Semana 2- Estatistica_02_material base

Prévia do material em texto

andré leme fleury
estatística
material-base das aulas 5-8
estatística
material-base das aulas 5-8
2
APRESENTAÇÃO 
Na primeira semana apresentamos o que é Estatística, 
qual é a sua origem e seus principais conceitos, sua im-
portância na vida em sociedade e como aplicá-la em seu 
contexto profissional. Destacamos também as principais 
áreas da Estatística: Probabilidade, Estatística Descritiva 
e Estatística Inferencial. E no contexto da Probabilidade 
apresentamos seus principais conceitos teóricos e algu-
mas aplicações práticas, na forma dos exercícios comenta-
dos que explicam como realizar operações probabilísticas.
Nesta segunda etapa da disciplina você aprofundará 
os conhecimentos teóricos e práticos sobre probabilida-
de. Entre os quatro vídeos desta semana, dois abordam 
os conceitos e dois demonstram – por meio dos exercí-
cios comentados que você já conhece – como realizar 
operações probabilísticas. 
Teoremas do cálculo de probabilidades são tópicos 
trabalhados nas videoaulas e nos outros materiais dis-
poníveis. Ao estudar estas técnicas você será capaz de 
estimar a ocorrência ou não-ocorrência de eventos in-
certos. Para isto, deverá aplicar os principais conceitos 
sobre probabilidade, bem como as operações e os prin-
cipais teoremas relacionados. Desta forma estará prepa-
rado para resolver alguns problemas fundamentais de 
Estatística / Aulas 5–8 Material base 3
probabilidade no contexto da Engenharia utilizando as técnicas e ferra-
mentas apresentadas.
Você também foi apresentado ao conceito de variável aleatória, uma 
variável capaz de descrever o valor que corresponde ao conjunto de resul-
tados de um determinado experimento. Para descrever estes valores uti-
lizamos gráficos, tabelas e funções de probabilidade. Dentre as principais 
propriedades de uma função de probabilidade é importante destacar a 
sua média ou esperança e a sua variância. Diferentes exemplos de aplica-
ções serão apresentados para ilustrar o que são as variáveis aleatórias, o 
que são funções de probabilidade e quais os seus principais parâmetros.
Os conceitos e aplicações apresentados também lhe darão bases para 
ampliar o seu desempenho no Projeto Integrador. Sempre que possível, 
faca anotações, sintetizando suas conclusões, duvidas e ideias. Elas serão 
uteis como referência para você estudar ou fazer uma revisão antes da 
prova da disciplina. 
 
 
 
Bons estudos!
Prof. André
OBJETIVOS DAS AULAS DA SEMANA 
 
→ Apresentar os principais teoremas do cálculo de probabilidades;
 
→ Apresentar exemplos práticos de aplicação dos conceitos e dos te-
oremas da probabilidade, destacando as suas operações mais rele-
vantes;
 
→ Apresentar os conceitos de variável aleatória e distribuições de pro-
babilidade e suas aplicações;
 
