunto, acesse o link a seguir.
https://www.wolframalpha.com/input/?i=convolution+of+two+functions
(x + 2) cos(π)x2
xsin(π) + e−|xπ|
https://www.wolframalpha.com/input/?i=convolution+of+two+functions
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Equações da convolução: sendo , temos o resultado da convolução das duas
funções.
Temos o resultado , com a seguinte representação grá�ca, no
intervalo de -12 a 12.
Segundo Zill e Cullen (2009), sabemos que a convolução é a relação de duas funções,
resultando em uma terceira função (convolução),que atua em tempo discreto e contínuo.
x(t) ∗ h(t)
y(t) = −
2( +2 +6y+4)π2y3 π2y2
π3
Figura 2.5 - Representação grá�ca da convolução de duas funções
Fonte: Elaborada pelo autor.
#PraCegoVer : no grá�co, temos a representação grá�ca da convolução, no intervalo -12 a 12 no eixo
x, variando a amplitude do impulso de -1000 a 1000 em y.
SAIBA MAIS
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No próximo tópico, iremos estudar a transformada de Laplace, um ferramental analítico que vem
para auxiliar a resolução de sistemas lineares.
Conhecimento
Teste seus Conhecimentos
(Atividade não pontuada)
Sabemos que a convolução pode ser representada tanto analiticamente quanto gra�camente.
O uso de ferramental algébrico e analítico, em alguns casos, torna-se custoso, e recorrer ao
método de resolução grá�ca, lançando mão de recursos, tais como a integral da convolução, o
método analítico, que se baseia na análise do comportamento da função, que são projetadas
no plano cartesiano, pode ser aplicado para uma possível solução no campo grá�co.
LATHI, B. P. Sinais e Sistemas Lineares . Porto Alegre: Bookman, 2006.
Assinale a alternativa correta, que descreve o que acontece quando as funções convoluem no
plano cartesiano.
a) Soma de funções.
b) Divisão de funções.
c) Produto de funções.
d) Subtração de funções.
e) Exponenciação de funções.
Neste vídeo, podemos entender a interpretação grá�ca de uma
operação de convolução, em um sistema linear. A interpretação
dada apresenta, de forma didática, a utilização das
propriedades da convolução, e para elucidar essa questão, o
autor traz um exemplo bem simples e de fácil entendimento.
A S S I S T I R
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Segundo Oppenheim, Willsky e Nawab (2010), a transformada de Laplace é uma ferramenta de
análise da disciplina de Sistemas e Sinais, sendo útil ao estudo de problemas relacionados a
sistemas lineares invariantes no tempo . Isso se deve ao fato de que sinais podem ser
representados como combinações lineares de funções em sistemas SLIT.
A transformada de Laplace, quando aplicada, transforma a variável de tempo (t) em uma
variável que atua no domínio da frequência (s), sendo necessária essa conversão para que
possamos realizar os cálculos e as análises. De uma forma geral, um grá�co no domínio do
tempo apresenta um sinal que varia ao longo do tempo; já um grá�co no domínio da frequência,
apresenta o quanto do sinal está na faixa de frequência.
Laplace possui uma propriedade que estuda o comportamento do sistema para diferentes
funções de entrada; a esse estudo temos uma função associada, que é a função de
transferência, sendo a representação matemática da entrada e da saída de um sistema físico. A
função de transferência é a representação matemática da relação entre a entrada e a saída de
um sistema físico. Normalmente, é empregada na análise de circuitos analógicos de entrada
única e saída única.
A transformada inversa de Laplace é a função que representa o oposto da função x(t). A inversa
de , indicação e apresentação da transformada inversa de Laplace, por exemplo, a
transformada de Laplace da função: Octave.
Os dois assuntos, transformada de Laplace e convolução, são abordados neste material, pois a
convolução trata da análise das funções e da sobreposição de funções e grá�cos enquanto se
desloca no tempo. Uma forma de analisar isso é utilizando ferramentas da transformada de
A transformada de
Laplace
x(tz)−1
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Laplace, que traz um sistema de equação  diferencial e integral para a resolução em equações
polinomiais que, em tese, são mais fáceis de serem resolvidas.
