HISTORIA DA MATEMATICA_ AULA 07

Prévia do material em texto

HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
A Teoria das Proporções de Eudoxo e os Incomensuráveis
Eudoxo de Cnido (408 - 355 a.E.C.) era frequentador da Academia de Platão. 
Temos poucas fontes de informações sobre os trabalhos de cunho matemático de Eudoxo, dada a escassez de documentos originais. 
Assim, aceitamos as contribuições a ele atribuídas pelos comentaristas. 
Mapa da Liga de Delos em 431 a.C. (Imagem: Wikimedia Commons)
Segundo Proclus, são atribuídas a Eudoxo as proposições que Euclides de Alexandria expõe no livro V de Os elementos sobre grandezas gerais e suas relações, aplicadas tanto a segmentos de reta quanto a áreas, volumes etc. e que, juntamente com o chamado método de exaustão, permitiu uma abordagem rigorosa para os cálculos de áreas e volumes. 
Eudoxo resolve o impasse lógico gerado pelas concepções pitagóricas por meio da teoria das proporções. A solução estabelecida pelo geômetra Eudoxo inclui uma definição, um postulado e um método. 
A definição evita a dificuldade que havia apresentado a razão entre grandezas incomensuráveis, já que não havia para os gregos esse conceito. 
 
 
Eudoxo define, não essa razão, mas a igualdade de razões, ou seja, a proporção existente nessa igualdade, com o intuito de contornar esse obstáculo conceitual. 
Com relação ao postulado, Eudoxo estabelece uma condição para que duas grandezas tenham razão; tal postulado é expresso por Euclides na definição 4, que nos fornece uma forma de determinar se duas grandezas possuem uma razão.
1. Uma magnitude é uma parte de uma magnitude, a menor da maior, quando meça exatamente a maior.
2. E a maior é um múltiplo da menor, quando seja medida exatamente pela menor.
3. Uma razão é a relação de certo tipo concernente ao tamanho de duas magnitudes de mesmo gênero.
4. Magnitudes são ditas ter uma razão entre si, aquelas que multiplicadas podem exceder uma a outra.
5. Magnitudes são ditas estar na mesma razão, uma primeira para uma segunda e uma terceira para uma quarta, quando os mesmos múltiplos da primeira e da terceira ou, ao mesmo tempo, excedam ou, ao mesmo tempo, sejam iguais ou, ao mesmo tempo, sejam inferiores aos mesmos múltiplos da segunda e da quarta, relativamente a qualquer tipo que seja de multiplicação, cada um de cada um, tendo sido tomados correspondentes. (Os Elementos de Euclides, tradução de Irineu Bicudo, Editora da UNESP, 2009).
A definição 4 nos aponta como determinar se duas grandezas possuem uma relação. Em linguagem atual, temos: 
“Para que duas grandezas a e b possuam uma razão entre elas, é necessário que exista pelo menos um par de números naturais m e n, de forma que: ma > b e nb > a.”
 
Isso implica em dizer que só podemos comparar duas grandezas se uma se tornar maior do que a outra ao ser multiplicada por um número inteiro positivo. 
 
A definição 5, em linguagem atual, pode ser expressa da seguinte forma:
Podemos afirmar que a:d é proporcional a (ou está na mesma razão que) c:d se, e somente se, para todo par de números naturais m e n temos um dos casos:
(i) se ma = mb, então mc = nd
(ii) se ma > nb, então mc > nd 
(iii) se ma < nb, então mc < nd
Exemplo: Vamos considerar os segmentos a, b, c e d para discutir quando esses segmentos podem ser considerados proporcionais. (História da Matemática, Tatiana Roque, Editora Zahar, 2012)
Caso 1: Suponha que a:b = c:d = 2:3. Nesse caso, 3a = 2b e 3c = 2d. (nesse caso, m = 3 e n = 2)
Multiplicando a por 3 e b por 2, obtemos dois segmentos iguais. O mesmo ocorre ao multiplicarmos c por 3 e d por 2. 
Em termos atuais, os segmentos a, b, c e d são proporcionais, pois a razão entre a e b é igual a razão entre c e d. 
Assim, multiplicando a e c, por um mesmo inteiro m e multiplicando b e d por um mesmo inteiro n, obtemos dois segmentos iguais. 
Assim, pelo item (i) da Definição 5, a:b e c:d têm mesma razão, ou seja, a, b, c e d são proporcionais.
Caso 2: Agora, vamos considerar que a, b, c e d tenham medida, respectivamente, iguais a 
 .
Suponha que m = 3 e n = 2. Nesse caso, não obteremos 3a = 2b, como no caso anterior. 
Multiplicando a e c por 3 e b e d por 2, obtemos: 
ma, nb, mc e nd 
ma > nb e mc > nd
Assim, pelo item (ii) da Definição 5, a, b, c e d são proporcionais.
Caso 3: Agora, vamos considerar novamente que a, b, c e d tenham medida, respectivamente, iguais a 
 , mas vamos supor que 
m = 7 e n = 5. Nesse caso, multiplicando a e c por 7 e b e d por 5, obtemos: 
ma, nb, mc e nd 
ma < nb e mc < nd
Assim, pelo item (iii) da Definição 5, a, b, c e d são proporcionais.
Em síntese, conforme a definição 5, afirmar que os segmentos a, b, c e d são proporcionais é dizer que expandindo ou contraindo os dois primeiros segmentos em uma certa quantidade, os outros dois também serão expandidos ou contraídos da mesma quantidade.
Portanto, se multiplicarmos o segmento a por m e b por n, pode ocorrer que ma > nb, 
ma = nb ou ma < nb, mas o mesmo deve ocorrer para mc e nd. 
A teoria das proporções permitiu entender a comparação entre razões de forma geométrica. 
Com isso, evitou-se a discussão sobre a identificação da razão entre duas grandezas quaisquer com um número.
HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
A Teoria das Proporções de Eudoxo e os Incomensuráveis