→ Apresentar os principais parâmetros das distribuições de probabili-
dade.
Estatística / Aulas 5–8 Material base 4
1. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
ExErcícIO 1
Em dias muito frios a chance dos funcionários de uma indústria faltarem 
ao trabalho é de 6%. Já em dias normais, ela é igual a 1%. Em 20% dos dias 
faz muito frio. Qual é a probabilidade de 1 funcionário ter faltado em um 
dia qualquer?
Resolução
Este exercício é importante para que você possa verificar uma aplicação 
direta do Teorema da Probabilidade Total. Considerando as seguintes 
informações apresentadas:
 → P(dia frio) =  20% =  0,2
 → P(dia normal) =  1 - P(dia frio) =  1 - 0,2 =  0,8
 → P(faltar/dia frio) =  6% =  0,06
 → P(faltar/dia normal) =  1% =  0,01
Queremos calcular a chance de 1 funcionário faltar em determinado dia, 
independentemente de ter feito frio ou não. Logo:
P(faltar)  =  P(dia frio E faltar) + P(dia normal E faltar)
Estamos tratando de um evento intersecção:
P(faltar)  =  P(dia frio ∩ faltar) + P(dia normal ∩ faltar)
P(A ∩ B)  =  P(A) × P(B/A)
Logo:
P(faltar)  =  P(dia frio) × P(faltar/dia frio) + P(dia normal) × P(faltar/dia normal)
P(faltar)  =  0,2 × 0,06 + 0,8 × 0,01  =  0,012 + 0,08  =  0,02  =  2%
Logo a probabilidade de um funcionário faltar é de 2%.
Estatística / Aulas 5–8 Material base 5
ExErcícIO 2
Em certa linha de montagem, três máquinas, A, B e C produzem 30%, 45% 
e 25% dos produtos, respectivamente. Sabe-se de experiências anteriores 
que respectivamente 2%, 5% e 3% dos produtos feitos por cada máquina 
são defeituosos. Suponha que um produto acabado seja selecionado ale-
atoriamente. 
a. Qual a probabilidade de que tal produto apresente algum defeito?
b. Se um produto for selecionado aleatoriamente e for constatado que 
ele apresenta defeitos, qual a probabilidade de que o produto tenha 
sido fabricado pela máquina C?
Resolução
Neste exercício vamos apresentar inicialmente a resolução utilizando o 
formato gráfico e a seguir a resolução utilizando os teoremas da probabi-
lidade. Inicialmente consideramos as informações relativas à quantidade 
produzida em cada máquina:
Máquina A 
(30% produção)
Máquina C
(25% produção)
Máquina B
(45% produção)
A seguir, acrescentarmos as informações relativas à produção de produ-
tos bons e produtos defeituosos em cada máquina:
Máquina A 
(30% produção)
Máquina C
(25% produção)
Máquina B
(45% produção)
Bons (98%)
Defeituosos (2%)
Bons (95%)
Defeituosos (5%)
Bons (97%)
Defeituosos (3%)
Agora podemos calcular o número de produtos bons e de produtos defei-
tuosos em cada máquina. Observe que a somatória de todos os valores 
à direita é 1 (ou 100%), ou seja, todo o espaço amostral S é representado 
considerando a representatividade de cada máquina e os produtos bons 
ou defeituosos que fabrica. 
Estatística / Aulas 5–8 Material base 6
Máquina A 
(30% produção)
Máquina C
(25% produção)
Máquina B
(45% produção)
Bons (98%)
Defeituosos (2%)
Bons (95%)
Defeituosos (5%)
Bons (97%)
Defeituosos (3%)
= 0,294
= 0,006
= 0,4275
= 0,0225
= 0,2425
= 0,0075
O item a) questionava a probabilidade de um produto apresentar algum 
defeito. Estas possibilidades estão destacadas na imagem a seguir. Logo, 
a probabilidade de um produto apresentar defeito é obtida pela soma das 
probabilidades destacadas em negrito.
Máquina A 
(30% produção)
Máquina C
(25% produção)
Máquina B
(45% produção)
Bons (98%)
Defeituosos (2%)
Bons (95%)
Defeituosos (5%)
Bons (97%)
Defeituosos (3%)
= 0,294
= 0,006
= 0,4275
= 0,0225
= 0,2425
= 0,0075
P(defeito)  =  0,006 + 0,0225 + 0,0075  =  0,036  =  3,6%
Logo 3,6% dos produtos desta indústria apresentam algum defeito.
