Prova 1426

Prévia do material em texto

1.
	Muitas situações-problema, como consumo de água, produção de uma empresa, entre outras, são resolvidas por meio de funções. Neste processo, com o auxílio da representação gráfica, busca-se um entendimento dos fenômenos dos mais variados. Dependendo de algumas características da função, tem-se métodos distintos de resolução. Um dos métodos de resolução que definem o consumo de água num determinado tempo ou quantas horas a mais os funcionários terão que trabalhar para suprir um funcionário ausente pode ser solucionado pelo método de interpolação linear. Sobre a interpolação polinomial linear, analise as sentenças a seguir:
I- Pode ser utilizada desde que f seja uma função monótona, crescente ou decrescente.
II- Depende da restrição do intervalo, a fim de obtermos um polinômio de grau 1.
III- É eficiente quando, para o mesmo conjunto de valores de x, queremos interpolar duas funções distintas.
IV- É utilizado quando estamos interessados no valor de f em apenas um ponto x.
Assinale a alternativa CORRETA:
	 a)
	As sentenças I e IV estão corretas.
	 b)
	As sentenças II e IV estão corretas.
	 c)
	As sentenças I e III estão corretas.
	 d)
	As sentenças II e III estão corretas.
	2.
	Existem vários métodos que determinam as raízes de uma função, dentre elas alguns necessitam de pelo menos um ponto suficientemente máximo para iniciar o processo de resolução. No entanto, o método do Algoritmo Quociente-Diferença não necessita desta informação. Com base neste método, podemos afirmar que:
I- Podemos aplicá-lo desde que conheçamos um ponto próximo da raiz.
II- Este método permite encontrarmos todas as raízes de um polinômio simultaneamente.
III- Podemos aplicá-lo para qualquer tipo do polinômio.
IV- Este método permite encontrarmos inclusive raízes complexas.
Assinale a alternativa CORRETA:
	 a)
	As sentenças III e IV estão corretas.
	 b)
	As sentenças I e II estão corretas.
	 c)
	As sentenças I e III estão corretas.
	 d)
	As sentenças II e IV estão corretas.
	3.
	Dada uma função y = f(x) uma interpolação da função f é o método que permite construir uma nova função mais simples a partir de um conjunto discreto de pontos da função f. Sobre os quatro métodos de interpolação, associe os itens, utilizando o código a seguir:
I- Interpolação Polinomial de Lagrange.
II- Interpolação Polinomial de Newton.
III- Interpolação Linear.
IV- Interpolação Inversa.
(    ) Dado y pertencente à imagem da função f, procuramos o valor x do domínio para o qual y = f(x), invertemos os dados da tabela e calculamos o polinômio interpolador para a função inversa de f.
(    ) Construímos os polinômios de Lagrange e de posse deles, construímos o polinômio interpolador de Lagrange.
(    ) Construímos a tabela de Diferenças Divididas finitas e de posse dela, exibimos o polinômio interpolador de Newton.
(    ) Para obter f(z) para apenas um z no intervalo
	
	 a)
	III - I - II - IV.
	 b)
	III - II - I - IV.
	 c)
	IV - I - II - III.
	 d)
	IV - II - I - III.
	4.
	Ao estudar matemática financeira, o professor de Luiz comentou que para determinar o prazo em um financiamento no sistema Price é necessário utilizar um método numérico. O professor de Luiz passou o seguinte problema: suponha que um financiamento no sistema Price no valor de R$ 20.000,00 está aplicado a uma taxa de 2% ao mês e o valor de cada parcela seja de R$ 609,05, determine o prazo desse financiamento. Luiz, lembrando o que seu professor falou em sala, resolveu usar o Método da Bissecção para encontrar o prazo. Luiz fez as seguintes anotações:
	
	 a)
	53,75 e 54,0625.
	 b)
	53,75 e 54,375.
	 c)
	52,5 e 53,75.
	 d)
	55 e 52,5.
	5.
	Para resolver um sistema linear através do método iterativo, podemos usar o método da iteração linear. No entanto, no caso de equações não lineares, nem sempre é possível aplicar o método. Para podermos aplicar o método, precisamos que ele satisfaça três condições, sendo que uma delas é que as derivadas parciais das funções F e G satisfaçam os itens:
	
