Lista de Exercícios-1-1-2-resolução

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Lista de Exercícios – Potência 
E-1 – Considerando o Circuito a seguir. 
 
Se Vf(t) =100 cos(100t), R1=10 , L1=50 mH, R2=15  e C1= 1 mF, calcule: 
a) Potência média fornecida pela fonte de tensão 
b) Corrente que flui pelo capacitor C1 
c) Corrente que flui pelo resistor R2 
d) Potência média no resistor R1 
e) Potência média no resistor R2 
Resolução 
Montando as equações de laço temos: 
( )
( ) 0101515
10015525
21
21
=−+−
=−+
IjI
IIj
 
Resolvendo temos: 
72.325.4
113
420480
89.073.6
113
100760
2
1
j
j
I
j
j
I
+=
+
=
+=
+
=
 
Logo, a corrente que flui pelo resistor R1 é 6.73+j0.89 A, a corrente que flui pelo capacitor C1 é 
4.25+j3.72 A. A corrente que flui pelo resistor R2 é 2.48-j2.83 A. A potência média na fonte é 
336.28 W, a potência no resistor R1 é 230.09 W e a do resistor R2 é 106.19 W. 
E-2 – Considerando o Circuito a seguir. 
 
Se V1 =j12 V, I1=4 A, R1=4 , C1=-j4 , R2=2  e L1= j2 , calcule: 
a) Potência média fornecida pela fonte de tensão 
b) Corrente que flui pelo capacitor C1 
c) Potência média fornecida pela fonte de corrente 
d) Potência média no resistor R1 
e) Potência média no resistor R2 
Resolução 
Calculando as tensões nodais: 
5
2836
121
4
2
1
2
1
4
1
4
1
1
2
1
2
1
1
1
1
j
V
jVVV
VV
j
IV
R
V
R
Cj
R
A
BB
BABA
+
=
==
=−





+
−
+=−





++ 
 
Portanto as correntes são: 
( ) ( )
5
1612
5
1618
12
5
2836
2
1
5
97
45
2836
6
2
12
5
79
45
2836
1
2111
j
I
j
j
j
I
j
j
j
I
j
j
I
jj
I
V
RCLR
−−
=
−
=





−
+
=
+−
=
−
+
===
+
=
+
=
Resolvendo temos: 
WP
WP
WP
WP
I
R
R
V
5
72
5
116
5
52
5
96
1
2
1
1
=
=
=
=
 
Logo, a corrente que flui pelo capacitor C1 é -1.4+1.8 A. A potência média na fonte de tensão é 
19.2 W, a potência média fornecida pela fonte de corrente é 14.4, a potência no resistor R1 é 
10.4 W e a do resistor R2 é 23.2 W. 
E-3 – Considerando o Circuito a seguir. 
 
Se I1 = 4 A com fase de 30 graus, R1=4 , C1=-j1 , R2=2  e L1= j3 , calcule: 
a) Potência média fornecida pela fonte de corrente 
b) Corrente que flui pelo capacitor C1 
c) Corrente que flui pelo indutor L1 
d) Potência média no resistor R1 
e) Potência média no resistor R2 
Resolução 
Calculando as correntes de laço: 
( ) ( ) ( )
jI
I
IjjIjI
Cj
RLjRILjR
II
B
A
BaBa
A
+=
=
=−++++−=





+++++−
==
3
4
0234340
1
1
21111
41


 
As tensões nos elementos são: 
( ) ( )
jVVV
jVjjjVjjjVjjV
LRI
RCLR
−=+=
+=−=+−=+=−=−=−−=
7
26333331344)34(4
111
2111
Resolvendo temos: 
( )( )
( )( )
( ) WjP
WjjP
WjjP
I
R
R
1474
2
1
Re
10332
2
1
4114
2
1
1
2
1
=






−=
=−+=
=+−=
 
Logo, a corrente que flui pelo capacitor C1 é 3+j A, a corrente que flui pelo indutor é de 1-j A. A 
potência média fornecida pela fonte de corrente é 14 W, a potência no resistor R1 é 4 W e a 
do resistor R2 é 10 W. 
E-4 – Considerando o Circuito a seguir. 
 
