Aula matrizes

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Álgebra Linear
Aula 1: Matrizes – operações e determinantes
Apresentação
O conteúdo que vamos estudar na disciplina de Álgebra Linear será de grande aplicabilidade para os cursos de
Engenharia. 
Inúmeras serão as suas aplicações tanto nas áreas de física, química e estatística como na resolução de modelos
matemáticos de problemas de natureza prática.
Por se tratar de um assunto aparentemente abstrato, a recomendação é que se faça uma leitura bastante cuidadosa das
de�nições e dos exemplos.
Para �xar bem as ideias, não deixe de resolver todos os exercícios propostos.
Objetivos
Relacionar o conceito de matriz com o de uma planilha de dados;
Identi�car algumas matrizes notáveis;
Realizar operações básicas;
Utilizar as propriedades das operações básicas;
Saber calcular o determinante e o traço de uma matriz;
Conhecer as propriedades do determinante e do traço.
Matrizes
Uma matriz pode ser vista como uma planilha de dados da qual podemos extrair ou incluir informações relativas a problemas
de natureza prática. Veja no exemplo a seguir uma planilha com dados relativos à quantidade de material empregada na
construção de três estilos de casa: moderno, mediterrâneo e colonial.
Ferro Madeira Vidro Tinta Tijolo
Moderno 5 20 16 7 17
Mediterrâneo 7 18 12 9 21
Colonial 6 25 8 5 13
Observamos na tabela que se o construtor deseja construir uma casa com estilo mediterrâneo ele necessitará de:
7 unidades de ferro;
18 de madeira;
12 de vidro;
9 de tinta;
21 de tijolo.
Questões dos tipos a seguir podem e devem ser respondidas utilizando-se operações matriciais:
1. Se ele vai construir 5, 7, 12 casas dos tipos modernos, mediterrâneo e colonial, quantas unidades de cada material serão
empregadas?
2. Supondo agora que os preços por unidade de ferro, madeira, vidro, tinta e tijolo sejam, respectivamente, 15, 8, 5, 1, 10 u.p.
Qual o preço unitário de cada tipo de casa?
3. Qual o custo total do material empregado?
Formalmente, de�nimos uma matriz como uma disposição retangular, com linhas e colunas, de números ou funções do tipo:
A matriz numérica do nosso exemplo possui:
um total de 3 linhas e 5 colunas, logo é uma matriz de ordem (3 x 5);
o elemento situado na segunda linha e terceira coluna é dado por a = 12 .
Algumas matrizes notáveis
Conceitos básicos de uma matriz
Clique nos botões para ver as informações.
Se A é uma matriz com m linhas e n colunas dizemos que a ordem da matriz A é (m x n).
Ordem 
É a matriz que possui o número de linhas igual ao número de colunas, ou ainda, (m = n).
Matriz quadrada 
É o elemento que se posiciona na linha i e na coluna j.
Elemento a da matriz Aij 
É formada pelos elementos a tais que i = j
Diagonal principal da matriz quadrada A 
ij
Notação
A notação para uma matriz A de ordem qualquer é:
A = (a )ij
23
Matriz nula
Possui todos os elementos iguais a zero
https://stecine.azureedge.net/webaula/estacio/DIS081/aula1.html
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Matriz triangular superior
É uma matriz quadrada cujos elementos situados abaixo da diagonal principal são
iguais a zero, ou, ainda, a = O sempre que i > j. Por exemplo, a matriz (3 x 3) a
seguir é triangular superior:
Observe que os elementos a = a = a = 0.
ij
21 31 32
Matriz triangular inferior
É uma matriz quadrada cujos elementos situados acima da diagonal principal são
iguais a zero, ou ainda, a = O sempre que i < j. Por exemplo, a matriz (3 x 3) a
seguir é triangular inferior:
ij
Matriz diagonal
É uma matriz quadrada cujos elementos fora da diagonal principal são iguais a
zero, ou, ainda, a = 0, sempre i ≠ j.ij
Matriz identidade
Matriz identidade: denotada por I , é uma matriz diagonal cujos elementos da
diagonal principal são a = 1.
n
ij
Matriz linha
Matriz que possui apenas uma linha.
Matriz coluna
Matriz que possui apenas uma coluna.
Matriz transposta da matriz A = (a )ij
Denotada por A , é tal que o elemento situado na linha i e coluna j de A passa a ser
o elemento da linha j e coluna i de A .
t
t
Matriz simétrica
Matriz tal que A = A .t
Matriz antissimétrica
Matriz tal que A = -A .
