AULA 00 - EDO - Classificação e Solução de uma E.D.O (1)

Prévia do material em texto

Equações Diferenciais Ordinárias
Equações Diferenciais Ordinárias
Classificação e Solução de Equação
Diferenciável
PROF. DR THIAGO RODRIGUES CAVALCANTE
UFT - ARRAIAS
May 11, 2021
Equações Diferenciais Ordinárias
1 AVALIAÇÕES
2 Equações Diferenciais
Modelos Matemáticos
Crescimento Populacional
Corpo em Queda Livre
Sistema Massa - Mola
3 Classificação de uma Equação Diferencial
4 Solução de uma Equação Diferencial
5 Exerćıcios
6 Problema de Valor Inicial (P.V.I.)
7 Referências
Equações Diferenciais Ordinárias
AVALIAÇÕES
AVALIAÇÕES
AV-01 : 18/06/2021
AV-02 : 06/08/2021
Equações Diferenciais Ordinárias
AVALIAÇÕES
AVALIAÇÕES
AV-01 : 18/06/2021
AV-02 : 06/08/2021
Equações Diferenciais Ordinárias
Equações Diferenciais
Modelos Matemáticos
As grandes áreas do conhecimento, geralmente estão interessadas
em descrever ou modelar o comportamento de algum sistema ou
fenômeno na vida real, no qual envolvem termos matemáticos.
Mais precisamente, estes ”termos matemáticos” geram uma
equação que contém algumas derivadas de uma função
desconhecida, que depende de uma ou mais variáveis. Tal
equação é chamada de equação diferencial. No que segue,
serão descritos alguns modelos matemáticos que envolvem
equações diferenciais bem conhecidos na teoria.
Equações Diferenciais Ordinárias
Equações Diferenciais
Modelos Matemáticos
As grandes áreas do conhecimento, geralmente estão interessadas
em descrever ou modelar o comportamento de algum sistema ou
fenômeno na vida real, no qual envolvem termos matemáticos.
Mais precisamente, estes ”termos matemáticos” geram uma
equação que contém algumas derivadas de uma função
desconhecida, que depende de uma ou mais variáveis. Tal
equação é chamada de equação diferencial. No que segue,
serão descritos alguns modelos matemáticos que envolvem
equações diferenciais bem conhecidos na teoria.
Equações Diferenciais Ordinárias
Equações Diferenciais
Modelos Matemáticos
As grandes áreas do conhecimento, geralmente estão interessadas
em descrever ou modelar o comportamento de algum sistema ou
fenômeno na vida real, no qual envolvem termos matemáticos.
Mais precisamente, estes ”termos matemáticos” geram uma
equação que contém algumas derivadas de uma função
desconhecida, que depende de uma ou mais variáveis. Tal
equação é chamada de equação diferencial. No que segue,
serão descritos alguns modelos matemáticos que envolvem
equações diferenciais bem conhecidos na teoria.
Equações Diferenciais Ordinárias
Equações Diferenciais
Modelos Matemáticos
Crescimento Populacional
Um modelo para o crescimento da população de uma certa
espécie, descreve que este crescimento se dá proporcionalmente
ao tamanho da população presente naquele instante de tempo, e
varia através do tempo.Considerando P = P (t)− População, a
variável dependente onde t é o tempo, a taxa de crescimento da
população, ou seja, ∂P/∂t é formulada como:
∂P
∂t
= KP, (1)
onde K é uma constante de proporcionalidade.Um solução para
equações do tipo (1) são funções do tipo P (t) = Cekt, com C ∈ R.
Equações Diferenciais Ordinárias
Equações Diferenciais
Modelos Matemáticos
Crescimento Populacional
Um modelo para o crescimento da população de uma certa
espécie, descreve que este crescimento se dá proporcionalmente
ao tamanho da população presente naquele instante de tempo, e
varia através do tempo.Considerando P = P (t)− População, a
variável dependente onde t é o tempo, a taxa de crescimento da
população, ou seja, ∂P/∂t é formulada como:
∂P
∂t
= KP, (1)
onde K é uma constante de proporcionalidade.Um solução para
equações do tipo (1) são funções do tipo P (t) = Cekt, com C ∈ R.
Equações Diferenciais Ordinárias
Equações Diferenciais
Modelos Matemáticos
Crescimento Populacional
Um modelo para o crescimento da população de uma certa
espécie, descreve que este crescimento se dá proporcionalmente
ao tamanho da população presente naquele instante de tempo, e
varia através do tempo.Considerando P = P (t)− População, a
variável dependente onde t é o tempo, a taxa de crescimento da
população, ou seja, ∂P/∂t é formulada como:
∂P
∂t
= KP, (1)
onde K é uma constante de proporcionalidade.Um solução para
equações do tipo (1) são funções do tipo P (t) = Cekt, com C ∈ R.
Equações Diferenciais Ordinárias
Equações Diferenciais
Modelos Matemáticos
Crescimento Populacional
Um modelo para o crescimento da população de uma certa
espécie, descreve que este crescimento se dá proporcionalmente
ao tamanho da população presente naquele instante de tempo, e
varia através do tempo.Considerando P = P (t)− População, a
variável dependente onde t é o tempo, a taxa de crescimento da
população, ou seja, ∂P/∂t é formulada como:
∂P
∂t
= KP, (1)
onde K é uma constante de proporcionalidade.Um solução para
equações do tipo (1) são funções do tipo P (t) = Cekt, com C ∈ R.
Equações Diferenciais Ordinárias
Equações Diferenciais
Modelos Matemáticos
Crescimento Populacional
Um modelo para o crescimento da população de uma certa
espécie, descreve que este crescimento se dá proporcionalmente
ao tamanho da população presente naquele instante de tempo, e
varia através do tempo.Considerando P = P (t)− População, a
variável dependente onde t é o tempo, a taxa de crescimento da
população, ou seja, ∂P/∂t é formulada como:
∂P
∂t
= KP, (1)
onde K é uma constante de proporcionalidade.Um solução para
equações do tipo (1) são funções do tipo P (t) = Cekt, com C ∈ R.
Equações Diferenciais Ordinárias
Equações Diferenciais
Modelos Matemáticos
Corpo em Queda Livre
Um outro modelo muito famoso na teoria é quando um objeto é
solto de uma certa altura h do solo, e este cai sob a ação de uma
força gravitacional que, aqui, será considerada constante g.
Equações Diferenciais Ordinárias
Equações Diferenciais
Modelos Matemáticos
Corpo em Queda Livre
A Segunda Lei de Newton afirma que a massa de um objeto
multiplicada por sua aceleração é igual à força total que atua
sobre ele. Mais precisamente, temos que
m
∂2h
∂t2
= −mg, (2)
onde m é a massa do objeto, h = h(t) é a altura do objeto acima
do solo,
∂2h
∂t2
é a aceleração da queda, g a gravidade e −mg a
força gravitacional.
Equações Diferenciais Ordinárias
Equações Diferenciais
Modelos Matemáticos
Corpo em Queda Livre
A Segunda Lei de Newton afirma que a massa de um objeto
multiplicada por sua aceleração é igual à força total que atua
sobre ele. Mais precisamente, temos que
m
∂2h
∂t2
= −mg, (2)
onde m é a massa do objeto, h = h(t) é a altura do objeto acima
do solo,
∂2h
∂t2
é a aceleração da queda, g a gravidade e −mg a
força gravitacional.
Equações Diferenciais Ordinárias
Equações Diferenciais
Modelos Matemáticos
Corpo em Queda Livre
A Segunda Lei de Newton afirma que a massa de um objeto
multiplicada por sua aceleração é igual à força total que atua
sobre ele. Mais precisamente, temos que
m
∂2h
∂t2
= −mg, (2)
onde m é a massa do objeto, h = h(t) é a altura do objeto acima
do solo,
∂2h
∂t2
é a aceleração da queda, g a gravidade e −mg a
força gravitacional.
Equações Diferenciais Ordinárias
Equações Diferenciais
Modelos Matemáticos
Sistema Massa - Mola
Vamos considerar o movimento de um objeto de massa m na
extremidade de uma mola vertical.
