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Trilhas
da Matem‡tica
Componente curricular: 
MATEMÁTICA
Ensino Fundamental: 
ANOS FINAIS
Fausto Arnaud Sampaio
6Manual do
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Fausto Arnaud Sampaio
Licenciado em Matemática pela Universidade Estadual 
de Campinas (Unicamp-SP)
Especialista em Educação Matemática pela Universidade 
Estadual de Campinas (Unicamp-SP)
Professor da rede particular de ensino
1ª edição
São Paulo, 2018
naud Sampaio
Licenciado em Matemática pela Universidade Estadual 
Especialista em Educação Matemática pela Universidade 
Estadual de Campinas (Unicamp-SP)
Trilhas
da Matem‡tica
Componente curricular: 
MATEMÁTICA
Ensino Fundamental: 
ANOS FINAIS
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II MANUAL DO PROFESSOR
Direção geral: Guilherme Luz
Direção editorial: Luiz Tonolli e Renata Mascarenhas
Gestão de projeto editorial: Mirian Senra
Gestão de área: Julio Cesar Augustus de Paula Santos
Coordenação: Marcela Maris
Edição: Enrico Briese Casentini, Erika Di Lucia Bártolo, 
Katia Takahashi, Luana Fernandes de Souza e Rodrigo Macena e Silva
Gerência de produção editorial: Ricardo de Gan Braga
Planejamento e controle de produção: Paula Godo, 
Roseli Said e Márcia Pessoa
Revisão: Hélia de Jesus Gonsaga (ger.), Kátia Scaff Marques (coord.), 
Rosângela Muricy (coord.), Ana Curci, Ana Paula C. Malfa, 
Carlos Eduardo Sigrist, Célia Carvalho, Daniela Lima, Flavia S. Vênezio, 
Gabriela M. Andrade, Hires Heglan, Lilian M. Kumai, Luís M. Boa Nova, 
Luiz Gustavo Bazana, Maura Loria, Patricia Cordeiro, Paula T. de Jesus, 
Raquel A. Taveira, Rita de Cássia C. Queiroz, Sueli Bossi; 
Amanda T. Silva e Bárbara de M. Genereze (estagiárias)
Arte: Daniela Amaral (ger.), André Gomes Vitale (coord.) 
e Daniel Hisashi Aoki (edição de arte)
Diagramação: Setup
Iconografia: Sílvio Kligin (ger.), Roberto Silva (coord.), 
Evelyn Torrecilla (pesquisa iconográfica) 
Licenciamento de conteúdos de terceiros: Thiago Fontana (coord.), 
Flavia Zambon (licenciamento de textos), Erika Ramires, Luciana Pedrosa Bierbauer, 
Luciana Cardoso e Claudia Rodrigues (analistas adm.)
Tratamento de imagem: Cesar Wolf e Fernanda Crevin
Ilustrações: Dawidson França, Estúdio Lab 307, Estúdio Mil, 
Hector Gómez, Luiz Fernando Rubio, Luis Moura, 
Quanta Estúdio, Setup e WYM Design.
Cartografia: Eric Fuzii (coord.) 
Design: Gláucia Correa Koller (ger.), 
Aurélio Camilo (proj. gráfico e capa), 
Tatiane Porusselli e Gustavo Vanini (assist. arte)
Foto de capa: Aberu.Go/Shutterstock
Todos os direitos reservados por Saraiva Educação S.A.
Avenida das Nações Unidas, 7221, 1o andar, Setor A – 
Espaço 2 – Pinheiros – SP – CEP 05425-902
SAC 0800 011 7875
www.editorasaraiva.com.br 
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) 
Julia do Nascimento - Bibliotecária - CRB-8/010142
2018
Código da obra CL 820680
CAE 631757 (AL) / 631758 (PR)
1a edição
1a impressão
Impressão e acabamento
 
Sampaio, Fausto Arnaud 
 Trilhas da matemática, 6º ano : ensino fundamental, anos 
finais / Fausto Arnaud Sampaio. -- 1. ed. -- São Paulo : 
Saraiva, 2018. 
 
Suplementado pelo manual do professor. 
Bibliografia. 
ISBN: 978-85-472-3665-6 (aluno) 
ISBN: 978-85-472-3666-3 (professor) 
 
 
1. Matemática (Ensino fundamental). I. Título. 
 
 
2018-0045 CDD: 372.7 
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IIIMANUAL DO PROFESSOR
Caro professor,
Este Manual foi elaborado a fim de auxiliá-lo em seu trabalho docente com o uso desta coleção, promo-
vendo uma discussão sobre alguns aspectos da Educação Matemática e a maneira como eles se refletem 
nas escolhas feitas para esta obra.
As orientações didáticas aqui apresentadas expressam a intenção da coleção de se alinhar com uma 
educação preocupada com a formação cidadã dos alunos, em que a Matemática seja um instrumento 
para o desenvolvimento cognitivo e atitudinal. Também destacamos o objetivo de atender aos requisi-
tos da Base Nacional Comum Curricular (BNCC), abrangendo o desenvolvimento das habilidades e das 
competências da coleção.
Inicialmente apresentamos os aspectos gerais da coleção: as competências gerais da BNCC e as compe-
tências específicas de Matemática; nossos pressupostos teórico-metodológicos, como o uso da resolução de 
problemas e a relação da Matemática com outras áreas de conhecimento; concepções de avaliação e algumas 
formas de implementação no trabalho docente.
Ao longo de cada Unidade apresentamos as habilidades da BNCC que serão exploradas, gradativamente, 
e alguns aspectos pedagógicos importantes no que diz respeito ao que se encontra na literatura acadêmica 
sobre o ensino e a aprendizagem do conteúdo explorado. São também contempladas algumas dificuldades 
encontradas por alunos e professores em relação ao tema trabalhado e, em alguns casos, as estratégias que 
podem levar a melhores resultados. Além disso, algumas atividades propostas são analisadas abordando-se 
encaminhamentos possíveis, ampliações e complementações.
Também apresentamos sugestões de leituras, vídeos, sites, jogos ou material pedagógico que lhe permitem 
aprofundar o trabalho com a Unidade e proporcionar reflexões acerca do ensino de Matemática.
Lembramos que apenas com a mediação exercida pelo professor é possível atingir os objetivos propostos 
nesta coleção e desejamos a você um trabalho de grandes realizações junto aos alunos.
Um abraço,
O autor
Apresenta•‹o
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IV MANUAL DO PROFESSOR
 Orientações gerais .......................... V
Visão geral do Manual do Professor ....... V
Livro impresso .......................................... V
Material Digital ........................................ V
O ensino de Matemática nos anos 
fi nais do Ensino Fundamental no 
contexto da BNCC ..................................... V
Pressupostos teórico-metodológicos ..... VII
Resolução de problemas ....................... VII
O papel do professor ............................ VIII
Contextualização .....................................IX
O diálogo com outras áreas 
de conhecimento .................................... XI
Objetivos da coleção ............................... XII
Para o professor ......................................XII
Para os alunos .........................................XII
Organização geral do
Livro do Estudante ................................. XIII
Distribuição dos conteúdos .................. XIII
Quadro de conteúdos .......................... XVI
Quadros com as habilidades da
Base Nacional Comum Curricular
previstas para cada ano ....................... XX
Estrutura do Livro do Estudante ........ XXV
Sumário
Encaminhamentos para o 
trabalho com o aluno ........................ XXVIII
Trabalho colaborativo ........................ XXIX
Outros recursos didáticos ..................... XXX
Tecnologias digitais ............................. XXX
Jogos ................................................... XXXI
Avaliação em Matemática ................... XXXI
Elaboração de relatórios .................. XXXII
Observação das ações em sala 
de aula ................................................XXXII
Aplicação de provas ......................... XXXIII
Autoavaliação .................................. XXXIII
Sugestões para a formação 
continuada e o desenvolvimento 
profi ssional docente .......................... XXXIII
Revistas e periódicos ........................ XXXIII
Órgãos governamentais,
grupos e instituições ....................... XXXIV
Sugestões de leitura ........................ XXXV
Sugestões de jogos e outras atividades ....XXXVI
Orientações .......................................... XLV
Bibliografi a e obras consultadas ........ XLVII
 Reprodução do Livro do 
Estudante do 6o ano ..........................1TRILHAS_MP_GERAL_PNLD2020_6ANO_IIaXVLIII.indd 4 10/23/18 8:17 AM
VMANUAL DO PROFESSOR - PARTE GERAL
 Visão geral do Manual do Professor
O Manual do Professor tem o objetivo de fornecer subsídios 
e orientações para o seu trabalho em sala de aula, desde a 
etapa de planejamento das aulas, organização e sequen-
ciamento de conteúdos e atividades (propostas no Livro do 
Estudante ou complementares) até a etapa de avaliação da 
aprendizagem dos alunos, que, conforme veremos adiante, 
não tem um fim em si mesma e deve servir para reorientar 
o trabalho de planejamento e a implementação de novas 
ações pedagógicas. O Manual do Professor é composto de 
livro impresso e Material Digital para cada volume.
Livro impresso
O livro impresso apresenta orientações gerais para o 
trabalho com a coleção e orientações específicas para cada 
volume:
• Nas orientações gerais, são apresentados os objetivos, 
a estrutura e a proposta teórico-metodológica adotada 
na coleção, além de discussões sobre alguns recursos 
didáticos e avaliação da aprendizagem dos alunos. Expli-
cita-se, também, a correspondência entre os conteúdos 
do Livro do Estudante e os objetos de conhecimento e as 
habilidades da Base Nacional Comum Curricular (BNCC) 
desenvolvidos em cada volume.
• As orientações específicas do volume são encontradas 
tanto nas páginas do Livro do Estudante (na cor para o 
professor) como em torno delas (em um formato que se 
assemelha a um “U”). Nelas há orientações didáticas e 
respostas às atividades propostas para os alunos, além 
da indicação das habilidades da BNCC que estão sendo 
desenvolvidas, gradativamente, a cada novo tópico abor-
dado no Livro do Estudante. Nas orientações específicas 
é possível encontrar também indicações para o uso de 
recursos do Material Digital.
Material Digital
O Material Digital é composto de um texto de apresentação 
inicial com os recursos disponíveis para o ano letivo, planos de 
desenvolvimento bimestrais, sequências didáticas, propostas 
de acompanhamento da aprendizagem e material audiovisual. 
Esse conjunto de recursos tem o objetivo de colaborar para 
a organização e o enriquecimento do seu trabalho em sala 
de aula, uma vez que, entre outros elementos, apresenta:
• quadros bimestrais com os objetos de conhecimento e 
habilidades que podem ser trabalhados em cada bimestre;
Orientações gerais
• sugestões de atividades recorrentes em sala de aula que 
favoreçam o desenvolvimento das habilidades previstas 
para o ano letivo; 
• sugestões para a gestão da sala de aula;
• sequências didáticas com planejamento aula a aula e 
objetivos de aprendizagem relacionados aos objetos de 
conhecimento e habilidades previstos para o bimestre; 
• propostas de projetos integradores com outros compo-
nentes curriculares;
• propostas de avaliação e fichas que podem auxiliar no 
acompanhamento da aprendizagem dos alunos.
 O ensino de Matemática nos anos finais do 
Ensino Fundamental no contexto da BNCC
Em face das necessidades dos alunos de hoje, com base 
em nossa experiência em sala de aula e em resultados de 
pesquisas sobre Educação Matemática, buscamos oferecer um 
material que colabore para que os alunos possam desenvolver 
competências e habilidades necessárias à compreensão da 
realidade e à atuação diante das demandas da sociedade atual.
As competências e as habilidades a serem desenvolvidas 
ao longo dos anos finais do Ensino Fundamental tomam como 
referência a BNCC:
A Base Nacional Comum Curricular (BNCC) é um docu-
mento de caráter normativo que define o conjunto orgânico e 
progressivo de aprendizagens essenciais que todos os alunos 
devem desenvolver ao longo das etapas e modalidades da Edu-
cação Básica, de modo que tenham assegurados seus direitos 
de aprendizagem e desenvolvimento, em conformidade com o 
que preceitua o Plano Nacional de Educação (PNE). [...]
Ao longo da Educação Básica, as aprendizagens essenciais 
definidas na BNCC devem concorrer para assegurar aos es-
tudantes o desenvolvimento de dez competências gerais, que 
consubstanciam, no âmbito pedagógico, os direitos de apren-
dizagem e desenvolvimento.
(BRASIL, 2017, p. 7-8)
Nesse documento, define-se competência como a “mo-
bilização de conhecimentos (conceitos e procedimentos), 
habilidades (práticas, cognitivas e socioemocionais), ati-
tudes e valores para resolver demandas complexas da 
vida cotidiana, do pleno exercício da cidadania e do mun-
do do trabalho.” (BRASIL, 2017). Destacamos a seguir as 
10 competências gerais para a Educação Básica previstas 
na BNCC, que perpassam todas as áreas de conhecimento, 
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VI MANUAL DO PROFESSOR - PARTE GERAL
articulando-se na construção de conhecimentos, no de-
senvolvimento de habilidades e na formação de atitudes e 
valores, conforme disposto na Lei de Diretrizes e Bases da 
Educação Nacional (LDB):
COMPETÊNCIAS GERAIS DA 
EDUCAÇÃO BÁSICA
1. Valorizar e utilizar os conhecimentos historicamente 
construídos sobre o mundo físico, social, cultural e 
digital para entender e explicar a realidade, continuar 
aprendendo e colaborar para a construção de uma so-
ciedade justa, democrática e inclusiva.
2. Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abor-
dagem própria das ciências, incluindo a investigação, 
a reflexão, a análise crítica, a imaginação e a criativi-
dade, para investigar causas, elaborar e testar hipó-
teses, formular e resolver problemas e criar soluções 
(inclusive tecnológicas) com base nos conhecimentos 
das diferentes áreas.
3. Valorizar e fruir as diversas manifestações artísticas e 
culturais, das locais às mundiais, e também participar 
de práticas diversificadas da produção artístico-cultural.
4. Utilizar diferentes linguagens – verbal (oral ou visual-
-motora, como Libras, e escrita), corporal, visual, sonora 
e digital –, bem como conhecimentos das linguagens 
artística, matemática e científica, para se expressar e 
partilhar informações, experiências, ideias e sentimentos 
em diferentes contextos e produzir sentidos que levem 
ao entendimento mútuo.
5. Compreender, utilizar e criar tecnologias digitais de in-
formação e comunicação de forma crítica, significativa, 
reflexiva e ética nas diversas práticas sociais (incluindo as 
escolares) para se comunicar, acessar e disseminar infor-
mações, produzir conhecimentos, resolver problemas e 
exercer protagonismo e autoria na vida pessoal e coletiva.
6. Valorizar a diversidade de saberes e vivências culturais 
e apropriar-se de conhecimentos e experiências que lhe 
possibilitem entender as relações próprias do mundo 
do trabalho e fazer escolhas alinhadas ao exercício da 
cidadania e ao seu projeto de vida, com liberdade, auto-
nomia, consciência crítica e responsabilidade.
7. Argumentar com base em fatos, dados e informações con-
fiáveis, para formular, negociar e defender ideias, pontos 
de vista e decisões comuns que respeitem e promovam 
os direitos humanos, a consciência socioambiental e o 
consumo responsável em âmbito local, regional e global, 
com posicionamento ético em relação ao cuidado de si 
mesmo, dos outros e do planeta.
8. Conhecer-se, apreciar-se e cuidar de sua saúde física e 
emocional, compreendendo-se na diversidade humana 
e reconhecendo suas emoções e as dos outros, com au-
tocrítica e capacidade para lidar com elas.
9. Exercitar a empatia, o diálogo, a resolução de conflitos e a 
cooperação, fazendo-se respeitar e promovendo o respeito 
ao outro e aos direitos humanos, com acolhimento e valo-
rização da diversidade de indivíduos e de grupos sociais, 
seus saberes, identidades, culturas e potencialidades, sem 
preconceitos de qualquer natureza.
10. Agir pessoal e coletivamente com autonomia, responsabi-
lidade, flexibilidade, resiliência e determinação, tomando 
decisões com base em princípios éticos, democráticos, 
inclusivos, sustentáveis e solidários.
(BRASIL, 2017, p. 9-10)
O ensino,em todas as áreas de conhecimento, deve visar 
ao desenvolvimento dessas competências gerais como 
maneira de atingir os objetivos da educação e ao aperfei-
çoamento da aprendizagem vista como um processo de 
envolvimento em atividade intelectual, por meio da qual se 
produzam pensamentos críticos e reflexivos.
Sobre o ensino de Matemática, destacamos que é uma 
ação por meio da qual devem ser criadas condições que 
possibilitem o desenvolvimento de modos de pensar, ao se 
descobrir, reunir e dar sentido aos conteúdos. Desse modo, 
deve ter o compromisso com competências e habilidades que 
estimulem os alunos a raciocinar, representar, comunicar e 
argumentar. Além disso, deve assegurar aos alunos reconhecer 
que os conhecimentos matemáticos são fundamentais para 
a compreensão e a atuação no mundo. Essas características 
estão presentes nas 8 competências específicas de Matemá-
tica elencadas pela BNCC:
COMPETÊNCIAS ESPECÍFICAS DE 
MATEMÁTICA PARA O ENSINO 
FUNDAMENTAL
1. Reconhecer que a Matemática é uma ciência humana, fruto 
das necessidades e preocupações de diferentes culturas, em 
diferentes momentos históricos, e é uma ciência viva, que 
contribui para solucionar problemas científicos e tecnoló-
gicos e para alicerçar descobertas e construções, inclusive 
com impactos no mundo do trabalho.
2. Desenvolver o raciocínio lógico, o espírito de investigação 
e a capacidade de produzir argumentos convincentes, 
recorrendo aos conhecimentos matemáticos para com-
preender e atuar no mundo.
3. Compreender as relações entre conceitos e procedimentos 
dos diferentes campos da Matemática (Aritmética, Álgebra, 
Geometria, Estatística e Probabilidade) e de outras áreas 
do conhecimento, sentindo segurança quanto à própria 
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VIIMANUAL DO PROFESSOR - PARTE GERAL
capacidade de construir e aplicar conhecimentos mate-
máticos, desenvolvendo a autoestima e a perseverança na 
busca de soluções.
4. Fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos 
e qualitativos presentes nas práticas sociais e culturais, 
de modo a investigar, organizar, representar e comunicar 
informações relevantes, para interpretá-las e avaliá-las 
crítica e eticamente, produzindo argumentos convincentes.
5. Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive 
tecnologias digitais disponíveis, para modelar e resolver 
problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de conhe-
cimento, validando estratégias e resultados.
6. Enfrentar situações-problema em múltiplos contextos, 
incluindo-se situações imaginadas, não diretamente 
relacionadas com o aspecto prático-utilitário, expressar 
suas respostas e sintetizar conclusões, utilizando diferentes 
registros e linguagens (gráficos, tabelas, esquemas, além 
de texto escrito na língua materna e outras linguagens 
para descrever algoritmos, como fluxogramas, e dados).
7. Desenvolver e/ou discutir projetos que abordem, sobretudo, 
questões de urgência social, com base em princípios éticos, 
democráticos, sustentáveis e solidários, valorizando a 
diversidade de opiniões de indivíduos e de grupos sociais, 
sem preconceitos de qualquer natureza.
8. Interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhan-
do coletivamente no planejamento e desenvolvimento de 
pesquisas para responder a questionamentos e na busca de 
soluções para problemas, de modo a identificar aspectos 
consensuais ou não na discussão de uma determinada 
questão, respeitando o modo de pensar dos colegas e 
aprendendo com eles.
(BRASIL, 2017, p. 265)
As competências são trabalhadas em torno das cinco 
grandes unidades temáticas (Números, Álgebra, Geometria, 
Grandezas e medidas e Probabilidade e estatística) nas quais 
a BNCC organiza os conhecimentos escolares da área de 
Matemática. Tais competências são desenvolvidas por meio 
das habilidades e dos objetos de conhecimento (conteúdos, 
conceitos e processos) indicados para cada ano.
 Pressupostos teórico-metodológicos
A BNCC cita os processos matemáticos de resolução 
de problemas, de investigação, de desenvolvimento de 
projetos e da modelagem como formas privilegiadas de 
atividades matemáticas. O documento destaca que esses 
processos podem ser vistos ao mesmo tempo como objeto 
e estratégia para aprendizagem ao longo de todo o Ensino 
Fundamental.
Buscamos viabilizar um trabalho com a resolução de proble-
mas sob diferentes perspectivas; com seções que propiciam o 
desenvolvimento de estratégias para a resolução de problemas; 
seções em que os conteúdos e os procedimentos estudados 
são aplicados na resolução de problemas relacionados a eles; 
e, sempre que possível, propondo situações na apresentação 
ou no desenvolvimento de um conteúdo que buscam mobilizar 
conhecimentos por meio da resolução de problemas.
O trabalho com a resolução de problemas estimula no aluno 
uma postura de protagonista perante situações de aprendiza-
gem, mas, para que ele se desenvolva desse modo, é preciso 
que o professor atue como mediador do conhecimento, ciente 
de sua autonomia para decidir como relacionar o conhecimento 
atual do aluno com o novo conhecimento a ser aprendido e 
como fazer uso desse conhecimento em classe.
Uma forma de “tirar” o aluno de uma condição de expecta-
dor passivo é envolvê-lo em situações contextualizadas, que 
agucem sua curiosidade e permitam que ele estabeleça uma 
rede de relações articuladas a esse conhecimento. A história 
da Matemática, por exemplo, pode oferecer contextos férteis 
para o desenvolvimento de certos conteúdos.
A busca pela formação integral do aluno exige mais do 
que a simples transmissão de conhecimentos por parte do 
professor e o acúmulo de informações por parte dos alunos; 
o aluno deve ser capaz de transferir a habilidade de resolver 
problemas para os contextos do mundo social. Para isso, não 
basta ter ciência dos conhecimentos matemáticos, é neces-
sário relacionar os saberes de diferentes áreas. Na coleção, 
apresentamos diferentes situações contextualizadas em rela-
ção ao cotidiano, a outras áreas de conhecimento e à própria 
Matemática, oferecendo oportunidades para que o professor 
explore a integração entre componentes curriculares e, se 
for possível, proponha um trabalho interdisciplinar junto aos 
alunos e a outros professores da escola.
Resolução de problemas
Embora pareça redundante falar de resolução de proble-
mas em Matemática, pretendemos discutir o seu papel de 
modo mais amplo, considerando-a mais que a busca pela 
solução matemática de um problema.
A definição de problema permite delimitarmos a natu-
reza dos problemas a serem investigados. De acordo com 
Onuchic (1999), problema é “tudo aquilo que não se sabe 
fazer, mas que se está interessado em resolver” (p. 215), 
considerando ainda que “o problema não é um exercício no 
qual o aluno aplica, de forma quase mecânica, uma fórmula 
ou uma determinada técnica operatória [...]” (p. 215). Nessa 
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VIII MANUAL DO PROFESSOR - PARTE GERAL
perpectiva, problemas são atividades que permitem ao aluno 
observar, elaborar hipóteses, relacionar dados e mobilizar 
recursos anteriormente aprendidos em um novo contexto, 
produzindo conhecimentos e aprendizados.
O papel da resolução de problemas na Educação Mate-
mática tem basicamente se orientado por três diferentes 
perspectivas:
• ensinar sobre resolução de problemas, ou seja, como um 
conteúdo ou ramo do saber;
• ensinar para a resolução de problemas, em que o foco 
concentra-se na aplicação de conteúdos da Matemática;
• ensinar por meio da resolução de problemas, como um 
modo de ensinar Matemática.
Essas diferentes perspectivas relacionam-se a diferen-
tes concepções sobre a resolução de problemas, ora como 
um objetivo, ora como um processo em que se analisam as 
estratégias desenvolvidas pelos alunos, ora como um ponto 
de partida em que se apresentao problema como desenca-
deador de um processo de construção de conhecimento.
Na década de 1980, quando o Movimento da Matemática 
Moderna perdeu força devido à percepção de que o rigor e 
a linguagem formal não trouxeram o efeito esperado para a 
aprendizagem, Krulik e Reys (2010) lançaram o livro anual 
do Conselho Nacional dos Professores de Matemática dos 
Estados Unidos (NCTM), inteiramente dedicado à resolução 
de problemas. Em diversos artigos desse livro abordava-se a 
importância das heurísticas, ou seja, dos métodos e proces-
sos criados para se resolver um problema, destacando-se o 
ensinar sobre resolução de problemas. A justificativa para 
essa abordagem é o fato de que pesquisas já apontavam 
que o domínio de conteúdos matemáticos não assegura ao 
aluno ser um bom solucionador de problemas.
A ênfase nas heurísticas no ensino de Matemática remonta 
aos trabalhos de George Polya (1887-1985), que escreveu um 
dos capítulos da obra A arte de resolver problemas, no qual 
apresentava um roteiro geral de resolução, que consistia em: 
compreender o problema, elaborar um plano ou estratégia de 
resolução, executar o plano e analisar a solução obtida. Essa 
abordagem da resolução de problemas exige que os alunos 
estabeleçam conexões entre as heurísticas e seu repertório 
de conceitos e procedimentos. Ela também representa um 
avanço em relação à concepção de que os alunos devem 
meramente aprender determinadas técnicas, algoritmos e 
procedimentos e repeti-los em listas com grande número de 
exercícios similares. Em determinados momentos buscamos 
viabilizar um trabalho com a resolução de problemas como 
um conteúdo.
A abordagem de ensinar para a resolução de problemas 
enfatiza a aplicabilidade da Matemática, seus conceitos e 
procedimentos para resolver problemas, possibilitando aos 
alunos utilizar, em diferentes contextos, o que foi aprendido, 
em geral após a apresentação de um novo conteúdo. Em nossa 
coleção, há problemas que se relacionam mais diretamente 
ao conteúdo anteriormente apresentado, e problemas mais 
complexos, que mobilizam diferentes conceitos e procedi-
mentos em sua resolução.
A abordagem em que um problema é apresentado como 
desencadeador de um processo de construção de conheci-
mento vincula-se a uma visão de que o aluno deve ser um 
agente que participa ativamente da construção do saber, 
uma vez que, diante de um problema que não sabe resol-
ver, o sujeito terá de construir as ferramentas para a sua 
resolução. Esse processo envolve a elaboração e o teste de 
conjecturas, a busca por estratégias apropriadas à resolução 
do problema em estudo, a observação de regularidades, o 
uso de raciocínios indutivos e sua posterior validação por 
meio da ideia de demonstração ou prova matemática. Por 
ser a abordagem que mais aproxima o aluno do pensar ma-
tematicamente, sua utilização em sala de aula exige uma 
conjunção dos seguintes fatores:
• o professor colocar-se como um mediador das situações 
de aprendizagem, e não como o único detentor do saber 
e da estratégia “correta” de resolução de um problema;
• o aluno ser encorajado a assumir uma postura ativa e 
comprometida com o seu aprendizado, visto que o per-
curso da construção do saber pelo aluno está sujeito 
a diferentes ritmos, a retomadas e a avanços próprios 
para cada pessoa.
Sempre que possível, as situações propostas na apre-
sentação de um conteúdo e em algumas atividades foram 
concebidas com base nessa ideia de resolução de problemas.
Diante das diferentes possibilidades de trabalhar a re-
solução de problemas em sala de aula, um aspecto impor-
tante a ser considerado é a relação entre professor, aluno 
e situação-problema.
O papel do professor
Uma obra didática elege, organiza e propõe abordagens dos 
diferentes conteúdos para que a apropriação do conhecimento 
pelo aluno possa ser intermediada pelo professor.
Assim, o professor precisa estar ciente de seu papel nesse 
processo e recorrer ao livro como uma possibilidade de traba-
lho para que as aulas planejadas atinjam seus objetivos. De 
acordo com Brousseau (1996a, p. 38-39):
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IXMANUAL DO PROFESSOR - PARTE GERAL
O trabalho do professor é, em certa medida, o inverso do 
investigador, uma vez que ele tem de produzir uma recontex-
tualização dos conhecimentos. Estes transformar-se-ão no 
conhecimento de um aluno, ou seja, numa resposta bastante 
natural a condições relativamente particulares, condições 
indispensáveis para que eles tenham algum sentido para 
ele. Cada conhecimento tem de nascer da adaptação a uma 
situação específica, [...]
– O professor tem, pois, de simular na sua aula uma micros-
sociedade científica, se quer que os conhecimentos sejam meios 
econômicos para colocar boas questões e resolver debates, se 
quer que as linguagens sejam meios para dominar situações 
de formulação e que as demonstrações sejam provas.
– Mas tem também de dar aos seus alunos meios para des-
cobrir, nessa história particular que os fez viver, aquilo que é o 
saber cultural e comunicável que se pretendeu ensinar-lhes. Por 
sua vez, os alunos têm de redescontextualizar e redespersona-
lizar o seu saber, e têm de fazê-lo por forma a identificarem a 
sua produção com o saber em curso na comunidade científica 
e cultural da sua época.
– Trata-se, evidentemente, de uma simulação, que não é a 
“verdadeira” atividade científica, da mesma maneira que o saber 
apresentado de forma axiomática não é o “verdadeiro” saber.
Nessa perspectiva, podemos observar que o papel do 
professor se divide em duas fases: na primeira ele deve fazer 
com que os alunos vivenciem um conhecimento a partir de 
uma situação que lhes seja familiar e que parte dos alunos 
produza uma resposta razoável; depois o professor deve 
transformar esta “resposta razoável” em um conhecimento 
descontextualizado reconhecido externamente. Ainda segundo 
Brousseau (1996a, p. 55):
Para o professor, é grande a tentação de pular estas duas fases 
e ensinar diretamente o saber como objeto cultural, evitando 
este duplo movimento. Neste caso, apresenta-se o saber e o 
aluno se apropria dele como puder.
Para cumprir seu papel, o professor pode fazer as esco-
lhas que considerar adequadas durante a utilização do livro 
didático, visando ao aproveitamento das características do 
material, incorporando sua experiência e conhecimento ao 
selecionar sequências apropriadas e coerentes com o seu 
planejamento de ensino, prevendo também a utilização de 
outros recursos. Em resumo, nessa perspectiva o professor 
tem um papel que consiste em observar as dificuldades dos 
alunos e auxiliá-los em seus percursos de aprendizagem, 
encorajando-os a questionar, refletir, trocar ideias, pesquisar 
e desenvolver a autonomia.
Contextualização
Um aspecto de grande relevância no âmbito da Educação 
Matemática é a contextualização das situações de aprendizagem.
Na década de 1960, o psicólogo inglês Peter Wason de-
senvolveu um teste que mostra o papel da contextualização 
sobre a cognição humana. A seguir, apresentamos uma versão 
adaptada desse teste. Tente resolvê-lo:
Primeiro problema
Imagine que você tenha à sua frente quatro cartões, nos 
quais em uma face está escrita uma letra do alfabeto e na 
face oposta, um número. Digamos que as faces visíveis dos 
cartões sejam as mostradas a seguir:
A G 3 6
Em seguida, é solicitado a você que vire os cartões, que 
devem atender à seguinte regra: “Na face oposta àquela que 
tem uma vogal deve haver um número par.”.
A sua tarefa é determinar quais desses cartões devem 
obrigatoriamente ser virados para se ter certeza de que a 
regra está sendo cumprida.
Resolução
• O cartão com a letra A deve ser verificado, pois, se na face 
oposta tiver um número ímpar, a regra foi quebrada.
• O cartão com o número 3 deve ser verificado, pois, se na 
face oposta tiver uma vogal, a regra foi quebrada.• O cartão com a letra G não precisa ser verificado, pois a 
regra não diz nada sobre cartões com consoantes.
• O cartão com o número 6 não precisa ser verificado, pois 
se na face oposta tiver uma vogal, a regra está sendo 
cumprida, e se tiver uma consoante, nada foi dito na regra 
sobre cartões com consoantes.
Portanto, os cartões que devem ser verificados são os 
cartões com a letra A e com o número 3.
Segundo problema
Em uma festa, você é o responsável por fiscalizar se nenhum 
menor de idade está ingerindo bebida alcoólica. Em determi-
nado momento, são apresentadas a você quatro pessoas:
• a primeira delas é menor de idade, mas você não sabe qual 
é a bebida em seu copo;
• a segunda pessoa está bebendo uma bebida alcoólica, 
mas você não sabe a idade dela;
• a terceira pessoa está bebendo suco de laranja, mas você 
não sabe a idade dela;
• a última pessoa é maior de idade, mas você não sabe o 
que ela está bebendo.
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X MANUAL DO PROFESSOR - PARTE GERAL
A sua tarefa é certificar-se de que a regra está sendo cum-
prida: quais pessoas você deve, obrigatoriamente, verificar 
o que está bebendo (no caso de saber se a pessoa é maior 
de idade ou menor de idade) ou verificar a idade (no caso de 
saber o que está bebendo)?
Resolução
• A pessoa menor de idade deve ter o conteúdo do copo ve-
rificado, porque se estiver consumindo bebida alcoólica, 
a regra foi quebrada.
• A pessoa que está ingerindo bebida alcoólica dever ter a 
idade verificada, porque, se ela for menor de idade, a regra 
foi quebrada.
• A pessoa que está bebendo suco de laranja não precisa 
ter a idade verificada, porque, independentemente de sua 
idade, ela não estará violando a regra.
• A pessoa que é maior de idade não precisa ter o conteúdo 
do copo verificado, porque, independentemente do que 
estiver bebendo, ela não estará violando a regra.
Os resultados do Teste de Wason indicam que, de modo 
geral, as pessoas consideram o primeiro problema mais difícil 
de resolver do que o segundo. Entretanto, do ponto de vista 
lógico, os problemas são equivalentes, pois podemos fazer a 
seguinte correspondência entre eles:
– Cartão com uma vogal – Ingerir bebida alcoólica
– Cartão com uma consoante – Ingerir suco de laranja
– Cartão com um número par – Pessoa maior de idade
– Cartão com um número ímpar – Pessoa menor de idade
Se os problemas são equivalentes, podemos nos perguntar: 
Por que as pessoas, em geral, consideram o primeiro mais 
difícil do que o segundo?
No primeiro problema, em que temos cartões com vogais 
e números, por mais que lidemos com eles constantemente, 
a situação não tem relação com o cotidiano e com a vivên-
cia das pessoas, ou seja, não são contextualizadas. Já no 
segundo, a situação se refere a algo que pode ocorrer no 
cotidiano, sendo, portanto, menos abstrata e mais fácil de 
compreender e de resolver.
De acordo com Pavanello (2006, p. 34), o uso de situações 
contextualizadas significa:
[...] uma elaboração humana, realizada a partir de neces-
sidades impostas pela realidade num determinado contexto 
histórico e social, o processo de ensinar/aprender Matemática 
passa a ser concebido como aquele no qual o aprendiz constrói 
o conhecimento a partir de sua própria atividade cognoscitiva, 
atividade esta que se apoia nos conteúdos. [...]
No ensino de Matemática, em particular, dada a organização 
de seus saberes de forma hierarquizada e formal, as mudanças 
para promover um ensino que leve em consideração o pano 
de fundo histórico e social ganhou diversos defensores, como 
D’Ambrósio (2001, p. 76), para quem:
[...] contextualizar a Matemática é essencial para todos. 
Afinal, como deixar de relacionar os Elementos de Euclides 
com o panorama cultural da Grécia Antiga? Ou a adoção 
da numeração indo-arábica na Europa como florescimento 
do mercantilismo nos séculos XIV e XV? E não se pode 
entender Newton descontextualizado. Alguns dirão que a 
contextualização não é importante e que o importante é re-
conhecer a Matemática como a manifestação mais nobre do 
pensamento e da inteligência humana [...] e assim justificam 
sua importância nos currículos.
Diversas questões vieram à tona à medida que ações 
com vistas a um ensino de Matemática mais contextualizado 
ganharam força:
• Como contextualizar em Matemática?
• Todos os conteúdos matemáticos são passíveis de ser 
contextualizados?
• Quais efeitos indesejáveis a contextualização dos conteú-
dos matemáticos tem trazido ao ensino de Matemática?
• Não corremos o risco de tornar a Matemática um acessório 
ou apêndice de suas aplicações práticas e utilitárias?
Todas essas questões são pertinentes e têm sido objeto 
de artigos, pesquisas e discussões. Entretanto, para além 
delas, não se pode perder de vista um aspecto importante 
para o movimento que se deu a favor da contextualização: 
a constatação de que o extremo oposto a ela era um ensino 
com base em procedimentos mecânicos e repetitivos, que 
valorizava a memorização de conceitos, técnicas e procedi-
mentos, e desse modo tinha pouco significado para grande 
parte dos alunos.
As críticas citadas chamam a atenção ao que muitas vezes 
se tem apontado como um equívoco: confundir contextualiza-
ção com o cotidiano imediato, o que pode levar ao simplismo, 
ao uso de aplicações equivocadas da Matemática em relação 
a determinados temas e à artificialidade de algumas delas. O 
que se pretende é situar o conhecimento em estudo em uma 
rede de relações articuladas a esse conhecimento, permitin-
do que na interação com elas o aluno construa significados 
e se aproprie desse saber. Assim, é importante considerar 
que o contexto incorpora ideias relacionadas a determinada 
situação ou ação e não se reduz ao cotidiano e às experiências 
vivenciadas pelos alunos. Apropriando-se, em sala de aula, de 
um conceito matemático, os alunos passam a compartilhar 
com o professor e os colegas um novo contexto relacionado 
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XIMANUAL DO PROFESSOR - PARTE GERAL
ao tema, que incorpora elementos antes desconhecidos por 
eles, como simbologias, termos matemáticos, algoritmos e 
outros, e que pode ser considerado uma base significativa 
para novos aprendizados e novas investigações.
É possível trabalhar a contextualização a partir de dife-
rentes abordagens:
• Questões próprias da Matemática podem servir de 
interessante contexto para a introdução de um novo 
tema, pois permitem ao aluno avaliar as suas primeiras 
ideias sobre ele, observar a “resistência” do problema 
diante da abordagem apresentada, elaborar ideias e 
procedimentos, incorporá-los ao conhecimento anterior, 
superá-lo e, enfim, construir uma nova compreensão 
sobre ele.
• Problemas relacionados à sua história também podem 
ser contextos adequados para a abordagem de um novo 
conteúdo, pois mostram a insuficiência do conheci-
mento estabelecido até então para sua compreensão, 
oferecendo aos alunos a oportunidade de confrontar-se 
com os meios e as técnicas disponíveis, romper ou 
superar conceitos preestabelecidos, favorecendo a 
atribuição de significado às suas ações.
Procuramos propor situações contextualizadas na apre-
sentação dos conteúdos, em diferentes atividades e nas 
seções finais da Unidade.
História da Matemática
A apresentação dos resultados da Matemática, em abor-
dagens tradicionais, como uma sequência encadeada de 
raciocínios logicamente organizados, em uma linguagem 
formal, pode ocultar o processo de sua construção, uma 
produção humana que sofreu as influências do tempo e do 
contexto histórico e social. Segundo a BNCC, é importante 
incluir a história da Matemática como recurso que pode des-
pertar interesse e representar um contexto significativo para 
aprender e ensinar Matemática.
Usar a história da Matemática como recurso ao ensino de 
Matemática, de acordo com Fauvel e Maanen (2000),pode 
contribuir para:
• aumentar a motivação dos alunos para a aprendizagem 
da Matemática;
• permitir aos alunos compreender como os conceitos ma-
temáticos se desenvolveram;
• contribuir para a mudança na forma como os alunos per-
cebem a Matemática;
• oferecer situações que permitem a investigação em Ma-
temática.
O uso de problemas historicamente situados em ativida-
des em sala de aula está alinhado com a ideia de construção 
do saber e permite aos alunos compreender a produção do 
conhecimento matemático como um processo investigativo e 
dinâmico, sujeito a reelaborações, refinamentos e validações, 
intrinsecamente vinculado às condições socioculturais do 
tempo em que ocorre.
Incentivar os alunos a recuperar esses elementos em 
situações didaticamente preparadas para tal fim propicia o 
desenvolvimento de atitudes favoráveis ao ensino e à apren-
dizagem da Matemática de modo geral.
Nesta coleção, procuramos propor situações que abordam 
a história da Matemática ao longo das unidades. Elas podem 
aparecer, por exemplo, em aberturas de Unidade, nas seções 
de atividades e nas seções Saiba mais.
O diálogo com outras áreas de conhecimento
O ensino de Matemática foi, durante o período em que 
predominou o Movimento da Matemática Moderna, pautado 
pela apresentação dos conteúdos matemáticos encerrados 
em si mesmos, uma vez que o foco era o estudo dos objetos 
matemáticos como parte de uma estrutura formal, sem levar 
em consideração a relação do saber matemático com outros 
componentes curriculares ou o meio sociocultural.
O diálogo com outras áreas de conhecimento relaciona-se 
com a contextualização e pode permitir a realização de trabalhos 
interdisciplinares, ou seja, trabalhos que rompam as barreiras 
que separam os diferentes componentes curriculares.
Sobre a interdisciplinaridade é importante ressaltar que 
ela vai além da mera integração de disciplinas, pois
[...] a integração poderia acontecer em aspectos parciais 
como: confronto de métodos, teorias-modelo ou conceitos-
-chave das diferentes disciplinas, ao passo que, delimitando 
mais rigorosamente o conceito de interdisciplinaridade, 
conclui-se que esta seria um passo além dessa integração, 
ou seja, para que haja interdisciplinaridade deve haver 
uma “sintonia” e uma adesão recíproca, uma mudança de 
atitude frente a um fato a ser conhecido; enfim, o nível 
interdisciplinar exigiria uma “transformação”, ao passo 
que o nível de integrar exigiria apenas uma “acomodação”. 
(FAZENDA, 2011, p. 87)
A interdisciplinaridade não propõe abandonar o ensino por 
meio de disciplinas, mas criar condições para que o ensino se 
dê considerando as relações entre as disciplinas, tendo como 
pano de fundo os problemas do mundo real. Longe de ser uma 
ação simples de realizar, ela exige, segundo Fazenda (2011), 
a superação de uma série de obstáculos:
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XII MANUAL DO PROFESSOR - PARTE GERAL
• psicossociológicos e sociais: desconhecimento sobre 
interdisciplinaridade, ausência de uma formação especí-
fica, receio de perda de prestígio pessoal, acomodação 
a uma prática pedagógica já estabelecida;
• metodológicos: trabalhar de forma interdisciplinar 
implica refletir sobre o modo de desenvolvimento dos 
conteúdos em cada disciplina, as concepções sobre os 
objetivos gerais da educação, o tipo de aluno que se 
deseja formar, etc.;
• quanto à formação: no trabalho interdisciplinar, o con-
teúdo deve ser abordado em um processo no qual o 
diálogo entre as áreas seja constante;
• materiais: trabalhar de forma interdisciplinar requer 
planejamento de espaço, tempo, recursos materiais e 
previsão de orçamento para sua aquisição.
Trabalhar por meio da interdisciplinaridade pressupõe 
investigação e análise de uma situação, o que incentiva 
o aluno a indagar, elaborar hipóteses, confrontar teorias 
com os dados obtidos, testar hipóteses, enunciar novas 
questões.
Na realização de trabalhos interdisciplinares, busca-se 
a transferência de aprendizagem, ou seja, a aplicação de 
um conhecimento a outras situações, o que pode ocorrer 
não apenas por influência das habilidades cognitivas, 
mas também pelos aspectos culturais e psicológicos dos 
alunos. Nesse processo, eles constroem significados para 
os conceitos e conhecimentos trabalhados e os ampliam 
em uma nova rede de relações. Em resumo, não aprendem 
apenas sobre os conceitos de Matemática e das áreas 
relacionadas ao tema da investigação.
Um trabalho interdisciplinar não se resume a uma sim-
ples justaposição de disciplinas que abordam o tema 
em discussão; ele pressupõe o envolvimento de alunos 
e professores em um processo dinâmico com base nas 
interações entre os sujeitos. Por esse motivo, a promoção 
de um trabalho interdisciplinar em uma obra didática pode 
apresentar limitações inerentes a suas características, 
sendo sua implementação dependente das ações de toda 
a comunidade escolar: professores, alunos, direção, etc.
Sempre que possível, apresentamos atividades e seções 
propostas no Livro do Estudante que podem ser oportunida-
des para a realização de um trabalho integrado com outros 
componentes curriculares, com potencial para se tornar 
um trabalho interdisciplinar. Nas orientações específicas 
deste manual também é possível encontrar sugestões para 
a realização de um trabalho dessa natureza.
 Objetivos da coleção
Obras didáticas são instrumentos pedagógicos a que o 
professor pode recorrer para viabilizar os objetivos gerais 
da educação e, em particular, os objetivos específicos do 
ensino de Matemática. Entretanto, cada obra se vale de suas 
peculiaridades e características para atingir os objetivos da 
proposta didático-pedagógica a que se propõe:
Para o professor
• Oferecer um material didático de Matemática para os anos 
finais do Ensino Fundamental atualizado e consoante com 
o que propõe a Base Nacional Comum Curricular em rela-
ção às aprendizagens essenciais e ao desenvolvimento 
gradativo de competências e habilidades por parte dos 
alunos ao longo da Educação Básica.
• Proporcionar situações que favoreçam o trabalho docen-
te para uma aprendizagem significativa de conceitos e 
procedimentos pelos alunos.
• Contribuir para o desenvolvimento de um trabalho pautado 
na construção do conhecimento matemático.
• Possibilitar o desenvolvimento de trabalhos em conexão 
com outras áreas de conhecimento por meio de textos, 
seções e atividades que incentivem tal prática.
• Fornecer situações que permitam relacionar diferentes 
campos da Matemática.
• Auxiliar a formação docente incorporando ao Manual do 
Professor discussões recentes das pesquisas em Edu-
cação Matemática.
Para os alunos
• Desenvolver atitudes favoráveis em relação à aprendi-
zagem.
• Valorizar o trabalho colaborativo, de atitudes éticas e de 
respeito à diversidade cultural.
• Reconhecer a Matemática como um instrumento para a 
inserção cidadã na sociedade, tanto por seu caráter for-
mativo como por permitir uma leitura crítica da realidade.
• Reconhecer a Matemática como uma criação humana em 
constante evolução, cujos conceitos e procedimentos 
são historicamente situados.
• Responder a questionamentos que buscam confrontar o 
próprio conhecimento com o saber sistematizado envol-
vido na resolução de situações-problema, promovendo 
reflexões e a elaboração de novos saberes.
• Estabelecer relações entre diferentes campos da Matemá-
tica e entre a Matemática e outras áreas de conhecimento.
TRILHAS_MP_GERAL_PNLD2020_6ANO_IIaXVLIII.indd 12 10/23/18 8:17 AM
XIIIMANUAL DO PROFESSOR - PARTE GERAL
• Desenvolver diferentes modalidades de raciocínio (indu-
tivo, dedutivo, recursivo, etc.) e utilizá-las para resolver 
problemas.
• Comunicar-se matematicamente, apropriando- se, grada-
tivamente, da linguagem matemática formal.
 Organização geral do Livro do Estudante
Esta coleção é composta de 4 volumes, do6O ano ao 9O 
ano. Cada um desses volumes contém um número variado 
de unidades e cada Unidade está dividida em capítulos, que 
estão subdivididos em tópicos.
A seguir, apresentamos o modo como os conteúdos estão 
distribuídos ao longo dos 4 volumes e a estrutura do Livro 
do Estudante, com as propostas das seções e boxes.
Distribuição dos conteúdos
Os objetos de conhecimento das cinco unidades temá-
ticas (Números, Álgebra, Geometria, Grandezas e medidas 
e Probabilidade e estatística) dos anos finais do Ensino 
Fundamental estão presentes em todos os volumes e seu 
estudo é retomado e ampliado, a cada ano, em diferentes 
níveis de aprofundamento, conforme indicam as habilidades 
propostas na BNCC.
É importante ressaltar que, embora cada Unidade de um 
volume, em geral, enfoque uma das unidades temáticas, não 
significa que os conhecimentos estejam compartimenta-
lizados, pois em diversas oportunidades em uma mesma 
Unidade ou capítulo buscamos estabelecer relações entre 
objetos de conhecimento e habilidades de duas ou mais 
unidades temáticas da BNCC. Por exemplo, quando um as-
sunto próprio da unidade temática Números é representado 
por meio de um modelo geométrico, assim como quando 
um tema da unidade temática Probabilidade e estatística 
pode relacionar-se a um conceito de Grandezas e medidas, 
enfatizando a integração entre conceitos e procedimentos 
das diferentes unidades temáticas.
A seguir, abordamos de modo breve algumas características 
de cada unidade temática da Matemática para os anos finais 
do Ensino Fundamental.
Números
Nesta etapa da escolaridade, os conjuntos numéricos 
são retomados e o estudo sobre esse conteúdo é ampliado, 
passando a incorporar números naturais, números inteiros, 
números racionais e números reais, envolvendo as opera-
ções fundamentais (com a ampliação para a apresentação 
das operações de potenciação e radiciação), com seus dife-
rentes significados, e utilizando estratégias diversas, com 
compreensão dos processos neles envolvidos.
O domínio do conceito de número e das operações aritmé-
ticas propicia ao aluno o desenvolvimento de ferramentas 
para calcular, estimar, resolver problemas de maior com-
plexidade e interpretar algumas situações que podem ser 
modeladas matematicamente, ampliando a compreensão 
da Matemática e da realidade.
Cabe ainda destacar que o desenvolvimento do pensa-
mento numérico não se completa, evidentemente, apenas 
com objetos de estudos descritos na unidade Números. Esse 
pensamento é ampliado e aprofundado quando se discutem 
situações que envolvem conteúdos das demais unidades 
temáticas: Álgebra, Geometria, Grandezas e medidas e Pro-
babilidade e estatística.
Também são explorados, na unidade temática Números, 
conceitos relacionados a porcentagem, juros, descontos 
e acréscimos, visando à educação financeira dos alunos, 
favorecendo um estudo interdisciplinar sobre as questões 
de consumo, trabalho e dinheiro.
p. 10, volume do 6o ano
Álgebra
De acordo com a BNCC,
A unidade temática Álgebra, por sua vez, tem como finali-
dade o desenvolvimento de um tipo especial de pensamento – 
pensamento algébrico – que é essencial para utilizar modelos 
matemáticos na compreensão, representação e análise de 
relações quantitativas de grandezas e, também, de situações 
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XIV MANUAL DO PROFESSOR - PARTE GERAL
e estruturas matemáticas, fazendo uso de letras e outros 
símbolos. (BRASIL, 2017, p. 268)
Os primeiros contatos com atividades que permitem a 
observação e a generalização de padrões são introduzidos 
nos anos iniciais da escolaridade, mas é nos anos finais do 
Ensino Fundamental que o aluno tem o primeiro contato com 
a linguagem algébrica. À medida que os alunos compreendem 
as operações e suas propriedades e fazem generalizações a 
partir da observação de sequências numéricas, eles desen-
volvem o pensamento algébrico e compreendem a natureza 
das representações algébricas. As ideias matemáticas funda-
mentais vinculadas a essa unidade temática são: equivalência, 
variação, interdependência e proporcionalidade.
O estudo de Álgebra permite ainda expressar a ideia de 
relação entre elementos de um conjunto, associada ao con-
ceito de função, e a representação dessa relação por meio 
da linguagem algébrica, de modo que os alunos estabeleçam 
conexões entre variável e função e entre incógnita e equação.
Além disso, a BNCC destaca que:
Outro aspecto a ser considerado é que a aprendizagem de 
Álgebra, como também aquelas relacionadas a outros cam-
pos da Matemática (Números, Geometria e Probabilidade 
e estatística), podem contribuir para o desenvolvimento do 
pensamento computacional dos alunos, tendo em vista que 
eles precisam ser capazes de traduzir uma situação dada em 
outras linguagens, como transformar situações-problema, 
apresentadas em língua materna, em fórmulas, tabelas e grá-
ficos e vice-versa. (BRASIL, 2017, p. 269)
p. 184, volume do 6o ano
Geometria
O estudo desta unidade temática permite aos alunos 
desenvolver um pensamento que os auxilie a reconhecer, 
descrever, representar e compreender o mundo onde vivem.
Partindo de um estágio em que o raciocínio se baseia 
apenas na visualização, avançará gradativamente, passando 
pela observação de propriedades por meio de experimentos 
ou ações até chegar à construção do raciocínio dedutivo em 
alguns casos, consolidando e ampliando os estudos realizados 
nos anos iniciais.
Nessa etapa, irão desenvolver os conceitos de congruência 
e semelhança, de modo que saibam aplicá-los em demons-
trações simples, contribuindo para a formação de um tipo 
de raciocínio importante para a Matemática, o raciocínio 
hipotético-dedutivo.
Também se destaca o estudo do plano cartesiano, permi-
tindo uma aproximação da Geometria com a Álgebra.
p. 90, volume do 6o ano
Grandezas e medidas
Esta unidade temática permite fazer conexões entre as 
unidades temáticas Números, Geometria e Álgebra, uma 
vez que abarca objetos de conhecimento e habilidades re-
lacionadas a grandezas como comprimento, área, volume, 
massa, temperatura e velocidade, presentes em diferentes 
contextos. Também propicia o desenvolvimento de atividades 
relacionadas ao uso de instrumentos como régua, balança, 
termômetro, etc., que motivam, por exemplo, a discussão 
sobre valores estimados, medidas diretas e indiretas e a 
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XVMANUAL DO PROFESSOR - PARTE GERAL
compreensão de diferentes unidades usadas para medir. 
Esse tipo de discussão pode favorecer a integração da Mate-
mática, por exemplo, com Ciências (densidade, grandezas e 
escalas do Sistema Solar, energia elétrica, etc.) ou Geografia 
(coordenadas geográficas, densidade demográfica, escalas 
de mapas e guias, etc.).
Além disso, nessa etapa da escolaridade, os alunos desen-
volverão alguns conceitos de Álgebra que permitirão a eles 
expressar alguns cálculos envolvendo grandezas e medidas 
por meio da linguagem algébrica.
Segundo a BNCC, outro ponto que merece destaque no 
trabalho com esta unidade temática
[...] refere-se à introdução de medidas de capacidade de 
armazenamento de computadores como grandeza associada 
a demandas da sociedade moderna. Nesse caso, é importante 
destacar o fato de que os prefixos utilizados para byte (quilo, 
mega, giga) não estão associados ao sistema de numeração 
decimal, de base 10, pois um quilobyte, por exemplo, cor-
responde a 1024 bytes, e não a 1000 bytes. (BRASIL, 2017, 
p. 271-272)
p. 236, volume do 6o ano
Probabilidade e estatística
A incerteza e o tratamento de dados quantitativos e 
qualitativos, bem como sua representação por meio de 
tabelas e gráficos, são assuntos estudados nessa etapa 
da escolaridade.
 Com relação à estatística, os primeiros passos envolvem 
o trabalho com a coleta e a organização de dados de 
uma pesquisa de interesse dos alunos. O planejamento 
de como fazera pesquisa ajuda a compreender o papel 
da estatística no cotidiano dos alunos. Assim, a leitura, 
a interpretação e a construção de tabelas e gráficos têm 
papel fundamental, bem como a forma de produção de 
texto escrito para a comunicação de dados, pois é preciso 
compreender que o texto deve sintetizar ou justificar as 
conclusões. No Ensino Fundamental – Anos Finais, a 
expectativa é que os alunos saibam planejar e construir 
relatórios de pesquisas estatísticas descritivas, incluindo 
medidas de tendência central e construção de tabelas 
e diversos tipos de gráfico. Esse planejamento inclui a 
definição de questões relevantes e da população a ser 
pesquisada, a decisão sobre a necessidade ou não de usar 
amostra e, quando for o caso, a seleção de seus elemen-
tos por meio de uma adequada técnica de amostragem. 
(BRASIL, 2017, p. 272-273)
De acordo com a BNCC, o estudo da probabilidade teve 
início nos anos iniciais do Ensino Fundamental, com a 
noção de aleatoriedade, objetivando desenvolver nos alu-
nos a compreensão de que há eventos certos, possíveis 
e impossíveis. Nessa etapa da escolaridade, esse estudo 
será retomado e aprofundado por meio de atividades que 
envolvam experimentos aleatórios e simulações. Neste 
caso, a progressão dos conhecimentos se dará pelo apri-
moramento da capacidade de enumeração dos elementos 
do espaço amostral, que está associada, também, aos 
problemas de contagem.
p. 303, volume do 6o ano
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XVI MANUAL DO PROFESSOR - PARTE GERAL
Unidade 6ºo ano 7o ano 8o ano 9o ano
1
 Números 
• Sistemas de numeração: 
egípcio, romano e indo- 
-arábico.
• Números naturais.
• Reta numérica.
• Comparação, ordenação, lei-
tura e escrita de números 
naturais.
• Arredondamentos.
 Probabilidade e estatística 
• Tabelas.
 Números 
• Números naturais.
• Múltiplos e divisores.
• Mínimo múltiplo comum e 
máximo divisor comum.
• Números inteiros.
• Comparação, ordenação, lei-
tura e escrita de números 
inteiros.
• Pares ordenados de coor-
denadas inteiras no plano.
• Módulo de um número inteiro.
• Operações com números 
inteiros: adição, subtração, 
divisão exata, potenciação.
• Expressões numéricas.
 Probabilidade e estatística 
• Gráficos de barras.
 Números 
• Conjunto dos números na-
turais.
• Conjunto dos números in-
teiros.
• Conjunto dos números ra-
cionais.
• Forma fracionária e forma 
decimal dos números ra-
cionais.
• Cálculo de porcentagens na 
calculadora.
• Potências com expoente 
natural.
• Potências com expoente 
inteiro.
• Raiz quadrada.
• Raiz cúbica.
• Conjunto dos números reais.
• Potências com expoente 
fracionário.
 Probabilidade e estatística 
• Tipos de gráfico.
 Números 
• Números reais.
• Conjunto dos números in-
teiros.
• Conjunto dos números ra-
cionais.
• Propriedades da potencia-
ção.
• Notação científica.
• Raiz quadrada.
• Raiz enésima.
• Aplicações das propriedades 
dos radicais.
• Relação entre potências e 
radicais.
• Operações com radicais: 
adição algébrica, multipli-
cação, divisão, potenciação 
e radiciação.
• Racionalização de denomi-
nadores.
 Probabilidade e estatística 
• Interpretação de gráficos.
2
 Números 
• Operações com números na-
turais: adição, subtração, 
multiplicação e divisão. 
• Algoritmos.
• Propriedades da adição e da 
multiplicação.
• Relações entre adição e sub-
tração e entre multiplicação 
e divisão.
• Arredondamentos e estima-
tivas.
• Potenciação com números 
naturais.
• Relação de igualdade.
 Números 
• Frações.
• Números racionais.
• Operações com números ra-
cionais: adição, subtração, 
multiplicação.
• Divisão de um número inteiro 
por uma fração.
• Cálculos de porcentagem 
com calculadoras.
 Álgebra 
• Expressões algébricas.
• Fórmulas algébricas.
• Sequências recursivas e não 
recursivas.
• Monômios.
• Operações com monômios.
• Polinômios.
• Operações com polinômios.
• Proporcionalidade direta e 
inversa.
• Representação gráfica de 
grandezas direta ou inversa-
mente proporcionais.
 Álgebra 
• Produtos notáveis.
• Técnicas de fatoração de 
polinômio.
• Raízes de uma equação do 
2o grau com uma incógnita.
• Resolução de equações do 
2o grau com uma incógnita.
• A relação entre o discrimi-
nante e o número de raízes 
de uma equação do 2o grau.
• Soma e produto das raízes 
de uma equação do 2o grau.
 Probabilidade e estatística 
• Pesquisa estatística.
Quadro de conteúdos
Nos volumes desta coleção, os assuntos se apresentam de acordo com as unidades temáticas, conforme o quadro a seguir.
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XVIIMANUAL DO PROFESSOR - PARTE GERAL
3
 Geometria 
• Figuras geométricas planas 
e não planas.
• Poliedros (prismas e pirâ-
mides) e corpos redondos 
(cone, cilindro e esfera).
• Ângulos.
• Retas paralelas e retas con-
correntes.
• Polígonos.
• Classificação de quadriláte-
ros e triângulos.
• Coordenadas cartesianas.
 Grandezas e medidas 
• Medidas de ângulos.
 Probabilidade e estatística 
• Pictogramas.
 Álgebra 
• Sequências e regularidades.
• Leis de formação de sequên-
cias numéricas.
• Sequências recursivas e não 
recursivas.
• Valor numérico de expres-
sões algébricas.
• Simplificação de expressões 
algébricas.
 Geometria 
• Classificação de triângulos.
• Congruência de triângulos.
• Pontos notáveis de um triân-
gulo: incentro, circuncentro, 
baricentro e ortocentro.
• Centro de massa de uma 
placa triangular.
• Propriedades do triângulo 
isósceles.
• Construção de ângulos com 
régua e compasso.
 Probabilidade e estatística 
• Média aritmética.
 Geometria 
• Ângulos formados por uma 
reta transversal a duas retas 
paralelas.
• Razão e proporção.
• Proporcionalidade em feixes 
de retas paralelas cortadas 
por transversais.
• Teorema de Tales.
• Figuras semelhantes.
• Polígonos semelhantes.
• Razão entre perímetros de 
polígonos semelhantes.
• Razão entre áreas de polígo-
nos semelhantes.
• Ampliação e redução de fi-
guras por homotetia.
• Semelhança de triângulos.
• Teorema fundamental da 
semelhança de triângulos.
• Casos de semelhança de 
triângulos.
4
 Números 
• Múltiplos e divisores.
• Critérios de divisibilidade.
• Números primos e compos-
tos.
• Múltiplos comuns e divisores 
comuns.
 Geometria 
• Medidas de abertura de ân-
gulo.
• Construção de ângulo com 
régua e compasso.
• Minuto e segundo.
• Adição e subtração entre me-
didas de abertura de ângulos.
• Multiplicação e divisão de 
uma medida de abertura 
de ângulo por um número 
natural.
• Ângulos congruentes, adja-
centes, complementares e 
suplementares.
• Bissetriz de um ângulo.
• Retas paralelas e concor-
rentes.
• Ângulos determinados por 
duas retas concorrentes.
• Ângulos formados por retas 
cortadas por uma reta trans-
versal.
 Probabilidade e estatística 
• Construção de gráficos de 
setores.
 Álgebra 
• Equações do 1o grau com 
uma incógnita.
• Equações do 1o grau com 
duas incógnitas.
• Sistemas de equações do 
1o grau com duas incógnitas.
• Métodos de resolução de 
sistemas de equações do 
1o grau com duas incógnitas.
• Classificação de sistemas 
de equações do 1o grau com 
duas incógnitas.
 Geometria 
• Elementos de um triângulo 
retângulo.
• Teorema de Pitágoras.
• Relações métricas no triân-
gulo retângulo.
• Razões trigonométricas no 
triângulo retângulo: seno, 
cosseno e tangente de um 
ângulo agudo.
• Relações entre as razões 
trigonométricas.
• Razões trigonométricas para 
ângulos agudos de 308, 458 
e 608.
• Arcos de circunferência.
• Ângulo central e medida an-
gular de um arco.
• Ângulo inscrito em uma cir-
cunferência.
• Relação entre as medidas de 
abertura do ângulo central e 
do ângulo inscrito em uma 
circunferência.
• Relações métricas na cir-
cunferência.
 Probabilidade e estatística 
• Interpretação de gráficos.
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XVIII MANUAL DO PROFESSOR - PARTE GERAL
5
 Números 
• Tipos de fração.
• Números racionais na forma 
de fração.
• Frações equivalentes.
• Operações com frações.
• Elaboração e resolução de 
problemas com números 
racionais na forma de fração.
• Porcentagem.
 Probabilidade e estatística 
• Gráficos de barras verticais.
 Geometria 
• Polígonos: convexidade, 
elementos, nomenclatura 
e diagonais.
• Polígonos regulares.
• Triângulos: nomenclatura 
e construção com régua e 
compasso.
• Soma das medidas das aber-
turas dos ângulos internos 
de um polígono convexo.
• Ângulos internos de um po-
lígono regular.
• Circunferência, círculo e se-
tor circular.
• Simetria axial, de rotação e 
de translação.
 Grandezas e medidas 
• Comprimento de uma circun-
ferência.
 Probabilidade e estatística 
• Pictogramas.
 Geometria 
• Quadriláteros: paralelogra-
mos, retângulos, losangos, 
quadrados, trapézios.
• Soma das medidas dos ân-
gulos internos de um qua-
drilátero.
• Tipos de simetria: reflexão, 
rotação, translação.
 Probabilidade e estatística 
• Gráficos de barras horizon-
tais múltiplas.
 Álgebra 
• A ideia de função.
• Variáveis e lei da função.
• A notação f(x).
• Gráfico de uma função.
• Zero de uma função.
• Função afim.
• Função linear.
• Função quadrática.
 Probabilidade e estatística 
• Pesquisa estatística. 
6
 Números 
• Frações decimais.
• Números racionais na forma 
decimal.
• Operações com números 
decimais.
• Elaboração e resolução de 
problemas com números 
decimais.
• Porcentagem.
 Números 
• Razão e proporção.
• Porcentagem.
 Álgebra 
• Grandezas direta e inversa-
mente proporcionais.
 Probabilidade e estatística 
• Tabelas de frequências re-
lativas.
 Grandezas e medidas 
• Perímetro de figuras planas.
• Área de triângulos e de al-
guns quadriláteros.
• Polígonos inscritos e circuns-
critos a circunferências.
• Área do círculo.
• Área de um setor circular.
• Área de uma coroa circular.
• Volume de um bloco retan-
gular.
• Volume de um cilindro cir-
cular.
 Probabilidade e estatística 
• Interpretação de gráficos.
 Geometria 
• Polígonos regulares.
• Ângulos internos de um po-
lígono regular.
• Polígonos regulares inscritos 
na circunferência.
• Ângulo central de um polígo-
no regular.
• Cálculo da medida do apó-
tema.
• Cálculo da medida do lado de 
um polígono regular inscrito 
em uma circunferência.
• Polígonos regulares circuns-
critos a uma circunferência.
• Construção de polígonos 
regulares usando régua e 
compasso.
• Construção de polígonos re-
gulares usando um software 
de Geometria dinâmica.
• Projeções ortogonais.
• Vistas ortogonais.
• Desenhos em perspectiva.
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XIXMANUAL DO PROFESSOR - PARTE GERAL
7
 Grandezas e medidas 
• Medidas de comprimento, 
de massa, de capacidade, 
de tempo e de temperatura.
• Unidades de medida padro-
nizadas: múltiplos e submúl-
tiplos.
• Perímetro.
• Área de retângulo e triângulo.
• Volume de bloco retangular.
• Relação entre volume e ca-
pacidade.
• Vista aérea e planta baixa.
 Probabilidade e estatística 
• Gráficos de setores circu-
lares.
 Grandezas e medidas 
• Medidas e erros.
• Medida da área de um triân-
gulo.
• Medida da área de alguns 
quadriláteros: quadrado, 
retângulo, paralelogramo, 
losango, trapézio.
• Medida do volume de um 
bloco retangular.
• Relação entre volume e ca-
pacidade.
 Probabilidade e estatística 
• Gráficos de rosca.
 Probabilidade e estatística 
• Amostragem.
• Organização de dados em 
tabelas e gráficos. 
• Gráficos de barras.
• Gráficos de setores circu-
lares.
• Gráficos de linha.
• Histogramas.
• Média aritmética.
• Moda.
• Mediana.
• Desvio médio absoluto.
• Princípio fundamental da 
contagem.
• Espaço amostral.
• Eventos equiprováveis. 
 Grandezas e medidas 
• Perímetro de figuras planas.
• Área de algumas figuras pla-
nas: retângulo, quadrado, 
paralelogramo, triângulo, 
losango, trapézio.
• Área de um polígono regular 
qualquer.
• Área de uma coroa circular.
• Área de um setor circular.
• Volume de um prisma.
• Volume de um bloco retan-
gular.
• Volume de prismas de bases 
não retangulares.
• Volume de um cilindro cir-
cular.
 Probabilidade e estatística 
• Interpretação de gráficos.
8
 Probabilidade e estatística 
• Tabelas.
• Gráficos de barras.
• Experimentos aleatórios.
• Probabilidade.
 Probabilidade e estatística 
• Pesquisa censitária e pes-
quisa amostral.
• Gráficos de barras.
• Gráfico de setores.
• Planejamento e realização 
de uma pesquisa.
• Média aritmética.
• Probabilidade e frequência 
relativa.
 Probabilidade e estatística 
• Gráficos.
• Roteiros para pesquisas es-
tatísticas.
• Probabilidade em eventos 
compostos por mais de uma 
etapa.
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XX MANUAL DO PROFESSOR - PARTE GERAL
Quadros com as habilidades da Base Nacional Comum Curricular previstas para cada ano
Habilidades da BNCC para o 6o ano
Unidade(s) 
do livro
(EF06MA01) Comparar, ordenar, ler e escrever números naturais e números racionais cuja representação decimal é finita, 
fazendo uso da reta numérica.
1, 6
(EF06MA02) Reconhecer o sistema de numeração decimal, como o que prevaleceu no mundo ocidental, e destacar seme-
lhanças e diferenças com outros sistemas, de modo a sistematizar suas principais características (base, valor posicional 
e função do zero), utilizando, inclusive, a composição e decomposição de números naturais e números racionais em sua 
representação decimal.
1, 6
(EF06MA03) Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculos (mentais ou escritos, exatos ou aproximados) com números 
naturais, por meio de estratégias variadas, com compreensão dos processos neles envolvidos com e sem uso de calculadora.
1, 2
(EF06MA04) Construir algoritmo em linguagem natural e representá-lo por fluxograma que indique a resolução de um pro-
blema simples (por exemplo, se um número natural qualquer é par).
4
(EF06MA05) Classificar números naturais em primos e compostos, estabelecer relações entre números, expressas pelos 
termos “é múltiplo de”, “é divisor de”, “é fator de”, e estabelecer, por meio de investigações, critérios de divisibilidade por 2, 
3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 100 e 1 000.
4
(EF06MA06) Resolver e elaborar problemas que envolvam as ideias de múltiplo e de divisor. 4
(EF06MA07) Compreender, comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros e resultado de divisão, 
identificando frações equivalentes.
5
(EF06MA08) Reconhecer que os números racionais positivos podem ser expressos nas formas fracionária e decimal, estabelecer 
relações entre essas representações, passando de uma representação para outra, e relacioná-los a pontos na reta numérica.
5, 6
(EF06MA09) Resolver e elaborar problemas que envolvam o cálculo da fração de uma quantidade e cujo resultado seja um 
número natural, com e sem uso de calculadora.
5
(EF06MA10) Resolver e elaborar problemas que envolvam adição ou subtração com números racionais positivos na repre-
sentação fracionária.
5
(EF06MA11) Resolver e elaborar problemas com números racionais positivos na representação decimal, envolvendo as quatro 
operações fundamentais e a potenciação, por meio de estratégias diversas, utilizando estimativas e arredondamentos para 
verificar a razoabilidade de respostas, com e sem uso de calculadora.
6
(EF06MA12) Fazer estimativas de quantidades e aproximar números para múltiplos da potência de 10 mais próxima. 1, 2, 6
(EF06MA13) Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, com base na ideia de proporcionalidade, sem fazer uso da 
“regra de três”, utilizando estratégias pessoais, cálculo mental e calculadora, em contextos de educação financeira, entre outros.
5, 6
(EF06MA14) Reconhecer que a relação de igualdade matemática não se altera ao adicionar, subtrair, multiplicar ou dividir os seus 
dois membros por um mesmonúmero e utilizar essa noção para determinar valores desconhecidos na resolução de problemas.
2
(EF06MA15) Resolver e elaborar problemas que envolvam a partilha de uma quantidade em duas partes desiguais, envolvendo 
relações aditivas e multiplicativas, bem como a razão entre as partes e entre uma das partes e o todo.
5
(EF06MA16) Associar pares ordenados de números a pontos do plano cartesiano do 1o quadrante, em situações como a 
localização dos vértices de um polígono.
3
(EF06MA17) Quantificar e estabelecer relações entre o número de vértices, faces e arestas de prismas e pirâmides, em 
função do seu polígono da base, para resolver problemas e desenvolver a percepção espacial.
3
(EF06MA18) Reconhecer, nomear e comparar polígonos, considerando lados, vértices e ângulos, e classificá-los em regulares 
e não regulares, tanto em suas representações no plano como em faces de poliedros.
3
(EF06MA19) Identificar características dos triângulos e classificá-los em relação às medidas dos lados e dos ângulos. 3
(EF06MA20) Identificar características dos quadriláteros, classificá-los em relação a lados e a ângulos e reconhecer a inclu-
são e a intersecção de classes entre eles.
3
(EF06MA21) Construir figuras planas semelhantes em situações de ampliação e de redução, com o uso de malhas quadricu-
ladas, plano cartesiano ou tecnologias digitais.
3
(EF06MA22) Utilizar instrumentos, como réguas e esquadros, ou softwares para representações de retas paralelas e per-
pendiculares e construção de quadriláteros, entre outros.
3
(EF06MA23) Construir algoritmo para resolver situações passo a passo (como na construção de dobraduras ou na indicação 
de deslocamento de um objeto no plano segundo pontos de referência e distâncias fornecidas etc.).
3
Unidades temáticas: Números Álgebra Geometria Grandezas e medidas Probabilidade e estatística 
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XXIMANUAL DO PROFESSOR - PARTE GERAL
Habilidades da BNCC para o 6o ano
Unidade(s) 
do livro
(EF06MA24) Resolver e elaborar problemas que envolvam as grandezas comprimento, massa, tempo, temperatura, área 
(triângulos e retângulos), capacidade e volume (sólidos formados por blocos retangulares), sem uso de fórmulas, inseridos, 
sempre que possível, em contextos oriundos de situações reais e/ou relacionadas às outras áreas do conhecimento.
7
(EF06MA25) Reconhecer a abertura do ângulo como grandeza associada às figuras geométricas. 3
(EF06MA26) Resolver problemas que envolvam a noção de ângulo em diferentes contextos e em situações reais, como 
ângulo de visão.
3
(EF06MA27) Determinar medidas da abertura de ângulos, por meio de transferidor e/ou tecnologias digitais. 3
(EF06MA28) Interpretar, descrever e desenhar plantas baixas simples de residências e vistas aéreas. 7
(EF06MA29) Analisar e descrever mudanças que ocorrem no perímetro e na área de um quadrado ao se ampliarem ou redu-
zirem, igualmente, as medidas de seus lados, para compreender que o perímetro é proporcional à medida do lado, o que não 
ocorre com a área.
7
(EF06MA30) Calcular a probabilidade de um evento aleatório, expressando-a por número racional (forma fracionária, decimal 
e percentual) e comparar esse número com a probabilidade obtida por meio de experimentos sucessivos.
8
(EF06MA31) Identificar as variáveis e suas frequências e os elementos constitutivos (título, eixos, legendas, fontes e datas) 
em diferentes tipos de gráfico.
5, 7, 8
(EF06MA32) Interpretar e resolver situações que envolvam dados de pesquisas sobre contextos ambientais, sustentabili-
dade, trânsito, consumo responsável, entre outros, apresentadas pela mídia em tabelas e em diferentes tipos de gráficos e 
redigir textos escritos com o objetivo de sintetizar conclusões.
1, 7, 8
(EF06MA33) Planejar e coletar dados de pesquisa referente a práticas sociais escolhidas pelos alunos e fazer uso de plani-
lhas eletrônicas para registro, representação e interpretação das informações, em tabelas, vários tipos de gráficos e texto.
7, 8
(EF06MA34) Interpretar e desenvolver fluxogramas simples, identificando as relações entre os objetos representados (por 
exemplo, posição de cidades considerando as estradas que as unem, hierarquia dos funcionários de uma empresa, etc.).
8
Habilidades da BNCC para o 7o ano
Unidade(s) 
do livro
(EF07MA01) Resolver e elaborar problemas com números naturais, envolvendo as noções de divisor e de múltiplo, podendo 
incluir máximo divisor comum ou mínimo múltiplo comum, por meio de estratégias diversas, sem a aplicação de algoritmos.
1
(EF07MA02) Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, como os que lidam com acréscimos e decréscimos 
simples, utilizando estratégias pessoais, cálculo mental e calculadora, no contexto de educação financeira, entre outros.
2
(EF07MA03) Comparar e ordenar números inteiros em diferentes contextos, incluindo o histórico, associá-los a pontos da 
reta numérica e utilizá-los em situações que envolvam adição e subtração.
1
(EF07MA04) Resolver e elaborar problemas que envolvam operações com números inteiros. 1
(EF07MA05) Resolver um mesmo problema utilizando diferentes algoritmos. 1, 2
(EF07MA06) Reconhecer que as resoluções de um grupo de problemas que têm a mesma estrutura podem ser obtidas 
utilizando os mesmos procedimentos.
1
(EF07MA07) Representar por meio de um fluxograma os passos utilizados para resolver um grupo de problemas. 2
(EF07MA08) Comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros, resultado da divisão, razão e operador. 2
(EF07MA09) Utilizar, na resolução de problemas, a associação entre razão e fração, como a fração 2/3 para expressar a razão 
de duas partes de uma grandeza para três partes da mesma ou três partes de outra grandeza.
6
(EF07MA10) Comparar e ordenar números racionais em diferentes contextos e associá-los a pontos da reta numérica. 2
(EF07MA11) Compreender e utilizar a multiplicação e a divisão de números racionais, a relação entre elas e suas propriedades 
operatórias.
2
(EF07MA12) Resolver e elaborar problemas que envolvam as operações com números racionais. 2
(EF07MA13) Compreender a ideia de variável, representada por letra ou símbolo, para expressar relação entre duas grande-
zas, diferenciando-a da ideia de incógnita.
3
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XXII MANUAL DO PROFESSOR - PARTE GERAL
Habilidades da BNCC para o 7o ano
Unidade(s) 
do livro
(EF07MA14) Classificar sequências em recursivas e não recursivas, reconhecendo que o conceito de recursão está presente 
não apenas na matemática, mas também nas artes e na literatura. 
3
(EF07MA15) Utilizar a simbologia algébrica para expressar regularidades encontradas em sequências numéricas. 3
(EF07MA16) Reconhecer se duas expressões algébricas obtidas para descrever a regularidade de uma mesma sequência 
numérica são ou não equivalentes.
3
(EF07MA17) Resolver e elaborar problemas que envolvam variação de proporcionalidade direta e de proporcionalidade inversa 
entre duas grandezas, utilizando sentença algébrica para expressar a relação entre elas.
6
(EF07MA18) Resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais de 1o grau, redutíveis 
à forma ax 1 b 5 c, fazendo uso das propriedades da igualdade.
3
(EF07MA19) Realizar transformações de polígonos representados no plano cartesiano, decorrentes da multiplicação das 
coordenadas de seus vértices por um número inteiro.
5
(EF07MA20) Reconhecer e representar, no plano cartesiano, o simétrico de figuras em relação aos eixos e à origem. 5
(EF07MA21) Reconhecer e construir figuras obtidas por simetrias de translação, rotação e reflexão, usando instrumentos de 
desenho ou softwares de geometria dinâmica e vincular esse estudo a representações planas de obras de arte, elementos 
arquitetônicos, entre outros.
5
(EF07MA22) Construir circunferências, utilizando compasso, reconhecê-las como lugar geométrico e utilizá-laspara fazer 
composições artísticas e resolver problemas que envolvam objetos equidistantes.
5
(EF07MA23) Verificar relações entre os ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal, com e sem uso 
de softwares de geometria dinâmica.
4
(EF07MA24) Construir triângulos, usando régua e compasso, reconhecer a condição de existência do triângulo quanto à 
medida dos lados e verificar que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 1808.
5
(EF07MA25) Reconhecer a rigidez geométrica dos triângulos e suas aplicações, como na construção de estruturas arquite-
tônicas (telhados, estruturas metálicas e outras) ou nas artes plásticas.
5
(EF07MA26) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um triângulo qualquer, 
conhecidas as medidas dos três lados.
5
(EF07MA27) Calcular medidas de ângulos internos de polígonos regulares, sem o uso de fórmulas, e estabelecer relações 
entre ângulos internos e externos de polígonos, preferencialmente vinculadas à construção de mosaicos e de ladrilhamentos.
5
(EF07MA28) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um polígono regular 
(como quadrado e triângulo equilátero), conhecida a medida de seu lado.
5
(EF07MA29) Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de grandezas inseridos em contextos oriundos de situa-
ções cotidianas ou de outras áreas do conhecimento, reconhecendo que toda medida empírica é aproximada.
7
(EF07MA30) Resolver e elaborar problemas de cálculo de medida do volume de blocos retangulares, envolvendo as unidades 
usuais (metro cúbico, decímetro cúbico e centímetro cúbico).
7
(EF07MA31) Estabelecer expressões de cálculo de área de triângulos e de quadriláteros. 7
(EF07MA32) Resolver e elaborar problemas de cálculo de medida de área de figuras planas que podem ser decompostas por 
quadrados, retângulos e/ou triângulos, utilizando a equivalência entre áreas.
7
(EF07MA33) Estabelecer o número p como a razão entre a medida de uma circunferência e seu diâmetro, para compreender 
e resolver problemas, inclusive os de natureza histórica.
5
(EF07MA34) Planejar e realizar experimentos aleatórios ou simulações que envolvem cálculo de probabilidades ou estimativas 
por meio de frequência de ocorrências.
8
(EF07MA35) Compreender, em contextos significativos, o significado de média estatística como indicador da tendência de 
uma pesquisa, calcular seu valor e relacioná-lo, intuitivamente, com a amplitude do conjunto de dados.
8
(EF07MA36) Planejar e realizar pesquisa envolvendo tema da realidade social, identificando a necessidade de ser censitária 
ou de usar amostra, e interpretar os dados para comunicá-los por meio de relatório escrito, tabelas e gráficos, com o apoio 
de planilhas eletrônicas.
1, 8
(EF07MA37) Interpretar e analisar dados apresentados em gráfico de setores divulgados pela mídia e compreender quando 
é possível ou conveniente sua utilização.
8
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XXIIIMANUAL DO PROFESSOR - PARTE GERAL
Habilidades da BNCC para o 8o ano
Unidade(s) 
do livro
(EF08MA01) Efetuar cálculos com potências de expoentes inteiros e aplicar esse conhecimento na representação de números 
em notação científica.
1
(EF08MA02) Resolver e elaborar problemas usando a relação entre potenciação e radiciação, para representar uma raiz 
como potência de expoente fracionário.
1
(EF08MA03) Resolver e elaborar problemas de contagem cuja resolução envolva a aplicação do princípio multiplicativo. 7
(EF08MA04) Resolver e elaborar problemas, envolvendo cálculo de porcentagens, incluindo o uso de tecnologias digitais. 1, 2, 4
(EF08MA05) Reconhecer e utilizar procedimentos para a obtenção de uma fração geratriz para uma dízima periódica. 1
(EF08MA06) Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculo do valor numérico de expressões algébricas, utilizando 
as propriedades das operações.
2
(EF08MA07) Associar uma equação linear de 1o grau com duas incógnitas a uma reta no plano cartesiano. 4
(EF08MA08) Resolver e elaborar problemas relacionados ao seu contexto próximo, que possam ser representados por sis-
temas de equações de 1o grau com duas incógnitas e interpretá-los, utilizando, inclusive, o plano cartesiano como recurso.
4
(EF08MA09) Resolver e elaborar, com e sem uso de tecnologias, problemas que possam ser representados por equações 
polinomiais de 2o grau do tipo ax2 5 b.
4, 6
(EF08MA10) Identificar a regularidade de uma sequência numérica ou figural não recursiva e construir um algoritmo por meio 
de um fluxograma que permita indicar os números ou as figuras seguintes.
2
(EF08MA11) Identificar a regularidade de uma sequência numérica recursiva e construir um algoritmo por meio de um fluxo-
grama que permita indicar os números seguintes.
2
(EF08MA12) Identificar a natureza da variação de duas grandezas, diretamente, inversamente proporcionais ou não propor-
cionais, expressando a relação existente por meio de sentença algébrica e representá-la no plano cartesiano.
2
(EF08MA13) Resolver e elaborar problemas que envolvam grandezas diretamente ou inversamente proporcionais, por meio 
de estratégias variadas.
2
(EF08MA14) Demonstrar propriedades de quadriláteros por meio da identificação da congruência de triângulos. 5
(EF08MA15) Construir, utilizando instrumentos de desenho ou softwares de geometria dinâmica, mediatriz, bissetriz, ângulos 
de 908, 608, 458 e 308 e polígonos regulares.
3, 5
(EF08MA16) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um hexágono regular 
de qualquer área, a partir da medida do ângulo central e da utilização de esquadros e compasso.
5
(EF08MA17) Aplicar os conceitos de mediatriz e bissetriz como lugares geométricos na resolução de problemas. 3
(EF08MA18) Reconhecer e construir figuras obtidas por composições de transformações geométricas (translação, reflexão 
e rotação), com o uso de instrumentos de desenho ou de softwares de geometria dinâmica.
5
(EF08MA19) Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de área de figuras geométricas, utilizando expressões 
de cálculo de área (quadriláteros, triângulos e círculos), em situações como determinar medida de terrenos.
2, 6
(EF08MA20) Reconhecer a relação entre um litro e um decímetro cúbico e a relação entre litro e metro cúbico, para resolver 
problemas de cálculo de capacidade de recipientes.
6
(EF08MA21) Resolver e elaborar problemas que envolvam o cálculo do volume de recipiente cujo formato é o de um bloco 
retangular.
6
(EF08MA22) Calcular a probabilidade de eventos, com base na construção do espaço amostral, utilizando o princípio multi-
plicativo, e reconhecer que a soma das probabilidades de todos os elementos do espaço amostral é igual a 1.
7
(EF08MA23) Avaliar a adequação de diferentes tipos de gráficos para representar um conjunto de dados de uma pesquisa. 1, 7
(EF08MA24) Classificar as frequências de uma variável contínua de uma pesquisa em classes, de modo que resumam os 
dados de maneira adequada para a tomada de decisões.
7
(EF08MA25) Obter os valores de medidas de tendência central de uma pesquisa estatística (média, moda e mediana) com a 
compreensão de seus significados e relacioná-los com a dispersão de dados, indicada pela amplitude.
7
(EF08MA26) Selecionar razões, de diferentes naturezas (física, ética ou econômica), que justificam a realização de pesquisas 
amostrais e não censitárias, e reconhecer que a seleção da amostra pode ser feita de diferentes maneiras (amostra casual 
simples, sistemática e estratificada).
7
(EF08MA27) Planejar e executar pesquisa amostral, selecionando uma técnica de amostragem adequada, e escrever relatório 
que contenha os gráficos apropriados para representar os conjuntos de dados, destacando aspectos como as medidas de 
tendência central, a amplitude e as conclusões.
7
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XXIV MANUALDO PROFESSOR - PARTE GERAL
Habilidades da BNCC para o 9o ano
Unidade(s) 
do livro
(EF09MA01) Reconhecer que, uma vez fixada uma unidade de comprimento, existem segmentos de reta cujo comprimento 
não é expresso por número racional (como as medidas de diagonais de um polígono e alturas de um triângulo, quando se 
toma a medida de cada lado como unidade).
6
(EF09MA02) Reconhecer um número irracional como um número real cuja representação decimal é infinita e não periódica, 
e estimar a localização de alguns deles na reta numérica.
1
(EF09MA03) Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes fracionários. 1
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação científica, envolvendo diferentes 
operações.
1
(EF09MA05) Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, com a ideia de aplicação de percentuais sucessi-
vos e a determinação das taxas percentuais, preferencialmente com o uso de tecnologias digitais, no contexto da educação 
financeira.
1
(EF09MA06) Compreender as funções como relações de dependência unívoca entre duas variáveis e suas representações 
numérica, algébrica e gráfica e utilizar esse conceito para analisar situações que envolvam relações funcionais entre duas 
variáveis.
5
(EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de espécies diferentes, como velocidade e 
densidade demográfica.
5
(EF09MA08) Resolver e elaborar problemas que envolvam relações de proporcionalidade direta e inversa entre duas ou mais 
grandezas, inclusive escalas, divisão em partes proporcionais e taxa de variação, em contextos socioculturais, ambientais 
e de outras áreas.
3
(EF09MA09) Compreender os processos de fatoração de expressões algébricas, com base em suas relações com os produtos 
notáveis, para resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais do 2o grau.
2
(EF09MA10) Demonstrar relações simples entre os ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal. 3
(EF09MA11) Resolver problemas por meio do estabelecimento de relações entre arcos, ângulos centrais e ângulos inscritos 
na circunferência, fazendo uso, inclusive, de softwares de geometria dinâmica.
4
(EF09MA12) Reconhecer as condições necessárias e suficientes para que dois triângulos sejam semelhantes. 3
(EF09MA13) Demonstrar relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, 
a semelhança de triângulos.
4
(EF09MA14) Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de proporcionalidade 
envolvendo retas paralelas cortadas por secantes.
4
(EF09MA15) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um polígono regular 
cuja medida do lado é conhecida, utilizando régua e compasso, como também softwares.
6
(EF09MA16) Determinar o ponto médio de um segmento de reta e a distância entre dois pontos quaisquer, dadas as coorde-
nadas desses pontos no plano cartesiano, sem o uso de fórmulas, e utilizar esse conhecimento para calcular, por exemplo, 
medidas de perímetros e áreas de figuras planas construídas no plano.
7
(EF09MA17) Reconhecer vistas ortogonais de figuras espaciais e aplicar esse conhecimento para desenhar objetos em 
perspectiva.
6
(EF09MA18) Reconhecer e empregar unidades usadas para expressar medidas muito grandes ou muito pequenas, tais como 
distância entre planetas e sistemas solares, tamanho de vírus ou de células, capacidade de armazenamento de computa-
dores, entre outros.
1, 7
(EF09MA19) Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de volumes de prismas e de cilindros retos, inclusive 
com uso de expressões de cálculo, em situações cotidianas.
7
(EF09MA20) Reconhecer, em experimentos aleatórios, eventos independentes e dependentes e calcular a probabilidade de 
sua ocorrência, nos dois casos.
8
(EF09MA21) Analisar e identificar, em gráficos divulgados pela mídia, os elementos que podem induzir, às vezes proposita-
damente, erros de leitura, como escalas inapropriadas, legendas não explicitadas corretamente, omissão de informações 
importantes (fontes e datas), entre outros. 
8
(EF09MA22) Escolher e construir o gráfico mais adequado (colunas, setores, linhas), com ou sem uso de planilhas eletrô-
nicas, para apresentar um determinado conjunto de dados, destacando aspectos como as medidas de tendência central.
8
(EF09MA23) Planejar e executar pesquisa amostral envolvendo tema da realidade social e comunicar os resultados por meio 
de relatório contendo avaliação de medidas de tendência central e da amplitude, tabelas e gráficos adequados, construídos 
com o apoio de planilhas eletrônicas.
8
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XXVMANUAL DO PROFESSOR - PARTE GERAL
Estrutura do Livro do Estudante
Abertura de Unidade
Cada Unidade é iniciada com uma dupla de páginas que 
apresenta um tema relacionado ao conteúdo em estudo.
p. 74 e p. 75, volume do 6o ano
As situações são apresentadas por meio de textos e ima-
gens que motivam uma discussão inicial, proposta por meio 
de questões no boxe Trocando ideias. Essa conversa inicial 
tem por objetivo:
• instigar o interesse dos alunos pelos conteúdos que serão 
estudados na Unidade;
• favorecer o reconhecimento das relações entre o tema a 
ser estudado na Unidade e o cotidiano;
• permitir ao professor verificar os conhecimentos prévios 
dos alunos em relação a conteúdos da Unidade;
• discutir, sempre que possível, temas relacionados, por 
exemplo, à pluralidade cultural, à educação ambiental, ao 
trabalho e à ética (temas contemporâneos);
• incentivar a pesquisa e o desenvolvimento de atitudes 
favoráveis à construção de conhecimento.
Desenvolvimento dos conteúdos
Os conteúdos apresentados são desenvolvidos por meio 
de textos, em geral acompanhados de figuras ou de recur-
sos gráficos como esquemas, diagramas, tabelas, gráficos 
e tirinhas, os quais complementam o texto e, muitas vezes, 
cumprem um papel relevante na compreensão dos conteúdos.
Sempre que possível, os conteúdos são introduzidos por 
meio de uma situação que permite ao aluno fazer conexões, 
questionamentos, reflexões, rupturas ou ampliações de seus 
conhecimentos prévios.
A participação do aluno é requerida, muitas vezes, por meio 
de questionamentos em boxes apresentados ao longo do texto. 
Alguns desses questionamentos propostos motivam debates 
entre a turma e o professor em relação ao conteúdo, confron-
tando opiniões, apresentando exemplos e contraexemplos, as 
condições em que os resultados são válidos, etc.
detalhe da p. 68, volume do 6o ano
Os resultados sistematizados também recebem tratamento 
gráfico diferenciado, para que os alunos recorram a marcado-
res gráficos quando necessitam revisitar o conteúdo e seus 
resultados principais.
 detalhe da p. 37, volume do 6o ano
Quando usamos no texto uma palavra cujo significado 
possa ser desconhecido pelos alunos, de modo a prejudicar 
a compreensão, destacamos a palavra e apresentamos o 
significado dela no boxe Glossário.
 detalhe da p. 18, volume do 6o ano
Além de facilitar a compreensão do texto, pretendemos, com 
isso, contribuir para a ampliação do vocabulário dos alunos.
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XXVI MANUAL DO PROFESSOR - PARTE GERAL
Atividades
As atividades sobre determinado conteúdo são apresentadas 
após o seu desenvolvimento, em dois momentos distintos: 
na seção Atividades e na seção Atividades complementares.
Na seção Atividades, busca-se, em geral, explorar as 
habilidades mais simples, que trabalham o conteúdo de 
maneira mais direta. Entretanto, eventualmente, são apre-
sentadas atividades que exigem habilidades mais complexas, 
em que o aluno é chamado a investigar e testar hipóteses, 
identificar regularidades, entre outras. Nesta seção são 
apresentadas atividades resolvidas que têm o objetivo de 
mostrar aos alunos estratégiasde resolução que podem 
não ter sido abordadas no desenvolvimento do conteúdo ou 
nas demais atividades, favorecendo o estabelecimento de 
uma rede de relações entre diferentes conceitos e proce-
dimentos da Matemática e o enriquecimento do repertório 
de estratégias dos alunos.
p. 15, volume do 6o ano
Atividades complementares
Nesta seção, em geral, buscamos propor atividades con-
textualizadas, nas quais é possível identificar algumas das 
seguintes características:
• problemas com dados reais, que relacionam a Matemática 
a outras áreas de conhecimento;
• incentivo ao uso de estimativa, arredondamento, cálculo 
mental e da calculadora;
• atividades de caráter lúdico, curiosidades ou “truques 
matemáticos”, que motivam a descoberta de regularidades 
e a elaboração de hipóteses;
• incentivo à elaboração de problemas a partir de um conjunto 
de dados disponíveis;
• trabalho com diferentes gêneros textuais, gráficos, ima-
gens, diagramas e esquemas.
p. 44 e p. 45, volume do 6o ano
Algumas atividades desta seção possibilitam um trabalho 
integrado com outros componentes curriculares e, sempre que 
possível, permitem a discussão sobre um tema contemporâneo 
com o intuito de contribuir para a formação cidadã dos alunos.
Saiba mais
A seção Saiba mais caracteriza-se por apresentar textos 
diversificados que abordem algum conteúdo relacionado ao 
tema da Unidade sob a perspectiva histórica, curiosidades ou, 
ainda, relações com outros campos da Matemática. Em alguns 
casos, são também apresentadas aplicações do conteúdo em 
outras áreas de conhecimento.
Em diversas dessas seções os textos são provenientes de 
fontes externas, como livros, reportagens de revistas, jornais 
ou sites, favorecendo o desenvolvimento da compreensão 
leitora dos alunos. Ao final da seção, no Para explorar, são 
propostas atividades que permitem explorar o texto, com o 
objetivo de ampliar a compreensão do tema em estudo.
Lei de Murphy: “Se algo pode dar errado, vai dar errado”
A torrada escorrega da sua mão justamente com a manteiga para baixo, o tem-
po vira só porque você saiu sem guarda-chuva, e o seu carro parece ser o fator 
determinante para a fila andar mais devagar. Existem dias em que, independen-
temente do que seja feito, as circunstâncias parecem estar dispostas a torná-lo 
vítima da lei de Murphy. Será mesmo que, se algo pode dar errado, dará, e de 
modo a causar o maior estrago possível? Pode ficar aliviado, a ciência garan-
te que está tudo na sua cabeça: não há provas concretas que confirmem os 
adágios de Murphy.
Adágio: sentença 
moral de origem 
popular; ditado, 
provérbio.
 Saiba mais Não escreva no livro!
Fatia de pão que caiu com o lado da 
geleia para baixo.
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Deu errado
Em 1949, o médico militar John Stapp realizou um experimento 
na base Edwards da força aérea americana, na Califórnia, a fim de 
testar o impacto da gravidade sobre o corpo humano em casos de aci-
dente. Para medir a força do impacto, o engenheiro espacial Edward 
Murphy Jr. acoplou quatro sensores ao aparelho, uma espécie de tre-
nó que corria em trilho. Ironicamente, o engenheiro acabou vítima do 
azar: ao fim do experimento, descobriu-se que seu assistente tinha 
afixado todos os contadores ao contrário, o que zerou os valores re-
gistrados. Irritado, Murphy teria pronunciado a famosa máxima: “Se 
existem duas ou mais maneiras de fazer algo, e uma dessas maneiras 
pode terminar em desastre, alguém irá adotá-la”.
[...]
Matematicamente testado e... reprovado
Essencialmente, a Lei de Murphy prevê o resultado final de situações hipotéticas – o que envolve pro-
babilidade [...]. No entanto, a ciência não fornece nenhuma prova concreta de que o princípio tenha uma 
fundamentação que comprove sua validade. “O principal motivo pelo qual nos identificamos com a Lei de 
Murphy é que as situações em que houve uma falha no que estava previsto são lembradas por um longo 
período – especialmente as que têm consequências desagradáveis –, enquanto as situações que transcorrem 
sem qualquer imprevisto são esquecidas”, diz o professor Carlos Hoppen, do departamento de Matemática 
Pura e Aplicada da Universidade Federal do Rio Grande do Sul (UFRGS).
CARTOLA – Agência de Conteúdo. Tudo tende a dar errado? Saiba o que diz a ciência sobre a Lei de Murphy. 
Disponível em: <http://www.terra.com.br/noticias/educacao/infograficos/lei-de-murphy-vc-sabia>. Acesso em: 17 set. 2018.
Para explorar
1. Muitas versões da lei de Murphy podem ser explicadas com base no raciocínio lógico. Identifique a 
alternativa que melhor explica a afirmação apresentada.
 Os objetos perdidos estão sempre no último lugar onde os procuramos
a) O último lugar em que procuramos sempre é o de mais difícil acesso, então, os objetos perdidos 
devem se encontrar lá.
b) Não faz sentido continuar a procurar um objeto se já o encontramos. Então, ele sempre é encon-
trado no último lugar em que o procuramos. 
2. O professor Carlos Hoppen oferece uma explicação para justificar por que tantas pessoas dão credi-
bilidade à lei de Murphy. Você concorda com a explicação? Justifique sua resposta. Resposta pessoal.
alternativa b
308 Unidade 8 Probabilidade e Estatística
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p. 308, volume do 6o ano
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XXVIIMANUAL DO PROFESSOR - PARTE GERAL
Análise da resolução
Esta seção apresenta problemas desafiadores, obtidos em 
provas e bancos de questões de olimpíadas de Matemática, 
em especial a Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas 
Públicas (Obmep).
p. 228, volume do 6o ano
A seção Análise da resolução busca viabilizar um trabalho 
com a resolução de problemas vinculado à abordagem de 
ensinar sobre resolver problemas. Em cada Unidade é apre-
sentado um problema cuja resolução é discutida por meio 
de quatro passos: Entendimento do problema, Elaboração 
de uma estratégia, Execução da estratégia e Verificação. Ao 
final da seção, no É a sua vez!, é apresentada aos alunos 
uma situação para que resolvam com base em ideias de-
senvolvidas na resolução apresentada ou no trabalho com 
o tema da Unidade.
Essa seção tem por objetivos:
• apresentar diferentes estratégias para a resolução de 
problemas, por meio da organização por etapas;
• valorizar a resolução de problemas desafiadores como os 
encontrados em olimpíadas de Matemática;
• promover o desenvolvimento de atitudes favoráveis em 
relação à aprendizagem, incentivando o desenvolvimento 
da confiança dos alunos em sua capacidade de resolver 
problemas e validar sua resolução.
A partir da experiência com esta seção, pode-se ampliar 
o trabalho com a resolução de problemas utilizando outras 
questões que podem ser obtidas, por exemplo, nos bancos de 
questões ou provas da Obmep, Canguru de Matemática, Olim-
píada Brasileira de Matemática (OBM) e de olimpíadas regionais.
Trabalhando com a informação
Esta seção aborda, essencialmente, objetos de conheci-
mento e habilidades previstos pela BNCC na unidade temática 
Estatística e probabilidade. Seus objetivos são retomar os 
principais conceitos trabalhados nos anos anteriores da 
escolarização e preparar os alunos para estudar os novos 
conceitos que são abordados no ano corrente. 
Com frequência variável ao longo de um mesmo volume, 
esta seção busca utilizar o tema ou os conceitos em estudo 
de modo que possam ser relacionados aos conceitos de Es-
tatística ou Probabilidade que se pretende estudar.
p. 277, volume do 6o ano
Tecnologia digital
Nesta seção, estimula-se o uso de softwares de geometria 
dinâmica, planilhas eletrônicas e calculadoras. Seus objetivos 
são introduzir ou aplicar os objetos de conhecimento em estudo 
e favorecer o desenvolvimento das habilidades previstas pela 
BNCC que incluem o uso de tecnologias digitais. 
O software que vamos utilizar nessa seção é o LibreOffice. Ele é um software de licença gratuita que 
podeser utilizado em diversos conteúdos da Matemática. O LibreOffice pode ser encontrado para 
download no endereço <www.libreoffice.org>. Se precisar de ajuda com a instalação, peça para alguém 
mais experiente.
Construção de gráfico de setores
Mariana fez uma pesquisa com os colegas da sua escola. Perguntou aos colegas das três turmas 
do 6o ano qual esporte eles praticavam. Para essa pesquisa, cada aluno poderia dar como resposta 
apenas um esporte.
Com as respostas que recebeu, Mariana organizou uma tabela.
 Esportes praticados pelos alunos do 6º ano por número de praticantes
Esporte praticado Quantidade de alunos
Futebol 22
Capoeira 23
Judô 14
Voleibol 12
Natação 27
Outros 10
Nenhum 12
Dados elaborador pelo autor.
Depois, Mariana quis exibir essas informações em um gráfico de setores circulares. Para construir esse 
gráfico, utilizou uma planilha eletrônica.
Observe os passos que ela seguiu.
1o passo: Ela digitou a tabela anterior em uma planilha eletrônica. Na coluna B inseriu o título “Esporte 
praticado” e os esportes listados. Na coluna C inseriu o título “Quantidade de alunos” e os números 
de alunos por esporte. Para selecionar toda a tabela, Marina clicou na célula B2 e, segurando o botão 
esquerdo do mouse, arrastou o ponteiro até a célula C8.
Captura de tela mostrando a tabela selecionada.
Esta atividade tem por objetivo trabalhar construções de gráficos utili-
zando uma planilha eletrônica. É recomendável trabalhar a atividade em 
grupos de 2 ou 3 alunos.
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Tecnologia digital Não escreva no livro!
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279Capítulo 17 Perímetro, área e volume
p. 279, volume do 6o ano
Desvendando enigmas
Esta seção aparece ao final de algumas unidades e propõe 
uma situação-problema que denominamos enigma. Essa 
situação-problema tem como objetivo que os alunos utilizem 
os conceitos estudados na Unidade para resolvê-la.
TRILHAS_MP_GERAL_PNLD2020_6ANO_IIaXVLIII.indd 27 10/23/18 8:17 AM
XXVIII MANUAL DO PROFESSOR - PARTE GERAL
O enigma do avião
Natália trabalha em uma companhia de táxi aéreo e pilota um monomotor. Ela viaja com frequência para 
várias cidades do Brasil e, na semana passada, demonstrou muita calma e perícia ao fazer um pouso de 
emergência em uma pista na zona rural de uma cidade. Apesar do susto, ninguém se feriu e não houve 
danos ao avião.
Sabe-se que o pouso forçado ocorreu por falta de combustível, de modo que a empresa proprietária do 
avião está realizando uma investigação para saber se a falha foi mecânica, relacionada a consumo desregu-
lado de combustível, ou se houve problema na hora de abastecer o tanque do monomotor.
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A distância entre as 
duas cidades é de 
375 quilômetros. Confira, 
por favor, o plano de voo.
Sim. Confere. E a 
distância até a pista de 
pouso mais próxima 
do destino é de 
50 quilômetros.
Como medida de segurança, a equipe que abastece as aeronaves faz esse serviço colocando uma quanti-
dade maior de combustível do que o necessário para realizar o trajeto definido no plano de voo.
Nesse caso, além de combustível a ser gasto na viagem principal, para uma eventual emergência acres-
centa-se combustível necessário para chegar à pista de pouso mais próxima do destino; e também uma 
quantidade de combustível para 45 minutos adicionais de voo.
¥ Com base nas informações do texto e da imagem, responda: O monomotor foi abastecido com quan-
tidade insuficiente de combustível, de acordo com o recomendado, ou ocorreu algum problema de 
consumo da própria aeronave? O combustível com que o monomotor foi abastecido não era suficiente.
Desvendando enigmas Não escreva no livro!
276 Unidade 7 Grandezas e medidas
p. 276, volume do 6o ano
O que aprendi
Ao final de cada Unidade, são propostas atividades 
que retomam os principais assuntos abordados nela e 
questões que motivam os alunos a fazer uma autoavalia-
ção do trabalho que desenvolveram durante o estudo que 
realizaram. É um momento em que eles têm a possibilidade 
de refletir sobre as principais dificuldades encontradas 
nesse estudo, bem como os recursos de que dispuseram 
para superá-las. Acompanhe as orientações didáticas para 
o trabalho com esta seção.
p. 231, volume do 6o ano
Conhecimento interligado/Em ação
Após cada Unidade é apresentada a seção Conhecimento 
interligado ou a seção Em ação.
Na seção Conhecimento interligado são trabalhados temas 
que permitem estabelecer uma conexão entre conteúdos 
matemáticos estudados na Unidade anterior à seção e outras 
áreas de conhecimento.
p. 158 e p. 159, volume do 6o ano
Na seção Em ação são apresentados temas que permitem 
estabelecer uma conexão entre conteúdos trabalhados na 
Unidade anterior à seção e temas contemporâneos (cidadania, 
trabalho e consumo, saúde, meio ambiente, ética, pluralidade 
cultural, orientação sexual), possibilitando que os alunos per-
cebam a Matemática como um instrumento importante para 
a compreensão da realidade e a formação cidadã.
p. 312 e p. 313, volume do 6o ano
Ambas as seções apresentam o Para explorar, com ati-
vidades que permitem verificar a compreensão leitora dos 
alunos e como utilizam as ideias matemáticas na situação 
apresentada. Também podem ser propostas pesquisas para 
ampliar o trabalho com os temas dessas seções.
 Encaminhamentos para o trabalho com o aluno
A fim de obter a participação ativa dos alunos durante a 
leitura do texto e no desenvolvimento de conceitos e procedi-
mentos, ao longo do Livro do Estudante, esta coleção oferece 
diferentes modos de incentivá-los a assumir uma postura de 
protagonismo de sua aprendizagem, pois:
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XXIXMANUAL DO PROFESSOR - PARTE GERAL
• favorece, sempre que possível, a retomada de conhecimen-
tos prévios sobre o tema por meio de questionamentos nas 
aberturas das unidades e em situações na apresentação 
dos conteúdos;
• permite aos alunos ter a oportunidade de acompanhar sua 
compreensão sobre os conteúdos por meio de boxes, inse-
ridos ao longo dos textos, nos quais eles são questionados, 
por exemplo, sobre o desenvolvimento de um raciocínio, os 
resultados obtidos e se percebem regularidades;
• em diversas atividades os alunos podem explorar proprie-
dades e resultados obtidos por meio do uso de calculadoras, 
de instrumentos de medição, como régua e transferidor, e 
de construção de tabelas e gráficos.
Nesta coleção exploramos, sempre que possível, no texto 
principal e nas atividades, situações-problema com diferentes 
finalidades:
I. Introduzir um novo conceito ou procedimento, carac-
terizando-se como um problema que contextualiza o 
tema em estudo. Nesse caso, é preciso certificar-se 
de que os alunos compreenderam as informações da 
situação proposta, garantindo um contexto familiar 
para que atribuam significado aos conceitos e proce-
dimentos envolvidos.
II. Apresentar diferentes modos de resolver um problema 
ou discutir diferentes representações e procedimentos, 
valorizando o conhecimento matemático como resultado 
de um processo. Entretanto, além de apresentar diferen-
tes estratégias de resolução de situações-problema, é 
necessário estimular o aluno a elaborar e compartilhar 
as diferentes estratégias, desenvolvendo as compe-
tências relacionadas à comunicação na apresentação 
de resultados e conclusões.
III. Propor a integração entre diferentes campos da Matemáti-
ca, como a Geometria e a Álgebra, estabelecendo relações 
entre os diversos conceitos matemáticos estudados. 
IV. Favorecer a ampliação do repertório de raciocínios, técni-
cas e estratégias empregados na resolução de problemas. 
É comum o aluno adotar a estratégia com a qual se sente 
mais confortável para resolver uma situação-problema; 
por isso, é preciso selecionar adequadamente situações 
que o provoquem e o levem a explorar novoscaminhos 
para a solução.
V. Discutir questões que podem ter mais de uma resposta 
possível. Muitos alunos esperam que a solução de um 
problema seja única, principalmente quando é um proble-
ma matemático. Por isso, questões que possuem mais 
de uma solução contribuem para que o aluno desenvolva 
o pensamento crítico acerca do problema proposto e 
suas soluções.
VI. Desenvolver competências relacionadas à argumentação 
e à elaboração de hipóteses e generalizações por meio da 
observação de regularidades. Por exemplo, a observação 
de padrões pode não ser tão evidente aos alunos quanto 
é para o professor. Nesse caso, é interessante propor 
questões que os auxiliem a percebê-los, por exemplo, em 
sequências figurais ou numéricas, perguntando qual é a 
próxima figura ou termo e por quê. Mesmo que os alunos 
ainda não estejam aptos a representar algebricamente, 
estimule-os a explicar, oralmente ou por escrito, qual é 
a regularidade observada.
Situações-problema desse tipo são um caminho para o 
desenvolvimento do pensamento algébrico e permitem 
que o aluno atribua significado para a representação 
algébrica.
VII. Diferenciar resultados aproximados e exatos e valorizar 
o uso de estimativas em algumas situações. Esse tipo 
de situação permite que o aluno perceba se as soluções 
de um problema são pertinentes ou não.
VIII. Compreender a necessidade de demonstração para 
validar resultados provenientes da experimentação ou 
verificação empírica.
IX. Mobilizar os conceitos e procedimentos estudados na 
elaboração de um problema. Esse tipo de situação-pro-
blema exige do aluno criatividade e articulação com o 
repertório dele. Além disso, permite ao professor observar 
as situações com as quais o aluno possui maior familia-
ridade e as que geram maior dificuldade.
O trabalho com situações-problema pode ser enriquecido 
quando proposto em grupo, por favorecer o desenvolvimento 
do aluno entre seus pares. É preciso estimular o trabalho 
colaborativo.
Trabalho colaborativo
Um dos significados da palavra “colaboração” é “trabalhar 
junto”, o que implica ajuda e apoio mútuos, negociação entre 
as partes e responsabilidade compartilhada pelas decisões, 
tendo em vista a concretização de uma tarefa. De acordo com 
Damiani (2008, p. 217):
Na revisão que realizaram sobre os mecanismos que atuam 
para potencializar as aprendizagens em ambientes de colabo-
ração, Jeong e Chi (1997) relatam que pesquisas realizadas nas 
áreas da Antropologia, Linguística e Ciência Organizacional 
sugerem que as pessoas passam a compartilhar memórias, 
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XXX MANUAL DO PROFESSOR - PARTE GERAL
conhecimentos, ou modelos mentais como resultado do trabalho 
em conjunto. Dessa forma, atingem significados e represen-
tações comuns, possivelmente mais complexos e ricos do que 
aqueles elaborados individualmente.
Em estudos como os de Coll Salvador (1994) e Colaço 
(2004), o trabalho colaborativo entre os estudantes apresenta 
os seguintes benefícios:
• superação do egocentrismo, ao ter de relativizar seus 
pontos de vista e negociar com o grupo;
• controle de impulsos agressivos;
• adaptação às normas estabelecidas;
• socialização com os pares;
• melhora na aquisição de habilidades e no rendimento 
escolar.
Os resultados desses e de outros estudos revelam que 
um dos principais mecanismos psicológicos que favorecem 
o bom desempenho em tarefas feitas em grupo é a coorde-
nação de operações entre os indivíduos, habilidade mais 
bem desenvolvida quando o professor assume em aula uma 
postura incentivadora ao trabalho colaborativo e desempenha 
um papel de mediação que seja um modelo de referência aos 
alunos na interação com os colegas.
A coleção oferece diversas situações nas quais o profes-
sor pode conduzir um trabalho colaborativo entre os alunos, 
incentivando a leitura, a descoberta, a troca de ideias, o ques-
tionamento, a discussão sobre diferentes procedimentos e a 
validação de respostas. Esse processo pode ocorrer tanto na 
apresentação dos temas e nas atividades quanto nas seções 
em que são apresentadas possibilidades de trabalho integra-
do com outros componentes curriculares, como Saiba mais, 
Conhecimento interligado e Em ação.
 Outros recursos didáticos
O trabalho pedagógico com a coleção pode ser enriquecido 
com o uso de recursos didáticos que auxiliarão os alunos na 
construção de conceitos, por exemplo o uso de softwares, 
da calculadora, de dobraduras, de recortes, de jogos, entre 
outros.
Para as atividades que exigem o uso desses recursos, é 
necessária uma preparação por parte do professor, para tomar 
ciência da proposta, analisar possíveis encaminhamentos 
e sugerir materiais alternativos no caso de dificuldade na 
obtenção dos materiais solicitados.
A seguir, destacamos brevemente dois recursos: o uso 
de tecnologias digitais e de jogos.
Tecnologias digitais
O uso de tecnologias digitais em sala de aula permite ampliar 
as possibilidades de ensinar e aprender Matemática, que podem ir 
desde a aplicação direta de algoritmos, propriedades e conceitos 
até a descoberta destes. Por exemplo, há recursos digitais que 
permitem ao aluno desenvolver seus conhecimentos aplicando-os 
em situações nas quais, ao apresentar uma resposta, obtenha 
um retorno imediato, tornando o processo de aprendizagem mais 
ágil e o aluno mais autônomo na atividade realizada. Por outro 
lado, se o objetivo for apresentar um novo conteúdo, há recursos 
digitais com os quais os alunos têm a oportunidade de observar 
regularidades e formular hipóteses, criando condições para que 
eles atribuam significado ao conteúdo estudado.
A realização de atividades com o uso de tecnologias digitais 
pode contribuir para que os alunos assumam uma posição de 
protagonismo em seu processo de aprendizagem. Por isso re-
comendamos o uso de tecnologias digitais não apenas na seção 
Tecnologia digital, que aborda o uso de calculadoras e softwares, 
mas também com certa recorrência ao longo do ano letivo. 
A seguir, tratamos um pouco mais do uso da calculadora 
e de objetos educacionais digitais. 
Calculadora
A exploração exaustiva dos cálculos por meio de listas de 
exercícios cuja finalidade era o treino na operacionalização 
dos algoritmos teve sua importância diminuída ao longo das 
últimas décadas.
O advento das calculadoras eletrônicas e sua popularização 
provocaram uma mudança na concepção do ensino de algo-
ritmos usuais das operações aritméticas em sala de aula e do 
uso desses algoritmos nas práticas sociais. Isso não significa 
que devemos deixar de ensinar algoritmos aos alunos, mas 
sim refletir sobre como trabalhar com esse tema em sala de 
aula. O trabalho com algoritmos permite analisar como os 
alunos organizam as ideias em uma sequência lógica, além 
de identificar possíveis lacunas na compreensão dos alunos.
Desse modo, compartilhamos a ideia de que a calculadora 
pode ser um recurso adicional em um contexto mais amplo 
e de investigação, em que os alunos devem mobilizar conhe-
cimentos para observar regularidades e construir hipóteses 
sobre resultados matemáticos. 
Ao trabalhar com calculadoras em sala de aula, o professor 
deve estar ciente de que há diferentes modelos de calculadora 
e procedimentos de uso. Por isso, é necessária uma preparação 
na qual sejam realizados alguns testes com os alunos, além de 
acompanhá-los individualmente, até que todos compreendam 
como utilizar esse instrumento.
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XXXIMANUAL DO PROFESSOR - PARTE GERAL
Objetos Educacionais Digitais
Em sites de universidades e de outras instituições é possível 
encontrar diversos recursos digitais que oferecem simulações, 
jogos, animações, planilhas eletrônicas, entre outros softwares, 
que podem auxiliá-lo no trabalho com os alunos. 
Como exemplos de recursos disponíveis, citamos os doisrepositórios digitais a seguir.
• Coleção M3 - Matemática Multimídia
Esse portal contém mais de 350 recursos educacionais 
digitais para o ensino de Matemática no Ensino Médio, de-
senvolvidos pela Unicamp (SP) a partir de financiamento do 
FNDE, SED, MCT e MEC. Os recursos estão em formatos digitais 
como áudio, vídeo e software. Disponível em: <http://m3.ime.
unicamp.br/>. Acesso em: 16 out. 2018.
• Bioe – Banco Internacional de Objetos Educacionais
Criado pelo MEC em 2008, o Bioe é um repositório digital 
com diversos recursos educacionais de livre acesso e em 
diferentes formatos: áudio, vídeo, animação, simulação, entre 
outros. Nele, há conteúdos para vários níveis de ensino, desde 
Educação Infantil até Ensino Superior, incluindo também a 
Educação Profissional. Disponível em: <http://objetoseduca 
cionais.mec.gov.br>. Acesso em: 16 out. 2018.
Jogos
O uso de jogos no contexto educacional tem sido respaldado 
pelos trabalhos de vários pesquisadores, que destacam os 
benefícios aos alunos, em particular dos jogos com regras, pois:
[...] No que diz respeito à Matemática na perspectiva esco-
lar, o jogo de regras possibilita à criança construir relações 
quantitativas ou lógicas: aprender a raciocinar e demonstrar, 
questionar o como e o porquê dos erros e acertos. [...] 
(MACEDO et al., 1997, p. 151)
De acordo com Lara (2003), com relação aos objetivos, os 
jogos podem ser classificados basicamente em: jogos de cons-
trução, de treinamento, de aprofundamento e de estratégia. 
Destacamos a seguir os jogos de treinamento e os de estratégia, 
que em geral são mais comuns no trabalho em sala de aula.
Jogos de treinamento: são aqueles cuja finalidade é subs-
tituir longas e tediosas listas de exercícios e por meio dos 
quais se procura retomar algum conceito ou procedimento 
que necessite de retomada ou reforço.
Jogos de estratégia: trabalham habilidades por meio das 
quais os alunos buscam, com base nas regras do jogo, resolver 
problemas a fim de atingir o objetivo do jogo.
Em Matemática, o uso de jogos na prática educacional se 
justifica porque eles podem contribuir para:
• inserir a situação de aprendizagem em um contexto familiar 
e prazeroso ao aluno;
• desenvolver a confiança do aluno em buscar alternativas, 
testar, errar e retomar tentativas sem criar ressentimen-
tos no caso de insucessos, uma vez que as situações se 
sucedem rapidamente na situação de jogo;
• favorecer a prática de resolução de problemas, permitindo 
ao aluno fazer perguntas, desenvolver estratégias, antecipar 
resultados, realizar cálculos mentais e/ou desenvolver a 
visualização geométrica, dependendo da natureza do jogo, 
e verificar a solução obtida em cada caso.
Propusemos, no final destas Orientações gerais, sugestões 
de jogos e outras atividades com o intuito de explorar aspec-
tos mencionados anteriormente. Essas atividades podem, a 
critério do professor, sofrer alterações, ajustes ou ampliações 
conforme as especificidades da turma.
 Avaliação em Matemática
A avaliação é um processo que está relacionado aos obje-
tivos definidos no planejamento pedagógico e à metodologia 
de ensino utilizada a fim de atingi-los. Se o ensino propõe 
contribuir para a formação de cidadãos conscientes e atuan-
tes em sua realidade e participantes na construção de seu 
conhecimento, faz-se necessário superar a visão meramente 
classificatória da avaliação, ou ainda, como instrumento de 
controle do professor sobre os alunos. De acordo com Luckesi 
(2004, p. 4-6):
as provas são recursos técnicos vinculados aos exames e não 
à avaliação. Importa ter-se claro que os exames são pontuais, 
classificatórios, seletivos, antidemocráticos e autoritários; a 
avaliação, por outro lado, é não pontual, diagnóstica, inclusiva, 
democrática e dialógica. [...]
As provas (não confundir prova com questionário, contendo 
perguntas abertas e/ou fechadas; este é um instrumento; provas 
são para provar, ou seja, classificar e selecionar) traduzem a 
ideia de exame e não de avaliação. Avaliar significa subsi-
diar a construção do melhor resultado possível e não pura e 
simplesmente aprovar ou reprovar alguma coisa. Os exames, 
através das provas, engessam a aprendizagem; a avaliação a 
constrói fluidamente.
A identificação de avaliação com a aplicação de provas ou 
testes se relaciona à concepção de avaliação como medida, 
que é parcialmente subsidiada pela crença de que o aspecto 
quantitativo é isento de subjetividade. Já as avaliações que 
valorizam o processo de aprendizagem, identificadas como 
formativas, baseiam-se na concepção de que a avaliação deve 
servir de base a uma tomada de decisão, ou seja, serve para 
subsidiar ações pedagógicas que assegurem a aprendizagem 
do aluno. É importante destacar que os aspectos quantitati-
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XXXII MANUAL DO PROFESSOR - PARTE GERAL
vos e qualitativos não são mutuamente excludentes, ou seja, 
podem ser complementares desde que os modelos de provas 
recebam ajustes e adaptações.
A pergunta que nos fazemos é “Como implementar uma 
avaliação de caráter formativo?”.
Tomicioli e Donatoni (2008) procuram elucidar essa questão 
com base em Vasconcellos (1993):
Vasconcellos (1993) em sua análise de alternativas para uma 
nova forma de avaliar, apresentou cinco propostas que, a seu 
ver, são fundamentais para a realização de uma avaliação que 
quer a participação do educando no seu processo avaliativo 
e na construção do seu conhecimento.
A primeira proposta seria alterar a metodologia de tra-
balho em sala de aula. O professor precisaria repensar sua 
prática, utilizando um conteúdo mais significativo e uma 
metodologia mais participativa. Não se pode conceber uma 
avaliação reflexiva, crítica, emancipatória num processo de 
ensino positivo, repetitivo, alienante. (p. 55)
A segunda proposta seria diminuir a ênfase na avaliação. 
Ela deveria ser contínua para cumprir sua função de integrar o 
processo de ensino-aprendizagem; só deveria ser feita durante 
o processo, quando o professor acompanhasse diretamente 
a construção do conhecimento do aluno. A ênfase deveria 
estar centrada no processo, e não no produto. [...]
A terceira proposta feita por ele refere-se ao conteúdo da 
avaliação. Como a avaliação deve ser reflexiva, não deve ter 
conteúdo decorativo, pois quando o aluno decora, não tem a 
preocupação de aprender […]. O professor deveria ainda ter 
o cuidado de que a complexidade dos exercícios das provas 
fosse semelhante à das aulas, para dar continuidade ao seu 
trabalho. Deve-se buscar avaliar aquilo que é fundamental no 
ensino, como, por exemplo, o estabelecimento de relações, a 
comparação de situações, a capacidade de resolver problemas, 
a compreensão crítica etc. (p. 65)
A quarta proposta seria a de alterar a postura diante dos 
resultados da avaliação. Na avaliação como parte do proces-
so de aprendizagem, seria preciso que os resultados fossem 
encarados como ponto de partida para tomada de decisões 
na superação dos problemas apresentados. O aluno deveria 
ter sua participação aumentada na avaliação e na educação.
A quinta proposta refere-se ao trabalho de conscientização 
da comunidade educativa. O professor deveria trabalhar para 
criar uma nova visão de educação entre os alunos e as famí-
lias, visando acabar com essa distorção sobre a avaliação. O 
primeiro passo seria infundir nos alunos, familiares e mesmo 
nos professores o sentido comunitário da aprendizagem. Todos 
deveriam colaborar para que todos alcançassem a construção 
efetiva de seu conhecimento. (TOMICIOLI; DONATONI, 
2008, p. 155-156)
Uma avaliação que se alinhe com essa concepção deve 
apresentar as seguintes características:
• não se restringir apenas aos momentos de aplicação de 
provas, uma vez que a evolução do aluno se manifesta 
ao longo de todo o processo de ensino e aprendizagem, e 
utilizar diferentes instrumentos de avaliação;
• conceber o erro como suportepara a aprendizagem, fa-
vorecendo, por meio de sua análise, a compreensão das 
dificuldades apresentadas pelo aluno;
• abordar diferentes habilidades relacionadas aos saberes 
avaliados;
• valorizar o processo de aprendizagem e não apenas a 
obtenção de respostas certas;
• propiciar a autoavaliação dos alunos.
Uma avaliação nesses moldes pode ser desenvolvida com 
auxílio de alguns recursos, como os destacados a seguir.
Elaboração de relatórios
Os alunos podem ser incentivados a elaborar relatórios nos 
quais descrevem suas experiências, permitindo ao professor 
observar e compreender os avanços obtidos e as dificulda-
des apresentadas, de modo a obter subsídios para ações de 
retomada dos conteúdos. Um contexto adequado para se 
propor tal modalidade de registro é durante a realização de 
atividades de resolução de problemas, em que, nesse registro, 
os alunos poderão:
• apresentar a resolução detalhada de algumas atividades, 
o que permite ao professor avaliar diferentes habilidades, 
as estratégias de resolução empregadas, a realização dos 
cálculos, a maneira como o aluno se comunica matema-
ticamente, etc.;
• responder a questões que envolvam a reflexão sobre as 
ações executadas durante as atividades, sugerindo a 
análise do que ocorreria com a solução se determinado 
dado do problema fosse modificado; em que condições 
o problema não apresentaria solução; apresentar o início 
de uma resolução e pedir aos alunos que a completem; 
solicitar que analisem por que determinada resolução 
sugerida está incorreta, etc.;
• relatar os pontos nos quais tiveram mais dificuldades e 
em que aspectos o trabalho em equipe (no caso em que a 
atividade foi proposta dessa forma) favoreceu a elucidação 
das dificuldades e a compreensão dos conteúdos.
Observação das ações em sala de aula
Ao considerar a avaliação como um processo contínuo, a 
observação da participação dos alunos em sala de aula ofe-
rece ao professor a oportunidade de avaliar o aluno antes e 
depois das intervenções pedagógicas, além de verificar se os 
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XXXIIIMANUAL DO PROFESSOR - PARTE GERAL
objetivos definidos no planejamento pedagógico estão sendo 
alcançados. Esse olhar permite ao professor diagnosticar as 
habilidades desenvolvidas pelo aluno ao longo do processo, 
detectar suas dificuldades (conceituais, procedimentais e 
atitudinais) e proporciona elementos para o planejamento 
de ações que visam garantir a aprendizagem dos conteúdos.
Em nossa coleção, as situações propostas na abertura 
possibilitam ao professor sondar os conhecimentos prévios dos 
alunos. Além disso, há questionamentos em boxes propostos 
ao longo do desenvolvimento do conteúdo que permitem ao 
professor acompanhar o progresso dos alunos e identificar 
as dificuldades do grupo.
Aplicação de provas
Provas ou testes podem ser utilizados como instrumentos 
de avaliação, havendo diversas modalidades, como: individuais, 
em dupla ou em grupo, em sala de aula ou em casa, com con-
sulta ou sem consulta, escritas ou orais, em uma única etapa 
ou em diversas etapas. Em relação à realização de provas em 
diversas etapas, uma possibilidade é a devolução da prova 
corrigida pelo professor ao aluno para que ele refaça as ques-
tões nas quais apresentou dificuldades, ou ainda a devolução 
com encaminhamentos orientando o aluno a localizar o erro, 
reconhecê-lo e reestruturar a resolução da questão. Essa 
abordagem empresta à aplicação das provas uma dimensão 
formativa, a qual deve ser sustentada com a diversificação 
das questões propostas, que podem envolver problemas 
elaborados pelos alunos, problemas abertos, problemas que 
podem ser resolvidos por meio de diversas estratégias; resu-
mindo, questões que favoreçam a reflexão, a postura crítica, 
a criatividade, a argumentação e a elaboração de hipóteses, 
preferencialmente com o uso de diferentes representações 
(textos, imagens, gráficos, tabelas e esquemas).
Autoavaliação
A reflexão individual sobre o processo de aprendizagem 
e socialização também contribui para a avaliação do aluno. 
Motivá-lo a fazer essa reflexão é fundamental para que ele se 
reconheça como sujeito do processo de ensino e aprendizagem:
Por meio da autoavaliação, o estudante assume sua respon-
sabilidade em seu próprio processo educacional, de modo que 
a todo momento pode saber como vai progredindo em sua 
aprendizagem. O professor com sua prática docente e avalia-
dora, deve propiciar e desenvolver a autoavaliação do aluno. 
Sem a autoavaliação acerca dos acertos e dos erros não haverá 
progresso significativo de aprendizagem. (ARREDONDO; 
DIAGO, 2009, p. 221)
Uma possibilidade de encaminhar uma autoavaliação 
consiste em apresentar aos alunos algumas questões, 
como: “Dos tópicos estudados, quais foram os que eu tive 
maior facilidade em compreender? E maior dificuldade?”; 
“As atividades propostas foram suficientes para que eu 
compreendesse o assunto?”; “Eu procurei expor minhas 
dúvidas e solicitei auxílio do professor e dos colegas?”; “Eu 
realizei as atividades propostas em aula e as atividades 
propostas para casa?”; “Eu fui solícito com o professor e os 
colegas?”; etc.
A seção O que aprendi, no Livro do Estudante, propõe 
questões que auxiliam o aluno a avaliar seu próprio apro-
veitamento ao estudar o conteúdo da Unidade. Espera-se 
que os alunos reflitam sobre essas questões e registrem 
as respostas com o intuito de retomar o que não ficou bem 
consolidado no processo de aprendizagem e de construir 
com o professor e os colegas um plano de estudo para essa 
retomada, bem como para o estudo de novos temas. Esse 
processo possibilita inclusive que o professor reflita sobre 
sua prática pedagógica.
 Sugestões para a formação continuada e o 
desenvolvimento profissional docente
Apresentamos a seguir algumas sugestões de mate-
riais e de sites que podem ser consultados para ampliar 
as possibilidades de trabalho em sala de aula. Em alguns 
desses sites é possível descobrir informações sobre 
publicações e cursos que poderão contribuir para a sua 
formação continuada.
Revistas e periódicos
• Bolema – Boletim de Educação Matemática
 Periódico cuja intenção é disseminar a produção científi-
ca em Educação Matemática. Nele são publicados textos 
como artigos e resumos de dissertações com foco no en-
sino e aprendizagem de Matemática e na importância da 
Educação Matemática para a sociedade. Disponível em: 
<http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_serial&pi 
d=0103-636X&lng=pt&nrm=iso>. Acesso em: 12 out. 
2018.
• RPM – Revista do Professor de Matemática
 Revista destinada aos professores de Matemática dos 
anos finais do Ensino Fundamental e do Ensino Médio e a 
alunos do curso de licenciatura. A revista publica artigos 
que podem contar sobre uma experiência em sala de aula, 
trazer problemas instigantes ou novas abordagens para 
um assunto conhecido. Disponível em: <http://rpm.org.
br/>. Acesso em: 12 out. 2018.
TRILHAS_MP_GERAL_PNLD2020_6ANO_IIaXVLIII.indd 33 10/23/18 8:17 AM
XXXIV MANUAL DO PROFESSOR - PARTE GERAL
• Zetetiké – Revista de Educação Matemática 
 Revista quadrimestral que busca contribuir para o desen-
volvimento da pesquisa na área da Educação Matemática e 
para a formação de pesquisadores dessa área, divulgando 
pesquisas e estudos realizados em instituições brasileiras 
ou estrangeiras. Disponível em: <https://periodicos.sbu. 
unicamp.br/ojs/index.php/zetetike>. Acesso em: 12 out. 2018.
• Revemat – Revista Eletrônica de Educação Matemática
 Revista científica cujos artigos tratam de temas como 
epistemologia, formação de professores e ensino e apren-
dizagem em Matemática, enfatizando as contribuições 
dos estudos em Semiótica nessas áreas. Disponível em: 
<https://periodicos.ufsc.br/index.php/revemat>. Acesso 
em: 12 out. 2018.
Órgãos governamentais, grupos e instituições
• Caem – Centro de Aperfeiçoamentodo Ensino da Mate-
mática (USP)
 Seu objetivo é prestar serviços de assessoria a profes-
sores de Matemática, além de oferecer atividades como 
seminários e oficinas. Disponível em: <https://www.ime.
usp.br/caem/>. Acesso em: 12 out. 2018.
• Cempem – Centro de Estudos, Memória e Pesquisa em 
Educação Matemática (Unicamp)
 É um órgão de apoio à docência, pesquisa e extensão na 
área de Educação Matemática. Neste centro de estudos, os 
professores podem buscar aperfeiçoamento profissional e 
novas propostas através de cursos e grupos de pesquisa. 
Disponível em: <https://www.cempem.fe.unicamp.br/>. 
Acesso em: 12 out. 2018.
• Cremm – Centro de Referência de Modelagem Matemática 
no Ensino da Fundação Universidade Regional de Blume-
nau (Furb)
 O objetivo é promover ações que contribuam para a Educa-
ção Matemática e dispor de um sistema de documentação 
referente a pesquisas e práticas pedagógicas de modelagem 
matemática no ensino. Disponível em: <http://www.furb.br/
cremm/portugues/index.php>. Acesso em: 12 out. 2018.
• Gepeticem – Grupo de Estudos e Pesquisas das Tecnologias 
da Informação e Comunicação em Educação Matemática 
da Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro (UFRRJ)
 O Gepeticem desenvolve pesquisas, tanto na Educação 
Básica quanto no Ensino Superior, sobre a utilização e 
análise das tecnologias da informação e comunicação 
no ensino básico e na formação docente. Disponível em: 
<http://www.gepeticem.ufrrj.br/portal/sobre-o-grupo/>. 
Acesso em: 12 out. 2018.
• Impa – Instituto de Matemática Pura e Aplicada
 Instituto de ensino e pesquisa em Matemática que, além de 
desenvolver pesquisa no Ensino Superior, oferece o Progra-
ma de Aperfeiçoamento para Professores de Matemática 
do Ensino Médio (Papmem) – um treinamento gratuito 
para a formação continuada de docentes. Disponível em: 
<https://impa.br/>. Acesso em: 12 out. 2018.
• LEM – Laboratório de Ensino de Matemática (Unicamp)
 Instituição de pesquisa e assessoria na área de Matemática, 
o laboratório tem por finalidade contribuir com o ensino 
de Matemática através do compartilhamento de conheci-
mentos e tendências e da promoção do desenvolvimento 
profissional de professores. Disponível em: <https://www.
ime.unicamp.br/lem/>. Acesso em: 12 out. 2018.
• LEM – Laboratório de Ensino de Matemática (USP)
 O LEM possui uma coleção de materiais interativos voltados 
para o ensino de Matemática por meio do uso de sistemas 
computacionais, estimulando o aprendizado da Matemática 
de modo prático. Disponível em: <https://www.ime.usp.br/
lem/>. Acesso em: 13 out. 2018.
• SBHMat – Sociedade Brasileira de História da Matemática
 Seu objetivo é promover levantamentos, pesquisas e 
estudos sobre a História da Matemática como forma de 
desenvolver essa área de conhecimento, além de elaborar 
e executar programas de capacitação e prestar serviços 
de consultoria acadêmica e afins. Disponível em: <http://
www.sbhmat.org/>. Acesso em: 13 out. 2018.
• Sbem – Sociedade Brasileira de Educação Matemática
 Tem como principal finalidade reunir educadores matemá-
ticos da Educação Básica ao Ensino Superior e estudantes 
dessa área para discutir, em grupos, simpósios, congressos 
e outros eventos, questões relacionadas ao processo de 
ensino e aprendizagem da Matemática, incluindo a formação 
de professores e o uso e a análise de livros didáticos e de 
outros recursos pedagógicos. Disponível em: <http://www.
sbembrasil.org.br/sbembrasil/>. Acesso em: 13 out. 2018.
• SBM – Sociedade Brasileira de Matemática
 A SBM é responsável por diversas atividades voltadas à 
pesquisa matemática e ao ensino de Matemática, como a 
publicação de livros e periódicos, a produção de eventos 
acadêmicos e reuniões científicas e o apoio a Olimpíadas de 
Matemática regionais e nacionais, como a Obmep – Olim-
píada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas (em 
colaboração com o Impa) e a OBM – Olimpíada Brasileira 
de Matemática. Disponível em: <https://www.sbm.org.br/>. 
Acesso em: 13 out. 2018.
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XXXVMANUAL DO PROFESSOR - PARTE GERAL
Sugestões de leitura
BARBOSA, Ruy M. Conexões e educação matemática: brinca-
deiras, explorações e ações. v. 2. Belo Horizonte: Autêntica 
Editora, 2009.
Nesse livro, são propostas brincadeiras e explorações com 
triângulos, poliminós, dobradura com tiras e outros. Ele fornece 
muitas atividades para uso em sala de aula.
 . Geoplanos e redes de pontos: conexões e educação 
matemática. v. 4. Belo Horizonte: Autêntica Editora, 2013.
O autor apresenta nessa obra o geoplano e algumas possi-
bilidades de exploração geométrica por meio de atividades 
práticas destinadas a alunos do Ensino Fundamental e do 
Ensino Médio.
BARRETO, Marcilia C.; CARVALHO, Rodrigo L.; MAIA, Dennys L.; 
PINHEIRO, Joserlene L. Matemática, aprendizagem e ensino. 
Fortaleza: EdUECE, 2013.
Esse livro aborda diferentes temas da Educação Matemática, 
sendo de especial interesse o capítulo “A concepção de fração 
de pedagogos: contribuição da teoria dos registros de repre-
sentação semiótica”. A leitura desse capítulo fornece impor-
tantes subsídios para que o professor avalie as dificuldades 
das crianças em relação ao estudo de fração.
BOYER, Carl B. História da Matemática. São Paulo: Edgard 
Blucher, 1996.
Um livro que aborda a história da Matemática desde o período 
Neolítico até as últimas realizações matemáticas do século 
XX. Os capítulos iniciais dessa obra abordam antigos sistemas 
de numeração.
CHERMAN, Alexandre; VIEIRA, Fernando. O tempo que o tempo 
tem. Rio de Janeiro: Zahar, 2011.
Esse livro aborda a história dos calendários, permitindo que 
se estabeleça uma relação entre a astronomia, as diferentes 
culturas e os sistemas de registros nos calendários Juliano, 
Gregoriano, Judaico, Maia e outros.
COUTINHO, Severino C. Números inteiros e criptografia RSA. Rio 
de Janeiro: Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada, 
IMPA, 2007.
Com esse livro, é possível aprofundar o conhecimento sobre 
números inteiros, fatoração, algoritmos de divisão, números 
primos e outros assuntos da teoria dos números, como con-
gruências, aritmética modular e suas aplicações em sistemas 
de segurança de dados.
CURY, Helena N. Análise de erros: o que podemos aprender com 
as respostas dos alunos. Belo Horizonte: Autêntica Editora, 2007.
Nesse livro a autora apresenta subsídios teóricos relativos à 
análise de erros cometidos por alunos e defende a utilização 
desses erros como instrumento de pesquisa e metodologia 
de ensino. A ideia principal é que os alunos sejam estimula-
dos a refletir sobre o erro de modo que isso contribua para a 
aprendizagem.
DAVIS, Harold T. Tópicos de história da matemática para uso 
em sala de aula: computação. São Paulo: Atual, 1992.
Nesse livro, são apresentadas as ideias das técnicas de cál-
culo desenvolvidas ao longo do tempo pelas mais diversas 
civilizações, abrangendo as quatro operações fundamentais 
da aritmética, entre outros assuntos.
DEVLIN, Keith. O gene da matemática: o talento para lidar 
com números e a evolução do pensamento matemático. Rio 
de Janeiro: Record, 2004.
O autor apresenta uma teoria para o desenvolvimento do 
pensamento matemático e suas relações com a linguagem. 
Nos capítulos iniciais são abordados diversos aspectos da 
matemática, como as teorias que explicam a aquisição do 
conceito de número.
DUARTE, Newton. Educação escolar, teoria do cotidiano e a 
escola de Vigotski. Campinas: Editora Autores Associados, 
1996.
Nesse livro o autor aborda o papel da educação escolar na 
formação do indivíduo e analisa de que modo ela forma neces-
sidades cada vez mais elevadas para além da vida cotidiana.
DU SAUTOY, Marcus. A música dos números primos: a história 
de um problema não resolvido em matemática. Rio de Janeiro: 
Zahar, 2007.
Nesse livro, é apresentada a história da hipótese de Riemann, 
um resultado de fundamental importância para a matemática 
atéhoje não provado.
FAYOL, Michel. Numeramento: aquisição das competências 
matemáticas. São Paulo: Parábola Editorial, 2012.
Nessa obra o autor aborda as dificuldades encontradas pelas 
crianças na aquisição do conceito de número, reportando-se 
aos resultados de pesquisas sobre o tema em psicologia 
cognitiva e neuropsicologia.
FONSECA, Maria da Conceição F. R.; LOPES, Maria da Penha; 
BARBOSA, Maria das Graças G.; GOMES, Maria Laura M.; DAYRELL, 
Mônica Maria M. S. S. O ensino de Geometria na escola funda-
mental: três questões para a formação do professor dos ciclos 
iniciais. Belo Horizonte: Autêntica Editora, 2007.
Nesse livro, são discutidas três questões sobre o ensino de 
Geometria: o que se ensina em Geometria, os conhecimentos 
de Geometria dos professores e dos alunos, e por que se 
ensina Geometria. Organizado a partir de atividades práticas 
realizadas em oficinas de formação de educadores, o livro 
apresenta, ainda, a fundamentação teórica que sustenta a 
proposta nele apresentada.
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XXXVI MANUAL DO PROFESSOR - PARTE GERAL
FONSECA FILHO, Cléuzio. História da computação: o caminho 
do pensamento e da tecnologia. Porto Alegre: EDIPUCRS, 2007.
Nesse livro, o autor analisa a trajetória histórica da evolução dos 
conceitos relacionados à lógica e à computação, desde Aristó-
teles até a era da Inteligência Artificial. De especial interesse 
são os capítulos 5 e 6, que apresentam um panorama histórico 
desde a invenção das máquinas de calcular até os dias atuais.
GOLDEMBERG, José (Coord.). Metrópoles e o desafio urbano 
frente ao meio ambiente. São Paulo: Blucher, 2010. (Série 
Sustentabilidade).
Nesse livro são apresentados os desafios das metrópoles em 
relação à gestão ambiental, o transporte público, as demandas 
de energia e outros temas, o que o torna um excelente ponto 
de apoio para pesquisas sobre a sustentabilidade.
GUNDLACH, Bernard H. Tópicos de história da Matemática 
para uso em sala de aula: números e numerais. São Paulo: 
Atual, 1992.
Além de contar resumidamente a história dos números e dos 
numerais, esse livro apresenta 27 cápsulas contendo detalhes 
sobre os mais diversos aspectos da história dos números, como 
números de Mersenne, ternos pitagóricos e números de Fibonacci, 
entre outros assuntos.
IFRAH, Georges. Os números: a história de uma grande invenção. 
São Paulo: Globo, 1987.
Esse livro é um dos mais acessíveis materiais sobre a história 
dos sistemas de numeração, tornando-se uma fonte de consulta 
e de pesquisa para alunos e professores.
IMENES, Luiz Marcio; LELLIS, Marcelo. Os números na história da 
civilização. São Paulo: Scipione, 1999.
Esse livro apresenta os sistemas de numeração desenvolvidos 
na Antiguidade e pode ser usado como consulta sobre aspectos 
históricos relacionados a esses sistemas.
LINDQUIST, Mary M. Aprendendo e ensinando Geometria. São 
Paulo: Atual, 1994.
Esse livro é o primeiro anuário do Conselho Nacional de Profes-
sores de Matemática (NCTM), dos Estados Unidos, contendo 20 
artigos sobre o ensino e a aprendizagem da Geometria, escritos 
por diversos especialistas.
NIVEN, Ivan. Números: racionais e irracionais. Rio de Janeiro: 
Sociedade Brasileira de Matemática, 1984.
Nesse livro, podem-se consultar os fundamentos do nosso 
sistema numérico, em particular a classificação de números em 
racionais e irracionais.
NUNES, Terezinha; CAMPOS, Tânia M. M.; MAGINA, Sandra; 
BRYANT, Peter. Educação Matemática: números e operações 
numéricas. São Paulo: Cortez, 2005.
Os autores apresentam os fundamentos teóricos da aprendizagem 
das quatro operações sob o enfoque das teorias sociointeracio-
nistas, além de exemplos de situações e respostas dos alunos 
diante de cálculos com as operações, consistindo em importante 
fonte de consulta e pesquisa para professores.
RODRIGUES, Marian dos Santos. O ensino de grandezas e medidas 
através de uma abordagem investigatória. Dissertação (Mes-
trado em Ensino de Ciências Naturais e Matemática) – Centro 
de Ciências Exatas e da Terra, UFRN, Natal (RN). Orientador: Iran 
Abreu Mendes. Disponível em: <https://repositorio.ufrn.br/jspui/
handle/123456789/16034>. Acesso em: 13 out. 2018.
Nessa dissertação, a autora recupera a história das práticas 
pedagógicas relacionadas ao ensino de grandezas e medidas, 
apresenta os fundamentos teóricos que subsidiam sua pesquisa 
e propõe estratégias de intervenção em sala de aula. 
SINGH, Simon. O último teorema de Fermat. Rio de Janeiro: Record, 
1998.
Esse livro conta a história de um problema matemático que levou 
358 anos para ser resolvido. O livro conta ainda vários aspectos 
históricos, permitindo ao leitor conhecer parte das descobertas 
matemáticas motivadas por esse problema.
TAHAN, Malba. O homem que calculava. Rio de Janeiro: Record, 2004.
Esse livro apresenta várias histórias em que aparecem problemas 
matemáticos cujas soluções são obtidas por meio de estratégias 
muito interessantes desenvolvidas pela personagem Beremiz. 
No apêndice do livro são apresentadas as explicações para as 
soluções dos problemas.
VIEIRA, Eduardo. Os bastidores da internet no Brasil. Barueri: 
Manole, 2003.
Nessa obra o autor apresenta a história da internet em nosso 
país com foco nas modificações socioeconômicas promovidas 
por ela na sociedade brasileira.
VILLIERS, Michael. Algumas reflexões sobre a teoria de Van Hiele. 
São Paulo, v. 12, n. 3, Revista Educação Matemática Pesquisa, 
2010. Disponível em: <https://revistas.pucsp.br/index.php/emp/
article/view/5167>. Acesso em: 13 out. 2018.
Nesse artigo o autor apresenta a teoria de desenvolvimento do 
pensamento geométrico de Van Hiele e discute algumas de suas 
implicações para o ensino e a aprendizagem da Geometria.
 Sugestões de jogos e outras atividades
Neste tópico, apresentamos sugestões de jogos e outras 
atividades, separadas por ano e com a indicação da Unidade 
do Livro do Estudante em que elas podem ser utilizadas. Ao 
final desta seção apresentamos algumas orientações didáticas 
para o trabalho com essas propostas.
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XXXVIIMANUAL DO PROFESSOR - PARTE GERAL
6º ano – Unidade 2
Jogadores
• 2 jogadores. 
Material
• Papel e duas canetas de cores diferentes.
Regras
• Determinem quem vai ser o primeiro e quem vai ser o segundo jogador.
• O primeiro jogador começa desenhando uma região fechada qualquer; em seguida, o segundo jogador desenha, com a caneta 
de outra cor, uma região que seja vizinha àquela, mas que não a englobe nem a toque em apenas um ponto:
Vizinhança permitida Vizinhanças não permitidas
• Os jogadores alternam-se preenchendo as regiões até que cada um tenha desenhado 5 regiões.
• Em seguida, os jogadores decidem quem começará a distribuir 100 pontos entre suas regiões, alternadamente. Por exemplo, 
o primeiro jogador escreve 30 em uma de suas regiões, e o segundo escreve 20 em uma das regiões dele, até que fiquem 
sem pontos, ou seja, que tenham distribuído 100 pontos cada. Não é obrigatório que todas as regiões de um jogador tenham 
pontos em seu interior. 
• Em seguida, começa a fase de ataque: o primeiro jogador escolhe uma região do adversário para atacar e calcula a soma dos 
pontos das suas regiões que são vizinhas ao território atacado. Se essa soma for maior que os pontos da região atacada, essa 
região é eliminada (marca-se um X sobre ela). Acompanhe o exemplo:
15
10
40
25
20
35
25
510
15
X
 O jogador que tem as regiões de cor azul decidiu atacar a região do adversário que tem 40 pontos. Como a soma dos pontos 
das regiões em azul que são vizinhas da região atacada totaliza 70 pontos (25 1 35 1 10 5 70), e como 70 é maior que 
40, essa região do adversário é eliminada.
• Se a soma dos pontos das regiões que atacam for igual ou menorque os pontos da região atacada, nada acontece e o jogador 
passa a vez.
• A partida termina quando não for mais possível aos jogadores eliminar território adversário.
Vence quem, ao final da partida, tiver o maior número de regiões que não foram eliminadas. Em caso de empate, o vencedor será 
quem tiver ao todo mais pontos em suas regiões que não foram marcadas com X.
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Batalha das regi›es
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XXXVIII MANUAL DO PROFESSOR - PARTE GERAL
6º ano – Unidade 4
Neste jogo, você e os colegas devem registrar nove números distintos de 1 a 50 em um tabuleiro. Em seguida, cada um, na 
sua vez, deve observar os números sorteados em dois dados e verificar se um desses números, ou a soma deles, é divisor de 
um dos números registrados no tabuleiro.
Jogadores
• Grupos de 2, 3 ou 4 jogadores.
Material
• Caneta ou lápis grafite.
• 2 dados comuns.
• Folha de papel e régua para fazer o tabuleiro (1 tabuleiro para cada jogador).
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Thinkstock/Getty Images
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Como fazer o tabuleiro
Regras
• Antes de começar a partida, cada jogador deve preencher as casas de seu tabuleiro com nove números distintos de 1 a 50 e 
colocar o tabuleiro à sua frente, para que os outros jogadores possam vê-lo.
• Os jogadores devem decidir quem começa a partida e combinar uma ordem de jogadas, alternando-se em cada rodada.
• Cada jogador, na sua vez, deve lançar os dados e observar os números obtidos. Em seguida, o jogador da vez deve verificar 
se um dos números de seu tabuleiro é divisível por um dos números obtidos no dado ou pela soma deles. Caso isso aconteça, 
o número do tabuleiro deve ser riscado.
Por exemplo: se o jogador da vez tem o número 35 registrado em seu tabuleiro e obteve nos dados os números 5 e 2, ele 
pode riscar o número 35, pois a divisão de 35 por 5 é exata (35 : 5 5 7). Observe que o número 35 também poderia ser 
dividido pela soma dos números obtidos nos dados, 5 1 2 5 7, pois 35 : 7 5 5.
• Em cada rodada, o jogador da vez deve riscar apenas um número de seu tabuleiro, caso seja possível.
• Se o jogador da vez não conseguir riscar nenhum dos números disponíveis em seu tabuleiro, ele deve passar a vez ao próximo 
jogador da rodada.
Vence a partida o jogador que riscar primeiro todos os números de seu tabuleiro.
Jogo dos divisores
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XXXIXMANUAL DO PROFESSOR - PARTE GERAL
7º ano – Unidade 1
Jogadores
• Grupos de 2 ou 3 alunos.
Material 
• folhas de papel-cartão azul, vermelho e branco.
• 1 dado comum.
• Canetinhas azul e vermelha.
Como fazer
• Utilize os papéis-cartão azuis e vermelhos para montar as cartas coloridas. Cada grupo vai precisar de 60 retângulos azuis e 
60 retângulos vermelhos, todos de mesmo tamanho.
• Utilize o papel-cartão branco para montar um dado de seis faces. Com as canetinhas, pinte três faces do dado de azul e as 
outras três de vermelho.
Regras
• Cada carta azul representa 11 ponto, e cada carta vermelha representa 21 ponto. Uma carta azul juntamente com uma carta 
vermelha “anulam-se”, ou seja, correspondem a zero ponto. 
• Os jogadores devem formar 2 montes no centro, um com as cartas azuis e o outro com as cartas vermelhas, e decidir quem 
começa a partida.
• Na sua vez, o jogador deve lançar os 2 dados ao mesmo tempo. Depois, ele deve retirar do monte o número de cartas azuis ou 
vermelhas de acordo com a cor obtida no dado colorido e o número obtido no dado comum. Por exemplo, se o jogador da vez obteve 
a cor vermelha em um dado e, no outro, o número 5, ele deve retirar 5 cartas vermelhas do monte, correspondendo ao número 25.
• Ao final de cada rodada, cada jogador deve juntar as cartas que obteve e calcular o número de pontos. 
Vence o jogo quem conseguir mais pontos ao final de 5 rodadas.
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Batalha numŽrica
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XL MANUAL DO PROFESSOR - PARTE GERAL
7º ano – Unidade 5
Alguns tipos de mosaico são feitos por meio da repetição de padrões geométricos e do uso de simetria para fazer as compo-
sições. Nesta atividade, você terá a possibilidade de compor mosaicos usando dois diferentes tipos de malha.
 