Observe que na matriz antissimétrica todos os elementos da diagonal principal
são necessariamente iguais a zero.
t
Operações com matrizes
As operações de soma entre duas matrizes e de multiplicação de um escalar (número) real por uma matriz são de�nidas de
forma intuitiva, como mostramos a seguir:
Clique nos botões para ver as informações.
Dada as matrizes A = (a ) e B = (b ) com a mesma ordem, a soma entre elas é uma C = (c ), de mesma ordem que A e B,
tal que c = a + b , para todo i, j. Exemplo:
Soma 
ij ij ij
ij ij ij
[ ]  +  [ ]  =  [ ]  = [ ]2
1
1
4
3
2
−1
1
2 + 3
1 + 2
1 + (−1)
4 + 1
5
3
0
5
Dada as matrizes A = (a ) e o escalar k, a matriz (k.A) é obtida multiplicando-se todos os seus elementos por k. Sendo k.A
= (k. a ) para todo i, j. Exemplo:
Multiplicação por escalar 
ij
ij
4( )  = ( )3
−1
5
7
0
2
12
−4
20
28
0
8
Produto de matrizes
O produto entre duas matrizes não é de�nido de forma intuitiva como ocorre nos casos das operações de soma e da
multiplicação por escalar.
Inicialmente, para que esta operação seja de�nida entre as matrizes A e B é necessário que o número de colunas da matriz A
seja igual ao número de linhas da matriz B.
Observe сom atenção а de�nição!
Seja A = (a ) uma matriz de ordem (m x p) e B = (b ) uma matriz de ordem (p
x n). Seja C = (AB) = (c ) a matriz produto de A por B.
ij ij
ij
Cada elemento (c ) da matriz C será obtido da seguinte forma:
selecionar a linha i da matriz A, dada por: (a a ..... a )
selecionar a coluna j da matriz B, dada por: 
efetuar as somas dos produtos dos elementos da linha i pelos da coluna j na forma a seguir:
ij
i1 i2 ip
B  =  
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
b1j
b2j
. . .
bpj
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
c = a b + a + b + ... + a b , para todo i, j.
a matriz resultante C = AB terá ordem (m x n).
Veja o cálculo da operação de produto no exemplo a seguir.
Sejam as matrizes A e B:
ij i1 1j i2 2j in nj
A  =  ( )  e B =2
3
1
−1
−2
4
⎛
⎝
⎜
3
1
−1
−2
2
3
⎞
⎠
⎟
A Observe que а matriz С = А В possui ordem (2 х 2), onde:
 
C = 2 . 3 + 1 . 1 + (-2) . (-1) = 9 
(soma dos produtos dos elementos da linha 1 de А реlа coluna 1 de В);
 
C = 2 . (-2) + 1 . 2 + (-2) . 3 = -8 
(soma dos produtos dos elementos da linha 1 de А реlа соluпа 2 de В);
 
C = 3 . 3 + (-1) . 1 + 4 . (-1) = 4 
(soma dos produtos dos elementos da tinha 2 de А реla соluna 1 de В);
 
C = 3 . (-2) + (-1) . 2 + 4 . 3 = 4
(soma dos produtos dos elementos da linha 2 de A pela coluna 2 de B).
11
12
21
22
Ou, ainda,
C  =   [ ]9
4
−8
4
Atividade
1. Veja se é possível calcular BA. Caso seja, calcule.
Atenção
Em geral, o produto de matrizes não é comutativo
AB ≠ BA
Sejam A, B e C matrizes cujas operações estão de�nidas a seguir:
1. (A . B) . C = A . (B . C); (associativa)
2. A .(B + C) = AB + AC; (distributiva à direita)
3. (A + B) . C = AC +BC; (distributiva à esquerda)
4. (At)t = A;
5. (k. A)t = k.At; (k = número real)
�. (A + B)t = At + Bt;
7. (A . B)t = Bt . At.
Atividade
2. Agora que já sabemos realizar produto de matrizes e conhecemos as propriedades válidas para esse tipo de operação, tente
resolver as colocadas no início da aula sobre o problema do construtor de casas. Vejamos novamente:
Ferro Madeira Vidro Tinta Tijolo
Moderno 5 20 16 7 17
Mediterrâneo 7 18 12 9 21
Colonial 6 25 8 5 13
1. Se ele vai construir 5, 7, 12 casas dos tipos modernos, mediterrâneo e colonial, quantas unidades de cada material serão
empregadas?