Equações Diferenciais Ordinárias
Equações Diferenciais
Modelos Matemáticos
Sistema Massa - Mola
Segundo a Lei de Hooke, temos que se uma mola for
esticada x unidades, ela exerce uma força proporcional a
x, mais precisamente, F = −kx, com k a constante da
mola.Paralelamente a isso, da Segunda Lei de Newton, temos
que essa força é igual a massa m multiplicada pela aceleração,
isto é F = m
∂2x
∂t2
. Como as forças são iguais, temos que:
m
∂2x∂t2
= −kx, (3)
As soluções de equações do tipo (3) são funções do tipo x(t) =
A sin(kt) +B cos(kt), para determinados valores de A,B, k.
Equações Diferenciais Ordinárias
Equações Diferenciais
Modelos Matemáticos
Sistema Massa - Mola
Segundo a Lei de Hooke, temos que se uma mola for
esticada x unidades, ela exerce uma força proporcional a
x, mais precisamente, F = −kx, com k a constante da
mola.Paralelamente a isso, da Segunda Lei de Newton, temos
que essa força é igual a massa m multiplicada pela aceleração,
isto é F = m
∂2x
∂t2
. Como as forças são iguais, temos que:
m
∂2x
∂t2
= −kx, (3)
As soluções de equações do tipo (3) são funções do tipo x(t) =
A sin(kt) +B cos(kt), para determinados valores de A,B, k.
Equações Diferenciais Ordinárias
Equações Diferenciais
Modelos Matemáticos
Sistema Massa - Mola
Segundo a Lei de Hooke, temos que se uma mola for
esticada x unidades, ela exerce uma força proporcional a
x, mais precisamente, F = −kx, com k a constante da
mola.Paralelamente a isso, da Segunda Lei de Newton, temos
que essa força é igual a massa m multiplicada pela aceleração,
isto é F = m
∂2x
∂t2
. Como as forças são iguais, temos que:
m
∂2x
∂t2
= −kx, (3)
As soluções de equações do tipo (3) são funções do tipo x(t) =
A sin(kt) +B cos(kt), para determinados valores de A,B, k.
Equações Diferenciais Ordinárias
Equações Diferenciais
Modelos Matemáticos
Sistema Massa - Mola
Segundo a Lei de Hooke, temos que se uma mola for
esticada x unidades, ela exerce uma força proporcional a
x, mais precisamente, F = −kx, com k a constante da
mola.Paralelamente a isso, da Segunda Lei de Newton, temos
que essa força é igual a massa m multiplicada pela aceleração,
isto é F = m
∂2x
∂t2
. Como as forças são iguais, temos que:
m
∂2x
∂t2
= −kx, (3)
As soluções de equações do tipo (3) são funções do tipo x(t) =
A sin(kt) +B cos(kt), para determinados valores de A,B, k.
Equações Diferenciais Ordinárias
Equações Diferenciais
Modelos Matemáticos
Alguns outros modelos matemáticos
Pêndulo Simples
Corda Giratória
Circuitos em Série
Corpos Suspensos
Misturas
Deflexão de Vigas
Modelo presa predador
Decaimento Radioativos, etc
Equações Diferenciais Ordinárias
Equações Diferenciais
Modelos Matemáticos
Alguns outros modelos matemáticos
Pêndulo Simples
Corda Giratória
Circuitos em Série
Corpos Suspensos
Misturas
Deflexão de Vigas
Modelo presa predador
Decaimento Radioativos, etc
Equações Diferenciais Ordinárias
Equações Diferenciais
Modelos Matemáticos
Alguns outros modelos matemáticos
Pêndulo Simples
Corda Giratória
Circuitos em Série
Corpos Suspensos
Misturas
Deflexão de Vigas
Modelo presa predador
Decaimento Radioativos, etc
Equações Diferenciais Ordinárias
Equações Diferenciais
Modelos Matemáticos
Alguns outros modelos matemáticos
Pêndulo Simples
Corda Giratória
Circuitos em Série
Corpos Suspensos
Misturas
Deflexão de Vigas
Modelo presa predador
Decaimento Radioativos, etc
Equações Diferenciais Ordinárias
Equações Diferenciais
Modelos Matemáticos
Alguns outros modelos matemáticos
Pêndulo Simples
Corda Giratória
Circuitos em Série
Corpos Suspensos
Misturas
Deflexão de Vigas
Modelo presa predador
Decaimento Radioativos, etc
Equações Diferenciais Ordinárias
Equações Diferenciais
Modelos Matemáticos
Alguns outros modelos matemáticos
Pêndulo Simples
Corda Giratória
Circuitos em Série
Corpos Suspensos
Misturas
Deflexão de Vigas
Modelo presa predador
Decaimento Radioativos, etc
Equações Diferenciais Ordinárias
Equações Diferenciais
Modelos Matemáticos
Alguns outros modelos matemáticos
Pêndulo Simples
Corda Giratória
Circuitos em Série
Corpos Suspensos
Misturas
Deflexão de Vigas
Modelo presa predador
Decaimento Radioativos, etc
Equações Diferenciais Ordinárias
Equações Diferenciais
Modelos Matemáticos
Alguns outros modelos matemáticos
Pêndulo Simples
Corda Giratória
Circuitos em Série
Corpos Suspensos
Misturas
Deflexão de Vigas
Modelo presa predador
Decaimento Radioativos, etc
Equações Diferenciais Ordinárias
Equações Diferenciais
Modelos Matemáticos
Sempre que um modelo matemático envolve uma taxa
de mudança de uma variável com relação a uma outra
(velocidade, aceleração), uma equação diferencial tende a
aparecer. Entretanto, nem sempre a equação diferencial possui
solução simples, como em alguns citados anteriormente. Antes
de partimos para ”tentarmos determinar” as soluções de algumas
Equações, vamos classificar as mesmas.
Equações Diferenciais Ordinárias
Equações Diferenciais
Modelos Matemáticos
Sempre que um modelo matemático envolve uma taxa
de mudança de uma variável com relação a uma outra
(velocidade, aceleração), uma equação diferencial tende a
aparecer. Entretanto, nem sempre a equação diferencial possui
solução simples, como em alguns citados anteriormente. Antes
de partimos para ”tentarmos determinar” as soluções de algumas
Equações, vamos classificar as mesmas.
Equações Diferenciais Ordinárias
Classificação de uma Equação Diferencial
Classificação Pelo Tipo
A equação diferencial que envolve apenas derivadas comuns com
relação a uma única variável independente é chamada Equação
Diferencial Ordinária (E.D.O).
Exemplo (01)
∂2x
∂t2
+ a
∂x
∂t
+ kx = 0.
Note que x = x(t) e isso está impĺıcito na equação acima, devido
às únicas derivadas da função x serem com respeito à variável t.
Equações Diferenciais Ordinárias
Classificação de uma Equação Diferencial
Classificação Pelo Tipo
A equação diferencial que envolve apenas derivadas comuns com
relação a uma única variável independente é chamada Equação
Diferencial Ordinária (E.D.O).
Exemplo (01)
∂2x
∂t2
+ a
∂x
∂t
+ kx = 0.
Note que x = x(t) e isso está impĺıcito na equação acima, devido
às únicas derivadas da função x serem com respeito à variável t.
Equações Diferenciais Ordinárias
Classificação de uma Equação Diferencial
Classificação Pelo Tipo
A equação diferencial que envolve apenas derivadas comuns com
relação a uma única variável independente é chamada Equação
Diferencial Ordinária (E.D.O).
Exemplo (01)
∂2x
∂t2
+ a
∂x
∂t
+ kx = 0.
Note que x = x(t) e isso está impĺıcito na equação acima, devido
às únicas derivadas da função x serem com respeito à variável t.
Equações Diferenciais Ordinárias
Classificação de uma Equação Diferencial
Classificação Pelo Tipo
A equação diferencial que envolve apenas derivadas comuns com
relação a uma única variável independente é chamada Equação
Diferencial Ordinária (E.D.O).
Exemplo (01)
∂2x
∂t2
+ a
∂x
∂t
+ kx = 0.
Note que x = x(t) e isso está impĺıcito na equação acima, devido
às únicas derivadas da função x serem com respeito à variável t.
Equações Diferenciais Ordinárias
Classificação de uma Equação Diferencial
Classificação Pelo Tipo
Quando a equação diferencial envolve derivadas parciais com
relação a mais de uma variável independente, esta é chamada
Equação Diferencial Parcial (EDP).