A transformada é utilizada como um arsenal matemático para a resolução de inúmeros casos,
diminuindo a complexidade do problema em seu processo de análise e resolução do sistema,
resultando em um novo sistema com características especí�cas, criadas na utilização da
transformada.
A transformada de Laplace tem diversas propriedades e um ferramental analítico. Oferecendo
ferramentas e conhecimentos para a análise de sinais e sistemas. As transformadas podem ser
utilizadas em sistemas lineares , desempenhando um papel extremamente importante na
análise de sistemas estáveis e instáveis , levando a um conjunto de elementos matemáticos
que nos auxiliam na resolução de sistemas.
Com isso, temos que a transformada de Laplace de um sinal qualquer em x(t), é:
Em termos históricos, a transformada de Laplace foi pensada
e elaborada por um matemático francês chamado Pierre
Simon Laplace, que viveu de 1749 a 1827. Ele se utilizou de
um trabalho sobre a teoria das probabilidades para o
desenvolvimento da transformada de Laplace, cuja aplicação
era exclusivamente na área da engenharia e foi, a princípio,
usada na Segunda Guerra Mundial para cálculos de guerra.
Entretanto, mais tarde no século XX, foi estendida a outras
áreas do conhecimento, e veio substituir algumas técnicas
de cálculo antigas (TONIDANDEL; ARAÚJO, 2012).
x(s) = x(t) dt∫
−∞
∞
est
SAIBA MAIS
Neste vídeo, você terá uma introdução sobre a transformada de
Laplace, suas de�nições, propriedades e aplicações. O autor
apresenta de forma didática as equações envolvidas na
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Como vimos, a transformada de Laplace tem uma relação direta com outras ferramentas de
análise matemática, e suas descobertas trouxeram contribuições para o mundo das ciências
exatas e engenharias. Pode ser usada para a análise de sistemas lineares invariantes no tempo,
tais como: circuitos elétricos, dispositivos óticos, sistemas mecânicos, análise de imagens.
Essas aplicações, inclusive, podem ser interpretadas do domínio do tempo para o domínio da
frequência, tendo como vantagem a resolução de equações diferenciais e integrais.
No próximo tópico, veremos como são as propriedades da transformada de Laplace e o uso de
cada uma delas em equações diferenciais. Agora, convido você a realizar uma atividade para
praticar seus conhecimentos. Vamos lá?
transformada, alguns exemplos e a interação da transformada
de Laplace com outras ferramentas de análise matemática,
apresentando uma notação teórica e grá�ca, com exemplos ao
longo do vídeo.
Para assistir ao vídeo, acesse o link a seguir.
A S S I S T I R
REFLITA
Sabemos que o produto de duas funções, através da
transformada de Laplace, não é o mesmo que o produto de
duas funções, mas que existe uma operação entre funções que,
sofrendo a transformada de Laplace, gera uma terceira função
de saída, que chamamos de convolução. Essa função de
convolução é um importante instrumento matemático para a
resolução de equações diferenciais e integrais.
Qual a relação da transformada de Laplace com o sistema de
convolução, como eles se completam?
Fonte: Oppenheim, Willsky e Nawab (2010, p. 391).
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Conhecimento
Teste seus Conhecimentos
(Atividade não pontuada)
Vimos que a transformada de Laplace consiste em ferramentas de análise de sistemas e sinais,
que são úteis para o estudo dos problemas relacionados a sistemas lineares invariantes no
tempo. Isso se deve ao fato de que sinais podem ser representados como combinações
lineares de funções em sistemas SLIT.
Calcule, pela de�nição de Laplace, a equação: . Assinale a alternativa, a seguir, que
representa o resultado correto.
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
L[t ](s)eat
1
(s−a)2
t te2a
2 ∗ teat
2 ∗ te
at
∫ x2te
at
Transformada de
Laplace: propriedades e
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Prezado(a) estudante, nesse tópico iremos entender as propriedades envolvidas na
transformada de Laplace para a resolução de sistemas lineares. Também teremos contato com
uma tabela de funções, que nos auxilia na resolução das equações de forma mais rápida, sendo
um importante recurso.
A seguir, citaremos as principais propriedades , e um descritivo de cada uma, ao �nal,
apresentaremos uma tabela com todas as propriedades e regras de como utilizá-las.
Homogeneidade: , sendo a transformada de Laplace.