Podemos também resolver da seguinte maneira:
P(defeito)  =  P(defeito ∩ máquina A) + P(defeito ∩ máquina B) +  
P(defeito ∩ máquina C)
P(defeito)  =  P(máquina A) × P(defeito/máquina A) +  
P(máquina B) × P(defeito/máquina B) + P(máquina C) × P(defeito/máquina C)
P(defeito)  =  0,3 × 0,02 + 0,45 × 0,05 + 0,25 × 0,03   
=  0,06 + 0,0225 + 0,0075  =  0,036   
=  3,6%
O item b) questionava a probabilidade de um produto identificado como 
defeituoso ter sido produzido na máquina C. Como agora sabemos que o 
produto é defeituoso nosso espaço amostral se altera e temos a seguinte 
construção:
Estatística / Aulas 5–8 Material base 7
P(máquina C/defeito)  =  P(máquina C ∩ defeito)
P(defeito)
P(máquina C/defeito)  =  0,0075
(0,006 + 0,0225 + 0,0075)
P(máquina C/defeito)  =  0,0075
0,036
  =  0,21  =  21%
ExErcícIO 3
Visando aprimorar a capacitação do seu quadro de colaboradores, uma 
indústria têxtil sorteia mensalmente quatro profissionais que participarão 
de cursos intensivos de estatística. Nessa indústria têxtil, 2/3 dos profis-
sionais são mulheres. Estamos interessados na distribuição de probabili-
dade da variável aleatória “número de profissionais do sexo feminino que 
vão participar do curso intensivo de estatística”. 
Considerando que o número de profissionais da indústria é suficiente-
mente grande para que possamos aplicar a distribuição binomial, calcule: 
a. Qual é a probabilidade de nenhum dos 4 profissionais ser mulher 
“p(0)”? 
b. Qual é a probabilidade de 1 dos 4 profissionais ser mulher “p(1)”? 
c. Qualé a probabilidade de 2 dos 4 profissionais serem mulheres “p(2)”? 
d. Qual é a probabilidade de 3 dos 4 profissionais serem mulheres “p(3)”? 
e. Qual é a probabilidade de todos os 4 profissionais serem mulheres 
“p(4)”?
Resolução
Neste exercício, devemos descrever toda a distribuição de probabilidades 
da variável aleatória discreta X = “número de professoras sorteadas”.
x 0 1 2 3 4
p(x)
Isso significa que devemos calcular as probabilidades de cada um dos 
valores que a variável X pode assumir. Sabemos que a probabilidade de 
uma colaboradora ser mulher é p = 2/3, então:
Estatística / Aulas 5–8 Material base 8
P(X = 0)  = 
4!
0!(4 - 0)!
 ×  2
3
0
 ×  1
3
4  =  1
81
  ≅  0,012
P(X = 1)  = 
4!
1!(4 - 1)!
 ×  2
3
1
 ×  1
3
3  =  8
81
  ≅  0,10
P(X = 2)  = 
4!
2!(4 - 2)!
 ×  2
3
2
 ×  1
3
2  =  24
81
  ≅  0,30
P(X = 3)  = 
4!
3!(4 - 3)!
 ×  2
3
3
 ×  1
3
1  =  32
81
  ≅  0,40
P(X = 4)  = 
4!
4!(4 - 4)!
 ×  2
3
4
 ×  1
3
0  =  16
81
  ≅  0,20
Agora podemos completar a tabela da função de probabilidade:
x 0 1 2 3 4
p(x) 0,01 0,10 0,30 0,40 0,20
Com base nessas informações chegamos aos seguintes resultados:
 → A probabilidade de nenhum dos 4 colaboradores ser mulher é de 
aproximadamente 1%.
 → A probabilidade de 1 dos 4 colaboradores ser mulher é de aproxima-
damente 10%
 → A probabilidade de 2 dos 4 colaboradores serem mulheres é de 
aproximadamente 30%
 → A probabilidade de 3 dos 4 colaboradores serem mulheres é próxi-
ma de 40%.
 → A probabilidade de todos os 4 colaboradores serem mulheres é de 
aproximadamente 20%.
ExErcícIO 4
A transfusão de sangue é uma prática médica que ajuda a salvar muitas 
vidas. No entanto, para uma transfusão de sangue ser bem-sucedida, al-
guns cuidados devem ser tomados. O sangue doado, além de ser testado 
para evitar a transmissão de doenças, deve ser de tipo compatível com 
o tipo sanguíneo do receptor. Esse procedimento é necessário pois cada 
organismo aceita ou rejeita o sangue recebido e isso pode causar sérios 
Estatística / Aulas 5–8 Material base 9
problemas ao doente. Podemos considerar uma pessoa que tenha san-
gue do tipo “O-” como um “doador universal”. Considerando um grupo 