Exemplo (02)
∂u
∂x
− ∂u
∂y
= x− 2y.
Note que, aqui u = u(x, y) e isso está impĺıcito na equação acima.
Equações Diferenciais Ordinárias
Classificação de uma Equação Diferencial
Classificação Pelo Tipo
Quando a equação diferencial envolve derivadas parciais com
relação a mais de uma variável independente, esta é chamada
Equação Diferencial Parcial (EDP).
Exemplo (02)
∂u
∂x
− ∂u
∂y
= x− 2y.
Note que, aqui u = u(x, y) e isso está impĺıcito na equação acima.
Equações Diferenciais Ordinárias
Classificação de uma Equação Diferencial
Classificação Pelo Tipo
Quando a equação diferencial envolve derivadas parciais com
relação a mais de uma variável independente, estaé chamada
Equação Diferencial Parcial (EDP).
Exemplo (02)
∂u
∂x
− ∂u
∂y
= x− 2y.
Note que, aqui u = u(x, y) e isso está impĺıcito na equação acima.
Equações Diferenciais Ordinárias
Classificação de uma Equação Diferencial
Classificação Pelo Tipo
Quando a equação diferencial envolve derivadas parciais com
relação a mais de uma variável independente, esta é chamada
Equação Diferencial Parcial (EDP).
Exemplo (02)
∂u
∂x
− ∂u
∂y
= x− 2y.
Note que, aqui u = u(x, y) e isso está impĺıcito na equação acima.
Equações Diferenciais Ordinárias
Classificação de uma Equação Diferencial
Exerćıcios
Exerćıcio
Classifique as equações que seguem quando ao tipo, ou seja, se a
devida equação é uma (E.D.O) ou uma (E.D.P):
a)
∂y
∂t
− 5y = 0
b)
∂u
∂y
= −∂v
∂x
c) (y − x)dx+ 4xdy = 0
d) x
∂u
∂x
+ y
∂u
∂y
= u
e)
∂2u
∂x2
=
∂2u
∂t2
− 2∂u
∂t
.
Equações Diferenciais Ordinárias
Classificação de uma Equação Diferencial
Classificação Quanto a Ordem
A ordem de um equação diferencial é,por definição, a ordem
da derivada de maior ordem.Em outras palavras,a maior ordem
da derivada de uma equação diferencial determina a ordem da
mesma, independentemente da potência de derivadas de ordem
inferior.
Exemplo (01)
∂2y
∂x2
+ 5
(
∂y
∂x
)3
− 4y = ex
(E.D.O de ordem 2 ou de segunda ordem)
Equações Diferenciais Ordinárias
Classificação de uma Equação Diferencial
Classificação Quanto a Ordem
A ordem de um equação diferencial é,por definição, a ordem
da derivada de maior ordem.Em outras palavras,a maior ordem
da derivada de uma equação diferencial determina a ordem da
mesma, independentemente da potência de derivadas de ordem
inferior.
Exemplo (01)
∂2y
∂x2
+ 5
(
∂y
∂x
)3
− 4y = ex
(E.D.O de ordem 2 ou de segunda ordem)
Equações Diferenciais Ordinárias
Classificação de uma Equação Diferencial
Classificação Quanto a Ordem
A ordem de um equação diferencial é,por definição, a ordem
da derivada de maior ordem.Em outras palavras,a maior ordem
da derivada de uma equação diferencial determina a ordem da
mesma, independentemente da potência de derivadas de ordem
inferior.
Exemplo (01)
∂2y
∂x2
+ 5
(
∂y
∂x
)3
− 4y = ex
(E.D.O de ordem 2 ou de segunda ordem)
Equações Diferenciais Ordinárias
Classificação de uma Equação Diferencial
Classificação Quanto a Ordem
Exemplo (02)
(y − x)dx+ 4xdy = 0
(E.D.O de ordem 1 ou de primeira ordem)
Exemplo (03)
a2
∂4u
∂x4
+
(
∂u
∂t
)5
= 0
EDP de quarta ordem
Equações Diferenciais Ordinárias
Classificação de uma Equação Diferencial
Classificação Quanto a Ordem
Exemplo (02)
(y − x)dx+ 4xdy = 0
(E.D.O de ordem 1 ou de primeira ordem)
Exemplo (03)
a2
∂4u
∂x4
+
(
∂u
∂t
)5
= 0
EDP de quarta ordem
Equações Diferenciais Ordinárias
Classificação de uma Equação Diferencial
Classificação Quanto a Ordem
Exemplo (02)
(y − x)dx+ 4xdy = 0
(E.D.O de ordem 1 ou de primeira ordem)
Exemplo (03)
a2
∂4u
∂x4
+
(
∂u
∂t
)5
= 0
EDP de quarta ordem
Equações Diferenciais Ordinárias
Classificação de uma Equação Diferencial
Classificação Quanto a Ordem
Exemplo (02)
(y − x)dx+ 4xdy = 0
(E.D.O de ordem 1 ou de primeira ordem)
Exemplo (03)
a2
∂4u
∂x4
+
(
∂u
∂t
)5
= 0
EDP de quarta ordem
Equações Diferenciais Ordinárias
Classificação de uma Equação Diferencial
Classificação Quanto a Ordem
Exemplo (02)
(y − x)dx+ 4xdy = 0
(E.D.O de ordem 1 ou de primeira ordem)
Exemplo (03)
a2
∂4u
∂x4
+
(
∂u
∂t
)5
= 0
EDP de quarta ordem
Equações Diferenciais Ordinárias
Classificação de uma Equação Diferencial
Exerćıcios
Exerćıcio
Classifique as equações que seguem quando a sua ordem
a) x
∂3y
∂x3
−
(
∂2y
∂x2
)4
+ y = 0
b)
∂2y
∂x2
=
√
1−
(
∂y
∂x
)
c) (sin θ)y′′′ − (cos θ)y′ = 2
d)
∂2R
∂t2
=
−k
R2
e) (y − x)dx+ 4xdy = 0
Equações Diferenciais Ordinárias
Classificação de uma Equação Diferencial
Classificação Quanto a Linearidade
Uma equação diferencial é dita linear quando a variável
dependente y = y(x) e todas suas derivadas, independente de
suas ordens, são do primeiro grau, isto é, a potência é de grau
1.Além disso todos os coeficientes da equação, dependem apenas
da variável independente x. Em outras palavras, uma equação
diferencial é dita linear se pode ser escrita da forma:
an(x)
∂ny
∂xn
+an−1(x)
∂n−1y
∂xn−1
+ . . .+a1(x)
∂y
∂x
+a0(x)y = g(x) (4)
Note que na identidade (4) os coeficientes ai(x) dependem apenas
da variável independente x e não da variável dependente y. Além
disso, a função y e suas derivadas são do primeiro grau (elevadas à
1), o que é diferente da ordem da derivada, até porque a equação
diferencial (4) é de ordem n
Equações Diferenciais Ordinárias
Classificação de uma Equação Diferencial
Classificação Quanto a Linearidade
Uma equação diferencial é dita linear quando a variável
dependente y = y(x) e todas suas derivadas, independente de
suas ordens, são do primeiro grau, isto é, a potência é de grau
1.Além disso todos os coeficientes da equação, dependem apenas
da variável independente x. Em outras palavras, uma equação
diferencial é dita linear se pode ser escrita da forma:
an(x)
∂ny
∂xn
+an−1(x)
∂n−1y
∂xn−1
+ . . .+a1(x)
∂y
∂x
+a0(x)y = g(x) (4)
Note que na identidade (4) os coeficientes ai(x) dependem apenas
da variável independente x e não da variável dependente y. Além
disso, a função y e suas derivadas são do primeiro grau (elevadas à
1), o que é diferente da ordem da derivada, até porque a equação
diferencial (4) é de ordem n
Equações Diferenciais Ordinárias
Classificação de uma Equação Diferencial
Classificação Quanto a Linearidade
Uma equação diferencial é dita linear quando a variável
dependente y = y(x) e todas suas derivadas, independente de
suas ordens, são do primeiro grau, isto é, a potência é de grau
1.Além disso todos os coeficientes da equação, dependem apenas
da variável independente x. Em outras palavras, uma equação
