Lista Inequações ENEM e Vestibulares Prof Aruã

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LISTA DE EXERCÍCIOS – MATEMÁTICA – INEQUAÇÕES DO 1º 
E 2º GRAUS 
 
1. (Uece 2010) A idade de Paulo, em anos, é um número inteiro par que satisfaz a 
desigualdade x2 - 32x + 252 < 0. O número que representa a idade de Paulo pertence ao 
conjunto 
a) {12, 13, 14}. 
b) {15, 16, 17}. 
c) {18, 19, 20}. 
d) {21, 22, 23}. 
 
2. (G1 - ifsp 2017) A capacidade de um reservatório de água é maior que 250 litros e menor 
que 300 litros. O número 𝑥 de litros que há nesse reservatório satisfaz à inequação 
𝑥
2
+ 1 < 127. 
Assinale a alternativa que apresenta quantos litros de água há nesse reservatório. 
a) 250 litros. 
b) 251 litros. 
c) 252 litros. 
d) 253 litros. 
e) 255 litros. 
 
3. (G1 - ifce 2014) O conjunto solução 𝑆 ⊂ ℝ da inequação (5𝑥2 − 6𝑥 − 8)(2 − 2𝑥) < 0 é 
a) 𝑆 = ]−
4
5
, 2[ ∪ ]−∞, 1[. 
b) 𝑆 = ]2, +∞[ ∪ ]−
4
5
, 1[. 
c) 𝑆 = ]−
4
5
, 2[ ∪ ]1, +∞[. 
d) 𝑆 = ]−∞, −
4
5
[ ∪ ]1,2[. 
e) 𝑆 = ]−
4
5
, 1[ ∪ ]2, +∞[. 
 
4. (G1 - cftmg 2013) O número de soluções inteiras da inequação 𝑥 − 1 < 3x − 5 < 2x + 1, é 
a) 4. 
b) 3. 
c) 2. 
d) 1. 
 
5. (Enem 2019) O gráfico a seguir mostra a evolução mensal das vendas de certo produto de 
julho a novembro de 2011. 
 
 
 
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Sabe-se que o mês de julho foi o pior momento da empresa em 2011 e que o número de 
unidades vendidas desse produto em dezembro de 2011 foi igual à média aritmética do número 
de unidades vendidas nos meses de julho a novembro do mesmo ano. 
O gerente de vendas disse, em uma reunião da diretoria, que, se essa redução no número de 
unidades vendidas de novembro para dezembro de 2011 se mantivesse constante nos meses 
subsequentes, as vendas só voltariam a ficar piores que julho de 2011 apenas no final de 2012. 
 
O diretor financeiro rebateu imediatamente esse argumento mostrando que, mantida a 
tendência, isso aconteceria já em 
a) janeiro. 
b) fevereiro. 
c) março. 
d) abril. 
e) maio. 
 
6. (Enem 2ª aplicação 2016) O gerente de um estacionamento, próximo a um grande 
aeroporto, sabe que um passageiro que utiliza seu carro nos traslados casa-aeroporto-casa 
gasta cerca de 𝑅$   10,00 em combustível nesse trajeto. Ele sabe, também, que um passageiro 
que não utiliza seu carro nos traslados casa-aeroporto-casa gasta cerca de 𝑅$   80,00 com 
transporte. 
 
Suponha que os passageiros que utilizam seus próprios veículos deixem seus carros nesse 
estacionamento por um período de dois dias. 
 
Para tornar atrativo a esses passageiros o uso do estacionamento, o valor, em real, cobrado 
por dia de estacionamento deve ser, no máximo, de 
a) 𝑅$ 35,00. 
b) 𝑅$ 40,00. 
c) 𝑅$ 45,00. 
d) 𝑅$ 70,00. 
e) 𝑅$ 90,00. 
 