Se I1 = 2 A, R1=2 , R2=4 , C1=-j4 , V1 =12 V e L1= j2 , calcule: 
a) Potência média fornecida pela fonte de corrente 
b) Corrente que flui pelo capacitor C1 
c) Corrente que flui pelo resistor R2 
d) Potência média no resistor R1 
e) Potência média fornecida pela fonte de tensão 
Resolução 
Calculando as correntes de laço: 
( ) ( )
( )
17
368
17
3626
17
2046
2
0442202
1
1
11
122221111
1
j
I
j
I
j
I
III
IIjjIjIRI
Cj
LjILj
IjIjVILjILjR
C
B
A
CB
CBACBA
BABA
+−
=
+
=
−
=
==−
=+−+−=+





++−
=−+=−+



 
Resolvendo temos: 
WP
WP
WP
WP
V
R
R
I
235.16
41.9
71.8
882.1
1
2
1
1
=
=
=
−
 
Logo, a corrente que flui pelo indutor L1 é 1.18-j3.29 A, a corrente que flui pelo resistor é de 
2.71-j1.18 A. A potência média fornecida pela fonte de corrente é 5.462 W, a potência no 
resistor R1 é 6.7 W e a da fonte de tensão é 1.238 W. 
E-5– Considerando o Circuito a seguir. 
 
Se Ix é a corrente que passa por V1, a=2, R1=2 , C1=-j2 , V1 =12 V e L1= j1 , calcule: 
a) Potência média fornecida pela fonte independente de tensão 
b) Corrente que flui pelo capacitor C1 
c) Tensão no capacitor C1 
d) Potência média no resistor R1 
e) Potência em um resistor de 2  conectado entre os terminais. 
Resolução 
Calculando a corrente de laço: 
( )
5
1224
5
612
2
5
2412
5
612
2
5
612
24
12
122221
1
1
1
1
1
jj
V
jj
jV
j
j
I
IjaIVI
Cj
R
R
C
x
xxX
+
=
+
=
−
=
+
−=
+
=
−
=
=+−−=





+

 
Resolvendo temos: 
5
36
5
72
5
612
12
2
1
1
1
=
=




 −
=
R
V
P
W
j
P
 
Já a potência do resistor de 2  ligado ao circuito pode ser calculada tanto por Norton quanto 
Thevenin. Aqui usamos as equações de laço novamente: 
( )
( ) ( )
29
72168
29
3684
2
29
3684
29
672
022221
1
1
1
1
122241
1
1
1
1
1
2
2
2
22
jj
V
j
I
j
I
IjIjaIRLj
Cj
I
Cj
IjIjaIVI
Cj
I
Cj
R
R
x
xxx
xxX
−
=
−
=
−
=
−
=
=−+−−=





+++−
=+−−=−





+



 
Logo, a potência média dissipada pelo resistor R2 é 9.93 W. 
E-6 – Considerando o Circuito a seguir. 
 
Se V1=2, R1=1 k, R2=4 k e R3= 2 k, calcule: 
a) Potência média fornecida pela fonte de tensão 
b) Corrente que flui pelo resistor R1 
c) Tensão no resistor R3 
d) Potência média no resistor R2 
e) Corrente que sai do amplificador operacional. 
Resolução 
Este circuito não tem elementos reativos, então é relativamente simples de calcular: 
VV
VVVV
mA
R
V
I
VV
R
R
v
i
R
vv
R
v
Vv
R
R
R
out
inversoranão
inversosanãooutinversosanão
inversosanão
6
43
2
1
3
1
3
1
31
1
2
113
1
1
1!1!
_
__
_
=
=−=
==
=





+=
=
−
+
=
 
Resolvendo temos: 
mWP
P
R
V
2
9
4
6
6
2
1
0
1
1
==
=
 
A corrente que sai do amplificador operacional é de -0.5 mA 
E-7 – Considerando o Circuito a seguir. 
 
Se V1=6, R1= 2 , R2= 1  C1= -j1 e L1= j1, calcule: 
a) Qual deve ser Z para máxima transferência de potência média 
b) Quanto é a máxima transferência de potência média 
c) Qual é a corrente em Z na máxima transferência de potência média 
d) Qual é a corrente em R1 na máxima transferência de potência média 
e) Qual é a corrente em R2 na máxima transferência de potência média. 
Resolução 
Aqui precisamos calcular o equivalente de Thevenin/ Norton para obter o valor da impedância 
ótima. Montando a equação de laços para o circuito aberto. 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
5
39
21
33
5
927
0320211
1
1
11
62211111
212
2
1
2121
2121
j
IRIILjV
jI
j
I
IIjIRLjR
Cj
ILjR
IjIjVILjRILjR
OC
+
=+−=
+=
+
=
=++−=





+++++−
=+−+−=+−+





 
Montando a equação para o curto-circuito: 
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) 2
42
44
26
010121
02201
1
1
1
62211111
32
3
2
1
3131
2121
321321
=−=
+=
+=
+=
=++−=++−
=−+−=