diferencial é dita linear se pode ser escrita da forma:
an(x)
∂ny
∂xn
+an−1(x)
∂n−1y
∂xn−1
+ . . .+a1(x)
∂y
∂x
+a0(x)y = g(x) (4)
Note que na identidade (4) os coeficientes ai(x) dependem apenas
da variável independente x e não da variável dependente y. Além
disso, a função y e suas derivadas são do primeiro grau (elevadas à
1), o que é diferente da ordem da derivada, até porque a equação
diferencial (4) é de ordem n
Equações Diferenciais Ordinárias
Classificação de uma Equação Diferencial
Classificação Quanto a Linearidade
Uma equação diferencial é dita linear quando a variável
dependente y = y(x) e todas suas derivadas, independente de
suas ordens, são do primeiro grau, isto é, a potência é de grau
1.Além disso todos os coeficientes da equação, dependem apenas
da variável independente x. Em outras palavras, uma equação
diferencial é dita linear se pode ser escrita da forma:
an(x)
∂ny
∂xn
+an−1(x)
∂n−1y
∂xn−1
+ . . .+a1(x)
∂y
∂x
+a0(x)y = g(x) (4)
Note que na identidade (4) os coeficientes ai(x) dependem apenas
da variável independente x e não da variável dependente y. Além
disso, a função y e suas derivadas são do primeiro grau (elevadas à
1), o que é diferente da ordem da derivada, até porque a equação
diferencial (4) é de ordem n
Equações Diferenciais Ordinárias
Classificação de uma Equação Diferencial
Classificação Quanto a Linearidade
Uma equação diferencial é dita linear quando a variável
dependente y = y(x) e todas suas derivadas, independente de
suas ordens, são do primeiro grau, isto é, a potência é de grau
1.Além disso todos os coeficientes da equação, dependem apenas
da variável independente x. Em outras palavras, uma equação
diferencial é dita linear se pode ser escrita da forma:
an(x)
∂ny
∂xn
+an−1(x)
∂n−1y
∂xn−1
+ . . .+a1(x)
∂y
∂x
+a0(x)y = g(x) (4)
Note que na identidade(4) os coeficientes ai(x) dependem apenas
da variável independente x e não da variável dependente y. Além
disso, a função y e suas derivadas são do primeiro grau (elevadas à
1), o que é diferente da ordem da derivada, até porque a equação
diferencial (4) é de ordem n
Equações Diferenciais Ordinárias
Classificação de uma Equação Diferencial
Classificação Quanto a Linearidade
Uma equação diferencial é dita linear quando a variável
dependente y = y(x) e todas suas derivadas, independente de
suas ordens, são do primeiro grau, isto é, a potência é de grau
1.Além disso todos os coeficientes da equação, dependem apenas
da variável independente x. Em outras palavras, uma equação
diferencial é dita linear se pode ser escrita da forma:
an(x)
∂ny
∂xn
+an−1(x)
∂n−1y
∂xn−1
+ . . .+a1(x)
∂y
∂x
+a0(x)y = g(x) (4)
Note que na identidade (4) os coeficientes ai(x) dependem apenas
da variável independente x e não da variável dependente y. Além
disso, a função y e suas derivadas são do primeiro grau (elevadas à
1), o que é diferente da ordem da derivada, até porque a equação
diferencial (4) é de ordem n
Equações Diferenciais Ordinárias
Classificação de uma Equação Diferencial
Classificação Quanto a Linearidade
Uma equação diferencial é dita linear quando a variável
dependente y = y(x) e todas suas derivadas, independente de
suas ordens, são do primeiro grau, isto é, a potência é de grau
1.Além disso todos os coeficientes da equação, dependem apenas
da variável independente x. Em outras palavras, uma equação
diferencial é dita linear se pode ser escrita da forma:
an(x)
∂ny
∂xn
+an−1(x)
∂n−1y
∂xn−1
+ . . .+a1(x)
∂y
∂x
+a0(x)y = g(x) (4)
Note que na identidade (4) os coeficientes ai(x) dependem apenas
da variável independente x e não da variável dependente y. Além
disso, a função y e suas derivadas são do primeiro grau (elevadas à
1), o que é diferente da ordem da derivada, até porque a equação
diferencial (4) é de ordem n
Equações Diferenciais Ordinárias
Classificação de uma Equação Diferencial
Classificação Quanto a Linearidade
Exemplo (01)
x3
∂3y
∂x3
− x2 ∂
2y
∂x2
+ 3x
∂y
∂x
+ 5y = ex
(EDO linear de terceira ordem)
Exemplo (02)
y y′′ − 2y′ = x
(EDO não linear de segunda ordem)
Exemplo (03)
∂3u
∂x3
+ u5 = 0
(EDO não linear de terceira ordem)
Equações Diferenciais Ordinárias
Classificação de uma Equação Diferencial
Classificação Quanto a Linearidade
Exemplo (01)
x3
∂3y
∂x3
− x2 ∂
2y
∂x2
+ 3x
∂y
∂x
+ 5y = ex
(EDO linear de terceira ordem)
Exemplo (02)
y y′′ − 2y′ = x
(EDO não linear de segunda ordem)
Exemplo (03)
∂3u
∂x3
+ u5 = 0
(EDO não linear de terceira ordem)
Equações Diferenciais Ordinárias
Classificação de uma Equação Diferencial
Classificação Quanto a Linearidade
Exemplo (01)
x3
∂3y
∂x3
− x2 ∂
2y
∂x2
+ 3x
∂y
∂x
+ 5y = ex
(EDO linear de terceira ordem)
Exemplo (02)
y y′′ − 2y′ = x
(EDO não linear de segunda ordem)
Exemplo (03)
∂3u
∂x3
+ u5 = 0
(EDO não linear de terceira ordem)
Equações Diferenciais Ordinárias
Classificação de uma Equação Diferencial
Classificação Quanto a Linearidade
Exemplo (01)
x3
∂3y
∂x3
− x2 ∂
2y
∂x2
+ 3x
∂y
∂x
+ 5y = ex
(EDO linear de terceira ordem)
Exemplo (02)
y y′′ − 2y′ = x
(EDO não linear de segunda ordem)
Exemplo (03)
∂3u
∂x3
+ u5 = 0
(EDO não linear de terceira ordem)
Equações Diferenciais Ordinárias
Classificação de uma Equação Diferencial
Classificação Quanto a Linearidade
Exemplo (01)
x3
∂3y
∂x3
− x2 ∂
2y
∂x2
+ 3x
∂y
∂x
+ 5y = ex
(EDO linear de terceira ordem)
Exemplo (02)
y y′′ − 2y′ = x
(EDO não linear de segunda ordem)
Exemplo (03)
∂3u
∂x3
+ u5 = 0
(EDO não linear de terceira ordem)
Equações Diferenciais Ordinárias
Classificação de uma Equação Diferencial
Classificação Quanto a Linearidade
Exemplo (01)
x3
∂3y
∂x3
− x2 ∂
2y
∂x2
+ 3x
∂y
∂x
+ 5y = ex
(EDO linear de terceira ordem)
Exemplo (02)
y y′′ − 2y′ = x
(EDO não linear de segunda ordem)
Exemplo (03)
∂3u
∂x3
+ u5 = 0
(EDO não linear de terceira ordem)
Equações Diferenciais Ordinárias
Classificação de uma Equação Diferencial
Exerćıcios
Exerćıcio
Classifique as equações que seguem quando a linearidade
a) x
∂3y
∂x3
−
(
∂2y
∂x2
)4
+ y = 0
b)
∂2y
∂x2
=
√
1−
(
∂y
∂x
)
c) (sin θ)y′′′ − (cos θ)y′ = 2
d)
∂2R
∂t2
=
−k
R2
e)
∂2y
∂x2
− y ∂y
∂x
= cosx
Equações Diferenciais Ordinárias
Solução de uma Equação Diferencial
Solução de uma Equação Diferencial
Definição (Solução de uma Equação Diferencial Ordinária)
Um solução para uma E.D.O é uma função f definida em um
certo intervalo I, que, quando substitúıda da equação satisfaz a
identidade.Em outras palavras, dada a Equação Diferencial
Ordinária:
F (x, y, y′, y′′, y′′′, . . . , y(n)) = 0.