2. Supondo agora que os preços por unidade de ferro, madeira, vidro, tinta e tijolo sejam, respectivamente, 15, 8, 5, 1, 10 u.p.
Qual o preço unitário de cada tipo de casa?
3. Qual o custo total do material empregado?
Seja A uma matriz quadrada de ordem (n x n), de�nimos as potências da matriz A da forma a seguir:
A2 = A . A
A3 = A. A . A
An = A . A .... A (n vezes)
Por convenção, A0 = in (matriz identidadede mesma ordem A).
Por exemplo,
Seja A  = [ ].  Então  =   [ ]  [ ]  =   [ ]2
−1
3
4
A2 
2
−1
3
−4
2
−1
3
−4
1
2
−6
13
 Determinante de uma matriz
" "Determinante é a somatória de todos os produtos
possíveis dos n elementos de uma matriz quadrada, de
maneira que em cada parcela - formada por um produto –
não haja dois elementos pertencentes a uma mesma linha
elou coluna."
- Soares (1979)
De forma prática, o determinante de uma matriz quadrada de ordem (n x n), denotado por det (A) ou |A|, é um número que está
associado a esta matriz que será calculado segundo as regras que se seguem:
Caso n = 1 A = (a) det (A) = a;
Caso n = 2 A = det (A) = ad – bc;
Caso n = 3 adotaremos a regra prática de Sarrus descrita a seguir:
Dada a matriz A = 
1. Repetimos as duas primeiras colunas após a terceira coluna, de forma a montar uma matriz com 3 linhas e com 5
colunas;
2. Traçamos as 3 diagonais rosas e as 3 azuis conforme a �gura a seguir.
3. Os produtos dos elementos envolvidos nas diagonais rosas devem ter o mesmo sinal negativo e nas azuis positivo.
( )a
c
b
d
⎛
⎝
⎜
a
d
g
b
e
h
c
f
i
⎞
⎠
⎟
O det (A) será o somatório dos produtos indicados, ou ainda:
det (A) = aei + bfg + cdh - ceg - afh - bdi
Por exemplo, calcule o determinante da matriz:
A =
⎡
⎣
⎢
2
0
3
4
2
0
0
1
2
⎤
⎦
⎥
Pela regra de Sarrus, formamos a matriz e traçamos as diagonais indicadas:
Det (A) = -0 - 0 – 0 + 8 + 12 = 20
No geral, o cálculo do determinante de uma matriz quadrada de
ordem n pode ser simpli�cado adotando-se a Regra de Laplace.
Entretanto, antes de estabelecer a regra vamos de�nir o que vem a ser o cofator do elemento genérico a de uma matriz.
Cofator
Denotado por Δ o cofator do elemento a da matriz quadrada A é de�nido por:
Δ = (-1) . det(A )
Onde Δ denota a matriz obtida da matriz A, suprimindo-se a linha i e a coluna j.
Por exemplo:
Seja A = vamos calcular o cofator do elemento a de A.
A = (-1) . = 0
Determinante da matriz obtida de A, retirando-se a linha 3 e a coluna 2.
ij
ij ij
ij
i + j
ij
ij
∣
∣
∣
∣
∣
∣
2
2
0
2
4
0
3
0
2
1
4
2
1
3
−8
1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
32
32
3 + 2
∣
∣
∣
∣
2
2
2
2
1
2
1
3
1
∣
∣
∣
∣
Regra de Laplace
A regra de Laplace reduz o cálculo do determinante de uma matriz de ordem
n a uma soma de n determinantes de ordem (n - 1).
O procedimento adotado deve ser o seguinte:
Escolher uma linha ou uma coluna da matriz que se deseja calcular o determinante, sendo preferencialmente uma linha ou
coluna que contenha o maior número de zeros possível.
Se a linha i da matriz foi a escolhida, det(A) = a Δ + a Δ + .... + a Δ
Se a coluna j da matriz foi a escolhida, det(A) = a Δ + a Δ + .... + a Δ
Observe que os elementos pertencentes à linha ou coluna escolhida estão envolvidos na aplicação da regra de Laplace. Por
esse motivo, a escolha deve priorizar linhas ou colunas que contenham o maior número de zeros possível.
