Avaliação de Álgebra I

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Avaliação de Álgebra I 
 
 
1) Mostre que ℝ munido da operação ∗ definida por 𝑥 ∗ 𝑦 = 𝑥 + 𝑦 − 3𝑥𝑦 é 
um grupo comutativo. 
2) Verifique se o conjunto 𝐵 = {𝑎 + 𝑏 √2
3
∈ ℝ|𝑎, 𝑏 ∈ ℚ} é um subgrupo 
multiplicativo de ℝ∗. 
3) Verifique se o conjunto 𝐴 = {cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃 ∈ ℝ∗ |𝜃 ∈ ℝ} é um subgrupo 
multiplicativo de ℂ. 
4) Prove que a função exponencial 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥, com 0 < 𝑎 ≠ 1, é um 
isomorfismo do grupo aditivo ℝ no grupo multiplicativo ℝ∗. 
5) Considere sobre ℤ as operações ⊕ e ⊙ definidas por 
𝑎 ⊕ 𝑏 = 𝑎 + 𝑏 − 1 𝑒 𝑎 ⊙ 𝑏 = 𝑎 + 𝑏 − 𝑎𝑏 
Mostre que (ℚ,⊕,⊙) é um anel comutativo com unidade. 
6) O conjunto 𝑀 = {𝑎 + 𝑏𝑖|𝑎 ∈ ℤ, 𝑏 ∈ 2ℤ} é um subanel de ℂ?