Se y = f(x) for solução da EDO anterior, então
F (x, f(x), f ′(x), . . . , f (n)(x)) = 0,
para cada x no intervalo I
Equações Diferenciais Ordinárias
Solução de uma Equação Diferencial
Solução de uma Equação Diferencial
Definição (Solução de uma Equação Diferencial Ordinária)
Um solução para uma E.D.O é uma função f definida em um
certo intervalo I, que, quando substitúıda da equação satisfaz a
identidade.Em outras palavras, dada a Equação Diferencial
Ordinária:
F (x, y, y′, y′′, y′′′, . . . , y(n)) = 0.
Se y = f(x) for solução da EDO anterior, então
F (x, f(x), f ′(x), . . . , f (n)(x)) = 0,
para cada x no intervalo I
Equações Diferenciais Ordinárias
Solução de uma Equação Diferencial
Solução de uma Equação Diferencial
Definição (Solução de uma Equação Diferencial Ordinária)
Um solução para uma E.D.O é uma função f definida em um
certo intervalo I, que, quando substitúıda da equação satisfaz a
identidade.Em outras palavras, dada a Equação Diferencial
Ordinária:
F (x, y, y′, y′′, y′′′, . . . , y(n)) = 0.
Se y = f(x) for solução da EDO anterior, então
F (x, f(x), f ′(x), . . . , f (n)(x)) = 0,
para cada x no intervalo I
Equações Diferenciais Ordinárias
Solução de uma Equação Diferencial
Solução de uma Equação Diferencial
Exemplo (01)
A função y =
x4
16
satisfaz/é uma solução da E.D.O não linear
∂y
∂x
= xy1/2.
De fato:
∂y
∂x
=
∂
∂x
(
x4
16
)
=
4x3
16
=
x3
4
(5)
Portanto
∂y
∂x
=
x3
4
.
Equações Diferenciais Ordinárias
Solução de uma Equação Diferencial
Solução de uma Equação Diferencial
Exemplo (01)
A função y =
x4
16
satisfaz/é uma solução da E.D.O não linear
∂y
∂x
= xy1/2.
De fato:
∂y
∂x
=
∂
∂x
(
x4
16
)
=
4x3
16
=
x3
4
(5)
Portanto
∂y
∂x
=
x3
4
.
Equações Diferenciais Ordinárias
Solução de uma Equação Diferencial
Solução de uma Equação Diferencial
Exemplo (01)
A função y =
x4
16
satisfaz/é uma solução da E.D.O não linear
∂y
∂x
= xy1/2.
De fato:
∂y
∂x
=
∂
∂x
(
x4
16
)
=
4x3
16
=
x3
4
(5)
Portanto
∂y
∂x
=
x3
4
.
Equações Diferenciais Ordinárias
Solução de uma Equação Diferencial
Solução de uma Equação Diferencial
Exemplo (01)
A função y =
x4
16
satisfaz/é uma solução da E.D.O não linear
∂y
∂x
= xy1/2.
De fato:
∂y
∂x
=
∂
∂x
(
x4
16
)
=
4x3
16
=
x3
4
(5)
Portanto
∂y
∂x
=
x3
4
.
Equações Diferenciais Ordinárias
Solução de uma Equação Diferencial
Solução de uma Equação Diferencial
Exemplo (01)
A função y =
x4
16
satisfaz/é uma solução da E.D.O não linear
∂y
∂x
= xy1/2.
De fato:
∂y
∂x
=
∂
∂x
(
x4
16
)
=
4x3
16
=
x3
4
(5)
Portanto
∂y
∂x
=
x3
4
.
Equações Diferenciais Ordinárias
Solução de uma Equação Diferencial
Solução de uma Equação Diferencial
Exemplo (01)
A função y =
x4
16
satisfaz/é uma solução da E.D.O não linear
∂y
∂x
= xy1/2.
De fato:
∂y
∂x
=
∂
∂x
(
x4
16
)
=
4x3
16
=
x3
4
(5)
Portanto
∂y
∂x
=
x3
4
.
EquaçõesDiferenciais Ordinárias
Solução de uma Equação Diferencial
Solução de uma Equação Diferencial
Por outro lado, temos que
x · y1/2 = x ·
(
x4
16
)1/2
= x ·
(
x2
4
)
=
x3
4
.
Portanto, x · y1/2 = x
3
4
. Segue de (5) que
∂y
∂x
= x · y1/2.
Então a função y =
x4
16
é solução da EDO
∂y
∂x
= xy1/2.
Equações Diferenciais Ordinárias
Solução de uma Equação Diferencial
Solução de uma Equação Diferencial
Por outro lado, temos que
x · y1/2 = x ·
(
x4
16
)1/2
= x ·
(
x2
4
)
=
x3
4
.
Portanto, x · y1/2 = x
3
4
. Segue de (5) que
∂y
∂x
= x · y1/2.
Então a função y =
x4
16
é solução da EDO
∂y
∂x
= xy1/2.
Equações Diferenciais Ordinárias
Solução de uma Equação Diferencial
Solução de uma Equação Diferencial
Por outro lado, temos que
x · y1/2 = x ·
(
x4
16
)1/2
= x ·
(
x2
4
)
=
x3
4
.
Portanto, x · y1/2 = x
3
4
. Segue de (5) que
∂y
∂x
= x · y1/2.
Então a função y =
x4
16
é solução da EDO
∂y
∂x
= xy1/2.
Equações Diferenciais Ordinárias
Solução de uma Equação Diferencial
Solução de uma Equação Diferencial
Por outro lado, temos que
x · y1/2 = x ·
(
x4
16
)1/2
= x ·
(
x2
4
)
=
x3
4
.
Portanto, x · y1/2 = x
3
4
. Segue de (5) que
∂y
∂x
= x · y1/2.
Então a função y =
x4
16
é solução da EDO
∂y
∂x
= xy1/2.
Equações Diferenciais Ordinárias
Solução de uma Equação Diferencial
Solução de uma Equação Diferencial
Por outro lado, temos que
x · y1/2 = x ·
(
x4
16
)1/2
= x ·
(
x2
4
)
=
x3
4
.
Portanto, x · y1/2 = x
3
4
. Segue de (5) que
∂y
∂x
= x · y1/2.
Então a função y =
x4
16
é solução da EDO
∂y
∂x
= xy1/2.
Equações Diferenciais Ordinárias
Solução de uma Equação Diferencial
Solução de uma Equação Diferencial
Por outro lado, temos que
x · y1/2 = x ·
(
x4
16
)1/2
= x ·
(
x2
4
)
=
x3
4
.
Portanto, x · y1/2 = x
3
4
. Segue de (5) que
∂y
∂x
= x · y1/2.
Então a função y =
x4
16
é solução da EDO
∂y
∂x
= xy1/2.
Equações Diferenciais Ordinárias
Solução de uma Equação Diferencial
Solução de uma Equação Diferencial
Por outro lado, temos que
x · y1/2 = x ·
(
x4
16
)1/2
= x ·
(
x2
4
)
=
x3
4
.
Portanto, x · y1/2 = x
3
4
. Segue de (5) que
∂y
∂x
= x · y1/2.
Então a função y =
x4
16
é solução da EDO
∂y
∂x
= xy1/2.
Equações Diferenciais Ordinárias
Solução de uma Equação Diferencial
Solução de uma Equação Diferencial
Exemplo (02)
Para quais valores de k 6= 0 a função y = sin(kt) satisfaz a
EDO de segunda ordem:
y′′ + 9y = 0?
Note que, para y = sin(kt), temos
y′ = cos(kt) · k = k cos(kt)
y′′ = k · (cos(kt))′ = k · (− sin(kt)) · k = −k2 sin(kt)
Portanto
y′′ + 9y = −k2 sin(kt) + 9 sin(kt).
Equações Diferenciais Ordinárias
Solução de uma Equação Diferencial
Solução de uma Equação Diferencial
Exemplo (02)
Para quais valores de k 6= 0 a função y = sin(kt) satisfaz a
EDO de segunda ordem:
y′′ + 9y = 0?
Note que, para y = sin(kt), temos
y′ = cos(kt) · k = k cos(kt)
y′′ = k · (cos(kt))′ = k · (− sin(kt)) · k = −k2 sin(kt)
Portanto
y′′ + 9y = −k2 sin(kt) + 9 sin(kt).
Equações Diferenciais Ordinárias
Solução de uma Equação Diferencial
Solução de uma Equação Diferencial
Exemplo (02)
Para quais valores de k 6= 0 a função y = sin(kt) satisfaz a
EDO de segunda ordem:
y′′ + 9y = 0?