++−
=−−+−=−−+
III
jI
jI
jI
IjjIILjRILj
IjIIR
Cj
IR
jIIIjVILjIRILjR
SC



 
Portanto a impedância é: 
10
39 j
I
V
Z
SC
OC
TH
+
== 
Agora, basta calcular o circuito com a impedância ótima 0.9+j0.3 . Resolvendo temos: 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
3
3
3
107
3
1110
3
617
07.09.13.09.00121
03.09.03.19.2201
1
1
1
62211111
32
3
2
1
321321
321321
321321
j
III
j
I
j
I
j
I
IjIjjIIZLjRIZILj
IjIjIIZIZR
Cj
IR
jIIIjVILjIRILjR
Zopt
optopt
optopt
+
=−=
+
=
+
=
+
=
=++−−−=+++−−
=−−−+−=−





+++−
=−−+−=−−+



 
A potência média absorvida em Zopt é 0.5 W. A corrente em R2 é 2.33+j3.33 A e a corrente em 
R1 é 2.33-j1.67 A. 
E-8 – Considerando o Circuito a seguir. 
 
Se V1=12 V, I1= 4 A, R1= 1 , R2= 1  C1= -j1 L1= j1 e L2= j1, calcule: 
a) Qual deve ser Z para máxima transferência de potência média 
b) Quanto é a máxima transferência de potência média 
c) Qual é a tensão em Z na máxima transferência de potência média 
d) Qual é a corrente em V1 na máxima transferência de potência média 
e) Qualé a tensão em I1 na máxima transferência de potência média. 
Resolução 
Nesse caso só precisamos da impedância de Thevenin, e esta é bastante simples: 
=−+++= 11
1
1
11 jj
Cj
LjRZTH

 
Agora é só calcular as correntes: 
( ) ( )
( ) 24241
28
41
1111
jjV
jI
II
VIjIjj
Zopt
A
B
BA
−=−=
−=
==
=−−+−+
 
A máxima transferência de potência é de 10 W, a corrente que atravessa V1 é Ia = 8-j2 A. Já a 
tensão em I1 é 8 V. 
E-9 – Considerando o seguinte sinal. 
( ) ( ) ++= tatatv coscos)( 21 
Se a1=1, a2=1 e =120 graus quanto é o valor RMS do sinal. 
Resolução 
Expressando: 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
4
sin3cossin32cos
sin
2
3
cos
2
1
sin
2
3
cos
2
1
cos
3
2
coscos)(
22
2
22
2
tttt
tt
ttttttv





+−
=





+=






+−=











++=
 
Integrando: 
( ) ( ) ( ) ( )
2
1
4
30
2
1
4
sin3cossin32cos
2
1
)(
2
2
0
22
0
2 =
+−
=
+−
= 




dt
tttt
dttv
T
 
Logo o valor RMS é 1/sqrt(2). 
E-10 – Encontre o valor eficaz (RMS) para cada uma das formas de onda a seguir. 
 
Resolução 
a) A descrição da função é: 
( )
( )










−

−

=
1099
5
3
950
545
5
3
40
5
3
)(
tt
t
tt
t
tv 
Com isso, o valor eficaz passa a ser: 
( ) ( )
5
7
5
1
5
1
5
12
10
1
9
5
3
05
5
3
5
3
10
1
)(
1
10
9
2
9
5
5
4
2
4
00
2 =





++=





−++−+=  dttdtdttdtdttvT
T
 b) A descrição da função é: 
( )
( )






−
−
=
1269
6
3
603
6
3
)(
tt
tt
tv 
Com isso, o valor eficaz passa a ser: 
( ) ( )
2
1
2
3
2
3
12
1
9
36
3
3
36
3
12
1
)(
1
12
6
2
6
0
2
0
2 =





+=





−+−=  dttdttdttvT
T
 
c) A descrição da função é: 
( )





=


20
0sin
)(
t
tt
tv 
Com isso, o valor eficaz passa a ser: 
( )
2
1
22
1
sin
2
1
)(
1
0
2
0
2 =





== 



dttdttv
T
T
 
E-11 – Encontre o valor médio e o eficaz para a forma de onda a seguir. 
 
Resolução 
Calculando o valor médio 
4
7
31
4
1
)(
1
3
1
1
00
=





+=  dtdtdttvT
T
 
Calculando o valor eficaz 
1795.2
4
19
91
4
1
)(
1
3
1
1
00
2 ==





+=  dtdtdttvT
T
 
E-12 – Para o circuito a seguir encontre o valor do indutor se a potência complexa fornecida 
pela fonte de tensão é de VA013.53
3
50
 . 
 