de cinco possíveis doadores, onde somente 2 deles são do tipo “O-”, se 
testarmos cada um dos 5 aleatoriamente, até que um dos indivíduos “O-” 
seja identificado,qual é a função de probabilidade da variável aleatória 
“número de indivíduos testados”?
Resolução
Para resolver este exercício considere os 5 doadores representados na 
próxima figura, onde os doadores em laranja são do tipo “O-”.
Nosso problema então consiste na realização de testes de sangue até que 
sejamos capazes de identificar os doadores do tipo O-. Podemos então ter 
os seguintes eventos:
Evento 1: testar 1 “O-” no primeiro teste – 2 chances em 5 possibilidades:
 P(x = 1)  =  2
5  
=  0,4
Evento 2: testar 1 “não O-” e então 1 “O-” – 3 chances em 5 possibilidades 
e então 2 chances em 4 possibilidades: 
  P(x = 2)  =  3
5
 ×  2
4
  =  0,3
Evento 3: testar 2 “não O-” e então 1 ”O-” - 3 chances em 5 possibilidades, 
então 2 chances em 4 possibilidades, então 2 chances em 3 possibilidades:
    P(x = 3)  =  3
5
 ×  2
4
 ×  2
3
  =  0,2
Estatística / Aulas 5–8 Material base 10
Evento 4: testar 3 “não O-” e então 1 “O-”: 3 chances em 5 possibilidades, 
então 2 chances em 4 possibilidades, então 1 chance em 3 possibilidades, 
então 2 chances em 2 possibilidades
           P(x = 4)  =  3
5
 ×  2
4
 ×  1
3  
×  2
2
P(x = 4)  =  0,1
Logo, a tabela que representa esta função de probabilidade é a seguinte:
x 1 2 3 4
p(x) 0,4 0,3 0,2 0,1
Na forma gráfica a função de probabilidade fica da seguinte maneira:
1 432
0,5
0,1
0,2
0,3
0,4
p(x)
2. EXERCÍCIOS PROPOSTOS
ExErcícIO 1
Um meteorologista acerta 80% dos dias em que chove e 90% dos dias em 
que faz tempo bom. Chove em 10% dos dias. Tendo havido previsão de 
chuva, qual a probabilidade de chover? 
Estatística / Aulas 5–8 Material base 11
ExErcícIO 2
Num departamento de manutenção, uma caixa contém 8 peças de repo-
sição, das quais 5 foram produzidas pelo Fabricante A e 3 foram produ-
zidas pelo Fabricante B. Se um operador pegar duas peças de reposição 
da caixa aleatoriamente, qual será a distribuição da probabilidade para a 
variável aleatória “peças de reposição produzidas pelo Fabricante B”?
3. MATERIAIS DE APOIO
1. Vídeo: variáveis aleatórias discretas e contínuas 
https://www.khanacademy.org/math/probability/random-variables-
topic/random_variables_prob_dist/v/random-variables
Neste vídeo, Salman Khan introduz o conceito de variáveis aleatórias 
e diferencia variáveis aleatórias discretas de contínuas. Além disso, 
exemplifica função de probabilidade. 
2. Vídeo: função densidade de probabilidade 
https://www.khanacademy.org/math/probability/random-variables-
topic/random_variables_prob_dist/v/probability-density-functions
Veja como utilizar a função densidade de probabilidade para calcu-
lar a probabilidade de uma variável aleatória pertencer a um certo 
intervalo. 
3. Vídeo: aplicação de probabilidade em seguros
http://www.khanacademy.org/math/probability/v/term-life-
insurance-and-death-probability
Salman Khan mostra uma aplicação de probabilidade em atuária – 
mais precisamente, em seguros de vida – e calcula a probabilidade 
de ele morrer nos próximos 20 anos. 
4. Applet: “The Canonical Roulette” 
http://www.math.psu.edu/dlittle/java/probability/canonicalroulette/
index.html
Veja a relação entre função densidade de probabilidade e função de 
distribuição acumulada.
5. Applet: “Random Babies” 
http://www.rossmanchance.com/applets/randomBabies/Babies.html
Da maternidade os bebês são entregues aleatoriamente nas casas 
das famílias que tiveram bebês. O objetivo é estudar a distribuição 
https://www.khanacademy.org/math/probability/random-variables-topic/random_variables_prob_dist/v/random-variables