Note que, para y = sin(kt), temos
y′ = cos(kt) · k = k cos(kt)
y′′ = k · (cos(kt))′ = k · (− sin(kt)) · k = −k2 sin(kt)
Portanto
y′′ + 9y = −k2 sin(kt) + 9 sin(kt).
Equações Diferenciais Ordinárias
Solução de uma Equação Diferencial
Solução de uma Equação Diferencial
Exemplo (02)
Para quais valores de k 6= 0 a função y = sin(kt) satisfaz a
EDO de segunda ordem:
y′′ + 9y = 0?
Note que, para y = sin(kt), temos
y′ = cos(kt) · k = k cos(kt)
y′′ = k · (cos(kt))′ = k · (− sin(kt)) · k = −k2 sin(kt)
Portanto
y′′ + 9y = −k2 sin(kt) + 9 sin(kt).
Equações Diferenciais Ordinárias
Solução de uma Equação Diferencial
Solução de uma Equação Diferencial
Exemplo (02)
Para quais valores de k 6= 0 a função y = sin(kt) satisfaz a
EDO de segunda ordem:
y′′ + 9y = 0?
Note que, para y = sin(kt), temos
y′ = cos(kt) · k = k cos(kt)
y′′ = k · (cos(kt))′ = k · (− sin(kt)) · k = −k2 sin(kt)
Portanto
y′′ + 9y = −k2 sin(kt) + 9 sin(kt).
Equações Diferenciais Ordinárias
Solução de uma Equação Diferencial
Solução de uma Equação Diferencial
Exemplo (02)
Para quais valores de k 6= 0 a função y = sin(kt) satisfaz a
EDO de segunda ordem:
y′′ + 9y = 0?
Note que, para y = sin(kt), temos
y′ = cos(kt) · k = k cos(kt)
y′′ = k · (cos(kt))′ = k · (− sin(kt)) · k = −k2 sin(kt)
Portanto
y′′ + 9y = −k2 sin(kt) + 9 sin(kt).
Equações Diferenciais Ordinárias
Solução de uma Equação Diferencial
Solução de uma Equação Diferencial
Queremos resolver a equação y′′ + 9y = 0, o que equivale a:
−k2 sin(kt) + 9 sin(kt) = 0
sin(kt)(9− k2) = 0⇒ sin(kt) = 0 ou (9− k2) = 0
Como a função seno se anula para todos os ângulos que são
múltiplos de π, então a primeira equação será satisfeita para
kt = nπ, com n ≥ 0, o que implicará k = nπt . A outra equação
9−k2 = 0 implica diretamente k = ±3, concluindo que os valores
de k que satisfazem a equação são k = nπt , para n ≥ 0, k = −3 e
k = 3.
Equações Diferenciais Ordinárias
Solução de uma Equação Diferencial
Solução de uma Equação Diferencial
Queremos resolver a equação y′′ + 9y = 0, o que equivale a:
−k2 sin(kt) + 9 sin(kt) = 0
sin(kt)(9− k2) = 0⇒ sin(kt) = 0 ou (9− k2) = 0
Como a função seno se anula para todos os ângulos que são
múltiplos de π, então a primeira equação será satisfeita para
kt = nπ, com n ≥ 0, o que implicará k = nπt . A outra equação
9−k2 = 0 implica diretamente k = ±3, concluindo que os valores
de k que satisfazem a equação são k = nπt , para n ≥ 0, k = −3 e
k = 3.
Equações Diferenciais Ordinárias
Solução de uma Equação Diferencial
Solução de uma Equação Diferencial
Queremos resolver a equação y′′ + 9y = 0, o que equivale a:
−k2 sin(kt) + 9 sin(kt) = 0
sin(kt)(9− k2) = 0⇒ sin(kt) = 0 ou (9− k2) = 0
Como a função seno se anula para todos os ângulos que são
múltiplos de π, então a primeira equação será satisfeita para
kt = nπ, com n ≥ 0, o que implicará k = nπt . A outra equação
9−k2 = 0 implica diretamente k = ±3, concluindo que os valores
de k que satisfazem a equação são k = nπt , para n ≥ 0, k = −3 e
k = 3.
Equações Diferenciais Ordinárias
Solução de uma Equação Diferencial
Solução de uma Equação Diferencial
Queremos resolver a equação y′′ + 9y = 0, o que equivale a:
−k2 sin(kt) + 9 sin(kt) = 0
sin(kt)(9− k2) = 0⇒ sin(kt) = 0 ou (9− k2) = 0
Como a função seno se anula para todos os ângulos que são
múltiplos de π, então a primeira equação será satisfeita para
kt = nπ, com n ≥ 0, o que implicará k = nπt . A outra equação
9−k2 = 0 implica diretamente k = ±3, concluindo que os valores
de k que satisfazem a equação são k = nπt , para n ≥ 0, k = −3 e
k = 3.
Equações Diferenciais Ordinárias
Solução de uma Equação Diferencial
Solução de uma Equação Diferencial
Queremos resolver a equação y′′ + 9y = 0, o que equivale a:
−k2 sin(kt) + 9 sin(kt) = 0
sin(kt)(9− k2) = 0⇒ sin(kt) = 0 ou (9− k2) = 0
Como a função seno se anula para todos os ângulos que são
múltiplos de π, então a primeira equação será satisfeita para
kt = nπ, com n ≥ 0, o que implicará k = nπt . A outra equação
9−k2 = 0 implica diretamente k = ±3, concluindo que os valores
de k que satisfazem a equação são k = nπt , para n ≥ 0, k = −3 e
k = 3.
Equações Diferenciais Ordinárias
Solução de uma Equação Diferencial
Solução de uma Equação Diferencial
Queremos resolver a equação y′′ + 9y = 0, o que equivale a:
−k2 sin(kt) + 9 sin(kt) = 0
sin(kt)(9− k2) = 0⇒ sin(kt) = 0 ou (9− k2) = 0
Como a função seno se anula para todos os ângulos quesão
múltiplos de π, então a primeira equação será satisfeita para
kt = nπ, com n ≥ 0, o que implicará k = nπt . A outra equação
9−k2 = 0 implica diretamente k = ±3, concluindo que os valores
de k que satisfazem a equação são k = nπt , para n ≥ 0, k = −3 e
k = 3.
Equações Diferenciais Ordinárias
Exerćıcios
Exerćıcios
Exerćıcio (01)
A função y = xex é uma solução para EDO linear
y′′ − 2y′ + y = 0.
Sol.
Note que
y′ = (1ex + xex) = ex(1 + x)⇒ y′′ = ex(1 + x) + ex = ex(2 + x)
Portanto y′′ − 2y′ + y = ex(2 + x)− 2ex(1 + x) + xex =
ex[(2 + x)− 2(1 + x) + x] = ex[2 + x− 2− 2x+ x] = 0.
Equações Diferenciais Ordinárias
Exerćıcios
Exerćıcios
Exerćıcio (01)
A função y = xex é uma solução para EDO linear
y′′ − 2y′ + y = 0.
Sol.
Note que
y′ = (1ex + xex) = ex(1 + x)⇒ y′′ = ex(1 + x) + ex = ex(2 + x)
Portanto y′′ − 2y′ + y = ex(2 + x)− 2ex(1 + x) + xex =
ex[(2 + x)− 2(1 + x) + x] = ex[2 + x− 2− 2x+ x] = 0.
Equações Diferenciais Ordinárias
Exerćıcios
Exerćıcios
Exerćıcio (01)
A função y = xex é uma solução para EDO linear
y′′ − 2y′ + y = 0.
Sol.
Note que
y′ = (1ex + xex) = ex(1 + x)⇒ y′′ = ex(1 + x) + ex = ex(2 + x)
Portanto y′′ − 2y′ + y = ex(2 + x)− 2ex(1 + x) + xex =
ex[(2 + x)− 2(1 + x) + x] = ex[2 + x− 2− 2x+ x] = 0.
Equações Diferenciais Ordinárias
Exerćıcios
Exerćıcios
Exerćıcio (01)
A função y = xex é uma solução para EDO linear
y′′ − 2y′ + y = 0.
Sol.
