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Exerćıcios de Álgebra Linear
Gabriel Ribeiro
07 de julho de 2016
Fiz essa lista de exerćıcios com alguns dos exerćıcios mais parecidos com
as provas e com o estilo dos professores que eu pude encontrar. Como uma
referência básica, classifiquei os exerćıcios por “estrelas”. Sendo assim, um
exerćıcio “*” é fácil e um exerćıcio “****” é bem dif́ıcil. Espero que ajude.
1 Dependência e Independência Linear / Espaços
Vetoriais
Exerćıcio 1 (*). Seja V o espaço vetorial dos polinômios de coeficientes reais
cujo grau não excede 3. Os seguintes vetores
1 + 3x+ x2, x3 − 3x+ 1, 3x3 − x2 − x− 1
são linearmente independentes em V ?
Exerćıcio 2 (*). Suponha que v1, · · · , vn são linearmente independentes em V
e w ∈ V . Prove que se v1 + w, · · · , vn + w é linearmente dependente, então w
existe no subespaço gerado por v1, · · · , vn.
Exerćıcio 3 (*). Seja R[X] o espaço vetorial de todos os polinômios de coefi-
cientes reais. Mostre que R[X] possui dimensão infinita.
Exerćıcio 4 (*). Seja V o espaço vetorial de todas as funções de R em R; seja
Vp o subconjunto das funções pares, f(−x) = f(x); seja Vi o subconjunto das
funções ı́mpares, f(−x) = −f(x).
(a) Prove que Vp e Vi são subespaços de V.
(b) Prove que Vp + Vi = V.
(c) Prove que Vp ∩ Vi = {0}.
Exerćıcio 5 (**). Sejam W1 e W2 subespaços de um espaço vetorial V tais que
W1 + W2 = V e W1 ∩W2 = {0}. Prove que para todo vetor α em V existem
vetores α1 em W1 e α2 em W2 únicos tais que α = α1 + α2.
Exerćıcio 6 (**). Sejam v1, v2, · · · , vn vetores L.I. em Rn. É sempre verdade
que v1, v1 + v2, v1 + v2 + v3, · · · , v1 + v2 + · · ·+ vn são L.I.?
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Exerćıcio 7 (**). Seja V o espaço vetorial de todas as funções de R em C (os
escalares são números complexos). Seja f1(x) = 1, f2(x) = e
ix e f3(x) = e
−ix.
(a) Prove que f1, f2 e f3 são linearmente independentes.
(b) Seja g1(x) = 1, g2(x) = cos(x) e g3(x) = sin(x). Encontre uma matriz P
3× 3 inverśıvel tal que
gj =
3∑
i=1
Pijfi.
Exerćıcio 8 (***). Sejam W1 e W2 subespaços de um espaço vetorial V tais que
W1 ∪W2 também é um subespaço. Prove que um dos espaços Wi está contido
no outro.
Exerćıcio 9 (***). Seja V o espaço vetorial de todas as funções de R em R.
Prove que as funções f1(x) = |x− 1|, f2(x) = |x− 2|, ..., f10(x) = |x− 10| são
linearmente independentes.
Exerćıcio 10 (****). Seja V o conjunto dos números reais. Considere V um
espaço vetorial em que os escalares são números racionais, com as operações
usuais. Prove que esse espaço vetorial não possui dimensão finita.
2 Resolução do primeiro caṕıtulo
Solução 1 (Resolvido pelo Roberto). Suponha que
a(1 + 3x+ x2) + b(x3 − 3x+ 1) + c(3x3 − x2 − x+ 1) = 0.
Agrupando os coeficientes de x obtemos:
x3(b+ 3c) + x2(a− c) + x(3a− 3b− c) + (a+ b+ c) = 0,
ficando assim com um sistema de 4 equações:
b+ 3c = 0
a− c = 0
3a− 3b− c = 0
a+ b− c = 0.
Resolvendo esse sistema obtemos
a = b = c = 0
como única solução. Sendo assim os 3 polinômios são L.I.