https://www.khanacademy.org/math/probability/random-variables-topic/random_variables_prob_dist/v/random-variables
mailto:https://www.khanacademy.org/math/probability/random-variables-topic/random_variables_prob_dist/v/probability-density-functions
mailto:https://www.khanacademy.org/math/probability/random-variables-topic/random_variables_prob_dist/v/probability-density-functions
http://www.khanacademy.org/math/probability/v/term-life-insurance-and-death-probability
http://www.khanacademy.org/math/probability/v/term-life-insurance-and-death-probability
http://www.math.psu.edu/dlittle/java/probability/canonicalroulette/index.html
http://www.math.psu.edu/dlittle/java/probability/canonicalroulette/index.html
http://www.rossmanchance.com/applets/randomBabies/Babies.html
Estatística / Aulas 5–8 Material base 12
do número de bebês que são corretamente entregues, isto é, do 
número de pareamentos.
6. Applet: “Birthday Experiment”
http://www.math.uah.edu/stat/applets/BirthdayExperiment.html
No clássico Problema do Aniversário, mostra-se que a probabilidade 
de que ao menos duas pessoas, num grupo de n, façam aniversário 
no mesmo dia é maior do que a noção intuitiva sugere. Neste applet, 
você pode considerar amostras aleatórias simples de n unidades 
amostrais com reposição de qualquer conjunto com m elementos 
(não necessariamente m = 365).
7. Applet: “Die-Coin Experiment”
http://www.math.uah.edu/stat/applets/DieCoinExperiment.html
Um dado (honesto ou não) é lançado para determinar quantas mo-
edas serão lançadas. A probabilidade de cara da moeda pode ser 
definida por você. O número de caras é mostrado no histograma, 
assim como a distribuição teórica dessa variável. 
8. Applet: “Dice Experiment” 
http://www.math.uah.edu/stat/applets/DiceExperiment.html
O experimento consiste em rolar n dados (honestos ou não) e obser-
var os valores das variáveis “soma dos pontos”, “pontuação média”, 
“pontuação mínima”, “pontuação máxima” e “número de uns”. Ao 
lado do resultado dos dados, aparece a distribuição de probabilida-
des da variável selecionada.
9. Curso online
http://www.veduca.com.br/assistir/probabilidade-e-estatisticaProbabilidade & Estatística: ministrado pelos professores André 
Leme Fleury e Melvin Cymbalista. Disponível no portal de educação 
online Veduca.
http://www.math.uah.edu/stat/applets/BirthdayExperiment.html
http://www.math.uah.edu/stat/applets/DieCoinExperiment.html
http://www.math.uah.edu/stat/applets/DiceExperiment.html
http://www.veduca.com.br/assistir/probabilidade-e-estatistica
Estatística / Aulas 5–8 Material base 13
SÍnTeSe daS aulaS
Considerando dois eventos A e B:
a b
1. Probabilidade Condicional
P (A/B)  =  P(A ∩ B)
P(B)
2. Teorema do Produto
P(A ∩ B)  =  P(A)P(B/A)  =  P(B) P(A/B)
3. Quando A e B são eventos independentes 
P(A ∩ B)  =  P(A) × P(B)
4. Variável Aleatória
 → Conceito: Descreve o valor que corresponde ao resultado de de-
terminado experimento.
 → Variáveis Aleatórias Discretas: admitem um número finito de 
valores ou tem uma quantidade enumerável de valores.
 → Variáveis Aleatórias Contínuas: podem tomar um número infi-
nito de valores e esses valores podem ser associados a mensura-
ções em uma escala contínua.
 
5. Propriedades das Distribuições de Probabilidade
 → Média ou esperança
μ  =  E(x)  =  ∑xi × p (xi)
Estatística / Aulas 5–8 Material base 14
μ  =  E(x)  =   ∫
- ∞ 
+ ∞
 xf (x) dx
 → Variância
σ2  =  ∑(xi - μ)
2 × p(xi)  =  E [(X - μ)
2]
σ2  =  [∑x2 × p(x)] - μ2  =  E(X2) - [E(X)]2
15Estatística / Aulas 5–8 Material base
gabariTo – exercicioS propoSToS 
EXERCICIO 1
Resposta: 0,4705
EXERCICIO 2
x 0 1 2
p(x)
10
28
15
28
3
28