Aditividade: .
Linearidade: usando as propriedades de homogeneidade e aditividade, temos
.
Sinal transladado ou time shifting .
Sinal multiplicado por exponencial .
Derivadas.
Integral.
Mudança de escala do tempo.
Sinal multiplicado por t.
Sinal multiplicado por 1/t.
Segundo Oppenheim, Willsky e NawabSegundo Oppenheim, Willsky e Nawab
(2010), a transformada de Laplace(2010), a transformada de Laplace
conta com um conta com um conjunto deconjunto de
propriedades propriedades que auxilia na resoluçãoque auxilia na resolução
de sistemas lineares. de sistemas lineares. 
L[kx(t)] = kL[x(t)] L
L[ (t) + (t)] = L[ (t)] + L[ (t)]x1 x2 x1 X2
L[a (t) + β (t)] = aL[ (t)] + Lβ[ (t)]x1 x2 x1 X2
tea
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Convolução.
Para termos uma ideia de como funcionam as propriedades, apresentamos a Tabela 2.1, a
seguir, com todo o ferramental matemático necessário, que resume as propriedades da
transformada de Laplace.
Essa tabela apresenta funções e suas propriedades, que são exempli�cadas. Através dela,
podemos obter algumas transformadas de Laplace de forma mais efetiva, ao invés de usar a
de�nição diretamente, usando deduções e suposições .
Como vimos, a transformada de Laplace tem como entrada os números reais, mas pode
convergir para outros conjuntos numéricos; como descrito na coluna RDC (região de
convergência) não negativos, as entradas (coluna Sinal), todas no domínio do tempo, envolvem
um pequeno atraso, sendo considerado um sistema causal. Sistema causal é um sistema onde
a resposta a um impulso é zero no instante t=0.
Sinal - f (t) Transformada de Laplace - F (s)
Tabela 2.1 - Propriedades da transformada de Laplace
Fonte: Oppenheim, Willsky e Nawab (2010, p. 412).
#PraCegoVer : #PraCegoVer: na tabela, temos linhas e colunas que representam algumas
 propriedades da transformada de Laplace. Temos duas colunas e seis linhas e cada linha representa
uma propriedade da transformada de Laplace. As colunas são nomeadas como coluna 1:  Sinal -- f(t) e
coluna 2: Transformada de Laplace -- F(s). Na linha 1, coluna 1, temos o número 1, que representa a
primeira regra da transformada de Laplace, que é a função f(1); na linha 1, coluna 2, temos a
transformada de Laplace de f(1), que é 1 dividido por s. Na linha 2, coluna 1, temos a letra t, que
representa a primeira regra da transformada de Laplace, que é a função f(t); na linha 2, coluna 2,
temos a transformada de Laplace de f(t), que é 1 dividido por s ao quadrado. Na linha 3, coluna 1,
temos a regra eat, que é a função ; na linha 3, coluna 2, temos a transformada de Laplace de
, que é 1 dividido por s menos a. Na linha 4, coluna 1, temos a regra tn, que é a função ;
na linha 4, coluna 2, temos a transformada de Laplace de , que é n vezes fatorial dividido por s
1 1
s
t 1
s2
eat 1s−a
tn n!
sn+1
ta
Γ(a+1)
sa+1
f( t)ea
f( t)ea f( )tn
f( )tn
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elevado a n mais 1. Na linha 5, coluna 1, temos a regra ta, que é a função ; na linha 4, coluna 2,
temos a transformada de Laplace de , que é vezes abre parênteses a mais 1 fecha parênteses,
dividido por s elevado a mais um.
A tabela é de grande auxílio em uma consulta rápida no momento de uma resolução algébrica e
de uma análise na resolução de um sistema linear. Isso não exime o uso de um ferramental
computacional para a resolução de sistemas lineares mais complexos.
O uso da tabela na resolução de uma equação torna o processo bem fácil e rápida. Abaixo,
apresentamos um exemplo:
Sendo a equação , qual sua ?
Aplicando a regra da tabela, temos que pode ser escrito em Laplace .
Suponha que , aplicando a regra acima, temos .
