Slides_Aula 17-03 - Cap 4

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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
Profa. Muriel Batista de Oliveira
2021/1
Cursos EaD
Capítulo 4: Flexão Pura
(pág. 142 a 159) aula 7
(pág. 160 a 181) aula 8
Cap. 4: Flexão Pura
Objetivos
• Analisar vigas de diferentes seções transversais,
simétricas e assimétricas sob a ação do momento
fletor, considerando apenas flexão pura;
• Determinar o raio de curvatura de uma viga;
• Determinar a distribuição de tensões provocadas
pelos momentos fletores em vigas de materiais
homogêneos lineares elásticos;
• Determinar a distribuição de tensões provocadas
pelos momentos fletores em vigas de feitas de dois
materiais diferentes;
• Analisar estruturas sujeitas a flexão oblíqua.
Cap. 4: Flexão Pura
Objetivos
• Vigas são barras longas e retas com seção transversal constante e que
são classificadas de acordo com o modo que são apoiadas. Podem ser
do tipo simplesmente apoiadas, engastadas livres ou apoiadas com
uma ou ambas extremidades em balanço.
• Considerando os carregamentos aplicáveis, as vigas desenvolvem uma
força de cisalhamento interna (força cortante) e um momento fletor,
que em geral variam de ponto para ponto ao longo do eixo da viga,
que são determinados pelo método das seções. Estes valores máximos
são primordiais para o dimensionamento de uma viga.
Cap. 4: Flexão Pura
Conceitos básicos
• Uma barra está sob flexão pura, quando a mesma estiver sujeita a
ação de dois conjugados iguais e de sentidos contrários, que atuam em
um mesmo plano longitudinal.
Cap. 4: Flexão Pura
Conceitos básicos
Fonte: HIBBELER (2010) 
• O sistema de esforços internos que atuam na seção transversal deve
ser equivalente ao conjugado M.
Cap. 4: Flexão Pura
Conceitos básicos
• Quando um momento fletor é aplicado na viga as linhas tendem a se
distorcer. As linhas longitudinais ficam curvas e as linhas transversais
verticais permanecem retas, porém sofrem rotação.
Cap. 4: Flexão Pura
Deformação em uma barra simétrica na flexão
Fonte: HIBBELER (2010) 
• Para se ter flexão pura, submetemos a barra à ação do conjugados M e
M’, que atuam no plano de simetria, com intensidades iguais e
sentidos opostos.
Cap. 4: Flexão Pura
Deformação em uma barra simétrica na flexão
• Como M é o mesmo em qualquer seção, a barra se flexiona de
maneira uniforme, assim a linha AB tem uma curvatura constante, se
transformando em um arco de circunferência de centro C.
• Quando M > 0 a linha AB diminui de comprimento, enquanto a linha
A’B’, se torna mais longa, verificando que a deformação específica 𝜀𝑥 e
a tensão σx são negativas na parte superior da barra (compressão) e
positivas na parte inferior (tração).
• A superfície neutra é a superfície paralela à face superior e à face
inferior da barra, onde σx e 𝜀𝑥 se tornam nulas.
Cap. 4: Flexão Pura
Deformação em uma barra simétrica na flexão
• A deformação específica normal εx varia linearmente com a distância y
da superfície neutra, e ρ é o raio de curvatura da superfície neutra.
• A interseção da superfície neutra com uma seção transversal é
conhecida como linha neutra da seção.
• A maior deformação específica εx ocorre para o máximo valor de y,
chamado de C. Daí tem-se:
• Para calcular a tensão ou a deformação em qualquer ponto de uma
barra é necessário localizar a linha neutra ou superfície neutra.
Cap. 4: Flexão Pura
Deformação em uma barra simétrica na flexão
• Aplicando a Lei de Hooke, onde as tensões na barra permanecem
abaixo dos limites de proporcionalidade e de elasticidade do material:
Cap. 4: Flexão Pura
Tensões e deformações no regime elástico
Cap. 4: Flexão Pura
Tensões e deformações no regime elástico
Fonte: HIBBELER (2010) 
• Estabelecendo-se a soma das forças elementares, σxdA, igual a zero,
prova-se que a linha neutra passa pelo centroide da seção transversal
de uma barra em flexão pura.
