Exercício Fluxo Lenz

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EXERCÍCIO	
  
Repe+ndo	
  o	
  que	
  fizemos	
  em	
  aula	
  com	
  a	
  animação	
  
h<ps://www.youtube.com/watch?v=bkSsgTQOXVI	
  
explique	
  trecho-­‐a-­‐trecho,	
  à	
  luz	
  da	
  Lei	
  de	
  Faraday,	
  o	
  que	
  ocorre	
  entre	
  
os	
  campos	
  B,	
  E,	
  Bi	
  e	
  o	
  fluxo	
  magné+co	
  ϕm.	
  
€ 
E • dL
L
∫ = − ddt B • dSS
∫
ϕm = B • dS
S
∫
Fluxo	
  magné+co	
  através	
  da	
  espira	
  (Wb)	
  
Campo	
  elétrico	
  induzido	
  (V/m)	
  
B	
  =	
  Densidade	
  de	
  fluxo	
  magné+co	
  (T=Wb/m2)	
  
Podemos	
  chamar	
  B	
  de	
  campo	
  original	
  
E	
  =	
  Campo	
  elétrico	
  induzido	
  na	
  espira	
  
Bi	
  (campo	
  induzido,	
  T=Wb/m2)
h<ps://www.youtube.com/watch?v=bkSsgTQOXVI	
  
dS	
  
S e dL seguem a regra 
da mão-direita 
€ 
S = dS
S
∫
E > 0 	
  
E=Eaφ 	
  
dL 	
  
E < 0 	
  
dL=dLaφ 	
   E < 0 	
  
€ 
S = dS
S
∫
dL 	
  
a 
€ 
Fluxo magnético : ϕm = B • dS
S
∫
Lei de Faraday aplicada na espira parada
E • dL
L
∫ = − ddt B • dSS
∫ ⇒ E • dL
L
∫ = − dϕmdt
E dL
L
∫ = − dϕmdt ⇒ E dLL
∫ = − dϕmdt
a = raio da espira
E2πa = − dϕm
dt
⇒ E = − 1
2πa
dϕm
dt
O campo elétrico E induzido na espira é proporcional ao
simétrico da taxa de variação (derivada) do fluxo magnético :
E α − dϕm
dt
Calculando E em função de B, variável no tempo :
ϕm = B • dS
S
∫ = BdS
S
∫ = B dS
S
∫ = πa2B
E = − 1
2πa
dϕm
dt
= −
1
2πa
d(πa2B)
dt
E = − a
2
dB
dt
S 
O campo elétrico E obedece à taxa de variação (derivada) do fluxo magnético ϕm 
€ 
E = −C dϕm
dt
⇒ em módulo
se dϕm
dt
↑ ⇒ E ↑ ⇒ Bi ↑
se dϕm
dt
↓ ⇒ E ↓ ⇒ Bi ↓
⎧ 
⎨ 
⎪ 
⎩ 
⎪ 
O campo elétrico E induzido na espira cria a corrente I na espira 
€ 
J =σE ⇒ I
A
=σE ⇒ I =σAE
A corrente I na espira cria o campo Bi induzido que atravessa a superfície da espira 
€ 
Bi = µ0H i e H i • dl
l
∫ = I ⇒ Bi • dl
l
∫ = µ0I
€ 
Bi • dl
l
∫ = µ0σAE
O campo Bi induzido segue o campo elétrico induzido E 
€ 
ϕm = B • dS
S
∫ ⇒
se B ↑ ⇒ ϕm ↑
se B ↓ ⇒ ϕm ↓
⎧ 
⎨ 
⎩ 
O fluxo magnético ϕm obedece (também) ao campo magnético B 
De acordo com o vídeo, do tempo t0 até t7, o fluxo 
magnético ϕm que atravessa a espira, varia devido 
ao crescimento ou diminuição do campo B 
(densidade de fluxo magnético). Isso pode ser 
visto através da variação do espaçamento entre as 
linhas de campo B. Quanto mais juntas as linhas 
de campo, maior é o campo (original) B, quanto 
mais espaçadas, menor é o campo B. A partir de 
t7, o campo B fica constante e o fluxo magnético 
ϕm que atravessa a espira varia porque a espira 
gira e, assim, o produto escalar B.S varia devido à 
mudança do ângulo entre B e S. 
t	
  
t	
  
O campo elétrico E obedece à taxa de variação (derivada) do fluxo magnético ϕm 
Análise, tempo-a-tempo, das curvas do fluxo magnético 
ϕm e do campo elétrico E 
t0 – t1: o fluxo ϕm é constante, não varia => derivada nula => 
campo elétrico nulo, E=0; 
0	
  	