Por exemplo, vamos aplicar a regra de Laplace para calcular o determinante da matriz A
A expansão do determinante será feita �xando a segunda coluna da matriz (é a �la, seja linha ou coluna, com o maior número
de zeros). Logo:
det(A) = a Δ + a Δ + a Δ + a Δ
det(A) = (-4) . (8 + 0 -16 -24 + 32 -0) + (-3) . (2 + 4 + 12 - 2 - 12 - 4) = (-4). 0 + (-3). 0 = 0
O cálculo do determinante de matrizes com ordem superior a três é bastante trabalhoso. Por exemplo, para calcular o
determinante de uma matriz de ordem (5 x 5) seria necessário que calculássemos 5 determinantes de matrizes (4 x 4).
Desta forma, algumas propriedades que apresentaremos a seguir poderão nos auxiliar na simpli�cação dos cálculos.
i1 i1 i2 i2 in in
1j 1j 2j 2j nj nj
A  =  
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢
2
2
0
2
4
0
3
0
2
1
4
2
1
3
−8
1
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥
12 12 22 22 32 32 42 42
det(A) = 0
Propriedades de determinante
Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n
1. det (A ) = det (A)
2. det (k . A) = k . det (A), k = número real
3. det (A . B) = det (A) . det (B)
4. Se A possui linhas (colunas) iguais ou proporcionais, então det (A) = 0.
5. Se trocarmos as posições de duas linhas (colunas) de A, o seu determinante �ca multiplicado por (-1).
�. Se A é uma matriz triangular, seu determinante é o produto dos elementos da diagonal principal.
7. Se somarmos a uma linha (ou coluna) de A um múltiplo de outra linha (ou coluna), o determinante da nova matriz é igual
ao de A.
t
n
Atividade
3. Use as propriedades para calcular o determinante de cada uma das seguintes matrizes:
(1) A =                 (2) A =
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
3
19
−6
4
8
0
18
π
2√
3
0
0
−5
3√
5
0
0
0
0
6
0
0
0
0
−1
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢
1
1
1
0
4
2
2
−1
2
1
0
1
4
2
0
2
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥
4. Calcule o determinante das seguintes matrizes:
(1) A =         (2) A =
⎡
⎣
⎢
2
0
3
4
2
0
0
1
2
⎤
⎦
⎥
⎡
⎣
⎢
1
1
2
0
1
2
x
x2
x2
⎤
⎦
⎥
(3) A =       (4) A =
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢
4
3
2
0
−1
−1
3
7
2
0
1
1
−2
0
0
1
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢
1
0
0
0
2
5
0
0
3
6
8
0
4
7
9
10
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥
5. Justi�que cada caso, independente de ser verdadeiro ou falso:
1. det(A+B) = det(A) + det(B);
2. det(A ) = [det(A)] ;
3. Se A é uma matriz de ordem n e A é a matriz transposta de A, então det(A A) > AJUSTAR 0.
4. Seja A uma matriz triangular. Então, se os elementos fora da diagonal principal são todos negativos, det(A) é positivo.
5. Seja A uma matriz simétrica, então det (A`A) > det(A).
�. Se detA = 1, então A é a Matriz identidade.
7. Se A é uma matriz triangular, então detA = a + a + ....+ a .
�. Se A é uma matriz de ordem 10 X 10, então det(2 A) = 2 det(A).
2 2
t t
11 22 nn
10
Notas
Exemplo
Ferro Madeira Vidro Tinta Tijolo
Moderno 5 20 16 7 17
Mediterrâneo 7 18 12 9 21
Colonial 6 25 8 5 13
a = 1223
Ferro Madeira Vidro Tinta Tijolo
Moderno 5 20 16 7 17
Mediterrâneo 7 18 12 9 21
Colonial 6 25 8 5 13
Referências
KOLMAN, Bernard. Introdução à álgebra linear com aplicações. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC Editora, 2006.
LAY, David C. Álgebra linear e suas aplicações. 2. ed. Rio de Janeiro, LTC; c1999.
BOLDRINI, J.L., COSTA, Sueli I. R., FIGUEIREDO, Vera Lucia, Wetzler, Henry G. – Álgebra linear – 3ª edição – Ed. Harbra – São
Paulo SP - 1989.
Próxima aula
Inversa de uma matriz;
Oposto de uma matriz;
Introdução aos sistemas de equações algébricas lineares.
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