(Essential Linear Algebra With Applications - Titu Andreescu.)
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Solução 2 (Resolvido pelo Roberto). Vamos supor que
a1(v1 + w) + a2(v2 + w) + · · ·+ an(vn + w) = 0.
Deixando o vetores em evidência, ficamos com
a1v1 + a2v2 + · · ·+ anvn + (a1 + a2 + · · ·+ an)w = 0.
Vamos examinar o coeficiente de w. Se supormos que (a1 + · · ·+ an) é igual a
zero, a equação restante se torna:
a1v1 + a2v2 + · · ·+ anvn = 0,
e já que o conjunto v1, v2, · · · , vn é L.I., isso implica em a1 = a2 = · · · = an =
0, o que é um absurdo!
Então chegamos a conclusão de que o coeficiente de w deve ser não-nulo. Vamos
então isolar o w:
w = −a1v1 + a2v2 + · · ·+ anvn
a1 + a2 + · · ·+ an
.
Ué, então w está sendo escrito como uma combinação linear de v1, v2, ..., vn.
Ou, em outras palavras, w existe no subespaço gerado por v1, v2, ..., vn.
(Essential Linear Algebra With Applications - Titu Andreescu.)
Solução 3. Considere qualquer lista de elementos de R[X]. Seja m o maior
grau dos polinômios dessa lista. Logo, todo elemento do espaço gerado por essa
lista possui grau menor ou igual a m. Isso é, xm+1 não está na nossa lista.
Logo, nenhuma lista gera R[X]. Portanto R[X] não possui dimensão finita.
(Linear Algebra Done Right - Sheldon Axler.)
Solução 4. (a) Seja h : R→ R tal que h(x) = cf(x) + g(x).
Se f e g são pares, h(−x) = cf(−x) + g(−x) = cf(x) + g(x) = h(x).
Se f e g são ı́mpares, h(−x) = cf(−x) + g(−x) = −(cf(x) + g(x)) =
−h(x).
Logo Vp e Vi são subespaços de V.
(b) Seja f ∈ V uma função qualquer e defina duas funções g : R → R e
h : R→ R tal que:
g(x) =
f(x) + f(−x)
2
e h(x) =
f(x)− f(−x)
2
.
Observe que g(−x) = g(x) e h(−x) = −h(x). Logo, g ∈ Vp e h ∈ Vi.
Por fim, note que f(x) = g(x) + h(x), ∀x ∈ R.
Portanto, Vp + Vi = V.
(c) Se f ∈ Vp e f ∈ Vi, então f(−x) = f(x) = −f(x). Isso é, f(x) = 0.
(Linear Algebra - Hoffman / Kunze.)
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Solução 5. Suponha que existam α′1 ∈ W1 e α′2 ∈ W2 diferentes de α1 e α2
respectivamente, tal que α = α1 + α2 = α
′
1 + α
′
2.
Como W1 e W2 são subespaços, α1−α′1 ∈W1 e α′2−α2 ∈W2. Mas α1−α′1 =
α′2 − α2, logo α1 − α′1 = α′2 − α2 ∈W1 ∩W2.
Como o único elemento de W1 ∩W2 é o vetor nulo, α1 = α′1 e α2 = α′2.
(Linear Algebra - Hoffman / Kunze.)
Solução 6. Suponha que
a1v1 + a1(v1 + v2) + · · ·+ an(v1 + v2 + · · ·+ vn) = 0.
Logo,
(a1 + a2 + · · ·+ an)v1 + (a2 + a3 + · · ·+ an)v2 + · · ·+ anvn = 0.
Já que v1, · · · , vn são linearmente independentes,
a1 + a2 + · · ·+ an = 0
a2 + · · ·+ an = 0
...
an = 0.
O que implica a1 = a2 = · · · = an = 0. Logo os vetores são sempre linearmente
independentes.
(Essential Linear Algebra With Applications - Titu Andreescu.)
Solução 7.