7. (Enem 2011) Uma indústria fabrica um único tipo de produto e sempre vende tudo o que 
produz. O custo total para fabricar uma quantidade q de produtos é dado por uma função, 
simbolizada por 𝐶𝑇, enquanto o faturamento que a empresa obtém com a venda da quantidade 
q também é uma função, simbolizada por 𝐹𝑇. O lucro total (𝐿𝑇) obtido pela venda da 
quantidade q de produtos é dado pela expressão 𝐿𝑇(𝑞) = 𝐹𝑇(𝑞) − 𝐶𝑇(𝑞). Considerando-se as 
 
 
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funções 𝐹𝑇(𝑞) = 5𝑞 e 𝐶𝑇(𝑞) = 2𝑞 + 12 como faturamento e custo, qual a quantidade mínima 
de produtos que a indústria terá de fabricar para não ter prejuízo? 
a) 0 
b) 1 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
 
8. (G1 - cftmg 2011) O número de soluções inteiras da inequação −𝑥2 + 13𝑥 − 40 ≥ 0no 
intervalo 𝑙 = {𝑥 ∈ ℤ/2 ≤ 𝑥 ≤ 10}é 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
 
9. (Fuvest 2014) Um apostador ganhou um prêmio de 𝑅$ 1.000.000,00 na loteria e decidiu 
investir parte do valor em caderneta de poupança, que rende 6% ao ano, e o restante em um 
fundo de investimentos, que rende 7,5% ao ano. Apesar do rendimento mais baixo, a 
caderneta de poupança oferece algumas vantagens e ele precisa decidir como irá dividir o seu 
dinheiro entre as duas aplicações. Para garantir, após um ano, um rendimento total de pelo 
menos 𝑅$ 72.000,00, a parte da quantia a ser aplicada na poupança deve ser de, no máximo, 
a) 𝑅$ 200.000,00 
b) 𝑅$ 175.000,00 
c) 𝑅$ 150.000,00 
d) 𝑅$ 125.000,00 
e) R$ 100.000,00 
 
10. (Enem 2014) Conforme regulamento da Agência Nacional de Aviação Civil (Anac), o 
passageiro que embarcar em voo doméstico poderá transportar bagagem de mão, contudo a 
soma das dimensões da bagagem (altura + comprimento + largura) não pode ser superior a 
115𝑐𝑚. 
A figura mostra a planificação de uma caixa que tem a forma de um paralelepípedo retângulo. 
 
 
 
O maior valor possível para 𝑥, em centímetros, para que a caixa permaneça dentro dos 
padrões permitidos pela Anac é 
a) 25. 
b) 33. 
c) 42. 
d) 45. 
e) 49. 
 
11. (Ufjf-pism 1 2016) Dadas as desigualdades, em ℝ: 
 
 
 
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I. 3𝑥 + 1 < −𝑥 + 3 ≤ −2𝑥 + 5 
II. 
4𝑥−1
𝑥−2
≤ 1 
 
O menor intervalo que contém todos os valores de 𝑥 que satisfazem, simultaneamente, às 
desigualdades I e II é: 
a) ]
1
3
,  
3
5
] 
b) ]−2, −
3
2
] 
c) ]−∞,  
3
5
] 
d) −
1
3
,  
1
2
[ 
e) 
4
3
,  
3
5
[ 
 
12. (G1 - ifce 2020) Renato trabalha contratando bandas de forró para animar festas nos finais 
de semana, cobrando uma taxa fixa de 150,00, mais 20,00 por hora. Raimundo, na mesma 
função, cobra uma taxa fixa de 120,00, mais 25,00 por hora. O tempo máximo para 
contratarmos a festa de Raimundo, de tal forma que não seja mais cara que a de Renato será, 
em horas, igual a 
a) 6. 
b) 5. 
c) 4. 
d) 3. 
e) 2. 
 
13. (Enem 2018) Uma empresa de comunicação tem a tarefa de elaborar um material 
publicitário de um estaleiro para divulgar um novo navio, equipado com um guindaste de 15 𝑚 
de altura e uma esteira de 90 𝑚 de comprimento. No desenho desse navio, a representação do 
guindaste deve ter sua altura entre 0,5 𝑐𝑚 e 1 𝑐𝑚, enquanto a esteira deve apresentar 
comprimento superior a 4 𝑐𝑚. Todo o desenho deverá ser feito em uma escala 1: 𝑋. 
 
Os valores possíveis para 𝑋 são, apenas, 
a) 𝑋 > 1.500. 
b) 𝑋 < 3.000. 
c) 1.500 < 𝑋 < 2.250. 
d) 1.500 < 𝑋 < 3.000. 
e) 2.250 < 𝑋 < 3.000. 
 