• Fazendo-se o somatório dos membros das forças elementares igual ao
momento fletor, obtém-se a fórmula da flexão elástica para a máxima
tensão normal:
Cap. 4: Flexão Pura
Tensões e deformações no regime elástico
Onde:
• 𝜎𝑚á𝑥 = tensão normal máxima no elemento, que ocorre em um ponto
na área da seção transversal mais afastada da linha neutro;
• M = momento interno resultante, determinado pelo método das
seções e pelas equações de equilíbrio e calculado em torno da linha
neutra da seção transversal;
• I = momento de inércia da seção transversal em relação a linha neutra;
• c = distância perpendicular da linha neutra ao ponto mais afastado da
linha neutra (geralmente a superfície).
Cap. 4: Flexão Pura
Tensões e deformações no regime elástico
Fórmula usada para determinar a tensão normal 
em um elemento reto, com seção transversal 
simétrica em relação a um eixo e momento 
aplicado perpendicularmente a esse eixo 
• A relação I/C só depende da geometria da seção transversal. Essa
relação é chamada módulo resistente ou momento resistente 𝑊:
• Essa relação mostra que a σmáx é inversamente proporcional a W, de
modo que a viga deve ser projetada com o maior valor de W possível,
nas condições de cada problema.
Cap. 4: Flexão Pura
Tensões e deformações no regime elástico
• Tendo duas vigas com a mesma área de seção transversal, a viga com
maior altura terá um W maior, sendo então mais apropriada para
resistir a tensões de flexão, pois tem um maior momento de inércia
quando comparada com a outra.
Cap. 4: Flexão Pura
Tensões e deformações no regime elástico
• No caso de aço estrutural, as vigas I e os perfis de abas largas são
preferidos para trabalhar a flexão, pois uma grande parte da seção
transversal está localizada o mais longe possível da linha neutra.
Cap. 4: Flexão Pura
Tensões e deformações no regime elástico
• Podemos medir a deformação da barra submetida a flexão por meio
do raio de curvatura da linha neutra. A curvatura de uma barra é o
inverso do raio de curvatura ρ, assim, em regime elástico, expressamos
a curvatura do membro como:
Cap. 4: Flexão Pura
Tensões e deformações no regime elástico
• Uma viga composta é aquela feita por mais de um material,
considerando que deve suportar ao carregamento com eficiência. Se a
barra submetida à flexão pura é feita de dois ou mais materiais, com
diferentes módulos de elasticidades, não podemos assumir que a linha
neutra passa pelo centroide da seção transversal.
Cap. 4: Flexão Pura
Flexão de barras compostas
• As expressões para cálculo das tensões de cada material serão
diferentes, pois seus módulos de elasticidade E1 e E2 são diferentes:
• Desta forma precisamos transformar a seção transversal em um único
material, para aplicar a fórmula da flexão. Para isso, usamos uma
relação entre os módulos de elasticidade dos materiais, obtendo uma
seção transformada correspondente a uma barra equivalente feita
inteiramente de um único material (homogênea), de modo que essa
viga tenha a mesma resistência que a viga composta.
Cap. 4: Flexão Pura
Flexão de barras compostas
. y . y
• A razão entre os módulos de elasticidade é o fator de transformação:
• Depois que determinarmos a tensão 1 na seção transformada,
devemos multiplicar a tensão 2 pelo fator de transformação para que
seja obtida a tensão na viga verdadeira. Desse modo a tensão 2 em
um ponto da seção original deve ser n vezes maior que a tensão do
mesmo ponto da seção transformada.
Cap. 4: Flexão Pura
Flexão de barras compostas
• Quando os carregamentos da barra (conjugados) não agem nos planos
que coincidem com algum plano de simetria da barra, ou no caso de
conjugados aplicados a vigas que não possuem nenhum plano de
simetria, ocorre a flexão oblíqua.
• Podemos considerar que os conjugados aplicados às vigas atuam em
planos verticais, sendo representados por vetores-momento
horizontais M.