Material
• Folha de papel com malha quadriculada, folha de papel com malha triangular, lápis de cor, caneta hidrográfica e régua.
Construção
 I. Crie um padrão geométrico para ser reproduzido na malha triangular, de modo a obter um mosaico. Use lápis ou canetas 
hidrográficas de diferentes cores para compor o mosaico.
Observe um modelo de padrão geométrico.
Padrão geométrico. Parte do mosaico obtido por meio da repetição do padrão.
 II. Crie um padrão geométrico para ser reproduzido na malha quadriculada, de modo a obter um mosaico. Use lápis ou canetas 
hidrográficas de diferentes cores para compor o mosaico. Observe um modelo de padrão geométrico.
Parte do mosaico obtido por meio da
repetição do padrão.
Padrão geométrico.
III. Compare as composições criadas pelos colegas e verifique a presença de simetria nessas composições. Com auxílio do 
professor, selecione alguns mosaicos para montar um mural na sala de aula.
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Mosaico e simetria
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XLIMANUAL DO PROFESSOR - PARTE GERAL
7º ano – Unidade 8
Jogadores
• Grupos de 4 alunos.
Material
• Cartolina para tabuleiro.
• 1 peão ou marcador.
• 3 moedas.
• 4 fichas de papel indicadas, respectivamente, por P, Q, R e S.
Como fazer tabuleiro e fichas
• Recortar uma tira da cartolina para confeccionar 4 fichas. Em cada ficha, escreva uma 
letra: P, Q, R e S. 
• No restante da cartolina, com o auxílio de uma régua, desenhe o tabuleiro conforme modelo 
ao lado. 
Regras
• O jogo é iniciado com o peão na posição O do tabuleiro.
• Sorteia-se uma ficha para cada jogador com a indicação do ponto final ao qual o peão deve chegar.
• No começo da partida, as 3 moedas são lançadas; para cada moeda, há duas possibilidades:
a) se sair a face “cara”, o peão avança uma unidade para a direita (D).
b) se sair a face “coroa”, ele avança uma unidade para cima (C).
Por exemplo, se sair a sequência cara-coroa-coroa (DCC), o peão avança 1 casa para a direita, 
depois 1 casa para cima e, finalmente, 1 casa para cima, chegando ao ponto Q, conforme 
indicado na figura ao lado.
• Um jogador ganha a partida se o ponto ao qual a peça chegou for o mesmo que o ponto 
indicado na ficha que foi sorteada a esse jogador.
Agora, faça o que é pedido a seguir.
1. Joguem 8 partidas e registrem o nome do ganhador de cada partida e o ponto ao qual o peão chegou. Em seguida, contem 
quantas vezes saiu cada um dos pontos vencedores: P, Q, R e S. 
2. Vamos analisar o jogo. 
a) Reproduza no caderno o quadro a seguir e complete-o com as oito possibilidades de movimento no lançamento das 3 
moedas e a posição final da peça para cada resultado.
 