14. (G1 - cftmg 2015) No conjunto dos números reais, o conjunto solução da inequação 
2𝑥
3
−
5𝑥−3
4
> 1 é o intervalo 
a) ] − ∞, −3[ 
b) ]−∞, −
3
7
[ 
c) ]−
3
7
,∞[ 
d) ] − 3,∞[ 
 
15. (Enem 2015) Uma padaria vende, em média, 100 pães especiais por dia e arrecada com 
essas vendas, em média, 𝑅$ 300,00. Constatou-se que a quantidade de pães especiais 
vendidos diariamente aumenta, caso o preço seja reduzido, de acordo com a equação 
 
𝑞 = 400 − 100 𝑝, 
 
 
 
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na qual 𝑞 representa a quantidade de pães especiais vendidos diariamente e 𝑝, o seu preço em 
reais. 
A fim de aumentar o fluxo de clientes, o gerente da padaria decidiu fazer uma promoção. Para 
tanto, modificará o preço do pão especial de modo que a quantidade a ser vendida diariamente 
seja a maior possível, sem diminuir a média de arrecadação diária na venda desse produto. 
 
O preço 𝑝, em reais, do pão especial nessa promoção deverá estar no intervalo 
a) 𝑅$ 0,50 ≤ 𝑝 < 𝑅$ 1,50 
b) 𝑅$ 1,50 ≤ 𝑝 < 𝑅$ 2,50 
c) 𝑅$ 2,50 ≤ 𝑝 < 𝑅$ 3,50 
d) 𝑅$ 3,50 ≤ 𝑝 < 𝑅$ 4,50 
e) 𝑅$ 4,50 ≤ 𝑝 < 𝑅$ 5,50 
 
16. (Acafe 2014) Uma pequena fábrica de tubos de plástico calcula a sua receita em milhares 
de reais, através da função 𝑅(𝑥) = 3,8𝑥, onde 𝑥 representa o número de tubos vendidos. 
Sabendo que o custo para a produção do mesmo número de tubos é 40% da receita mais R$ 
570,00. Nessas condições, para evitar prejuízo, o número mínimo de tubos de plástico que 
devem ser produzidos e vendidos pertence ao intervalo: 
a) [240 ; 248]. 
b) [248 ; 260]. 
c) [252 ; 258]. 
d) [255 ; 260]. 
 
17. (Enem 2016) O setor derecursos humanos de uma empresa pretende fazer contratações 
para adequar-se ao artigo 93 da Lei nº. 8.213/91, que dispõe: 
 
Art. 93. A empresa com 100 (cem) ou mais empregados está obrigada a preencher de 2% (dois 
por cento) a 5% (cinco por cento) dos seus cargos com beneficiários reabilitados ou pessoas 
com deficiência, habilitadas, na seguinte proporção: 
 
I. até 200 empregados ..................................... 2%; 
II. de 201 a 500 empregados ........................ 3%; 
III. de 501 a 1.000 empregados ..................... 4%; 
IV. de 1.001 em diante ..................................... 5%. 
 
Disponível em: www.planalto.gov.br. Acesso em: 3 fev. 2015. 
 
 
Constatou-se que a empresa possui 1.200 funcionários, dos quais 10 são reabilitados ou com 
deficiência, habilitados. 
Para adequar-se à referida lei, a empresa contratará apenas empregados que atendem ao 
perfil indicado no artigo 93. 
 
O número mínimo de empregados reabilitados ou com deficiência, habilitados, que deverá ser 
contratado pela empresa é 
a) 74. 
b) 70. 
c) 64. 
d) 60. 
e) 53. 
 
