GA1 AD1 2016 2 gabarito

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AD1 - Geometria Analítica I - 2016.2
Gabarito
Questão 1: [3.0 pontos] Sejam ABDC um quadrilátero de vértices A,B,C e D eM,N,P e Q os pontos
médios dos lados AB,BD,AC e CD, respectivamente.
(a) Prove que
−−−→
MN = 1
2
−−→
AD .
(b) Prove que
−−→
PQ = 1
2
−−→
AD .
(c) Prove que MNQP é um paralelogramo.
Solução:
(a) Note que
−−−→
MN =
−−−→
MB +
−−→
BN
= 1
2
−−→
AB + 1
2
−−→
BD
= 1
2
−−→
AD .
(b) Análogo ao item anterior, temos que
−−→
PQ =
−−→
PC +
−−→
CQ
= 1
2
−−→
AC + 1
2
−−→
CD
= 1
2
−−→
AD .
(c) Pelos itens anteriores, claramente os lados MN e PQ do quadrilátero MNPQ são paralelos e con-
gruentes. Logo, MNPQ é um paralelogramo.
Questão 2: [3.0 pontos] Mostre que as retas y = ax − 4 − 2a passam pelo mesmo ponto, para todo
a ∈ R, e encontre este ponto.
Solução:
Analisaremos a equação da reta supondo a = 0 e a 6= 0.
Caso 1: a = 0. Neste caso temos a reta y = −4, isto é, os pontos dessa reta são da forma (x,−4) com
x ∈ R.
Caso 2: a 6= 0. Como y = −4 pelo caso anterior, temos −4 = ax − 4 − 2a = −4 + a(x − 2), isto é,
a(x− 2) = 0. Como a 6= 0, na última igualdade devemos ter x− 2 = 0, ou ainda, x = 2. Neste caso a reta
passa pelo ponto (2,−4).
Assim, todas as retas passam pelo ponto (2,−4).
Questão 3: [4.0 pontos] Sejam −→u e −→v dois vetores do plano.
(a) Mostre que ‖−→u −−→v ‖2 = ‖−→u ‖2 + ‖−→v ‖2 − 2 < −→u ,−→v >, sem utilizar coordenadas.
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(b) Use a fórmula encontrada no item anterior para provar que em um triângulo ABC de lados
a = |BC|, b = |AC| e c = |AB| vale a seguinte fórmula:
a2 = b2 + c2 − 2bc cos θ,
onde θ é o ângulo oposto ao lado BC.
OBS.: Esta fórmula é conhecida como Lei dos Cossenos.
Solução:
(a) Para provar a fórmula, basta usar as propriedades de produto interno estudadas:
‖−→u −−→v ‖2 = < −→u −−→v ,−→u −−→v >
= < −→u ,−→u > + < −→u ,−−→v > + < −−→v ,−→u > + < −−→v ,−−→v >
= < −→u ,−→u > − < −→u ,−→v > − < −→v ,−→u > + < −→v ,−→v >
= < −→u ,−→u > − < −→u ,−→v > − < −→u ,−→v > + < −→v ,−→v >
= ‖−→u ‖2 − 2 < −→u ,−→v > +‖−→v ‖2.
(b) Com os lados do triângulo ABC, podemos construir os vetores
−→u = −−→AB ,
−→v = −−→AC ,
−→u −−→v = −−→CB .
Daí, temos que
‖−→u ‖ = ‖−−→AB ‖ = c,
‖−→v ‖ = ‖−−→AC ‖ = b,
‖−→u −−→v ‖ = ‖−−→CB ‖ = a.
Aplicando a fórmula encontrada no item anterior temos que
‖−→u −−→v ‖2 = ‖−→u ‖2 + ‖−→v ‖2 − 2 < −→u ,−→v >
⇐⇒ a2 = c2 + b2 − 2 < −→u ,−→v >
⇐⇒ a2 = c2 + b2 − 2‖−→u ‖ ‖−→v ‖ cos θ
onde θ é o ângulo entre os vetores −→u e −→v , ou seja, o ângulo oposto ao lado BC. Continuando temos:
a2 = c2 + b2 − 2‖−→u ‖ ‖−→v ‖ cos θ
⇐⇒ a2 = c2 + b2 − 2cb cos θ,
como queríamos provar.
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