• Como o plano vertical não é um plano de simetria, a barra não irá
flexionar nesse plano, e a linha neutra da seção não irá coincidir com o
eixo do conjugado.
Cap. 4: Flexão Pura
Flexão oblíqua ou assimétrica
• Quando isso ocorre, em primeiro lugar devemos calcular devemos
decompor o momentoem suas componentes. Assim, a fórmula de
flexão pode ser usada para determinar a tensão normal provocada por
cada componente de momento. Por fim, usando o princípio da
superposição, a tensão resultante no ponto pode ser determinada.
Cap. 4: Flexão Pura
Flexão oblíqua ou assimétrica
Fonte: BEER (2006) 
Cap. 4: Flexão Pura
Flexão oblíqua
Cap. 4: Flexão Pura
Flexão oblíqua
• Aplicando a fórmula da flexão a cada componente, a tensão normal
resultante em qualquer ponto na seção transversal pode ser escrita
como:
Onde: 
  = tensão normal no ponto 
𝑦,𝑧 = coordenadas do ponto medidas em relação aos eixos x, y e z com origem no centroide da 
área da seção transversal e formando um sistema de coordenadas orientado para direita. Os 
eixos y e z representam, respectivamente, os eixos principais dos momentos de inércia mínimos 
e máximos para área; 
𝑀𝑧, 𝑀𝑦= componentes do momento interno resultante, direcionados ao longo dos eixos principais 
y e z. 𝑀𝑧=𝑀𝑐𝑜𝑠𝜃 e 𝑀𝑦=𝑀𝑠𝑒𝑛𝜃, onde 𝜃 é positivo se medido do eixo +z na direção do eixo +y; 
𝐼𝑧, 𝐼𝑦 = momentos principais de inércia calculados em torno dos eixos y e z, respectivamente. 
Cap. 4: Flexão Pura
Flexão oblíqua
• A tensão resultante será de tração quando positiva e de compressão se
ela for negativa.
• O ângulo da linha neutra pode ser determinado pela equação 4.22 com
x =0, já que na linha neutra todas as tensões são nulas.
Atividades
1 – Assistir aos vídeos da videoteca: 
https://afya.instructure.com/courses/14799/pages/resmat-1
Vídeo 13 (exemplo 3 da pág. 163)
Vídeo 14 (exemplo 5 da pág. 165/166)
Vídeo 15 (exemplo 8 da pág. 169-171)
Vídeo 16 (exemplo 6 da pág. 166/167)
Vídeo 17 (exemplo 9 da pág. 171-173)
Vídeo 18 (exemplo 10 da pág. 173-175)
Cap. 4: Flexão Pura
https://afya.instructure.com/courses/14799/pages/resmat-1
2 – Resolver as questões propostas a seguir (avaliadas, para 
serem postadas posteriormente na MA1-parte 3):
Questão 1 (exercício 5 proposto pág. 159)
O elemento abaixo possui seção retangular com duas nervuras na parte
inferior, e deve resistir a ação de um momento de 40 N.m. Determine a
tensão máxima nesse elemento estrutural.
Cap. 4: Flexão Pura
Questão 2 (exercício 2 proposto pág. 179 – resolva pelos 2 métodos)
Uma viga composta é construída em madeira e reforçada com tiras de aço em sua
parte inferior e superior. Para as dimensões transversais mostradas na figura,
determinar o valor da tensão normal de flexão máxima desenvolvida na madeira
e no aço quando um momento fletor igual a 5 KN.m em torno de um eixo
horizontal atuar nesta viga. Considerar Eaço = 200 GPa e Emadeira = 11 GPa.
Cap. 4: Flexão Pura
Questão 3 (exercício 4 proposto pág. 180)
O momento fletor M é aplicado a uma viga com a seção transversal mostrada
e atua em um plano que forma um ângulo β com a vertical. Determinar o
valor das tensões normais nos pontos A e B, e o ângulo de inclinação da linha
neutra com a horizontal.
Cap. 4: Flexão Pura
OBRIGADA!