18. (G1 - ifmt 2020) Dada a inequação: (3 − 5𝑥) ⋅ (3 − 7𝑥) ⋅ (7 − 5𝑥) ≤ 0 
 
Resolvendo, em ℝ, tem-se o conjunto solução: 
 
 
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a) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|
3
7
≤ 𝑥 ≤
7
5
} 
b) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|
3
5
≤ 𝑥 ≤
7
5
 𝑜𝑢 𝑥 ≤
3
7
} 
c) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|
5
3
≤ 𝑥 ≤
7
5
 𝑜𝑢 𝑥 ≥
7
5
} 
d) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|
7
5
≤ 𝑥 ≤
3
5
 𝑜𝑢 𝑥 ≤
7
5
} 
e) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|
3
7
≤ 𝑥 ≤
3
5
 𝑜𝑢 𝑥 ≥
7
5
} 
 
19. (Enem digital 2020) Na última eleição para a presidência de um clube, duas chapas se 
inscreveram (I e II). Há dois tipos de sócio: patrimoniais e contribuintes. Votos de sócios 
patrimoniais têm peso 0,6 e de sócios contribuintes têm peso 0,4. A chapa I recebeu 850 votos 
de sócios patrimoniais e 4.300 de sócios contribuintes; a chapa II recebeu 1.300 votos de 
sócios patrimoniais e 2.120 de sócios contribuintes. Não houve abstenções, votos em branco 
ou nulos, e a chapa I foi vencedora. Haverá uma nova eleição para a presidência do clube, com 
o mesmo número e tipos de sócios, e as mesmas chapas da eleição anterior. Uma consulta 
feita pela chapa II mostrou que os sócios patrimoniais não mudarão seus votos, e que pode 
contar com os votos dos sócios contribuintes da última eleição. Assim, para que vença, será 
necessária uma campanha junto aos sócios contribuintes com o objetivo de que mudem seus 
votos para a chapa II. 
 
A menor quantidade de sócios contribuintes que precisam trocar seu voto da chapa I para a 
chapa II para que esta seja vencedora é 
a) 449. 
b) 753. 
c) 866. 
d) 941. 
e) 1.091. 
 
20. (Enem PPL 2020) Provedores de conteúdos postam anúncios de empresas em seus 
websites. O provedor A cobra 𝑅$ 0,10 por clique feito no anúncio, além do pagamento de uma 
taxa de contratação de 𝑅$ 50,00. O provedor B cobra uma taxa de contratação por anúncio 
mais atrativa, no valor de 𝑅$ 20,00, mais um valor por clique feito no anúncio. Para um anúncio 
que receberá 100 cliques, o provedor B fixará uma proposta com um valor a ser cobrado por 
clique, de modo que venha a receber, pelo menos, o mesmo total que receberia o provedor A. 
O gerente do provedor B deve avaliar os valores por clique a serem fixados. 
 
O valor mínimo que o gerente do provedor B deverá escolher é 
a) R$ 0,11 
b) R$ 0,14 
c) R$ 0,30 
d) R$ 0,40 
e) R$ 0,41 
 
 
 
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@prof.aruadias 
Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: 
 [B] 
 
 
 
Resolvendo a inequação temos 14 < x < 18, 
Logo o valor de x par que pertence a solução é x = 16. 
Resposta B. 
 
Resposta da questão 2: 
 [B] 
 
Resolvendo a inequação temos: 
𝑥
2
+ 1 < 127 ⇒
𝑥
2
+
2
2
<
254
2
⇒ 𝑥 + 2 < 254 
 
𝑥 < 252 ⇒ 𝑥 = 251 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠. 
 
Resposta da questão 3: 
 [E] 
 
Tem-se que 
 
(5𝑥2 − 6𝑥 − 8)(2 − 2 𝑥) < 0 ⇔ (𝑥 +
4
5
) (𝑥 − 1)(𝑥 − 2) > 0 
    ⇔ −
4
5
< 𝑥 < 1 ou 𝑥 > 2. 
 
Resposta da questão 4: 
 [B] 
 
Temos 
 
𝑥 − 1 < 3𝑥 − 5 < 2𝑥 + 1 ⇔ |
𝑥 − 1 < 3𝑥 − 5
3𝑥 − 5 < 2𝑥 + 1
 
 ⇔ 2 < 𝑥 < 6. 
 
Portanto, se 𝛼 é uma solução inteira de 𝑥 − 1 < 3𝑥 − 5 < 2𝑥 + 1, então 𝛼 ∈ {3,  4,  5}. 
 
Resposta da questão 5: 
 [D] 
 
A média de julho a novembro é igual a 
700 + 2500 + 2500 + 2800 + 2700
5
=
11200
5
= 2240. 
 