Note que
y′ = (1ex + xex) = ex(1 + x)⇒ y′′ = ex(1 + x) + ex = ex(2 + x)
Portanto y′′ − 2y′ + y = ex(2 + x)− 2ex(1 + x) + xex =
ex[(2 + x)− 2(1 + x) + x] = ex[2 + x− 2− 2x+ x] = 0.
Equações Diferenciais Ordinárias
Exerćıcios
Exerćıcios
Exerćıcio (01)
A função y = xex é uma solução para EDO linear
y′′ − 2y′ + y = 0.
Sol.
Note que
y′ = (1ex + xex) = ex(1 + x)⇒ y′′ = ex(1 + x) + ex = ex(2 + x)
Portanto y′′ − 2y′ + y = ex(2 + x)− 2ex(1 + x) + xex =
ex[(2 + x)− 2(1 + x) + x] = ex[2 + x− 2− 2x+ x] = 0.
Equações Diferenciais Ordinárias
Exerćıcios
Exerćıcios
Exerćıcio (01)
A função y = xex é uma solução para EDO linear
y′′ − 2y′ + y = 0.
Sol.
Note que
y′ = (1ex + xex) = ex(1 + x)⇒ y′′ = ex(1 + x) + ex = ex(2 + x)
Portanto y′′ − 2y′ + y = ex(2 + x)− 2ex(1 + x) + xex =
ex[(2 + x)− 2(1 + x) + x] = ex[2 + x− 2− 2x+ x] = 0.
Equações Diferenciais Ordinárias
Exerćıcios
Exerćıcios
Exerćıcio (01)
A função y = xex é uma solução para EDO linear
y′′ − 2y′ + y = 0.
Sol.
Note que
y′ = (1ex + xex) = ex(1 + x)⇒ y′′ = ex(1 + x) + ex = ex(2 + x)
Portanto y′′ − 2y′ + y = ex(2 + x)− 2ex(1 + x) + xex =
ex[(2 + x)− 2(1 + x) + x] = ex[2 + x− 2− 2x+ x] = 0.
Equações Diferenciais Ordinárias
Exerćıcios
Exerćıcio (02)
As funções x = C1 cos(4t) e x = C2 sin(4t) satisfazem
x′′ + 16x = 0
Sol.
Note que x′ = C1(− sin(4t)) · 4 = −4C1 sin(4t).
Logo x′′ = −4C1 cos(4t) · 4 = − 16C1 cos(4t)
Portanto x′′ + 16x = −16C1 cos(4t) + 16 · (C1 cos(4t)) = 0.
Para x = C2 sin(4t) é análogo.
Equações Diferenciais Ordinárias
Exerćıcios
Exerćıcio (02)
As funções x = C1 cos(4t) e x = C2 sin(4t) satisfazem
x′′ + 16x = 0
Sol.
Note que x′ = C1(− sin(4t)) · 4 = −4C1 sin(4t).
Logo x′′ = −4C1 cos(4t) · 4 = − 16C1 cos(4t)
Portanto x′′ + 16x = −16C1 cos(4t) + 16 · (C1 cos(4t)) = 0.
Para x = C2 sin(4t) é análogo.
Equações Diferenciais Ordinárias
Exerćıcios
Exerćıcio (02)
As funções x = C1 cos(4t) e x = C2 sin(4t) satisfazem
x′′ + 16x = 0
Sol.
Note que x′ = C1(− sin(4t)) · 4 = −4C1 sin(4t).
Logo x′′ = −4C1 cos(4t) · 4 = − 16C1 cos(4t)
Portanto x′′ + 16x = −16C1 cos(4t) + 16 · (C1 cos(4t)) = 0.
Para x = C2 sin(4t) é análogo.
Equações Diferenciais Ordinárias
Exerćıcios
Exerćıcio (02)
As funções x = C1 cos(4t) e x = C2 sin(4t) satisfazem
x′′ + 16x = 0
Sol.
Note que x′ = C1(− sin(4t)) · 4 = −4C1 sin(4t).
Logo x′′ = −4C1 cos(4t) · 4 = − 16C1 cos(4t)
Portanto x′′ + 16x = −16C1 cos(4t) + 16 · (C1 cos(4t)) = 0.
Para x = C2 sin(4t) é análogo.
Equações Diferenciais Ordinárias
Exerćıcios
Exerćıcio (02)
As funções x = C1 cos(4t) e x = C2 sin(4t) satisfazem
x′′ + 16x = 0
Sol.
Note que x′ = C1(− sin(4t)) · 4 = −4C1 sin(4t).
Logo x′′ = −4C1 cos(4t) · 4 = − 16C1 cos(4t)
Portanto x′′ + 16x = −16C1 cos(4t) + 16 · (C1 cos(4t)) = 0.
Para x = C2 sin(4t) é análogo.
Equações Diferenciais Ordinárias
Exerćıcios
Exerćıcio (02)
As funções x = C1 cos(4t) e x = C2 sin(4t) satisfazem
x′′ + 16x = 0
Sol.
Note que x′ = C1(− sin(4t)) · 4 = −4C1 sin(4t).
Logo x′′ = −4C1 cos(4t) · 4 = − 16C1 cos(4t)
Portanto x′′ + 16x = −16C1 cos(4t) + 16 · (C1 cos(4t)) = 0.
Para x = C2 sin(4t) é análogo.
Equações Diferenciais Ordinárias
Exerćıcios
Exerćıcio (02)
As funções x = C1 cos(4t) e x = C2 sin(4t) satisfazem
x′′ + 16x = 0
Sol.
Note que x′ = C1(− sin(4t)) · 4 = −4C1 sin(4t).
Logo x′′ = −4C1 cos(4t) · 4 = − 16C1 cos(4t)
Portanto x′′ + 16x = −16C1 cos(4t) + 16 · (C1 cos(4t)) = 0.
Para x = C2 sin(4t) é análogo.
Equações Diferenciais Ordinárias
Exerćıcios
Exerćıcio (03)
Mostre que as funções y = ex, y = e−x, y = C1e
x, y = C2e
−x, e
y = C1e
x + C2e
−x satisfazem y′′ − y = 0?
Sol.
Note que, para y = C1e
x + C2e
−x, temos que:
y′ = C1e
x + C2e
−x · (−1) = C1ex − C2e−x.
Logo y′′ = C1e
x − C2e−x · (−1) = C1ex + C2e−x
Portanto y′′ − y = (C1ex + C2e−x)− (C1ex + C2e−x) = 0.
Equações Diferenciais Ordinárias
Exerćıcios
Exerćıcio (03)
Mostre que as funções y = ex, y = e−x, y = C1e
x, y = C2e
−x, e
y = C1e
x + C2e
−x satisfazem y′′ − y = 0?
Sol.
Note que, para y = C1e
x + C2e
−x, temos que:
y′ = C1e
x + C2e
−x · (−1) = C1ex − C2e−x.
Logo y′′ = C1e
x − C2e−x · (−1) = C1ex + C2e−x
Portanto y′′ − y = (C1ex + C2e−x)− (C1ex + C2e−x) = 0.
Equações Diferenciais Ordinárias
Exerćıcios
Exerćıcio (03)
Mostre que as funções y = ex, y = e−x, y = C1e
x, y = C2e
−x, e
y = C1e
x + C2e
−x satisfazem y′′ − y = 0?
Sol.
Note que, para y = C1e
x + C2e
−x, temos que:
y′ = C1e
x + C2e
−x · (−1) = C1ex − C2e−x.
Logo y′′ = C1e
x − C2e−x · (−1) = C1ex + C2e−x
Portanto y′′ − y = (C1ex + C2e−x)− (C1ex + C2e−x) = 0.
Equações Diferenciais Ordinárias
Exerćıcios
Exerćıcio (03)
Mostre que as funções y = ex, y = e−x, y = C1e
x, y = C2e
−x, e
y = C1e
x + C2e
−x satisfazem y′′ − y = 0?
Sol.
Note que, para y = C1e
x + C2e
−x, temos que:
y′ = C1e
x + C2e
−x · (−1) = C1ex − C2e−x.
Logo y′′ = C1e
x − C2e−x · (−1) = C1ex + C2e−x
Portanto y′′ − y = (C1ex + C2e−x)− (C1ex + C2e−x) = 0.