b) Qual é a probabilidade de um jogador que sorteou a posição P vencer a partida? 
c) E um jogador que escolheu a posição Q? E a posição R? E a S? 
d) Compare as probabilidades dos itens b e c com a resposta da primeira questão. Elas são parecidas? 
O
unidade
P
Q
R
C
D
S
Movimentoda 1a moeda Movimento da 2a moeda Movimento da 3a moeda Posição final
D D D S
D D C R
D C D R
O
unidade
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Jogo das moedas
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XLII MANUAL DO PROFESSOR - PARTE GERAL
8º ano – Unidade 6
Vamos descobrir padrões! Junte-se com outros dois colegas e faça o experimento a seguir. 
Participantes
• 3 participantes.
Material
• 5 tampas circulares de diferentes
tamanhos.
• Barbante.
• Tesoura com pontas arredondadas.
• Régua. 
• Calculadora.
Procedimento
• Cada participante deve copiar o quadro abaixo no caderno. Em seguida, deve identificar cada tampa circular com a numeração 
I, II, III, IV e V. 
Identificação 
da tampa
Medida do comprimento 
da circunferência
Medida do 
diâmetro
 Medida do comprimento da circunferência 
Medida do diâmetro
I
II
III
IV
V
• Primeiro é preciso medir o comprimento da circunferência de cada tampa circular e completar a segunda coluna do quadro 
com essa medida. Para isso, deve-se colocar um barbante contornando a tampa e cortar a sobra, de modo que o barbante 
tenha o comprimento exato dessa circunferência. Depois, deve-se esticar o barbante, medi-lo com uma régua e anotar os 
valores na linha correspondente do quadro. 
• Em seguida, é preciso medir o diâmetro das tampas circulares com auxílio de uma régua, e, novamente, anotar os valores no 
quadro.
• Com auxílio de uma calculadora, deve-se completar a quarta coluna do quadro com o resultado da divisão da medida do com-
primento da circunferência pela medida do diâmetro da circunferência correspondente. 
Sobre os dados preenchidos no quadro, responda: 
1. O que ocorre com a medida do comprimento da circunferência se aumentarmos a medida do diâmetro?
2. Que padrão você observa nos valores da quarta coluna do quadro? Converse com os colegas e o professor.
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O comprimento de uma circunfer•ncia
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XLIIIMANUAL DO PROFESSOR - PARTE GERAL
9º ano – Unidade 4
Junte-se com outro colega e construa uma tabela com os valores aproximados das razões trigonométricas. 
Material
• Papel milimetrado.
• Transferidor. 
• Calculadora. 
• Régua. 
• Lápis. 
Procedimento
• Em uma folha de papel milimetrado, trace triângulos retângulos de modo que um dos catetos tenha uma medida constante e 
o ângulo agudo adjacente a este lado tenha medida variável a, começando com a 5 5° e aumentando de 5° em 5°. 
Veja na figura a seguir a construção de um triângulo retângulo cujo ângulo agudo mede 5°.
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0
1
0
2
0
3
0
4
0
50
60
70
80
• Cada aluno da dupla deve reproduzir o quadro a seguir em seu caderno, acrescentando linhas para valores de a variando de 
5° em 5°. 
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Medida de a
Medida do cateto 
adjacente a a
Medida do cateto 
oposto a a
Medida da 
hipotenusa
sen a cos a tg a
5°
10°
15°
20°
æ
85°
• Meçam o comprimento dos lados de cada um dos triângulos e registrem os valores na tabela.
• Usem uma calculadora para obter os valores de seno, cosseno e tangente do ângulo a para cada valor de a, registrando na 
tabela.
Comparem os valores obtidos de seno, cosseno e tangente dos ângulos construídos nesta atividade com a tabela trigonométrica 
apresentada no livro e verifiquem se houve diferença entre eles.
Tabela de raz›es trigonomŽtricas
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XLIV MANUAL DO PROFESSOR - PARTE GERAL
9º ano – Unidade 5
Neste jogo, você e os colegas devem reunir quatro diferentes informações sobre uma mesma função afim: lei da função, 
gráfico, tabela e zero da função.
Jogadores
• 4 jogadores.
Material
• Cartolina.
• Tesoura com pontas arredondadas.
• Régua.
• Lápis e canetas coloridas.
Como fazer as cartas
Recorte a cartolina e forme 10 conjuntos de 4 cartas, todas de mesmo tamanho. 
Escolha 10 funções afim diferentes e, para cada uma delas, preencha uma carta com um tipo de informação sobre a função: 
lei da função, tabela, gráfico e zero da função. Veja um exemplo de um conjunto de 4 cartas contendo as informações sobre uma 
função escolhida: 
Lei da função
y 5 2x 1 6
Gráfico
x
y
12
24
3
22
Tabela
x y
21 4
0 6
1 8
2 10
Zero da função
x 5 23
Regras 
• Os jogadores devem separar as cartas em 4 montes de acordo com o tipo de informação – lei da função, tabela, gráfico e zero 
da função. As cartas dos montes devem estar viradas para baixo.
• Ao iniciar o jogo, cada jogador deve receber 1 carta de cada monte.
• Na sua vez, um jogador deve escolher um monte e retirar uma carta. Esse jogador pode trocá-la pela carta do mesmo tipo que 
está em sua mão ou descartá-la no centro da mesa, com a face que mostra seu conteúdo voltada para cima.
• Na jogada seguinte, o próximo jogador pode trocar a carta que está no centro da mesa pela carta de mesmo tipo em sua mão 
ou retirar uma carta de um dos montes, podendo descartá-la ou trocá-la pela carta de sua mão.
• Quando as cartas de um dos montes acabar, um jogador pode, na sua jogada, trocar uma carta (do mesmo tipo das que esta-
vam no monte que acabou) pela carta correspondente de um dos outros jogadores.
Vence o jogo aquele que primeiro obtiver as 4 cartas com as informações referentes à mesma função.
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Jogo das fun•›es
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XLVMANUAL DO PROFESSOR - PARTE GERAL
Orientações 
6o ano
Unidade 2
Batalha das regiões
Incentive os alunos a jogar algumas partidas desse jogo, o qual exige o desenvolvimento de estratégias nas etapas de desenho das 
regiões e na distribuição dos pontos nas regiões desenhadas.
De acordo com a configuração do desenho, o jogador deve decidir quais regiões vai atacar, considerando que, na jogada se-
guinte, poderá ser atacado.
Essa alternância faz com que as estratégias elaboradas pelos jogadores criem situações de cálculo envolvendo a adição e 
a subtração de números naturais.
Unidade 4
Jogo dos divisores
Este jogo trabalha não apenas o cálculo mental dos divisores naturais de um número, mas motiva também o uso de estraté-
gia na construção do tabuleiro. Por exemplo, se um jogador preencheu seu tabuleiro com muitos números primos (2, 3, 5, 7, 11, 
13, ...), ele terá menos possibilidades de riscar os números com base no lançamento dos dados; caso tenha marcado o número 
13 no tabuleiro, esse número só poderá ser riscado se sair 1 em um dos dados (não é possível obter soma 13 no lançamento de 
dois dados).
Incentive-os a jogar diversas vezes e verifique se eles percebem esse fato, relacionado ao preenchimento do tabuleiro. Esse 
momento do jogo poderá também ser usado como uma forma de avaliar a compreensão dos alunos sobre múltiplos e divisores 
e fornecer indícios do que precisa ser retomado e esclarecido no trabalho com esse conteúdo.
7o ano
Unidade 1
Batalha numérica
Oriente os alunos sobre como construir o dado colorido em papel-cartão. Caso ache necessário, distribua moldes de um dado 
de seis faces para eles. Esta atividade auxilia a compreensão da adição com números inteiros. Oriente-os a registrar o número 
de cartas retirado em cada rodada e a adição correspondente. Por exemplo: no início do jogo todos os jogadores têm zero ponto. 
Um jogador que tira 3 cartas vermelhas na primeira rodada terá 23 pontos ao final desta, pois 0 1 (23) 5 23. Se na segunda 
rodada esse jogador obtiver 2 cartas azuis, terá 21 ponto ao final dessa rodada, pois (23) 1 (12) 5 21.
Sugira aos alunos que pratiquem o jogo mais de uma vez, para que gradativamente criem estratégias de cálculo mental en-volvendo adição com números inteiros. Esse jogo pode ser explorado em diferentes momentos.
Unidade 5
Mosaico e simetria
Avalie a possibilidade de realizar esta atividade de modo integrado com a disciplina de Arte e incentive os alunos a explorar a 
criatividade para compor os padrões geométricos.
Se julgar oportuno, peça a eles que pesquisem sobre mosaicos produzidos por diferentes povos em diferentes épocas, os 
quais podem servir de releitura para novas composições.
Unidade 8
Jogo das moedas
Este jogo tem por objetivo incentivar os alunos a comparar os resultados obtidos ao realizar as jogadas com as probabilidades deter-
minadas nos itens b e c. Para isso, é esperado que eles joguem muitas vezes e registrem os resultados obtidos para fazer a comparação. 
Oriente os alunos sobre a diferença entre possibilidade e frequência relativa. É possível que, em princípio, eles considerem que todos os 
pontos de chegada P, Q, R e S oferecem ao jogador a mesma probabilidade de vencer o jogo, mas, conforme as partidas se sucedem, eles 
devem perceber que os pontos Q e R são mais frequentemente verificados. Um modo de compreender o motivo disso é observar que, dos 8 
caminhos possíveis após o lançamento de 3 moedas, em 3 deles o ponto de chegada é Q, em outros 3 o ponto de chegada é R, e para cada 
um dos pontos P e S há apenas um caminho para chegar, e todos os caminhos têm a mesma probabilidade de ocorrer.
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XLVI MANUAL DO PROFESSOR - PARTE GERAL
Respostas:
1. Resposta pessoal.
2. a)
Movimento da 1ª moeda Movimento da 2ª moeda Movimento da 3ª moeda Posição final
D D D S
D D C R
D C D R
C D D R
D C C Q
C D C Q
C C D Q
C C C P
b) 
1
8
c) Q: 
3
8
; R: 
3
8
; S: 
1
8
d) Espera-se que os alunos percebam que os valores podem ser próximos, mas a frequência relativa e a probabilidade 
calculada não precisam ser necessariamente iguais. 
8o ano
Unidade 6
O comprimento de uma circunferência
Nesta atividade, os alunos terão a oportunidade de obter valores aproximados para o número p por meio de um experimento.
Comente com os estudantes sobre as limitações inerentes a esse procedimento, por exemplo, os erros no processo de medição.
Atividades dessa natureza permitem que o professor observe como os alunos interagem e interpretam os procedimentos 
descritos. Além disso, permitem observar como os alunos utilizam os instrumentos de medida e, quando necessário, intervir.
Respostas:
1. Espera-se que os alunos percebam que, ao aumentar a medida do diâmetro (d) da circunferência, aumentamos a medida 
do comprimento (c), pois c 5 d ? p.
2. Espera-se que os alunos percebam que os valores são próximos de 3,14.
9o ano
Unidade 4
Tabela de razões trigonométricas
Esta é uma atividade prática de construção de uma tabela trigonométrica que tem como objetivo mostrar as relações entre as 
medidas dos lados do triângulo retângulo e a medida das aberturas dos ângulos internos. Os alunos devem ser informados de que as 
tabelas trigonométricas apresentadas em livros, por exemplo, não são construídas usando este procedimento: elas não são obtidas 
por meio de medições, mas calculadas com base em ferramentas tecnológicas da trigonometria e do cálculo numérico.
Unidade 5
Jogo das funções
Este jogo permite mobilizar os conhecimentos aprendidos pelos alunos sobre a função afim e favorece a associação entre 
diferentes representações de uma função afim, como a lei da função, o gráfico, a tabela com alguns valores de x e os valores de y 
correspondentes, que demanda também o desenvolvimento de habilidades de cálculo mental para a sua obtenção.
Se julgar oportuno, incentive os alunos a jogar diversas vezes e a criar novas cartas com as características de outras funções afim.
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XLVIIMANUAL DO PROFESSOR - PARTE GERAL
 Bibliografia e obras consultadas
ALLEVATO, N. S. G. Associando o computador à resolução de problemas fechados: análise de uma experiência. (Tese de douto-
rado em Educação Matemática). Universidade Estadual Paulista Julio de Mesquita Filho, Rio Claro, 2005.
ARREDONDO, S. C.; DIAGO, J. C. Práticas de Avaliação Educacional. Curitiba: IBPEX; São Paulo: Unesp, 2009.
BORIN, J. Jogos e resolução de problemas: uma estratégia para as aulas de matemática. São Paulo: CAEM/IME-USP, 2004.
BRASIL. Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional (LDB): Lei n. 9.394, de 20 de dezembro de 1996. Brasília: Câmara dos 
Deputados, Edições Câmara, 2011.
. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular. Brasília, DF: 2017. Disponível em: <http://basenacio 
nalcomum.mec.gov.br/a-base>. Acesso em: 13 out. 2018.
. Secretaria de Educação Básica. Diretoria de Currículos e Educação Integral. Diretrizes Curriculares Nacionais da Edu-
cação Básica. Brasília: MEC/SEB/DICEI, 2013.
. Parâmetros Curriculares Nacionais: 3o e 4o ciclos do Ensino Fundamental. Temas transversais, 1998. Disponível em: 
<portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/ttransversais.pdf>. Acesso em: 13 out. 2018.
BROUSSEAU, G. Fundamentos e métodos da didáctica da Matemática. In: BRUN, J. Didáctica das Matemáticas. Lisboa: Instituto 
Piaget, 1996a. p. 35-113.
. Os diferentes papéis do professor. In: PARRA, C.; SAIZ, I. Didática da Matemática: reflexões psicopedagógicas. Porto 
Alegre: Artmed, 1996b.
CAVALCANTI, A. C. S. Educação matemática e cidadania: um olhar através da resolução de problemas. (Tese de doutorado). 
UFPB, 2010. Disponível em: <https://repositorio.ufpb.br/jspui/handle/tede/4910>. Acesso em: 13 out. 2018.
CAZORLA, I.; SANTANA, E. Do tratamento da informação ao letramento estatístico. Itabuna: Via Litterarum, 2010.
CHARNAY, R. Aprendendo com a resolução de problemas. In: PARRA, C.; SAIZ, I. Didática da Matemática. Porto Alegre: Artmed, 
2009.
COLAÇO, V. de F. R. Processos interacionais e a construção de conhecimento e subjetividade de crianças. Psicologia: reflexão 
e crítica. Porto Alegre, v. 17, n. 3, p. 333-340, 2004.
CONTRERAS, L. C.; CARRILLO, J. Diversas concepciones sobre resolución de problemas en el aula. Educación Matemática. 
v. 10, n. 1, p. 26-37. 1998.
COXFORD, A. F.; SHULTE, A. P. As ideias da álgebra. São Paulo: Atual, 1995.
D’AMBRÓSIO, U. Educação Matemática: da teoria à prática. Campinas: Papirus, 2001. (Coleção Perspectiva em Educação Ma-
temática).
DAMIANI, M. F. Entendendo o trabalho colaborativo em educação e revelando seus benefícios. Educar, Curitiba, n. 31, p. 213- 
-230, 2008. Disponível em: <http://www.scielo.br/pdf/er/n31/n31a13>. Acesso em: 13 out. 2018.
DEVLIN, K. O gene da Matemática. Rio de Janeiro: Record, 2004.
FAUVEL, John; MAANEN Jan van (Ed.). History in Mathematics Education. The ICMI Study. Kluwer Academic Publishers, 2000.
FAZENDA, I. C. A. Integração e interdisciplinaridade no ensino brasileiro: efetividade ou ideologia. São Paulo: Loyola, 2011.
GRANDO, R. C. O conhecimento matemático e o uso de jogos na sala de aula. (Tese de doutorado). Campinas: Uni-
camp, 2000. Disponível em: <http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/arquivos/File/2010/artigos_teses/2010/Ma 
tematica/tese_grando.pdf>. Acesso em: 13 out. 2018.
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XLVIII MANUAL DO PROFESSOR - PARTE GERAL
JEONG, H.; CHI, M. T. H. Construction of shared knowledge during collaborative learning. In: HALL, R.; MIYAKE, N.; ENYEDY, J. 
(Ed.). International Conference on Computer Support for Collaborative Learning 2. Toronto: Annals, 1997. p. 1-5.
KAMII, C.; LIVINGSTON, S. J. Desvendando a Aritmética: implicações da teoria de Piaget. Campinas: Papirus, 2001.
KRULIK, S.; REYS, R. E. A resolução de problemas na matemática escolar. São Paulo: Atual, 2010.
LARA, I. C. M. Jogando com a matemática de 5a a 8a série. São Paulo: Rêspel, 2003.
LINS, R. C.; GIMENEZ, J. Perspectivas em aritmética e álgebra para o século XXI. Campinas: Papirus, 1997.
LOPES, C. A. E. A probabilidade e a estatísticano ensino fundamental: uma análise curricular. Campinas: Unicamp, 1998.
LUCKESI, C. C. Avaliação colocada em teste. Entrevista concedida à Aprender a Fazer, publicada em IP – Impressão Pedagógica, 
publicação da Editora Gráfica Expoente, Curitiba, PR, n. 36, 2004, p. 4-6. Disponível em: <https://www2.escolainterativa.com.
br/canais/19_impressao_pedagogica//IP/IP_36.pdf>. Acesso em: 13 out. 2018.
MACEDO, L.; PETTY, A. L. S.; PASSOS, N. C. 4 cores, senha e dominó. São Paulo: Casa do Psicólogo, 1997.
MIGUEL, A. et al. História da Matemática em atividades didáticas. São Paulo: Livraria da Física, 2009.
MIORIM, M. A. Introdução à História da Educação Matemática. São Paulo: Atual, 1999.
MOYSÉS, L. Aplicações de Vygotsky à Educação Matemática. Campinas: Papirus, 2007.
NUNES, T. et al. Educação Matemática: números e operações numéricas. São Paulo: Cortez, 2005.
ONUCHIC, L. R. Ensino-aprendizagem de Matemática através da resolução de problemas. In: BICUDO, M. A. V. (Org.). Pesquisa 
em educação matemática: concepções e perspectivas. São Paulo: Unesp, 1999. p. 199-218. (Seminários & Debates).
PAVANELLO, R. M.; NOGUEIRA, C. M. I. Avaliação em matemática: algumas considerações. Revista Estudos em Avaliação Edu-
cacional. São Paulo, v. 17, n. 33, p. 29-42, jan./abr. 2006.
PERRENOUD, P.; THURLER, M. G. Competências para ensinar no século XXI: a formação dos professores e o desafio da avaliação. 
Porto Alegre: Artmed, 2002.
PIAGET, J. Para onde vai a educação? Rio de Janeiro: José Olympio, 2011.
PINTO, N. B. Marcas históricas da matemática moderna no Brasil. Revista Diálogo Educacional. Curitiba, v. 5, n. 16, 
p. 25-38, set./dez. 2005.
POLYA, G. A arte de resolver problemas. Rio de Janeiro: Interciência, 1995.
SALVADOR, C. C. Aprendizagem escolar e construção do conhecimento. Porto Alegre: Artmed, 1994.
SKOVSMOSE, O. Towards a Philosophy of Critical Mathematics Education. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1994.
SOUZA FILHO, M. L. Relações entre aprendizagem e desenvolvimento em Piaget e Vygotsky: dicotomia ou compatibilidade? 
Revista Diálogo Educacional. Curitiba, v. 8, n. 23, p. 265-275, jan./abr. 2008. Disponível em: <https://periodicos.pucpr.br/index.
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TOMAZ, V. S. Práticas de transferência de aprendizagem situada em uma atividade interdisciplinar. Belo Horizonte: UFMG, 2007.
TOMICIOLI, R. C. B.; DONATONI, A. R. Avaliação formativa: ilusão ou realidade possível? In: DONATONI, A. R. (Org.). Avaliação 
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VASCONCELLOS, C. dos S. Avaliação: concepção dialética-libertadora do processo de avaliação escolar. São Paulo: Libertad, 1993.
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1MANUAL DO PROFESSOR 
Fausto Arnaud Sampaio
Licenciado em Matemática pela Universidade Estadual 
de Campinas (Unicamp-SP)
Especialista em Educação Matemática pela Universidade 
Estadual de Campinas (Unicamp-SP)
Professor da rede particular de ensino
1ª edição
São Paulo, 2018
naud Sampaio
Licenciado em Matemática pela Universidade Estadual 
Especialista em Educação Matemática pela Universidade 
Estadual de Campinas (Unicamp-SP)
Professor da rede particular de ensino
Trilhas
da Matem‡tica
Componente curricular: 
MATEMÁTICA
Ensino Fundamental: 
ANOS FINAIS
6
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2 MANUAL DO PROFESSOR
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Julia do Nascimento - Bibliotecária - CRB - 8/010142
2018
Código da obra CL 820680
CAE 631757 (AL) / 631758 (PR)
1a edição
1a impressão
Impressão e acabamento
 
Sampaio, Fausto Arnaud 
 Trilhas da matemática, 6º ano : ensino fundamental, anos 
finais / Fausto Arnaud Sampaio. -- 1. ed. -- São Paulo : 
Saraiva, 2018. 
 
Suplementado pelo manual do professor. 
Bibliografia. 
ISBN: 978-85-472-3665-6 (aluno) 
ISBN: 978-85-472-3666-3 (professor) 
 
 
1. Matemática (Ensino fundamental). I. Título. 
 
 
2018-0045 CDD: 372.7 
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3MANUAL DO PROFESSOR
Apresenta•‹o
Caro aluno,
A Matemática é parte da cultura humana e tem uma história de milhares de anos.
Ela contribui para a formação cidadã e o desenvolvimento do raciocínio lógico – 
crucial para o exercício de qualquer atividade humana. Além disso, a Matemática oferece 
ferramentas para as ciências investigarem os mais diversos fenômenos, contribuindo 
direta ou indiretamente para o avanço tecnológico.
A Matemática é a base sobre a qual se apoiam as ciências aplicadas: pense em qual-
quer aparelho eletrônico de seu dia a dia (DVD, rádio, televisor, computador, telefone 
celular, etc.) e poderá verificar que todos incorporam princípios científicos que, em 
última análise, dependem da Matemática para sua compreensão.
Com o estudo da Matemática, você pode descobrir a resposta para diferentes 
perguntas, por exemplo: “Como os números são escritos nos computadores? Como 
é possível calcular a altura de um prédio com um transferidor e uma trena? Por que 
devemos ser cautelosos com as conclusões de pesquisas divulgadas na mídia?”, entre 
muitas outras questões.
Esperamos que esta coleção de Matemática:
• proporcione a você um caminho de busca e investigação;
• favoreça seu desenvolvimento visando à formação de um cidadão consciente de 
seu papel na sociedade;
• possibilite a você reconhecer a importância da Matemática na “sociedade da 
informação” em que vivemos; e
• incentive sua atração na construção do futuro de nosso país.
Um grande abraço,
O autor.
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4 MANUAL DO PROFESSOR
4
Conheça seu livro
Este livro está organizado em Unidades e capítulos. O desenvolvimento dos temas foi distribuído em 
diferentes seções, cada uma delas com a finalidade específica a seguir.
Desvendando enigmas
Nesta seção é proposta 
uma situação-problema quedenominamos enigma, cujo objetivo 
é utilizar os conceitos explorados 
na Unidade para resolvê-la.
3U
N
ID
A
D
E
Nesta Unidade você vai estudar
 Figuras geométricas espaciais 
 Figuras geométricas planas
 Ângulos e retasGeometria
Existe uma arte milenar, conhecida como 
origami, que consiste em representar seres e 
objetos por meio de dobraduras em papel. A 
palavra origami vem do japonês oru, ‘dobrar‘, 
e kami, ‘papel‘.
Ao realizar dobraduras em uma folha de pa-
pel, obtemos diferentes formas que lembram 
figuras geométricas.
Acredita-se que o papel e a arte de dobrá-lo 
para fazer esculturas tenham surgido no mesmo 
período, na China, no ano 105 d.C.
Trocando ideias
Observe as imagens, leia o texto e responda às questões.
1. O texto apresenta diferentes características relacionadas às técnicas de dobradura conhecidas 
como origami, kirigami e kirikomi origami. Quais são essas características? Você já conhecia 
essa diferenciação? 
2. Em sua opinião, as estruturas feitas com base na técnica de origami apresentadas nas ima-
gens lembram objetos do dia a dia? As formas que compõem essas estruturas dão ideia de 
figuras geométricas? 
3. Você sabe construir alguma estrutura usando a técnica de origami? Em grupos, pesquisem como 
construir e construam algumas estruturas usando essa técnica. Em seguida, montem uma exposição 
dos trabalhos realizados, explicando, passo a passo, como construir as estruturas pesquisadas. 
Não escreva no livro!
Tsuru é uma ave do Japão. 
Ela simboliza a saúde, a 
longevidade, a felicidade e a 
fortuna. Os japoneses costumam 
fazer a dobradura que lembra 
o tsuru quando desejam algo, 
como a cura de uma doença.
74 75
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A partir do século VII, o método de fabricação de papel se espalhou para outros países asiáticos, assim 
como a técnica de fazer dobraduras em papel, que chegou ao Japão, onde foi desenvolvida. 
No século VIII, no Japão, as dobraduras faziam parte de cerimônias religiosas e foram criadas regras 
rígidas para realizar a técnica de dobrar papel. Essas regras proibiam que as folhas de papel fossem cor-
tadas ou coladas, em respeito aos espíritos das árvores que davam vida ao papel.
Com o tempo, essas regras foram amenizadas e novas técnicas, como o kirigami e o kirikomi ori-
gami, foram desenvolvidas. No kirigami, as esculturas são feitas com pequenos pedaços de papel em 
vez de usar uma única folha de papel. No kirikomi origami, pode-se também usar a cola.
Devido ao alto custo do papel, até o século XIX apenas os adultos praticavam essa arte. A partir de 
1876, quando o origami passou a fazer parte da educação dos japoneses nas escolas, isso começou a 
mudar.
Fonte de pesquisa: <http://mundoestranho.abril.com.br/materia/como-surgiu-o-origami>. Acesso em: 5 set. 2018.
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5. O valor de um símbolo é multiplicado por 1 000 quando há uma barra
horizontal sobre ele.
Exemplos:
• V → 5 � 1 000 � 5 000 
• XIV → 14 � 1 000 � 14 000
• MXX → 1 020 � 1 000 � 1 020 000 
Ainda hoje, utilizamos o sistema de numeração romano em algumas re-
presentações. Observe os exemplos a seguir.
Em marcadores 
de relógio.
Em marcadores Para indicar volumes de 
coleções de livros.
Em nomes de ruas e avenidas.
Usando símbolos 
romanos, escreva, no 
caderno, o ano em 
que você nasceu. 
Observe as fotografias 
ao lado e, no caderno, 
responda às questões. 
a) Os ponteiros do
relógio apontam
para quais números?
b) Quais números
aparecem nos livros
da fotografia?
c) Qual é o número
que aparece no
nome da rua? 
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3. Escreva como são lidos os números representados a seguir.
a) LXIV
b) LXIX
c) CXXXII
d) CCXVII
e) CDII
f) DXLI
g) DCCCLVI
h) MI 
4. Responda às questões a seguir usando números escritos no sistema de numeração romano.
a) Em que ano nasceu uma pessoa que hoje está completando 20 anos de idade?
b) Em que ano você fará 20 anos de idade? 
5. Milena e Rodrigo fizeram afirmações sobre números escritos no sistema de numeração romano.
Classifique cada afirmação como verdadeira ou falsa, justificando as respostas.
Resolução
– Para a afirmação feita por Milena, podemos comparar, por exemplo, os números treze e cinquenta.
Temos que cinquenta (L) é maior do que treze (XIII), mas utiliza menos símbolos em sua representação.
Assim, verificamos que a afirmação de Milena é falsa.
– Para a afirmação feita por Rodrigo, podemos considerar, por exemplo, o número quatro (IV).
Se alterarmos a ordem dos símbolos, obtemos a representação do número seis (VI). Portanto, a afir-
mação de Rodrigo também é falsa.
Quanto maior o número, 
mais símbolos romanos 
precisamos utilizar para 
representá-lo.
Se trocarmos a 
ordem dos símbolos, o 
número representado 
nunca se altera.
Atividades Não escreva no livro!
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As imagens não 
estão representadas 
em proporção.
12 Unidade 1 Sistemas de numeração e números naturais
Trabalhando com a informação Não escreva no livro!
Gráfico de setores
Apresentando a situação
Leia o texto a seguir sobre a participação das mulheres na pesquisa científica no Brasil.
Os desafios da mulher na ciência e na inovação
Homens 51%
Mulheres 49%
a b
Dados obtidos em: <http://agenciabrasil.ebc.com.br/ 
pesquisa-e-inovacao/noticia/2017-06/brasil-e- 
portugal-tem-maior-percentual-de-mulheres-na- 
producao>. Acesso em: 3 out. 2018.
Cientistas no Brasil em 2017
Homens 80%
Mulheres 20%
a
b
Dados obtidos em: <http://agenciabrasil.ebc.com.br/
pesquisa-e-inovacao/noticia/2017-06/brasil-e-portugal-
tem-maior-percentual-de-mulheres-na-producao>. 
Acesso em: 3 out. 2018.
Cientistas no Japão em 2017
Um estudo sobre a participação dos gêneros na pesquisa cientí-
fica nos últimos 20 anos, publicado em 2017 pela editora Elsevier, 
mostrou que o número de mulheres pesquisadoras e inovadoras tem 
aumentado em todo o mundo. No Brasil, de acordo com a publicação, 
o número de pesquisadoras já corresponde a 49% do total, o maior 
percentual entre todos os países pesquisados, junto com Portugal.
No entanto, segundo a cientista e professora da Universidade 
de Brasília, Taís Gratieri, esses números, apesar de positivos, mas-
caram que, na prática, as mulheres na ciência brasileira enfrentam 
problemas históricos, como a sub-representação e a falta de prestí-
gio como cientistas.
Disponível em: <http://www.inpi.gov.br/noticias/mulheres-e-inovacao- 
perpectivas-de-cientistas-brasileiras>. Acesso em: 3 out. 2018.
O texto mostra que o número de mulheres cientistas, em 2017, 
correspondia a 49% do total. Para compreender melhor essa infor-
mação, podemos representá-la num gráfico de setores, como este ao 
lado. Nesse gráfico, o título "Cientistas no Brasil em 2017" identifica 
o seu conteúdo e o ano ao qual ele corresponde. Do lado direito, há 
a legenda, que relaciona a porcentagem de mulheres e de homens 
cientistas em relação ao total de cientistas no Brasil com os dois seto-
res do gráfico. Abaixo do gráfico, pode-se verificar a fonte dos dados 
utilizados para construí-lo.
Observando o gráfico, podemos notar que a distribuição dos 
cientistas entre homens e mulheres é quase igualitária, pois as duas 
regiões do gráfico possuem quase o mesmo tamanho. Porém, a re-
gião correspondente aos homens é ligeiramente maior, já que o ân-
gulo β é ligeiramente maior do que o ângulo a, o que indica que os 
homens ainda são maioria na pesquisa científica.
O texto ainda afirma que Brasil e Portugal são os países que pos-
suem o maior percentual de mulheres cientistas. O país que apresen-
ta o menor percentual de mulheres na pesquisa científica é o Japão, 
como podemos observar no gráfico ao lado.
Por esse gráfico, podemos observar que o setor circularcorres-
pondente à quantidade de cientistas homens é bem maior do que a 
região correspondente à quantidade de mulheres, pois o ângulo β é 
bem maior do que o ângulo a. A diferença apresentada pelos grá-
ficos pode se dar por diversos fatores, como a cultura dos países.
Organizando os dados
Além de comparar a diferença entre a quantidade de 
pesquisadoras e pesquisadores brasileiros, podemos consi-
derar a distribuição desses profissionais entre as áreas do 
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277Capítulo 17 Perímetro, área e volume
Lei de Murphy: “Se algo pode dar errado, vai dar errado”
A torrada escorrega da sua mão justamente com a manteiga para baixo, o tem-
po vira só porque você saiu sem guarda-chuva, e o seu carro parece ser o fator 
determinante para a fila andar mais devagar. Existem dias em que, independen-
temente do que seja feito, as circunstâncias parecem estar dispostas a torná-lo 
vítima da lei de Murphy. Será mesmo que, se algo pode dar errado, dará, e de 
modo a causar o maior estrago possível? Pode ficar aliviado, a ciência garan-
te que está tudo na sua cabeça: não há provas concretas que confirmem os 
adágios de Murphy.
Adágio: sentença 
moral de origem 
popular; ditado, 
provérbio.
 Saiba mais Não escreva no livro!
Fatia de pão que caiu com o lado da 
geleia para baixo.
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Deu errado
Em 1949, o médico militar John Stapp realizou um experimento 
na base Edwards da força aérea americana, na Califórnia, a fim de 
testar o impacto da gravidade sobre o corpo humano em casos de aci-
dente. Para medir a força do impacto, o engenheiro espacial Edward 
Murphy Jr. acoplou quatro sensores ao aparelho, uma espécie de tre-
nó que corria em trilho. Ironicamente, o engenheiro acabou vítima do 
azar: ao fim do experimento, descobriu-se que seu assistente tinha 
afixado todos os contadores ao contrário, o que zerou os valores re-
gistrados. Irritado, Murphy teria pronunciado a famosa máxima: “Se 
existem duas ou mais maneiras de fazer algo, e uma dessas maneiras 
pode terminar em desastre, alguém irá adotá-la”.
[...]
Matematicamente testado e... reprovado
Essencialmente, a Lei de Murphy prevê o resultado final de situações hipotéticas – o que envolve pro-
babilidade [...]. No entanto, a ciência não fornece nenhuma prova concreta de que o princípio tenha uma 
fundamentação que comprove sua validade. “O principal motivo pelo qual nos identificamos com a Lei de 
Murphy é que as situações em que houve uma falha no que estava previsto são lembradas por um longo 
período – especialmente as que têm consequências desagradáveis –, enquanto as situações que transcorrem 
sem qualquer imprevisto são esquecidas”, diz o professor Carlos Hoppen, do departamento de Matemática 
Pura e Aplicada da Universidade Federal do Rio Grande do Sul (UFRGS).
CARTOLA – Agência de Conteúdo. Tudo tende a dar errado? Saiba o que diz a ciência sobre a Lei de Murphy. 
Disponível em: <http://www.terra.com.br/noticias/educacao/infograficos/lei-de-murphy-vc-sabia>. Acesso em: 17 set. 2018.
Para explorar
1. Muitas versões da lei de Murphy podem ser explicadas com base no raciocínio lógico. Identifique a 
alternativa que melhor explica a afirmação apresentada.
 Os objetos perdidos estão sempre no último lugar onde os procuramos
a) O último lugar em que procuramos sempre é o de mais difícil acesso, então, os objetos perdidos 
devem se encontrar lá.
b) Não faz sentido continuar a procurar um objeto se já o encontramos. Então, ele sempre é encon-
trado no último lugar em que o procuramos. 
2. O professor Carlos Hoppen oferece uma explicação para justificar por que tantas pessoas dão credi-
bilidade à lei de Murphy. Você concorda com a explicação? Justifique sua resposta. 
308 Unidade 8 Probabilidade e Estatística
O enigma do avião
Natália trabalha em uma companhia de táxi aéreo e pilota um monomotor. Ela viaja com frequência para 
várias cidades do Brasil e, na semana passada, demonstrou muita calma e perícia ao fazer um pouso de 
emergência em uma pista na zona rural de uma cidade. Apesar do susto, ninguém se feriu e não houve 
danos ao avião.
Sabe-se que o pouso forçado ocorreu por falta de combustível, de modo que a empresa proprietária do 
avião está realizando uma investigação para saber se a falha foi mecânica, relacionada a consumo desregu-
lado de combustível, ou se houve problema na hora de abastecer o tanque do monomotor.
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A distância entre as 
duas cidades é de 
375 quilômetros. Confira, 
por favor, o plano de voo.
Sim. Confere. E a 
distância até a pista de 
pouso mais próxima 
do destino é de 
50 quilômetros.
Como medida de segurança, a equipe que abastece as aeronaves faz esse serviço colocando uma quanti-
dade maior de combustível do que o necessário para realizar o trajeto definido no plano de voo.
Nesse caso, além de combustível a ser gasto na viagem principal, para uma eventual emergência acres-
centa-se combustível necessário para chegar à pista de pouso mais próxima do destino; e também uma 
quantidade de combustível para 45 minutos adicionais de voo.
¥ Com base nas informações do texto e da imagem, responda: O monomotor foi abastecido com quan-
tidade insuficiente de combustível, de acordo com o recomendado, ou ocorreu algum problema de 
consumo da própria aeronave? 
Desvendando enigmas Não escreva no livro!
276 Unidade 7 Grandezas e medidas
Trabalhando com 
a informação
Aborda assuntos relacionados 
à leitura de gráficos e tabelas e 
outros relacionados a Estatística 
e Probabilidade.
Saiba mais
A seção apresenta textos 
diversificados que abordam 
conteúdos relacionados ao 
tema da Unidade sob outras 
perspectivas.
Nesta Unidade 
você vai estudar
Apresenta os principais 
conteúdos desenvolvidos 
na Unidade.
Desenvolvimento
Os conteúdos apresentados 
são desenvolvidos por meio 
de textos, acompanhados 
de figuras, esquemas, 
diagramas, fluxogramas, 
tabelas e gráficos.
Os boxes ao longo do texto 
trazem questionamentos 
que motivam debates entre 
a turma e o professor.
Atividades
Nesta seção, em 
geral, trabalha-se o 
conteúdo de maneira 
mais direta. Há 
também problemas 
resolvidos, que 
trazem exemplos 
de estratégias para 
a resolução de 
atividades.
Abertura da 
Unidade
Cada Unidade é 
iniciada com uma 
dupla de páginas 
que apresenta um 
tema relacionado 
ao conteúdo em 
estudo. As questões 
do boxe Trocando 
ideias motivam uma 
discussão inicial.
Propriedades da adição
A adição apresenta propriedades que, quando aplicadas, podem facilitar 
o cálculo de expressões numéricas e o cálculo mental.
Comutativa
 