 
 
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@prof.aruadias 
A redução verificada de novembro para dezembro de 2011 foi de 2700 − 2240 = 460 unidades. 
Logo, o número de unidades vendidas 𝑛 meses após novembro é dado por 
𝑄(𝑛) = −460𝑛 + 2700. 
 
Queremos calcular o menor número inteiro 𝑛 para o qual se tem 𝑄(𝑛) < 700. Assim, temos 
−460𝑛 + 2700 < 700 ⇔ 𝑛 > 4,34. 
 
Portanto, segue que 𝑛 = 5 e a resposta é abril de 2012. 
 
Resposta da questão 6: 
 [A] 
 
Seja 𝑣 o valor cobrado por dia no estacionamento. Para que o usuário prefira deixar seu carro 
no estacionamento por dois dias, deve-se ter 
2𝑣 + 10 ≤ 80 ⇔ 𝑣 ≤ R$ 35,00. 
 
Portanto, o valor deve ser no máximo R$ 35,00. 
 
Resposta da questão 7: 
 [D] 
 
5𝑞 ≥ 2𝑞 + 12 
5𝑞 − 3𝑞 ≥ 12 
3𝑞 ≥ 12 
𝑞 ≥ 4 
 
Portanto, a quantidade mínima deverá ser 4 unidades. 
 
Resposta da questão 8: 
 [D] 
 
Resolvendo a inequação, temos: 
 
 
 
Resposta da questão 9: 
 [A] 
 
Seja 𝑥 a parte do capital a ser investida na poupança. Logo, 
 
0,06 ⋅ 𝑥 + (1000000 − 𝑥) ⋅ 0,075 ≥ 72000 ⇔ −0,015 ⋅ 𝑥 + 75000 ≥ 72000 
 ⇔ 𝑥 ≤
3000
0,015
 
 ⇔ 𝑥 ≤ 200000, 
 
ou seja, a parte do capital a ser aplicada na poupança deve ser de, no máximo, 𝑅$ 200.000,00. 
 
 
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@prof.aruadias 
 
Resposta da questão 10: 
 [E] 
 
De acordo com a figura, tem-se que a altura da caixa mede 24𝑐𝑚. Além disso, a largura mede 
90 − 2 ⋅ 24 = 42𝑐𝑚. Daí, o comprimento 𝑥, em centímetros, deve ser tal que 
 
0 < 𝑥 + 42 + 24 ≤ 115 ⇔ 0 < 𝑥 ≤ 49. 
 
Portanto, o maior valor possível para 𝑥, em centímetros, é 49. 
 
Resposta da questão 11: 
 [D] 
 
Resolvendo a primeira desigualdade, obtemos 
 
3𝑥 + 1 < −𝑥 + 3 ≤ −2𝑥 + 5 ⇔ |
3𝑥 + 1 < −𝑥 + 3
−𝑥 + 3 ≤ −2𝑥 + 5
 
  ⇔ |𝑥 <
1
2
𝑥 ≤ 2
 
  ⇔ 𝑥 <
1
2
. 
 
O conjunto de valores de 𝑥 que satisfaz a segunda é 
 
4𝑥 − 1
𝑥 − 2
≤ 1 ⇔
𝑥 +
1
3
𝑥 − 2
≤ 0 ⇔ −
1
3
≤ 𝑥 < 2. 
 
Portanto, o conjunto de valores de 𝑥 que satisfaz simultaneamente as desigualdades 𝐼 e II é 
igual a −
1
3
,  
1
2
[. 
 
Resposta da questão 12: 
 [A] 
 
Considerando que: 
O valor cobrado por Renato em função do número de horas 𝑡, é dado por: 
𝑓(𝑡) = 150 + 20𝑡 
 
O valor cobrado por Raimundo é: 
𝑉(𝑡) = 120 + 25𝑡 
 
Portanto, o tempo máximo para contratarmos a festa de Raimundo, de tal forma que não seja 
mais cara que a de Renato, será: 
120 + 25𝑡 ≤ 150 + 20𝑡 
5𝑡 ≤ 30 
𝑡 ≤ 6 
 
Resposta: 6 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠. 
 
