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UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA, FACULDADE GAMA Sinais e Sistemas - Lista 1 Gabarito 4 de outubro de 2015 1. Considere o sinal x(t ) mostrado na figura abaixo. O sinal é zero fora do intervalo −2< t < 2. a) O gráfico a seguir representa o sinal y1(t ). Determine uma expressão para y1(t ) em função de x(t ). Resposta: 1 y1(t )= x(2t +2) b) O gráfico a seguir representa o sinal y2(t ). Determine uma expressão para y2(t ) em função de x. Resposta: y2(t )= x(1− t ) c) Considere y3(t )= x(2t +3). Determine todos os valores de t para os quais y3(t )= 1. Resposta: x(t )= 1 no intervalo 0≤ t < 2. Portanto, y3(t )= 1 se 0≤ 2t +3< 2, logo: −3 2 ≤ t <−1 2 d) Considere que x(t ) possa ser escrita como a soma de um sinal par, xp (t ), e um sinal ímpar, xi (t ). Encontre os valores de t para os quais xp (t )= 0. Resposta: x(t )= xp (t )+xi (t ) → x(−t )= xp (−t )+xi (−t ) Pela definição de funções pares e ímpares: x(−t )= xp (−t )+xi (−t ) → x(−t )= xp (t )−xi (t ) Isolando o termo xp (t ) em ambas as equações: xp (t )= 1 2 (x(t )+x(−t )) Essa função pode ser plotada como: 2 Pelo gráfico é fácil ver que xp (t ) = 0 se |t | > 2 ou |t | = 1. Pela definição, x(t ) = 0 para t =±2. Logo, |t | ≥ 2 ou |t | = 1. 2. Avalie os sistemas abaixo com relação a linearidade e causalidade: a) y(t )= x(t −2)+x(2− t ) Resposta: * Linearidade: é linear. x1(t ) → y1(t )= x1(t −2)+x1(2− t ) x2(t ) → y2(t )= x2(t −2)+x2(2− t ) x3(t )=αx1(t )+βx2(t ) → y3(t )= x3(t −2)+x3(2− t ) y3(t )=αx1(t −2)+βx2(t −2)+αx1(2− t )+βx2(2− t ) y3(t )=α(x1(t −2)+x1(2− t ))+β(x2(t −2)+x2(2− t ))=αy1(t )+βy2(t ) * Causalidade: não é causal. Para t = 0, y(0)= x(−2)+ x(2). Ou seja, ele utiliza amostras futuras. Portanto, não é causal. b) y(t )= [cos(3t )]x2(t ) Resposta: * Linearidade: não é linear x1(t ) → y1(t )= [cos(3t )]x21(t ) x2(t ) → y2(t )= [cos(3t )]x22(t ) x3(t )=αx1(t )+βx2(t ) → y3(t )= [cos(3t )]x23(t ) y3(t )= [cos(3t )](αx1(t )+βx2(t ))2) y3(t )= [cos(3t )][(αx1(t ))2+2αβx1(t )x2(t )+ (βx2(t ))2] y3(t )=α2y1(t )+β2y2(t )+2[cos(3t )]αβx1(t )x2(t ) * Causalidade: é causal. c) y(t )= ∫ 2t−∞ x(τ)dτ Resposta: 3 * Linearidade: x1(t ) → y1(t )= ∫ 2t −∞ x1(τ)dτ x2(t ) → y2(t )= ∫ 2t −∞ x2(τ)dτ x3(t )=αx1(t )+βx2(t ) → y3(t )= ∫ 2t −∞ x3(τ)dτ y3(t )= ∫ 2t −∞αx1(τ)+βx2(τ)dτ y3(t )=α ∫ 2t −∞ x1(τ)dτ+β ∫ 2t −∞ x2(τ)dτ y3(t )=αy1(t )+βy2(t ) * Causalidade: Para t = 12 , y( 12 )= ∫ 1 −∞ x(τ)dτ. Ou seja, ele utiliza amostras futuras. Portanto, não é causal. d) y(t )= { 0 , t < 0 x(t )+x(t −2) , t ≥ 0 Resposta: * Linearidade: é linear. Primeira parte: y(t )= 0 → é linear Segunda parte: y(t )= x(t )+x(t −2) x1(t ) → y1(t )= x1(t )+x1(t −2) x2(t ) → y2(t )= x2(t )+x2(t −2) x3(t )=αx1(t )+βx2(t ) → y3(t )= x3(t )+x3(t −2) y3(t )=αx1(t )+βx2(t )+αx1(t −2)+βx2(t −2) y3(t )=α(x1(t )+x1(t −2))+β(x2(t )+x2(t −2))=αy1(t )+βy2(t ) * Causalidade: é causal. e) y[n]= x[−n] Resposta: * Linearidade: x1[n] → y1[n]= x1[−n] x2[n] → y2[n]= x2[−n] x3[n]=αx1[n]+βx2[n] → y3[n]= x3[−n] y3[n]=αx1[−n]+βx2[−n]=αy1[n]+βy2[n] * Causalidade: não é causal. Para n =−1, y[−1]= x[1]. Ou seja, ele utiliza amostras futuras. Portanto, não é causal. f) y[n]= x[n−2]−2x[n−8] Resposta: 4 * Linearidade: é linear. x1[n] → y1[n]= x1[n−2]−2x1[n−8] x2[n] → y2[n]= x2[n−2]−2x2[n−8] x3[n]=αx1[n]+βx2[n] → y3[n]= x3[n−2]−2x3[n−8] y3[n]=αx1[n−2]+βx2[n−2]−2αx1[n−8]−2βx2[n−8] y3[n]=α(x1[n−2]−2x1[n−8])+β(x2[n−2]−2x2[n−8])=αy1[n]+βy2[n] * Causalidade: é causal. g) y[n]= n2x[n] Resposta: * Linearidade: é linear. x1[n] → y1[n]= n2x1[n] x2[n] → y2[n]= n2x2[n] x3[n]=αx1[n]+βx2[n] → y3[n]= n2x3[n] y3[n]= n2(αx1[n]+βx2[n]) y3[n]=αn2x1[n]+βn2x2[n]=αy1[n]+βy2[n] * Causalidade:é causal. h) y[n]= x[n] , n ≥ 1 0 , n = 0 x[n+1] , n ≤−1 Resposta: * Linearidade: é linear. Primeira parte: y[n]= x[n]. x1[n] → y1[n]= x1[n] x2[n] → y2[n]= x2[n] x3[n]=αx1[n]+βx2[n] → y3[n]= x3[n] y3[n]=αx1[n]+βx2[n]=αy1[n]+βy2[n] Segunda parte: y[n]= 0 → é linear. Terceira parte: y[n]= x[n+1]. x1[n] → y1[n]= x1[n+1] x2[n] → y2[n]= x2[n+1] x3[n]=αx1[n]+βx2[n] → y3[n]= x3[n+1] y3[n]=αx1[n+1]+βx2[n+1]=αy1[n]+βy2[n] * Causalidade: não é causal. Para n =−1, y[−1]= x[0]. Ou seja, ele utiliza amostras futuras. Portanto, não é causal. 5 i) y(t )= x(t/3) Resposta: * Linearidade: é linear. x1(t ) → y1(t )= x1(t/3) x2(t ) → y2(t )= x2(t/3) x3(t )=αx1(t )+βx2(t ) → y3(t )= x3(t/3) y3(t )=αx1(t/3)+βx2(t/3)=αy1(t )+βy2(t ) * Causalidade: Para t = −1, y(−1) = x(−13 ). Ou seja, ele utiliza amostras futuras. Portanto, não é causal. j) y[n]= x[4n+1]+n Resposta: * Linearidade: não é linear. x1[n] → y1[n]= x1[4n+1]+n x2[n] → y2[n]= x2[4n+1]+n x3[n]=αx1[n]+βx2[n] → y3[n]= x3[4n+1]+n y3[n]=αx1[4n+1]+βx2[4n+1]+n =αx1[4n+1]+ y2[n] * Causalidade: não é causal. 