Em uma adição de dois números naturais, a ordem das parcelas não altera 
a soma.
Essa é a propriedade comutativa da adição.
Exemplos:
• 443 1 257 5 700; 257 1 443 5 700 • 511 1 100 5 100 1 511 5 611
Elemento neutro
A soma de um número natural com zero é igual ao próprio número. 
O zero é o elemento neutro da adição.
Exemplos:
• 13 1 0 5 13 • 0 1 28 5 28 • 15 5 0 1 15 
Associativa
Em uma adição de três ou mais números naturais, a forma de associar as 
parcelas não altera a soma. 
Essa é a propriedade associativa da adição.
Exemplo:
Veja dois modos de calcular 443 1 257 1 182 associando essas parcelas 
de diferentes formas.
(443 1 257) 1 182 5
5 700 1 182 5
5 882
443 1 (257 1 182) 5
5 443 1 439 5
5 882
Portanto: (443 1 257) 1 182 5 443 1 (257 1 182) 5 882
Se 318 1 164 5 482, 
responda no caderno:
a) Qual é o resultado 
de 164 1 318? 
b) Que cálculo você 
fez para responder 
à pergunta do item 
anterior? Justifique 
sua resposta. 
Sobre a adição 
79 1 6 1 34, 
responda no caderno:
a) Use parênteses para 
indicar dois modos 
de calcular 
79 1 6 1 34associando essas 
parcelas de 
diferentes formas. 
b) Para calcular 
mentalmente o valor 
de 79 1 6 1 34, qual 
é a melhor forma 
de associar essas 
parcelas? Explique. 
Atividades Não escreva no livro!
 10. Calcule o resultado de cada adição cujas parcelas 
são: um número da fileira vertical e um número da 
fileira horizontal. Veja no exemplo destacado que 
176 1 368 5 544.
 11. Cada representação a seguir sugere uma adição. Analise a sequência de figuras e escreva no ca-
derno, uma adição que pode representar cada caso. Depois, identifique a propriedade da adição 
que relaciona cada adição representada.
a) b) 
1 84 368 892 3 476
19
176 544
987
1 508
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37Capítulo 3 Adição e subtração
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5MANUAL DO PROFESSOR
5
(Obmep) Carlinhos completou 5 voltas e meia correndo ao longo de uma pista circular. Em seguida, inver-
teu o sentido e correu mais quatro voltas e um terço, faltando 40çmetros para chegar ao ponto de início. 
Quantos metros tem essa pista de corrida?
a) 48 b) 120 c) 200 d) 240 e) 300
Entendendo o problema
Quais informações são importantes para a resolução desta atividade?
O objetivo da atividade é determinar quantos metros tem a pista que Carlinhos corre. Sabemos que Car-
linhos saiu de um ponto de início da pista e correu 5çvoltas inteira mais 1
2
 volta da pista circular. Em se-
guida, correu ainda 4 voltas inteiras mais 1
3
 de volta da pista circular no sentido contrário. Com isso, ficou 
40 metros distante do ponto em que iniciou a corrida. 
Elaboração de uma estratégia
Elaborar um esquema representando a pista e as frações de volta correspondentes a cada corrida que Car-
linhos fez.
Analisar os dados do problema e verificar as relações existentes entre eles, determinando a medida de com-
primento da pista. 
Execução da estratégia
Observe ao lado o esquema da pista de corrida onde Carlinhos foi. 
Vamos supor que ele estava no ponto A quando iniciou a corrida, 
no sentido horário. 
Depois de correr 5 voltas e meia, Carlinhos inverteu o sentido no 
ponto B. Ele deu 4 voltas completas mais 1
3
 de volta e chegou ao 
ponto C, ficando 40 metros do ponto de início (ponto A). 
A distância entre A e B na pista corresponde a 1
2
 da medida de comprimento total da pista e, como 
1
2
1
3
1
6( )2 5 , temos que 
1
6
 da medida de comprimento da pista mede 40 metros. 
Logo, a pista tem 240 metros (40 metros 3 6). (Alternativa d.) 
É a sua vez!
(Obmep) André, Bernardo e Carlos retiraram, respectivamente, 1
2
, 2
7
, 1
14
 do total de doces de um pacote.
a) Quem retirou o menor número de doces?
b) A quantidade de doces que restou no pacote corresponde a que fração do total?
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Análise da resolução
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192 Unidade 5 Frações
Atividades complementares Não escreva no livro!
1. A cunha é uma das mais antigas ferramentas usadas pela humanidade 
para cortar pedras, árvores e outros objetos.
Com base nas imagens ao lado, responda às questões a seguir.
a) A cunha lembra qual sólido geométrico? 
b) Quantos vértices, arestas e faces tem o poliedro que você identificou 
no item anterior? 
2. O suíço Leonhard Euler (1707-1783) foi um grande matemático. Uma de suas descobertas foi a
relação matemática envolvendo o número de vértices, faces e arestas de um poliedro. Considere 
os poliedros a seguir. Depois, faça o que se pede. 
1 2 3 654
a) Copie, em seu caderno, o quadro indicado a seguir e complete-o.
Poliedro
Nome do 
poliedro
Número de 
vértices (V)
Número de 
faces (F)
Número de 
arestas (A)
V 1 F
1
2
3
4
5
6
b) Compare os números da coluna V 1 F com o número correspondente de arestas de cada po-
liedro. Você identifica alguma regularidade? Qual?
3. O astrônomo alemão Johannes Kepler (1571-1630) ela-
borou um modelo geométrico usando poliedros encai-
xados para explicar as órbitas planetárias em torno do
Sol. Posteriormente, ele deduziu que essas órbitas não
eram circulares, como se acreditava até então.
Observe na imagem ao lado 
um protótipo desse modelo, 
exposto no Museu de Viena.
Escreva, em seu caderno, o nome do poliedro de 6 arestas
cuja forma podemos identificar nessa imagem.
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Prot—tipo: primeiro
tipo; modelo original.
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Cunha.
Réplica do modelo do Sistema Solar de Kepler.
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89Capítulo 6 Figuras geométricas
Nesta Unidade você estudou múltiplos e divisores de um número natural, critérios de divisibilidade, nú-
meros primos e números compostos.
Resolva as questões propostas e, caso tenha alguma dificuldade, retome o conteúdo e esclareça suas 
dúvidas com o professor.
 1. Indique, no caderno, a afirmação incorreta relacionada à igualdade 7 3 13 3 11 5 1 001:
a) 1 001 é divisível por 13.
b) 1 001 é fator de 11.
c) 7 é divisor de 1 001.
d) 1 001 é múltiplo de 77.
e) A divisão de 1 001 por 143 é exata.
 2. Escreva no caderno um número natural que seja múltiplo de 2, divisível por 5 e que o número 3 
seja um de seus divisores.
 3. Acompanhe o fluxograma a seguir.
NÃO NÃO
SIM SIMO resto da 
divisão é igual 
a zero?
O resto da 
divisão é igual 
a zero?
Insira um número 
natural N
Divida N 
por 3
Divida N por 5 N é divisível 
por 
N não é divisível 
por 
INÍCIO
FIM
Qual alternativa mostra o que pode ser escrito em todas as lacunas de modo que o fluxograma 
fique correto?
a) Múltiplo de 3
b) Múltiplo de 5
c) Múltiplo de 8
d) Múltiplo de 15
e) Divisor de 15
Reflita sobre o que você estudou e responda às questões a seguir. 
I. Em quais temas desta Unidade você encontrou mais dificuldades? Você buscou 
auxílio dos colegas ou do professor em relação às dificuldades encontradas? 
Esse auxílio foi suficiente?
II. Elabore um pequeno texto, com base na multiplicação 4 3 5 5 20, sobre a 
relação entre o conceito de múltiplo e o de divisor de um número natural.
III. Construa, no caderno, um fluxograma para identificar se um número natural 
é divisível por 6.
O que aprendi Não escreva no livro!
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157Capítulo 11 Números primos e números compostos
Conhecimento 
interligado
Não escreva no livro!
O ciclo de vida das cigarras
A garantia de existência das espécies em um ecossistema depende de algumas estratégias 
evolutivas que incluem conseguir alimento e livrar-se de seus parasitas. As cigarras são insetos 
que têm um ciclo de vida considerado longo, pois podem viver um período que varia de 2 a 
17 anos, dependendo da espécie. Alguns estudos sugerem que esse ciclo longo pode ser uma 
maneira de fugir de seus possíveis parasitas.
Você conhece o ciclo de vida de uma cigarra?
Parasita: organismo que vive de outro 
organismo, dele obtendo alimento e, não raro, 
causando-lhe dano.
Metamorfose: mudança de forma, natureza e 
estrutura que alguns animais sofrem durante 
seu ciclo de vida.
Metamorfose 
da cigarra.
Depois de 
acasalar, 
a fêmea 
deposita os 
ovos e morre 
em seguida.
Informações obtidas 
em: <https://www.bbc.
com/portuguese/ciencia/
story/2004/05/040513_
cigarrasrg.shtml>. 
Acesso em: 17 jun. 2018.
As ninfas (fase jovem 
da cigarra) caem no 
solo e penetram na 
terra, onde passam 
um longo período, 
alimentando-se da 
seiva das raízes.
Depois de um 
período que varia de 
espécie para espécie, 
cavam túneis até a 
superfície e sobem 
nas árvores.
As ninfas 
sofrem uma 
metamorfose e se 
transformam nas 
cigarras, prontas 
para acasalar e 
recomeçar o ciclo.
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158 Unidade 4 Múltiplos e divisores
Em açãoNão escreva no livro!
Fator de proteção solar (FPS)
Você costuma usar protetor solar para se proteger dos raios solares? Conhece 
a importância desse tipo de cuidado com a pele?
Leia o texto a seguir e entenda um pouco mais sobre o significado dos núme-
ros indicados nos rótulos de protetores solares.
PROTETOR
SOLAR
PROTETOR
SOLAR
PROTETOR
SOLAR
PROTETOR
SOLAR
PROTETOR
SOLAR
O fator de proteção solar representa o tempo a mais que a pele fica pro-
tegida. Por exemplo, se sua pele leva cinco minutos para sofrer os efeitos do 
Sol, ao passar um protetor com fator de proteção solar 15 [(FPS 15)], a pele 
fica protegida por 15 vezes mais tempo (no caso, 75 minutos). O mesmo 
protetor sobre uma pele mais escura, que sofre os efeitos solares após sete 
minutos, protege por 105 minutos. Mas, cuidado. Isso não quer dizer que o 
FPS 60 seja quatro vezes mais poderoso que o FPS 15, mas que ele protege 
por quatro vezes mais tempo.
Mas o que é pele protegida? É aquela que, quando exposta ao sol, não 
apresenta danos visíveis, como vermelhidão e queimaduras. Já a numera-
ção dos protetores é uma convenção internacional regulamentada por ór-
gãos reguladores de medicamentos, como a Anvisa [(Agência Nacional de 
Vigilância Sanitária)]. Os números são definidos em diversos testes. Um 
deles é o da dose mínima de eritema (DME), que é o tempo mínimo para a 
pele ficar vermelha após a exposição. Basicamente, o FPS é determinado ao 
dividir a DME das pessoas que aplicaram protetor no teste pela DME das 
que não passaram. Assim surgem números como 2, 4, 8, 20, 50 etc. [...]
Nathália Braga. Superinteressante. nov. 2012. Disponível em: <https://super.abril.com.br/
comportamento/o-que-sao-os-numeros-fps-no-protetor-solar/>. Acesso em: 15 out. 2018.
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198 Unidade 5 Frações
O software que vamos utilizar nessa seção é o LibreOffice. Ele é um software de licença gratuita que 
pode ser utilizado em diversos conteúdos da Matemática. O LibreOffice pode ser encontrado para 
download no endereço <www.libreoffice.org>. Se precisar de ajuda com a instalação, peça para alguém 
mais experiente.
Construção de gráfico de setores
Mariana fez uma pesquisa com os colegas da sua escola. Perguntou aos colegas das três turmas 
do 6o ano qual esporte eles praticavam. Para essa pesquisa, cada aluno poderia dar como resposta 
apenas um esporte.
Com as respostas que recebeu, Mariana organizou uma tabela.
 Esportes praticados pelos alunos do 6º ano por número de praticantes
Esporte praticado Quantidade de alunos
Futebol 22
Capoeira 23
Judô 14
Voleibol 12
Natação 27
Outros 10
Nenhum 12
Dados elaborador pelo autor.
Depois, Mariana quis exibir essas informações em um gráfico de setores circulares. Para construir esse 
gráfico, utilizou uma planilha eletrônica.
Observe os passos que ela seguiu.
1o passo: Ela digitou a tabela anterior em uma planilha eletrônica. Na coluna B inseriu o título “Esporte 
praticado” e os esportes listados. Na coluna C inseriu o título “Quantidade de alunos” e os números 
de alunos por esporte. Para selecionar toda a tabela, Marina clicou na célula B2 e, segurando o botão 
esquerdo do mouse, arrastou o ponteiro até a célula C8.
Captura de tela mostrando a tabela selecionada.
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Tecnologia digital Não escreva no livro!
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279Capítulo 17 Perímetro, área e volume
Tecnologia digital
Esta seção propõe a utilização 
de recursos e ferramentas 
tecnológicas, como calculadora, 
softwares de Geometria dinâmica 
e de planilhas eletrônicas, 
na resolução de 
situações-problema.
Análise da resolução
Esta seção apresenta problemas 
desafiadores, extraídos de provas e bancos 
de questões de olimpíadas de Matemática. 
A resolução é discutida passo a passo.
Em ação
São propostos temas como cidadania, 
trabalho, consumo, saúde, meio 
ambiente, ética e pluralidade cultural, 
os quais permitem a reflexão sobre as 
próprias atitudes e o posicionamento 
de maneira crítica em relação a eles.
Atividades 
complementares
Nesta seção, as atividades 
são muitas vezes 
contextualizadas com 
situações cotidianas 
que exigem a aplicação 
de diferentes conceitos 
estudados até o momento 
em que aparecem.
Em diversos momentos, 
apresentamos o significado 
de algumas palavras para 
facilitar a compreensão 
dos textos.
Conhecimento interligado
São apresentados temas que 
permitem a conexão entre alguns 
conteúdos matemáticos estudados 
na Unidade e outras áreas do 
conhecimento.
O que aprendi
Esta seção traz 
atividades que criam 
a oportunidade 
de rever o que foi 
estudado e refletir 
sobre as dificuldades 
encontradas e os 
métodos utilizados 
para superá-las.
Ao encontrar estes selos, fique atento, cada um deles tem o seguinte significado:
calculadoraem grupo cálculo mentalem duplaaudiovisual
TRILHAS_MP_PNLD2020_6ANO_UN1_001a031.indd 5 10/23/18 8:19 AM
6 MANUAL DO PROFESSOR
6
Sumário
 UNIDADE 1 Sistemas de numeração e 
números naturais
Capítulo 1. Sistemas de numeração, 10
Sistema de numeração egípcio, 10
Sistema de numeração romano, 11
Sistema de numeração indo-arábico, 13
Trabalhando com a informação – Tabelas, 18
Análise da resolução, 19
Atividades complementares, 20
Capítulo 2. Números naturais, 21
Conjunto dos números naturais, 21
Arredondamentos, 24
Atividades complementares, 25
O que aprendi, 29
Conhecimento interligado – A internet e o sistema 
de numeração binário, 30
 UNIDADE 2 Operações com números 
naturais
Capítulo 3. Adição e subtração, 34
Adição, 34
Subtração, 38
Relação entre adição e subtração, 41
Atividades complementares, 44
Capítulo 4. Multiplicação e divisão, 47
Multiplicação, 47
Análise da resolução, 53
Divisão, 55
Relação entre multiplicação e divisão, 59
Tecnologia digital – Operações com números 
naturais, 61
Atividades complementares, 63
Capítulo 5. Potenciação e expressões 
numéricas envolvendo números 
naturais, 64
Potenciação, 64
Expressões numéricas, 68
Desvendando enigmas – O haras, 69
Atividades complementares, 70
O que aprendi, 71
Em ação – O consumo de água, 72
 UNIDADE 3 Geometria
Capítulo 6. Figuras geométricas, 76
Figuras geométricas espaciais e figuras geométricas planas, 77
Poliedros, 77
Análise da resolução, 87
Atividades complementares, 89
Capítulo 7. Ângulos e retas, 90
O que é um ângulo?, 90
A relação entre ângulo e giro, 91
Ângulo agudo e ângulo obtuso, 92
Medida da abertura de um ângulo, 92
Trabalhando com a informação – Pictogramas, 97
Posições entre duas retas no plano, 99
Construções geométricas com régua e esquadro, 100
Atividades complementares, 102
Capítulo 8. Polígonos, 104
Polígonos convexos e polígonos não convexos, 106
Elementos e nomenclatura dos polígonos, 107
Polígonos regulares e polígonos não regulares, 108
Triângulos, 110
Quadriláteros, 114
Tecnologia digital – Construção de quadriláteros, 116
Coordenadas cartesianas, 119
Representação de polígonos no sistema de eixos 
cartesianos, 120
Ampliação e redução de polígonos, 122
Atividades complementares, 124
O que aprendi, 125
Conhecimento interligado – Técnica e arte 
nas representações, 126
 UNIDADE 4 Múltiplos e divisores
Capítulo 9. Múltiplos de um número 
natural, 130
Linguagem matemática, 133
Análise da resolução, 135
Atividades complementares, 136
Capítulo 10. Divisores naturais, 137
Obtendo os divisores naturais de um número, 138
Critérios de divisibilidade, 142
Atividades complementares, 146
Capítulo 11. Números primos e números 
compostos, 148
Obtendo números primos: o crivo de Eratóstenes, 149
Reconhecimento de um número primo, 150
Múltiplos comuns, 152
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7MANUAL DO PROFESSOR
7
Divisores comuns, 153
Desvendando enigmas – O enigma do presente 
misterioso, 155
Atividades complementares, 156
O que aprendi, 157
Conhecimento interligado –O ciclo de vida 
das cigarras, 158
 UNIDADE 5 Frações
Capítulo 12. Estudo das frações, 162
Ideias relacionadas a frações, 162
Forma mista e tipos de fração, 170
Comparação de frações, 175
Atividades complementares, 179
Capítulo 13. Operações com frações, 181
Adição e subtração de frações, 181
Problemas envolvendo repartições desiguais, 184
Porcentagem, 187
Análise da resolução, 192
Trabalhando com a informação – Gráficos de barras 
verticais, 193
Atividades complementares, 195
O que aprendi, 197
Em ação – Fator de proteção solar (FPS), 198
 UNIDADE 6 Números decimais
Capítulo 14. Décimos, centésimos 
e milésimos, 202
Décimos, 203
Centésimos, 203
Milésimos, 204
Números decimais e sistema de numeração decimal, 205
Transformações entre números decimais e frações, 207
Comparação entre números decimais, 209
Representação de números decimais em uma reta 
numérica, 210
Atividades complementares, 213
Capítulo 15. Operações com números 
decimais, 215
Adição e subtração com números decimais, 215
Multiplicação com números decimais, 218
Divisão com números decimais, 220
Desvendando enigmas – Postos de combustíveis, 224
Tecnologia digital – Uso de calculadora na resolução 
de problemas, 225
Potenciação com números decimais, 226
Porcentagem e números decimais, 226
Análise da resolução, 228
Atividades complementares, 229
O que aprendi, 231
Em ação – Consumo e desperdício, 232
 UNIDADE 7 Grandezas e medidas
Capítulo 16. Comprimento, massa, 
capacidade, tempo e 
temperatura, 236
Medidas de comprimento, 237
Medidas de massa, 240
Medidas de capacidade, 243
Medidas de tempo, 244
Medidas de temperatura, 248
Atividades complementares, 250
Capítulo 17. Perímetro, área e volume, 254
Perímetro, 254
Área, 257
Análise da resolução, 265
Vista aérea, 267
Planta baixa, 267
Volume, 269
Desvendando enigmas – O enigma do avião, 276
Trabalhando com a informação – Gráfico 
de setores, 277
Tecnologia digital – Construção de gráfico 
de setores, 279
Atividades complementares, 281
O que aprendi, 283
Conhecimento interligado – Família gigante, 284
 UNIDADE 8 Probabilidade e Estatística
Capítulo 18. Organização de informações, 288
Tabelas, 288
Gráfico de barras, 291
Fluxogramas, 294
Análise da resolução, 296
Atividades complementares, 298
Capítulo 19. Probabilidade, 303
Introdução a probabilidade, 303
Atividades complementares, 309
O que aprendi, 311
Em ação – Animais silvestres, 312
Respostas, 314
Sugestões de leitura, 328
Bibliografia, 328
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MANUAL DO PROFESSOR - UNIDADE 18
Objetivos da Unidade
 � Compreender o concei-
to de sistema de nume-
ração.
 � Reconhecer os sistemas 
de numeração egípcio, 
romano e indo-arábico e 
suas características.
 � Destacar semelhanças 
e diferenças entre o sis-
tema de numeração in-
do-arábico e outros sis-
temas de numeração.
 � Ler, escrever e comparar 
números naturais.
 � Resolver problemas en-
volvendo números natu-
rais.
 � Utilizar a reta numérica 
para representar, orde-
nar e comparar números 
naturais.
 � Identificar o antecessor 
e o sucessor de um nú-
mero natural.
 � Identificar números pa-
res e números ímpares.
 � Fazer estimativas de 
quantidades e aproximar 
números para múltiplos 
de potências de 10.
 � Reconhecer o sistema 
de numeração binário.
 � Interpretar e construir 
tabelas que organizem 
informações de uma 
pesquisa.
1
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Sistemas de 
numeração 
e números 
naturais
Os pesquisadores 
usaram alto-falantes 
instalados em arbustos 
para reproduzir o 
rugido de leoas. 
Senso numérico
Estudos indicam que os seres humanos são capazes de determinar a quantidade de ele-
mentos de pequenos agrupamentos sem fazer uso da contagem. Essa característica é conhe-
cida como “senso numérico”. Alguns animais, apesar de não saberem contar, também têm 
essa característica.
Em um experimento realizado no Parque Nacional de Serengueti, na Tanzânia, pesqui-
sadores verificaram que, quando o grupo de leoas dominante em um território é maior 
do que um grupo de leoas invasor, o grupo dominante defende seu território atacando os 
invasores. Se o grupo invasor for maior ou igual ao dominante, as leoas nem sempre agem 
dessa forma.
Primeiro, emitiram apenas um 
rugido para uma leoa solitária. 
Ela não deu atenção e seguiu 
para encontrar seu grupo. 
Nesta Unidade você vai estudar
 Sistemas de numeração
 Os diferentes usos dos números
 Conjunto dos números naturais
8
Esta Unidade favorece o
desenvolvimento das compe-
tências gerais 1, 2, 3, 4, 6 e 9 
da BNCC descritas nas Orien-
tações gerais deste manual.
As Unidades 1 e 2 deste vo-
lume estão referenciadas no 
plano de desenvolvimento do 
1o bimestre do Material Digital. 
Nesse material há também 
uma ficha de acompanhamen-
to das aprendizagens dos alu-
nos que pode ser utilizada du-
rante o trabalho no bimestre.
Nesta Unidade, vamos estu-
dar os números e as ideias dos 
sistemas de numeração, com 
destaque para o sistema de 
numeração indo-arábico.
Os alunos têm contato com 
números expressos no siste-
ma de numeração indo-arábico 
desde o ingresso na vida esco-
lar e em suas práticas sociais 
cotidianas fora da escola.
A compreensão do conceito de número, bem como a leitura e a 
escrita em um sistema de numeração, é fundamental para a inser-
ção do indivíduo nos mais diversos aspectos da vida em sociedade 
e na aprendizagem da Matemática.
Esta Unidade é apresentada em dois capítulos: Sistemas de nu-
meração e Números naturais.
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9MANUAL DO PROFESSOR - UNIDADE 1
Abertura
A proposta da abertura des-
ta Unidade é promover a refle-
xão dos alunos sobre a ideia de 
número, senso numérico e 
contagem e resgatar os conhe-
cimentos prévios e as habilida-
des adquiridas pelos alunos 
nos anos iniciais do Ensino 
Fundamental, como a utiliza-
ção de números naturais como 
indicador de quantidade e a 
contagem por meio de agrupa-
mentos e outras estratégias.
Peça aos alunos que leiam o 
texto e sintetizem a situação 
apresentada. É possível propor 
uma discussão sobre o signifi-
cado de “senso numérico” que 
vá além da definição dada no 
texto e que faça sentido para 
eles: pergunte em que situa-
ções cotidianas usamos nosso 
senso numérico e a utilidade 
dele para realizarmos tarefas. 
Se julgar necessário, comente 
que não existe na literatura um 
consenso sobre o conceito de 
senso numérico e que, neste 
contexto, senso numérico faz 
referência à capacidade de 
identificar quantidades com 
base nos sentidos, por meio da 
percepção visual ou da auditi-
va, e não está vinculado a um 
processo de contagem.
Mostre que a percepção de 
quantidades é afetada por re-
presentações de quantidades 
que são comuns à nossa cultu-
ra, como as quantidades de 1 
a 6 representadas nas peças 
de um dominó. Apesar de nem 
todas as pessoas serem capa-
zes de perceber 6 unidades em 
um simples relance, ao se de-
parar com a peça de dominó 
mostrada a seguir, é possível 
que muitas pessoas reconhe-
çam imediatamente a quanti-
dade seis.
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Na atividade 1 do boxe Tro-
cando ideias, oriente os alunos 
a utilizar até 10 bolinhas de pa-
pel na primeira jogada. A cada 
nova jogada, o número de bo-
linhas deve aumentar. 
Sugestões
Veja outras perspectivas sobre o conceito de senso numérico em:
I. CORSO, L. V.; DORNELES, B. V. Senso numérico e dificuldades 
de aprendizagem na Matemática. Universidade Federal do 
Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, 2010. Disponível em: 
<http://www.revistapsicopedagogia.com.br/detalhes/212/
senso-numerico-e-dificuldades-de-aprendizagem-na-ma
tematica>. Acesso em: 12 out. 2018.
II. FERRARI, A. H. O senso numérico da criança: formação e ca-
racterísticas. Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, 
São Paulo, SP, 2008. Disponível em: <https://tede.pucsp.
br/bitstream/handle/11357/1/Alessandra%20Hissa%20Ferrari.pdf>. Acesso em: 12 out. 2018.
Os pesquisadores entenderam que o grupo dominante atacou por notar que o grupo invasor tinha 
menos elementos e, portanto, seria fácil expulsá-lo. Assim, concluíram que as leoas usaram seu senso 
numérico para tomar essa atitude. 
Fonte de pesquisa: Keith Devlin. O gene da Matemática. 1. ed. São Paulo: Record, 2004.
Depois, foram emitidos 3 rugidos diferentes para um 
grupo de 5 leoas. Elas olharam na direção dos rugidos 
e correram até os arbustos, prontas para o ataque. 
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Trocando ideias
1. Peça a um colega que encha as mãos com pequenas bolinhas de papel e jogue-as sobre uma mesa. 
Sem contar, estime a quantidade de bolinhas que há sobre a mesa e registre em seu caderno. 
Em seguida, conte as bolinhas e compare o resultado com seu registro. Repita essa atividade mais 
vezes, aumentando a quantidade de bolinhas e, em cada caso, compare o valor estimado com o 
obtido após a contagem. Converse com seus colegas sobre o que você observou. 
2. Os seres humanos têm a capacidade de contar e, ao longo do tempo, diversas civilizações inven-
taram formas de registrar quantidades: por meio de nós em cordas, marcas em madeira, ossos e 
pedras, símbolos escritos, gestos, etc. Como você registra quantidades? 
Não escreva no livro!
Resposta pessoal. Espera-se que os alunos se refiram ao uso dos algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9.
Resposta pessoal. Espera-se que os alunos observem que, para pequenas quantidades de bolinhas, é possível, sem contar, 
acertar a quantidade de 
elementos ou chegar 
muito próximo do valor correto, o 
que provavelmente não ocorrerá 
nos casos com mais bolinhas.
9
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MANUAL DO PROFESSOR - UNIDADE 110
Neste capítulo, apresenta-
mos aos alunos os sistemas de 
numeração egípcio e romano 
antes do sistema de numera-
ção indo-arábico com o intuito 
de estabelecer relações entre 
esses sistemas e agregar sig-
nificado às ideias de princípio 
aditivo e valor posicional e ao 
uso de um símbolo para indicar 
a ausência de quantidade.
Para que o trabalho com es-
ses sistemas de numeração te-
nha mais significado, pode-se 
fazer um trabalho em conjunto 
com o professor de História pa-
ra favorecer o desenvolvimen-
to da habilidade de identificar 
aspectos e formas de registro 
das sociedades antigas na Áfri-
ca, no Oriente Médio e nas Amé-
ricas, distinguindo alguns sig-
nificados presentes na cultura 
material e na tradição oral des-
sas sociedades (EF06HI07) e 
da habilidade de discutir o con-
ceito de Antiguidade clássica, 
seu alcance e limite na tradição 
ocidental, assim como os im-
pactos sobre outras socieda-
des e culturas (EF06HI09).
O intuito é que os alunos te-
nham informações sobre as 
sociedades em que eram usa-
dos esses sistemas de nume-
ração e consigam refletir sobre 
a necessidade do uso de nú-
meros na época. Para isso, po-
dem ser usados recursos co-
mo filmes, documentários e 
livros. 
 Sistema de 
numeração egípcio
O sistema de numeração egípcio tem como principal caracterís-
tica ser aditivo. Os alunos devem compreender que nesse sistema 
cada símbolo assume um valor, a ordem dos símbolos é irrelevan-
te para a representação numérica e o valor do número representa-
do é obtido adicionando o valor de cada símbolo que o representa. 
Explore de várias maneiras os exemplos dados no livro para refor-
çar as características desse sistema de numeração.
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1 Sistemas de numeração
Você sabe que os números aparecem em muitas situações do dia a dia. Porém, eles nem sempre foram 
escritos da forma como os conhecemos. Antes, os números eram representados por outros símbolos.
Nesta unidade, vamos conhecer alguns dos sistemas de numeração utilizados por diferentes povos 
e aprender sobre o nosso sistema de numeração.
Um sistema de numeração reúne regras e símbolos gráficos que são usados para representar números. 
Sistema de numeração egípcio
A civilização egípcia desenvolveu-se por volta de 5000 a.C. com base na agricultura, graças à irrigação 
de suas terras pelo rio Nilo. A riqueza de seu império permitiu aos egípcios construírem templos e edifi-
cações, ampliar o comércio e desenvolver um sistema de numeração que lhes permitia registrar colheitas, 
impostos, etc.
O objetivo deste capítulo é apresentar aos alunos outros sistemas de numeração, para que eles compreendam as diferenças 
e similaridades entre esses sistemas e o sistema de numeração indo-arábico.
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O sistema de numeração egípcio tem sete símbolos. Veja, no quadro a seguir, quais são esses símbolos 
e os valores que eles representam.
Símbolo
Bastão
Osso de 
calcanhar
Corda
Flor de
lótus
Dedo
dobrado
Sapo Homem
Valor 1 10 100 1 000 10 000 100 000 1 000 000
Para obter a representação de outras quantidades, cada símbolo pode ser repetido até 9 vezes e eles 
podem ser combinados em qualquer ordem. O valor do número representado é obtido adicionando o valor 
de cada símbolo representado. 
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10 Unidade 1 Sistemas de numeração e números naturais
Habilidade da BNCC
 (EF06MA02) Reconhecer 
o sistema de numeração de-
cimal, como o que prevale-
ceu no mundo ocidental, e 
destacar semelhanças e di-
ferenças com outros siste-
mas, de modo a sistematizar 
suas principais caracterís-
ticas (base, valor posicional 
e função do zero), utilizan-
do, inclusive, a composição 
e decomposição de núme-
ros naturais e números ra-
cionais em sua represen-
tação decimal.
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11MANUAL DO PROFESSOR - UNIDADE 1
 Sistema de 
numeração romano
O trabalho com o sistema de 
numeração romano é impor-
tante devido à relevância histó-
rica desse sistema de numera-
ção pela civilização ocidental e 
ao fato de ainda hoje termos o 
uso desse sistema em algumas 
situações do nosso dia a dia.
Antes de iniciar o tema, mos-
tre aos alunos os símbolos uti-
lizados no sistema de numera-
ção romano para trazer à tona 
o conhecimento prévio que 
eles têm sobre o assunto e ex-
plorar as situações trazidas 
por eles. Se for possível, leve 
para a sala de aula relógios que 
usem números escritos no sis-
tema de numeração romano e 
livros cujos capítulos sejam 
identificados com números re-
gistrados nesse sistema.
Caso algum aluno conheça 
as regras do sistema de nume-
ração romano, sugira que ele 
exponha seus conhecimentos 
à turma. Se na fala do aluno fal-
tar alguma regra, explore como 
seria o sistema sem essa regra.
Veja os exemplos a seguir.
6 � 5 � (10) � 4 � (100) � 
� 6 � 50 � 400 � 
� 456
5 � 2 � (100) � 6 � (10) � 1 000 � 
� 5 � 200 � 60 � 1 000 �
� 1 265
No caderno, escreva a 
sua idade usando os 
símbolos do sistema 
de numeração egípcio.
Resposta pessoal.
Sistema de numeração romano
O sistema de numeração romano foi desenvolvido pela civilização romana, cuja cidade sede era 
Roma, e foi utilizado por muitos séculos na Europa. Para escrever os números nesse sistema, são utili-
zados sete símbolos que correspondem a letras maiúsculas do nosso alfabeto.
Veja, no quadro abaixo, quais são esses símbolos e o valor que cada um representa.
Símbolo I V X L C D M
Valor 1 5 10 50 100 500 1 000
Os demais números são escritos por meio de combinações desses símbolos, de acordo com as se-
guintes regras:
1. Apenas os símbolos I, X, C e M podem ser repetidos, seguidamente, até três vezes.
2. Quando um símbolo estiver à direita de outro símbolo de maior valor ou igual ao dele, os valores 
desses símbolos devem ser adicionados.
Exemplos:
• XX → 10 � 10 � 20 
• DC → 500 � 100 � 600
• MV → 1 000 � 5 � 1 005
3. Os símbolos I, X e C podem ser colocados à esquerda de outro símbolo de maior valor nos seguintes 
casos:
• I à esquerda de V ou de X; • X à esquerda de L ou de C; • C à esquerdade D ou de M.
Nesses casos, o menor valor deve ser subtraído do maior valor.
Exemplos:
• IV → 5 � 1 � 4
• IX → 10 � 1 � 9
• XL → 50 � 10 � 40
• XC → 100 � 10 � 90
• CD → 500 � 100 � 400
• CM → 1 000 � 100 � 900
4. Se entre dois símbolos quaisquer houver outro símbolo de menor valor que ambos, o valor deste será 
subtraído do símbolo seguinte a ele.
Exemplos:
• XIX → 10 � (10 � 1) � 19
• LIV → 50 � (5 � 1) � 54
• CXL → 100 � (50 � 10) � 140
Antes de apresentar aos alunos a próxima regra, pergunte a eles como 
representar o número 4 000 usando os símbolos romanos. Espera-se que eles 
percebam que não é possível fazer essa representação com os símbolos e as 
regras que viram até aqui.
 1. Represente os números indicados em cada caso usando o sistema de numeração egípcio. 
a) trinta e cinco b) trezentos e dois c) dois mil e seiscentos d) vinte mil 
 2. Para escrever o número setenta e oito no sistema de numeração egípcio, quais símbolos são 
necessários? Quantos de cada um desses símbolos serão usados? osso de calcanhar e bastão; 7 símbolos 
osso de calcanhar e 8 símbolos bastão
Atividades Não escreva no livro!
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1. c) 
11Capítulo 1 Sistemas de numeração
Habilidade da BNCC
 (EF06MA02) Reconhecer 
o sistema de numeração de-
cimal, como o que prevale-
ceu no mundo ocidental, e 
destacar semelhanças e di-
ferenças com outros siste-
mas, de modo a sistematizar 
suas principais característi-
cas (base, valor posicional e 
função do zero), utilizando, 
inclusive, a composição e 
decomposição de números 
naturais e números racio-
nais em sua representação 
decimal. 
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MANUAL DO PROFESSOR - UNIDADE 112
Na atividade 4, os alunos te-
rão de efetuar uma operação 
para determinar o ano e, de-
pois, representar o ano obtido 
usando os símbolos do siste-
ma de numeração romano. Ao 
avaliar a resolução que os alu-
nos fizeram para essa ativida-
de, é importante verificar se 
eles tiveram dificuldades com 
as operações ou com a repre-
sentação dos números. Para 
isso, mesmo que algum aluno 
tenha errado o cálculo, verifi-
que se o resultado foi repre-
sentado corretamente no sis-
tema de numeração romano.
Pode-se ampliar a atividade 
5 propondo aos alunos que, 
junto com um colega, escre-
vam outros exemplos que 
mostrem que as afirmações 
de Milena e Rodrigo são falsas. 
Uma possível resposta seria: 
para a afirmação de Milena – 
Quinhentos (D) é maior do que 
cinquenta e quatro (LIV), mas 
utiliza menos símbolos em 
sua representação; para a afir-
mação de Rodrigo – XC (no-
venta) e CX (cento e dez).
A atividade 6 levanta uma 
importante questão, que é a 
manutenção de museus e pré-
dios públicos. Se houver opor-
tunidade, faça uma excursão 
com os alunos até um museu 
próximo à escola. Essa visita 
pode ser combinada com pro-
fessores de outras disciplinas, 
para que aproveitem a oportu-
nidade para trabalhar outros 
assuntos. Pode-se pedir aos 
alunos que analisem as condi-
ções do museu visitado e, caso 
julgue adequado, divida-os em 
grupos para que criem video-
casts evidenciando a conser-
vação do prédio do museu. Es-
ses vídeos podem ser uti-
lizados tanto para incentivar a 
comunidade a visitar museus 
quanto para reivindicar manu-
tenção no prédio, por exemplo.
A atividade 7 apresenta 
uma proposta lúdica em que 
os alunos deverão pensar em 
movimentar palitos para tor-
nar a sentença verdadeira. Ca-
so julgue oportuno, peça que 
os alunos usem lápis e cane-
tas para representar os pali-
tos de fósforo. Assim, a movi-
mentação se torna mais fácil 
e os alunos podem experimen-
tar diferentes combinações 
refletindo sobre a validade de 
cada uma delas.
Atividade complementar
Pergunte aos alunos qual dos sistemas de numeração estudados até o momento nesta Unidade eles consideram mais “simples” pa-
ra representar números. Peça a eles que justifiquem as respostas comparando o sistema de numeração egípcio e o sistema de nume-
ração romano. Em princípio, solicite que representem em um quadro os símbolos de cada sistema e o valor que representam. Durante 
a atividade, peça que comparem as características desses sistemas, destacando o que observam de parecido e de diferente entre eles.
5. O valor de um símbolo é multiplicado por 1 000 quando há uma barra 
horizontal sobre ele.
Exemplos:
• V → 5 � 1 000 � 5 000 
• XIV → 14 � 1 000 � 14 000
• MXX → 1 020 � 1 000 � 1 020 000 
Ainda hoje, utilizamos o sistema de numeração romano em algumas re-
presentações. Observe os exemplos a seguir.
Em marcadores 
de relógio.
Em marcadores Para indicar volumes de 
coleções de livros.
Em nomes de ruas e avenidas.
Usando símbolos 
romanos, escreva, no 
caderno, o ano em 
que você nasceu. 
Resposta pessoal.
Observe as fotografias 
ao lado e, no caderno, 
responda às questões. 
a) Os ponteiros do 
relógio apontam 
para quais números?
b) Quais números 
aparecem nos livros 
da fotografia? 
c) Qual é o número 
que aparece no 
nome da rua? 
IX; XII
IV; V; 
VI; VII 
XV
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 3. Escreva como são lidos os números representados a seguir.
a) LXIV 
b) LXIX 
c) CXXXII 
d) CCXVII 
e) CDII 
f) DXLI 
g) DCCCLVI 
h) MI mil e um
 4. Responda às questões a seguir usando números escritos no sistema de numeração romano.
a) Em que ano nasceu uma pessoa que hoje está completando 20 anos de idade? 
b) Em que ano você fará 20 anos de idade? Resposta de acordo com o ano de nascimento do aluno.
 5. Milena e Rodrigo fizeram afirmações sobre números escritos no sistema de numeração romano. 
Classifique cada afirmação como verdadeira ou falsa, justificando as respostas.
Resolução
– Para a afirmação feita por Milena, podemos comparar, por exemplo, os números treze e cinquenta. 
Temos que cinquenta (L) é maior do que treze (XIII), mas utiliza menos símbolos em sua representação. 
Assim, verificamos que a afirmação de Milena é falsa.
– Para a afirmação feita por Rodrigo, podemos considerar, por exemplo, o número quatro (IV). 
Se alterarmos a ordem dos símbolos, obtemos a representação do número seis (VI). Portanto, a afir-
mação de Rodrigo também é falsa.
sessenta e quatro
sessenta e nove
cento e trinta e 
dois
duzentos e 
dezessete
quatrocentos e dois
quinhentos e 
quarenta e um
oitocentos e cinquenta 
e seis
Resposta de 
acordo com o 
ano atual.
Quanto maior o número, 
mais símbolos romanos 
precisamos utilizar para 
representá-lo.
Se trocarmos a 
ordem dos símbolos, o 
número representado 
nunca se altera.
Atividades Não escreva no livro!
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As imagens não 
estão representadas 
em proporção.
12 Unidade 1 Sistemas de numeração e números naturais
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13MANUAL DO PROFESSOR - UNIDADE 1
 6. O prédio que abriga o museu de uma cidade passou por grandes reformas. A obra já está finalizada 
e o diretor do museu quer colocar na parede duas placas com números romanos: uma com o ano 
de inauguração da nova ala (2019) e outra com o ano de fundação do museu (1985). Escreva 
como esses anos serão registrados se forem escritos no sistema de numeração romano. 
 7. Reproduza, no caderno, cada arranjo representado com palitos de fósforo. Em seguida, em cada 
caso, torne a igualdade verdadeira mudando a posição de apenas um palito de fósforo. 
a) b) 
2019 → MMXIX; 1985 → MCMLXXXV
7. a) Verifique se os alunos notam que, como não há símbolo romano formado por um único traço inclinado, não se deve retirar um pa-
lito de qualquer um dos símbolos V. Mover um palito do número dois para o outro lado da igualdade também não é uma resposta 
correta. Ao mover o palito vertical do sinal de adição, colocando-o após o sinal de igualdade, obtemos: VI 2 II5 IV
7. b) Verifique se os alunos notam que podemos retirar o palito à esquerda do X e colocá-lo sobre o sinal de subtração, transformando 
a subtração em uma adição. Assim, a igualdade obtida será: VI 1 IV 5 X
Sistema de numeração indo-arábico
Os números com os quais lidamos diariamente fazem parte de nossa formação cultural e talvez, por esse 
motivo, raramente nos damos conta de que integram um sistema de numeração que passou por uma longa 
evolução: o sistema de numeração indo-arábico.
Nesse sistema de numeração, usamos dez símbolos, chamados algarismos, para escrever qualquer 
número. São eles: 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Nesse sistema é possível fazer agrupamentos de dez em dez elementos para facilitar a contagem e os 
registros dos números e, por isso, dizemos que é um sistema de numeração decimal. 
Veja alguns exemplos de agrupamentos:
• agrupando 10 unidades, obtemos 1 dezena;
• agrupando 10 dezenas, obtemos 100 unidades ou 1 centena;
• agrupando 10 centenas, obtemos 1 000 unidades ou 1 unidade de milhar.
No sistema de numeração indo-arábico, os algarismos são separados em classes. As classes são grupos 
de três ordens e cada ordem corresponde à posição de um algarismo. Da direita para a esquerda, temos a 
classe das unidades simples, dos milhares, dos milhões, dos bilhões, e assim por diante. 
Veja no quadro abaixo algumas dessas ordens e classes.
Classe dos milhões Classe dos milhares Classe das unidades simples
Centena 
de milhão
Dezena 
de milhão
Unidade 
de milhão
Centena 
de milhar
Dezena 
de milhar
Unidade 
de milhar
Centena Dezena Unidade
A disposição dos algarismos em classes e em ordens permite identificar o valor posicional de cada algar-
ismo na escrita de um número.
Exemplos:
• O algarismo 9 no número 790 101 está na ordem das dezenas na classe dos milhares, ou seja, 
corresponde a 90 000 unidades;
• Há três algarismos 2 no número 206 728 562. Veja o valor de cada um deles de acordo com a ordem 
que ocupam:
206 728 562 2 unidades
20 000 unidades
200 000 000 unidades
É possível usar o valor posicional de cada algarismo de um número para obter sua decomposição.
Exemplos:
• 514 5 500 1 10 1 4
• 7 015 5 7 000 1 10 1 5
• 11 202 5 10 000 1 1 000 1 200 1 2
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O conteúdo pode ser apresentado com a participação 
ativa dos alunos, pois eles já o estudaram nos anos 
anteriores. Aproveite para diagnosticar os conceitos 
que merecem maior atenção conforme os saberes 
anteriores dos alunos são explicitados.
13Capítulo 1 Sistemas de numeração
 Sistema de numeração indo-arábico
A sequência didática Nú-
meros no dia a dia, disponível 
no Material Digital, pode ser 
utilizada no trabalho com es-
te tópico. 
Nos anos iniciais do Ensino 
Fundamental, os alunos estu-
daram leitura, escrita e orde-
nação de números naturais de 
até seis ordens. Por isso, é 
possível que muito do que é 
abordado neste tópico seja de 
conhecimento deles e, assim, 
esta pode ser uma oportunida-
de para diagnosticar concei-
tos que merecem maior aten-
ção. Neste momento, o objeti-
vo é que os alunos conheçam 
as características do sistema 
de numeração decimal e as 
comparem com as caracterís-
ticas de outros sistemas para 
refletir sobre as vantagens 
que esse sistema apresenta 
em relação aos sistemas de 
numeração egípcio e romano.
A apresentação dos núme-
ros em quadros que mostram 
as ordens e as classes tem por 
objetivo organizar e sistemati-
zar a escrita numérica. Se jul-
gar pertinente, represente, por 
exemplo, o número 809 402 
em um quadro de ordens e es-
creva a seguinte decomposi-
ção: 8 centenas de milhar mais 
9 unidades de milhar mais 4 
centenas mais 2 unidades. Ve-
rifique se os alunos compreen-
dem que, embora o algarismo 
2 esteja representado na or-
dem das unidades simples, o 
número 809 402 tem 809 402 
unidades, e não apenas duas, 
ou ainda, embora o algarismo 
9 esteja representado na or-
dem das unidades de milhar, o 
número 809 402 tem 809 uni-
dades de milhar, e não apenas 
nove.
Se possível, use dados so-
bre a população do Brasil para 
trabalhar a leitura de números 
da ordem dos milhares e da or-
dem dos milhões. Essas infor-
mações podem ser obtidas, 
por exemplo, no site do IBGE 
para crianças. Disponível em: 
<https://educa.ibge.gov.br/
criancas/brasil/nosso-povo/
19631-caracteristicas-da-po
pulacao.html>. Acesso em: 11 
out. 2018. Enfatize que 1 uni-
dade de milhar equivale a 
1 000 unidades simples, 1 uni-
dade de milhão equivale a 
1 000 unidades de milhar, e as-
sim por diante.
Habilidades da BNCC
 (EF06MA02) Reconhecer o sistema de numeração decimal, 
como o que prevaleceu no mundo ocidental, e destacar seme-
lhanças e diferenças com outros sistemas, de modo a sistema-
tizar suas principais características (base, valor posicional e 
função do zero), utilizando, inclusive, a composição e decompo-
sição de números naturais e números racionais em sua repre-
sentação decimal.
 (EF06MA03) Resolver e elaborar problemas que envolvam cál-
culos (mentais ou escritos, exatos ou aproximados) com números 
naturais, por meio de estratégias variadas, com compreensão dos 
processos neles envolvidos com e sem uso de calculadora.
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MANUAL DO PROFESSOR - UNIDADE 114
Os agrupamentos decimais do sistema de numeração indo-arábico permitem que esses números pos-
sam ser representados com as peças do material dourado ou em um ábaco. Veja cada caso.
Material dourado
Na representação abaixo, temos o valor atribuído a cada tipo de peça do material dourado, quando 
consideramos que o cubinho corresponde a 1 unidade.
Cubinho:
1 unidade.
Barra:
1 dezena.
Placa:
1 centena.
Cubo:
1 unidade de milhar.
Note que:
• 1 barra corresponde a 10 cubinhos;
• 1 placa corresponde a 10 barras ou a 100 cubinhos;
• 1 cubo corresponde a 10 placas ou a 1 000 cubinhos.
Veja, abaixo, como representamos, por exemplo, o número 243 com o material dourado.
Ábaco
O ábaco é um instrumento utilizado para realizar contagens e cálculos fazendo agrupamentos de 
dez quantidades.
 UM C D U
No ábaco, cada haste indica uma ordem. Assim, uma ficha representará um valor diferente dependendo 
da haste em que ela for colocada. 
Se a ficha estiver na haste:
• das unidades (U), terá valor de 1 unidade;
• das dezenas (D), terá valor de 1 dezena;
• das centenas (C), terá valor de 1 centena;
• das unidades de milhar (UM), terá valor de 1 unidade de milhar; e assim por diante.
Desse modo, veja como representamos o número 123 no ábaco:
3 unidades
2 dezenas ou 20 unidades
 UM C D U
1 2 3
1 centena ou 100 unidades
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14 Unidade 1 Sistemas de numeração e números naturais
O material dourado foi apre-
sentado para ilustrar os agru-
pamentos de 10 (um cubinho 
representa uma unidade; uma 
barra representa uma dezena 
ou dez unidades; uma placa re-
presenta uma centena, dez de-
zenas ou cem unidades, etc.). 
Para ilustrar a característi-
ca posicional da representa-
ção numérica no sistema de 
numeração indo-arábico, foi 
utilizado o ábaco.
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15MANUAL DO PROFESSOR - UNIDADE 1
Atividades Não escreva no livro!
 8. Qual é o valor posicional do algarismo 4 em cada número a seguir?
a) 1 648 40 b) 14 092 4 000 c) 5 754 4 d) 28 409 400
 9. Escreva cada número a seguir utilizando apenas algarismos.
a) Quatro mil, setecentos e oitenta e um. 4 781
b) Trezentos mil, duzentos e cinquenta e seis. 300 256
c) Um milhão, duzentos e onze mil, duzentos e nove. 1 211 209
d) Vinte e cinco milhões, quinhentos e um mil e dezenove. 25 501 019
 10. Escreva como se lê cada número abaixo e indique a adição que corresponde a uma decomposição 
possível desse número.
a) 2 426 b) 51 890 c) 134 243 d) 6 000 907 
 11. Vítor, Milena e Mateus estão brincando com um jogo de cartas. Emcada carta, aparece um veículo 
e algumas de suas características (velocidade, manutenção e segurança) com uma pontuação de 
zero a 10 000. Em cada rodada, um dos jogadores deve escolher uma característica de seu veículo 
e compará-la com a dos veículos dos outros jogadores. No caso de a escolha ser “velocidade” ou 
“segurança”, vence a rodada o jogador que tiver a maior pontuação. Se a escolha for “manutenção”, 
vence a rodada o jogador que tiver a menor pontuação.
 Observe as cartas de Vítor, Milena e Mateus nessa rodada.
Milena
Vítor
MateusMilena
Vítor
Mateus
Velocidade: 8 000
Manutenção: 5000
Segurança: 4 000
Velocidade: 10 000
Manutenção: 3 000
Segurança: 5 000
Velocidade: 4 000
Manutenção: 2 000
Segurança: 6 000
a) Na vez de Vítor, ele vencerá a rodada se escolher qual característica: velocidade, manutenção 
ou segurança? E na vez de Mateus? segurança ou manutenção; velocidade
b) Milena teria como vencer essa rodada com alguma característica do veículo de sua carta? não
c) Em sua opinião, qual desses tipos de veículo polui menos o meio ambiente: a bicicleta, a mo-
tocicleta ou o carro? Você acha importante considerar essa característica na compra de um 
desses veículos? 
 12. Observe o mesmo número representado em dois sistemas de numeração: 
egípcio e indo-arábico.
Se trocarmos a posição dos símbolos usados para representar esse 
número, as quantidades permanecerão as mesmas? 
 13. Escreva um número no sistema de numeração indo-arábico que apresente:
a) mais símbolos do que quando representado no sistema de numeração egípcio; 
b) menos símbolos do que quando representado no sistema de numeração egípcio. 
10. a) dois mil, quatrocentos e vinte e seis; 2 000 � 400 � 20 � 6
10. b) cinquenta e um mil, oitocentos e noventa; 50 000 � 1 000 � 800 � 90
10. c) cento e trinta e quatro mil, duzentos e quarenta e três; 100 000 � 30 000 � 4 000 � 200 � 40 � 3
10. d) seis milhões, novecentos e sete; 6 000 000 � 900 � 7
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25
Exemplo de resposta: 100
Exemplo de resposta: 37
No sistema de numeração egípcio, a quantidade representada não se altera se trocarmos a posição dos símbolos, enquanto no sistema 
Osso de
calcanhar
Osso de
calcanhar
Bastão Osso de
calcanhar
Flor de
lótus
Corda Sapo HomemDedo
dobrado
Bastão Osso de
calcanhar
Flor de
lótus
Corda Sapo HomemDedo
dobrado
Bastão Osso de
calcanhar
Flor de
lótus
Corda Sapo HomemDedo
dobrado
Bastão Osso de
calcanhar
Flor de
lótus
Corda Sapo HomemDedo
dobrado
Bastão Osso de
calcanhar
Flor de
lótus
Corda Sapo HomemDedo
dobradode numeração indo-arábico 
sim, pois: 25 � 52.
Espera-se que os alunos respondam "bicicleta" por ser um meio de transporte de baixo custo e que não 
polui o meio ambiente (não utiliza combustível). Além disso, a bicicleta traz benefícios à saúde de seus 
usuários, uma vez que o ciclista pode melhorar o seu condicionamento físico e consequentemente a sua qualidade de vida. 
15Capítulo 1 Sistemas de numeração
Trilhas_da_Matematica_PNLD2020_6ANO_LA_U1_C1_008A020.indd 15 7/5/19 1:40 PM
Os agrupamentos decimais do sistema de numeração indo-arábico permitem que esses números pos-
sam ser representados com as peças do material dourado ou em um ábaco. Veja cada caso.
Material dourado
Na representação abaixo, temos o valor atribuído a cada tipo de peça do material dourado, quando 
consideramos que o cubinho corresponde a 1 unidade.
Cubinho:
1 unidade.
Barra:
1 dezena.
Placa:
1 centena.
Cubo:
1 unidade de milhar.
Note que:
• 1 barra corresponde a 10 cubinhos;
• 1 placa corresponde a 10 barras ou a 100 cubinhos;
• 1 cubo corresponde a 10 placas ou a 1 000 cubinhos.
Veja, abaixo, como representamos, por exemplo, o número 243 com o material dourado.
Ábaco
O ábaco é um instrumento utilizado para realizar contagens e cálculos fazendo agrupamentos de 
dez quantidades.
 UM C D U
No ábaco, cada haste indica uma ordem. Assim, uma ficha representará um valor diferente dependendo 
da haste em que ela for colocada. 
Se a ficha estiver na haste:
• das unidades (U), terá valor de 1 unidade;
• das dezenas (D), terá valor de 1 dezena;
• das centenas (C), terá valor de 1 centena;
• das unidades de milhar (UM), terá valor de 1 unidade de milhar; e assim por diante.
Desse modo, veja como representamos o número 123 no ábaco:
3 unidades
2 dezenas ou 20 unidades
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1 2 3
1 centena ou 100 unidades
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14 Unidade 1 Sistemas de numeração e números naturais
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Aproveite a atividade 10 pa-
ra observar a compreensão 
dos alunos sobre a estrutura 
do sistema de numeração in-
do-arábico e verificar se com-
preenderam a ideia do valor po-
sicional de cada algarismo na 
representação numérica. Se 
julgar relevante, resolva esta 
atividade coletivamente e es-
clareça eventuais dúvidas.
A atividade 11 é uma adap-
tação de um conhecido jogo de 
cartas que pode ser explorado 
para trabalhar a leitura e a 
comparação dos números. Pa-
ra responder ao item c, expli-
que aos alunos que, segundo a 
Companhia Ambiental do Esta-
do de São Paulo,
“Nas áreas metropolitanas, 
o problema da poluição do ar 
tem-se constituído numa das 
mais graves ameaças à quali-
dade de vida de seus habitan-
tes. [...]
As emissões causadas por 
veículos carregam diversas 
substâncias tóxicas que, em 
contato com o sistema respi-
ratório, podem produzir vá-
rios efeitos negativos sobre a 
saúde.”
Disponível em: <http://cetesb.
sp.gov.br/veicular/>. Acesso em: 
11 out. 2018.
Peça aos alunos que pesqui-
sem mais sobre esse assunto. 
Como sugestão de atividade, 
proponha a eles que confeccio-
nem cartas de um jogo como o 
apresentado na atividade 11, 
em que o tema pode ser esco-
lhido de acordo com o interes-
se da turma. Nesse processo, 
há uma possibilidade de deci-
dir com a turma critérios para 
estabelecer a pontuação a ser 
atribuída a cada item do jogo. 
Por exemplo, se o tema for au-
tomóvel, explique aos alunos 
que a pontuação do carro pode 
considerar não apenas a velo-
cidade, mas o consumo de 
combustível, o quanto esse 
carro polui o meio ambiente, 
etc. Incentive os alunos a de-
bater questões como essas.
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MANUAL DO PROFESSOR - UNIDADE 116
 Saiba mais Não escreva no livro!
Um pouco sobre o zero
Diversas civilizações antigas utilizaram sistemas de numeração nos quais a posição que o símbolo ocupava 
na representação do número não era importante. Um exemplo é o sistema egípcio, no qual basta adicio-
nar o valor de todos os símbolos representados, não importando a ordem em que foram escritos, para 
obter o valor de um número. Veja, por exemplo, três modos de escrever o número 23 usando símbolos 
do sistema egípcio.
20 1 3 5 23 3 1 20 5 23 10 1 3 1 10 5 23
Entretanto, no sistema indo-arábico, além da im-
portância de escrever cada algarismo na sua posição, é 
necessário indicar a ausência de unidades em determi-
nadas posições. 
Você já parou para pensar na importância do algaris-
mo 0  (zero)? Se ele não existisse, como faríamos para 
representar o número 305, por exemplo, sem que ele 
fosse confundido com o número 35? 
Nos ábacos, a ausência de quantidades é represen-
tada por uma haste sem fichas, como pode ser visto 
no exemplo ao lado.
Na forma escrita, a ordem sem quantidade será repre-
sentada pelo algarismo 0.
Para explorar
Se não houvesse um símbolo para o zero e quiséssemos representar o número duzentos no sistema de nu-
meração indo-arábico, como ele seria escrito? Que dificuldade você percebe em representar esse número 
nessas condições? Exemplo de resposta: O espaço vazio à direita de 2 não seria percebido; nesse caso, talvez apenas o con-
texto ao qual o número se referisse informasse ao leitor que se trata de 200 e não de 2 ou 20.
Este é o número 
trezentos e cinco.
Osdiferentes usos dos números
Marisa mora na cidade de Porto Alegre, no Rio Grande do Sul, e utiliza regularmente ônibus como 
meio de transporte. Certo dia, ela pegou o ônibus das 07:01 horas da linha mostrada abaixo.
Linha 149 – ICARAÍ 
Sentido Bairro/Centro
Horários de partida
05:25 05:50 06:01 06:13
06:25 06:37 06:49 07:01
07:13 07:25 07:37 07:49
08:01 08:13 08:25 08:37
08:49 09:01 09:13 09:25
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400 centenas 0 dezena
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Este é o 
número trinta 
e cinco.
16 Unidade 1 Sistemas de numeração e números naturais
As atividades 12 e 13 da pá-
gina anterior e o Saiba mais 
têm como objetivo fazer com 
que os alunos comparem ca-
racterísticas do sistema de nu-
meração indo-arábico com ca-
racterísticas do sistema de 
numeração egípcio.
Até o momento, foi sugerido 
que os alunos comparassem 
os sistemas de numeração 
egípcio e romano. Retomando 
essa comparação, solicite que 
eles comparem esses dois sis-
temas com o sistema de nume-
ração decimal, dando exem-
plos que os façam refletir sobre 
as características de cada sis-
tema. Oriente os alunos a com-
parar a quantidade de símbolos 
utilizados em cada sistema e o 
valor que cada símbolo repre-
senta (dando especial atenção 
ao 0). Verifique se os alunos 
percebem que esses três sis-
temas de numeração apresen-
tados utilizam a adição para 
formar números e ressalte a 
característica posicional do 
sistema indo-arábico. Solicite, 
por fim, que comparem o fato 
de se agrupar elementos de 10 
em 10 no sistema decimal com 
o agrupamento nos outros sis-
temas.
De posse das informações 
obtidas na comparação, os alu-
nos podem iniciar uma discus-
são: Por que usamos o sistema 
de numeração decimal? 
Para sistematizar a compa-
ração e a discussão, comente 
sobre as vantagens que o sis-
tema indo-arábico apresenta 
em relação a outros sistemas 
que o precederam. 
Sugestões
Para mais informações sobre os sistemas de numeração e a 
origem do zero, sugerimos os seguintes livros:
I. IFRAH, G. História universal dos algarismos: a inteligência dos 
homens contada pelos números e pelo cálculo. Rio de Janeiro: 
Nova Fronteira, 1999. 
II. IFRAH, G. Os números: a história de uma grande invenção.
9. ed. São Paulo: Globo, 2001.
III. KAPLAN, R. O nada que existe: uma história natural do zero. 
Rio de Janeiro: Rocco, 2001.
IV. TRACANELLA, A. T.; BIANCHINI, B. L. O número zero e o valor 
posicional no sistema de numeração decimal: um estudo sobre a 
construção do conhecimento dos alunos. Revista de Produção 
Discente em Educação Matemática, v. 6, n. 2, p. 65-77. São Paulo, 
SP, 2017. Disponível em: <https://revistas.pucsp.br/index.php/
pdemat/article/view/35421>. Acesso em: 11 out. 2018.
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17MANUAL DO PROFESSOR - UNIDADE 1
Observando a imagem e o quadro com horários de partida, podemos encontrar exemplos de dife-
rentes usos dos números:
• 38 indica a quantidade de passageiros que podem ser transportados sentados;
• considerando a ordem de saída dos ônibus, Marisa pegou o 8o veículo que saiu pela manhã;
• o tempo mínimo de intervalo entre os ônibus, 11 minutos, indica uma medida de tempo;
• o número 149 indica um código que identifica a linha de ônibus utilizada por Marisa.
Responda às questões a seguir no caderno.
a) Qual é o horário de partida do 2o ônibus do dia? 05:50
b) Quantos minutos de intervalo são esperados entre a partida do 3o e a do 4o ônibus do dia? 12 minutos
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Atividades Não escreva no livro!
 14. Observe a cena abaixo e escreva em seu caderno a palavra – código, quantidade, ordem ou medida 
– que melhor representa o uso do número em cada item.
a) Por motivos de segurança, o brinquedo exige que o usuário tenha pelo menos 1ãmetro de altura. 
b) A 5a criança da fila, da esquerda para a direita, veste camisa verde. 
c) Há 7 crianças na fila para utilizar o brinquedo. 
d) A criança de camiseta amarela está digitando um número de telefone: 1253-6498. 
 15. Escreva um texto de até dez linhas usando números com diferentes funções (indicação de quan-
tidade, ordem, medida e código), para descrever um pouco de sua rotina diária em casa ou na 
escola. Depois, troque o texto com seus colegas e comparem como vocês utilizaram os números 
em cada caso. Resposta pessoal.
medida
ordem
quantidade
código
17Capítulo 1 Sistemas de numeração
Atividade complementar
Apresente aos alunos outros sistemas de numeração e explore com eles as regras de cada um, os padrões e as características. Use co-
mo exemplo alguns sistemas de numeração indígenas, como o dos Jurunas:
SUMAIO, P. A. Linguística, numerais e etnomatemática em juruna. Disponível em: <https://repositorio.unesp.br/bitstream/hand
le/11449/121495/sumaio_pa_tcc_arafcl.pdf?sequence=1>. Acesso em: 11 out. 2018.
Descubra com a turma como é o modo de vida dessa tribo e leve os alunos a refletirem sobre as necessidades de utilizar números no 
dia a dia dessas pessoas. Levante o questionamento: O sistema de numeração que usam é suficiente para as atividades que realizam?
Deixe claro que, apesar de o sistema de numeração indo-arábico parecer-nos mais vantajoso, não se encaixa, necessariamente, à 
cultura de outras pessoas.
Ao explorar os diferentes 
usos dos números, incentive 
os alunos a dar outros exem-
plos de situações em que usa-
mos números no dia a dia, dis-
tinguindo quando os números 
são usados para indicar quan-
tidade, ordem, medida ou códi-
go. Uma possibilidade de traba-
lho é pedir a eles que levem 
para a aula recortes de jornais 
ou revistas em que apareçam 
representações numéricas e 
que elaborem cartazes com 
esse material, explicitando os 
diferentes usos dos números 
em cada caso. 
A atividade 15, que envolve 
produção textual, permite ava-
liar o domínio dos alunos sobre 
a linguagem escrita analisan-
do se eles organizam as ideias 
de forma coerente, como es-
crevem os números (com alga-
rismos ou por extenso), verifi-
cando se cometem eventuais 
erros de ortografia na escrita 
dos números, etc.
Exemplo de resposta: Hoje 
acordei às 6 horas da manhã 
(medida). Eu fui a 3a pessoa 
(ordem) da casa a se levantar, 
pois meu irmão e minha mãe já 
estavam tomando café da ma-
nhã quando eu acordei. Ao to-
mar café da manhã, comi
2 pãezinhos (quantidade) e de-
pois tomei o ônibus da linha 
308 (código) para ir à escola.
TRILHAS_MP_PNLD2020_6ANO_UN1_001a031.indd 17 10/23/18 8:20 AM
MANUAL DO PROFESSOR - UNIDADE 118
Tabelas
Apresentando a situação
Leia o trecho a seguir a respeito da fauna brasileira.
A caatinga ocupa uma área de cerca de 844 453 quilômetros 
quadrados [...]. Engloba os estados Alagoas, Bahia, Ceará, Mara-
nhão, Pernambuco, Paraíba, Rio Grande do Norte, Piauí, Sergi-
pe e o norte de Minas Gerais. Rico em biodiversidade, o bioma 
abriga 178 espécies de mamíferos, 591 de aves, 177 de répteis, 
79 espécies de anfíbios, 241 de peixes e 221 abelhas. Cerca de 
27 milhões de pessoas vivem na região, a maioria carente e de-
pendente dos recursos do bioma para sobreviver. A caatinga 
tem um imenso potencial para a conservação de serviços am-
bientais, uso sustentável e bioprospecção que, se bem explo-
rado, será decisivo para o desenvolvimento da região e do país. 
Apesar da sua importância, o bioma tem sido desmatado 
de forma acelerada, principalmente nos últimos anos, devido 
principalmente ao consumo de lenha nativa, explorada de for-
ma ilegal e insustentável, para fins domésticos e indústrias, ao 
sobrepastoreio e a conversão para pastagens e agricultura.
Fonte: GOVERNO DO BRASIL. Caatinga. Ministério do Meio Ambiente. 
Disponível em: <http://www.mma.gov.br/biomas/caatinga.html>. 
Acesso em 24 set. 2018
Trabalhando com a informação Não escreva no livro!
Bioprospecção: atividade que busca por 
organismos e compostosque tenham 
valor econômico.
Sobrepastoreio: uso intensivo do pasto ou 
por longos períodos.
D
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Bodes em Custódia, Pernambuco, Brasil. 
A vegetação e o solo da foto são 
característicos da Caatinga. Fotografia de 2017.
Organizando os dados
O texto aponta que a Caatinga abriga uma gran-
de diversidade de espécies animais, além de vive-
rem cerca de 27 milhões de pessoas na região. 
Esses dados mostram a importância desse bioma.
Os números apresentados no texto podem ser 
organizados em uma tabela.
As tabelas são compostas de fileiras horizontais 
(linhas), fileiras verticais (colunas), título e fonte. 
No topo da tabela está o título, que indica, de 
maneira resumida, o conteúdo dela. Abaixo da 
tabela, está a fonte dos dados apresentados.
Na tabela acima, a coluna da esquerda lista os tipos de animais citados no texto e a coluna da direita fornece 
a quantidade de espécies de animais de cada tipo. Por exemplo, a linha da tabela indicada pela seta vermelha 
informa que há 178 espécies de mamíferos na Caatinga.
Note que a partir da tabela acima é possível analisar melhor as informações numéricas apresentadas pelo 
texto. Podemos observar, por exemplo, que há mais espécies de aves na Caatinga do que espécies de 
répteis. Podemos também observar que, entre os tipos de animais citados no texto, os anfíbios são os que 
possuem menor número de espécies na Caatinga.
De modo geral, organizar dados em tabelas facilita a sua leitura e análise, o que possibilita interpretar os 
dados com mais rapidez e eficiência. 
Número de espécies animais na Caatinga, por tipo
Tipo Número de espécies
Mamíferos 178
Aves 591
Répteis 177
Anfíbios 79
Peixes 241
Abelhas 221
Dados obtidos em: <http://www.mma.gov.br/biomas/caatinga.html>. 
Acesso em: 24 set. 2018.
18 Unidade 1 Sistemas de numeração e números naturais
Habilidade da BNCC
 (EF06MA32) Interpretar e 
resolver situações que en-
volvam dados de pesquisas 
sobre contextos ambien-
tais, sustentabilidade, trân-
sito, consumo responsável, 
entre outros, apresentadas 
pela mídia em tabelas e em 
diferentes tipos de gráficos 
e redigir textos escritos 
com o objetivo de sintetizar 
conclusões.
 Trabalhando com a 
informa•‹o
Neste momento, a ideia é 
explorar a unidade temática 
Probabilidade e estatística por 
meio da leitura de dados orga-
nizados em tabela. A situação 
apresentada explora um tema 
de grande relevância para a 
formação do aluno – a discus-
são sobre o desmatamento e a 
preservação do bioma Caatin-
ga e das espécies que lá habi-
tam.
Avalie a possibilidade de 
realizar um trabalho integrado 
com o professor de Geografia. 
Peça aos alunos que pesqui-
sem fotos antigas e atuais de 
um mesmo local onde se possa 
ver características da Caatiga, 
comparando as modificações 
das paisagens, identificando 
as características transforma-
das pelo trabalho humano a 
partir do desenvolvimento da 
agropecuária e do processo de 
industrialização (EF06GE06).
TRILHAS_MP_PNLD2020_6ANO_UN1_001a031.indd 18 10/23/18 8:20 AM
19MANUAL DO PROFESSOR - UNIDADE 1
(Obmep) O ano 2002 é palíndromo porque é o mes-
mo quando lido da direita para a esquerda.
33 e 1221 foram 
anos palíndromos.
a) Qual será o próximo ano palíndromo depois 
de 2002?
b) O último ano palíndromo, 1991, era ímpar. 
Quando será o próximo ano palíndromo ímpar?
Entendimento do problema
Inicialmente devemos identificar qual é a pergun-
ta do problema. Nesse caso, vamos compreender o 
que pede o item a: Qual será o próximo ano palín-
dromo depois de 2002?
Para resolver esse item, é preciso entender o que é 
um número palíndromo. No caso de um número de 
3 algarismos, esse número é palíndromo se o alga-
rismo da ordem das unidades for igual ao da ordem 
das centenas. No caso de um número de 4  alga-
rismos, o algarismo da ordem das unidades deve 
ser igual ao da ordem das unidades de milhar, e o 
algarismo da ordem das dezenas deve ser igual ao 
da ordem das centenas.
Elaboração de uma estratégia
De um número palíndromo de 4 algarismos, po-
demos obter outros números palíndromos de 
4 algarismos:
Resposta pessoal.
Análise da resolução
Não escreva no livro!
1) se trocarmos ambos os algarismos das extremida-
des (unidade e unidade de milhar) por 2 outros 
que sejam iguais entre si;
2) se trocarmos os algarismos centrais (dezena e 
centena) por 2 outros que sejam iguais entre si;
3) se fizermos as duas trocas indicadas anteriormen-
te ao mesmo tempo.
Para que seja obtido o próximo ano palíndromo, o 
número 2002 deve ter seus algarismos modificados 
de modo que o número resultante seja maior que 
2002, mas o mais próximo possível deste.
Podemos escolher trocar os algarismos das extremi-
dades ou os centrais. Como queremos encontrar o 
número palíndromo mais próximo de 2002, precisa-
mos trocar apenas os algarismos centrais.
Execução da estratégia
Trocando os algarismos centrais pelo sucessor de 
zero, ou seja, 1, obtemos o número 2112. Esse nú-
mero corresponde ao próximo ano palíndromo.
Análise da solução
Nesse caso, o raciocínio construído logicamente nos 
assegura de que a solução está correta, e o núme-
ro 2112 é o mesmo quando lido da direita para a 
esquerda.
É a sua vez!
• Agora, use o que você aprendeu para obter a 
resposta do item b. 3003
Analisando os dados
De acordo com os dados apresentados na tabela, responda:
a) Dos tipos de animais citados, qual é o que está mais presente na Caatinga, em número de espécies? 
b) Há mais espécies de peixes ou de abelhas na Caatinga? peixes
c) Você costuma encontrar tabelas no seu cotidiano? Cite três exemplos. Você acredita que as tabelas pre-
sentes nos exemplos que você citou, de fato, auxiliam na leitura de algumas informações? Resposta pessoal.
Pratique mais
O texto menciona o rápido desmatamento que está ocorrendo na Caatinga. Com base nessas informações 
e na tabela, redija um texto sobre a biodiversidade desse bioma e os motivos para preservá-lo. 
aves
Resposta pessoal.
19Capítulo 1 Sistemas de numeração
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Tabelas
Apresentando a situação
Leia o trecho a seguir a respeito da fauna brasileira.
A caatinga ocupa uma área de cerca de 844 453 quilômetros 
quadrados [...]. Engloba os estados Alagoas, Bahia, Ceará, Mara-
nhão, Pernambuco, Paraíba, Rio Grande do Norte, Piauí, Sergi-
pe e o norte de Minas Gerais. Rico em biodiversidade, o bioma 
abriga 178 espécies de mamíferos, 591 de aves, 177 de répteis, 
79 espécies de anfíbios, 241 de peixes e 221 abelhas. Cerca de 
27 milhões de pessoas vivem na região, a maioria carente e de-
pendente dos recursos do bioma para sobreviver. A caatinga 
tem um imenso potencial para a conservação de serviços am-
bientais, uso sustentável e bioprospecção que, se bem explo-
rado, será decisivo para o desenvolvimento da região e do país. 
Apesar da sua importância, o bioma tem sido desmatado 
de forma acelerada, principalmente nos últimos anos, devido 
principalmente ao consumo de lenha nativa, explorada de for-
ma ilegal e insustentável, para fins domésticos e indústrias, ao 
sobrepastoreio e a conversão para pastagens e agricultura.
Fonte: GOVERNO DO BRASIL. Caatinga. Ministério do Meio Ambiente. 
Disponível em: <http://www.mma.gov.br/biomas/caatinga.html>. 
Acesso em 24 set. 2018
Trabalhando com a informação Não escreva no livro!
Bioprospecção: atividade que busca por 
organismos e compostos que tenham 
valor econômico.
Sobrepastoreio: uso intensivo do pasto ou 
por longos períodos.
D
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i/
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g
e
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Bodes em Custódia, Pernambuco, Brasil. 
A vegetação e o solo da foto são 
característicos da Caatinga. Fotografia de 2017.
Organizando os dados
O texto aponta que a Caatinga abriga uma gran-
de diversidade de espécies animais, além de vive-
rem cerca de 27 milhões de pessoas na região. 
Esses dados mostram a importância desse bioma.
Os números apresentados no textopodem ser 
organizados em uma tabela.
As tabelas são compostas de fileiras horizontais 
(linhas), fileiras verticais (colunas), título e fonte. 
No topo da tabela está o título, que indica, de 
maneira resumida, o conteúdo dela. Abaixo da 
tabela, está a fonte dos dados apresentados.
Na tabela acima, a coluna da esquerda lista os tipos de animais citados no texto e a coluna da direita fornece 
a quantidade de espécies de animais de cada tipo. Por exemplo, a linha da tabela indicada pela seta vermelha 
informa que há 178 espécies de mamíferos na Caatinga.
Note que a partir da tabela acima é possível analisar melhor as informações numéricas apresentadas pelo 
texto. Podemos observar, por exemplo, que há mais espécies de aves na Caatinga do que espécies de 
répteis. Podemos também observar que, entre os tipos de animais citados no texto, os anfíbios são os que 
possuem menor número de espécies na Caatinga.
De modo geral, organizar dados em tabelas facilita a sua leitura e análise, o que possibilita interpretar os 
dados com mais rapidez e eficiência. 
Número de espécies animais na Caatinga, por tipo
Tipo Número de espécies
Mamíferos 178
Aves 591
Répteis 177
Anfíbios 79
Peixes 241
Abelhas 221
Dados obtidos em: <http://www.mma.gov.br/biomas/caatinga.html>. 
Acesso em: 24 set. 2018.
18 Unidade 1 Sistemas de numeração e números naturais
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Habilidade da BNCC
 (EF06MA03) Resolver e 
elaborar problemas que en-
volvam cálculos (mentais 
ou escritos, exatos ou apro-
ximados) com números na-
turais, por meio de estra-
tégias variadas, com com-
preensão dos processos ne-
les envolvidos com e sem 
uso de calculadora.
Atividade 
complementar
Proponha aos alunos ou-
tras questões, como: Qual 
é o maior número palíndro-
mo de quatro algarismos? 
(Resposta: 9 999) e Qual 
será o primeiro ano palín-
dromo de cinco algaris-
mos? (Resposta: 10 001).
Nesta seção é apresentado 
um problema sobre números 
palíndromos. A resolução des-
se tipo de problema exige a ob-
servação de regularidades en-
volvendo os algarismos usa-
dos na escrita de tais números.
Os números palíndromos 
(ou números capicuas) des-
pertam interesse devido à “si-
metria” na disposição dos al-
garismos. Há algumas curio-
sidades envolvendo números 
que representam horários e 
datas, em que podemos ler os 
símbolos usados nessas re-
presentações da esquerda pa-
ra a direita ou da direita para a 
esquerda. Por exemplo: os al-
garismos que indicam o dia 8 
de outubro de 2018 podem ser 
dispostos da seguinte manei-
ra: 8 102 018. Peça aos alunos 
que observem que lemos a 
mesma sequência de algaris-
mos da esquerda para a direita 
e da direita para a esquerda. Se 
julgar pertinente, peça a eles 
que escrevam outros números 
palíndromos que envolvam da-
tas e horários e comparem 
com os colegas os números 
obtidos.
 Análise da resolução
TRILHAS_MP_PNLD2020_6ANO_UN1_001a031.indd 19 7/5/19 4:36 PM
MANUAL DO PROFESSOR - UNIDADE 120
Não escreva no livro!Atividades complementares Não escreva no livro!
 1. Caio inventou um modo curioso de representar 
os símbolos do sistema de numeração romano 
usando os dedos de suas mãos. 
Mostre a um colega como Caio representa-
ria com os dedos os números a seguir, de 
acordo com as regras do sistema de nume-
ração romano.
a) 18 b) 39 c) 24 d) 48
 2. Escreva os números a seguir em ordem crescente. 
DCXVII MCDLIII CXLIX CCXL LXXXIX
 3. Neste capítulo, você estudou alguns sistemas 
de numeração. Ao longo da história da hu-
manidade existiram diversos outros sistemas 
de numeração, como o usado pelos maias, 
civilização que existiu no território que atual-
mente constitui o México e a América Central. 
A civilização Maia é considerada uma das 
mais avançadas do período pré-colombiano 
(de modo simplificado, corresponde ao perío-
do anterior à chegada de Cristóvão Colombo 
à América). Veja alguns símbolos maias utili-
zados para representar quantidades:
0 1 2 3 4
5 6 7 8 9
10 11 12 13 14
Veja resposta no final do livro.
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LXXXIX, CXLIX, CCXL, DCXVII, MCDLIII
a) Observe novamente como eram repre-
sentados os números de 0 a 14 por sím-
bolos maias. Como você representaria o 
número dezessete?
b) Reúna-se com um colega para pesquisar 
o sistema de numeração maia e redijam 
um pequeno texto sobre esse assunto.
 4. Escreva usando algarismos indo-arábicos:
a) o maior número com 4 algarismos distintos. 
b) o menor número com 3 algarismos distintos. 
 5. Escreva quatro números de três algarismos di-
ferentes formados pelos algarismos 3, 0 e 4. 
 6. (Olimpíada Canguru de Matemática) Gregório 
quer usar uma vez cada um dos algarismos 1, 
2, 3, 4, 5 e 6 para escrever dois números de 
três algarismos cada um. Ele deseja somar os 
dois números assim obtidos e achar a maior 
soma possível. Qual é essa soma?
a) 975
b) 999
c) 1083
d) 1173
e) 1221
 7. Qual é o próximo número palíndromo depois de:
a) 1 001? 1 111 b) 494? 505
 8. O aniversário de Carlos é no dia 20 de julho. 
Em agosto de 2005, ao preencher uma ficha 
na escola, o rapaz inverteu a posição dos dois 
últimos algarismos do ano em que nasceu. 
A professora que recebeu a ficha lhe disse:
2 Carlos, por favor, corrija o ano de seu nas-
cimento, senão as pessoas vão pensar que 
você tem 56 anos!
 Qual era a idade correta de Carlos no dia em 
que preencheu a ficha? 11 anos
 9. Vimos que uma das características do sistema 
de numeração indo-arábico é ser posicional, 
ou seja, a posição que um algarismo ocupa 
no número modifica seu valor. Leia os núme-
ros abaixo, escritos no sistema de numeração 
romano, e responda: este é um sistema de 
numeração posicional? Justifique sua resposta.
CLIX CMXIII
Veja resposta no final do livro.
Resposta pessoal.
9 876
102
304, 340, 403 e 430
X
8. Pergunte aos alunos se a informação sobre a data de aniversário de Carlos tem alguma importância para a resolução do problema. 
Espera-se que eles percebam que essa informação é para assegurar que Carlos já fez aniversário em agosto de 2005, evitando, 
assim, ambiguidades nas respostas.
9. Em ambos os números 2 159 e 913 2 o símbolo I tem valor 1 unidade e o símbolo X tem valor 10 unidades, porém foram escritos em 
posições diferentes; o sistema de numeração romano não é posicional.
20 Unidade 1 Sistemas de numeração e números naturais
Habilidades da BNCC 
 (EF06MA02) Reconhecer 
o sistema de numeração 
decimal, como o que preva-
leceu no mundo ocidental, 
e destacar semelhanças e 
diferenças com outros sis-
temas, de modo a sistema-
tizar suas principais ca-
racterísticas (base, valor 
posicional e função do ze-
ro), utilizando, inclusive, a 
composição e decomposi-
ção de números naturais e 
números racionais em sua 
representação decimal.
 (EF06MA03) Resolver e 
elaborar problemas que en-
volvam cálculos (mentais ou 
escritos, exatos ou aproxi-
mados) com números natu-
rais, por meio de estratégias 
variadas, com compreen-
são dos processos neles 
envolvidos com e sem uso 
de calculadora.
sentar esse número, indicando o valor posicional de cada alga-
rismo. Assim eles poderão perceber que, neste caso, o número 
representado é o 34 (que possui dois dígitos).
 Atividades 
complementares
A atividade 1 é uma oportu-
nidade para explorar a intera-
ção entre os alunos. Desafie-os 
a criar os gestos para represen-
tar os números cem, quinhen-
tos e mil, para ampliar as possi-
bilidades de números que 
podem ser representados.
Ao trabalhar a atividade 3, 
avalie a possibilidade de de-
senvolver um trabalho com o 
professor de História e incen-
tive os alunos a descobrir mais 
informações sobre essa civili-
zação pré-colombiana. Oriente 
os alunos a perceber o padrão 
que existe na sequência apre-
sentada, para que possam res-
ponder ao item a. Eles podem, 
a partir disso, fazer hipóteses 
de quais são as característicasdesse sistema de numeração 
e compará-lo aos demais estu-
dados no capítulo. 
Na atividade 5 alguns alunos 
podem escrever números co-
mo 3,04. Caso isso ocorra é im-
portante verificar se com-
preendem o que esse número 
representa. Para isso, pode-se 
perguntar: O que indica a vírgu-
la? O que esse número repre-
senta? Dê um exemplo de uma 
situação em que esse número 
pode ser usado. É possível tam-
bém que alguns alunos respon-
dam “034”. Caso isso ocorra, 
peça que usem o quadro de 
classes e ordens para repre-
TRILHAS_MP_PNLD2020_6ANO_UN1_001a031.indd 20 10/23/18 8:20 AM
21MANUAL DO PROFESSOR - UNIDADE 1
Conjunto dos números naturais
Os números 1, 2, 3, 4, ..., utilizados na contagem dos elementos de uma coleção de objetos, formam 
juntamente com o zero um conjunto denominado conjunto dos números naturais, representado por N. 
N � {0, 1, 2, 3, 4, ...}
Podemos representar os números naturais em uma reta numérica, associando cada número natural a 
um ponto dessa reta. Nela, os números são posicionados em ordem crescente, no sentido indicado pela 
seta. Vamos considerar uma reta com uma seta apontando para a direita e ver como marcamos os números 
naturais nela.
• Indicamos um dos pontos da reta numérica como origem e associamos a ele o número zero.
0
• Escolhemos uma unidade de medida de comprimento qualquer e marcamos pontos na reta igual-
mente espaçados entre si.
0
1 unidade
• Ao primeiro ponto marcado à direita da origem associamos o número 1; ao segundo ponto à direita 
da origem, o número 2; e assim por diante.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Sequência dos números naturais
Quando organizamos os números naturais em ordem crescente, do menor para o maior, obtemos a 
sequência dos números naturais: 
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, ...
Observe que essa sequência começa com o zero e cada termo, a partir do segundo, é obtido adicionan-
do-se 1 ao termo anterior:
0 � 1 � 1, 1 � 1 � 2, 2 � 1 � 3, 3 � 1 � 4, e assim por diante.
Números naturais2
CA
PÍ
TU
LO
21Capítulo 2 Números naturais
Habilidade da BNCC
 (EF06MA01) Comparar, or-
denar, ler e escrever núme-
ros naturais e números 
racionais cuja representa-
ção decimal é finita, fazen-
do uso da reta numérica. 
Neste capítulo, os alunos 
vão retomar a leitura, escrita e 
ordenação dos números natu-
rais e trabalhar com conceitos 
de antecessor, sucessor, nú-
meros pares e números ímpa-
res. Além disso, vão comparar 
números naturais e realizar ar-
redondamentos utilizando a 
reta numérica.
 Conjunto dos 
números naturais
É importante que os alunos 
compreendam que, dados dois 
números naturais consecuti-
vos, não há nenhum outro nú-
mero natural entre eles.
Aproveite para indagar os 
alunos sobre o que poderia re-
presentar em uma reta numé-
rica os espaços vazios entre os 
números naturais. Verifique se 
eles percebem que esses es-
paços são ocupados por núme-
ros de outra natureza, como as 
frações e os números deci-
mais, os quais já fazem parte 
de situações cotidianas dos 
alunos e serão estudados pos-
teriormente.
TRILHAS_MP_PNLD2020_6ANO_UN1_001a031.indd 21 10/25/18 3:56 PM
MANUAL DO PROFESSOR - UNIDADE 122
 1. Classifique cada afirmação a seguir em verdadeira ou falsa.
a) Um número natural pode ser maior que seu sucessor. falsa
b) O antecessor de um número natural sempre é menor que o sucessor desse número. verdadeira
 2. Dois ou mais números naturais são chamados consecutivos quando um vem imediatamente após o 
outro na sequência dos números naturais. Elabore frases que relacionem os números consecutivos 
de cada item usando as palavras antecessor ou sucessor. 
a) 12 e 13 12 é antecessor de 13.
b) 38, 39 e 40 39 é sucessor de 38 e antecessor de 40.
c) 119, 120, 121 e 122 120 é sucessor de 119 e 121 é antecessor de 122.
 3. Em cada caso, compare os números naturais e escreva as sentenças no caderno substituindo cada 
 pelo símbolo: . (maior que), , (menor que) ou 5 (igual a).
a) 63 36 . b) 59 60 , c) 412 412 d) 109 190 , e) 801 799 .
 4. Copie o quadro ao lado no ca-
derno e complete-o escreven-
do o sucessor e o antecessor, 
se houver, de cada número 
natural apresentado.
 5. Observe a reta numérica representada abaixo.
10 12 13 14
 Cada uma das fichas abaixo corresponde a um dos números representados nessa reta numérica.
A B C D
 Associe cada ficha ao número correspondente, de acordo com as pistas indicadas a seguir. 
• A é maior do que C.
• B é sucessor de D.
• B é 2 unidades maior que A.
 6. Copie no caderno as retas numéricas representadas a seguir e descubra quais números naturais 
podem substituir cada .
a) 
15
1 unidade
b) 
1
 