Equações Diferenciais Ordinárias
Exerćıcios
Exerćıcio (03)
Mostre que as funções y = ex, y = e−x, y = C1e
x, y = C2e
−x, e
y = C1e
x + C2e
−x satisfazem y′′ − y = 0?
Sol.
Note que, para y = C1e
x + C2e
−x, temos que:
y′ = C1e
x + C2e
−x · (−1) = C1ex − C2e−x.
Logo y′′ = C1e
x − C2e−x · (−1) = C1ex + C2e−x
Portanto y′′ − y = (C1ex + C2e−x)− (C1ex + C2e−x) = 0.
Equações Diferenciais Ordinárias
Exerćıcios
Exerćıcio (03)
Mostre que as funções y = ex, y = e−x, y = C1e
x, y = C2e
−x, e
y = C1e
x + C2e
−x satisfazem y′′ − y = 0?
Sol.
Note que, para y = C1e
x + C2e
−x, temos que:
y′ = C1e
x + C2e
−x · (−1) = C1ex − C2e−x.
Logo y′′ = C1e
x − C2e−x · (−1) = C1ex + C2e−x
Portanto y′′ − y = (C1ex + C2e−x)− (C1ex + C2e−x) = 0.
Equações Diferenciais Ordinárias
Exerćıcios
Exerćıcio (04)
A função Q = B − Ce−kt satisfaz ∂Q
∂t
= k(B −Q)
Sol.
Note que
∂Q
∂t
= (0− C(e−kt) · −k) = kCe−kt.
Po outro lado,
k(B −Q) = kB − kQ = kB − k(B − Ce−kt) = kCe−kt.
Equações Diferenciais Ordinárias
Exerćıcios
Exerćıcio (04)
A função Q = B − Ce−kt satisfaz ∂Q
∂t
= k(B −Q)
Sol.
Note que
∂Q
∂t
= (0− C(e−kt) · −k) = kCe−kt.
Po outro lado,
k(B −Q) = kB − kQ = kB − k(B − Ce−kt) = kCe−kt.
Equações Diferenciais Ordinárias
Exerćıcios
Exerćıcio (04)
A função Q = B − Ce−kt satisfaz ∂Q
∂t
= k(B −Q)
Sol.
Note que
∂Q
∂t
= (0− C(e−kt) · −k) = kCe−kt.
Po outro lado,
k(B −Q) = kB − kQ = kB − k(B − Ce−kt) = kCe−kt.
Equações DiferenciaisOrdinárias
Exerćıcios
Exerćıcio (04)
A função Q = B − Ce−kt satisfaz ∂Q
∂t
= k(B −Q)
Sol.
Note que
∂Q
∂t
= (0− C(e−kt) · −k) = kCe−kt.
Po outro lado,
k(B −Q) = kB − kQ = kB − k(B − Ce−kt) = kCe−kt.
Equações Diferenciais Ordinárias
Exerćıcios
Exerćıcio (04)
A função Q = B − Ce−kt satisfaz ∂Q
∂t
= k(B −Q)
Sol.
Note que
∂Q
∂t
= (0− C(e−kt) · −k) = kCe−kt.
Po outro lado,
k(B −Q) = kB − kQ = kB − k(B − Ce−kt) = kCe−kt.
Equações Diferenciais Ordinárias
Exerćıcios
Obs:
Note que nem todas equações diferenciais possuem solução.
Como exemplos, temos (y′)2 + y2 + 4 = 0 e
(
∂y
∂x
)2
+ 1 = 0.
Equações Diferenciais Ordinárias
Exerćıcios
Exerćıcios
Exerćıcio (05)
Mostre que a função y = c/x+ 1 é uma solução da equação
diferencial de primeira ordem
x
∂y
∂x
+ y = 1
Exerćıcio (06)
Mostre que qualquer famı́lia a um parâmetro y = cx4 é uma
solução da equação diferencial de primeira ordem
x
∂y
∂x
− 4y = 0
Equações Diferenciais Ordinárias
Problema de Valor Inicial (P.V.I.)
Problema de Valor Inicial (P.V.I.)
Vimos que, quando resolvemos uma equação diferencial,
encontramos uma famı́lia de soluções, dependendo de uma
constante real. No intuito de restringimos à uma única solução,
colco-se um condição inicial o que nos gera um P.V.I do tipo :
∂y
∂x
= f(x, y)
y(x0) = y0
Em suma, estamos procurando uma solução tal que o gráfico
desta passe pelo ponto (x0, y0(x0)).
Equações Diferenciais Ordinárias
Problema de Valor Inicial (P.V.I.)
Problema de Valor Inicial (P.V.I.)
Vimos que, quando resolvemos uma equação diferencial,
encontramos uma famı́lia de soluções, dependendo de uma
constante real. No intuito de restringimos à uma única solução,
colco-se um condição inicial o que nos gera um P.V.I do tipo :
∂y
∂x
= f(x, y)
y(x0) = y0
Em suma, estamos procurando uma solução tal que o gráfico
desta passe pelo ponto (x0, y0(x0)).
Equações Diferenciais Ordinárias
Problema de Valor Inicial (P.V.I.)
Problema de Valor Inicial (P.V.I.)
Exemplo (1) 
∂y
∂x
= y
y(0) = 3
Não é dif́ıcil verificar, e posteriormente vamos mostrar, que
a função que satisfaz
∂y
∂x
= y é a função exponencial, pois
∂(ex)
∂x
= ex. Portanto a solução da E.D.O
∂y
∂x
= y é a função
y = y(x) = ex + C,
onde C é uma constante arbitrária.
Equações Diferenciais Ordinárias
Problema de Valor Inicial (P.V.I.)
Problema de Valor Inicial (P.V.I.)
Exemplo (1) 
∂y
∂x
= y
y(0) = 3
Não é dif́ıcil verificar, e posteriormente vamos mostrar, que
a função que satisfaz
∂y
∂x
= y é a função exponencial, pois
∂(ex)
∂x
= ex. Portanto a solução da E.D.O
∂y
∂x
= y é a função
y = y(x) = ex + C,
onde C é uma constante arbitrária.
Equações Diferenciais Ordinárias
Problema de Valor Inicial (P.V.I.)
Problema de Valor Inicial (P.V.I.)
Exemplo (1) 
∂y
∂x
= y
y(0) = 3
Não é dif́ıcil verificar, e posteriormente vamos mostrar, que
a função que satisfaz
∂y
∂x
= y é a função exponencial, pois
∂(ex)
∂x
= ex. Portanto a solução da E.D.O
∂y
∂x
= y é a função
y = y(x) = ex + C,
onde C é uma constante arbitrária.
Equações Diferenciais Ordinárias
Problema de Valor Inicial (P.V.I.)
Problema de Valor Inicial (P.V.I.)
Exemplo (1) 
∂y
∂x
= y
y(0) = 3
Não é dif́ıcil verificar, e posteriormente vamos mostrar, que
a função que satisfaz
∂y
∂x
= y é a função exponencial, pois
∂(ex)
∂x
= ex. Portanto a solução da E.D.O
∂y
∂x
= y é a função
y = y(x) = ex + C,
onde C é uma constante arbitrária.
Equações Diferenciais Ordinárias
Problema de Valor Inicial (P.V.I.)
Resta utilizarmos a condição inicial dada no problema e
determinarmos dentre a famı́lia de soluções, uma particular dada
pela equação y(0) = 3 .
Mas y(0) = e0 + C ⇒ 3 = 1 + C ⇒ C = 2 e consequentemente,
a solução do P.V.I é
y(x) = ex + 2
Equações Diferenciais Ordinárias
Problema de Valor Inicial (P.V.I.)
Resta utilizarmos a condição inicial dada no problema e
determinarmos dentre a famı́lia de soluções, uma particular dada
pela equação y(0) = 3 .
Mas y(0) = e0 + C ⇒ 3 = 1 + C ⇒ C = 2 e consequentemente,
a solução do P.V.I é
y(x) = ex + 2
Equações Diferenciais Ordinárias
Referências
Referências
G. Zill, Dennis and R.Cullen ,Michael Equações Diferenciais
Vol I, Pearson, (2001).
	AVALIAÇÕES
	Equações Diferenciais
	Modelos Matemáticos
	 Classificação de uma Equação Diferencial
	Solução de uma Equação Diferencial
	Exercícios
	Problema de Valor Inicial (P.V.I.)
	Referências