3. Considere um sistema LIT cuja resposta ao sinal de entrada x1(t ) seja o sinal y1(t ), mostrados na figura. Determine e esboce a resposta do sistema às entradas: a) x2(t ) Resposta: Escrever x2(t ) em função de x1(t ) e usar a propriedade de linearidade para en- contrar a saída: x2(t )= x1(t )−x1(t −2) Portanto, y2(t )= y1(t )− y1(t −2) 6 b) x3(t ) Resposta: Escrever x3(t ) em função de x1(t ) e usar a propriedade de linearidade para en- contrar a saída: x3(t )= x1(t )+x1(t +1) Portanto, y3(t )= y1(t )+ y1(t +1) 4. Um sinal de tempo contínuo x(t) é mostrado na figura abaixo. Esboce e coloque a escala para cada um dos seguintes sinais em função da resposta impulsional da figura dada. 7 a) x(t −1) b) x(2− t ) c) x(2t +1) d) x(4− t/2) e) [x(t )+x(−t )]u(t ) f) x(t )[δ(t +3/2)−δ(t −3/2)] Resposta: 5. Um sistema linear de tempo contínuo S com entrada x(t) e saída y(t) possui os seguintes pares entrada-saída: x(t )= e j2t → y(t )= e j3t x(t )= e− j2t → y(t )= e− j3t a) Se x1(t )= cos(2t ), determine a saída correspondente a y1(t ) para o sistema. b) Se x2(t )= cos(2(t − 12 )), determine a saída correspondente a y2(t ) para o sistema. Reposta: 8 a) Dado x(t )= e j2t → y(t )= e j3t x(t )= e− j2t → y(t )= e− j3t E o sistema sendo linear, x1(t )= 1 2 (e j2t +e− j2t → y1(t )= 1 2 (e j3t +e− j3t ) e: x1(t )= cos(2t )→ y1(t )= cos(3t ) b) Sabendo que x2(t ) pode ser escrito como: x2(t )= cos(2(t − 1 2 ))= e − j e j2t +e j e− j2t 2 Usando a propriedade da linearidade, podemos reescrever: x1(t )= 1 2 (e− j e j2t +e j e− j2t )→ y1(t )= 1 2 (e− j e j3t +e j e− j3t )= cos(3t −1) então: x1(t )= cos(2(t −1/2))→ y1(t )= cos(3t −1) 6. Considere o sistema com realimentação: 9 a) Esboce a saída quando x[n]= δ[n] (Função impulso unitário) b) Esboce a saída quando x[n]= u[n] (Função Degrau unitário) c) Esboce a saída quando x[n]= ∫ u[n] (Função Rampa) Resposta: a) e[n]= x[n]− y[n] e[n]= x[n]−e[n−1] y[n+1]= x[n]− y[n] para n = 0, x[n]= 1 e n 6= 0, x[n]= 0 tem-se: y[1]= x[0]− y[0]= 1−0= 1 y[2]= x[1]− y[1]= 0−1=−1 