Lema. eix = cos(x) + i sin(x), ∀x ∈ R.
Demonstração. Seja f : R→ C, f(x) = e−ix(cos(x) + i sin(x)).
Derivando, obtemos a seguinte expressão:
f ′(x) = e−ix(i cos(x)− sin(x))− ie−ix(cos(x) + i sin(x))
que é identicamente nula.
Como f(0) = 1, segue que f(x) = 1 para todo x real. Ou seja, eix = cos(x) +
i sin(x).
(a) Suponha que existam a, b, c ∈ C tal que
a+ beix + ce−ix = 0
para todo x real.
Substituindo x = 0, x = π e x = π2 , obtemos respectivamente (pelo Lema):
a+ b+ c = 0
a− b− c = 0
a+ ib− ic = 0.
Tal sistema claramente possui apenas a solução trivial a = b = c = 0, logo
f1, f2 e f3 são linearmente independentes.
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(b) Isso é equivalente a  1cos(x)
sin(x)
 = P
 1eix
e−ix
 .
Ou seja,
P−1
 1cos(x)
sin(x)
 =
 1eix
e−ix
 .
Escrevendo explicitamente as entradas
P−111 + P
−1
12 cos(x) + P
−1
13 sin(x) = 1
P−121 + P
−1
22 cos(x) + P
−1
23 sin(x) = cos(x) + i sin(x)
P−131 + P
−1
32 cos(x) + P
−1
33 sin(x) = cos(x)− i sin(x)
fica claro que
P−1 =
1 0 00 1 i
0 1 −i

satisfaz.
A inversa de P−1 é
P =
1 0 00 12 12
0 − i2
i
2
 .
(Linear Algebra - Hoffman / Kunze.)
Solução 8. Seja x ∈ W1 e y ∈ W2 −W1. Então, pela definição de união,
temos que x ∈ W1 ∪W2 e y ∈ W1 ∪W2. Portanto, já que W1 ∪W2 é um
subespaço, x+ y ∈W1 ∪W2 o que, novamente pela definição de união, significa
que x + y ∈ W1 ou x + y ∈ W2. Se x + y ∈ W1 então, como W1 é um
subespaço, y = (x + y) + (−x) ∈ W1 o que é imposśıvel, já que y ∈ W2 −W1.
Logo, temos que x + y ∈ W2 de onde decorre que, como W2 é um subespaço,
x = (x+ y) + (−y) ∈W2. Portanto, como x era arbitrário, W1 ⊂W2.
(Linear Algebra - Hoffman / Kunze.)
Solução 9. Suponha que
a1f1 + a2f2 + · · ·+ a10f10 = 0
para alguns números reais a1, · · · , a10. Suponha que algum ai é não-nulo. Divi-
dindo por ai nós obtemos fi como uma combinação linear das outras funções.
Todas as outras funções são diferenciáveis em x = i. Logo fi também é (já que
é uma combinação linear das outras funções). Isso é um absurdo! Logo ai = 0
para todo 1 ≤ i ≤ 10, e o resultado segue.
(Essential Linear Algebra With Applications - Titu Andreescu.)
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Solução 10. Suponha que V possui dimensão finita. Seja m a sua dimensão.
Sejam p1, · · · , pm+1 os m + 1 primeirosnúmeros primos e c1, · · · , cm+1 ∈ Q.
Suponha que
c1 ln p1 + · · ·+ cm+1 ln pm+1 = 0.
Multiplicando por um fator comum, podemos considerar os c1 inteiros. Expo-
nenciando, temos que
pc11 · · · p
cm+1
m+1 = 1,
o que implica ci = 0, ∀i ≤ m+ 1.
Isso é, temos um conjunto linearmente independente de dimensão m+ 1 que é
subconjunto de um espaço de dimensão m. Isso é um absurdo! (Se isso não
for claro pra alguém, me avise que eu provo!) Logo V não possui dimensão
finita.
(Linear Algebra - Hoffman / Kunze.)
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