000
1 unidade
c) 
260
1 unidade
Exemplos de resposta:
B
a
n
c
o
 d
e
 i
m
a
g
e
n
s
/
A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
A: 12; B: 14; C: 10; D: 13
16 19
997 1 004
252 254 256 258
Atividades Não escreva no livro!
5
Antecessor Número Sucessor
 0 1
24 25 26
98 99 100
999 1 000 1 001
23Capítulo 2 Números naturais
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Sucessor
O sucessor de um número natural é o termo que vem imediatamente após 
o número considerado na sequência dos números naturais e, por isso, ele pode 
ser obtido adicionando-se 1 a esse número. Por exemplo:
• 20 é o sucessor de 19.
• 302 é o sucessor de 301.
Note que todo número natural tem um sucessor e sempre é possível adicionar 1 
a um número natural. Assim, como não existe um número natural que seja o maior 
de todos, dizemos que o conjunto dos números naturais tem infinitos elementos.
Antecessor
O antecessor de um número natural é o termo que vem imediatamente an-
tes do número considerado na sequência dos números naturais. Todo número 
natural, com exceção do zero, tem um antecessor em N, que pode ser obtido 
subtraindo-se uma unidade do número natural considerado. Por exemplo:
• 50 é o antecessor de 51.
• 619 é o antecessor de 620.
Números pares e números ímpares
Dentro da sequência dos números naturais, podemos destacar outras 
duas sequências:
• a sequência dos números pares: 
0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, ... 
• a sequência dos números ímpares: 
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, ... 
Note que as duas sequências seguem a mesma regra: os termos aumentam 
de 2 em 2 unidades.
a) Converse com seus colegas e tente identificar alguma característica comum aos 
números pares. 
b) O número 28 é par? E o número 41, é par? Como você descobriu?
Comparando números naturais
Podemos comparar dois números naturais usando os símbolos . (maior que), 
, (menor que) ou 5 (igual a).
Acompanhe o exemplo a seguir.
O diretor da escola Harmonia organizou os dados relacionados ao número 
de alunos das três turmas do 6o ano em uma tabela.
Número de alunos do 6o ano da escola Harmonia 
Turma A B C
Número de alunos 33 29 33
Dados elaborados pelo autor.
Observando a tabela, podemos afirmar que:
• O número de alunos da turma A (33) é maior que o número de alunos da 
turma B (29). Escrevemos: 33 . 29. 
• O número de alunos da turma B (29) é menor que o número de alunos da 
turma C (33). Escrevemos: 29 , 33.
• O número de alunos da turma A (33) é igual ao número de alunos da 
turma C (33). Escrevemos: 33 5 33.
Responda no caderno:
a) Qual é o sucessor de 
209? 210
b) E qual é o sucessor 
de 5 132? 5 133
c) Qual é o antecessor 
de 475? 474
d) E qual é o 
antecessor de 
1 099? 1 098
b) O número 28 é par porque 
termina em 8. O número 41 
não é par porque termina em 
1. Espera-se que os alunos 
expliquem que observaram a 
regularidade da sequência dos 
números pares e identificaram 
que 28 pertence à sequência 
dos pares, mas 41 não 
pertence a essa sequência.
a) Espera-se que os alunos notem que os números pares terminam 
em 0, 2, 4, 6 ou 8.
22 Unidade 1 
Trilhas_da_Matematica_PNLD2020_6ANO_LA_U1_C2_021A031.indd 22 7/5/19 1:42 PM
O trabalho com sequências 
e padrões permite ao aluno 
fazer generalizações. Explo-
rar sequências numéricas re-
presenta umaimportante 
aplicação das operações e 
prepara o aluno para o pensa-
mento algébrico mediante a 
generalização.
Ao estudar os números na-
turais, apresentamos também 
a classificação deles em nú-
meros pares e números ímpa-
res, um conceito já visto nos 
anos iniciais do Ensino Funda-
mental, mas que é retomado 
com o objetivo de relacioná-lo 
posteriormente com a divisibi-
lidade por 2 e o critério corres-
pondente. Se julgar relevante, 
explore situações do dia a dia 
em que os números pares e os 
números ímpares são utiliza-
dos, como em numeração das 
casas de uma rua, de assentos 
de ônibus de viagens intermu-
nicipais, jogo de par ou ímpar, 
etc. Aproveite para propor aos 
alunos uma reflexão sobre a 
quantidade de números em ca-
da sequência apresentada. Ve-
rifique se eles percebem que 
há infinitos números pares e 
infinitos números ímpares.
Ao trabalhar com a compa-
ração dos números naturais, 
enfatize a importância de sa-
ber comunicar e se expressar 
em linguagem matemática pa-
ra que os alunos valorizem o 
uso correto dos sinais < (me-
nor que) e > (maior que). 
Peça aos alunos que repre-
sentem em uma reta numérica 
os dados expressos na tabela 
e, depois, os comparem. Ob-
serve como eles fazem essa 
representação: se começam 
representando os números a 
partir do 0 ou a partir do 29, por 
exemplo. Eles devem com-
preender que não é necessário 
representar todos os números 
naturais na reta numérica.
TRILHAS_MP_PNLD2020_6ANO_UN1_001a031.indd 22 7/5/19 4:37 PM
23MANUAL DO PROFESSOR - UNIDADE 1
 1. Classifique cada afirmação a seguir em verdadeira ou falsa.
a) Um número natural pode ser maior que seu sucessor. falsa
b) O antecessor de um número natural sempre é menor que o sucessor desse número. verdadeira
 2. Dois ou mais números naturais são chamados consecutivos quando um vem imediatamente após o 
outro na sequência dos números naturais. Elabore frases que relacionem os números consecutivos 
de cada item usando as palavras antecessor ou sucessor. 
a) 12 e 13 12 é antecessor de 13.
b) 38, 39 e 40 39 é sucessor de 38 e antecessor de 40.
c) 119, 120, 121 e 122 120 é sucessor de 119 e 121 é antecessor de 122.
 3. Em cada caso, compare os números naturais e escreva as sentenças no caderno substituindo cada 
 pelo símbolo: . (maior que), , (menor que) ou 5 (igual a).
a) 63 36 . b) 59 60 , c) 412 412 d) 109 190 , e) 801 799 .
 4. Copie o quadro ao lado no ca-
derno e complete-o escreven-
do o sucessor e o antecessor, 
se houver, de cada número 
natural apresentado.
 5. Observe a reta numérica representada abaixo.
10 12 13 14
 Cada uma das fichas abaixo corresponde a um dos números representados nessa reta numérica.
A B C D
 Associe cada ficha ao número correspondente, de acordo com as pistas indicadas a seguir. 
• A é maior do que C.
• B é sucessor de D.
• B é 2 unidades maior que A.
 6. Copie no caderno as retas numéricas representadas a seguir e descubra quais números naturais 
podem substituir cada .
a) 
15
1 unidade
b) 
1
 