y[3]= x[2]− y[2]= 0− (−1)= 1... b) e[n]= x[n]− y[n] e[n]= x[n]−e[n−1] y[n+1]= x[n]− y[n] para n > 0, x[n]= 1 tem-se: y[1]= x[0]− y[0]= 1−0= 1 y[2]= x[1]− y[1]= 1−1= 0 y[3]= x[2]− y[2]= 1−0= 1... c) e[n]= x[n]− y[n] e[n]= x[n]−e[n−1] y[n+1]= x[n]− y[n] para n > 0, x[n]= n tem-se: y[1]= x[0]− y[0]= 0−0= 0 10 y[2]= x[1]− y[1]= 1−0= 1 y[3]= x[2]− y[2]= 2−1= 1 y[4]= x[3]− y[3]= 3−1= 2 y[5]= x[4]− y[4]= 4−2= 2 y[6]= x[5]− y[5]= 5−3= 3... 7. Considere o sistema descrito pela seguinte equação de diferenças: y[n]=αx[n]+βx[n−1]− y[n−2] Considere que o sistema inicie em repouso, e que a entrada x[n] é o sinal degrau uni- tário u[n]: x[n]= u[n]= { 1 , n ≥ 0 0 , caso contrário Encontre y[119]. Resposta: Realiza-se a iteração para resolvera equação de diferenças: 11 n αx[n]+βx[n−1] y[n] 0 α α 1 α+β α+β 2 α+β β 3 α+β 0 4 α α 5 α+β α+β 6 α+β β 7 α+β 0 . . . . . . . . . 4k α α 4k+1 α+β α+β 4k+2 α+β β 4k+3 α+β 0 . . . . . . . . . Portanto, y[119]= y[4 ·29+3]= 0 8. Dada as funções de tempo discreto descritas a seguir (gráfico das funções) calcule as convoluções abaixo: a) y[n]= u[n]∗u[n−3] b) y[n]= (12 )n u[−n+2]∗u[n] c) y[n]= cos(12pin)∗2nu[−n+2] d) y[n]= x[n]∗ z[n] e) y[n]= x[n]∗ f [n] f) y[n]=w[n]∗ g [n] g) y[n]= z[n]∗ g [n] h) y[n]= f [n]∗ g [n] 12 Resposta: a) y[n]= u[n]∗u[n−3] u[n]= x1[n] e u[n−3]= x2[n] y[n]= ∞∑ k=−∞ x1[k] · x2[n−k] Para n−3< 0 ou n < 3→ y[n]= 0 n = 3→ y[3]= 1(1)= 1 n = 4→ y[4]= 1(1)+1(1)= 2 ... n = p→ y[p]= (p−2) ∴ y[n]= (n−2)u[n−2] b) y[n]= (12 )n u[−n+2]∗u[n] Para n < 2→ y[n]= 0 n ≥ 2→ y[n]= 1− ( 1 2 )n+1 1− 12 − (1+ 12 )= 12 − (12 )n ∴ y[n]= 12 − (1 2 )n u[n−2] c) y[n]= cos(12pin)∗2nu[−n+2] x1[k]= cos(pi2 k) x2[k]= 2n−k y[n]= ∞∑ k=n−2 cos(pi2 k) ·2n−k cos(pi2 k)= 1, se k = ...,0,4,8, ... −1, se k = ...,2,6,10, ... 0, caso contrário Considerando os termos válidos, tem-se: y[n]= ∞∑ k=n−2 (−1) k2 2n−k Substituindo e = k2 y[n]= 2n ∞∑ e= n−22 (−1)e (12 )2e = 2n ∞∑ e= n−22 (−14 )e y[n]= 2n (− 14 ) n−22 1+ 14 = 2n (49 ) (−4)(−12 )n ∴ y[n]= 169 (−1)n+1 d) y[n]= x[n]∗ z[n]= ∞∑ k=−∞ x[k] · z[n−k] Para n+4< 0 ou n <−4→ y[n]= 0 0≤ n+4< 3 ou −4≤ n <−1→ y[n]= n+5 n ≥−1 e n < 1 ou −1≤ n < 1→ y[n]= 3+2(n+2)= 2n+7 n = 1→ y[n]= 2(1)+3(2)= 8 n = 2→ y[n]= 1(1)+3(2)= 7 13 3≤ n < 6→ y[n]= 2(6−n) n ≥ 6→ y[n]= 0 e) y[n]= x[n]∗ f [n]= ∞∑ k=−∞ x[k] · f [n−k] Para n+4<−4 ou n <−8→ y[n]= 0 y[−8]=−4; y[−7]=−4−3=−7; y[−6]=−7−2=−9 y[−5]=−9−1=−10; y[−4]=−10−0=−10 y[−3]=−3−2−1−0+1=−5; y[−2]=−2−1−0+1+2= 0 y[−1]=−1−0+1+2+3= 5; y[0]= 0+1+2+3+4= 10 y[1]= 1+2+3+4+0= 10; y[2]= 2+3+4= 9 y[3]= 3+4= 7; y[4]= 4 Para n−4> 0 ou n > 4→ y[n]= 0 f) y[n]=w[n]∗ g [n]= ∞∑ k=−∞ w[k] · g [n−k] Para n+5<−2 ou n <−7→ y[n]= 0 y[−7]= 1; y[−6]= 1+2= 3; y[−5]= 1+2+3= 6 14 y[−4]= 6+2= 8; y[−3]= 8+1= 9; y[−2]= 1+2+3+2= 8 y[−1]= 3+2+1= 6; y[0]= 1+2= 3; y[1]= 1+1= 2 y[2]= 2+1= 3; y[3]= 3+2+1= 6; y[4]= 6+2= 8 y[5]= 1+2+3+2+1= 9; y[6]= 6+2= 8 y[7]= 1+2+3= 6; y[8]= 1+2= 3; y[9]= 1 n > 9→ y[n]= 0 g) y[n]= z[n]∗ g [n]= ∞∑ k=−∞ z[k] · g [n−k] Para n+5< 0 ou n <−5→ y[n]= 0 y[−5]= 1; y[−4]= 2; y[−3]= 3; y[−2]= 3+2= 5 y[−1]= 3+4= 7; y[0]= 2+2(3)= 8; y[1]= 1+2(3)= 7 y[2]= 2(3)= 6; y[3]= 1+2(2)= 5; y[4]= 2+2(1)= 4 y[5]= 3(1)= 3; y[6]= 2+3(1)= 5; y[7]= 3(1)+2= 5 y[8]= 3(2)+2= 8; y[9]= 3(2)+1= 7; y[10]= 3(2)= 6 y[11]= 2(2)= 4; y[12]= 2 h) y[n]= f [n]∗ g [n]= ∞∑ k=−∞ f [k] · g [n−k] Para n+5<−4 ou n <−9→ y[n]= 0 y[−9]=−4; y[−8]=−4−3=−7; y[−7]=−7−2=−9 y[−6]=−9−1=−10; y[−5]=−10; y[−4]=−3−2−1+1=−5 y[−3]= 0; y[−2]=−1+1+2+3= 5 y[−1]=−4+1+2+3+4= 6; y[0]= 1+2+3+4−3−4= 3 y[1]= 0; y[2]= 3+4−1−2−3−4=−3; y[3]= 4−1−2−3−4=−6 15 y[4]= 1+0−1−2−3=−5; y[5]= 2+1+0−1−2= 0; y[6]= 3+2+1−1= 5 y[7]= 4+3+2+1= 10; y[8]= 4+3+2+1= 10; y[9]= 4+3+2= 9 y[10]= 4+3= 7; y[11]= 4 9. Dada as funções de tempo contínuo descritas a seguir (gráfico das funções) calcule as convoluções abaixo: a) y(t )= u(t +1)∗u(t −2) b) y(t )= e−2tu(t )∗u(t +2) c) y(t )= cos(pit )(u(t +1)−u(t −3))∗u(t ) d) y(t )= (t +2t2)(u(t +1)−u(t −1))∗2u(t +2) e) y(t )= x(t )∗ z(t ) f) y(t )= z(t )∗ g (t ) g) y(t )= z(t )∗ f (t ) 16 h) y(t )= f (t )∗ g (t ) Resposta: x1(t )∗x2(t )= ∞∫ −∞ x1(k)x2(t −k)dk a) y(t )= u(t +1)∗u(t −2) x1(t )= u(t +1) e x2(t )= u(t −2)→ ∞∫ −∞ x1(k)x2(t −k)dk Para t −2<−1 ou t < 1→ y(t )= 0 Para t ≥ 1→ y(t )= t−2∫ −1 (1)(1)dk = t −1 ∴ y(t )= (t −1)u(t −1) b) y(t )= e−2tu(t )∗u(t +2) x1(t )= e−2tu(t ) e x2(t )= u(t +2) Para t +2≥ 0 ou t ≥−2→ y(t )= t+2∫ 0 (1)e−2kdk = 12 (1−e−2(t+2)) Para t <−2→ y(t )= 0 ∴ y(t )= 12 (1−e−2(t+2))u(t +2) c) y(t )= cos(pit )(u(t +1)−u(t −3))∗u(t ) x1(t )= cos(pit )(u(t +1)−u(t −3)) e x2(t )= u(t ) Para t <−1→ y(t )= 0 Para −1≤ t < 3→ y(t )= t∫ −1 = coskpidk = 1pi sinpit ∴ y(t )= 1pi sin(pit ) ·u(t ) d) y(t )= (t +2t2)(u(t +1)−u(t −1))∗2u(t +2) x1(t )= (t +2t2)(u(t +1)−u(t −1)) e x2(t )= 2u(t +2) Para t +2<−1 ou t <−3→ y(t )= 0 −3≤ t <−1→ y(t )= 2 t+2∫ −1 k+2k2dk y(t )= (t +2)2−1+ 43 ((t +2)3+1) y(t )= 43 (t +2)3+ (t +2)2+ 13 Para t ≥−1→ y(t )= 2 1∫ −1 k+2k2dk y(t )= 43 +1+ 13 = 83 ∴ y(t )= 0, t <−3 4 3 (t +2)3+ (t +2)2+ 13 , −3≤ t <−1 8 3 , t ≥−1 e) y(t )= x(t )∗ z(t ) 17 Para t +2<−1 ou t <−3→ y(t )= 0 Para −3≤ t <−1→ y(t )= t+2∫ −1 (−1)dτ=−(t +3) Para −1≤ t < 1→ y(t )= t∫ −1 (1)dτ+ 1∫ t (−1)dτ= 2t Para 1≤ t < 3→ y(t )= 1∫ t−2 (1)dτ= 3− t Para t ≥ 3→ y(t )= 0 ∴ y(t )= 0, t <−3 −t −3, −3≤ t <−1 2t , −1≤ t < 1 3− t , 1≤ t < 3 0, t ≥ 3 f) y(t )= z(t )∗ g (t ) Para t +1<−2 ou t <−3→ y(t )= 0 Para −3≤ t <−1→ y(t )= t+1∫ −2 (τ− t )dτ=−12 t2−2t − 32 Para −1≤ t < 1→ y(t )= 0∫ t−1 (τ− t )dτ+ t+1∫ 0 (t −τ)dτ= t2−1 Para 1≤ t < 3→ y(t )= 2∫ t−1 (t −τ)dτ=−12 t2+2t − 32 Para t ≥ 3→ y(t )= 0 ∴ y(t )= 0, t <−3 −12 t2−2t − 32 , −3≤ t <−1 t2−1, −1≤ t < 1 −12 t2+2t − 32 , 1≤ t < 3 0, t ≥ 3 18 g) y(t )= z(t )∗ f (t ) Para t +1<−2→ y(t )= 0 Para −2≤ t <−1→ y(t )= t∫ −2 −e−(t−τ)dτ= e−(t+2)−1 Para −1≤ t < 0→ y(t )= t∫ t−1 −e−(t−τ)dτ= e−1−1 Para 0≤ t < 1→ y(t )= 0∫ t−1 −e−(t−τ)dτ+ t∫ 0 e−(t−τ)dτ= 1+e−1−2e−t Para 1≤ t < 2→ y(t )= t∫ t−1 e−(t−τ)dτ= 1−e−1 Para 2≤ t < 3→ y(t )= 2∫ t−1 e−(t−τ)dτ= e(2−t )−e−1 Para t ≥ 3→ y(t )= 0 ∴ y(t )= 0, t <−2 e−(t+2)−1, −2≤ t <−1 e−1−1, −1≤ t < 0 1+e−1−2e−t , 0≤ t < 1 1−e−1, 1≤ t < 2 e(2−t )−e−1, 2≤ t < 3 0, t ≥ 3 h) y(t )= f (t )∗ g (t ) Para t +1< 0 ou t <−1→ y(t )= 0 Para −1≤ t < 0→ y(t )= t+1∫ 0 e−τ(t −τ)dτ= 2e−(t+1)+ t −1 Para 0≤ t < 1→ y(t )= 1∫ 0 e−τ(t −τ)dτ= t (1−e−1)+2e−1−1 19 Para 1≤ t < 2→ y(t )= 1∫ t−1 e−τ(t −τ)dτ= e−1(t +2)−2te−(t−1) Para t ≥ 2→ y(t )= 0 ∴ y(t )= 0, t <−1 2e−(t+1)+ t −1, −1≤ t < 0 t (1−e−1)+2e−1−1, 0≤ t < 1 e−1(t +2)−2te−(t−1), 1≤ t < 2 0, t ≥ 2 10. Para cada resposta ao impulso listada abaixo, determine se o sistema correspondente é causal e/ou estável. a) h(t )= e2tu(t −1) b) h(t )= u(t +1)−2u(t −1) c) h(t )= cos(pit )u(t ) d) h[n]= 2nu[−n] e) h[n]= 2u[u]−2u[n−1] f) h[n]= sin(12pin) Resposta: a) h(t )= e2tu(t −1) Causal e não estável b) h(t )= u(t +1)−2u(t −1) Não causal e não estável