Resolução 
Montando as equações de laço: 
( ) ( )
( ) 4073420
0203212
2
32
321
1
=++−
=−+++−
−=
IjI
IIjXIjX
I
 
A equação da potência indica que: 
( )
( ) jII
I
3
2
2
1
13.53
6
5
13.53
6
5
13.53
3
50
40
2
1
0
3
0
3
0
3
−−==
=


 
Assim temos o valor de I1, I2 e I3: 
( )
( ) jIjjI
jI
j
I
I
24
23
24
22
40
3
2
2
1
73420
3
2
2
1
5
43
3
50
40
2
1
2
22
3
*
3
1
−−==





−++−
−=




 +
=
−=
 
Portanto X é: 
( )( ) ( ) 160
3
2
2
1
20
24
23
24
22
32212 ==





−−





−−++−+− XjjjXjX 
Logo, L= 2 H. 
E-13 – Para o circuito a seguir encontre a corrente I e a potência complexa entregue pela 
fonte quando VrmsV 012050= . 
 
Resolução 
Montando as equações de laço: 
( ) ( )
( ) ( ) 0102010
101012
21
21
=−+−−
=−−+
IjIj
VIjIj
 
As correntes são: 
3768.00526.1
4821.22990.0
2
1
jI
jI
+=
+=
 
Portanto a potência entregue pela fonte é: 
( ) ( )( )
WP
VAjjjIVS
med 100
751004821.22990.03012.4325
*
1
=
+=−+−==
 
E-14 – Um processo consome 20 kW de potência em uma linha de 240 V RMS. Se o fator de 
potência da carga é de 0.9, qual é o ângulo para o qual a tensão na carga adianta a corrente na 
carga? Qual é o fasor de corrente na carga se a tensão na linha possui um fasor de 240 V RMS 
(com zero graus)? 
Resolução 
Calcular o ângulo é só descobrir o arco cosseno do fator de potência: 
  084.25arccos == fp 
No caso escolhe-se o negativo em razão do atraso da corrente. Já o fasor é calculado usando: 
A
fpV
P
I
RMS
RMS 59.92== 
Portanto o fasor é: 92.59 com fase -25.84 graus. 
E-15 – Uma companhia de energia elétrica fornece 80 kW a uma carga industrial. A carga 
absorve 220 A RMS da linha de transmissão. Se a tensão da carga é de 440 V RMS e o fator de 
potência da carga é de 0.8 em atraso, determine as perdas na linha de transmissão. 
Resolução 
Sabemos que a tensão na carga é de 440 V RMS e a corrente é de 220 A RMS, além disto 
sabemos que o fator de potência é 0.8. Portanto a potência na carga é: 
kWfpIVP RMSRMS 44.778.0220440 === 
Como a companhia fornece 80 kW então 2.56 kW são perdidos na linha. 
E-16 – Uma carga industrial que consome 40 kW é suprida por uma companhia de energia 
elétrica através de uma linha de transmissão cuja resistência é 0.1 , com 44 kW. Se a tensão 
na carga é de 240 V RMs, determine o fator de potência. 
Resolução 
Isto quer dizer que a potência gasta na linha de transmissão é de 4 kW. Como a resistência é 
de 0.1 W, então a corrente: 
A
R
P
IRMS 200== 
Sabemos que a tensão na carga é de 240 V RMS e a corrente é de 200 A RMS, além disto a 
potência na carga é 40 kW. Portanto o fator de potência na carga é: 
833.0
200240
40000
=

==
RMSRMS IV
P
fp 
E-17 – Uma carga industrial opera a uma potência de 30 kW com fator de potência de 0.8 em 
atraso. A tensão na carga é de 240 V RMS. As perdas de potência real e reativa no alimentador 
da linha de transmissão são respectivamente de 1.8 kW e 2.4 kVAr. Determine a impedância 
da linha de transmissão e a tensão na entrada da linha. 
Resolução 
Primeiro precisamos determinar o fasor corrente. 
A
fpV
P
I
RMS
RMS 25.156== 
A fase é de - 36.86 graus. Como as perdas na linha de transmissão são conhecidas temos: 
+=+=== 098.0074.024001800
2* jZjIZIVS RMSRMSRMS 
A tensão na entrada da linha é: 
( )( ) 376.5432.25824075.93125098.0074.0 jjjVZIV RMSRMSIN +=+−+=+= 
E-18 – O circuito abaixo possui uma impedância desconhecida Z. No entanto, sabe-se que 
( )Vttv 020100cos100)( += e ( )Attv 010100cos25)( −= . Encontre: 
a) Encontre o valor de Z 
b) Encontre a potência absorvida pela impedância 
c) Determine o tipo de elemento e sua magnitude tal que, ao ser colocado em paralelo 
com Z, tal que v(t) e i(t) estejam em fase. 
 