000
1 unidade
c) 
260
1 unidade
Exemplos de resposta:
B
a
n
c
o
 d
e
 i
m
a
g
e
n
s
/
A
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u
iv
o
 d
a
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A: 12; B: 14; C: 10; D: 13
16 19
997 1 004
252 254 256 258
Atividades Não escreva no livro!
5
Antecessor Número Sucessor
 0 1
24 25 26
98 99 100
999 1 000 1 001
23Capítulo 2 Números naturais
Caso os alunos sintam difi-
culdade em classificar em ver-
dadeira ou falsa cada afirma-
ção da atividade 1, peça que 
usem exemplos para ilustrar a 
situação apresentada. 
Na atividade 5, é possível 
que os alunos escrevam as le-
tras A, B, C e D em pedaços se-
parados de papel, para que 
possam organizá-los de acor-
do com as pistas. Assim, é 
possível associar a ordem re-
presentada pelos pedaços de 
papel com a ordem dos núme-
ros na reta numérica. Propo-
nha aos alunos que reflitam: 
Se as fichas representassem 
números naturais, mas não 
houvesse a indicação dos nú-
meros na reta numérica, como 
seriam organizadas de acordo 
com as pistas? Neste caso, 
eles devem perceber que o nú-
mero representado pela ficha 
C pode ser qualquer um menor 
do que o representado pela fi-
cha A e os números represen-
tados pelas fichas A, B e C
podem ser quaisquer três nú-
meros consecutivos (nessa 
ordem), com A > C.
TRILHAS_MP_PNLD2020_6ANO_UN1_001a031.indd 23 10/23/18 8:20 AM
MANUAL DO PROFESSOR - UNIDADE 124
Arredondamentos 
Antônio pesquisou em 5 capitais o valor de uma cesta básica de alimentos com 13 itens: carne, leite, 
feijão, arroz, farinha, batata, legumes, pão francês, café em pó, frutas, açúcar, óleo e manteiga. 
Veja na tabela abaixo os valores que Antônio obteve em setembro de 2017.
Preço da cesta básica em algumas capitais em setembro de 2017
Município Preço (em real)
Natal 336
Porto Alegre 446
Recife 341
Salvador 332
São Paulo 432
Dados obtidos em: <http://agenciabrasil.ebc.com.br/economia/noticia/2017-09/preco-da-cesta-basica-diminui-em-21-capitais-aponta-dieese>. 
Acesso em: 4 set. 2018.
Dependendo da situação, pode ser conveniente arredondar um número para facilitar os cálculos ou a 
comunicação. Por exemplo, veja como podemos arredondar o número correspondente ao preço da cesta 
básica em Recife para o número com dezena exata mais próximo.
330 340
341
350
Como o número 341 está mais próximo de 340 do que de 350, arredondamos 341 para 340.
Agora, considere esta outra representação e veja como podemos arredondar o número 341 para a cen-
tena exata mais próxima.
200 300
341
400
350
Como o número 341 está mais próximo de 300 do que de 400, arredondamos 341 para 300.
 7. A distância entre a Terra e a Lua é de aproximadamente 384 400 quilômetros. Arredonde esse nú-
mero para o número com dezena de milhar exata mais próximo. 380 000
 8. A distância entre a Terra e o Sol é de aproximadamente 149 597 871 quilômetros. Arredondando 
esse número para o número com dezena de milhão exata mais próximo, qual número obtemos? 
 9. O estádio de futebol de uma cidade tem capacidade para receber 32 579 torcedores. Nos quatro últimos 
jogos realizados nesse estádio, os públicos foram de 28 322, 30 112, 23 795 e 19 469 torcedores. 
Arredonde a capacidade do estádio e os públicos de cada um dos quatro últimos jogos para:
a) o número com centena exata mais próximo. 32 600, 28 300, 30 100, 23 800 e 19 500
b) o número com unidade de milhar exata mais próximo. 33 000, 28 000, 30 000, 24 000 e 19 000
c) a dezena de milhar exata mais próxima. 30 000, 30 000, 30 000, 20 000 e 20 000
 Agora, compare os arredondamentos dos números 32 579, 28 322 e 30 112 para a dezena de milhar 
exata mais próxima. O que você pode dizer sobre esses arredondamentos?
150 000 000
Os arredondamentos são iguais.
Comente com os alunos que números diferentes podem ter o mesmo arredondamento dependendo da ordem escolhida.
Atividades Não escreva no livro!
24 Unidade 1 Sistemas de numeração e números naturais
Habilidade da BNCC
 (EF06MA12) Fazer estima-
tivas de quantidades e 
aproximar números para 
múltiplos da potência de 10 
mais próxima.
A valorização de diferentes 
procedimentos de cálculo e do 
uso de estimativa tem ganha-
do destaque nas propostas de 
ensino nas últimas décadas. O 
uso de arredondamentos co-
mo estratégia de cálculo apro-
ximado é muito comum em si-
tuações cotidianas de compra 
e venda de produtos. Além dis-
so, é comum o uso de arredon-
damentos para facilitar a co-
municação.
Comente com os alunos que 
não há um único modo de arre-
dondar os números, mas exis-
tem modos mais adequados 
ou menos adequados, de acor-
do com o que se pretende ao 
fazer o arredondamento.
Pergunte aos alunos quais 
dos arredondamentos apre-
sentados seria melhor para cal-
cular mentalmente o valor apro-
ximado que Antônio gastaria na 
compra de 8 cestas básicas em 
Recife: arredondar o número 
341 para o número com dezena 
exata mais próximo ou para o 
número com centena exata 
mais próximo? Espera-se que 
eles concluam que o arredon-
damento para a centena mais 
próximafacilitaria esse cálculo. 
Aproveite o contexto de ces-
ta básica para falar sobre al-
guns temas relevantes com os 
alunos. Peça que pesquisem 
quais itens compõem a cesta 
básica e como eles são escolhi-
dos. Se julgar adequado, peça 
que comparem o preço do salá-
rio mínimo vigente com o preço 
da cesta básica. Informe-se 
melhor sobre o assunto aces-
sando o site do DIEESE. Dispo-
nível em: <https://www.dieese.
org.br/analisecestabasica/
analiseCestaBasica201808.
html>. Acesso em: 12 out. 2018.
A seguir, apresentamos 
uma possível maneira de re-
solver a situação proposta na 
atividade 4 da página 25.
No item a podemos conside-
rar dois casos para resolver es-
ta situação: obter a quantidade 
de peças necessárias para 
compor os números de apenas 
1 algarismo e a quantidade de 
peças necessárias para com-
por números de 2 algarismos:
 Arredondamentos
 � Quantidade de peças necessárias para compor números de 
apenas 1 algarismo: 
 Esses números são 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, ou seja, para iden-
tificar os apartamentos com esses números o gerente do ho-
tel precisará de 9 peças.
 � Quantidade de peças necessárias para compor números de 
2 algarismos:
 Esses números fazem parte da sequência de números natu-
rais que começa em 10 e vai até 99, ou seja, são 90 números 
no total. Como cada um desses números é formado por 2 al-
garismos, serão necessárias 180 peças (para identificar os 
apartamentos numerados de 10 a 99.
Portanto, ao todo serão necessárias 189 peças (180 + 9 = 189).
No item b, podemos considerar que, dos números de 1 a 99, aque-
les que têm o algarismo 4 na ordem das unidades são: 4, 14, 24, 
34, 44, 54, 64, 74, 84 e 94. Para compor esses números serão ne-
cessárias 11 peças (algarismo 4).
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25MANUAL DO PROFESSOR - UNIDADE 1
Atividades complementares Não escreva no livro!
 1. Entre 10 e 20, o número 11 é o único que tem todos os algarismos iguais. 
a) Quantos números de 10 a 100 têm todos os algarismos iguais? 9 números
b) E de 10 a 1 000? 18 números
 2. Qual dos algarismos do número 3 824 deve ser trocado pelo algarismo 7 para que o número for-
mado seja:
a) o maior possível? 
b) o menor possível? 
 3. Os algarismos de 1 a 9 estão dispostos em uma roleta como é 
mostrado na figura ao lado.
a) Qual é o maior número que se obtém tomando-se três desses 
algarismos em sequência e no sentido horário? 926
b) E o menor número de três algarismos que se obtém tomando-
-se três desses algarismos em sequência e no sentido anti-
-horário? 
 4. Paulo é gerente de um hotel que tem 99 apartamentos numerados de 1 a 99. Ele precisa comprar 
peças com algarismos feitos de metal para fixar nas portas e identificar todos esses apartamentos.
a) Quantas peças ele terá de comprar ao todo? 189 peças
b) E quantas peças com o algarismo 4? 20 peças
 5. (Olimpíada Canguru de Matemática) Gina quer acrescentar o algarismo 3 ao número 2 014 de for-
ma que o número de cinco algarismos resultante seja o menor possível. Onde ela deve colocar o 
algarismo 3? alternativa e
a) Entre 2 e 0.
b) À esquerda de 2.
c) Entre 0 e 1.
d) À direita de 4.
e) Entre 1 e 4.
 6. (Obmep) Para obter o resumo de um número de até 9 algarismos, deve-se escrever quantos são 
seus algarismos, depois quantos são seus algarismos ímpares e, finalmente, quantos são seus al-
garismos pares. Por exemplo, o número 9 103 405 tem 7 algarismos, sendo 4 ímpares e 3 pares, 
logo seu resumo é 743. Determine um número:
a) cujo resumo seja 523. Exemplo de resposta: 16 210
b) que seja igual ao seu próprio resumo. Exemplo de resposta: 321
 7. Usando os algarismos 1, 3, 6 e 7, escreva:
a) o menor número possível de quatro algarismos sem repetição de algarismo. 1 367
b) o maior número possível de quatro algarismos podendo repetir algarismo. 7 777
c) o menor número de quatro algarismos, sem repetição de algarismo, que começa com o 
algarismo 3. 3 167
d) o maior número de quatro algarismos, sem repetição de algarismo, que termina com o 
algarismo 6. 7 316
O algarismo 3. Ao trocar o algarismo 3 pelo 7 obtemos 7 824.
O algarismo 8. Ao trocar o algarismo 8 pelo 7 obtemos 3 724.
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sentido
horário
sentido
anti-horário
3 7
1
5
9
2
6
4
8
25Capítulo 2 Números naturais
Habilidades da BNCC
 (EF06MA03) Resolver e 
elaborar problemas que en-
volvam cálculos (mentais 
ou escritos, exatos ou apro-
ximados) com números na-
turais, por meio de es-
tratégias variadas, com 
compreensão dos proces-
sos neles envolvidos com e 
sem uso de calculadora.
 (EF06MA12) Fazer esti-
mativas de quantidades e 
aproximar números para 
múltiplos da potência de 10 
mais próxima.
 Atividades 
complementares
Faltam as peças dos números de 1 a 99 formados com o alga-
rismo 4 na ordem das dezenas, ou seja, 40, 41, 42, 43, 44 (esses 
algarismos já foram contados), 45, 46, 47, 48 e 49, totalizando 
mais 9 peças.
Portanto, ao todo serão necessárias 20 peças de algarismo 4.
TRILHAS_MP_PNLD2020_6ANO_UN1_001a031.indd 25 10/23/18 8:20 AM
MANUAL DO PROFESSOR - UNIDADE 126
 8. Determine o número natural que é:
a) o sucessor de 29. 30
b) o antecessor de 27. 26
c) o antecessor de 2 100. 2 099
d) o sucessor do antecessor de 45. 45
e) o antecessor do sucessor de 76. 76
 9. (Olimpíada Canguru de Matemática) Marisa quer ligar os nove pontos de um círculo, partindo do 1 
e voltando para o 1. Ela traça linhas retas, ligando os pontos conforme indicado na figura abaixo. 
1
2
3
45
6
7
8
9
 Depois que ela terminar de fazer todas as linhas necessárias, como ficará a figura? alternativa e
a) 
1
2
3
45
6
7
8
9
b) 
1
2
3
45
6
7
8
9
c) 
1
2
3
45
6
7
8
9
d) 
1
2
3
45
6
7
8
9
e) 
1
2
3
45
6
7
8
9
 10. Em um pombal há 5 pombos, mas apenas 4 casas de pombos. Como não é possível associar cada 
pombo a uma única casa, pelo menos uma das casas terá de acomodar mais de um deles. 
 Esse princípio foi enunciado pelo matemático alemão Johann Dirichlet (1805-1859) e pode ser 
aplicado para resolver problemas como o enunciado a seguir.
 Qual é o número mínimo de pessoas que devemos reunir para que tenhamos certeza de que duas 
delas fazem aniversário no mesmo mês? 
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Pergunte aos alunos: “Que re-
gularidade vocês observam em 
relação aos números unidos 
pelas linhas retas?” Espera-se 
que eles percebam que inicial-
mente os números unidos são 
ímpares (1-3-5-7-9) e, depois 
do 9, os números são pares 
(2-4-6-8), até voltar ao 1.
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13 pessoas
10. Sabemos que 1 ano tem 12 
meses; se houver 12 pessoas, 
é possível que cada uma delas 
faça aniversário em um mês 
diferente, de modo que não po-
demos ter certeza de que duas 
pessoas aniversariam no mes-
mo mês. Portanto, é necessário 
haver mais uma pessoa para 
que pelo menos duas delas 
façam aniversário no mesmo 
mês. Assim, são necessárias, 
no mínimo, 13 pessoas.
26 Unidade 1 Sistemas de numeração e números naturais
Na atividade 10, o princípio 
das casas de pombos pode aju-
dar a resolver a atividade pro-
posta. Peça aos alunos que re-
lacionem pessoas e meses de 
aniversário a pombos e casas 
de pombos. Neste caso, os me-
ses de aniversário seriam re-
presentados por casas de 
pombos e as pessoas seriam 
representadas por pombos. 
Faça-os refletir: É possível de-
terminar qual mês terá mais de 
um aniversariante? Pode-se 
dizer que apenas um único 
mês irá se repetir?
Escreva na lousa o nome 
dos 12 meses e peça aos alu-
nos que marquem o mês de 
seus aniversários para que 
eles possam analisar as per-
guntas anteriores. Com isso, 
valide com eles os argumen-
tos utilizados. Não é possível 
determinar qual mês terá mais 
de um aniversariante ou dizer 
se apenas um único mês se re-
petiráantes de saber o aniver-
sário de todas as pessoas do 
grupo. 
Leia um pouco mais sobre o 
princípio das casas de pombos 
em <https://www.obm.org.br/
content/uploads/2018/01/
Combinatoria_casa_pombos.
pdf>. Acesso em: 12 out. 2018. 
Se julgar pertinente, mostre 
aos alunos parte do conteúdo 
da página <http://clubes.
obmep.org.br/blog /tex to_
002-principio-das-casas-dos
-pombos/>. Acesso em: 12 out. 
2018.
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27MANUAL DO PROFESSOR - UNIDADE 1
 11. Observe algumas fotos dos picos mais altos do Brasil e suas altitudes aproximadas.
Pedra da Mina, na serra da 
Mantiqueira (MG/SP). Altitude 
aproximada: 2 798 metros.
Pico 31 de Março, na serra do Imeri 
(AM). Altitude aproximada: 
2 974 metros.
Pico das Agulhas Negras, na serra do 
Itatiaia (MG/RJ). Altitude aproximada: 
2 791 metros.
Pico da Bandeira, na serra do Caparaó 
(ES/MG). Altitude aproximada: 
2 891 metros.
Pico do Cristal, na serra do Caparaó 
(MG). Altitude aproximada: 
2 769 metros.
Monte Roraima, na serra de 
Pacaraima (RR). Altitude aproximada: 
2 734 metros.
Fonte de pesquisa: IBGE, 2013. Disponível em: <https://biblioteca.ibge.gov.br/visualizacao/periodicos/20/aeb_2016.pdf>. 
Acesso em: 4 set. 2018. 
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a) Escreva, em ordem decrescente, as altitudes desses picos. 2 974 . 2 891 . 2 798 . 2 791 . 2 769 . 2 734
b) Picos, montanhas, rios e lagos são acidentes geográficos que criam, devido às suas dimensões, 
obstáculos naturais ao acesso entre regiões. Assim, podem ser usados como pontos de referência 
para demarcar fronteiras. Alguns picos apresentados estão em região de fronteira entre estados 
brasileiros. Pesquise outros acidentes geográficos também localizados em regiões de fronteira. 
 12. Paulinho acordou à noite com frio e quis pegar um par de meias. Como ele não queria acordar 
seu irmão, que dormia ao lado, decidiu não acender a luz para pegar as meias na gaveta do 
guarda-roupa. Se nessa gaveta havia 10 meias brancas iguais e 10 meias pretas iguais, todas 
misturadas, quantas meias, no mínimo, Paulinho precisou pegar para ter certeza de que teria 
1 par de meias da mesma cor? 
 13. (Olimpíada Canguru de Matemática) Cinco garotos fazem as seguintes afirmações sobre o 
número 325:
 André: “É um número de três algarismos”.
 Bruno: “Todos os algarismos são distintos”.
 Vitor: “A soma dos algarismos é 10”.
 Roberto: “O algarismo das unidades é 5”. 
 Danilo: “Todos os algarismos são ímpares”.
 Qual dos garotos estava errado?
a) André b) Bruno c) Vitor d) Roberto e) Danilo
Resposta pessoal. Veja orientação no Manual do Professor.
3 meias
Não escreva no livro!
alternativa e
27Capítulo 2 Números naturais
No item a da atividade 11, 
verifique o recurso que os alu-
nos utilizam para indicar a or-
dem dos números. Eles podem 
usar a reta numérica, sinais de 
desigualdade ou apenas listá-
-los. Compartilhe todos os re-
gistros com o restante da sala.
Avalie a possibilidade de tra-
balhar o item b em conjunto 
com o professor de Geografia 
para favorecer o desenvolvi-
mento da seguinte habilidade: 
Relacionar padrões climáti-
cos, tipos de solo, relevo e for-
mações vegetais (EF06GE05).
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MANUAL DO PROFESSOR - UNIDADE 128
Nesta Unidade você retomou conhecimentos e aprendeu conceitos novos. Viu, por exemplo, que ao longo 
da história os seres humanos usaram diferentes formas de registrar quantidades, criando sistemas de numera-
ção. Com o passar do tempo, um desses sistemas, o indo-arábico, passou a ser usado pela maioria dos povos.
Responda às questões propostas e, caso tenha alguma dificuldade, retome o conteúdo e resolva suas 
dúvidas com o professor.
 1. Escreva cada número a seguir utilizando apenas algarismos.
a) Dez mil e dez. 
b) Duzentos mil duzentos e dois. 
c) Cento e cinquenta milhões. 
 2. Responda às questões abaixo.
a) Quantas centenas “cabem” ao todo no número 1 247? 
b) E quantas dezenas ”cabem”ao todo no número 1247? 
 3. De que modo podemos incluir o algarismo 2 no registro 
do número 413 para que o número de quatro algarismos 
resultante seja o maior possível? 
a) Entre 4 e 1. 
b) À esquerda de 4. 
c) Entre 1 e 3. 
d) À direita de 3. 
e) Qualquer posição.
 4. A tabela a seguir apresenta a extensão dos 5 maiores rios do mundo.
Os 5 maiores rios do mundo em extensão
Rio Extensão (em km) Continente
Amazonas 6 992 América
Nilo 6 853 África
Yangtze 6 300 Ásia
Mississipi-Missouri 6 275 América
Yenisei-Angara 5 540 Ásia 
Dados obtidos em: <https://www.worldatlas.com/articles/which-are-the-longest-rivers- 
in-the-world.html>. Acesso em: 6 set. 2018.
Arredonde o número que indica a extensão de cada um desses rios para o número com:
a) unidade de milhar exata mais próxima.
b) centena exata mais próxima.
Agora, reflita sobre o que você estudou nesta Unidade e faça o que se pede a seguir.
I) Por que o sistema de numeração indo-arábico prevaleceu sobre os demais? Analise as vantagens que ele 
oferece, em sua opinião, em relação aos outros sistemas de numeração estudados nesta Unidade. 
II) Qual dos temas estudados mais interessou a você? Por quê? 
III) Você é capaz de estimar quantas pessoas cabem no gramado de um estádio de futebol? Suas estima-
tivas são próximas do valor real? O que você pode fazer para chegar a um valor próximo do número 
exato de pessoas? 
10 010
200 202
150 000 000
12 centenas
124 dezenas
alternativa a
4. a) Amazonas: 7 000 km; Nilo: 7 000 km; Yangtze: 6 000 km; 
Mississipi-Missouri: 6 000 km; Yenisei-Angara: 6 000 km
4. b) Amazonas: 7 000 km; Nilo: 6 900 km; Yangtze: 6 300 km; Mississipi-Missouri: 
6 300 km; Yenisei-Angara: 5 500 km
I) Exemplos de resposta: Faz uso de poucos algarismos; possibilita escrever infinitos números; é um sistema de numeração 
posicional; facilita os cálculos.
Resposta pessoal.
Resposta pessoal.
O que aprendi Não escreva no livro!
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29Capítulo 2 Números naturais
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Não escreva no livro!
 14. (Olimpíada Canguru de Matemática) A figura ao lado representa um labirinto 
mágico. Cada ponto representa um pedaço de queijo. O ratinho Roc entra 
no labirinto com a meta de sair com o maior número possível de pedaços 
de queijo. Ele não pode passar duas vezes pelo mesmo ponto. No máximo, 
quantos pedaços ele poderá conseguir? 
a) 17 b) 33 c) 37 d) 41 e) 49
 15. De acordo com o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), a população residente no 
Brasil no ano de 2017 era distribuída por região conforme indicado na tabela a seguir.
População residente no Brasil no ano de 2017 por região
Região População residente (número de habitantes)
Norte 17 936 201
Nordeste 57 254 159
Sudeste 86 949 714
Centro-Oeste 15 875 907
Sul 29 644 948
Fonte de pesquisa: IBGE, 2010. Disponível em: <ftp://ftp.ibge.gov.br/Estimativas_de_Populacao/
Estimativas_2017/estimativa_dou_2017.pdf>. Acesso em: 4 set. 2018.
a) Qual era a região mais populosa? E a menos populosa? 
b) Arredonde cada número da tabela para o número com unidade de milhão exata mais próximo. 
 16. Atualmente muitos países têm populações ele-
vadas, ultrapassando centenas de milhões de 
habitantes. Veja os dados ao lado. 
 As causas dessas populações elevadas estão, 
junto de outros fatores, relacionadas com o aper-
feiçoamento da agricultura e da indústria. Esse 
aperfeiçoamento possibilitou aos seres humanos 
maior acesso a água limpa, comida, moradia e 
saúde, resultando no crescimento populacional. 
 A China ea Índia têm as maiores populações 
do mundo e sofrem de um problema chamado 
superpopulação, que ocorre quando um grupo 
de pessoas se torna tão grande que a região em 
que habita pode ter a capacidade de sustentar 
suas necessidades comprometida.
 Agora, responda às questões a seguir.
a) Organizando China e Índia em um grupo 1, e 
Estados Unidos, Indonésia, Brasil e Paquistão 
em outro, grupo 2, qual desses grupos tem 
maior parte da população mundial?
b) O Brasil ocupa qual posição dentre os países 
do mundo quanto ao número de habitantes? 
c) Elabore uma pergunta envolvendo os dados apresentados no gráfico acima e troque-a com a de 
um colega. Ele deve responder à pergunta criada por você e você, à pergunta criada por ele.
d) Pesquise os tipos de problemas que podem surgir em regiões onde vivem as superpopulações. 
Depois, compartilhe com os colegas as informações obtidas. 
alternativa c
mais populosa: Sudeste; menos 
populosa: Centro-Oeste
Norte: 18 000 000; Nordeste: 57 000 000; Sudeste: 87 000 000; Centro-Oeste: 16 000 000; Sul: 30 000 000
Esta ativida-
de possibilita 
realizar um 
trabalho inte-
grado com o 
componente 
curricular 
Geografia.
16. a) O grupo 1. Espera-se que os alunos notem que o grupo 1 representa uma parte significativa da população mundial e tem mais 
do que o dobro da população do grupo 2.
5a posição
Resposta pessoal.
Resposta pessoal. Veja orientação no Manual do Professor.
Não escreva no livro!
População mundial
7 550 000 000
habitantes
197 016 000
habitantes
209 288 000
habitantes
263 991 000
habitantes
324 459 000
habitantes
1 339 180 000
habitantes
1 409 517 000
habitantes
China
1º
Índia
2º
Estados Unidos
3º
Indonésia
Indonésia
4º
Brasil
5º
Paquistão
6º
Estados Unidos
Brasil
China
Paquistão
Índia
Os seis países mais populosos do mundo 
em 2017
Dados obtidos em: <http://www.ufjf.br/ladem/2017/06/28/as-novas-
-projecoes-da-onu-sobre-a-populacao-brasileira-e-mundial-artigo-de-
-jose-eustaquio-diniz-alves/>. Acesso em: 4 set. 2018. 
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28 Unidade 1 
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Na atividade 14, solicite que 
os alunos copiem o labirinto 
em seus cadernos, para que 
possam riscá-lo. Proponha 
também que os alunos respon-
dam: Qual é o número mínimo 
de pedaços de queijo que o ra-
tinho pode pegar, consideran-
do que pega todos os pedaços 
em seu caminho?
Consulte o professor de 
Geografia para verificar a pos-
sibilidade de realizar um traba-
lho integrado com esse com-
ponente curricular ao explorar 
a atividade 16. Se possível, 
proponha aos alunos que pes-
quisem outros fatores que po-
dem contribuir com o aumento 
desordenado do número de ha-
bitantes de algumas regiões, 
além dos citados no texto. 
No item c, um exemplo de 
resposta é: Qual é a diferença 
entre a população da China e a 
população do Paquistão? O nú-
mero obtido se aproxima mais 
do número de habitantes de 
qual país citado? As respostas 
para esses questionamentos 
são: 1 212 501 000; Índia.
Ao pesquisar sobre superpo-
pulação, os resultados das pes-
quisas dos alunos devem apon-
tar para problemas relacionados 
à produção e descarte de lixo, à 
poluição, à escassez de recur-
sos e ao abastecimento de água 
e de alimentos para toda a po-
pulação. Se julgar adequado, pe-
ça aos alunos que pesquisem se 
na cidade ou no bairro onde mo-
ram há problemas desse tipo. 
Nesta seção, os alunos vão testar os conhecimentos sobre os 
temas tratados na Unidade. Quando terminarem de resolver as 
questões, pergunte se há dúvidas. Caso haja, peça aos alunos que 
conversem sobre elas para tentar saná-las e assista à conversa. A 
ideia desta seção é que os alunos possam voltar ao conteúdo do 
livro para sanar suas dúvidas antes de perguntar ao professor.
Caso perceba que muitos alunos têm dificuldade em algum as-
sunto específico, identifique-o e retome-o, fazendo uma nova abor-
dagem que, preferencialmente, tenha conexão com o cotidiano dos 
alunos.
Habilidades da BNCC
(EF06MA02) Reconhecer o 
sistema de numeração de-
cimal, como o que prevale-
ceu no mundo ocidental, e 
destacar semelhanças e di-
ferenças com outros siste-
mas, de modo a sis te matizar 
suas principais característi-
cas (base, valor posicional e 
função do zero), utilizando, 
inclusive, a composição e 
decomposição de números 
naturais e números racio-
nais em sua representação 
decimal.
(EF06MA03) Resolver e 
elaborar problemas que en-
volvam cálculos (mentais 
ou escritos, exatos ou apro-
ximados) com números na-
turais, por meio de estratégias variadas, com compreensão dos 
processos neles envolvidos com e sem uso de calculadora.
(EF06MA12) Fazer estimativas de quantidades e aproximar 
números para múltiplos da potência de 10 mais próxima.
(EF06MA32) Interpretar e resolver situações que envolvam 
dados de pesquisas sobre contextos ambientais, sustentabili-
dade, trânsito, consumo responsável, entre outros, apresenta-
das pela mídia em tabelas e em diferentes tipos de gráficos e 
redigir textos escritos com o objetivo de sintetizar conclusões.
 O que aprendi
TRILHAS_MP_PNLD2020_6ANO_UN1_001a031.indd 28 7/5/19 4:37 PM
29MANUAL DO PROFESSOR - UNIDADE 1
Nesta Unidade você retomou conhecimentos e aprendeu conceitos novos. Viu, por exemplo, que ao longo 
da história os seres humanos usaram diferentes formas de registrar quantidades, criando sistemas de numera-
ção. Com o passar do tempo, um desses sistemas, o indo-arábico, passou a ser usado pela maioria dos povos.
Responda às questões propostas e, caso tenha alguma dificuldade, retome o conteúdo e resolva suas 
dúvidas com o professor.
 1. Escreva cada número a seguir utilizando apenas algarismos.
a) Dez mil e dez. 
b) Duzentos mil duzentos e dois. 
c) Cento e cinquenta milhões. 
 2. Responda às questões abaixo.
a) Quantas centenas “cabem” ao todo no número 1 247? 
b) E quantas dezenas ”cabem”ao todo no número 1247? 
 3. De que modo podemos incluir o algarismo 2 no registro 
do número 413 para que o número de quatro algarismos 
resultante seja o maior possível? 
a) Entre 4 e 1. 
b) À esquerda de 4. 
c) Entre 1 e 3. 
d) À direita de 3. 
e) Qualquer posição.
 4. A tabela a seguir apresenta a extensão dos 5 maiores rios do mundo.
Os 5 maiores rios do mundo em extensão
Rio Extensão (em km) Continente
Amazonas 6 992 América
Nilo 6 853 África
Yangtze 6 300 Ásia
Mississipi-Missouri 6 275 América
Yenisei-Angara 5 540 Ásia 
Dados obtidos em: <https://www.worldatlas.com/articles/which-are-the-longest-rivers- 
in-the-world.html>. Acesso em: 6 set. 2018.
Arredonde o número que indica a extensão de cada um desses rios para o número com:
a) unidade de milhar exata mais próxima.
b) centena exata mais próxima.
Agora, reflita sobre o que você estudou nesta Unidade e faça o que se pede a seguir.
I) Por que o sistema de numeração indo-arábico prevaleceu sobre os demais? Analise as vantagens que ele 
oferece, em sua opinião, em relação aos outros sistemas de numeração estudados nesta Unidade. 
II) Qual dos temas estudados mais interessou a você? Por quê? 
III) Você é capaz de estimar quantas pessoas cabem no gramado de um estádio de futebol? Suas estima-
tivas são próximas do valor real? O que você pode fazer para chegar a um valor próximo do número 
exato de pessoas? 
10 010
200 202
150 000 000
12 centenas
124 dezenas
alternativa a
4. a) Amazonas: 7 000 km; Nilo: 7 000 km; Yangtze: 6 000 km; 
Mississipi-Missouri: 6 000 km; Yenisei-Angara: 6 000 km
4. b) Amazonas: 7 000 km; Nilo: 6 900 km; Yangtze: 6 300 km; Mississipi-Missouri: 
6 300 km; Yenisei-Angara: 5 500 km
I) Exemplos de resposta: Faz uso de poucos algarismos; possibilita escrever infinitos números; é um sistema de numeração 
posicional; facilita os cálculos.
Resposta pessoal.
Resposta pessoal.
O que aprendi Não escreva no livro!
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29Capítulo 2 Números naturaisTrilhas_da_Matematica_PNLD2020_6ANO_LA_U1_C2_021A031.indd 29 7/5/19 1:44 PM
Não escreva no livro!
 14. (Olimpíada Canguru de Matemática) A figura ao lado representa um labirinto 
mágico. Cada ponto representa um pedaço de queijo. O ratinho Roc entra 
no labirinto com a meta de sair com o maior número possível de pedaços 
de queijo. Ele não pode passar duas vezes pelo mesmo ponto. No máximo, 
quantos pedaços ele poderá conseguir? 
a) 17 b) 33 c) 37 d) 41 e) 49
 15. De acordo com o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), a população residente no 
Brasil no ano de 2017 era distribuída por região conforme indicado na tabela a seguir.
População residente no Brasil no ano de 2017 por região
Região População residente (número de habitantes)
Norte 17 936 201
Nordeste 57 254 159
Sudeste 86 949 714
Centro-Oeste 15 875 907
Sul 29 644 948
Fonte de pesquisa: IBGE, 2010. Disponível em: <ftp://ftp.ibge.gov.br/Estimativas_de_Populacao/
Estimativas_2017/estimativa_dou_2017.pdf>. Acesso em: 4 set. 2018.
a) Qual era a região mais populosa? E a menos populosa? 
b) Arredonde cada número da tabela para o número com unidade de milhão exata mais próximo. 
 16. Atualmente muitos países têm populações ele-
vadas, ultrapassando centenas de milhões de 
habitantes. Veja os dados ao lado. 
 As causas dessas populações elevadas estão, 
junto de outros fatores, relacionadas com o aper-
feiçoamento da agricultura e da indústria. Esse 
aperfeiçoamento possibilitou aos seres humanos 
maior acesso a água limpa, comida, moradia e 
saúde, resultando no crescimento populacional. 
 A China e a Índia têm as maiores populações 
do mundo e sofrem de um problema chamado 
superpopulação, que ocorre quando um grupo 
de pessoas se torna tão grande que a região em 
que habita pode ter a capacidade de sustentar 
suas necessidades comprometida.
 Agora, responda às questões a seguir.
a) Organizando China e Índia em um grupo 1, e 
Estados Unidos, Indonésia, Brasil e Paquistão 
em outro, grupo 2, qual desses grupos tem 
maior parte da população mundial?
b) O Brasil ocupa qual posição dentre os países 
do mundo quanto ao número de habitantes? 
c) Elabore uma pergunta envolvendo os dados apresentados no gráfico acima e troque-a com a de 
um colega. Ele deve responder à pergunta criada por você e você, à pergunta criada por ele.
d) Pesquise os tipos de problemas que podem surgir em regiões onde vivem as superpopulações. 
Depois, compartilhe com os colegas as informações obtidas. 
alternativa c
mais populosa: Sudeste; menos 
populosa: Centro-Oeste
Norte: 18 000 000; Nordeste: 57 000 000; Sudeste: 87 000 000; Centro-Oeste: 16 000 000; Sul: 30 000 000
Esta ativida-
de possibilita 
realizar um 
trabalho inte-
grado com o 
componente 
curricular 
Geografia.
16. a) O grupo 1. Espera-se que os alunos notem que o grupo 1 representa uma parte significativa da população mundial e tem mais 
do que o dobro da população do grupo 2.
5a posição
Resposta pessoal.
Resposta pessoal. Veja orientação no Manual do Professor.
Não escreva no livro!
População mundial
7 550 000 000
habitantes
197 016 000
habitantes
209 288 000
habitantes
263 991 000
habitantes
324 459 000
habitantes
1 339 180 000
habitantes
1 409 517 000
habitantes
China
1º
Índia
2º
Estados Unidos
3º
Indonésia
Indonésia
4º
Brasil
5º
Paquistão
6º
Estados Unidos
Brasil
China
Paquistão
Índia
Os seis países mais populosos do mundo 
em 2017
Dados obtidos em: <http://www.ufjf.br/ladem/2017/06/28/as-novas-
-projecoes-da-onu-sobre-a-populacao-brasileira-e-mundial-artigo-de-
-jose-eustaquio-diniz-alves/>. Acesso em: 4 set. 2018. 
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28 Unidade 1 
Trilhas_da_Matematica_PNLD2020_6ANO_LA_U1_C2_021A031.indd 28 7/5/19 1:44 PM
A atividade 2 amplia a ideia de decomposição dos números e per-
mite o diagnóstico da aprendizagem dos alunos quanto à ideia de 
agrupamento e da notação posicional. Nesse caso, analise se os 
eventuais erros cometidos pelos alunos estão relacionados com o 
conceito de agrupamento de base 10 ou com a interpretação do que 
foi pedido. Se o aluno não tiver compreendido a questão, desafie-o 
a resolvê-la novamente para analisar se a dificuldade recai na com-
preensão dos conceitos. Enfatize a importância de observar o verbo 
que caracteriza o comando da questão para facilitar a sua interpre-
tação correta. Caso identifique uma dificuldade conceitual, retome 
os agrupamentos na base 10 
usando o material dourado ou 
o ábaco acompanhado do re-
gistro escrito para que estabe-
leçam a relação entre as ações 
com os materiais e a equivalên-
cia com a escrita posicional.
Na atividade 3, é possível 
que os alunos analisem seus 
procedimentos, confrontem 
suas respostas e ampliem seu 
repertório de estratégias de re-
solução de problemas. O pro-
fessor pode mediar a discus-
são das soluções ressaltando 
as diferenças entre os proce-
dimentos apresentados, fa-
zendo perguntas que levem à 
reflexão, à crítica, ao desenvol-
vimento da autonomia e da 
confiança dos alunos na capa-
cidade de resolver problemas.
Se, por exemplo, um aluno ti-
ver escolhido a alternativa e, 
ele pode justificar-se dizendo 
que ao inserir o algarismo 2 em 
qualquer uma das casas o nú-
mero formado passará a ter 4 
algarismos e será, portanto, 
maior que 413. Nesse caso, pe-
ça que o aluno leia novamente 
o enunciado e explique, à me-
dida que fizer a leitura, o signi-
ficado do trecho lido para asse-
gurar-se de que ele consegue 
coordenar os dados do proble-
ma com a estrutura posicional 
do número e a pergunta que se 
quer responder.
A atividade 4 é importante 
para diagnosticar as dificulda-
des dos alunos com relação à 
comparação e ordenação dos 
números. Se um aluno tiver di-
ficuldades com relação à iden-
tificação da ordem de referên-
cia, ele pode, por exemplo, 
aproximar no item a o compri-
mento do rio Nilo para 6 640 km 
ou para 10 000 km. Nesse ca-
so, as respostas indicam que o 
aluno não compreendeu que, 
para arredondar um número 
para a unidade de milhar exata 
mais próxima, ele deve avaliar 
se o número está mais próximo 
da unidade de milhar que com-
põe o número ou da unidade de 
milhar consecutiva a ela. Um 
modo de auxiliá-los a reconhe-
cer o motivo de seus erros é 
construir uma reta numérica 
para representar cada número 
e, assim, visualizar a unidade 
de milhar mais próxima desse 
número. 
A atividade 1 permite diagnosticar dificuldades quanto à com-
preensão do sistema posicional porque envolve muitos algarismos 
zero em diferentes ordens do número. Assim, um aluno que tenha 
dificuldades com o conceito de sistema posicional pode, por exem-
plo, dizer que a resposta do item a é 1 000 010. Nesse caso, é im-
portante retomar os conceitos de sistema posicional de base dez 
por meio de um quadro de ordens ou por meio de material dourado 
e do ábaco, sempre com atividades de leitura e registro escrito dos 
números para detectar os fatores que estejam interferindo na 
aprendizagem.
TRILHAS_MP_PNLD2020_6ANO_UN1_001a031.indd 29 7/5/19 4:38 PM
MANUAL DO PROFESSOR - UNIDADE 130
Conhecimento 
interligado
Não escreva no livro!
A internet e o sistema de numeração binário
Muitos produtos eletrônicos, como calculadoras, notebooks, smartphones e tablets, popu-
larizaram-se e tornaram-se tão presentes no cotidiano das pessoas que raramente pensamos 
sobre os princípios matemáticos que permitem seu funcionamento.
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A internet tem sido amplamente utilizada em atividades de estudo, 
trabalho e lazer.
Os computadores usam um princípio que é fundamentado no sistema de numeração 
binário. Esse sistema:
• utiliza apenas dois algarismos: 0 ou 1; 
• é posicional e os agrupamentos são feitos de dois em dois. Observe algumas ordens des-
se sistema no quadro de ordens abaixo.
Grupo 
de 256
Grupo 
de 128
Grupo 
de 64
Grupo 
de 32
Grupo 
de 16
Grupo 
de 8
Grupo 
de 4
Grupo 
de 2
1 unidade
Noteque cada posição, a partir do grupo de 2, tem o dobro de elementos do grupo da 
posição que está a sua direita. 
Veja como representamos nesse quadro de ordens o número 101 (lê-se: “um zero um”) e 
como fazemos para determinar o seu valor no nosso sistema de numeração decimal.
Grupo 
de 256
Grupo 
de 128
Grupo 
de 64
Grupo 
de 32
Grupo 
de 16
Grupo 
de 8
Grupo 
de 4
Grupo 
de 2
1 
unidade
1 0 1
1  4 5 4 unidades
0  2 5 0 unidade
1  1 5 1 unidade
Logo, o número 101 corresponde a 5 unidades.
30 Unidade 1 Sistemas de numeração e números naturais
 Conhecimento 
interligado
Habilidade da BNCC
 (EF06MA02) Reconhe-
cer o sistema de numera-
ção decimal, como o que 
prevaleceu no mundo oci-
dental, e destacar seme-
lhanças e diferenças com 
outros sistemas, de modo 
a sistematizar suas prin-
cipais características (ba-
se, valor posicional e fun-
ção do zero), utilizando, 
inclusive, a composição e 
decomposição de núme-
ros naturais e números ra-
cionais em sua represen-
tação decimal.
A sequência didática Siste-
mas de numeração decimal e 
binário, disponível no Material 
Digital, pode ser utilizada no 
trabalho com este tópico.
A proposta desta seção é 
apresentar aos alunos uma 
aplicação na área da informáti-
ca e da tecnologia de um siste-
ma de numeração diferente do 
indo-arábico: o sistema binário, 
em que o 0 e o 1 são os algaris-
mos utilizados nas representa-
ções numéricas. Além disso, 
busca-se mostrar, nesse con-
texto, o uso do número como 
código.
Verifique se os alunos co-
nhecem o modo de codificação 
usado para estabelecer a co-
municação entre uma rede de 
computadores. 
Comente com eles que, de 
certo modo, o endereço IP de 
uma máquina pode ser compa-
rado com o CPF de uma pes-
soa. Conhecer o número IP de 
um computador conectado à 
rede de computadores pode 
ser útil na utilização de alguns 
tipos de programa de acesso 
remoto ou ainda para desco-
brir fraudes cometidas com 
aquela máquina específica.
Comente também que o 
uso de conceitos matemáti-
cos favoreceu o desenvolvi-
mento da informática e da 
tecnologia. Como exemplo, 
podemos citar o uso de algo-
ritmos e da lógica na área de 
programação computacional.
TRILHAS_MP_PNLD2020_6ANO_UN1_001a031.indd 30 10/23/18 8:21 AM
31MANUAL DO PROFESSOR - UNIDADE 1
Veja no quadro abaixo como escrevemos no sistema de numeração binário os números de 
0 a 10 do nosso sistema de numeração decimal.
Sistema de 
numeração 
decimal
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Sistema de 
numeração 
binário
0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010
Os dispositivos eletrônicos conectados à internet são identificados com um número conhe-
cido como endereço IP, que significa Internet Protocol (protocolo de internet). Esse número 
possibilita a conexão, o controle e a transferência de dados entre dois ou mais dispositivos 
na internet.
O endereço IP é expresso no sistema de numeração decimal, mas o computador interpreta 
esse número na linguagem computacional, que usa o sistema de numeração binário. Nessa 
linguagem, cada dígito binário (0 ou 1) é denominado bit, que corresponde à menor unidade 
de informação que pode ser armazenada ou transmitida por um computador. 
Veja, por exemplo, como o endereço IP 201.115.67.138 é interpretado pelo computador 
como um conjunto de 32 bits.
11001001 01110011 01000011 10001010  
201 115 67 138  
Para explorar 
1. Pesquise sobre os primeiros computadores eletrônicos desenvolvidos 
nas décadas de 1940 e 1950, destacando suas dimensões físicas e 
sua capacidade de processamento de dados. Em seguida, compare 
com dados sobre computadores atuais e compartilhe com os colegas 
os resultados de sua pesquisa.
2. Determine que número no sistema indo-arábico corresponde a cada 
número no sistema binário dado a seguir.
a) 11001 25
b) 100001 33
c) 11101 29
d) 101010 42
Resposta pessoal.
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ck
31
Atividades complementares
Proponha aos alunos, em grupo, a exploração do sistema de numeração de base 3. Comente que nesse sistema é permitido usar apenas os algarismos 0, 1 e 2. Se pos-
sível, disponibilize cinco copos descartáveis e alguns botões (ou outros pequenos objetos) para cada grupo para auxiliar a representação dos números nesse sistema.
Os alunos devem dispor os copos como mostrado ao lado, com os rótulos 1, 3, 9, 27, 81 (potências de base 3). 
Peça a eles que coloquem os botões um a um, começando com o copo da direita. Lembre-os de que o número de botões em cada copo só pode ser 0, 1 ou 2, ou seja, 
em vez de colocar o terceiro botão em um determinado copo, esse copo deve ser esvaziado e ser colocado um botão no copo da esquerda (isso corresponde às trocas 
entre ordens com as quais já estamos acostumados no sistema de numeração decimal).
Se julgar relevante, oriente os alunos a compor um quadro como o que foi apresentado no texto principal ao trabalhar o sistema de numeração binário para fazer a re-
presentação numérica com base no experimento realizado com os botões.
81 27 9 3 1
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MANUAL DO PROFESSOR - UNIDADE 232
2
U
N
ID
A
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E
O que é alimentação saudável? 
Uma alimentação saudável é aquela preparada com cuidado s de higiene e oferece to-
dos os nutrientes em quantidades adequadas a cada pessoa. Os nutrientes são as proteí-
nas, os carboidratos, as gorduras, as vitaminas e os minerais, além das fibras – substâncias 
que nos ajudam a crescer, a nos desenvolver e a nos fortalecer, prevenindo doenças. 
Prato Saudável: alimentos de qualidade, coloridos, variados e equilibrados, livres de 
contaminação por bactérias e produtos químicos. 
[...] A alimentação inadequada pode ser a causa ou contribuir para a perda da saúde. 
A falta ou excesso de alimentos pode levar a várias doenças como a desnutrição, obesi-
dade, anemias, diabetes e hipertensão, entre outras. [...]
Disponível em: <http://www.cfn.org.br/eficiente/repositorio/comunicacao/Material_institucional/174.pdf>. 
Acesso em: 6 set. 2018.
Nesta Unidade você vai estudar
 Adição, subtração, multiplicação 
e divisão
 Potenciação 
 Expressões numéricas 
Operações 
com números 
naturais
Grãos
Devem ser 
consumidos em 
maior quantidade 
ao longo do dia, 
pois são a principal 
fonte de energia 
para o corpo.
Frutas, verduras 
e legumes
Também devem 
ser consumidos em 
grande quantidade 
ao longo do dia, pois 
fornecem fibras que 
facilitam a regulação 
dos intestinos.
32
Objetivos da Unidade
 � Compreender as ideias 
associadas às opera-
ções (adição, subtração, 
multiplicação, divisão e 
potenciação) com nú-
meros naturais.
 � Conhecer e usar dife-
rentes algoritmos para 
efetuar as operações 
(adição, subtração, mul-
tiplicação e divisão) 
com números naturais.
 � Reconhecer que a rela-
ção de igualdade mate-
mática não se altera ao 
adicionar, subtrair, mul-
tiplicar ou dividir os seus 
dois membros por um 
mesmo número.
 � Usar a relação de igualda-
de e suas propriedades 
para determinar valores 
desconhecidos na reso-
lução de problemas.
 � Usar arredondamento e 
estimativa para a reali-
zação de cálculos.
 � Resolver problemas en-
volvendo as operações 
com números naturais.
zando as características do nosso sistema de numeração. O 
trabalho com a resolução de situações-problema ocupa um papel 
relevante no decorrer desta Unidade, com objetivo de explorar di-
ferentes ideias, representações, contextos e possibilidades de re-
solução.
A maior novidade para os alunos do 6o ano, provavelmente, é o 
estudo da potenciação. É importante que, nessa etapa da apren-
dizagem, os alunos compreendam os conceitos associados a es-
sas operações e usem a notação matemática de forma adequada.
Esta Unidade favorece o de-
senvolvimento das competên-
cias gerais 1, 5, 6, 7 e 8 da 
BNCC descritas nas Orienta-
ções gerais deste manual.
Nesta Unidade, vamos re-
cordar as ideias relacionadas 
às quatros operações funda-
mentais, já trabalhadas nos 
anos iniciais do Ensino Funda-
mental.Durante os anos iniciais do 
Ensino Fundamental, os alu-
nos entram em contato com o 
sistema de numeração deci-
mal e com as quatro operações 
fundamentais da aritmética. 
Esse tema é retomado nos 
anos finais do Ensino Funda-
mental, quando tal estudo é 
ampliado por meio de situa-
ções com maior variedade de 
contextos, de conexões com 
conteúdos de outras áreas do 
conhecimento quando possí-
vel e de resolução de proble-
mas que requerem estratégias 
mais refinadas para serem re-
solvidos.
O trabalho nesta Unidade 
pretende retomar as ideias e 
os algoritmos das operações 
fundamentais com o intuito de 
propiciar aos alunos a amplia-
ção da compreensão do signi-
ficado das operações, enfati-
TRILHAS_MP_PNLD2020_6ANO_UN2_032a073.indd 32 10/23/18 8:21 AM
33MANUAL DO PROFESSOR - UNIDADE 2
Dicas de uma alimentação saudável 
– Prefira alimentos frescos, naturais, integrais 
e variados. 
– Consuma diariamente frutas, verduras e le-
gumes. 
– Diminua as frituras e os alimentos com ele-
vada quantidade de açúcar, gordura e sal. 
– Coma devagar, mastigue bem os alimentos. 
– Faça suas refeições em ambiente tranquilo; 
procure manter os mesmos horários e os intervalos 
regulares. 
– Prefira sucos e refrescos naturais aos refri-
gerantes. 
– Evite beliscar ou substituir suas refeições por 
biscoitos, salgadinhos, chocolates ou outras gulo-
seimas.
Disponível em: <http://www.cfn.org.br/eficiente/
repositorio/Comunicacao/Material_institucional/174.pdf>.
Acesso em: 6 set. 2018. 
Trocando ideias
1. Registre em seu caderno os alimentos que você consome geralmente em um dia e verifique se 
nesta lista há alimentos dos grupos apresentados. Em seguida, identifique o que você considera 
importante acrescentar ou reduzir ao seu consumo habitual de modo a tornar sua alimentação 
mais equilibrada.
2. Considere uma pessoa que necessite consumir 2 400 calorias diárias. Se um único lanche fornecer 
400 calorias, o consumo diário equivale a quantos desses lanches?
Resposta pessoal.
Equivale a 6 lanches.
Não escreva no livro!
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Alimentos de origem animal
Devem ser consumidos 
em menor quantidade e 
preferencialmente os que 
contêm baixo teor de gordura.
33
Abertura
Aproveite o tema explorado 
nesta abertura para conver-
sar com os alunos sobre as-
pectos positivos e negativos 
relacionados à alimentação. 
Se julgar relevante, desenvol-
va um trabalho com o profes-
sor de Ciências sobre alimen-
tação saudável.
Sugestão
Para o aluno: <http://chc.org.br/lancheira-saudavel/>. Aces-
so em: 13 out. 2018.
Para o professor: <http://bvsms.saude.gov.br/bvs/publica
coes/guia_alimentar_populacao_brasileira_2ed.pdf>. Acesso em: 
13 out. 2018.
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MANUAL DO PROFESSOR - UNIDADE 234
 Adição
Habilidades da BNCC
 (EF06MA03) Resolver e 
elaborar problemas que en-
volvam cálculos (mentais 
ou escritos, exatos ou apro-
ximados) com números na-
turais, por meio de estraté-
gias variadas, com com-
preensão dos processos 
neles envolvidos com e 
sem uso de calculadora.
 (EF06MA12) Fazer esti-
mativas de quantidades e 
aproximar números para 
múltiplos da potência de 10 
mais próxima.
Este tema é apresentado de 
modo a incorporar as ideias da 
adição aos respectivos ter-
mos associados a elas: juntar 
e acrescentar quantidades.
Estudar diferentes modos 
de obter a soma de duas ou 
mais parcelas permite aos 
alunos estratégias variadas 
na resolução de determinado 
problema. 
CA
PÍ
TU
LO
13 Adição e subtração
Para saber o número de alunos inscritos em cada tipo de atividade no 
ano seguinte, 2020, é necessário acrescentar as quantidades de alunos que 
se inscreveram em cada ano.
Adição
Leia a notícia do jornal da escola de Pedro. 
Se cada aluno se inscreveu em apenas um tipo de atividade, como 
podemos determinar a quantidade total de alunos que se inscreveram 
nas atividades esportivas e culturais em 2019? Nesse caso é necessário 
juntar as quantidades de alunos que se inscreveram em cada categoria. 
Podemos fazer isso por meio de uma adição:
743 1 1 158 5 1 901
parcelas soma ou total
Em uma adição os termos 
são denominados parcelas 
e soma ou total.
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Nos últimos anos, a prefeitura de Quiprocó vem incentivando os alunos das es-
colas do município a participar de atividades esportivas e culturais, como atletismo, 
vôlei, futebol, xadrez, dança, música e teatro.
No ano de 2019, foram 743 inscritos em atividades esportivas e 1 158 inscritos 
em atividades culturais.
No ano seguinte, a participação dos alunos aumentou. Nas atividades esportivas, 
houve 412 inscritos a mais; e, nas culturais, 527 inscritos a mais.
Município de Quiprocó incentiva alunos a participarem 
de atividades esportivas e culturais
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743 1 412 5 1 155
parcelas soma ou total
ATIVIDADES ESPORTIVAS
1 158 1 527 5 1 685
parcelas soma ou total
ATIVIDADES CULTURAIS
Determine, no caderno, a quantidade de alunos que se inscreveram ao todo nas 
atividades oferecidas em 2020, considerando que cada aluno se inscreveu em 
apenas um tipo de atividade. 2 840 alunos
 Converse com os alunos sobre os métodos utilizados por eles para obter a soma em cada uma das situações 
descritas neste tópico. Obter o diagnóstico quanto às estratégias por eles empregadas e suas dificuldades 
permite planejar os assuntos que merecem maior atenção no processo de ensino-aprendizagem.
Jornal da Escola
34 Unidade 2 Operações com números naturais
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35MANUAL DO PROFESSOR - UNIDADE 2
Espera-se que o contato 
com diferentes estratégias em-
pregadas na solução de um 
mesmo cálculo auxilie os alu-
nos a consolidar a estrutura do 
sistema de numeração deci-
mal, principalmente em relação 
ao valor posicional dos algaris-
mos. Auxilie-os a perceber que 
os algoritmos são regras que 
resultam de uma construção 
lógica, como se pode notar pela 
sequência de algoritmos apre-
sentada no texto principal. Isso 
pode auxiliar a execução do al-
goritmo usual e o reconheci-
mento de que esse tipo de algo-
ritmo é usual por possibilitar 
agilidade no procedimento de 
agrupar quantidades em or-
dens mais elevadas.
O contato com outros tipos 
de algoritmos, como o da de-
composição, permite explicitar 
os passos do algoritmo usual, 
que pode também ser explora-
do paralelamente com o uso do 
ábaco. O objetivo desse traba-
lho conjunto envolvendo dife-
rentes algoritmos é auxiliar o 
aluno a compreender o signifi-
cado do algoritmo usual, prin-
cipalmente no que se refere às 
trocas realizadas.
No caso do algoritmo usual, 
é fundamental que o professor 
continue a denominar unida-
des, dezenas e centenas para 
cada número que é operado e, 
assim, posicioná-lo no ábaco. 
O uso da linguagem adequada 
contribui para a compreensão 
do cálculo do reagrupamento. 
Assim, para efetuar 299 1 349 
não se deve dizer, por exemplo, 
9 1 9 e sim: 9 unidades mais 9 
unidades são 18 unidades, o 
mesmo que 1 dezena e 8 uni-
dades. Em seguida: 4 dezenas 
mais 9 dezenas, mais 1 dezena 
formam 14 dezenas, o mesmo 
que 1 centena e 4 dezenas. Fi-
nalmente: 2 centenas, mais 3 
centenas, mais 1 centena for-
mam 6 centenas, totalizando 
6 centenas, 4 dezenas e
8 unidades, ou seja, 648.
Algoritmos da adição
O cálculo do resultado de uma adição pode ser feito de diversos modos. 
A seguir, vamos mostrar alguns algoritmos.
Algoritmo por decomposição
Para obter o resultado de uma adição utilizando o algoritmo por decomposição, decompomos as 
parcelas envolvidas em centenas, dezenas e unidades. Depois, adicionamos as centenas, as dezenas e 
as unidades, separadamente, e, por fim, adicionamos osresultados parciais obtidos.
Veja, por exemplo, como calcular o resultado de 299 1 349 usando o algoritmo por decomposição.
299 c
1
200 1 90 1 9
349 c 300 1 40 1 9
500 1 130 1 18 5 648
Algoritmo usual da adição
Neste tópico, veremos como calcular o resultado de 299 1 349, acompanhando a representação 
em um ábaco e com o cálculo escrito.
Para iniciar o cálculo escrito, registramos os números a serem adicionados, colocando 
cada algarismo na “coluna” correspondente a sua ordem. Veja ao lado que colocamos 
unidade embaixo de unidade, dezena embaixo de dezena e centena embaixo de centena.
Em um ábaco, vamos representar o número 299 e, depois, acrescentar a quan-
tidade de fichas correspondentes ao número 349.
 C D U
299
 C D U
299 1 349
 C D U
 5 13 18
C D U
1
2 9 9
1 3 4 9
8
Trocamos 
10 unidades 
por 
1 dezena.
 C D U
9 unidades mais 9 unidades são 
18 unidades. Como 18 unidades é o 
mesmo que 1 dezena e 8 unidades, 
escrevemos 8 na coluna das unidades e 
juntamos 1 dezena às outras dezenas.
C D U
1 1
2 9 9
1 3 4 9
4 8
Trocamos 
10 dezenas 
por 
1 centena.
 C D U
1 dezena mais 9 dezenas mais 4 dezenas são 
14 dezenas. Como 14 dezenas é o mesmo 
que 1 centena e 4 dezenas, escrevemos 4 na 
coluna das dezenas e juntamos 1 centena às 
outras centenas.
C D U
1 1
2 9 9
1 3 4 9
6 4 8
Assim, 
obtemos 
6 centenas, 
4 dezenas e 
8 unidades. C D U
 6 4 8
1 centena mais 2 centenas mais 3 centenas 
são 6 centenas. 
Logo, o resultado de 299 1 349 é 648.
Algoritmo: sequência 
de regras e operações 
matemáticas com certo 
número de passos que leva 
a um resultado desejado.
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o
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Aproveite para perguntar aos alunos 
como eles fariam este cálculo 
mentalmente e comente as diferentes 
estratégias utilizadas por eles. O 
algoritmo por decomposição é um 
método muito utilizado para a realização 
de cálculo mental, podendo também ser associado a 
outros procedimentos. Por exemplo, no cálculo anterior, 
é possível fazer (300 1 300) 1 50 2 2 e obter 648.
C D U
2 9 9
1 3 4 9
35Capítulo 3 Adição e subtração
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MANUAL DO PROFESSOR - UNIDADE 236
Para resolver a atividade 
1 os alunos deverão conside-
rar que a primeira peça de ce-
râmica, que é verde, inicia 
uma sequência formada por: 
1 peça verde, 2 peças azuis, 
3 peças verdes, 4 peças 
azuis, 5 peças verdes, 6 pe-
ças azuis e 7 peças verdes. 
Ao analisar quais são as pe-
ças visíveis, devem perceber 
que estão escondidas: 4 pe-
ças verdes (do grupo de 5 pe-
ças) e 4 peças azuis (do gru-
po de 6 peças).
Alguns alunos podem ter 
dificuldades em determinar 
os números desconhecidos 
na atividade 2. Alguns podem 
ter utilizado estratégias de 
tentativa e erro e outros ter 
usado operações inversas. Se 
considerar adequado, peça 
aos alunos que socializem as 
estratégias utilizadas para 
resolução. A socialização das 
diferentes estratégias auxi-
liará os alunos com dificulda-
des na compreensão do pro-
blema proposto.
Ao trabalhar a atividade 4 
pode-se propor outras varia-
ções da pirâmide, com dife-
rentes números e regras de 
preenchimento. Essas novas 
atividades poderão ser reali-
zadas na lousa, de modo que 
diferentes alunos possam 
participar de sua resolução.
Na atividade 5 foi apresen-
tada aos alunos uma situação 
em que um livro está aberto 
sobre uma mesa. Para sua re-
solução, os alunos deverão 
perceber que os números das 
páginas são consecutivos e, 
desse modo, 153 corresponde 
à soma de dois números con-
secutivos, ou seja, 76 e 77.
Para elaborar o problema 
proposto na atividade 8 os 
alunos deverão interpretar 
as informações apresenta-
das no gráfico de barras. Se 
considerar adequado, propo-
nha questões que os ajudem 
nessa interpretação, como: 
Que informações foram orga-
nizadas nesse gráfico? A que 
informação corresponde ca-
da barra?, entre outras. Esta 
atividade favorece o desen-
volvimento da habilidade de 
identificar as variáveis e 
suas frequências e os ele-
mentos constitutivos (título, 
eixos, legendas, fontes e da-
tas) em diferentes tipos de 
gráfico (EF06MA31).
A atividade 9 favorece o desenvolvimento da habilidade de re-
solver e elaborar problemas que envolvam as grandezas compri-
mento, massa, tempo, temperatura, área (triângulos e retângu-
los), capacidade e volume (sólidos formados por blocos 
retangulares), sem uso de fórmulas, inseridos, sempre que pos-
sível, em contextos oriundos de situações reais e/ou relacionadas 
às outras áreas do conhecimento (EF06MA24).
Atividades Não escreva no livro!
 1. O rodapé de uma parede da casa de Amanda 
é formado por peças de cerâmica coloridas 
de mesmo tamanho dispostas de acordo com 
uma regra. Um dia ela notou que não podia 
ver todas as peças de cerâmica desse rodapé 
porque sua cachorrinha Lisa estava dormindo 
na frente dele, mas Amanda percebeu que 
mesmo assim poderia descobrir quantas e 
quais peças estavam atrás de Lisa. Observe a 
cena abaixo e responda às questões a seguir.
a) Quantas peças de cerâmica verdes do ro-
dapé estão totalmente atrás de Lisa?
b) E quantas peças de cerâmica azuis estão 
totalmente atrás dela? 4 peças azuis. 
c) Quantas peças ao todo formam o rodapé 
dessa parede? Escreva uma adição para 
representar essa situação.
 2. Descubra quais são os algarismos corresponden-
tes a cada .
a) 4 5 8
1 1 4 5
6 0 3
b) 1 2 6 3
1 9 8 5
2 2 4 8
 3. Gabriela quer comprar uma camiseta, uma 
calça e uma saia. Ela pesquisou o preço das 
peças em 3 lojas diferentes e organizou os 
dados na tabela a seguir.
Loja 
Barateira
Loja da 
Pechincha
Loja dos 
Descontos
Camiseta 29 reais 59 reais 55 reais
Calça 59 reais 34 reais 69 reais
Saia 54 reais 56 reais 26 reais
Dados elaborados pelo autor.
Quanto Gabriela pagará se comprar cada item 
na loja que apresenta o preço mais vantajoso? 
 4. Na figura ao lado, o núme-
ro de cada quadrinho é 
a soma dos números dos 
dois quadrinhos abaixo 
dele. Por exemplo, o nú-
mero 9 é o resultado de 
1 1 8. Copie esta figura 
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4 peças verdes.
Exemplo de resposta: 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 5 28
89 reais
em seu caderno e complete os quadrinhos 
com os números que faltam.
 5. Um livro está aberto sobre a mesa de Rober-
to. Ele adicionou os números das páginas 
que estavam visíveis e verificou que a soma 
desses números é igual a 153. Quais são os 
números dessas páginas? 
 6. Alberto e Vanessa são primos e fizeram 13 e 
11 anos, respectivamente, em 10 de março 
do ano passado. Qual será a soma de suas 
idades em 10 de março do ano que vem? 
 7. Rafael quer usar cada um dos algarismos 5, 
6, 7, 8, 9 e 0 uma única vez para formar 
dois números de três algarismos. Quais são 
os números que ele deve formar de modo 
que a soma deles seja a maior possível?
 8. Elabore um problema envolvendo uma adição 
com base no gráfico a seguir e depois troque 
com um colega para que ele o resolva.
6
5
2
4
0
Maçã Uva Laranja Melão
N
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Sabor
8
9
7
10
Dados elaborados pelo autor.
Sucos preferidos pelos alunos
 9. Solange quer construir um muro cercando 
seu terreno, exceto o trecho reservado para 
a construção de um portão. O terreno está 
representado abaixo.
27 m
7 m
17 m
8 m
2 m
port‹o
Quantos metros de muro serão construídos?
76 e 77
28 anos
7. Respostas possíveis: 960 1 875 5 1 835; 965 1 870 5 1 835; 970 1 865 5 1 835; 975 1 860 5 1 835
8. Exemplo de resposta: Larissa fez uma pesquisa com sua turma de 6o ano para saber quais são os sucos de fruta preferidos. Cada aluno só 
pôde indicar um único tipo de suco preferido. Quantos são os alunos que responderam à pesquisa? Resposta: 25 alunos
116 metros
9
1 8 7 6
52
24
1 7
159
28
8 6
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36 Unidade 2 Operações com números naturais
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37MANUAL DO PROFESSOR - UNIDADE 2
O estudo das propriedades 
das operações atendeu duran-
te muitos anos às exigências 
do ensino da Matemática com 
base em sua estrutura lógica e 
em seu rigor, em especial no 
movimento conhecido como 
Matemática Moderna, durante 
a década de 1970 e parte dos 
anos 1980.
Atualmente, o ensino das 
propriedades as destaca como 
ferramentas que favorecem o 
cálculo mental, sem descartar 
sua importância para a estru-
tura interna das operações.
Propriedades da adição
A adição apresenta propriedades que, quando aplicadas, podem facilitar 
o cálculo de expressões numéricas e o cálculo mental.
Comutativa
 