c) h(t )= cos(pit )u(t ) Causal e não estável d) h[n]= 2nu[−n] Não causal e estável e) h[n]= 2u[u]−2u[n−1] Causal e estável f) h[n]= sin(12pin) Não causal e não estável 11. Considere um sistema de tempo discreto cuja entrada x[n] e a saída y[n] sejam relacio- nadas por: y[n]= ( 1 2 ) y[n−1]+x[n] a) Mostre que esse sistema satisfaz a condição de repouso inicial (isto é, se x[n]= 0 para n < n0, então y[n] = 0 para n < n0), então ele é linear e invariante no tempo. 20 b) Mostre que se esse sistema não satisfaz a condição inicial de repouso inicial, mas, em vez disso, obedece à condição auxiliar y[0]= 0, ele é não causal. Resposta: a) Para uma entrada x1[n] em que x1[n]= 0 para n < n1. A saída será: y1[n]= 12 y1[n−1]+x1[n], y1[n]= 0 para n < n1 (11.1) Então, considerando outra entrada x2[n] em que x2[n]= 0 para n < n2. A saída será: y2[n]= 12 y2[n−1]+x2[n], y2[n]= 0 para n < n2 (11.2) Multiplicando 11.1 por α e 11.2 por β e somando as duas equações tem-se: αy1[n]+βy2[n]= α2 y1[n−1]+ β 2 y2[n−1]+αx1[n]+βx2[n] Por inspeção, a saída é y3[n] = αy1[n]+βy2[n] quando a entrada é x3[n] = αx1[n]+ βx2[n]. Além disso, y3(1)= 0= y1(1)+ y2(1). Portanto, o sistema é linear. b) Consideramos duasentradas: x1[n]= 0, para todo n x2[n]= { 0, n <−1 1, n ≥−1 Para o sistema ser linear, a resposta para x1[n] é y1[n] = 0 para todo n. A saída y2[n], quando a entrada é x2[n], desde que y2[0]= 0, será: y2[1]= (1 2 ) 0+0= 0, y2[2]= (1 2 ) 0+0= 0 Portanto, y2[n]= 0 para n ≤ 0. Agora para n < 0, nota-se que: y2[0]= ( 12 )y2[−1]+x[0]. Portanto, y2[−1]=−2, y2[−2]=−4, y2[−3]=−8. Portanto, y2[n]=− ( 1 2 n ) u[n−1]. Desde que x1[n] = x2[n] para todo n < 0, isto é verdade caso o sistema seja causal y1[n]= y2[n] para n < 0. Os resultados obtidos anteriormente mostram que isso não é verdade. Portanto, o sistema é não causal. 12. Suponha que o sinal x(t )= u(t +0.5)−u(t −0.5) seja convoluído com o sinal h(t )= e jw0t a) Determine o valor de w0 que garante que y(0)= 0. Sendo que y(t )= x(t )∗h(t ). b) A resposta do item anterior é única? Resposta: y(t )= x(t )∗h(t )= 0.5∫ −0.5 e jw0(t−τ)dτ Portanto, 21 y(0)= 0.5∫ −0.5 e jw0(t−τ)dτ= 2w0 sin( w0 2 ) a) Se w0 = 2pi,entãoy(0)= 0. b) Não é única. Qualquer w0 = 2kpi, k 6= 0 é suficiente. 