Resolução 
Primeiro precisamos determinar o a impedância. 
( )jZZZIV +==−== 32304102520100 000 
A potência é dada por: 
( )jSVIS +===  3625301250102520100
2
1
2
1 000 
Logo a potência é de 1082.53 W. Já o elemento só precisa zerar a parte imaginária da 
impedância, portanto: 
( )( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )22
2222
232
2216321632
232
232
232
232
+++
+++++
=
+−+
+−+
+++
++
=
XR
XRXjXRR
XjR
XjR
XjR
jjXR
Z eq
 
Queremos que a parte imaginária seja zero, então: 
222
22
16408
02162
RXRXX
RXX
−−==++
=++
 
O elemento é capacitivo e depende do valor de R. Se R é 0 então X = -8 W. O que corresponde 
a 1.25 mF. 
E-19 – Considere o circuito abaixo. Se a potência média de 500 W é dissipada no resistor de 
20 , encontre a tensão RMS, a corrente RMS, o fator de potência visto pela fonte e tensão da 
fonte (Vs). 
 
Resolução 
Vamos montar as equações e encontrar as correntes em função de V. 
( )
404020
0202020
20
21
21
1
jVV
I
jV
I
IjjI
VjI
+−==
=++−
=−
 
Fica mais simples se colocarmos a corrente na forma polar: 
VI = 02 135
40
2
 
Sabemos que a fase da corrente no resistor é zero (pois a fase da tensão também é zero), 
portanto: 
0200 1352004000135
40
2
135
40
2
20
2
1
2
1
−==−==  VVVVVIS 
Então calculando as tensões e correntes rms: 
AI
VV
R
R
5
100
=
=
 
Já o fator de potência precisa da tensão e corrente da fonte: 
000
0
45
2
10
135
2
200
90
20
1
20
135
2
200
−=





−





==
−=
jV
I
V
RMS
RMS
 
Calculando o fator de potência: 
( )( ) ( )000 90100045
2
10
135
2
200
−=











−==

RMSRMS IVS 
Portanto o fatorde potência é zero. 
E-20 – Uma carga em particular possui um fator de potência de 0.8 em atraso. A potência 
fornecida a carga a partir de uma linha de 270 V RMS a 60 Hz é 40 kW. Qual é o valor da 
capacitância colocada em paralelo com a carga que propiciará um aumento no fator de 
potência para 0.9 em atraso? 
Resolução 
A equação que permite calcular o valor do capacitor é: 
( )
F
pf
pf
pf
pf
V
P
C
new
new
old
old
RMS


67.386
11 22
2
=







 −
−
−
= 
E-21 – Um motor de indução de 100 kW mostrado a seguir recebe 100 kW com um fator de 
potência de 0.8 atrasado. Encontre a capacidade adicional em kVA que surge quando se 
melhora o fator de potência para: a) 0.95 atrasado e b) 1.0. Encontre a capacidade reativa em 
kVAr dado por um conjunto de capacitores em paralelo para os casos (a) e (b). Determine a 
razão de kVA disponibilizados por kVAr dos capacitores para os casos (a) e (b). 
 
Resolução 
Primeiro temos que calcular a potência complexa. 
0
2
87.3612575100
1
1 =+=







 −
+=+= kVAj
pf
pf
jPjQPS
old
old 
Com o novo fator de potência a potência complexa torna-se: 
Novo fp =0.95: 0
2
19.1826.10586.32100
95.0
95.01
1 −=+=







 −
+=+= kVAjjPjQPS 
Novo fp =1.0: kWjPjQPS 100
1
11
1
2
=







 −
+=+= 
Já a capacidade reativa: 







 −
−
−
=
new
new
old
old
pf
pf
pf
pf
PQ
22 11
 
Portanto: 
Caso de 0.95 , Q = 42.13 kVAr e no caso de 1.0 Q=75 kVAr 
E-22 – Uma indústria opera com uma fonte de 60 Hz a 500 V em paralelo com duas cargas. A 
primeira carga consome 48 kW com fator de potência 0.6 em atraso. A outra carga consome 
24 kW com fator de potência 0.96 adiantado. Calcule a impedância que deve ser colocado em 
paralelo para que o fator de potência total seja 1.0.