Em uma adição de dois números naturais, a ordem das parcelas não altera 
a soma.
Essa é a propriedade comutativa da adição.
Exemplos:
• 443 1 257 5 700; 257 1 443 5 700 • 511 1 100 5 100 1 511 5 611
Elemento neutro
A soma de um número natural com zero é igual ao próprio número. 
O zero é o elemento neutro da adição.
Exemplos:
• 13 1 0 5 13 • 0 1 28 5 28 • 15 5 0 1 15 
Associativa
Em uma adição de três ou mais números naturais, a forma de associar as 
parcelas não altera a soma. 
Essa é a propriedade associativa da adição.
Exemplo:
Veja dois modos de calcular 443 1 257 1 182 associando essas parcelas 
de diferentes formas.
(443 1 257) 1 182 5
5 700 1 182 5
5 882
443 1 (257 1 182) 5
5 443 1 439 5
5 882
Portanto: (443 1 257) 1 182 5 443 1 (257 1 182) 5 882
Se 318 1 164 5 482, 
responda no caderno:
a) Qual é o resultado 
de 164 1 318? 
b) Que cálculo você 
fez para responder 
à pergunta do item 
anterior? Justifique 
sua resposta. 
482
b) Resposta pessoal. 
Espera-se que os alunos digam que não foi necessário efetuar cálculos para obter 
o resultado de 164 1 318, pois basta verificar no enunciado que 318 1 164 5 482.
Sobre a adição 
79 1 6 1 34, 
responda no caderno:
a) Use parênteses para 
indicar dois modos 
de calcular 
79 1 6 1 34 
associando essas 
parcelas de 
diferentes formas. 
b) Para calcular 
mentalmente o valor 
de 79 1 6 1 34, qual 
é a melhor forma 
de associar essas 
parcelas? Explique. 
a) (79 1 6) 1 34 ou 79 1 (6 1 34)
b) Exemplo de resposta: É melhor fazer 79 1 (6 1 34), pois 6 1 34 5 40 e é fácil 
calcular mentalmente o valor de 79 1 40. 
Atividades Não escreva no livro!
 10. Calcule o resultado de cada adição cujas parcelas 
são: um número da fileira vertical e um número da 
fileira horizontal. Veja no exemplo destacado que 
176 1 368 5 544.
 11. Cada representação a seguir sugere uma adição. Analise a sequência de figuras e escreva no ca-
derno, uma adição que pode representar cada caso. Depois, identifique a propriedade da adição 
que relaciona cada adição representada.
a) b) 
propriedade comutativa da adição: 3 1 7 5 7 1 3
7 1 5 1 6 5 (7 1 5) 1 6 5 18
1 84 368 892 3 476
19 103 387 911 3 495
176 260 544 1 068 3 652
987 1 071 1 355 1 879 4 463
1 508 1 592 1 876 2 400 4 984
7 1 3 5 10
propriedade associativa da adição: (7 1 5) 1 6 5 7 1 (5 1 6)
7 1 5 1 6 5 7 1 (5 1 6) 5 18
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37Capítulo 3 Adição e subtração
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MANUAL DO PROFESSOR - UNIDADE 238
 Subtração
Habilidades da BNCC
 (EF06MA03) Resolver e 
elaborar problemas que en-
volvam cálculos (mentais 
ou escritos, exatos ou apro-
ximados) com números na-
turais, por meio de es tra-
tégias variadas, com com-
preensão dos processos 
neles envolvidos com e sem 
uso de calculadora. 
 (EF06MA12) Fazer estima-
tivas de quantidades e 
aproximar números para 
múltiplos da potência de 10 
mais próxima.
O trabalho com as opera-
ções do campo aditivo, ou seja, 
adição e subtração, permite 
estabelecer a conexão entre 
elas, uma vez que são opera-
ções inversas. De modo simi-
lar ao que foi feito em relação 
à adição, apresentamos a sub-
tração a partir de diferentes si-
tuações que estão relaciona-
das às ideias da subtração: 
retirar, completar ou comparar 
quantidades.
Subtração
Em uma subtração os 
termos são denominados 
minuendo, subtraendo e 
diferença ou resto.
Incentive os alunos a elaborar outras questões com base nos dados do quadro. Elaborar questões permi-
te aos alunos mobilizar o vocabulário envolvido com a ideia de subtração (por exemplo, quantos pontos a 
equipe C tem a mais que a equipe D), além de articular dados e perguntas coerentes com eles.
Determine, no caderno, 
a quantidade de pontos 
que faltam para a equipe 
B igualar sua pontuação 
à da equipe A depois da 
punição que sofreu. 
68 pontos (300 2 232 5 68)
Desse modo, Bruna descobriu que faltavam 28 pontos à equipe B para obter 
a mesma pontuação da equipe A. 
Nesse caso, a ideia de subtração envolvida foi a de completar 
quantidades.
Após o término da penúltima prova, os organizadores constataram que 
um dos pilotos da equipe B cometeu uma infração cuja punição é a perda 
de 40 pontos da equipe.
Para saber com quantos pontos a equipe B ficará quando a punição for 
aplicada, é necessário retirar 40 pontos de 272 pontos. Podemos fazer isso 
por meio de uma subtração:
272 2 40 5 232
Assim, com a perda de 40 pontos, a equipe B passou a ter 232 pontos.
Mesmo depois da punição que sofreu, a equipe B permaneceu à fren-
te da equipe C com 24 pontos a mais. Para descobrir isso, é necessário 
comparar 232 pontos com 208 pontos, e podemos fazer isso por meio da 
seguinte subtração:
232 2 208 5 24
Após a penúltima prova de motociclismo em uma competição profissional, a pontuação geral das 
quatro equipes mais bem classificadas foi apresentada no quadro a seguir.
Posição Equipe Pontuação
1o lugar A 300
2o lugar B 272
3o lugar C 208
4o lugar D 132
Bruna, que é fã de motociclismo, quis descobrir quantos pontos faltam à equipe B (equipe para a 
qual ela torce) para igualar a pontuação à da equipe A. Para isso, ela fez uma subtração:
minuendo subtraendo diferença ou 
 resto
300 2 272 5 28
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Apresente o conteúdo dialo-
gando e fazendo perguntas 
aos alunos para verificar o que 
eles conhecem sobre o tema: 
as ideias da subtração, os al-
goritmos utilizados, os termos 
da subtração, como eles a 
relacionam com a adição, etc. 
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38 Unidade 2 Operações com números naturais
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39MANUAL DO PROFESSOR - UNIDADE 2
Em geral, o algoritmo usual 
da subtração é considerado 
mais difícil de compreender e 
de ser aplicado pelos alunos 
quando comparado ao algorit-
mo da adição. Uma das dificul-
dades está associada à troca 
e ao reagrupamento, processo 
conhecido pelos alunos como 
“emprestar”. Observe se eles 
apresentam dificuldade em 
executar esse algoritmo e 
aproveite para esclarecer 
eventuais dúvidas, procuran-
do explicitar a importância do 
valor posicional dos algaris-
mos na escrita de um número.
Explore com os alunos os 
exemplos apresentados no 
texto principal e verifique se 
eles estabelecem conexão 
entre o cálculo realizado com 
uso do ábaco e com o algorit-
mo usual. A intenção é que os 
alunos observem as ações 
realizadas com as peças no 
ábaco e associem essas 
ações ao processo de troca 
entre as quantidades das di-
ferentes ordens.
Nesta seção Saiba mais há 
a apresentação de mais uma 
estratégia de cálculo para en-
riquecer o repertório do aluno.
Uma possível resolução pa-
ra a operação proposta é:
218
218 1 2 5 220
220 1 80 5 300
300 1 100 5 400
400 1 4 5 404
 ô
2 1 80 1 100 1 4 5 186
Algoritmo usual da subtração
Há diferentes modos de calcular o resultado de uma subtração de dois 
números naturais. Veja a seguir como calcular o resultado de 296 2 188, 
utilizando o algoritmousual da subtração, acompanhando a representação 
em um ábaco e o cálculo escrito.
Para iniciar o cálculo escrito, registramos o número maior, colocando cada 
algarismo na “coluna” correspondente a sua ordem. Depois, o número menor 
posicionado de acordo com a ordem de cada algarismo. 
No ábaco, representamos inicialmente o número maior; neste caso, 296. 
Depois, retiramos a quantidade de fichas correspondente ao número menor.
296
C D U
2 9 6
2 1 8 8
18
Como não podemos 
retirar 8 unidades de 
6 unidades, então 
trocamos 1 dezena por 
10 unidades. Assim, 
ficamos com 8 dezenas 
e 16 unidades. C D U C D U
C D U
2 9 6
2 1 8 8
8
8 Retiramos 8 unidades de 
16 unidades, restando 
8 unidades.
1
 C D U C D U
C D U
2 9 6
2 1 8 8
0 8
8 Retiramos 8 dezenas 
de 8 dezenas, restando 
nenhuma (zero) dezena.
1
 C D U C D U
C D U
2 9 6
2 1 8 8
1 0 8
8 Retiramos 1 centena de 
2 centenas, restando 
1 centena. 
1
 C D U C D U
Logo, o resultado de 296 2 188 é 108.
C D U
2 9 6
2 1 8 8
Outro modo de calcular subtrações
Para calcular o resultado de 296 2 188, utilizando a ideia de com-
pletar da subtração, completamos a quantidade menor até igualá-la 
com a quantidade maior. Depois, adicionamos os valores usados para 
completar a quantidade menor e obtemos o resultado da subtração.
Para explorar
¥ Determine o resultado de 404 2 218 utilizando a ideia de completar da subtração. 186
 Saiba mais Não escreva no livro!
188 1 2 5 190
188
190 1 10 5 200
200 1 90 5 290
290 1 6 5 296
2 1 10 1 90 1 6 5 108
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39Capítulo 3 Adição e subtração
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MANUAL DO PROFESSOR - UNIDADE 240
Se julgar oportuno, na ativi-
dade 12, incentive os alunos a 
confeccionar cédulas e moe-
das de papel para realizar ou-
tras comparações envolvendo 
quantidades de dinheiro. Ativi-
dades como esta favorecem o 
desenvolvimento de estraté-
gias de cálculo mental.
A atividade 13 favorece o 
desenvolvimento da habilida-
de de resolver e elaborar pro-
blemas que envolvam as gran-
dezas comprimento, massa, 
tempo, temperatura, área 
(triângulos e retângulos), ca-
pacidade e volume (sólidos for-
mados por blocos retangula-
res), sem uso de fórmulas, 
inseridos, sempre que possí-
vel, em contextos oriundos de 
situações reais e/ou relaciona-
das às outras áreas do conhe-
cimento (EF06MA24).
 12. Observe as quantias de Isabel e de Augusto.
Augusto.
Isabel.
Quem tem a maior quantia? Quanto a mais? Isabel; 88 reais a mais
 13. As fotografias a seguir mostram o hodômetro de um carro no início e no 
final de uma viagem. As distâncias estão indicadas em quilômetros.
Início. Final.
67 806 68 312
Quantos quilômetros o carro percorreu nessa viagem? 
 14. Calcule o resultado de cada subtração na qual um número da fileira vertical do quadro é subtra-
ído de um número da fileira horizontal. Veja no exemplo destacado que 3 851 2 486 5 3 365.
2 2 065 3 851 1 980 3 401
29 2 036 3 822 1 951 3 372
486 1 579 3 365 1 494 2 915
978 1 087 2 873 1 002 2 423
1 617 448 2 234 363 1 784
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506 quilômetros
Hodômetro: 
instrumento que 
indica a distância 
percorrida por 
pedestres ou por 
veículos.
Atividades Não escreva no livro!
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As imagens não 
estão representadas 
em proporção.
40 Unidade 2 Operações com números naturais
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41MANUAL DO PROFESSOR - UNIDADE 2
 Relação entre adição 
e subtração
Habilidades da BNCC
 (EF06MA03) Resolver e ela-
borar problemas que envol-
vam cálculos (mentais ou 
escritos, exatos ou aproxi-
mados) com números natu-
rais, por meio de estratégias 
variadas, com compreensão 
dos processos neles envol-
vidos com e sem uso de cal-
culadora. 
 (EF06MA12) Fazer estima-
tivas de quantidades e 
aproximar números para 
múltiplos da potência de 10 
mais próxima.
 (EF06MA14) Reconhecer 
que a relação de igualdade 
matemática não se altera ao 
adicionar, subtrair, multipli-
car ou dividir os seus dois 
membros por um mesmo 
número e utilizar essa no-
ção para determinar valores 
desconhecidos na resolu-
ção de problemas.
Inicie discutindo com os alu-
nos a ideia de ações inversas 
(fazer e desfazer), como: abo-
toar e desabotoar uma blusa, 
escrever e apagar uma pala-
vra, ir e voltar por um mesmo 
caminho, etc. É importante 
que os alunos percebam que 
realizar uma operação inversa 
a outra faz a situação voltar a 
seu estado inicial. A análise 
das retas ilustra o fato de que 
os alunos podem conferir os 
cálculos de uma adição ou 
subtração efetuando a opera-
ção inversa correspondente. 
Se julgar conveniente, apre-
sente-lhes exemplos.
Igualdades
Ao trabalhar a situação pro-
posta, espera-se que os alu-
nos percebam que, ao adicio-
nar ou subtrair uma mesma 
quantidade em ambos os 
membros de uma igualdade, a 
igualdade se mantém, permi-
tindo, assim, descobrir a quan-
tidade desconhecida. Esse 
trabalho tem como objetivo 
desenvolver a capacidade de 
abstração e contribuir para o 
desenvolvimento do pensa-
mento algébrico.
Faça algumas simulações 
com os alunos envolvendo a 
descoberta de quantidade des-
conhecida. Para isso, pode-se 
representar diferentes situa-
ções na lousa.
Relação entre adição e subtração
Acompanhe a adição e a subtração realizadas com auxílio da reta numérica.
2 1 5 5 7
0 1 2 3 4 5
15
6 7 8 9 10
7 2 5 5 2
0 1 2 3 4 5
25
6 7 8 9 10
Adicionando 5 a 2 obtém-se 7 e, ao subtrair 5 de 7, voltamos a obter o valor inicial 2. Por isso, dizemos 
que a adição e a subtração são operações inversas entre si.
Essa ideia pode auxiliar a execução do cálculo mental. Veja, por exemplo, como Cristina calculou 
mentalmente o resultado de 347 1 299.
Adicionei 300 a 347. Depois, 
subtraí unidade do resultado, 
obtendo 646.
Veja que, ao adicionar 300 a 347, Cristina adicionou 1 unidade a mais do que se tivesse adicionado 299 a 
347 e, por isso, precisou subtrair 1 unidade do resultado obtido, compensando o acréscimo feito anteriormente.
Igualdades
Alice estava brincando com Caroline e fez o seguinte desafio à amiga.
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Escreva no caderno 
uma igualdade 
correspondente ao 
raciocínio usado 
porãCristina.
Exemplo de resposta: 
347 1 299 5 [347 1 (299 1 1)] 2 1
Eu vou representar essa igualdade em uma balança. Em 
um dos pratos da balança vou colocar uma caixa para 
representar a quantidade desconhecida e 
4 pesos de unidade de medida de massa cada um para 
representar as unidades. 
No outro prato da balança vou colocar 9 pesos de unidade 
de medida de massa cada um.
Veja a estratégia que Caroline usou para resolver esse problema.
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Uma quantidade 
adicionada a 4 unidades 
resulta em 9 unidades. 
Qual é essa quantidade?
41Capítulo 3 Adição e subtração
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MANUAL DO PROFESSOR - UNIDADE 242
A atividade 15 possibilita 
aos alunos perceber uma es-
tratégia possível de cálculo 
mental: completar a unidade 
de milhar, centena, dezena, 
etc. e, após a realização do cál-
culo, retirar a quantidade 
acrescentada. Essa é uma es-
tratégia de cálculo mental bas-
tante comum e utilizada no co-
tidiano. 
Enquanto Caroline explicava sua estratégia, Alice fez as seguintes anotações no caderno:
 → quantidade desconhecida 
 1 4 5 9
 1 4 2 4 5 9 2 4 (subtraímos 
4 de ambos os lados da igualdade) 
 5 9 2 4
 5 5
Acompanhe o raciocínio utilizado por Maurício para calcular o resultado de 341 1 197 mentalmente.
Veja o registro desse cálculo, considerando que w representa a quanti-
dadedesconhecida.
w 5 341 1 197
w 1 3 5 341 1 197 1 3
w 1 3 5 541
w 1 3 2 3 5 541 2 3
w 5 538
No caderno, 
desenvolva uma 
estratégia para resolver 
o seguinte problema: 
Subtraí 16 da idade de 
Lúcio e obtive 2. Qual 
é a idade de Lúcio? 
18 anos
Atividades Não escreva no livro!
 15. Veja ao lado como Vítor calculou men-
talmente o resultado de 431í2í196.
Agora, utilize a estratégia de sua pre-
ferência e calcule mentalmente o re-
sultado de: 
a) 378 2 198
b) 501 2 102
c) 1745 2 997
d) 470 2 289
180
181
748
399
Como 97 1 3 5 200, 
vou calcular 34 1 200 e, 
depois, retirar 3 unidades do 
resultado.
34 1 200 5 54
54 2 3 5 538
Então, 34 1 97 5 538.
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Assim, eu posso 
concluir que a 
quantidade de 
medida de massa 
desconhecida é 
igual a 5 unidades. 
Se eu 
retirar 
4 pesos de 
cada prato, a 
igualdade será 
mantida.
Subtraí 
200 de 43 , obtendo 
23 . Como retirei 200, que é 
4 unidades a mais que 96, adicionei 
4 unidades a 23 e obtive o 
resultado final 235.
42 Unidade 2 Operações com números naturais
TRILHAS_MP_PNLD2020_6ANO_UN2_032a073.indd 42 10/23/18 8:22 AM
43MANUAL DO PROFESSOR - UNIDADE 2
Na atividade 16, incentive 
os alunos a substituir cada 
parcela da soma indicada pe-
lo sucessor do número, ou 
seja, a expressão passa a ser 
10 1 100 1 1 000 1 10 000, 
que resulta em 11 110. Como 
foram adicionadas 4 unida-
des (uma para cada parcela), 
basta subtrair 4 unidades do 
resultado obtido, ou seja, 
11 110 2 4 5 11 106.
Atividades como a 18 favo-
recem que os alunos utilizem a 
calculadora como recurso de 
investigação. Além de efetuar 
a operação aproximando os nú-
meros para 150 e 500, e de-
pois, subtrair 28, é possível que 
os alunos pensem sobre a no-
ção de valor posicional dos al-
garismos na escrita do número 
em nosso sistema de numera-
ção. Assim, para resolvê-la, 
eles devem compreender que 
como o algarismo 4 não pode 
ser digitado na calculadora, o 
seu valor pode ser decomposto 
em pelo menos duas parcelas, 
ou seja, no número 147, o 4 tem 
valor posicional que representa 
4 dezenas, ou seja, 40, que pode 
ser decomposto em 30 1 10,
por exemplo.
Na atividade 22 oriente os 
alunos a ficar atentos aos ob-
jetos representados sobre os 
pratos da balança e comente 
sobre o princípio de equivalên-
cia envolvido na situação, ou 
seja, que, se objetos de mesma 
massa são retirados de ambos 
os pratos da balança, ou se 
acrescentados em ambos os 
pratos da balança, esta perma-
nece em equilíbrio. O uso de ba-
lança de dois pratos para ex-
pressar a ideia de igualdade 
contribui para a compreensão 
dos princípios de equivalência 
de igualdades. Explore com os 
alunos os exemplos em que es-
ses princípios são aplicados, 
enfatizando os cálculos reali-
zados em cada membro da 
igualdade. Esta atividade favo-
rece o desenvolvimento da ha-
bilidade de resolver e elaborar 
problemas que envolvam as 
grandezas comprimento, mas-
sa, tempo, temperatura, área 
(triângulos e retângulos), ca-
pacidade e volume (sólidos for-
mados por blocos retangula-
res), sem uso de fórmulas, 
inseridos, sempre que possí-
vel, em contextos oriundos de 
situações reais e/ou relaciona-
das às outras áreas do conhe-
cimento (EF06MA24).
 16. Calcule mentalmente o resultado de: 
9 1 99 1 999 1 9 999. 
 17. Pedro tem 17 anos e Ricardo, o irmão mais 
velho dele, tem 29 anos. Sabendo que eles 
fazem aniversário no dia 2 de maio, qual será a 
diferença de idade entre eles daqui a 25 anos? 
 18. Giovana quer obter o resultado de 
147 1 475 com o auxílio de uma calcula-
dora, mas a tecla com o número 4 está com 
defeito. Como ela pode realizar o cálculo 
sem apertar essa tecla?
 19. Cátia entrou em um elevador e apertou o 
botão do 19o andar. Porém, o elevador ficou 
descontrolado e realizou as seguintes ações: 
subiu 3 andares, em seguida desceu 5 andares, 
depois subiu 7 andares, por fim subiu mais 3 
andares e parou no 19o andar. Em que andar 
o elevador estava quando ela entrou? 
 20. Descubra o número que deve estar no re-
tângulo em cada caso para que os cálculos 
fiquem corretos. 
a) 71 199 152
1 128 2 47
b) 773 456 705
2 317 1 249
c) 
75
2 71
2 74
1 57
132 61
149
1 88
d) 107
115210
68
2 39
1 95
2 103 1 47
 21. Descubra em que número Carlos pensou.
11 106
12 anos
18. Exemplo de resposta: Calcular 150 1 575 e depois subtrair 103 do resultado, obtendo 622.
11o andar
 22. Claude-Gaspard Bachet de Méziriac foi um 
matemático francês.
Claude-Gaspard Bachet de Méziriac (1581-1638).
Em um livro publicado em 1612, Bachet apre-
sentou um problema no qual mostrava que é 
possível usar uma balança de pratos e quatro 
pesos para pesar objetos de 1 unidade a 40 
unidades de massa (sem considerar frações da 
unidade). Para isso, cada um desses pesos devia 
ter: 1 unidade de massa, 3 unidades de massa, 
9 unidades de massa e 27 unidades de massa. 
Para isso era necessário equilibrar a balança e, 
a partir da distribuição dos pesos, determinar 
a massa do objeto considerado.
27
31
Fonte de pesquisa: <http://gazeta.spm.pt/getArtigo?gid=271>. 
Acesso em: 10 set. 2018. 
No exemplo acima, em um dos pratos da balan-
ça há um objeto de massa desconhecida e dois 
pesos, de 1 e de 3 unidades de massa; no outro 
prato há um peso de 27 unidades de massa.
a) Determine a massa do objeto de massa 
desconhecida no exemplo dado. 
b) Seguindo essa ideia, desenhe em seu cader-
no esquemas que indiquem como pesar ob-
jetos que tenham de 1 unidade de massa a 10 
unidades de massa (sem considerar frações 
da unidade). 
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23 unidades de massa
Veja resposta no final do livro.
Pensei em um número. 
Adicionei a ele 
2 unidades, depois subtraí 9 
do resultado e adicionei 7. 
Obtive o número 29. 19
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43Capítulo 3 Adição e subtração
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MANUAL DO PROFESSOR - UNIDADE 244
 Atividades 
complementares
Na atividade 1, os alunos de-
vem perceber que o menor nú-
mero de parcelas só será pos-
sível quando for utilizado o 
máximo possível de números 
4 na adição. 
A atividade 2 requer que o 
aluno identifique o padrão uti-
lizado na construção da se-
quência numérica dada. As se-
quências numéricas, assim 
como a identificação de pa-
drões e de regularidades, se-
rão retomadas e aprofundadas 
no decorrer dos próximos anos 
escolares (7o e 8o anos).
Pode-se ampliar a atividade 
3 propondo uma pergunta cuja 
resposta seja a compra de um 
notebook e um celular. (Exem-
plo de pergunta: O que Pedro 
comprou, se ele gastou apro-
ximadamente R$ 2 150,00?).
Na atividade 6 é apresenta-
da uma situação comum no co-
tidiano, em que arredondamos 
valores para estimar valores 
em uma compra. Aproveite o 
momento para solicitar aos 
alunos que levem para a aula 
folhetos comerciais e propo-
nha a eles diferentes situações 
de compras com os produtos 
dos folhetos.
Se considerar adequado, fa-
ça a leitura do enunciado da 
atividade 7 com os alunos, de 
modo que percebam que a so-
lução está na soma dos núme-
ros que estão ao mesmo tem-
po dentro do triângulo e do 
círculo e fora do quadrado. Des-
se modo, a resposta corres-
ponde à soma de 5 1 6, que é 
igual a 11.
Não escreva no livro!
 8. Reescreva em seu caderno as expressões a 
seguir e coloque o sinal de adição ou o de 
subtração no lugar de para tornar cada 
igualdade verdadeira.
a) 426 138 48 5 336
b) 381 297 123 5 555
 9. Obtenha o número desconhecido em cada 
cálculo.a) 734 1 5 810
b) 402 2 5 173
c) 2 2 074 5 1 026
d) 15 762 1 5 21 908
 10. Explique o erro do cálculo feito por Rogério. 
2 154
21 238
1 124
 11. Elabore um problema que possa ser resolvido 
por meio do cálculo 450 2 245 1 730.
 12. Faça o que se pede em cada item.
a) Realize uma subtração e faça com que o 
algarismo 4 do número 134 008 no visor 
da calculadora seja transformado no alga-
rismo 1 sem alterar os demais algarismos. 
b) Realize uma subtração e faça com que 
ambos algarismos 5 do número 325 951 
sejam transformados em algarismos 2 
sem alterar os demais algarismos. 
 13. Gilson tem 190 reais. Ele comprou dois 
produtos diferentes anunciados no folheto 
abaixo e sobrou o menor valor possível. 
a) Quais produtos Gilson comprou? 
b) Qual foi o valor que ele recebeu de troco? 
426 2 138 1 48 5 336
381 1 297 2 123 5 555
76
229
3 100
6 146
Ver resposta 
no final do 
livro.
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134 008 2 3 000 5 131 008
325 951 2 3 030 5 322 921
A camisa e a bermuda.
2 reais
 14. Uma balança de dois pratos está em equi-
líbrio, uma vez que em cada prato há mais 
de 100 gramas. Se retirarmos 17 gramas de 
um dos pratos e colocá-los no outro prato, 
qual será a diferença de massa entre eles? 
 15. Uma calculadora está com a tecla 3 que-
brada, mas Sueli quer calcular o resultado de 
837 2 296. Como ela poderá realizar esse 
cálculo com o auxílio dessa calculadora?
 16. Observe o gráfico com a estimativa da po-
pulação de três cidades do estado de Goiás 
em 2017.
350
 
000
150
 
000
250
 
000
50
 
000
300
 
000
100
 
000
200
 
000
0
Anápolis Catalão Formosa
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Município
400
 
000 375
 
142
102
 
393 115 789
Dados obtidos em: <https://cidades.ibge.gov.br>. 
Acesso em: 7 jun. 2018.
População estimada para 2017 em 
três municípios goianos
a) Qual foi a estimativa da população total 
desses três municípios em 2017? 
b) A população do município mais populoso 
é maior do que a soma das populações dos 
outros dois municípios? Qual é a diferença 
entre esses valores? 
 17. A figura a seguir é composta de seis triângulos 
iguais ao representado abaixo. Qual é a soma 
das medidas dos segmentos vermelhos? 
217 mm
125 mm
250 mm
34 gramas
15. Exemplo de resposta: Subtrair 296 de 827 e, depois, adicionar 10 ao resultado obtido.
593 324 habitantes
Sim. A diferença é de 156 960 habitantes.
2 052 milímetros
11. Exemplo de resposta: Lívia é dona de um pequeno mercado. Ao chegar no trabalho havia 450 reais no caixa, mas, em seguida, o 
fornecedor de frutas fez uma entrega no valor de 245 reais, pagos em dinheiro por ela. Até o final da manhã, ela vendeu 730 reais em 
produtos, pagos com cédulas. Quantos reais ficaram no caixa do mercado?
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45Capítulo 3 Adição e subtração
Trilhas_da_Matematica_PNLD2020_6ANO_LA_U2_C3_032A046.indd 45 10/16/18 7:48 PM
Atividades complementares
Arredondei cada preço para a dezena mais 
próxima. Depois, adicionei todos os valores.
Eu arredondei cada preço para 
a centena mais próxima. Depois, 
adicionei todos os valores.
 1. Usando apenas os números 1 e 4, escreva 
adições com o menor número possível de 
parcelas que resultem nos números 1 a 16. 
Veja um exemplo:
11 5 1 1 1 1 1 1 4 1 4
 2. A sequência de números abaixo é formada 
de acordo com uma regra matemática.
3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, ...
a) Qual é a regra de formação dessa sequência 
de números?
b) Descubra os três próximos números dessa 
sequência. 
 3. Pedro comprou dois produtos diferentes entre 
os que estão em exposição na vitrine desta 
loja e gastou menos de 1 800 reais.
Veja resposta no final do livro.
76, 123, 199
 5. Hugo quer calcular o resultado de 
2 358  1  1 264 usando uma calculadora. 
Registre como ele pode fazer isso sem usar: 
a) a tecla 3 b) a tecla 6
 6. Veja ao lado o cartaz 
com preços de alguns 
produtos de uma loja.
Marília e Rodrigo que-
rem comprar os quatro 
produtos desse cartaz. 
Acompanhe como cal-
cularam o valor aproxi-
mado que vão gastar.
Veja resposta no final do livro.
2. a) Cada número, a partir do 3o, é obtido adicionando os dois números anteriores a ele.
a) Quais foram os produtos que Pedro com-
prou? 
b) Qual foi o valor total gasto por Pedro 
com essa compra? 
 4. Veja a seguir como Juliana calculou mental-
mente o resultado de 657 1 178.
O celular e a máquina fotográfica.
1 498 reais
Agora é a sua vez. Calcule mentalmente os 
resultados das adições a seguir.
a) 286 1 393
b) 427 1 581
c) 748 1 926
d) 677 1 865
679
1 008
1 674
1 542
Juntando 700 
com 20 
tenho 820.
7 mais 8 são 5, 
que, adicionados a 
820, resultam em 
835.
600 1 00 5 700
50 1 70 5 20
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a) Que valor cada um calculou? Esses va-
lores são iguais? 
b) Qual é o valor exato dos quatro produtos 
juntos? 607 reais
c) Qual dos arredondamentos está mais 
próximo do valor exato?
 7. (Obmep) Observe a figura. Qual é a soma 
dos números que estão escritos dentro do 
triângulo e também dentro do círculo, mas 
fora do quadrado? 
1 2
3
4
5 6
7
10
9 8
O valor de Rodrigo foi 610 reais e 
o de Marília foi 600 reais. Não.
O arredondamento de Rodrigo está mais próximo do valor exato.
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44 Unidade 2 Operações com números naturais
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45MANUAL DO PROFESSOR - UNIDADE 2
Peça aos alunos que efetuem corretamente o cálculo indicado 
na atividade 10, realizando as trocas necessárias. Se julgar perti-
nente, comente com eles que o erro cometido por Rogério é bas-
tante comum e incentive-os a verbalizar o que Rogério deveria ter 
feito para efetuar corretamente a subtração, ou seja, ter trocado 1 
dezena por 10 unidades, ficando com 14 unidades para subtrair 8, 
o que resultaria em 6 unidades; como restaram 4 dezenas, sub-
traindo 3 dezenas, ficaria 1 dezena; deveria também ter trocado 1 
unidade de milhar por 10 centenas, ficando com 11 centenas para 
subtrair 2, o que resultaria em 9 centenas; como restou 1 unidade 
de milhar, subtraindo 1 unida-
de de milhar, não restaria uni-
dade de milhar. Portanto, o re-
sultado correto da subtração 
apresentada é 916.
Se necessário, encaminhe 
a resolução da atividade 13. 
Comente com os alunos que, 
como queremos o menor tro-
co possível, devemos calcular 
qual será o maior valor possí-
vel que podemos gastar nes-
sa compra. Adicionando os 
preços dos três produtos te-
mos: R$ 59,00 1 R$ 69,00 1 
1 R$ 119,00 5 R$ 247,00.
Como não há essa quantia 
disponível, não podem ser 
comprados os três produ-
tos. Oriente-os a calcular o 
valor da compra de dois pro-
dutos. Uma sugestão é cal-
cular o valor da compra dos 
dois produtos mais caros, ou 
seja, R$ 119,00 1 R$ 69,00 5 
5 R$ 188,00. Portanto, com 
R$ 190,00 é possível com-
prar a camisa e a bermuda 
para que sobre o menor troco 
possível, que será R$ 2,00.
Na atividade 14, se a balan-
ça está em equilíbrio, então há 
a mesma massa em cada um 
dos dois pratos.
Quando se retiram 17 gra-
mas de um desses pratos, ele 
fica com 17 gramas a menos 
do que a massa inicial nele 
existente. Ao colocar esses 17 
gramas no segundo prato, este 
fica com 17 gramas a mais do 
que a massa inicial nele exis-
tente. Desse modo, temos ago-
ra um prato com 17 gramas a 
menos do que antes e o outro 
com 17 gramas a mais do que 
a massa inicial. Portanto, a di-
ferença entre as massas des-
sespratos é de 34 gramas.
A atividade 16 favorece o de-
senvolvimento da habilidade 
de identificar as variáveis e 
suas frequências e os elemen-
tos constitutivos (título, eixos, 
legendas, fontes e datas) em 
diferentes tipos de gráfico
(EF06MA31).
As atividades 14 e 17 favo-
recem o desenvolvimento da 
habilidade de resolver e ela-
borar problemas que envol-
vam as grandezas compri-
mento, massa, tempo, tempe-
ratura, área (triângulos e 
retângulos), capacidade e vo-
lume (sólidos formados por 
blocos retangulares), sem 
uso de fórmulas, inseridos, 
sempre que possível, em con-
textos oriundos de situações 
reais e/ou relacionadas às ou-
tras áreas do conhecimento 
(EF06MA24).
Não escreva no livro!
 8. Reescreva em seu caderno as expressões a 
seguir e coloque o sinal de adição ou o de 
subtração no lugar de para tornar cada 
igualdade verdadeira.
a) 426 138 48 5 336
b) 381 297 123 5 555
 9. Obtenha o número desconhecido em cada 
cálculo.
a) 734 1 5 810
b) 402 2 5 173
c) 2 2 074 5 1 026
d) 15 762 1 5 21 908
 10. Explique o erro do cálculo feito por Rogério. 
2 154
21 238
1 124
 11. Elabore um problema que possa ser resolvido 
por meio do cálculo 450 2 245 1 730.
 12. Faça o que se pede em cada item.
a) Realize uma subtração e faça com que o 
algarismo 4 do número 134 008 no visor 
da calculadora seja transformado no alga-
rismo 1 sem alterar os demais algarismos. 
b) Realize uma subtração e faça com que 
ambos algarismos 5 do número 325 951 
sejam transformados em algarismos 2 
sem alterar os demais algarismos. 
 13. Gilson tem 190 reais. Ele comprou dois 
produtos diferentes anunciados no folheto 
abaixo e sobrou o menor valor possível. 
a) Quais produtos Gilson comprou? 
b) Qual foi o valor que ele recebeu de troco? 
426 2 138 1 48 5 336
381 1 297 2 123 5 555
76
229
3 100
6 146
Ver resposta 
no final do 
livro.
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134 008 2 3 000 5 131 008
325 951 2 3 030 5 322 921
A camisa e a bermuda.
2 reais
 14. Uma balança de dois pratos está em equi-
líbrio, uma vez que em cada prato há mais 
de 100 gramas. Se retirarmos 17 gramas de 
um dos pratos e colocá-los no outro prato, 
qual será a diferença de massa entre eles? 
 15. Uma calculadora está com a tecla 3 que-
brada, mas Sueli quer calcular o resultado de 
837 2 296. Como ela poderá realizar esse 
cálculo com o auxílio dessa calculadora?
 16. Observe o gráfico com a estimativa da po-
pulação de três cidades do estado de Goiás 
em 2017.
350
 
000
150
 
000
250
 
000
50
 
000
300
 
000
100
 
000
200
 
000
0
Anápolis Catalão Formosa
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Município
400
 
000 375
 
142
102
 
393 115 789
Dados obtidos em: <https://cidades.ibge.gov.br>. 
Acesso em: 7 jun. 2018.
População estimada para 2017 em 
três municípios goianos
a) Qual foi a estimativa da população total 
desses três municípios em 2017? 
b) A população do município mais populoso 
é maior do que a soma das populações dos 
outros dois municípios? Qual é a diferença 
entre esses valores? 
 17. A figura a seguir é composta de seis triângulos 
iguais ao representado abaixo. Qual é a soma 
das medidas dos segmentos vermelhos? 
217 mm
125 mm
250 mm
34 gramas
15. Exemplo de resposta: Subtrair 296 de 827 e, depois, adicionar 10 ao resultado obtido.
593 324 habitantes
Sim. A diferença é de 156 960 habitantes.
2 052 milímetros
11. Exemplo de resposta: Lívia é dona de um pequeno mercado. Ao chegar no trabalho havia 450 reais no caixa, mas, em seguida, o 
fornecedor de frutas fez uma entrega no valor de 245 reais, pagos em dinheiro por ela. Até o final da manhã, ela vendeu 730 reais em 
produtos, pagos com cédulas. Quantos reais ficaram no caixa do mercado?
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45Capítulo 3 Adição e subtração
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MANUAL DO PROFESSOR - UNIDADE 246
Na atividade 19, avalie a 
possibilidade de desenvolver 
um trabalho interdisciplinar 
com os professores de Arte e 
História. Comente com os alu-
nos que Albrecht Dürer é um ar-
tista do período Renascentis-
ta. Se julgar pertinente, sugira 
que pesquisem a respeito da 
arte renascentista na Europa 
e outros artistas desse perío-
do, de modo particular os que 
usaram a técnica da perspec-
tiva em suas obras. Aproveite 
para incentivá-los a buscar in-
formações sobre as principais 
características das obras de 
arte desse período.
Verifique também se os alu-
nos já conhecem a técnica da 
xilogravura e, se possível, peça 
a eles que pesquisem algumas 
xilogravuras e tragam para a 
aula para compor um mural 
com esse material. Oriente-os 
a identificar a xilogravura com 
o artista correspondente.
A seguir apresentamos um 
encaminhamento para a reso-
lução do item a desta atividade. 
17 24 1 8 15
5 16
4 6 20 22
10 12 19 3
11 18 25 9
Considerando o quadrado 
mágico apresentado, a partir 
da primeira linha e da última 
coluna é possível verificar que 
a soma dos números que as 
compõem é igual a 65:
17 1 24 1 1 1 8 1 15 5 65 e
15 1 16 1 22 1 3 1 9 5 65. 
Identificado esse valor, os 
alunos devem localizar as li-
nhas e/ou colunas nas quais 
falta apenas um número para 
completá-las e descobrir es-
se número. Para isso, devem 
adicionar os números já regis-
trados e subtrair o resultado 
de 65.
Não escreva no livro!Não escreva no livro!
 18. (Obmep) Em uma mesa há nove cartões numerados de 1 a 9. Ana e 
Beto pegaram três cartões cada um. A soma dos números dos cartões 
de Ana é 7 e a soma dos números dos cartões de Beto é 23. Qual é 
a diferença entre o maior e o menor dos números dos três cartões 
deixados sobre a mesa?
a) 3 d) 6
b) 4 e) 7
c) 5
 19. O artista alemão Albrecht Dürer (1471-1528) é muito conhe-
cido por suas xilogravuras ricas em detalhes e tornou-se 
famoso na Europa ainda muito jovem.
Uma de suas obras mais famosas é Melancolia I, de 1514. 
Nela, é possível ver um quadrado mágico com 4 colunas e 
4 linhas. 
Num quadrado mágico, a soma dos números em cada linha, 
coluna ou diagonal é sempre a mesma. No quadrado mágico 
da obra de Albrecht Dürer, a soma é 34.
a) Reproduza em seu caderno o quadrado mágico a seguir 
e complete-o.
17 24 1 8 15
23 5 7 14 16
4 6 13 20 22
10 12 19 21 3
11 18 25 2 9
b) As obras de Dürer são marcadas pelo uso de 
uma técnica chamada de perspectiva. Você sabe 
o que é perspectiva? Faça uma pesquisa sobre 
esse assunto e apresente para sua turma outras 
obras de arte que fazem uso da perspectiva.
alternativa b
Resposta pessoal.
Xilogravura: técnica de fazer sobre 
madeira figuras em relevo e, após 
pintá-las, reproduzi-las numa folha 
de papel, como um carimbo.
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Esta atividade 
permite um 
trabalho 
integrado 
com os 
componentes 
curriculares 
História e 
Arte.
Albrecht Dürer. Melancolia I (1514). 
No detalhe, o quadrado mágico.
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46 Unidade 2 Operações com números naturais
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47MANUAL DO PROFESSOR - UNIDADE 2
 Multiplicação
Habilidades da BNCC
 (EF06MA03) Resolver e 
elaborar problemas que en-
volvam cálculos (mentais ou 
escritos, exatos ou aproxi-
mados) com números natu-
rais, por meio de estratégias 
variadas, com compreensão 
dos processos neles envol-
vidos com e sem uso de cal-
culadora. 
 (EF06MA12) Fazer estima-
tivas de quantidades e 
aproximar números para 
múltiplos da potência de 10 
mais próxima.
Em muitos casos, a multi-
plicação é ensinada exclusi-
vamente com base na ideia de 
adição de parcelas iguais. En-
tretanto, é importante que os 
alunoscompreendam a dife-
rença entre raciocínio aditivo 
e raciocínio multiplicativo.
Multiplicação
A escolha do piso a ser utilizado no acabamento de uma residência 
depende de várias características, como preço, beleza, facilidade de 
limpeza, durabilidade, etc. 
Após avaliar essas características, André comprou 15 caixas de de-
terminado piso, cada uma contendo 20 lajotas. Quantas lajotas ele 
comprou ao todo?
Incentive os alunos a dizer o que sabem sobre a multiplicação (as ideias, os algoritmos) e apro-
veite para frisar que o fato de alguns alunos não saberem a tabuada “de cabeça” não significa 
empecilho à sua aprendizagem, visto que a prontidão nas respostas não é o aspecto mais impor-
tante da multiplicação.
André usou o piso que comprou em diferentes ambientes de sua casa. Veja como ficou o piso da varanda.
Para calcular a quantidade de lajotas, podemos realizar o cálculo a seguir.
20 1 20 1 20 1 20 1 20 1 ... 1 20 5 300
 15 parcelas iguais a 20
Essa adição de parcelas iguais pode ser representada por uma multiplicação:
300203 515
fatores
número 
de
caixas de
lajotas
número 
de
lajotas em 
cada caixa
número de
lajotas 
compradas
produto
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Mostruário de pisos.
Lajota: pequena placa de pedra, ou de material 
duro, usada para revestir pisos e paredes.
Em uma multiplicação, 
os termos são 
denominados fatores 
e produto.
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Multiplicação e divisão4C
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47Capítulo 4 Multiplicação e divisão
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MANUAL DO PROFESSOR - UNIDADE 248
Explore com os alunos as di-
ferentes ideias relacionadas à 
multiplicação: adição de par-
celas iguais, disposição retan-
gular, número de possibilidades 
e proporcionalidade. Verifique 
se os alunos compreendem o 
conceito de multiplicação ana-
lisando se são capazes de reco-
nhecer as diferentes ideias as-
sociadas a essa operação em 
diversas situações-problema.
Ao trabalhar a ideia de dis-
posição retangular, incentive 
os alunos a buscar sua pró-
pria estratégia de cálculo. É 
possível que façam uma adi-
ção (8 1 8 1 8 1 8 1 8 5 40 
ou 5 1 5 1 5 1 5 1 5 1 5 1 
1 5 1 5 5 40). Para cada 
uma das adições é possível 
associar uma multiplicação 
(5 3 8 ou 8 3 5). Embora o 
resultado seja o mesmo, 40 
lajotas, são estratégias dife-
rentes de cálculo. É importan-
te que os alunos percebam 
essa diferença.
Ao trabalhar a ideia de nú-
mero de possibilidades, propo-
nha aos alunos a resolução 
dessa situação-problema, an-
tes de apresentar a solução 
proposta no livro. Observe co-
mo os alunos organizam a con-
tagem das possíveis combina-
ções e apresente a tabela e 
uma árvore de possibilidades 
como meio de organizar as 
combinações.
Quantas lajotas ele usou para instalar o piso da varanda?
Observe que as lajotas estão organizadas numa disposição retangular. 
Nesse caso, podemos considerar que há 5 fileiras com 8 lajotas em cada uma e 
fazer a seguinte multiplicação:
4083 55
fatores
número 
de
fileiras
número de
lajotas em 
cada fileira
número de
lajotas no 
piso da 
varanda
produto
623 53
fatores
número 
de cores 
de pisos
número de 
texturas 
de pisos
número de
modelos 
de pisos
produto
Observe que poderíamos considerar também que na disposição retangular 
das lajotas desse piso há 8 fileiras com 5 lajotas em cada uma e efetuar a mul-
tiplicação 8 3 5á5á40.
A empresa que fabrica o piso que André comprou vende modelos de pisos 
em três cores diferentes (azul, cinza ou bege) e com dois tipos de textura (liso ou 
rugoso). Quantos modelos de pisos essa empresa fabrica?
Para calcular a quantidade de modelos, temos de calcular o número de 
possibilidades de cores e texturas dos pisos. Para isso, fazemos um quadro:
Azul Cinza Bege
Liso Azul liso Cinza liso Bege liso
Rugoso Azul rugoso Cinza rugoso Bege rugoso
3 2
3 2
3 3
3 3
3 4
3 4
3 5
3 5
Número de caixas 3 6 9 12 15
Preço (em reais) 360 720 1 080 1 440 1 800
Se essa empresa 
também vendesse 
pisos nas cores preta 
ou branca, qual seria o 
número de modelos de 
piso fabricados? 
10 modelos (5 3 2 5 10)
Assim:
André comprou os pisos em uma promoção na qual cada lote com 3 caixas 
custou 360 reais. Quanto ele pagou pelas 15 caixas que comprou?
A ideia para calcular, nesse caso, é a de proporcionalidade. Observe no 
quadro abaixo como o preço correspondente a cada número de caixas se rela-
ciona com o preço de 3 caixas de piso.
48 Unidade 2 Operações com números naturais
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49MANUAL DO PROFESSOR - UNIDADE 2
Apresentamos o algoritmo 
da decomposição e o algoritmo 
usual da multiplicação. Quan-
do ambos os fatores forem 
maiores que 1 dezena, o algo-
ritmo da decomposição escla-
rece o conhecido “vai um” ao 
mostrar, por exemplo, que na 
multiplicação de 75 por 3 pri-
meiro multiplicamos 5 unida-
des por 3 e depois 7 dezenas 
ou 70 unidades por 3. Já no al-
goritmo usual é fundamental 
que os alunos compreendam 
por que na 2a parcela a ser adi-
cionada aparece o número 
750, pois corresponde à multi-
plicação de 1 dezena (10) por 
75. Observe se eles se apro-
priaram dos diferentes modos 
de resolução da multiplicação, 
sem desconsiderar suas es-
tratégias pessoais.
É possível que alguns alu-
nos ainda continuem resol-
vendo a multiplicação por 
meio da adição de parcelas 
iguais, o que torna o processo 
bastante moroso. Por isso, é 
importante chamar a atenção 
deles para a praticidade pos-
sibilitada pelos algoritmos, 
mas certamente garantindo 
que eles compreendam o que 
fazem, ao aplicá-lo.
Para saber mais sobre os 
algoritmos da multiplicação, 
sugerimos a leitura da dis-
sertação Algoritmos da mul-
tiplicação: uma experiência 
no Ensino Fundamental, de 
Cleudiana dos Santos Feito-
za Zonzini. Disponível em: 
<http://repositorio.unb.br/
bitstream/10482/21399/
1/2016_CleudianadosSantos
FeitozaZonzini.pdf> (acesso 
em: 14 out. 2018). Nesse tra-
balho, a autora apresenta al-
guns dispositivos multiplica-
tivos e estuda como os 
alunos se comportam peran-
te problemas multiplicativos 
após conhecerem os dife-
rentes algoritmos.
Note que, se o número de caixas dobra, o preço também dobra (2 3 360 5 720); se o número de caixas 
triplica, o preço também triplica (3 3 360 5 1 080); e assim por diante. Desse modo, dizemos que o preço 
que André pagou é proporcional ao número de caixas compradas. 
Portanto, André pagou 1 800 reais pelas 15 caixas que comprou (5 3 360 5 1 800).
Além do símbolo 3 para indicar multiplicação, pode-se usar também um ponto (?). Por exemplo, a mul-
tiplicação 6 3 8 5 48 pode ser indicada também por 6 ? 8 5 48.
Algoritmos da multiplicação
Assim como adições e subtrações, as multiplicações também podem ser resolvidas por algoritmos. Va-
mos conhecer alguns deles.
Algoritmo da decomposição
Para calcular a multiplicação 75 3 13 podemos fazer a decomposição de cada fator:
75 5 70 1 5
13 5 10 1 3
Depois, multiplicamos as unidades de um dos fatores pelas unidades e dezenas do outro e, em seguida, 
multiplicamos as dezenas do primeiro fator pelas unidades e dezenas do segundo fator. Por fim, adiciona-
mos todos os produtos parciais obtidos e encontramos o produto final.
70 1 5
3 10 1 3
1 5 3 3 5
2 1 0 3 3 70
5 0 10 3 5
1 7 0 0 10 3 70
9 7 5
Assim: 75 3 13 5 975
Algoritmo usual da multiplicação
Vamos recordar o algoritmo usual da multiplicação calculando o resultado de 75 3 13.
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7 5
3 1 3
1o passo: Para iniciar o cálculo, 
registramos os números a serem 
multiplicados colocando cada 
algarismo na “coluna” corres-
pondente a sua ordem (neste 
caso, unidade embaixo de unida-
de e dezena embaixo de dezena).
C D U
1
7 5
3 1 3
5
2o passo: 3 unidades vezes 
5 unidades é igual a 15 
unidades. Como 15 unidades 
é o mesmo que 1 dezena 
e 5 unidades, escrevemos 
5 unidades e juntamos