Como vimos, a transformada de Laplace possui um conjunto de regras e propriedades que
podemos aplicar na análise do sistema linear. Na próxima seção, vamos apresentar as
principais aplicações em que usamos a transformada.
atividade
Atividade
Analise a Tabela 2.1 e veja a propriedade da linearidade. Ela representa a junção da aditividade
e da homogeneidade. Um sistema linear é dito linear quando obedece a essa regra. Teríamos
alguma explicação plausível para ele ter que respeitar essa regra.
Qual a sua explicação sobre essa a�rmativa?
f( )ta
f( )ta Γ
f(t) = tn F(s) =
Tn F(s)  = n!
sn+1
f(t) = t3 F(s) ⇔3!
s3+1
6
s4
F E E D B A C K
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As equações diferenciais são funções que se utilizam da derivada e integral . Temos uma gama
de problemas em que as equações diferenciais estão presentes, tais como, a movimentação
dos �uidos na engenharia mecânica, na química e suas reações, na área de circuitos elétricos,
na propagação de onda, nos abalos sísmicos, na bolsa de valores, na computação, en�m, em
diversos nichos de conhecimento encontramos aplicações para os modelos matemáticos que
envolvem equações diferenciais, e suas ferramentas de apoio a soluções, como as
transformadas de Laplace, Fourier e transformada Z.
No século XVIII, no auge do desenvolvimento da ciência, surgiram as equações , juntamente
com o desenvolvimento da física e da matemática . Naquela época, buscar ferramentas para a
solução de equações diferenciais foi um desa�o para matemáticos e cientistas, e Laplace foi
um matemático precursor nesse caminho.
Segundo Miyazaki (2018), métodos de resolução podem ser analíticos, computacionais ou
numéricos. A transformada de Laplace é um método analítico que se tornou uma importante
ferramenta na solução de equações diferenciais e lineares.
Transformada de
Laplace: aplicação
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Vimos, nesta seção, as aplicações que envolvem a transformada de Laplace e seu uso no dia a
dia, para a resolução dos sistemas, em diversas áreas da engenharia.
atividade
#PraCegoVer : o infográ�co apresenta três quadrados interligados por uma corda. O primeiro
quadrado apresenta a numeração “1” e, em seguida, está escrito “Transformada de Laplace:
transforma equações diferenciais em modelos possíveis de serem calculados, a �m de encontrar uma
solução por meio de integrais e derivadas”. O segundo quadrado apresenta a numeração “2” e, em
seguida, está escrito “Aplicações: a transformada de Laplace está presente em diversas áreas do
conhecimento. O seu ferramental analítico está embutido em diversas aplicações, tanto em análises
analíticas quanto em software computacionais, por exemplo: sensoriamento remoto, sistemas de
controle etc. A teoria de Laplace está embutida na maioria das análises de sinais dos sistemas
apresentados na imagem”. O terceiro quadrado apresenta a numeração “3” e, em seguida, está escrito
“Computação cientí�ca: software utilizados para a resolução e a análise de sistemas por meio de
ferramentas matemáticas. O seu uso se dá em diversas áreas da indústria, da engenharia, da
computação, do processamento de imagens e da medicina”.
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Atividade
Existem ferramentas computacionais que trabalham na resolução de equações diferenciais e
sistemas lineares, como as séries de Fourier, transformada de Laplace, convolução. Faça a
instalação e a con�guração do software Octave, usado na computação cientí�ca, com o Tutorial
sobre o Octave, que tem ampla documentação na internet, dessa forma, você poderá realizar
testes com os comandos do software cientí�co. Utilizando a plataforma on-line Wolfram Alpha,
por sinal, bem completa e didática, que traz, além da resolução, como seria a representação
grá�ca da equação, convido-o, estudante, a praticar alguns exemplos relacionados à
transformada de Laplace e a equações, tais como: .( ), ( sen(y))Lx x3 Lx ex
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Material
Complementar
L I V R O
Sinais e Sistemas
Editora : Pearson Prentice Hall
Autores : Alan V. Oppenheim, Alan S. Willsky e S. Hamid Nawab
ISBN : 978-85-4301-380-0
Comentário : Este livro traz para os estudantes de engenharia e amantes
do tema um conjunto rico de informações sobre a disciplina de Sinais e
Sistemas, tendo em mente que o compêndio foi estruturado para
desenvolver, em paralelo, os métodos de análise para sinais e sistemas
de tempo contínuo e de tempo discreto. Sendo uma obra estruturada, de
forma pedagógica, com o intuito de aguçar o estudante a explorar o
assunto com profundidade.