  	
  	
  1	
  	
  	
  	
  	
  	
  2	
  	
  	
  	
  3	
  	
  	
  	
  	
  	
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  8	
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  11	
  
t	
  
t	
  
€ 
S = dS
S
∫
E > 0 	
  
E < 0 	
  
E=Eaφ 	
  
dL=dLaφ 	
  
dL 	
  
a 
t1 – t2: o campo (original) B cresce => o fluxo 
ϕm cresce (devido ao aumento de B) com 
concavidade para cima, assim a taxa de 
variação (derivada) é crescente => o campo 
elétrico cresce (no sentido negativo, devido ao 
sinal menos da lei de Faraday) => esse campo 
elétrico gera uma corrente elétrica crescente na 
espira (J=σE) a qual, por sua vez, gera um 
campo induzido Bi crescente (seguindo E) que 
atravessa a área da espira e se opõe à taxa de 
variação crescente do campo original B, que 
cresce apontando para cima enquanto o campo 
induzido de oposição Bi cresce apontando para 
baixo. 
O campo elétrico E obedece à taxa de variação (derivada) do fluxo magnético ϕm 
0	
  	
  	
  	
  1	
  	
  	
  	
  	
  	
  2	
  	
  	
  	
  3	
  	
  	
  	
  	
  	
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  7	
  	
  	
  	
  8	
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  10	
  	
  11	
  
t	
  
t	
  
t2: o fluxo ϕm muda a concavidade => 
derivada máxima => campo elétrico 
máximo, negativo, devido ao sinal de 
menos (ver figura); 
€ 
dϕm
dt
> 0 crescente
€ 
dϕm
dt
> 0 máxima
€ 
dϕm
dt
> 0 decrescente
€ 
dϕm
dt
> 0 crescente
€ 
dϕm
dt
> 0 máxima
€ 
dϕm
dt
> 0 decrescente
€ 
E α − dϕm
dt
t2 – t3: o campo B continua crescendo => o fluxo 
magnético ϕm continua crescendo mas, agora, 
com concavidade para baixo, o que faz com que 
a sua taxa de variação (derivada) seja 
decrescente => por isso, a intensidade do campo 
elétrico, que obedece a derivada de ϕm, diminui 
(E é negativo devido ao sinal de menos) => o 
campo Bi (induzido) também diminui, e continua 
no sentido contrário ao de B se opondo à taxa de 
variação de B que é decrescente. O campo Bi, 
realmente, não precisa aumentar, porque a taxa 
de variação de B diminui, tendendo a zero no 
instante t3. É como se o campo original B fosse 
ficando cansado à medida que cresce e, aí, Bi 
pode ir “descansando”, diminuindo. 
O campo elétrico E obedece à taxa de variação (derivada) do fluxo magnético ϕm 
0	
  	
  	
  	
  1	
  	
  	
  	
  	
  	
  2	
  	
  	
  	
  3	
  	
  	
  	
  	
  	
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  8	
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  10	
  	
  11	
  
t	
  
t	
  
t3 – t4: o campo B é constante => fluxo ϕm é 
constante (taxa de variação nula) => campo 
elétrico nulo, E=0, não tem corrente na espira, 
por isso, não tem campo induzido Bi ; 
€ 
dϕm
dt
> 0 crescente
€ 
dϕm
dt
> 0 máxima
€ 
dϕm
dt
> 0 decrescente
€ 
E α − dϕm
dt
t4 – t5: o campo B diminui, o fluxo ϕm diminui, as 
linhas vão se espaçando, mas com uma taxa de 
variação negativa porém crescente em módulo 
=> assim, o campo elétrico E, que obedece à taxa 
de variação do fluxo ϕm, cresce em intensidade, é 
positivo (simétrico da derivada). Esse campo 
elétrico positivo cria corrente elétrica na espira a 
qual cria o campo induzido Bi crescente apontado 
para cima contrariando a tendência da diminuição 
do campo B. 
O campo elétrico E obedece à taxa de variação (derivada) do fluxo magnético ϕm 
0	
  	