	 a)
	Os itens I e II não são satisfeitos.
	 b)
	Somente o item I é satisfeito.
	 c)
	Somente o item II é satisfeito.
	 d)
	Os itens I e II são satisfeitos.
	6.
	Os métodos de Jacobi e Gauss-Seidel são métodos que encontram uma solução aproximada da solução de um sistema linear. Quando não temos mais um sistema linear, e sim um sistema não linear, devemos fazer uso de outros métodos para encontrar uma solução aproximada para o sistema, sendo dois deles o método da interação linear e o método de Newton. O método da interação linear, em geral, é mais fácil de ser implementado, porém requer mais condições do sistema que o método de Newton. Com base no exposto, assinale a alternativa CORRETA que apresenta a solução (com um arredondamento de 3 casas decimais) do sistema não linear depois de duas iterações (k = 2) e o ponto inicial (0,5; 0,1) usando o método de Newton:
	
	 a)
	x = 0,492 e y = 0,121
	 b)
	x = 0,5 e y = 0,1
	 c)
	x = 0,495 e y = 0,124
	 d)
	x = 0,505 e y = 0,125
	7.
	Funções polinomiais são um caso particular de funções, em geral são bem-comportadas e apresentam várias propriedades interessantes. Uma dessas propriedades é que todo polinômio possui pelo menos uma raiz, podendo ela ser real ou complexa e se o polinômio tem grau n então ele tem no máximo n raízes. E ainda, se todos os coeficientes do polinômio forem reais e ele tiver uma raiz complexa, então o conjugado dessa raiz também é uma raiz do polinômio. Com base no exposto, considere o polinômio
p(x) = x³ - 3x² + x + 5
Determine o valor de a sabendo que x = - 1 e x = a - i são raízes do polinômio.
	 a)
	a = 2
	 b)
	a = - 2
	 c)
	a = 0
	 d)
	a = - 1
	8.
	Determinar raízes de polinômios por vezes não é simples se pensarmos em polinômios de grau maior que 3, para polinômio de grau 1 basta isolar a variável independente, polinômios de grau dois usamos Bhaskara. São métodos interativos que na maioria das vezes usamos para determinar raízes de polinômios de grau maior e igual a 3, mas para entendê-los precisamos compreender as características dos polinômios. Sobre o exposto, analise as sentenças a seguir:
I- Todo polinômio de grau maior que 1 tem pelo menos uma raiz real.
II- Se o polinômio tem grau impar, então ele tem pelo menos uma raiz real.
III- Se um polinômio de grau n tem n - 1 raízes, então uma das raízes tem multiplicidade 2.
IV- Se um polinômio de grau n tem todas n raízes distintas, então ele pode ser reescrito da seguinte forma:
	
	 a)
	IV.
	 b)
	I.
	 c)
	II.
	 d)
	III.
	9.
	Interpolação linear é uma ramificação da matemática que se caracteriza por uma função linear (polinômio de primeiro grau), a qual representa em resultados aproximados uma função f(x). Considerando a tabela a seguir e utilizando a interpolação linear, qual o valor estimado de f(0,25)?
	
	 a)
	f(0,25) = 2,75
	 b)
	f(0,25) = 0,75
	 c)
	f(0,25) = 0,5
	 d)
	f(0,25) = 2,5
Anexos:
	10.
	A interpolação é um método que permite definir uma nova função a partir de um conjunto discreto de dados pontuais previamente conhecidos e que represente a função inicial. Sobre a interpolação polinomial de uma função f, podemos afirmar que:
I- Ela é útil quando conhecemos explicitamente f.
II- Quanto maior for a quantidade de pontos em que conhecemos f, melhor será a aproximação obtida por meio do polinômio.
III- Sua vantagem se deve principalmente ao fato de os polinômios serem funções bem comportadas.
IV- O polinômio, uma vez determinado, é único.
Assinale a alternativa CORRETA:
	 a)
	As sentenças I, II e IV estão corretas.
	 b)
	As sentenças I, III e IV estão corretas.
	 c)
	As sentenças I, II e III estão corretas.
	 d)
	As sentenças II, III e IV estão corretas.
1.
 
Muitas situações
-
problema, como consumo 
de água, produção de uma empresa, entre 
outras, são resolvidas por meio de funções. Neste processo, com o auxílio da 
representação gráfica, busca
-
se um entendimento dos fenômenos dos mais variados. 
Dependendo de algumas características da função, tem
-se mé
todos distintos de 
resolução. Um dos métodos de resolução que definem o consumo de água num 
determinado tempo ou quantas horas a mais os funcionários terão que trabalhar para 
suprir um funcionário ausente pode ser solucionado pelo método de interpolação 
li
near. Sobre a interpolação polinomial linear, analise as sentenças a seguir:
 
 
I
-
 
Pode ser utilizada desde que f seja uma função monótona, crescente ou 
decrescente.
 
II
-
 
Depende da restrição do intervalo, a fim de obtermos um polinômio de grau 1.
 