13. (Computacional) Siga as instruções: a) Dado um sinal W [n] = e − j2pinN , com N = 8 e n = 0,1,2, ...,8, expresse o número complexo na forma cartesiana b) Plote a parte real pela parte imaginária no Matlab c) Calcule W k [n] para k = 0,1,2, ...,8 e represente em forma matricial d) Dado um segundo sinal x[n]= { 1, n = 0,1 0, n 6= 0,1 . Plote x[n] ao longo das amostras de intervalo n no Matlab. e) Escreva a função X [k]=W k [n]xT [n] em forma matricial f) Calcule a fase e magnitude de X [k] e plote os gráficos g) Repita o procedimento computacional presente de a) a f) para x[n]= cos (2pinmN ) com m = 10, N = 128 e n = 0,1,2, ...,128. Discute os resultados. 14. (Computacional) Siga as instruções a seguir: a) Realize a convolução dos sinais abaixo usando o comando padrão do MATLAB, y = conv(x,h), e plote o resultado usando stem. Tente o inverso (y = conv(h,x)). Há diferença? x = [3 ,11 ,7 ,0 ,−1 ,4 ,2] h = [2 ,3 ,0 ,−5 ,2 ,1] b) O comando padrão não nos permite localizar os sinais no tempo. Crie a função abaixo, convolute: function [ y , ny ] = convolute ( x , h , nx , nh) nymin = nx (1)+nh ( 1 ) ; nymax = nx ( length ( x ) ) + nh( length (h ) ) ; ny = [nymin : nymax ] ; y = conv ( x , h ) ; Em seguida, teste o seguinte e plote o resultado: nx = [−3: 3 ] ; nh = [−1: 4 ] ; [ y , ny ] = convolute ( x , h , nx , nh ) ; Calcule agora essa convolução e compare com o obtido na simulação. c) Agora, crie o sinal: 22 nx = [ 0 : 1 0 0 ] ; x = sin (2* pi *nx/50) + sin (20* pi *nx / 5 0 ) ; Veja o sinal x usando stem. Modifique h para ser: nh = [ 0 : 9 ] ; h=0.1* ones ( 1 , 1 0 ) ; Realize a convolução entre x e h e plote o resultado. Descreva o que aconteceu. d) A melhor forma de analisar o que ocorre em c) é analisando o espectro de frequên- cias do sinal. Analise primeiro o espectro de magnitude de x: f s = 256; freq = [−1: 1/ f s : 1−1/ f s ] ; f x = f f t ( x , 5 1 2 ) ; f x = f f t s h i f t ( f x ) ; fxmag = abs ( f x ( 1 : 5 1 2 ) ) ; plot ( freq , fxmag ) ; Agora do sinal convoluído y : f s = 256; freq = [−1: 1/ f s : 1−1/ f s ] ; fy= f f t ( y , 5 1 2 ) ; fy = f f t s h i f t ( fy ) ; fymag = abs ( fy ( 1 : 5 1 2 ) ) ; plot ( freq , fymag ) ; Qual o fenômeno que ocorre ao realizar essa convolução? 23
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