  	
  	
  1	
  	
  	
  	
  	
  	
  2	
  	
  	
  	
  3	
  	
  	
  	
  	
  	
  4	
  	
  	
  	
  	
  	
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  8	
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  10	
  	
  11	
  
t	
  
t	
  
€ 
dϕm
dt
< 0 
decrescente
(em módulo)
€ 
dϕm
dt
< 0 
máxima
(em módulo)
 
€ 
dϕm
dt
< 0 
crescente
(em módulo)
 
t5: o fluxo ϕm muda a concavidade => derivada 
máxima (em módulo) => campo elétrico E é 
máximo, positivo; 
t5 – t6: o campo B diminui, o fluxo ϕm é 
decrescente com concavidade para cima e taxa 
de variação decrescente (em módulo) => o 
campo elétrico diminui e vai a zero => o 
campo induzido Bi diminui, porque não precisa 
aumentar já que o campo B está diminuindo. 
€ 
E α − dϕm
dt
t6 – t7: o fluxo ϕm é constante (taxa de variação 
nula) => campo elétrico nulo, E=0; 
A espira começa a girar 
t7 – t8: o campo B é constante => o fluxo ϕm 
diminui com taxa de variação crescente (em 
módulo) porque a espira roda e o produto escalar 
diminui pois o ângulo θ aumenta em direção à 
90º, B.S=BScosθ => derivada negativa crescente 
(em módulo) => campo elétrico E cresce e é 
positivo, simétrico da derivada; 
t8: o fluxo ϕm muda a concavidade => campo 
elétrico E é máximo, positivo; 
t8 – t9: o fluxo negativo ϕm aumenta com taxa de 
variação decrescente => derivada negativa 
decrescente => campo elétrico diminui até zero; 
O campo elétrico E obedece à taxa de variação (derivada) do fluxo magnético ϕm 
0	
  	
  	
  	
  1	
  	
  	
  	
  	
  	
  2	
  	
  	
  	
  3	
  	
  	
  	
  	
  	
  4	
  	
  	
  	
  	
  	
  5	
  	
  	
  	
  	
  6	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
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  8	
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  10	
  	
  11	
  
t	
  
t	
  
€ 
dϕm
dt
< 0 
decrescente
(em módulo)
€ 
dϕm
dt
< 0 
máxima
(em módulo)
 
€ 
dϕm
dt
< 0 
crescente(em módulo)
 
€ 
E α − dϕm
dt
t9: o módulo do fluxo ϕm passa por um máximo 
(em módulo) => derivada nula => campo elétrico 
nulo; 
t9 – t10: o módulo do fluxo ϕm diminui com 
concavidade para cima, taxa de variação 
crescente => derivada crescente => o campo 
elétrico (invertido) aumenta e vai para o 
máximo; 
t10: o fluxo ϕm que atravessa a superfície S da 
espira é nulo, θ=90º, muda de concavidade 
momento no qual a taxa de variação é máxima 
=> campo elétrico máximo (invertido); 
t10 – t11: o fluxo ϕm aumenta com taxa de 
variação decrescente até alcançar a estabilidade 
constante => o campo diminui até chegar a zero. 
t	
  
t	
  
O campo elétrico E obedece à taxa de variação (derivada) do fluxo magnético ϕm 
0	
  	
  	
  	
  1	
  	
  	
  	
  	
  	
  2	
  	
  	
  	
  3	
  	
  	
  	
  	
  	
  4	
  	
  	
  	
  	
  	
  5	
  	
  	
  	
  	
  6	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
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t	
  
t	
  
€ 
dϕm
dt
> 0 crescente
€ 
dϕm
dt
> 0 máxima
€ 
dϕm
dt
> 0 decrescente
€ 
E α − dϕm
dt