III
-
 
É efic
iente quando, para o mesmo conjunto de valores de x, queremos interpolar 
duas funções distintas.
 
IV
-
 
É utilizado quando estamos interessados no valor de f em apenas um ponto x.
 
 
Assinale a alternativa CORRETA:
 
 
a)
 
As sentenças I e IV estão corretas.
 
 
b)
 
As sentenças II e IV estão corretas.
 
 
c)
 
As sentenças I e III estão corretas.
 
 
d)
 
As sentenças II e III estão corretas.
 
 
2.
 
Existem vários métodos que determinam as raízes de uma função, dentre elas alguns 
necessitam de pelo menos um ponto suficientemente máximo para iniciar o processo 
de resolução. No entanto,
 
o método do Algoritmo Quociente
-
Diferença não necessita 
desta informação. Com base neste método, podemos afirmar que:
 
 
I
-
 
Podemos aplicá
-
lo desde que conheçamos um ponto próximo da raiz.
 
II
-
 
Este método permite encontrarmos todas as raízes de um polinômio
 
simultaneamente.
 
III
-
 
Podemos aplicá
-
lo para qualquer tipo do polinômio.
 
IV
-
 
Este método permite encontrarmos inclusive raízes complexas.
 
 
Assinale a alternativa CORRETA:
 
 
a)
 
As sentenças III e IV estão corretas.
 
 
b)
 
As sentenças I e II estão corretas.
 
 
c)
 
As sentenças I e III estão corretas.
 
 
d)
 
As sentenças II e IV estão corretas.
 
 
3.
 
Dada uma função y = f(x) uma interpolação da função f é o método que permite 
construir uma nova função mais simples a partir de um conjunto discreto de pontos 
da função f. Sobre os quatro métodos de interpolação, associe os iten
s, utilizando o 
código a seguir:
 
 
I
-
 
Interpolação Polinomial de Lagrange.
 
II
-
 
Interpolação Polinomial de Newton.
 
III
-
 
Interpolação Linear.
 
IV
-
 
Interpolação Inversa.
 
1. Muitas situações-problema, como consumo de água, produção de uma empresa, entre 
outras, são resolvidas por meio de funções. Neste processo, com o auxílio da 
representação gráfica, busca-se um entendimento dos fenômenos dos mais variados. 
Dependendo de algumas características da função, tem-se métodos distintos de 
resolução. Um dos métodos de resolução que definem o consumo de água num 
determinado tempo ou quantas horas a mais os funcionários terão que trabalhar para 
suprir um funcionário ausente pode ser solucionado pelo método de interpolação 
linear. Sobre a interpolação polinomial linear, analise as sentenças a seguir: 
 
I- Pode ser utilizada desde que f seja uma função monótona, crescente ou 
decrescente. 
II- Depende da restrição do intervalo, a fim de obtermos um polinômio de grau 1. 
III- É eficiente quando, para o mesmo conjunto de valores de x, queremos interpolar 
duas funções distintas. 
IV- É utilizado quando estamos interessados no valor de f em apenas um ponto x. 
 
Assinale a alternativa CORRETA: 
 a) 
As sentenças I e IV estão corretas. 
 b) 
As sentenças II e IV estão corretas. 
 c) 
As sentenças I e III estão corretas. 
 d) 
As sentenças II e III estão corretas. 
 
2. Existem vários métodos que determinam as raízes de uma função, dentre elas alguns 
necessitam de pelo menos um ponto suficientemente máximo para iniciar o processo 
de resolução. No entanto, o método do Algoritmo Quociente-Diferença não necessita 
desta informação. Com base neste método, podemos afirmar que: 
 
I- Podemos aplicá-lo desde que conheçamos um ponto próximo da raiz. 
II- Este método permite encontrarmos todas as raízes de um polinômio 
simultaneamente. 
III- Podemos aplicá-lo para qualquer tipo do polinômio. 
IV- Este método permite encontrarmos inclusive raízes complexas. 
 
Assinale a alternativa CORRETA: 
 a) 
As sentenças III e IV estão corretas. 
 b) 
As sentenças I e II estão corretas. 
 c) 
As sentenças I e III estão corretas. 
 d) 
As sentenças II e IV estão corretas. 
 
3. Dada uma função y = f(x) uma interpolação da função f é o método que permite 
construir uma nova função mais simples a partir de um conjunto discreto de pontos 
da função f. Sobre os quatro métodos de interpolação, associe os itens, utilizando o 
código a seguir: 
 
I- Interpolação Polinomial de Lagrange. 
II- Interpolação Polinomial de Newton. 
III- Interpolação Linear. 
IV- Interpolação Inversa.