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W E B
Chaos
Ano : 2018
Comentário : Como disse Laplace, seria necessária uma inteligência
in�nita... e o determinismo cientí�co já parece mostrar seus limites
quando se coloca a questão da estabilidade do movimento dos planetas.
Se a questão é saber onde a Terra estará precisamente em um bilhão de
anos, parece realmente inacessível (e pode não ser tão interessante
assim...). Ela corre o risco de um dia ser ejetada do Sistema Solar? O
propósito do �lme é dar uma visão da teoria de Laplace, expressa pela
teoria do Chaos. Ele foi totalmente baseado na teoria de Laplace e em
outros matemáticos e físicos renomados.
ACESSAR
https://www.youtube.com/watch?v=q8yTCLoi6HU&list=PLw2BeOjATqruiCZzsvF0TTzN7oH6fqsdi&t=9s
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Conclusão
Prezado(a) estudante, chegamos ao �m do nosso estudo. Durante nossa leitura, pudemos entender
como funcionam os sistemas lineares , usando a convolução para a análise de sinais no tempo
contínuo e discreto .
Estudamos algumas ferramentas necessárias para tal análise e quais os sistemas indicados , bem
como suas propriedades , para cada caso. Além da convolução, lançamos mão de outra ferramenta de
análise de sinais, as transformadas de Laplace . Vimos que elas resolvem problemas que variam
conforme o tempo , e que possuem tabelas com regras e propriedades de uso, em  diversas
aplicações, principalmente na engenharia.
Referências
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Publicado pelo canal Jos Ley. Disponível em:
https://www.youtube.com/watch?
v=q8yTCLoi6HU&list=PLw2BeOjATqruiCZzsvF0TTzN7oH6fqsdi&t=9
. Acesso em: 27 maio 2021.
CONVOLUÇÃO: Interpretação Grá�ca (ELT007, ELT060, ELT088). [ S. l.: s. n. ], 2017. 1 vídeo (16m15s).
Publicado pelo canal Luis Antonio Aguirre. Disponível em: https://www.youtube.com/watch?
v=NuUO_XiaNxs . Acesso em: 27 maio 2021.
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https://www.wolframalpha.com/input/?i=convolution+of+two+functions . Acesso em: 27 maio 2021.
GRINGS - Transformada de Laplace Aula 1. [ S. l.: s. n. ], 2013. 1 vídeo (33m09s). Publicado pelo canal
omatematico.com. Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=iCcYh7U5jvs . Acesso em: 27
maio 2021.
HAYKIN, S. S.; VAN VEEN, B. Sinais e Sistemas . Porto Alegre: Bookman, 2001. (Biblioteca Ânima).
LATHI, B. P. Sinais e Sistemas Lineares . Porto Alegre: Bookman, 2006. (Biblioteca Ânima).
https://www.youtube.com/watch?v=q8yTCLoi6HU&list=PLw2BeOjATqruiCZzsvF0TTzN7oH6fqsdi&t=9s
https://www.youtube.com/watch?v=q8yTCLoi6HU&list=PLw2BeOjATqruiCZzsvF0TTzN7oH6fqsdi&t=9s
https://www.youtube.com/watch?v=NuUO_XiaNxs
https://www.youtube.com/watch?v=NuUO_XiaNxs
https://www.wolframalpha.com/input/?i=convolution+of+two+functions
https://www.youtube.com/watch?v=iCcYh7U5jvs
23/09/2023, 12:33 E-book
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=wR85%2bYmnkCR74AKsl7dyAA%3d%3d&l=7ZbpMC70dw5lmMG6po4moQ%3d%3d&cd… 27/27
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ZILL, D. G.; CULLEN, M. R. Matemática avançada para engenharia . 3. ed. Porto Alegre: Bookman,
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http://www.tcc.sc.usp.br/tce/disponiveis/18/180500/tce-22022018-121624/?&lang=b
http://ilhadigital.florianopolis.ifsc.edu.br/index.php/ilhadigital/article/download/24/24
https://doi.org/10.1590/S1806-11172012000200016
https://doi.org/10.1590/S1806-11172012000200016