Resposta da questão 13: 
 [C] 
 
 
 
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@prof.aruadias 
Sendo 15 𝑚 = 1500𝑐𝑚 e 90 𝑚 = 9000𝑐𝑚, temos 
1
𝑋
⋅ 9000 > 4 ⇔ 𝑋 < 2250. 
 
e 
1
2
< 1500 ⋅
1
𝑋
< 1 ⇔ 1500 < 𝑋 < 3000. 
 
Portanto, das duas condições, segue que 1500 < 𝑋 < 2250. 
 
Resposta da questão 14: 
 [B] 
 
2𝑥
3
−
5𝑥 − 3
4
> 1 
 
Multiplicando os dois membros por 12, temos: 
8𝑥 − 15𝑥 + 9 > 12 
−7𝑥 > 3 
𝑥 < −
7
3
 
 
Portanto, 𝑆 = ]−∞, −
3
7
[. 
 
Resposta da questão 15: 
 [A] 
 
A receita 𝑟 obtida com a venda dos pães é dada por 𝑟 = 𝑝(400 − 100𝑝). Logo, queremos 
calcular o valor de 𝑝 tal que 𝑟 ≥ 𝑅$ 300,00 e a quantidade 𝑞 seja máxima. Assim, temos 
 
𝑝(400 − 100𝑝) ≥ 300 ⇔ 𝑝2 − 4𝑝 + 3 ≤ 0 
 ⇔ 1 ≤ 𝑝 ≤ 3. 
 
A quantidade 𝑞 é máxima quando 𝑝 é mínimo. Portanto, segue que 𝑝 = 1. 
 
Resposta da questão 16: 
 [B] 
 
Para evitar prejuízo, deve-se ter 
 
3,8𝑥 − (0,4 ⋅ 3,8𝑥 + 570) > 0 ⇔ 2,28𝑥 > 570 
  ⇔ 𝑥 > 250. 
 
Portanto, o número mínimo de tubos de plástico que devem ser produzidos e vendidos é igual 
a 251. Daí, segue que 251 ∈ [248,  260]. 
 
Resposta da questão 17: 
 [E] 
 
Seja 𝑛 o número deempregados reabilitados ou com deficiência, habilitados, que será 
contratado. Logo, deve-se ter 
 
𝑛 + 10 ≥ 0,05 ⋅ (𝑛 + 1.200) ⇔ 0,95 ⋅ 𝑛 ≥ 50 ⇔ 𝑛 ≥ 52,6. 
 
 
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Portanto, a resposta é 53. 
 
Resposta da questão 18: 
 [E] 
 
Gabarito Oficial: ANULADA 
Gabarito SuperPro®: [E] 
 
Fazendo o estudo dos sinais, temos: 
 
 
 
Portanto: 
𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|
3
7
≤ 𝑥 ≤
3
5
 𝑜𝑢 𝑥 ≥
7
5
} 
 
Observação: Apesar de anulada oficialmente, a solução acima está correta, o que pode ser 
verificado também graficamente como mostrado abaixo: 
 
 
 
Resposta da questão 19: 
 [B] 
 
Sendo 𝑥 o número de sócios contribuintes que devem trocar o seu voto, temos: 
1300 ⋅ 0,6 + (2120 + 𝑥) ⋅ 0,4⏞ 
𝑐ℎ𝑎𝑝𝑎 𝐼𝐼
> 850 ⋅ 0,6 + (4300 − 𝑥) ⋅ 0,4⏞ 
𝑐ℎ𝑎𝑝𝑎 𝐼
 
 
 
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780 + 848 + 0,4𝑥 > 510 + 1720 − 0,4𝑥 
0,8𝑥 > 602 
𝑥 > 752,5 
 
Portanto, pelo menos 753 sócios contribuintes devem trocar o seu voto para que a chapa II seja 
a vencedora. 
 
Resposta da questão 20: 
 [D] 
 
Se 𝑣 é o valor cobrado por clique no provedor 𝐵, então 
100𝑣 + 20 ≥ 100 ⋅ 0,1 + 50 ⇔ 100𝑣 ≥ 40 
    ⇔ 𝑣 ≥ 0,4. 
 
A resposta é R$ 0,40.